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Prof. Fernando Cobeño Arlegui Alum. Gloria Saavedra Chávez

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Matemáticas II

LA CICLOIDE

UNIVERSIDAD DE LA CORUÑA

INGENIERIA DE DISEÑO INDUSTRIAL Y DEL PRODUCTO

MATEMATICAS II

LA CICLOIDE

PROFESOR: Fernando Coveño Arlegui

ALUMNA: Gloria Saavedra Chávez

Abril, 2014

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Matemáticas II

LA CICLOIDE

1. INTRODUCCIÓN

Dentro de las curvas y su representación, la Cicloide es una de las más famosas en la

historia de las matemáticas, y una de las estudiadas en la presente asignatura.

Esta curva está presente en los puentes, relojes, péndulos y toboganes. También en

la naturaleza y en el diseño.

Observar su construcción al rodar la bicicleta por la noche (pues en una de sus

ruedas lleva una luz); me demuestra que empiezo a apreciar la belleza de las

ecuaciones.

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LA CICLOIDE

LA CICLOIDE

1. HISTORIA

La cicloide, es una curva particular, que fue estudiada por matemáticos importantes,

en todas las épocas. En 1950, Galileo Galilei la descubrió y le dio su nombre, al

encontrar que era el mejor de los perfiles posibles para construir los arcos de los

puentes; también desarrollo junto a su alumno Viviani un método de construcción detangentes.

Pero sería Pascal quien realizó el estudio exhaustivo de sus propiedades y las dio a

conocer en 1659 con “Historia de la cicloide”, a partir de entonces sabios como

Huygens, Newton, los hermanos Bernouilli y Leibnitz estudiaron las aplicaciones

mecánicas de la misma.

En 1696 Johann Bernoulli anunció a la comunidad matemática la soluciónal problema de la braquistocrona (curva que sigue el descenso más rápido cuando

existe gravedad y que es objeto de estudio en el cálculo de variaciones), demostrando

que la solución era una cicloide.

Por las diversas querellas que provoco entre sus estudiosos se la conoce como la

"Helena" de los geómetras. (1)

1 De: La garra del león. Marcelo Dos Santos http://axxon.com.ar/rev/127/c-127Divulgacion.htm

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2. DEFINICION

Cicloide es una curva descrita por un punto fijo “P” de una circunferencia que ruedasin deslizar a lo largo de una recta.(2)

La cicloide, generada por el rodamiento de una circunferencia

3. Calculo de las ecuaciones paramétricas

De la fig. 02 vemos que la distancia recorrida OA=arcAP, Luego

OA=l

R

P(x) = R. l – R.sen(ᴨ-l)

P(y) = R + R.cos(ᴨ-l)Operando obtenemos

,para todol

que pertenece (-oo,oo)

3.1 Calculo del ciclo de repetición.

De la fig.03, observamos que se repite para y=o, R(1- cosl)= 0, por lo tanto

cumple para l= 0,2ᴨ,4ᴨ,etc. Si reemplazamos en x, comprobamos que el ciclo se

repite cada 2ᴨ

R.2 Capitulo 1- Geometría Diferencial. Antonio Lopez de la Rica – Agustín De La Villa Cuenca.

x= R(l – senl)

y= R( – cosl)

z= 0

Datos previos:La recta es el eje OXLa circunferencia está situada en el planoOXYEl radio = RP inicial esta en el origen.

Fig.01

Fig. 02

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Fig.03

3.2 Calculo de la longitud del arco que describe.

La longitud de arco de la cicloide es igual a 4 veces el diámetro del círculo generador u 8veces su radio. (fig04). (l=t, b=R)

Fig.04Reemplazando,

3.3 Calculo del área bajo el arco que describe.

El primer arco de la cicloide se produce cuando los valores de l están entre 0 y , yaque el circulo generador necesita dar una vuelta completa para trazarlo (Figura 3). Luegoel área bajo un arco de la cicloide está dada por:. (fig05). (l=t, b=R)

Fig.05

Reemplazando,

Es decir tres veces el área del circulo generador.

L= 8R

A= 3.ᴨR

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3.3 Particularidades

La normal a la tangente en cualquier punto P, pasa por el punto de contacto entre elcirculo generador y la directriz.

La envolvente de la cicloide es unacicloide desplazada

VARIANTES SEGÚN LA UBICACIÓN DEL PUNTO “P”

Si el punto “P”, es exterior a la circunferencia que rueda sin deslizar. (Pero unidorígidamente a ella) se llama CICLOIDE ALARGADA (C>1)

Si el punto “P”, es interior a la circunferencia que rueda sin deslizar. (Pero unidorígidamente a ella) se llama CICLOIDE RECORTADA (C<1)

(pR,R+c) (3pR,R+c) (5pR,R+c)

R=Radio de la circunferenciac= la distancia entre el punto P y el centro de la circunferencia.

x= R(l – c.senl)

y= R( – c.cosl)z= 0

donde:c > 1 Cicloide alargada.c = 1 Cicloide natural.c < 1 Cicloide recortada.

YR+c

(pR,R+c) (3pR,R+c) (5pR,R+c)Y

R+c

l=2p l=4p(2pR,R-c) (4pR,R-c)

R-c

l=2p l=4p(2pR,R-c (4pR,R-c

R-c

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4. EPICICLOIDES

Se construyen al rodar sin deslizar un punto “P”, contenido en un círculo de radio r, sobre

otro circulo de radio R.

En las Epicicloides, ruedan por el exterior.

4.1 Calculo de las ecuaciones paramétricas

P(x) = (R+r). CosΦ + r.Cosg =(R+r). CosΦ + r.Cos(p-(a+Φ))

P(y) = (R+r). SenΦ - r.Seng =(R+r). SenΦ - r.Sen(p-(a+Φ))

Operando obtenemos

Cuando R/r=k es un número racional, las epicicloides son curvas algebraicas. Ejemplos

Datos previos:

Los radios son R,r.

OP = OA + AP

En el punto A, a+g+Φ=p

g=p-(a+Φ)

Arco que recorren RΦ=ra

a=RΦ/r

a+Φ=Φ(r+R)/r

Φ

x= (R+r). CosΦ - r.Cos(Φ R+r)/r)

y= = (R+r). SenΦ - r.Sen(Φ R+r)/r)

z= 0

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LA CICLOIDE

Si k=1 R=r, tenemos una CARDIOIDESi k=2 R=2r, tenemos una NEFROIDE

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4.2 VARIANTES SEGÚN LA UBICACIÓN DEL PUNTO “P”

Si el punto “P”, es exterior a la circunferencia que rueda sin deslizar. (Pero unidorígidamente a ella) se llama EPICICLOIDE ALARGADA (C>r)

Si el punto “P”, es interior a la circunferencia que rueda sin deslizar. (Pero unidorígidamente a ella) se llama EPICICLOIDE RECORTADA (C<r)


x= (R+r). CosΦ - c.Cos(Φ R+r)/r)

y= = (R+r). SenΦ - c.Sen(Φ R+r)/r)z= 0

donde:c > r Epicicloide alargada.c = r Epicicloide natural.c < r Epicicloide recortada.

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5. HIPOCICLOIDES

Se construyen al rodar sin deslizar un punto “P”, contenido en un círculo de radio r,dentro de otro circulo de radio R.

5.1 Calculo de las ecuaciones paramétricas

P(x) = (R-r). CosΦ + r.Cosg =(R-r). CosΦ + r.Cos(a-Φ)

P(y) = (R-r). SenΦ - r.Seng =(R-r). SenΦ - r.Sen(a-Φ)

Operando obtenemos

Datos previos:

Los radios son R,r.

OP = OA - AP

En el punto A, a=g+Φ g=a-Φ

Arco que recorren RΦ=ra

a=RΦ/r

a-Φ=Φ(R-r)/r

Φ

x= (R-r). CosΦ

r.Cos(Φ R-r)/r)

y= = (R-r). SenΦ - r.Sen(Φ R-r)/r)

z= 0

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Cuando R/r=k es un número racional, las epicicloides son curvas algebraicas. Ejemplos

Si k=4 R=4r, tenemos una ASTROIDE

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LA CICLOIDE

5.2 VARIANTES SEGÚN LA UBICACIÓN DEL PUNTO “P”

Si el punto “P”, es exterior a la circunferencia que rueda sin deslizar. (Pero unidorígidamente a ella) se llama HIPOCICLOIDE ALARGADA (C>r)

Si el punto “P”, es interior a la circunferencia que rueda sin deslizar. (Pero unidorígidamente a ella) se llama HIPOCICLOIDE RECORTADA (C<r)


x= (R-r). CosΦ + c.Cos(Φ R-r)/r)

y= = (R-r). SenΦ - c.Sen(Φ R-r)/r)z= 0

donde:c > r Hipocicloide alargada.c = r Hipocicloide natural.c < r Hipocicloide recortada.

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6.0 CICLOIDES ESPECIALES

Al abordar el presente estudio, me encontré con unas cicloide muy especial:

La braquistocrona, que es un segmento de la cicloide invertida, y que es la curva queproporciona la trayectoria de un cuerpo que cae libremente entre dos puntos cualesquieraen un tiempo mínimo. Esta surgió como solución a esta búsqueda.

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Fuentes de informaciónApuntes de Clase

Bibliografía

GEOMETRÍA DIFERENCIAL. Antonio Lopez de la Rica & Agustín De La VillaCuenca. Editorial CLAGSA. Madrid. Paginas 1-2-14 . ISBN-10: 8492184736

EL LIBRO DE LAS CURVAS. Pablo Olalquiaga Bescos & Alfonso OlalquiagaBescos, Fundacion ESTEYCO, 2005 ISBN 9788493355302

Webgrafía.Curvas con historia: de las cónicas a las ecuaciones de las flores. Antonio Pérez Sanz -IES Salvador Dalí http://platea.cnice.mecd.es/~aperez4

La garra del león . Marcelo Dos Santos (especial para Axxón)http://axxon.com.ar/rev/127/c-127Divulgacion.htm

TEMAS DE CÁLCULO INTEGRAL - La Gran Belleza De Las Trocoides . AquilesPáramo Fonseca

http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Trocoides/paginas/introduccion.htm#cap1

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