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数学演習：行列とベクトルの計算

平井慎一

立命館大学ロボティクス学科

平井慎一 (立命館大学ロボティクス学科) 数学演習：行列とベクトルの計算 1 / 32

講義の流れ

1 ベクトルと行列の表記

2 特徴的な行列

3 連立一次方程式

4 LU分解

5 MATLABによる計算

6 まとめ


表記

スカラー小文字 a, x , ω列ベクトル太字の小文字 a, x , ω行列大文字 A, R , Γ

列ベクトル

a =

3−21

行ベクトル

aT =[3 −2 1

]行列

A =

3 1−1 12 5

AT =

[3 −1 21 1 5

]平井慎一 (立命館大学ロボティクス学科) 数学演習：行列とベクトルの計算 3 / 32

表記

A α alpha アルファB β beta ベータΓ γ gamma ガンマ∆ δ delta デルタE ϵ epsilon イプシロンZ ζ zeta ゼータH η eta イータΘ θ theta シータI ι iota イオタK κ kappa カッパΛ λ lambda ラムダM µ mu ミュー

N ν nu ニューΞ ξ xi グザイO o omicron オミクロンP π pi パイP ρ rho ローΣ σ sigma シグマT τ tau タウY υ upsilon ユプシロンΦ ϕ phi ファイX χ chi カイΨ ψ psi プサイΩ ω omega オメガ


表記連立一次方程式 3 2 −2

6 2 −1−3 −8 7

xyz

=

136

行列 A =

3 2 −26 2 −1−3 −8 7

列ベクトル x =

xyz

列ベクトル b =

136

⇓

Ax = b



6 2 −1−3 −8 7

xyz

=

136

行列 A =

3 2 −26 2 −1−3 −8 7

列ベクトル x =

xyz

列ベクトル b =

136

⇓Ax = b



6 2 −1−3 −8 7

xyz

=

136

行列 A =

3 2 −26 2 −1−3 −8 7

列ベクトル x =

xyz

列ベクトル b =

136

⇓

Ax = b


表記

a =

3−21

b =

25−3

aT =

[3 −2 1

]bT =

[2 5 −3

]

aTb =[3 −2 1

] 25−3

= 3× 2 + (−2)× 5 + 1× (−3)

= −7

スカラー aと bの内積


表記

abT =

3−21

[2 5 −3

]=

6 15 −9−4 −10 62 5 −3

行列

baT =

25−3

[3 −2 1

]=

6 −4 215 −10 5−9 6 −3

行列


行列

A =

3 2 −26 2 −1

−3 −8 7

行列

a =

36−3

b =

22−8

c =

−2−17

列ベクトル列ベクトル列ベクトル

A =

a b c


行列

A =

3 2 −26 2 −1

−3 −8 7

行列

pT =[

3 2 −2]行ベクトル

qT =[

6 2 −1]行ベクトル

rT =[−3 −8 7

]行ベクトル

A =

pT

qT

rT


問題

1. スカラー a = 5，b = −3，ベクトル

a =

−23−4

, b =

−225

に対して，以下を計算せよ．計算できない場合はその理由を示せ．

(1) a b (2) a b

(3) aTb (4) abT

(5) bTb (6) bbT

(7) (bTa)a (8) (baT)a


単位行列

3次の単位行列

I =

1 0 00 1 00 0 1

0を省略

I =

11

1


単位行列

11

1

3 41 50 8

=

3 41 50 8

IA = A

[2 5 73 0 1

] 11

1

=

[2 5 73 0 1

]

BI = B


対角行列

5−4

2

, −1

11

, √

20.1

12

, · · ·

∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗

∗ 対角要素∗ 非対角要素


対角行列

5−4

2

3 41 50 8

=

15 20−4 −200 16

各行を定数倍

[2 5 73 0 1

] 5−4

2

=

[10 −20 1415 0 2

]

各列を定数倍


下三角行列

1−2 1−1 2 1

, 5

1 −24 1 3

, · · ·


上三角行列

3 −2 −1−2 1

3

, 5 1 4

−2 13

, · · ·


置換行列

11

1

, 1

11

, 1

11

, · · ·

各行，各列に一個だけ 1

11

1

xyz

=

zxy

ベクトルの要素を入れ替える


係数行列が単位行列

11

1

xyz

=

3−12

⇓ xyz

=

3−12


係数行列が単位行列

11

1

xyz

=

3−12

⇓ x

yz

=

3−12


係数行列が対角行列

5−4

2

xyz

=

1012−2

⇓ xyz

=

10/512/(−4)−2/2

=

2−3−1

検算 5

−42

2−3−1

=

1012−2



5−4

2

xyz

=

1012−2

⇓ x

yz

=

10/512/(−4)−2/2

=

2−3−1

検算 5−4

2

2−3−1

=

1012−2



5−4

2

xyz

=

1012−2

⇓ x

yz

=

10/512/(−4)−2/2

=

2−3−1

検算 5

−42

2−3−1

=

1012−2


係数行列が下三角行列

51 −24 1 3

xyz

=

106−9

⇓

5x = 10 =⇒ x = 2

1× 2 + (−2)y = 6 =⇒ y = −2

4× 2 + 1× (−2) + 3z = −9 =⇒ z = −5

検算 51 −24 1 3

2−2−5

=

5× 21× 2 + (−2)× (−2)4× 2 + 1× (−2) + 3× (−5)


係数行列が上三角行列

3 −2 −1−2 1

3

xyz

=

7−33

⇓

3z = 3 =⇒ z = 1

(−2)y + 1× 1 = −3 =⇒ y = 2

3x + (−2)× 2 + (−1)× 1 = 7 =⇒ x = 4

検算 3 −2 −1−2 1

3

421

=

3× 4 + (−2)× 2 + (−1)× 1(−2)× 2 + 1× 1

3× 1


LU分解

3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6

=

1−2 1−1 2 1

3 −2 −1−2 1

3

下三角行列上三角行列

(対角要素はすべて 1)


LU分解

3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6

=

1 0 0−2 1 0−1 2 1

3 −2 −10 −2 10 0 3

下三角行列上三角行列

(対角要素はすべて 1)


LU分解

任意の正方行列

A =

3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6

LU分解 (LU decomposition)

A = LU


LU分解のアルゴリズム

3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6

=

1 0 0l21 1 0l31 l32 1

u11 u12 u130 u22 u230 0 u33



3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6

=

1 0 0l21 1 0l31 l32 1

u11 u12 u130 u22 u230 0 u33

3 = 1× u11 =⇒ u11 = 3



3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6

=

1 0 0l21 1 0l31 l32 1

3 u12 u130 u22 u230 0 u33

3 = 1× u11 =⇒ u11 = 3



3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6

=

1 0 0l21 1 0l31 l32 1

3 u12 u130 u22 u230 0 u33

− 2 = 1× u12 =⇒ u12 = −2



3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6

=

1 0 0l21 1 0l31 l32 1

3 − 2 u130 u22 u230 0 u33

− 2 = 1× u12 =⇒ u12 = −2



3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6

=

1 0 0l21 1 0l31 l32 1

3 − 2 u130 u22 u230 0 u33

− 1 = 1× u13 =⇒ u13 = −1



3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6

=

1 0 0l21 1 0l31 l32 1

3 − 2 − 10 u22 u230 0 u33

− 1 = 1× u13 =⇒ u13 = −1



3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6

=

1 0 0l21 1 0l31 l32 1

3 − 2 − 10 u22 u230 0 u33

− 6 = l21 × 3 =⇒ l21 = −2



3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6

=

1 0 0− 2 1 0l31 l32 1

3 − 2 − 10 u22 u230 0 u33

− 6 = l21 × 3 =⇒ l21 = −2



3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6

=

1 0 0− 2 1 0l31 l32 1

3 − 2 − 10 u22 u230 0 u33

2 = (−2)× (−2) + 1× u22 =⇒ u22 = −2



3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6

=

1 0 0− 2 1 0l31 l32 1

3 − 2 − 10 − 2 u230 0 u33

2 = (−2)× (−2) + 1× u22 =⇒ u22 = −2



3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6

=

1 0 0− 2 1 0l31 l32 1

3 − 2 − 10 − 2 u230 0 u33

3 = (−2)× (−1) + 1× u23 =⇒ u23 = 1



3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6

=

1 0 0− 2 1 0l31 l32 1

3 − 2 − 10 − 2 10 0 u33

3 = (−2)× (−1) + 1× u23 =⇒ u23 = 1



3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6

=

1 0 0− 2 1 0l31 l32 1

3 − 2 − 10 − 2 10 0 u33

− 3 = l31 × 3 =⇒ l31 = −1



3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6

=

1 0 0− 2 1 0− 1 l32 1

3 − 2 − 10 − 2 10 0 u33

− 3 = l31 × 3 =⇒ l31 = −1



3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6

=

1 0 0− 2 1 0− 1 l32 1

3 − 2 − 10 − 2 10 0 u33

− 2 = (−1)× (−2) + l32 × (−2) =⇒ l32 = 2



3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6

=

1 0 0− 2 1 0− 1 2 1

3 − 2 − 10 − 2 10 0 u33

− 2 = (−1)× (−2) + l32 × (−2) =⇒ l32 = 2



3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6

=

1 0 0− 2 1 0− 1 2 1

3 − 2 − 10 − 2 10 0 u33

6 = (−1)× (−1) + 2× 1 + 1× u33 =⇒ u33 = 3



3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6

=

1 0 0− 2 1 0− 1 2 1

3 − 2 − 10 − 2 10 0 3

6 = (−1)× (−1) + 2× 1 + 1× u33 =⇒ u33 = 3



3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6

=

1 0 0− 2 1 0− 1 2 1

3 − 2 − 10 − 2 10 0 3


連立一次方程式

3 −2 −1−6 2 3−3 −2 6

xyz

=

3−7−2

⇓ 1

−2 1−1 2 1

3 −2 −1−2 1

3

xyz

=

3−7−2

⇓


連立一次方程式 1

−2 1−1 2 1

pqr

=

3−7−2

3 −2 −1

−2 13

xyz

=

pqr



−2 1−1 2 1

pqr

=

3−7−2

3 −2 −1

−2 13

xyz

=

pqr

⇓

p = 3

q = −7− (−2)p = −1

r = −2− (−1)p − 2q = 3



−2 1−1 2 1

3−13

=

3−7−2

3 −2 −1

−2 13

xyz

=

3−13

⇓

3z = 3 ⇒ z = 1

−2y = −1− z = −2 ⇒ y = 1

3x = 3− (−2)y − (−1)z = 6 ⇒ x = 2



−2 1−1 2 1

3−13

=

3−7−2

3 −2 −1

−2 13

211

=

3−13

⇓

3z = 3 ⇒ z = 1

−2y = −1− z = −2 ⇒ y = 1

3x = 3− (−2)y − (−1)z = 6 ⇒ x = 2


問題

2. 以下の行列の LU分解を求めよ

(1)

[3 16 4

](2)

[−1 11 −2

]

(3)

[1 11 1

](4)

1 −1 1−1 2 −21 −2 3

(5)

[1/4 1/105/2 6/5

](6)

1 −1/2 2−1/2 5/4 −2

2 −2 6


MATLAB>> A = [ 1, -1/2, 2; -1/2, 5/4, -2; 2, -2, 6 ]

A =

1.0000 -0.5000 2.0000

-0.5000 1.2500 -2.0000

2.0000 -2.0000 6.0000

>> [L,U,P] = lu(A)

L =

1.0000 0 0

-0.2500 1.0000 0

0.5000 0.6667 1.0000

U =

2.0000 -2.0000 6.0000

0 0.7500 -0.5000

0 0 -0.6667


MATLABP =

0 0 1

0 1 0

1 0 0

>> P*A

ans =

2.0000 -2.0000 6.0000

-0.5000 1.2500 -2.0000

1.0000 -0.5000 2.0000

>> L*U

ans =

2.0000 -2.0000 6.0000

-0.5000 1.2500 -2.0000

1.0000 -0.5000 2.0000


MATLAB>> A

A =

1.0000 -0.5000 2.0000

-0.5000 1.2500 -2.0000

2.0000 -2.0000 6.0000

>> P’*L*U

ans =

1.0000 -0.5000 2.0000

-0.5000 1.2500 -2.0000

2.0000 -2.0000 6.0000

PA = LU

A = PTLU


まとめ

表記スカラー，列ベクトルと行ベクトル，行列

特徴的な行列単位行列，対角行列，下三角行列，上三角行列，置換行列

連立一次方程式係数行列が単位行列，対角行列の場合

係数行列が下三角行列，上三角行列の場合

LU分解LU分解の計算

LU分解を用いて連立一次方程式を解く


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