chƯƠng 3 phốinhịthức (binomial) · 7/19/2016 1 bài giảngxác suấtthốngkê 2015...

7/19/2016

1

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 1

CHƯƠNG 3

Nhị thức

Chuẩn

Khi bình phương

Student

Fisher

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Phân phối Nhị thức (Binomial)

Định nghĩa: bnn X gọi là phân phối theoqui luật Nhị thức nếu

• X={0,1,2,3…n}

• Với xác suất tương ứng là:

• Kí hiệu: X~B(n,p)

2

k k n k

nP X k C p q


Quá trình Bernoulli• Dãy n phép thử độc lập

• Trong mỗi phép thử bc A xuất hiện với xácsuất không đổi.

3

p P A


Mô hình Nhị thức

Đặt X là số lần bc A xuất hiện trong quá trìnhBernoulli gồm n phép thử.

Khi đó: X~B(n,p)

Ta thường gặp phân phối nhị thức khi:

• Điều tra tỷ lệ hỏng trong một dây chuyền sảnxuất.

• Đo lường kiểm soát chất lượng và lấy mẫu

4


Tham số đặc trưng

• Cho bnn X~B(n,p). Ta có:

5

1 1 1

i E X np

ii VarX npq

iii n p ModX n p

)

)

)


Ví dụ 1

• Xác suất để 1 bệnh nhân được chữa khỏi khiđiều trị một bệnh hiếm gặp về máu là 0,4. Nếu15 người đồng ý chữa trị thì xác suất:

• A) Có ít nhất 10 người khỏi

• B) Có từ 3 đến 8 người khỏi

• C) Có đúng 5 người khỏi

Là bao nhiêu?

6

7/19/2016

2


Ví dụ 2• Một chuỗi cửa hàng bán lẻ lớn mua một loại thiết

bị điện tử về để bán. Nhà sản xuất cho biết tỷ lệ bịhư hỏng của loại thiết bị này là 3%.

a) Bộ phận kiểm tra lấy ngẫu nhiên 20 thiết bị từ lôhàng được giao. Xác suất có ít nhất 1 thiết bịhỏng là bao nhiêu?

b) Giả sử cửa hàng nhập 10 lô hàng 1 tháng và vớimỗi lô hàng đều được kiểm tra ngẫu nhiên 20thiết bị. Xác suất có đúng 3 lô hàng có chứa ítnhất 1 thiết bị hỏng trong số 20 thiết bị đượckiểm tra?

7 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 3

• Có giả thiết cho rằng 30% các giếng nước ởvùng nông thôn có tạp chất. Để có thể tìm hiểukỹ hơn người ta đi xét nghiệm một số giếng (vìkhông đủ tiền xét nghiệm hết).

• A) Giả sử giả thiết trên đúng, tính xác suất cóđúng 3 giếng có tạp chất.

• B) Xác suất có nhiều hơn 3 giếng có tạp chất?

• C) Giả sử trong 10 giếng đã kiểm tra thì có 6giếng có tạp chất. Có thể kết luận gì về giả thiếttrên?

8


Tính chất

Cho X1, X2 là hai bnn độc lập.

Giả sử:

Khi đó:

Hệ quả: Tổng của n biến ngẫu nhiên độc lập, cócùng pp A(p) là bnn có pp B(n,p)

9

1 1 2 2pX B pn X B n, ; ,

1 2 1 2X X B n pn ,

1

,n

i ii

X A p Z X B n p


Ví dụ 4Tín hiệu thông tin được phát đi 3 lần độc lập

nhau. Xác suất thu được mỗi lần là 0,4. Tìm xácsuất:

a) Nguồn thu nhận được đúng 2 lần.

b) Nguồn thu nhận được thông tin đó.

c) Tìm giá trị chắc chắn nhất của số lần thànhcông.

d) Nếu muốn xác suất thu được tin ≥0,9 thìphải phát đi bao nhiêu lần.

10


Phân phối chuẩn N(, 2)• Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối chuẩn

với tham số và 2 nếu hàm mật độ của nócó dạng:

• Ký hiệu: X ~ N(, 2)• Đặc biệt: X~N(0;1) gọi là pp chuẩn tắc

(standard normal distribution)

11

2

2

21

)2

(

x

f x e


Đồ thị hàm mật độ

12

;Med Mod

• 68.26% thuộc (-σ; +σ)

• 95.44% thuộc (-2σ; +2σ)

• 99.73% thuộc (-3σ; +3σ).

• 99.99% thuộc (-4σ; +4σ).

2

2

21

)2

(

x

f x e

7/19/2016

3


Chú ý

• Đồ thị dạng hình chuông (bell shaped); có 2điểm uốn tại

• Đồ thị đối xứng quanh

• Diện tích dưới đường cong chuẩn là 1

• Đường cong nằm hoàn toàn trên Ox

• Giới hạn tại 2 đuôi là 0

• Đạt giá trị cực đại tại x=

• Hình dạng của đồ thị phụ thuộc và


Tính chất

14

2

2

Neu ~ , thì:

)

)

X N

i E X Var X

ii ModX MedX


Ví dụ


Biến ngẫu nhiên chuẩn hóa

• Đặt:

• Ta có:

• Do đó:

• Hàm mật độ: Hàm Laplace:

16

XZ

0; 1E Z V Z

~ 0;1Z N

2 /21

2

xf x e

2 /2

0

1

2

z

xz e dx


Biến ngẫu nhiên chuẩn hóa

17

2 /21

2

xf x e

2 /2

0

1

2

z

xz e dx

z


Tính chất

• 𝜑 𝑥 là hàm chẵn, đối xứng qua Oy;

• 𝜑 𝑥 có đỉnh là (0; 1/ 2𝜋)

• Φ 𝑧 là hàm lẻ, đối xứng qua 0.

18

)

) 0,5 0,5

)

i x x

ii

iii P a Z b b a

7/19/2016

4


Xác suất của bnn pp chuẩn

• Cho X là bnn về chỉ số IQ của người VN

• Giả sử X~N(100; 162).

• Tìm xác suất chọn nn một người VN thì ngườiđó có IQ dưới 90.

• Tìm tỷ lệ người VN có IQ dưới 90


Dùng hàm mật độ

• Xác suất cần tìm:

20

2

2

100190

2 161

90 ???16 2

x

P X e dx


Xác suất N(, 2)

• Ta tìm xs của X ~ N(, 2) thông qua N(0;1)

• Với:

21

a X bP a X b P P a Z b

0 1Z N ;


Công thức xác suất của N(μ;σ2)

• Giá trị của tích phân Laplace dò trong bảng Phụlục 1a.

• Xác định cậnchuẩn hóacận trên – cận dưới.

22

1.

2. 0,5

3. 0,5

b aP a X b

a aP X a

b bP X b


Ví dụ

• Cho X~N(3,1) và Y~N(4,2) độc lập. Tìm các xácsuất X>2Y.

• Giải.

23

~ 3;12 ~ 1.3 2.4;1.1 4.2

~ 4;2

0 52 2 0 0,5

3

0,5 1,67 0,0475

X NX Y N

Y N

P X Y P X Y


Hàm Laplace

24

7/19/2016

5


Quy tắc k sigma

25

1. 2 1 0,6826

2. 2 2 2 0,9544

3. 3 2 3 0,9974

4. 4 2 4 1

2

P X

P

X

P X

P

X

P X


Giá trị tới hạn Uα

• Giá trị tới hạn chuẩn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) là sốthực ký hiệu Uα sao cho với Z~N(0;1) thì:

• Chú ý:

26

P Z U

0 1

0,5 10

U U

U U U


Cách dùng bảng giá trị tới hạn


Tính chất pp chuẩn

• Nếu a, b là các số thực thì:

• Tổ hợp tuyến tính của các bnn độc lập có phânphối chuẩn là một bnn cũng có pp chuẩn.

28

2

1 1 1

1 22

2 2 2

;?;?

;

X NZ aX bX N

X N

22; ; X N Z aX b N a b a


Ví dụ 1

1. Cho X là bnn có phân phối chuẩn với E(X)=10và P(10<X<20)=0,3. Tính xác suất P(0<X<15)?

2. Giả sử thời gian khách phải chờ để được phụcvụ tại một cửa hàng là bnn X, biết X~N(4,5;1,21)

a) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 đến 5phút?

b) Tìm t biết xác suất khách phải chờ không quá tlà không quá 5%?


Ví dụ 2

• Tuổi thọ một loại máy lạnh A là bnn X có phânphối N(10; 6,25). Khi bán một máy thì lời 1,4triệu đồng nhưng nếu máy lạnh phải bảo hànhthì lỗ 1,8 triệu đồng. Vậy để có tiền lãi trungbình khi bán loại máy lạnh này là 0,9 triệu đồngthì cần qui định thời gian bảo hành là bao lâu?

30

7/19/2016

6


Xấp xỉ pp chuẩn

31

2~ ,X N ~ ,X B n p n rất lớn

2;E X np V X npq

0,1<p<0,9

5; 5

30

0,1 0,9

np nq

n

p

20npq

1 10,3

1

5

p p

p p n

n


Công thức xấp xỉ 1

• Ta có:

32

1

1n kk k

n

k npP X k C p p

npq npq

2 11 2

k np k npP k X k

npq npq


Công thức xấp xỉ 2

• Ta có:

33

1 2 1 2

2 1

0,5 0,5

0,5 0,5

0,5 0,5

0,5 0,5

P X k P k X k

k np k np

npq npq

P k X k P k X k

k np k np

npq npq


Ví dụ 3• Khảo sát một lô thuốc viên, trọng lượng trung bình

của một viên thuốc là 252,6 mg và có độ lệchchuẩn 4,2 mg. Giả sử trọng lượng pp theo quy luậtchuẩn.

• A. Tính tỷ lệ viên thuốc có trọng lượng lớn hơn 260mg.

• B. Tính trọng lượng x0 sao cho 30% viên thuốc nhẹhơn x0.

• C. Viên thuốc đạt tiêu chuẩn phải có trọng lượngxung quanh trung bình với độ lệch tối đa 5%. Tínhtỷ lệ viên thuốc đúng tiêu chuẩn của lô thuốc đượckhảo sát.

34


Ví dụ 4

• Một chi tiết được tiện với bán kính qui định làR=1cm. Giả sử bán kính của các chi tiết có phânphối chuẩn. Tìm độ lệch tiêu chuẩn của bánkính các chi tiết biết với xác suất 90%, bán kínhcác chi tiết sai lệch so với qui định không quá0,01cm.


Phân phối Khi bình phương

• Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phốiN(0,1).

• Khi đó:

36

2 2

1

~n

i

i

X n

~ 0,1iX N

7/19/2016

7


Tính chất

• Nếu X~χ2(n) thì

• Đồ thị:

37

2 ; arE X n V X n


Đồ thị hàm mật độ Khi BP• Đồ thị hàm mật độ khi n=10 và n=20

38


Đồ thị Chi(50) và Chi(450)


Tính chất X~2(n)

40

2 2

1 1 2 2

2

1 2 1 2

) Neu ~ ; ~ va doc lap thì:

X ~

a X n X n

X n n

2) Neu ~ thì ,2

0,12

F

n

F

n

b X n X N n n

X nhay N

n


Giá trị tới hạn 𝜒2α(n)

• Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) là số thực kýhiệu 𝜒2

α(n) sao cho với Z~ 𝜒2(n) thì:

41

2P Z n


Bảng giá trị tới hạn Khi bình phương

42

7/19/2016

8


Ví dụ

• Cho

• Tìm các xác suất sau:

43

2 20Z

) 0,95

) 8,2604 ?

) 10,8508 31,4104 ?

a P Z a

b P Z

c P X


Phân phối Student

• Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập.

• Khi đó:

44

2~ 0,1 ; ~X N Y n

~ X X n

T t nY Y

n


Tính chất

45

Neu ~ thì:

) 0 1 ;

) 2 .2

) 0,1F

n

T t n

a E T n

nb V T n

n

c T N


So sánh với N(0,1)

46


Đồ thị hàm mật độ t(5) và t(20)


Giá trị tới hạn 𝑡α(n)

• Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) là số thực kýhiệu 𝑡α

(n) sao cho với Z~ 𝑇(n) thì:

48

nP Z t

0 1

0,5 10

n n

n n n

n n

t t

t t t

t U

7/19/2016

9


Bảng giá trị tới hạn Student


Ví dụ 1

• Cho


50

15Z T

) 0,025

) 2,4899 ?

) 2,0343 2,9467 ?

) 0,975

a P Z a

b P Z

c P X

d P Z b


Ví dụ 2

• Cho


51

48Z T

) 2,7045 ?

) 1,7232 2,2990 ?

) 0,025

a P Z

b P X

d P Z b


Phân phối Fisher - Snedecor• Ta định nghĩa thông qua phân phối Khi bình

phương.

• Xét hai biến ngẫu nhiên độc lập.

• Đặt:

• Ta nói F có phân phối Fisher – Snedecor với (n,m)bậc tự do.

52

2 2~ ; ~X n Y m

/

~ ;/

X n mXF F n m

Y m nY


Đồ thị hàm mật độ• Gần giống với

đồ thị phânphối Khi bìnhphương.



54

7/19/2016

10



55

, 1,0F

mn

F n m N


Tính chất

• Cho X~F(n,m) thì:

56

2

2

, 22

2 2, 4

2 4

mE X m

m

m n mV X m

n m m

, 1,0F

mn

F n m N


Giá trị tới hạn phân phối Fisher

• Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) là số thực kýhiệu 𝐹α

(n,m) hay 𝑓α(n,m) sao cho với F~ 𝐹(n,m) thì:

• Tính chất:

57

,n mP F f

𝑓1−𝛼𝑛,𝑚 =

1

𝑓𝛼𝑚,𝑛

,n mf


Bảng giá trị tới hạn Fisher

58


Ví dụ

• Cho F~F(20; 30). Tìm a, b, c sao cho:

59

) 0,05

) 0,01

) 0,95

a P F a

b P F b

a P F c

chƯƠng 3 phốinhịthức (binomial) · 7/19/2016 1 bài giảngxác suấtthốngkê 2015...

Documents