chuong 3

Ch��ng 3 M�T S� PHÂN PH�I TH��NG DÙNG 67

Chương 3

Một số phân phối xác suất thường dùng

1. P HÂN PHỐI NHỊ THỨC

1.1. Định nghĩa. Người ta nói rằng biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối nhị thức, với các tham số n và p (n nguyên dương và 0 < p < 1 ), nếu X có

Im(X) = {0, 1, 2,…, n}; và với mọi k ∈ {0, 1, 2,…, n},

P( ) = C (1 )k k n knX k p p

−= −

Ký hiệu: X ~ B (n;p).

Phân phối B(1,p) còn ñược gọi là Phân phối Bernoulli với tham số p, ký

hiệu: B (p).

Nếu Z ~ B(p) thì Im(Z) = {0, 1}.

P(Z = 0) = 1 − p và P(Z = 1) = p.

Do ñó,

E(Z) = p và D(Z) = p(1 − p).

1.2. Định lý. Cho hai BNN X và Y ñộc lập. Nếu X ~ B(n;p) và Y ~

B(m;p) thì BNN Z = X + Y tuân theo luật phân phối B(n + m; p).

1.3. Hệ quả.

(a) Nếu các biến ngẫu nhiên X1, X2, . . . , Xn ñộc lập, cùng có phân phối

B(p), thì biến ngẫu nhiên X = X1 + X2 +....+ Xn có phân phối B(n; p).

(b) Giả sử X ~ B(n,p). Chúng ta có thể xem X = X1 + X2 +....+ Xn,

trong ñó, các biến ngẫu nhiên Xk (k = 1, ..., n) ñộc lập và có phân phối B(p).

Vậy,

E(X) = np và D(X) = np(1 −−−− p).


Ngoài ra, Mod(X) = [(n + 1)p] (do 1.6.2)

Mô hình. Trong quá trình B(n;p), nếu X là biến ngẫu nhiên chỉ số thành

công thì X ~ B(n; p).

1.4. Thí dụ. Một công nhân quản lý 12 máy dệt. Các máy dệt hoạt ñộng

ñộc lập nhau, và xác suất ñể mỗi máy, trong ca làm việc, cần sự chăm sóc của

công nhân (viết tắt là CCN) là 0,3.

(1) Tính xác suất ñể, trong ca làm việc, có

(a) 4 máy CCN

(b) từ 3 ñến 7 máy CCN

(2) Trung bình, trong ca làm việc, có bao nhiêu máy CCN?

(3) Trong ca làm việc, tìm số máy CCN nhiều khả năng nhất; tính xác suất tương ứng.

Giải.

Gọi X là BNN chỉ số máy CCN trong ca làm việc thì X ~ B(12; 0,3)

1212P( ) C (0,3) (0,7)k k k

X k−= = , k ∈ {0,1,2,…,12}

(1.a) Xác suất phải tính:

4 4 812P( 4) C (0,3) (0,7)X = = = 0,2311

(1.b) Xác suất phải tính:

7

=3

P(3 7) P( )

k

X X k≤ ≤ = =∑

= 0,2397 + 0,2311 + 0,1585 + 0,0792 + 0,0291

= 0,7376.

(2) Số máy CCN trung bình:

E(X) = 12 × 0,3 = 3,6.

(3) Số máy CCN nhiều khả năng nhất:

Mod(X) = [13 × 0,3] = 3.

Xác suất tương ứng: P(X = 3) = 0,2397.

Chú ý. Giả sử X ~ B (n; p). Khi số phép thử n khá lớn, việc tính các xác

suất P(X = k) gặp nhiều khó khăn. Ngoài ra, trong thực tế, chúng ta thường phải

tính xác suất của biến cố {α ≤ X ≤ β}:

P(α ≤ X ≤ β) = Pn(α) + Pn(α + 1) + ... + Pn(β)

Tổng trên gồm nhiều số hạng và việc tính trực tiếp tổng ñó quả là khó thực

hiện. Do ñó, người ta ñã tìm cách tính gần ñúng các xác suất trên khi số phép

thử n khá lớn. Chúng ta tìm hiểu cách tính gần ñúng phân phối nhị thức thông


qua các ñịnh lý mang tên các nhà toán học Siméon D. Poisson (1781 - 1840),

Abraham DeMoivre (1667 - 1745) và Pierre S. Laplace (1749 - 1827):

1.5. Định lý. ( De Moivre −−−− Laplace ñịa phương ).

Giả sử X ~ B (n, p). Đặt q = 1 − p, khi ñó:

2( )1 122

lim P ( ) .exp 0k np

npqnpqnX k

−

π→∞

= − − =

1.6. Định lý. ( De Moivre −−−− Laplace tích phân ).

Giả sử X ~ B(n, p). Đặt q = 1 − p, khi ñó với mọi số thực a và b (a < b):

2( )1 122

lim P ( ) . exp 0

bx np

npqnpqna

a X b dx−

π→∞

≤ ≤ − − =

∫

Chứng minh. ( Định lý 1.5):

Theo công thức Stirling; khi n lớn,

( )

2 .( ) ~

2 2 ( ) ( )

n n k n k

k k n k n k

n n e p qP X k

k k e n k n k e

− −

− − − −

π=

π π − −

= 1

( ) ( )( )2

k n kn np nq

k n k k n k

−

− −π

Đặt: k np

npqx

−= , chúng ta có:

1 ; 1k q n k p

x xnp np nq nq

−= + = − ;

k np npqx= + và n k nq npqx− = −

Vì ln(1 + t) ~ t − 2

2t (t → 0) nên:

Khi n lớn,

( )ln .ln 1k

qk

np npk x

− = − +

2

2~ ( )

q q

np npnp npq x x x

− + −

;

( )( )

ln ( ).ln 1n k

n k p

nq nqn k x

− −− = − − −


2

2~ ( )

p p

nq nqnq npq x x x

− − − −

Do ñó,

( ) ( )2

2lim ln

n kkxnp nq

k n kn

−

−→∞= −

và ( ) ( )2

2lim exp

k n kxnp nq

k n kn

−

−→∞

= −

Ngoài ra:

1( ) .

lim lim limn nk n k np nq npqn n n−→∞ →∞ →∞

= =

nên cuối cùng:

2 2

2

1 1 ( )( ) ~ exp exp

22 2

x k npP X k

npqnpq npq

−= − = − π π

hay:

2( )1 122

lim ( ) .exp 0k np

npqnpqnP X k

−

π→∞

= − − =

Phép chứng minh Định lý 1.6 ñược xem như bài tập. ■

1.7. Chú ý. Để ý hai hàm xác ñịnh trên � như sau:

(i) Hàm Gauss:

( )2

21

exp2

xx

= −

ϕϕϕϕππππ

với mọi x ∈ �

(ii) Hàm ΦΦΦΦ:

( )2

21

exp2

xtx dt

− ∞

= −

∫ΦΦΦΦ

ππππ với mọi x ∈ �

Từ kết quả của các ñịnh lý De Moivre - Laplace và sử dụng hai hàm ϕ và

Φ, chúng ta có công thức gần ñúng ñể tính các xác suất trong phân phối nhị thức:

Nếu X ~ B(n, p), với n lớn và p không quá gần 0 và không quá gần 1 ( n > 30, np ≥≥≥≥ 5 và n(1 −−−− p) ≥≥≥≥ 5 ), thì: ( q = 1 – p)

( )1

Pk np

X knpq npq

−= ≈

ϕϕϕϕ


2 11 2P( )

k np k npk X k

npq npq

− −≤ ≤ ≈ −

Φ ΦΦ ΦΦ ΦΦ Φ

Giá trị các hàm ϕ và Φ ñã ñược tính sẵn và trình bày, theo thứ tự, trên bảng

3 và bảng 4, ñể tiện việc tính toán.

Hai công thức gần ñúng trên ñược gọi là các công thức DeMoivre −−−− Laplace. Chúng cho phép chúng ta tính xấp xỉ xác suất luật nhị thức khá chính

xác khi n ñủ lớn và p không quá gần 0 và không quá gần 1.

Các số liệu sau ñây minh hoạ ñiều trên. Giả sử X ~ B(n; 0,5). Ký hiệu

Pn(k) và Gn(k) lần lượt là giá trị ñúng và giá trị gần ñúng của P(X = k), chúng ta

có:

n k Pn(k) Gn(k) Pn(k) − Gn(k) Pn(k) / Gn(k)

25

100

400

1156

15

55

210

595

0,09742

0,04847

0,024207

0,014236

0,09679

0,04839

0,024194

0,014234

0,00063

0,00008

0,000013

0,000002

1,0065

1,0017

1,0005

1,0001

1.8. Thí dụ. Người ta muốn lấy một số hạt lúa từ một kho lúa có tỉ lệ hạt

lép là 0,2 ñể kiểm tra. Biết rằng kho lúa có rất nhiều hạt.

(a) Phải lấy ít nhất bao nhiêu hạt lúa ñể xác suất có ít nhất một hạt lép

không bé hơn 95% ?

(b) Lấy ngẫu nhiên 100 hạt lúa, tính xác suất ñể trong ñó có 25 hạt lép; có

từ 10 ñến 40 hạt lép.

Giải.

(a) Gọi n là số hạt lúa cần lấy. Vì số hạt lúa trong kho rất lớn, nên các lần

lấy xem như ñộc lập. Xác suất ñể trong n hạt lúa lấy ra, không có hạt lép nào là

(0,8)n.

Theo giả thiết:

1 − (0,8)n ≥ 0,95 ⇔ (0,8)n ≤ 0,05 ⇔ ln (0,05)

ln (0,8)n≥

Vậy, phải lấy ít nhất 14 hạt lúa.

(b) Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số hạt lép trong mẫu thì X ~ B(n;p), với n

= 100 và p = 0,2. Vì n > 30, np = 20 > 5 và n(1 − p) = 80 > 5 nên chúng ta có

thể áp dụng các công thức gần ñúng DeMoivre − Laplace.

(i) Xác suất ñể có 25 hạt lép:

25 25 75100P( 25) C (0,2) (0,8) 0,04388X = = =


(ii) Xác suất ñể có từ 10 ñến 40 hạt lép:

P(10 ≤ X ≤ 40) ≈ 40 100 0,2 10 100 0,2

100 0,2 0,8 100 0,2 0,8

− × − ×

× × × ×

Φ − Φ

= (5) ( 2,5)Φ − Φ − = 1 (1 (2,5)) (2,5)− − Φ = Φ

P(10 ≤ X ≤ 40) ≈ 0,9938

1.9. Thí dụ. Cần xét nghiệm máu cho 5000 người ñể tìm dấu hiệu một

loại bệnh B tại một ñịa phương có tỉ lệ người mắc bệnh B theo thống kê là 10%.

Có 2 phương pháp:

1. Xét nghiệm từng người một.

2. Mỗi lần lấy máu một nhóm 10 người trộn lẫn vào nhau rồi xét nghiệm.

Nếu kết quả âm tính thì thông qua, nếu dương tính thì phải làm thêm 10 xét

nghiệm ñể xét nghiệm lại từng người một trong nhóm.

Hỏi phương pháp nào có lợi hơn, biết rằng mỗi xét nghiệm ñều tốn kém như

nhau và khả năng mắc bệnh của mỗi người ñộc lập nhau?

Giải.

Nếu dùng phương pháp (1) thì phải thực hiện 5000 xét nghiệm.

Bây giờ chúng ta xem phương pháp (2):

Đặt X chỉ số nhóm có kết quả dương tính thì X ~ B (500; 1 − (0,9)10 )

Đặt Y chỉ số xét nghiệm theo phương pháp (2) thì Y = 500 + 10X.

Số xét nghiệm trung bình theo phương pháp (2) là:

E(Y) = 500 + 10E(X) = 500 + 5000(1 − (0,9)10 ) ≈ 3757.

Vậy, áp dụng theo phương pháp (2) có lợi hơn.

2. PHÂN PHỐI SIÊU HÌNH HỌC

Người ta nói rằng biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối siêu hình học

(hay siêu bội) kích thước N, với các tham số nguyên dương T và n không lớn hơn

N nếu X có Im(X) = [max(0, -( - )],. . .,min( , )]n N T T n∩� , và với mọi k ∈

Im(X),

−−

= =C . C

CP( )

k n kT N T

nN

X k

Ký hiệu: X ~ H(N, T, n).

Kỳ vọng: E(X) = np;


Phương sai: D(X) = 1

−

−

N n

Nnpq (với = T

Np và q = 1 − p)

Chú ý: Khi N rất lớn so với n thì tỷ số = TN

p ñược xem như xác suất

cho thành công và tỷ số 1N

nN

−

− tiến ñến 1. Khi ñó, E(X) = np, D(X) = npq

và chúng ta có thể xem như X ~ B( ; )TN

n .

3. PHÂN PHỐI POISSON

3.1. Định nghĩa. Người ta nói rằng biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối

Poisson với tham số λ (λ > 0) nếu Im(X) = �, và với mọi k ∈ �,

−λλ= =!

P( ) .k

kX k e

Ký hiệu: X ~ Poisson(λλλλ)

Kỳ vọng:

0 1

e eE ( )

! ( 1)!

k k

k k

X kk k

−λ −λ+∞ +∞

= =

λ λ= =

−∑ ∑

1

1

e( 1)!

k

k k

−+∞−λ

=

λ= λ = λ

−∑

Phương sai : D(X) = λ (xem như bài tập)

Do ñó, chúng ta có thể viết: X ~ Poisson(µµµµ).

Mô hình: Giả sử chúng ta quan tâm ñến số lần xảy ra của một sự kiện A

trong một khoảng thời gian hoặc không gian liên tục có chiều dài w; với ñiều kiện

là số lần xảy ra trong những khoảng không giao nhau là ñộc lập nhau, và xác

suất xuất hiện A nhiều hơn một lần trong khoảng ñó là rất bé. Hơn nữa, “cường

ñộ” xuất hiện A là không thay ñổi, i.e. số lần xuất hiện trung bình của A trong một

khoảng chỉ phụ thuộc vào ñộ dài của khoảng ñó.

Với các ñiều kiện trên, nếu gọi X là BNN chỉ số lần xuất hiện A trong một

khoảng chiều dài w thì người ta chứng minh ñược rằng X tuân theo kuật phân

phối Poisson với tham số λ = mw, trong ñó m là một hằng số dương chỉ “cường

ñộ” xuất hiện của A (xem phần chứng minh trong giáo trình Xác suất – Thống kê

dùng cho các lớp chuyên ngành Toán của cùng tác giả).

Thí dụ, số cuộc ñiện thoại gọi ñến trong một phút tại một trạm nào ñó; số

lỗi trên một trang giấy trong một quyển sách dầy; số ñơn ñặt hàng gửi tới một cơ

sở trong một tháng; . . . .


Biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện nêu trên ñã ñược nhà toán học Simeon

D. Poisson nghiên cứu và hình thành phân phối Poisson.

Ngoài ra, phân phối Poisson còn ñược dùng ñể tính xấp xỉ phân phối nhị thức B(n;p) khi n lớn và p khá gần 0 hoặc gần 1, dựa vào ñịnh lý sau:

3.2. Định lý Poisson. Giả sử trong một dãy n phép thử ñộc lập, một biến

cố A xuất hiện với xác suất pn trong mỗi phép thử. Nếu khi n → ∞ mà pn → 0 sao

cho n.pn = λ (λ là một hằng số dương) thì với mọi k ∈ {0,1,2,…,n}, chúng ta có:

!lim C (1 ) λ− −λ

→ ∞− =

kk k n kn n n kn

p p e

Chứng minh.

( ) ( )( 1)( 2)...( 1)

!C (1 ) 1

k n kn n n n kk k n kn n n k n n

p p−− − − +− λ λ− = −

( )( ) ( ) ( )11 2!

1 1 ... 1 . 1k n kk

k n n n n

−−λ λ= − − − −

Do ñó,

!lim C (1 ) λ− −λ

→ ∞− =

kk k n kn n n kn

p p e

Hệ quả. Nếu X ~ B(n, p), với n > 30 và (np < 5 hay n(1 − p) < 5)), thì

chúng ta có thể xem như X ~ Poisson (np).

3.3. Định lý. Cho hai BNN X và Y ñộc lập. Nếu X ~ Poisson(µ) và Y ~

Poisson (λ) thì BNN X + Y ~ Poisson (µ + λ).

Chứng minh.

Với mọi k ∈ �,

0 0

( ) ( , ) ( ). ( )k k

i i

P X Y k P X i Y k i P X i P Y k i

= =

+ = = = = − = = = −∑ ∑

( )

( )

! ( )!0

!0

!

.

( )

i k ik

i k ii

ki i k iekk

i

kek

e e

C

−

− µ + λ

− µ + λ

µ−µ −λ λ−

=

−

=

=

= µ λ

= µ + λ

∑

∑

Vậy, X + Y ~ Poisson (µ + λ).

3.4. Thí dụ.


3.4.1. Một cơ sở sản xuất, trung bình trong một tuần, nhận ñược 4 ñơn

ñặt

hàng. Biết rằng số ñơn ñặt hàng X mà cơ sở nhận ñược trong một tuần là một

BNN có phân phối Poisson. Tính xác suất ñể cơ sở ñó

(a) nhận ñược hơn 5 ñơn ñặt hàng trong một tuần

(b) nhận ñược 6 ñơn ñặt hàng trong hai tuần liên tiếp

Giải.

(a) X ~ Poisson (4). Xác suất phải tính:

P(X > 5) = 1 − P(X ≤ 5)

= −

=

− ∑5

44

!0

1 ek

kk

= 1 − 0,7851 = 0,2149.

(b) Gọi Y là BNN chỉ số ñơn ñặt hàng của cơ sở trong hai tuần liên tiếp thì

Y ~ Poisson (8). Xác suất phải tính:

P(Y = 6) = 6 88

6!e− = 0,1221

3.4.2. Một xe tải vận chuyển 1000 chai rượu vào kho. Xác suất ñể mỗi chai

bị vỡ trong khi vận chuyển là 0,0035. Tính xác suất ñể sau khi vận chuyển, có 6

chai rượu bị vỡ; có từ 2 ñến 8 chai rượu bị vỡ. (giả sử rằng sự kiện các chai rượu

bị vỡ là ñộc lập nhau, do chất lượng riêng của mỗi chai)

Giải.

Gọi X là BNN chỉ số chai rượu bị vỡ sau khi vận chuyển, thì X ~ B(1000;

0,0035).

Xác suất ñể có 6 chai rượu bị vỡ:

6 6 9941000P( 6) (0,0035) (0,9965) 0,07709X C= = =

Tính gần ñúng:

Vì n = 1000 và n.p = 3,5 < 5, nên có thể xem: X ~ Poisson(3,5). Do ñó:

6(3,5) 3,56!

P( 6) 0,0771X e−= ≈ =

Xác suất ñể có từ 2 ñến 8 chai rượu bị vỡ

8(3,5) 3,5

!2

P(2 8)k

kk

X e−

=

≤ ≤ ≈ =∑ 0,8543


4. PHÂN PHỐI CHUẨN

4.1. Định nghĩa. Người ta nói rằng biến ngẫu nhiên liên tục X tuân theo

luật phân phối chuẩn với các tham số a và b2 (b > 0) nếu X có hàm mật ñộ f

ñược xác ñịnh bởi:

( )2

121

2( ) .

x a

b

bf x e

−−

π= với mọi x ∈ �

Ký hiệu: X ~ N(a, b2).

• Kỳ vọng của X:

µ = 2

2

( )1

2 2E ( ) . .exp

x a

b bX x dx

+ ∞−

π− ∞

= −

∫

2

122

( ) exp tb t a dt

+∞

π−∞

= + −

∫

2 2

2 22 2exp expb t a tt dt dt a

+∞ +∞

π π−∞ −∞

= − + − =

∫ ∫

• Phương sai của X:

σ2 = D(X) = 2

2

( )21

2 2. ( ) . exp

x

b bx dx

+∞− µ

π−∞

− µ −

∫

= 2 22

22. .expb tt dt

+ ∞

π− ∞

−

∫ = b2.

Vậy, hai tham số a và b2 trong phân phối N(a, b2), theo thứ tự, là kỳ vọng

và phương sai của X. Do ñó, h.m.ñ. f của BNN X ~ N(a, b2) có thể ñược viết dưới

dạng:

− = −

2

2( )1

2 2( ) .exp x

f xµµµµ

σ πσ πσ πσ π σσσσ với mọi x ∈ �.

và ký hiệu: X ~ N(µµµµ, σσσσ2).

• Trường hợp ñặc biệt: µµµµ = 0 và σσσσ = 1:

Chúng ta có phân phối N(0, 1). Hàm Gauss ϕ và Φ xác ñịnh trong chú ý

3.1.7, theo thứ tự, là hàm mật ñộ và hàm phân phối của N(0,1).

Đồ thị hàm mật ñộ f của phân phối N(µ, σ2):


Hai dồ thị hàm mật ñộ chuẩn với

µ bằng nhau và σ khác nhau.

2 0 2

0.2

0.4

µ

.

Nếu X ~ N (µ, σ2) và ñặt X*X − µ

σ= thì X* ~ N(0, 1)

Với α và β cho trước (α ≤ β), chúng ta có:

P (α ≤ X ≤ β) =

σ

µ−αΦ−

σ

µ−βΦ=

σ

µ−β≤≤

σ

µ−α*XP .

Trong nhiều vấn ñề kỹ thuật, thường phải tính xác suất ñể một biến ngẫu

nhiên X có phân phối chuẩn N(µ, σ2) lấy giá trị lệch khỏi kỳ vọng µ không quá

một số dương α cho trước:

( ) ( )− ≤ = Φ −P 2 1X αααασσσσ

µ αµ αµ αµ α

Đặc biệt : ( )P 2 (1) 1 0,6826X −µ ≤σ = Φ − =

( )P 2 2 (2) 1 0,9544X −µ ≤ σ = Φ − =

( )P 3 2 (3) 1 0,9974 1X −µ ≤ σ = Φ − = ≈

Từ ñó, người ta ñưa ra " Qui tắc 3σ ": Nếu X ~ N(µµµµ,σσσσ2) thì hầu như chắc chắn X sẽ lấy giá trị trong khoảng [ µµµµ −−−− 3σσσσ ; µµµµ + 3σσσσ ].

Nhờ qui tắc 3σ, chúng ta có thể biết ngay một cách hầu như chắc chắn biến

ngẫu nhiên có phân phối chuẩn nhận giá trị trong khoảng nào.

4.2. Thí dụ.

4.2.1. Thời gian ñể sản xuất một sản phẩm loại A là một BNN tuân theo

luật phân phối chuẩn với các tham số µ = 10 và σ = 1 (ñơn vị là phút)

(a) Tính xác suất ñể một sản phẩm loại A nào ñó ñược sản xuất trong

khoảng thời gian từ 9 phút ñến 12 phút.

(b) Tính thời gian cần thiết ñể sản xuất một sản phẩm loại A bất kỳ.

Giải.

Đồ thị hàm mật ñộ chuẩn N(0,1)

( Hàm Gauss )

σ = 1

σ = 2


Gọi X là BNN chỉ thời gian dể sản xuất một sản phẩm loại A , X ~ N(10; 1).

(a) Xác suất phải tính:

P(9 ≤ X ≤ 12) = ( ) ( )12 10 9 10

1 1

− −Φ − Φ

= Φ(2) – Φ(-1) = Φ(2) + Φ(1) –1

= 0,9772 + 0,8413 – 1 = 0,88185.

(b) Theo qui tắc 3σ, hầu như chắc chắn X lấy giá trị trong khoảng:

[ ]10 3 1; 10 3 1− × + × = [ ]7; 13

Vậy, thời gian cần thiết ñể sản xuất một sản phẩm loại A bất kỳ là từ 7 phút

ñến 13 phút (hầu như chắc chắn).

4.2.2. Cho biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối N(µ, σ2). Biết rằng

X lấy giá trị nhỏ hơn 60 với xác suất 0,1003 và lấy giá trị lớn hơn 90 với xác

suất 0,0516, hãy tính µ và σ.

Giải.

Theo giả thiết,

( )

( )

60

90

0,1003( 60) 0,1003

( 90) 0,05161 0,0516

− µ

σ

− µ

σ

Φ =< = ⇔

> = − Φ =

P X

P X

( )( )

60

90

0,8997

0,9484

µ −

σ

− µ

σ

Φ =⇔

Φ =

60

90

1, 28

1,64

µ −

σ

− µ

σ

=⇔

=

Vậy, µ = 73,15 và σ = 10,27.

4.3. Định nghĩa. Giả sử U ~ N(0,1). Nếu P(U < c) = α thì c ñược gọi

là Bách phân vị mức αααα của phân phối chuẩn, ký hiệu uαααα.

Vậy, Φ( uα) = α.

4.4. Chú ý. Theo ñịnh lý DeMoivre - Laplace, nếu X ~ B(n, p) với n khá

lớn và p không quá gần 0 và gần 1 (n > 30, np ≥ 5 và n(1 − p) ≥ 5) thì chúng ta

có thể xem như X ~ N (np, npq).

Phân phối chuẩn chiếm vị trí rất quan trọng trong lý thuyết xác suất và

thống kê toán. Theo Borel, một biến ngẫu nhiên là kết quả của nhiều nguyên nhân,

mỗi nguyên nhân tác ñộng một ít và không nguyên nhân nào là quyết ñịnh, sẽ theo

luật phân phối chuẩn hoặc tiệm cận chuẩn. Chẳng hạn:


Các số ño về ñặc tính sinh học như chiều cao, cân nặng, huyết áp,... hầu như

có phân phối chuẩn; các sai số trong ño lường vật lý; lực chịu nén của một thanh

xà... cũng tuân theo luật phân phối chuẩn.

Trong xã hội, số con trong một gia ñình, số lợi tức hằng năm, sản lượng một

vụ mùa trên một ñơn vị diện tích... tuân theo luật phân phối chuẩn.

4.4. Định lý. Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y ñộc lập. Khi ñó, nếu

X ~ 21 1

( , )µ σN và Y ~ 22 2

( , )µ σN thì biến ngẫu nhiên k1X + k2Y tuân theo luật

phân phối 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

( , )µ + µ σ + σN k k k k , trong ñó k1 và k2 là 2 hằng số thực.

5. PHÂN PHỐI ĐỀU

5.1. Định nghĩa. Người ta nói rằng biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối ñều trên ñoạn [a, b] nếu X có h.m.ñ. f ñược xác ñịnh bởi:

f (x) = 1b a−

nếu x ∈ [ ]ba, và f (x) = 0 nơi khác

Ký hiệu: X ~ u [ ]ba, .

5.2. Định lý. Nếu BNN X ~ u [ ]ba, thì X có kỳ vọng và phương sai lần

lượt là:

2( )

a bE X

+= và

( )2

12( )

b aD X

−=

Chứng minh.

2

12 2

( )

b bx dx a bxb a b a

aa

E X+

− −

= = = ∫

Phần chứng minh D(X) dành cho bạn ñọc. ■

6. PHÂN PHỐI χχχχ2

6.1. Định nghĩa. Người ta nói rằng biến ngẫu nhiên liên tục X có phân

phối χ2 với n bậc tự do (n ∈ �*) nếu X có hàm mật ñộ f ñược xác ñịnh trên �

bởi:

2 2/ 2

11

2 ( / 2), 0

( )

0 , 0

n x

nn

x e xf x

x

− −

Γ

>

=

≤

víi

víi

,

trong ñó, ký hiệu Γ chỉ hàm Gamma.

Ký hiệu: X ~ χχχχ2(n).


n = 2

0 5 10 15

0.2

Đồ thị hàm mật ñộ của phân phối χ2 với các bậc tự do khác nhau

Giả sử X ~ χ2(n), nếu P(X < c) = α thì c ñược gọi là Bách phân vị

mức αααα của phân phối χχχχ2(n), ký hiệu: 2

(n)αχ .

Vậy, P(X < 2

(n)αχ ) = α.

Nếu X ~ χ2(n) thì E(X) = n và D(X) = 2n.

Chúng ta công nhận:

6.2. Định lý. Giả sử các biến ngẫu nhiên X1, X2, ... , Xn ñộc lập và cùng

có phân phối chuẩn N(0,1). Khi ñó,

(a) Các BNN 2iX (i = 1,…, n) tuân theo luật χ2(1);

(b) BNN 2 2 2 2

1 2 . . . nQ X X X= + + + tuân theo luật χ2(n).

7. PHÂN PHỐI STUDENT


phối Student (hay phân phối t ) với n bậc tự do khi X có h.m.ñ. f ñược xác ñịnh

bởi:

1

2 2

2

1

2

( )( ) 1

+−

+ Γ

π Γ

= +

n

n

n

x

nnf x với mọi x ∈ �

Ký hiệu: X ~ Student (n) hay X ~ t(n).

n = 2

n = 4

n = 10


0

0.2

0.4

0

0.2

0.4

0

0.2

0.4

Giả sử T ~ t(n); nếu P(T < c) = α thì c ñược gọi là Bách phân vị mức αααα

của phân phối t(n), ký hiệu là (n)tα .

Vậy, P(T <(n)tα ) = α.

Chú ý rằng khi n khá lớn (n > 150), (n)tα có giá trị xấp xỉ bằng uα. Do ñó,

chúng ta có thể dùng uα. thay cho (n)tα khi n > 150.

Đồ thị hàm mật ñộ của phân phối Student

với hai bậc tự do n khác nhau.( −− : n = 60; - - - : n = 2)

Chúng ta công nhận :

7.2. Định lý. Cho các biến ngẫu nhiên X và Y ñộc lập. Nếu X~ N(0,1) và

Y ~ χ2(n) thì biến ngẫu nhiên

/T X

Y n=

tuân theo luật phân phối Student với n bậc tự do.

8. PHÂN PHỐI FISHER −−−− SNEDECOR


phối Fisher với n1 và n2 bậc tự do khi X có h.m.ñ. f ñược xác ñịnh bởi:

1 2 1 1 212 2 21 12

2 21 22 2

11 , 0

( )

0, 0

+ + Γ − −

Γ Γ

+ >

= ≤

víi x

víi x

n n n n nn

n n

n n

n nx x

f x

Ký hiệu: X ~ F(n1, n2).

8.2. Định lý. Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên ñộc lập. Nếu X ~

χ2(n1) và Y ~ χ2(n2) thì biến ngẫu nhiên

1

2

X / n

Y / nF =


tuân theo luật phân phối Fisher với n1 và n2 bậc tự do.

9. PHÂN PHỐI CHUẨN HAI CHIỀU

9.1. Định nghĩa. Người ta nói rằng vectơ ngẫu nhiên (X,Y) phân phối

theo qui luật chuẩn hai chiều với các tham số µ1, µ2, σ1, σ2 và ρ (σ1 > 0, σ2 > 0,

− 1 < ρ < 1) nếu nó có hàm mật ñộ f xác ñịnh trên �2 bởi:

21 2

( , )1

2 1

( , ) g x yf x y eπσ σ − ρ

=

trong ñó,

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 22 1 1 2 2

2 21

2(1 )( , ) 2 .

x x y yg x y

− − µ − µ − µ − µ

σ σ σ σ−ρ

= − ρ +

(a) Hàm mật ñộ biên f1 của X xác ñịnh với mọi x ∈ � bởi:

1( ) ( , )f x f x y dy

+ ∞

− ∞

= =∫ … =

21 12 1

1

1

2

x

e

− µ

σ −

σ π

(b) Hàm mật ñộ biên f2 của Y xác ñịnh với mọi y ∈ � bởi:

2( ) ( , )f y f x y dx

+ ∞

− ∞

= =∫ … =

21 22 2

2

1

2

y

e

− µ

σ −

σ π

Như vậy, 21 1

~ ( , )X N µ σ và 22 2

~ ( , )Y N µ σ

Ngoài ra, người ta cũng chứng minh ñược rằng ρρρρ chính là Hệ số tương quan của X và Y và

(ρ = 0 ⇔ X và Y ñộc lập).

Chúng ta công nhận ñịnh lý sau:

9.2. Định lý. Nếu vectơ ngẫu nhiên (X,Y) tuân theo luật phân phối chuẩn

hai chiều thì với mọi số thực a và b, BNN Z = aX + bY tuân theo luật phân phối

chuẩn.


BÀI TẬP

3.1. Có 2 kiện hàng. Kiện thứ nhất có 10 sản phẩm, trong ñó có 8 sản

phẩm loại A; kiện thứ hai có 8 sản phẩm, trong ñó có 5 sản phẩm loại A. Lần

ñầu, lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm ở kiện thứ nhất bỏ vào kiện thứ hai, sau ñó lấy

ngẫu nhiên từ kiện thứ hai ra 2 sản phẩm. Đặt X và Y lần lượt là biến ngẫu nhiên

chỉ số sản phẩm loại A có trong các sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất và lần thứ hai.

Tìm luật phân phối xác suất của X và của Y; tính E(X), D(X), E(Y) và D(Y).

3.2. Một kiện hàng chứa 8 sản phẩm, trong ñó có 3 sản phẩm xấu và 5 sản

phẩm tốt. Lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng ra 4 sản phẩm (không hoàn lại).

(a) Hãy lập bảng phân phối xác suất cho số sản phẩm xấu có trong 4 sản

phẩm lấy ra, và tính xác suất ñể trong ñó có ít nhất 2 sản phẩm tốt.

(b) Đem 4 sản phẩm vừa lấy ra ñi bán. Biết rằng bán một sản phẩm tốt

ñược lời 50 ngàn ñồng, và bán một sản phẩm xấu bị lỗ 15 ngàn ñồng.

Tính lợi nhuận thu ñược trung bình và ñộ lệch chuẩn của lợi nhuận khi

bán 4 sản phẩm trên.

3.3. Một lô hàng có rất nhiều sản phẩm, với tỉ lệ hàng giả là 30%.

(a) Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm, tính xác suất ñể có nhiều

nhất 2 sản phẩm giả.

(b) Người ta lấy ngẫu nhiên ra từng sản phẩm một ñể kiểm tra cho ñến khi

nào gặp sản phẩm giả thì dừng. Tìm luật phân phối xác suất và tính kỳ

vọng của số sản phẩm thật ñã kiểm tra; tìm luật phân phối xác suất và

tính kỳ vọng của số sản phẩm ñã kiểm tra.

3.4. Các khách hàng mua xe gắn máy tại một ñại lý, nếu xe có sự cố kỹ

thuật thì ñược quyền trả lại xe trong vòng ba ngày sau khi mua và ñược lấy lại

nguyên số tiền mua xe. Mỗi chiếc xe bị trả lại như thế làm thiệt hại cho ñại lý 250

(ngàn)VNĐ. Có 50 xe vừa ñược bán ra. Xác suất ñể một xe bị trả lại là 0,1.

(a) Tìm kỳ vọng và phương sai của số xe bị trả lại. Tính xác suất ñể có

nhiều nhất 2 xe bị trả lại.

(b) Tìm kỳ vọng và ñộ lệch chuẩn của tổng thiệt hại mà ñại lý phải chịu do

việc trả lại xe.

3.5. Một thí sinh tên M tham dự một kỳ thi môn XSTK . M phải làm một

ñề thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu; mỗi câu có 4 lời giải khác nhau, trong

ñó chỉ có một lời giải ñúng. M sẽ ñược chấm ñậu nếu trả lời ñúng ít nhất 6 câu.

(a) Giả sử M không học bài, mà chỉ chọn ngẫu nhiên lời giải trong cả 10

câu. Tính xác suất ñể M thi ñậu. Hỏi M phải dự thi ít nhất mấy lần ñể xác suất có ít nhất một lần thi ñậu không nhỏ hơn 97%?


(b) Giả sử M chắc chắn trả lời ñúng ñược 2 câu; còn các câu khác, M chọn

ngẫu nhiên một trong 4 lời giải của mỗi câu. Tính xác suất ñể M thi rớt.

3.6. Nhà máy dệt muốn tuyển dụng người biết rành về một loại sợi. Nhà

máy thử thách người dự tuyển 7 lần. Mỗi lần nhà máy ñem ra 4 sợi giống nhau,

trong ñó chỉ có một sợi thật và yêu cầu người này chọn ra sợi thật. Nếu chọn ñúng

ít nhất 6 lần thì ñược tuyển dụng. Một người ñến xin tuyển dụng nói: "Chỉ cần

nhìn qua là có thể phân biệt sợi thật hay giả với xác suất 80% ".

(a). Nếu người này nói ñúng khả năng của mình thì xác suất ñược

tuyển dụng là bao nhiêu?

(b). Tính xác suất ñể ñược tuyển dụng trong trường hợp, thật ra,

người này không biết gì về sợi cả.

3.7. Tỉ lệ thuốc hỏng ở lô A là pA = 0,1; ở lô B là pB = 0,08 và ở lô C là

pC = 0,15. Giả sử mỗi lô có rất nhiều chai thuốc.

(a) Lấy 3 chai ở lô A. Tìm luật phân phối xác suất của số chai hỏng có

trong 3 chai. Tính xác suất ñể có 2 chai hỏng; có ít nhất 1 chai hỏng.

Phải lấy bao nhiêu chai (ở lô A) ñể xác suất có ít nhất một chai

hỏng không nhỏ hơn 94% ?

(b) Chọn ngẫu nhiên 1 trong 3 lô rồi lấy từ lô ñó ra 3 chai. Tính xác

suất ñể có ít nhất 1 chai hỏng.

(c) Lấy ở mỗi lô một chai. Tìm phân phối xác suất rồi tính kỳ vọng

và phương sai của số chai hỏng trong 3 chai lấy ra.

(d) Một cửa hàng nhận về 500 chai ở lô A, 300 chai ở lô B và 200

chai ở lô C rồi ñể lẫn lộn. Một người ñến mua 1 chai về dùng. Tính xác suất ñể

ñược chai tốt.

3.8. Giả sử ngày sinh của mỗi người dân trong một thành phố lớn có thể

rơi ngẫu nhiên vào một ngày bất kỳ trong năm (365 ngày). Chọn ngẫu nhiên 1095

người trong thành phố ñó. Tính xác suất ñể

(a) có hai người có cùng ngày sinh ñã cho;

(b) có không quá 7 người có cùng ngày sinh ñã cho.

3.9.

(a) Cho ba biến ngẫu nhiên ñộc lập X,Y và Z. Giả sử:

X ~ B(24; 0,1); Y ~ B(9; 0,1) và Z ~ B(17; 0,1)

Hãy tính: P(X + Y + Z = 4).

(b) Cho hai BNN X và Y ñộc lập. Giả sử X ~ Poisson(λ) và Y ~ Poisson(µ)

Hãy tính xác suất P(X = k/X + Y = n), trong ñó 0 ≤ k ≤ n.

(c) Cho hai BNN X và Y ñộc lập; X ~ 2(7; (1,2) )N và Y ~

2(5; (0,9) )N . Tính P(X + Y < 9,5); P(X ≤ Y) và P(X > 2Y).


3.10. Một trạm bưu ñiện chuyển ñiện trong khoảng thời gian 10−5 giây.

Trong quá trình ñánh ñiện có các tiếng ồn ngẫu nhiên. Số tín hiệu ồn ngẫu nhiên

trung bình trong 1 giây là 104. Nếu trong thời gian truyền tin có dù chỉ một tín

hiệu ồn ngẫu nhiên thì trạm ngừng làm việc. Tính xác suất ñể cho việc truyền tin

bị gián ñoạn, biết rằng số các tín hiệu ồn ngẫu nhiên rơi vào máy trong khoảng

thời gian truyền tin là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối Poisson.

3.11. Số lỗi trên một mét vuông vải là một BNN tuân theo luật phân phối

Poisson. Kiểm trạm lô vải, người ta thấy 98% có lỗi. Vậy, trung bình mỗi mét

vuông vải có bao nhiêu lỗi?

3.12. Một công ty cho thuê xe taxi có 4 chiếc taxi. Hàng ngày, công ty

phải nộp thuế 8 USD cho một chiếc xe (dù xe có ñược thuê hay không). Mỗi

chiếc xe ñược cho thuê với giá 20USD. Giả sử số xe có nhu cầu thuê trong một

ngày của công ty là một BNN tuân theo luật phân phối Poisson với kỳ vọng bằng

2,8.

(a) Hãy tìm luật phân phối xác suất cho lợi nhuận và tìm lợi nhuận trung

bình hàng ngày của công ty.

(b) Tính xác suất ñể công ty không ñủ xe ñáp ứng ñược nhu cầu của khách

hàng.

(c) Công ty cần bao nhiêu xe taxi ñể xác suất không ñáp ứng ñược nhu cầu

bé hơn 2% ?

3.13. Một phân xưởng có 12 máy: 5 máy loại A, 4 máy loại B và 3 máy

loại C. Xác suất sản xuất ñược sản phẩm ñạt tiêu chuẩn của máy loại A, loại B và

loại C, theo thứ tự, là 98%, 96% và 90%.

(a) Chọn ngẫu nhiên một máy và cho máy ñó sản xuất 3 sản phẩm. Tìm

luật phân phối xác suất cho số sản phẩm ñạt tiêu chuẩn trong số 3 sản

phẩm do máy ñó sản xuất ra.

(b) Giả sử 3 sản phẩm do máy ñược chọn sản xuất ra ñều ñạt tiêu chuẩn.

Nếu cho máy ñó sản xuất tiếp 3 sản phẩm nữa, thì xác suất ñể 3 sản

phẩm này ñều ñạt tiêu chuẩn bằng bao nhiêu?

3.14. Có hai máy hoạt ñộng ñộc lập. Tỉ lệ sản xuất ra sản phẩm loại A của

máy I là 80%, còn tỉ lệ này của máy II là 60%. Cho máy I sản xuất 3 sản phẩm,

máy II sản xuất 2 sản phẩm.

(a) Tính xác suất ñể có ít nhất 4 sản phẩm loại A có trong 5 sản phẩm do 2

máy sản xuất.

(b) Tìm luật phân phối xác suất cho số sản phẩm loại A có trong 5 sản

phẩm do 2 máy sản xuất.

3.15. Một xí nghiệp có 2 máy I và II. Trong ngày hội thi, mỗi công nhân

dự thi sẽ chọn ngẫu nhiên một máy và với máy ñó sản xuất 100 sản phẩm. Nếu số

sản phẩm loại tốt sản xuất ñược không ít hơn 70 thì ñược thưởng. Giả sử với một


công nhân A, xác suất sản xuất ñược sản phẩm loại tốt với hai máy lần lượt là

65% và 70%.

(a) Tính xác suất ñể công nhân A ñược thưởng.

(b) Giả sử A dự thi 20 lần. Số lần ñược thưởng có nhiều khả năng

nhất là bao nhiêu?

(c) Công nhân A phải dự thi ít nhất bao nhiêu lần ñể xác suất có ít

nhất một lần ñược thưởng không nhỏ hơn 95%?

3.16. Một lô hàng (rất nhiều sản phẩm) có tỉ lệ phế phẩm là 3%. Theo hợp

ñồng giữa hai bên: Nếu lấy ngẫu nhiên ra 100 sản phẩm ñể kiểm tra mà có không

quá 3 phế phẩm thì bên mua chấp nhận mua lô hàng.

(a) Tính xác suất ñể lô hàng bị trả lại.

(b) Nếu trong 100 sản phẩm có không quá 1 phế phẩm thì lô hàng ñược

xếp loại A, nếu có từ 2 ñến 3 phế phẩm thì lô hàng ñược xếp loại B.

Tính xác suất ñể lô hàng trên ñược xếp loại A; xếp loại B.

(c) Giá của cả lô loại A là 100 triệu ñồng, của cả lô loại B là 92 triệu ñồng;

trường hợp bị trả lại ñược coi như giá bán là − 0,8 triệu ñồng (chi phí

vận chuyển). Tìm số tiền trung bình mà bên bán thu ñược từ lô hàng

trên trước khi bên mua kiểm tra và quyết ñịnh.

3.17. Một hộp ñựng 10 lọ thuốc, trong ñó có 2 lọ hỏng.

(a) Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 lọ cùng một lúc. Gọi X là biến ngẫu

nhiên chỉ số lọ thuốc bị hỏng trong 4 lọ lấy ra. Hãy tìm phân phối xác

suất của X và tính E(X).

(b) Cần phải lấy bao nhiêu lọ ñể cho, với xác suất bằng 5/9, trong số ñó có

ñúng một lọ bị hỏng?

(c) Sau khi lấy 4 lọ ra ñể kiểm tra, người ta thay vào bằng 4 lọ thuốc tốt

(ñể mỗi lọ vào một vị trí bất kỳ trong hộp). Một người khác lấy ngẫu

nhiên từ hộp ra 1 lọ. Tính xác suất ñể lọ ñó là lọ tốt.

3.18. Một hộp có 10 sản phẩm. Các sản phẩm trong hộp gồm 2 loại: loại A

và loại B. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm loại A có trong hộp. Cho biết

phân phối xác suất của X như sau:

xi 1 2 3

P(X = xi) 0,2 0,5 0,3

Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 sản phẩm (không hoàn lại). Đặt Y biểu

thị số sản phẩm loại A có trong 3 sản phẩm lấy ra.

(a) Tìm luật phân phối xác suất của Y.

(b) Tính E(Y) và D(Y).

3.19. Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối N(0, 1). Tính:


(a) P(0 ≤ X ≤ 1,42);

(b) P(− 1,79 ≤ X ≤ − 0,54);

(c) P(− 0,73 ≤ X ≤ 0);

(d) P(−1,37 ≤ X ≤ 2,01;

(e) P(0,65 ≤ X < 1,26);

(f) P(| X | ≤ 0,5;

(g) P(X ≥ 1,13);

(h) P(X ≤ 0,25).

3.20. Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối N(0, 1). Tìm α sao cho:

(a) P(0 ≤ X ≤ α) = 0,4236;

(b) P(X ≤ α) = 0,7967;

(c) P(α < X < 2) = 0,1000.

3.21. Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(8; 16). Tính:

(a) P(5 ≤ X ≤ 10);

(b) (b) P(10 ≤ X ≤ 15);

(c) P(X ≥ 15);

(d) P(X ≤ 5).

3.22. Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng 10 và

xác suất ñể X có giá trị lớn hơn 12 là 0,1056. Tính:

(a) ñộ lệch chuẩn của X.

(b) P(X > 8);

(c) P(X > 8 / X < 12);

(d) giá trị của x sao cho P(X > x) = 0,85.

3.23. Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn có phương sai bằng

4. Cho biết P(X > 16) = 0,95, tìm:

(a) kỳ vọng µ của X;

(b) P(X < 16/ X < µ);

(c) P(X < µ/ X < 20).

3.24. Chiều cao của sinh viên trường ñại học AG tuân theo luật phân phối

chuẩn với trung bình 165 cm và ñộ lệch chuẩn 5 cm.

(a) Xác suất ñể một sinh viên ñại học AG, ñược chọn ngẫu nhiên, có chiều

cao từ 170 cm ñến 177 cm là bao nhiêu?


(b) Trong một nhóm 150 sinh viên ñại học AG ñược chọn ngẫu nhiên,

nhiều khả năng là có bao nhiêu sinh viên cao dưới 164 cm?

(c) Tính tỉ lệ sinh viên có chiều cao lệch so với trung bình lớn hơn hai lần

ñộ lệch chuẩn.

3.25. Đường kính của một loại sản phẩm do nhà máy A sản xuất là một

biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 250 mm và phương sai

1,44mm2. Nhà máy qui ñịnh: Sản phẩm ñược coi là ñạt tiêu chuẩn nếu ñường

kính của nó lệch so với ñường kính trung bình không quá 1,56 mm về giá trị tuyệt

ñối ( nghĩa là sai số cho phép là 1,56 mm).

(a) Nhà máy phải sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm ñể xác suất có ít

nhất một sản phẩm ñạt tiêu chuẩn không dưới 99%?. Nếu nhà máy sản

xuất 20 sản phẩm thì nhiều khả năng nhất là có bao nhiêu sản phẩm ñạt tiêu chuẩn?

(b) Nếu muốn tỉ lệ phế phẩm (sản phẩm không ñạt tiêu chuẩn) của nhà máy

không quá 5% thì nhà máy phải qui ñịnh sai số cho phép là bao nhiêu?

3.26. Những tay ñòn bằng thép ñược sản xuất với ñường kính qui ñịnh là 5

cm, nhưng chúng sẽ ñược chấp nhận nếu có ñường kính trong khoảng từ 4,95 cm

ñến 5,05 cm. Xí nghiệp sản xuất nhận thấy, trong một thời gian dài, 4% sản phẩm

bị loại vì có ñường kính nhỏ hơn qui ñịnh và 4% bị loại do lớn hơn qui ñịnh. Nếu

ñường kính của tay ñòn tuân theo luật phân phối chuẩn, hãy tính ñộ lệch chuẩn

của phân phối.

3.27. Tuổi thọ của một loại bình ắc quy xe hơi tuân theo luật phân phối

chuẩn với trung bình 24 tháng và ñộ lệch chuẩn 6 tháng. Một bình ắc quy mang

lại lợi nhuận cho xí nghiệp sản xuất 20 (ngàn ñồng) nếu nó có tuổi thọ hơn 30

tháng, lợi nhuận 10 (ngàn ñồng) nếu nó có tuổi thọ từ trên 18 ñến 30 tháng, và lỗ

5 (ngàn ñồng) nếu nó bị hỏng trong 18 tháng ñầu sử dụng. Tìm lợi nhuận trung

bình do mỗi ắc quy mang lại cho xí nghiệp.

3.28. Một máy sản xuất những dây ñiện trở có ñiện trở trung bình 50

ohms với ñộ lệch chuẩn 2 ohms.

(a) Giả sử phân phối xác suất của ñiện trở là phân phối chuẩn, tìm tỉ lệ các

dây ñiện trở có ñiện trở không lớn hơn 47,5 ohms.

(b) Tính các giới hạn a và b, cách ñều hai bên trung bình, sao cho xí nghiệp

sản xuất có thể tuyên bố rằng, nói chung, không có nhiều hơn một dây

ñiện trở, trong 500 dây ñiện trở, ngoài giới hạn trên.

3.29. Một xí nghiệp sản xuất những ống kim loại có chiều dài trung bình 50

cm và ñộ lệch chuẩn 1 cm. Giả sử phân phối của chiều dài là phân phối chuẩn.

(a) Tính tỉ lệ những ống có chiều dài vượt quá 50 cm trong số những ống

có chiều dài lớn hơn 49 cm.

(b) Nếu 5 ống ñược chọn ngẫu nhiên, thì xác suất ñể trong số ñó không có

nhiều hơn một ống có chiều dài lớn hơn 49 cm là bao nhiêu?


3.30. Người ta nói rằng biến ngẫu nhiên liên tục X có Phân phối mũ nếu

X có hàm mật ñộ f ñịnh bởi:

0 0( ) ( 0 )

. 0− λ

<= λ >

λ ≥

nÕucho tr−íc

nÕux

xf x

e x

(a) Tìm kỳ vọng và ñộ lệch chuẩn của X

(b) Xác ñịnh hàm phân phối của X.

Người ta chứng minh ñược rằng: Nếu số lần xuất hiện của một biến cố trong một khoảng thời gian cho trước tuân theo luật phân phối Poisson với kỳ vọng λ, thì khoảng thời gian giữa hai lần xuất hiện liên tiếp của biến cố ấy tuân

theo luật phân phối mũ với kỳ vọng 1λ

.

Nói chung, phân phối mũ ñược dùng ñể mô tả qui luật của khoảng thời gian

giữa hai lần xuất hiện một biến cố như khoảng thời gian nhân viên bán sách phục

vụ một người ñến mua sách, khoảng thời gian giữa hai lần có sự cố của một cái

máy, khoảng thời gian giữa hai bệnh nhân ñến khám tại một trạm y tế, v.v, . . .

3.31. Tại một trạm cấp cứu, số bệnh nhân ñến trong một ngày là biến ngẫu

nhiên tuân theo luật phân phối Poisson với kỳ vọng bằng 2. Trạm có 4 giường.

Tính xác suất ñể

(a) trạm bị quá tải trong một ngày.

(b) khoảng thời gian giữa hai bệnh nhân ñến nhỏ hơn 2/3 ngày.

3.32. Thời gian ñi từ nhà ñến trường của sinh viên A là một biến ngẫu

nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn. Biết rằng 65% số ngày A ñến trường mất

hơn 20 phút, và 8% số ngày mất hơn 30 phút.

(a) Nếu A xuất phát từ nhà trước giờ vào học 25 phút thì xác suất ñể A

muộn giờ học là bao nhiêu?

(b) A cần phải xuất phát từ nhà trước giờ vào học bao nhiêu phút ñể khả

năng bị muộn giờ học bé hơn 0,02?

3.33. Một trang trại nuôi gà và heo. Khi xuất chuồng, sức nặng một con

gà là biến ngẫu nhiên X có phân phối N(3,2 kg; 0,04); sức nặng một con heo là

biến ngẫu nhiên Y có phân phối N(100 kg; 25).

Gà có sức nặng không dưới 3,37 kg, gọi là gà loại A, ñược bán với giá

70.000ñ/con; gà không phải loại A ñược bán với giá 55.000ñ/con.

Heo có sức nặng không dưới 102,62 kg, gọi là heo loại A, ñược bán với

giá 2.000.000ñ/con; heo không phải loại A ñược bán với giá 1.700.000ñ/con.

Một người dến mua 3 con gà và 2 con heo.

(a) Tìm luật phân phối xác suất của số tiền người ấy phải trả.

(b) Tìm số tiền phải trả nhiều khả năng nhất, số tiền phải trả trung bình, và

phương sai của số tiền phải trả.


3.34. Sản phẩm của một nhà máy ñược ñóng thành từng hộp, mỗi hộp

chứa 10 sản phẩm. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm loại 1 có trong

hộp.Cho biết X có phân phối xác suất như sau:

xi 7 8 9 10

P(X = xi) 0,2 0,3 0,3 0,2

Tiến hành kiểm tra 300 hộp theo cách sau:

Từ mỗi hộp chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm; nếu có ít nhất 2 sản phẩm

loại 1 thì nhận hộp ñó.

(a) Tính xác suất ñể có ít nhất 275 hộp ñược nhận.

(b) Tìm số hộp ñược nhận nhiều khả năng nhất.

3.35. Có hai kiện hàng, mỗi kiện có 5 sản phẩm. Kiện thứ nhất có hai sản

phẩm loại A. Kiện thứ hai có 3 sản phẩm loại A. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ

kiện thứ nhất bỏ vào kiện thứ hai; sau ñó, lấy 2 sản phẩm từ kiện thứ hai bỏ vào

kiện thứ nhất. Sau các bước xáo trộn ñó:

(a) Tìm qui luật phân phối xác suất cho số sản phẩm loại 1 có trong kiện

thứ nhất.

(b) Chọn ngẫu nhiên 1 kiện, rồi từ kiện ñó, lấy ngẫu nhiên ra một sản

phẩm. Tính xác suất ñể sản phẩm này là loại A.

(c) Chọn ngẫu nhiên 1 kiện, rồi từ kiện ñó, lấy ngẫu nhiên ra một sản

phẩm thì ñược sản phẩm loại A. Bây giờ, cũng từ kiện ñó, lấy tiếp một

sản phẩm nữa, tính xác suất ñể sản phẩm này là lọai A.

3.36. Một máy ñếm ñể gần một nguồn phóng xạ sao cho xác suất ñể một

hạt phát ra từ nguồn phóng xạ ñược ghi lại trong máy ñếm bằng 10- 4. Giả sử rằng

trong thời gian quan sát có 40.000 hạt ñược phát ra từ nguồn phóng xạ.

(a) Tính xác suất ñể máy ñếm

(i) ghi ñược trên 7 hạt;

(ii) ghi ñược ñúng 5 hạt;

(iii) không ghi ñược hạt nào.

(b) Tính số hạt ít nhất mà nguồn phóng xạ cần phát ra sao cho, với xác suất lớn hơn 0,945, máy ñếm ghi ñược không ít hơn 4 hạt.

3.37. Một máy tính ñiện tử bán dẫn có 10000 bóng bán dẫn, trong ñó chia

làm ba loại:

Loại I gồm 1000 bóng, với xác suất hỏng của mỗi bóng là 0,0005;

loại II gồm 3000 bóng, với xác suất hỏng của mỗi bóng là 0,0003;

loại III gồm 6000 bóng, với xác suất hỏng của mỗi bóng là 0,0001.


Máy tính ngừng làm việc nếu có ít nhất hai bóng bán dẫn bị hỏng.

Tính xác suất ñể máy tính ngừng làm việc, biết rằng các bóng hỏng hay tốt

ñộc lập với nhau.

3.38. Năng suất lúa của một vùng là một BNN có phân phối chuẩn, với kỳ

vọng là 50 tạ/ha và ñộ lệch chuẩn là 3,6 tạ/ha. Tính xác suất ñể gặt ngẫu nhiên 10

thửa ruộng của vùng ñó (mỗi thửa có diện tích 1 ha) thì có 6 thửa ruộng có năng

suất sai lệch so với năng suất trung bình không quá 0,5 tạ/ha.

3.39. Thời gian bảo hành sản phẩm ñược qui ñịnh là 3 năm. Nếu bán ñược

một sản phẩm thì cửa hàng lãi 150 ngàn ñồng, nhưng nếu sản phẩm bị hỏng trong

thời gian bảo hành thì cửa hàng phải chi 500 ngàn ñồng cho việc bảo hành. Biết

rằng tuổi thọ của sản phẩm là BNN có phân phối chuẩn với tuổi thọ trung bình là

4,2 năm và ñộ lệch chuẩn là 1,8 năm.

(a) Tìm số tiền lãi mà cửa hàng hy vọng thu ñược khi bán mỗi sản phẩm.

(b) Nếu muốn số tiền lãi trung bình cho mỗi sản phẩm là 50 ngàn ñồng thì

phải qui ñịnh thời gian bảo hành là bao nhiêu?

3.40. Một học sinh thấy rằng: Trong một ngày, thời gian tự học ở nhà của

em là một BNN có phân phối chuẩn với trung bình 2,2 giờ và ñộ lệch chuẩn 0,4

giờ; thời gian giải trí là một BNN có phân phối chuẩn với trung bình 2,5 giờ và ñộ

lệch chuẩn 0,6 giờ. Hệ số tương quan giữa thời gian học và thời gian giải trí là −

0,5. Phân phối xác suất ñồng thời của chúng có phân phối chuẩn hai chiều. Tính

xác suất ñể

(a) Tổng số thời gian học và thời gian chơi trong một ngày lớn hơn 5 giờ.

(b) Thời gian học lớn hơn thời gian chơi.

3.41. Giả sử rằng khối lượng hành khách ñi máy bay là một BNN có phân

phối chuẩn với kỳ vọng 74kg và khối lượng hành lý mang theo là một BNN có

phân phối chuẩn với kỳ vọng 20kg. Phân phối ñồng thời của chúng là phân phối

chuẩn hai chiều.

Biết rằng có 10% hành khách có khối lượng lớn hơn 85kg; có 20% hành

khách có hành lý nặng hơn 24kg và có 10% hành khách mà tổng khối lượng của

họ với hành lý mang theo lớn hơn 108kg. Tìm hệ số tương quan giữa khối lượng

hành khách và khối lượng hành lý mang theo.

3.42. Khối lượng mỗi bao gạo (ñơn vị kg) do máy ñóng bao thứ nhất thực

hiện là một BNN có phân phối N(50; 0,04); do máy ñóng bao thứ hai thực hiện là

một BNN có phân phối N(50; 0,16). Một bao gạo ñược gọi là loại I nếu nó có

khối lượng không dưới 49,8kg. Một lô hàng gồm 10000 bao gạo, trong ñó có

6000 bao do máy thứ nhất và 4000 do máy thứ hai thực hiện.

Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ lô hàng ra 100 bao ñể kiểm tra. Nếu thấy

có từ 80 bao loại I trở lên thì nhận lô hàng; nếu thấy có từ 50 bao loại I trở xuống

thì không nhận. Nếu số bao loại I trong khoảng [51, 79] thì lấy tiếp từ lô hàng một

mẫu khác gồm 50 bao ñể kiểm tra; và lô hàng chỉ ñược nhận nếu trong số ñó có

35 bao loại I trở lên. Tính xác suất ñể lô hàng ñược nhận.


3.43. Tuổi thọ của một loại sản phẩm do công ty A sản xuất là BNN tuân

theo luật phân phối chuẩn với trung bình 1000 giờ và ñộ lệch chuẩn 10 giờ. Thời

gian bảo hành sản phẩm là 980 giờ.

(a) Tính tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành.

(b) Một sản phẩm ñược bán ra, công ty lãi 50.000ñ, nhưng nếu sản phẩm bị hỏng thì chi phí bảo hành là 500.000ñ. Tính tiền lãi trung bình khi bán

ñược một sản phẩm.

(c) Nếu muốn tỉ lệ bảo hành là 1% thì phải qui ñịnh thời gian bảo hành là

bao nhiêu?

(d) Nếu thời gian bảo hành không ñổi (980 giờ) nhưng công ty lại muốn

giảm tỉ lệ bảo hành xuống mức 1% thì phải nâng chất lượng sản phẩm

bằng cách nâng tuổi thọ trung bình của sản phẩm lên bao nhiêu giờ?

3.44. Thời gian ñể máy M sản xuất ra một sản phẩm S là một biến ngẫu

nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn. Sau nhiều lần quan sát, người ta thấy rằng:

Thời gian ñể sản xuất S mất hơn 2 giờ chiếm tỉ lệ 15,87% và mất hơn 2,5 giờ

chiếm tỉ lệ 2,28%.

(a) Tìm khoảng thời gian cần thiết, hầu như chắc chắn, ñể sản xuất một sản

phẩm S.

(b) Máy M phải bắt ñầu sản xuất một sản phẩm S trước giờ giao hàng bao

nhiêu giờ ñể khả năng bị trễ hẹn giao hàng không quá 1,97%?

XS

TK

2008

chuong 3

Documents