Chuyên đề Đại số lớp 9

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu 1

Chương 1: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT

I. Biến đổi đồng nhất (2 tuần) 1. Biến đổi nguyên

Bài 1. Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng

a) a3 + b3 + c3 = 3abc

b) 2(a4+ b4+ c4) = (a2 + b2 + c2)2

Bài 2. Chứng minh các hằng đẳng thức sau

a) (a2+b2)(c2+d2) = (ac+bd)2 +(ad-bc)2 b) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

Bài 3. Chứng minh rằng nếu các số a, b, c thỏa mãn

4 44 4 4 4a b a b c d c d thì 2 22 2 2 2a b a b c d c d

Bài 4. Cho 3 2 3 23 19, 3 98a ab b a b . Tính 2 2P a b

Bài 5. (PTNK 2007 – 2008 AB) Cho a, b, là hai số thoả mãn điều kiện 2 2 2 23 2 2 5 7 0a ab b a b a ab b a b . Chứng tỏ rằng 12 15 0ab a b

Bài 6. (PTNK 1999 – 2000 CT) Khai triển biểu thức 44 1n n thành dạng 2K + 1 và phân tích K thành tích các thừa số.

Bài 7. (PTNK 1999 – 2000 CT)

a) Chứng minh đẳng thức max , ,x y x y x y x y R

b) Chứng minh đẳng thức 2 2 1 1 14 max , ,a b a b a b a bab ab c ab ab c a b c

, , 0a b c

Trong đó max là kí hiệu số lớn nhất trong các số đi kèm

Bài 8. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho đa thức x3n+1 + x2n + 1 chia hết cho đa thức x2 + x + 1.

2. Biến đổi hữu tỷ

Bài 9. Cho xyz = 1. Chứng minh rằng

11

11

11

1

zxzyzyxyx

Chuyên đề Đại số lớp 9

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu 2

Bài 10.(PTCNK 2009 CT) Cho , , ,a b c d là các số thực thỏa mãn điều kiện:

, . 03

a c a c a cb d b d

. Chứng minh rằng: 2 2b d .

Bài 11 (PTNK 2002 CT) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện

a

cc

bb

a 111

a) Cho a = 1, hãy tìm b, c.

b) Chứng minh rằng nếu a, b, c đôi một khác nhau thì a2b2c2 = 1.

c) Chứng minh rằng nếu a, b, c dương thì a = b = c.

Bài 12

a) Cho a, b, c thoả 0 và 0abc ab bc ca . Tính a b b c c aP

abc

.

b) Cho a, b, c thoả 0a b b c c a và 2 2 2 2 2 2a b c a b c

a b b c c a b c c a a b

.

Chứng minh rằng a = b= c.

Bài 13. Cho x > 0 thỏa điều kiện 22

1 7xx

. Tính giá trị của biểu thức: 55

1A xx

.

Bài 14. Cho a, b, x, y là các số thực thỏa mãn 2 2 1x y và 4 4 1x y

a b a b

. Chứng

minh rằng

2006 2006

10031003 10032x y

a b a b

.

Bài 15. Cho a, b, c thỏa b c và 2 2

2 2ac b bd c k

a b c b c d

.

Chứng minh rằng ad bcka b c d

.

Bài 16. Cho 3 số a, b, c đôi một khác nhau và khác 0 thỏa điều kiện: a + b + c = 0.

Chứng minh rằng 9a b c b c c a a bb c c a a b a b c

Bài 17. Đơn giản biểu thức

Chuyên đề Đại số lớp 9

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu 3

3 4 53 3 2 2

1 1 1 1 1 1a b a b a ba b a b a b

3. Biến đổi vô tỷ

Bài 18(PTNK 2005 CT) Cho a, b >0, c 0. Chứng minh rằng

cbcabacba

0111

Bài 19. Chứng minh các đẳng thức sau:

3 3

3 33 3 3

3 3 3 3 3

) 2 5 2 5 1

) 20 2 25 3 5 4

1 2 4) 2 19 9 9

a

b

c

Bài 20.Chứng minh rằng các số sau là số nguyên:

a) 2 3 5 3 48

6 2A

b) 3 348 481 19 9

Bài 21. Cho biểu thức 1 1 2:11 1

aKaa a a a

a) Rút gọn K.

b) Tính giá trị của K khi 3 2 2a .

c) Tìm giá trị của a sao cho K < 0.

Bài 21. Cho biểu thức

4 8 1 2:42 2

x x xPxx x x x

a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị của x để P = -1.

Chuyên đề Đại số lớp 9

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu 4

c) Tìm m để với giá trị x > 2 ta có 3 1m x P x .

d) Bài 22. Cho x là số nguyên. Chứng minh rằng nếu x không phải là số chính phương

thì x là số vô tỉ.

Bài 23. Cho biểu thức

2

4 4 4 48 161

x x x xA

x x

Rút gọn A rồi tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên.

Bài 24. Chứng minh rằng số:

2 2 3 6 3 2 3

là một nghiệm của phương trình 4 216 32 0x x .

Bài 25. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:

3 6

4

2 3 7 4 3

9 4 5 2 5

xA xx

.

Bài 26. Tính giá trị của biều thức 3 3 3 2004P x y x y biết rằng

3 3 3 33 2 2 3 2 2 ; 17 12 2 17 12 2x y .

Bài 27. Chứng minh rằng nếu:

3 3 3

1 1 1 1

ax by cz

x y z

thì 2 2 2 3 3 33 ax by cz a b c .

Bài 28. Chứng minh rằng nếu 3 3 3 3a b c a b c thì với mọi số nguyên dương

lẻ n ta có n n n na b c a b c .

Bài 29. Cho 2 21 1xy x y a . Tính 2 21 1S x y y x .

Bài 30. Tìm giá trị của biểu thức:

Chuyên đề Đại số lớp 9

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu 5

a) 1 1)1 1

ax bxa f xax bx

với 1 2a bx

a b

.

1) ,1

x yb P x yx y

với 1 ;1 1

a ab ax yab ab

.

Bài 31. Cho a > 0 và 24 2 2 0a a . Chứng minh rằng : 4 2

1 21

aa a a

Bài 32. Cho biểu thức

3 2 2

3 2 2

3 1 4 2

3 1 4 2

x x x xA

x x x x

. Rút gọn A.

Bài 33. Cho biểu thức

3 2 1 1:1 1 12 1

a a a aPa a aa a

a) Rút gọn biểu thức.

b) Tìm a để 1 1 18

aP

.

Toán suy luận. Người ta xếp các số 1, 2, 3, …, 9 vào các ô của hình vuông 3 x 3

sao cho tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo đều bằng nhau a) Hãy tìm một cách xếp như vậy. b) Chứng minh rằng với mọi cách xếp như vậy, số được xếp ở ô trung tâm của hình

vuông luôn có giá trị không đổi.