choice of refernce conductor

8/6/2019 Choice of Refernce Conductor

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Choice of Reference C o n d u c t o r i n Three PhaseSystems AParadigm Shift

H . K h a l s a , M e m b e r , IEEEABB A u s t r a l i a P t y L i m i t e dL i l y d a l e , V i c 3 1 4 0 , A u s t r a l i ah a r n a a k . k h a l s a @ a u . a b b . c o mA b s t r a c t - T h e v a l u e s o f n o n - a c t i v e ( r e a c t i v e ) a n d t o t a l ( a p p a r e n t )p o w e r f o r t h r e e - p h a s e s y s t e m s c h a n g e w i t h c h o i c e o f r e f e r e n c ec o n d u c t o r . P r e s e n t l y , t h e n e ut ra l i n a f o u r - w i r e s y s t e m a n dv i r t u a l n e u t r a l i n t h r e e w i r e s y s t e m s i s t h e commonly u s e dr e f e r e n c e i n d e f i n i t i o n s . I n t h i s p a p e r , i t i s shown t h a t t h i s i s n o tn ec es s a r il y t h e o p t i m a l c ho ic e o f r e f e r e n c e . T h u s , t h e r e i s a n e e dt o d e f i n e a n o p t i m a l r e f e r e n c e t h a t h a s p r a c t i c a l v a l u e . A s as o l u t i o n t o t h i s p r o b l e m , a new a p p r o a c h t o d e t e r m i n e t h eo p t i m a l r e f e r e n c e i s p r o p o s e d . The a p p r o a c h i s s i m p l e b u te f f e c t i v e . I t a l l o w s e x te ns i on o f s i n g l e - p h a s e p o w e r d e f i n i t i o n s t o3 - p h a s e s y s t e m s t o p r o d u c e u n i q u e v a l u e s w i t h o u t t h e n e e d t oa d d r e s s b a l a n c e d a n d u n b a l a n c e d c a s e s s e p a r a t e l y . The r e s u l t i n gd e f i n i t i o n s c a n b e u s e d t o p ro v id e o pt im a l n o n - a c t i v e p o w e rc o m p e n s a t i o n . The p e r f o r m a n c e o f t h i s a p p r o a c h i s i l l u s t r a t e dw i t h a c a s e s t u d y . The c a s e s t u d y u s e s t h r e e - p h a s e t h r e e a n d f o u rw i r e s y s t e m s w i t h d i f f e r e n t r e s i s t i v e , i n d u c t i v e a n d c a p a c i t i v el o a d c o m b i n a t i o n s . The r e s u l t s o f c a s e s t u d y d e m o n s t r a t e g o o dp e r f o r m a n c e o f t h e new a p p r o a c h .

1 . INTRODUCTIONF o r s i n g l e - p h a s e s y s t e m s , t h e c h o i c e o f t h e r e f e r e n c e i se x p l i c i t . T h e r e i s n o a m b i g u i t y i n a p p l y i n g t h e d e f i n i t i o n s o fp o w e r a n d a u n i q u e s o l u t i o n i s o b t a i n e d f o r e v e r y c a s e .H o w e v e r , f o r t h r e e p h a s e s y s t e m s , e s p e c i a l l y u n b a l a n c e ds y s t e m s ( v o l t a g e u n b a l a n c e a n d l o a d u n b a l a n c e ) , t h i s i s n o t t h ec a s e . D i f f e r e n t c h o i c e s o f r e f e r e n c e s l e a d t o d i f f e r e n t r e s u l t s ,f o r t h e p o w e r s ( n o n - a c t i v e Q a n d t o t a l S ) . T h i s p r o b l e m i si l l u s t r a t e d w i t h t h e r ----c i r c u i t i n f i g u r e 1 ( t a k e n Af r o m f i g u r e 2 i n 1 5 V 0 . 7 l o h mr e f e r e n c e [ 1 ] ) , f o r v a l u e s 5 V I 0 o h mo f P a n d Q . T h e v a l u e s 5 V

J . Z h a n g , M e m b e r , IEEEE l e c t r i c a l a n d C o m p u t e r S y s t e m s E n g i n e e r i n gM o n a s h U n i v e r s i t yC l a y t o n , V i c 3 8 0 0 , A u s t r a l i a

T h i s a m b i g u i t y h a s b e e n h i g h l i g h t e d i n t h e l i t e r a t u r e , e . g .[ 1 , 2 , 3 , 4 ] , b u t t h e r e h a s b e e n n o s o l u t i o n t o t h i s p r o b l e m .Many a u t h o r s / p a p e r s e . g . i n [ 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ] u s e t h e " n e u t r a l " o r" a r t i f i c i a l n e u t r a l n o d e " o r " v i r t u a l n e u t r a l " a s t h e r e f e r e n c e i nt h e d e f i n i t i o n s f o r d e t e r m i n a t i o n o f p o w e r s i n t h r e e p h a s es y s t e m s . IEEE S ta nd a rd 1 4 5 9 - 2 0 0 0 [ 1 0 ] l i k e w i s e a l s op r o p o s e s t h e n e u t r a l o r " a r t i f i c i a l " n e u t r a l f o r t h e r e f e r e n c e .B a s e d o n t h i s p r a c t i c e , a r t i f i c i a l n e u t r a l w i l l b e t h e r e f e r e n c ef o r f i g u r e 1 . T h u s t h e r e s u l t s o f P a n d Q i n c o l u m n " 0 P h a s e "w o u l d b e o b t a i n e d . T h e e x i s t e n c e o f n o n - a c t i v e p o w e r P =3 8 9 . 7 V a r i m p l i e s t h e n e e d f o r n o n - a c t i v e p o w e r c o m p e n s a t i o n .H o w e v e r , a s c a n b e s e e n f r o m f i g u r e 1 , c o m p e n s a t i o n i s n o tn e c e s s a r y s i n c e t h e l o a d i s r e s i s t i v e . I t i s a p p a r e n t f r o m a b ov ea n d a s s h o w n i n t h i s p a p e r t h a t p r e s e n t p r a c t i c e f o r c h o i c e o fr e f e r e n c e may n o t b e o p t i m a l .

Why i s c h o i c e o f r e f e r e n c e i m p o r t a n t ? C o n s i d e r a t h r e e -p h a s e l o a d , w h i c h i s g e n e r a l l y c o n s i d e r e d a s o n e e n t i t y t h a tmay h a v e t h r e e o r f o u r t e r m i n a l s . T h e r e i s v o l t a g e o n , a n dc u r r e n t f l o w i n t o e a c h o f t h e t e r m i n a l s . T h e v o l t a g e o n e a c ht e r m i n a l i s m e a s u r e d w i t h r e s p e c t t o a r e f e r e n c e t e r m i n a l( w h i c h may b e a r t i f i c i a l ) . T h i s i s r e f l e c t e d i n f i g u r e 2 .T h e v o l t a g e s o n a n dc u r r e n t s f l o w i n g i n t ot h e t e r m i n a l s a r eu s e d t o d e t e r m i n e t h ep o w e r s ( P , Q , S ) t ot h e l o a d a s w e l l a st h e r e q u i r e dc o m p e n s a t i o n o fn o n - a c t i v e p o w e r . I t

IT

TFigure2: Load t e r m i n a l s , v t 4 - g 3T 4 T4a c

F i g u r e 2 : L o a d t e r m i n a l s , v o l t a g e a n d c u r r e n t sa r e g i v e n i n T a b l e I K_____=w h e r e i t c a n b e s e e n F i g u r e 1 : U n b a l a n c e r e s i s t i v e l o a dt h a t t h e v a l u e o f n o n - a c t i v e p o w e r Q i s d i f f e r e n t a n d d e p e n d e n to n r e f e r e n c e u s e d . F o r e x a m p l e u s i n g " B " a s r e f e r e n c e g i v e s" 0 V a r " w h il e u s i n g v i r t u a l n e u t r a l a s r e f e r e n c e i t i s " 3 8 9 . 7V a r " .TABLE I . P O W E R S ' WITH D I F F E R E N T REFERENCE

R e f e r e n c e B P h a s e C P h a s e A P h a s e 0 P h a s eP ( W ) 6 7 5 6 7 5 6 7 5 6 7 5Q ( V a r ) 0 1 1 6 9 0 3 8 9 . 7

N o t e t h a t " O P h a s e " i s t h e a r t i f i c i a l n e u t r a l .

i s t h u s i m p o r t a n t t o s e l e c t a n o p t i m a l r e f e r e n c e s o a s t o o b t a i n au n i q u e , p r e c i s e a n d u s e f u l i n f o r m a t i o n a b o u t t h e l o a d .T o i n v e s t i g a t e t h e c h a r a c t e r i s t i c o f t h e m o s t a p p r o p r i a t er e f e r e n c e , a n u m b e r o f c a s e s w i t h d i f f e r e n t l o a d c o m b i n a t i o n sa r e s t u d i e d i n t h i s p a p e r . A m e t h o d t o d e t e r m i n e t h e m o s ta p p r o p r i a t e r e f e r e n c e i s p r e s e n t e d .

T h e d e t e r m i n a t i o n o f t h r e e - p h a s e p o w e r s u s i n g t h ep r o p o s e d r e f e r e n c e a n d t h e c o n v e n t i o n a l s i n g l e - p h a s ed e f i n i t i o n s t h u s b e c o m e s a t r i v i a l m a t t e r . A d d i t i o n a l l y t h i sc h o i c e o f r e f e r e n c e l e a d s t o t h e p o s s i b i l i t y o f o p t i m a l n o n -a c t i v e p o w e r c o m p e n s a t i o n .


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I I . APPROACH AND FORMULAET h e g o a l i n p o w e r s y s t e m s i s t o r e d u c e t h e c u r r e n t sf l o w i n g i n c o n d u c t o r s t o m i n i m u m a s i m p l i e d i n [ 1 ] a n d / o r t or e d u c e l o s s e s t o m i n i m u m a s s t a t e d i n [ 1 1 ] . T h e f o r m e r ,m i n i m u m c u r r e n t i n t h e c o n d u c t o r s , i s r e a l i s e d w h e n o n l ya c t i v e c u r r e n t i s f l o w i n g ( a l l n o n - a c t i v e c u r r e n t h a v i n g b e e nc o m p e n s a t e d ) a n d t h e l a t t e r , m i n i m u m l o s s e s i n c o n d u c t o r s ,c a n b e u s e d t o i d e n t i f y t h e o p t i m a l r e f e r e n c e c o n d u c t o r .

T h u s t h e k e y i n d e t e r m i n i n g t h e r e f e r e n c e i s t o u t i l i s e t h ec o n d u c t o r a c t i v e c u r r e n t a n d t o c o m p u t e t h e t o t a l c o n d u c t o rl o s s i n a l l t h e c o n d u c t o r s . T h e o p t i m a l r e f e r e n c e c o n d u c t o r i so b t a i n e d w h e n t h e t o t a l c o n d u c t o r l o s s c o m p u t e d i s m i n i m u ma s c o m p a r e d t o t h e c h o i c e o f o t h e r r e f e r e n c e c o n d u c t o r s . T h ea c t i v e c u r r e n t i s c a l c u l a t e d b y r e s o l v i n g t h e c o n d u c t o r c u r r e n ti n p h a s e w i t h t h e c o n d u c t o r v o l t a g e w i t h r e s p e c t t o t h e c h o s e nr e f e r e n c e c o n d u c t o r .M a t h e m a t i c a l l y , f o r a c h o s e n r e f e r e n c e c o n d u c t o r , t h i s i s a sf o l l o w s .

A . I n s t a n t a n e o u s A c t i v e C u r r e n tC o n s i d e r t h e v o l t a g e v ( t ) o n a c o nd u ct o r w i t h r e s p e c t t o ac h o s e n r e f e r e n c e c o n d u c t o r a n d t h e c u r r e n t i ( t ) f l o w i n g i n t h ec o n d u c t o r g i v e n a s f o l l o w s

v ( t ) : = -X V r m s c o s [ w o t + o c ] , ( 1 )i ( t ) : = X I r m s c o s [ c t+ 3 ] + ( 2 )

I I I . CASE STUDY AND COMPUTATIONT o t e s t t h e a p p r o a c h p r e s e n t e d i n S e c t i o n I I , t h i s s e c t i o nc o n s i d e r s a p p l i c a t i o n o f t h e a p p r o a c h t o m o s t r e p r e s e n t a t i v el o a d t y p e s i n t h r e e - p h a s e s y s t e m s .

A - I-1

N o t e : f o r c a s e 2 A, L A a n d L B a r e r e p l a c e d b y C A a n d C BF i g u r e 3 : L o a d i n 2 p h a s e s - C a s e s I t o 4T h e s t u d y i s c on du ct e d o n s i x t e e n c a s e s u s i n g t h e c i r c u i t ss h o w n i n F i g u r e s 3 t o 5 . T h e c a s e s a r e f o r 3 P h 3W a n d 3 P h4W s y s t e m s h a v i n g b a l a n c e d o r u nb a l a n c e d f u nd a m en ta l ( 5 0H z ) s o u r c e v o l t a g e s w i t h s t a r ( w y e ) c o n n e c t e d , d e l t ac o n n e c t e d , o r m i x e d s t a r / d e l t a c o n n e c t e d l o a d s t o g i v e a g o o d

m i x o f l o a d t y p e s . T h e c a s e s a r e d i v i d e d i n t o f o u r g r o u p s .C a s e s 1 t o 4 a r e f o r 3 P h 3W w i t h 2 - p h a s e l o a d [ 1 ] s h o w n i nF i g u r e 3 . C a s e s 5 t o 8 a r e f o r 3 P h 4W s t a r l o a d s h o w n i nF i g u r e 4 . C a s e s 9 t o 1 1 a r e f o r 3 P h 4W s t a r / d e l t a m i x e d l o a da l s o s h o w n i n F i g u r e 4 . C a s e 1 2 t o 1 6 a r e f o r 3 P h 3W d e l t al o a d a c c o r d i n g t o F i g u r e 5 .T h e a c t i v e c u r r e n t i s g i v e n b yi : = I I 2 i c o s [ w O t + o c ] ( c o s [ o c - P 3 ]c t i v e rms ( 3 )T h e a b o v e g e n e r a l f o r m u l a e a r e u s e d t o c o m p u t e t h e a c t i v ec u r r e n t f l o w i n g i n e a c h c o n d u c t o r . T h i s i s r e p e a t e d f o r t h er e m a i n i n g c o n d u c t o r s i n c l u d i n g t h e r e f e r e n c e c o n d u c t o r . T h ec u r r e n t i n t h e r e f e r e n c e c o n d u c t o r i s t h e sum o f t h e c u r r e n t s i ne a c h o f t h e o t h e r c o n d u c t o r s .B . C o n d u c t o r l o s s i n t h e s y s t e m

T h e l o s s i n a c o n d u c t o r i s p r o p o r t i o n a l t o L c o n d 2 ( I c o n d i SRM S v a l u e ) . A s s u m e t h a t a l l c o n d u c t o r s h a v e t h e s a m er e s i s t a n c e , R , p e r u n i t l e n g t h . T h e u n i t l e n g t h c o n d u c t o r l o s sp e r c o n d u c t o r i s t h u s g i v e n b yP c o n d L o s s : = I c o n d R. ( 4 )

T h e t o t a l 3 - p h a s e s y s t e m c o n d u c t o r l o s s p e r u n i t l e n g t h i sg i v e n b y t h e a r i t h m e t i c sum o f t h e u n i t l e n g t h c o n d u c t o r l o s sf o r e a c h c o n d u c t o r ( i n c l u d i n g t h e r e f e r e n c e c o n d u c t o r ) a sf o l l o w s( 5 )t o t a l L o s s E P ' c o n d L o s s -A l l C o n d u c t o r s

N o t e : f o r c a s e 7 A , L B i s r e p l a c e d b y C BF i g u r e 4 : S t a r a n d M i x e d Load- C a s e s 5 t o 1 1

. 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ -

Of V i r t u a l N e u t r a lF i g u r e 5 : D e l t a l o a d - C a s e s 1 2 t o 1 6

E q u a t i o n ( 5 ) g i v e s t h e t o t a l l o s s f o r a p a r t i c u l a r r e f e r e n c ec o n d u c t o r . T h i s c a l c u l a t i o n i s r e p e a t e d w i t h t h e o t h e rc o n d u c t o r s b e i n g u s e d a s r e f e r e n c e .T h e a b o v e a p p r o a c h i s n o v e l i n t h a t i t p r o p o s e s a r e f e r e n c ec o n d u c t o r t h a t i s n o t f i x e d b u t d e p e n d e n t o n s y s t e m c o n d i t i o n s .T h i s d i f f e r s f r o m t h e p r e s e n t p r a c t i c e w h e r e e i t h e r t h e " n e u t r a l "o r " v i r t u a l n e u t r a l " i s u s e d a s t h e r e f e r e n c e . A p a r a d i g m s h i f ti s r e q u i r e d t o a d o p t t h i s a p p r o a c h .

T h e s o u r c e v o l t a g e s a n d l o a d s a r e a s f o l l o w s .V o l t a g e sS o u r c e p h a s e v o l t a g e s a r ev j N ( t ) : = X F V i . c o s ( t l o t + ( c i ) , ( 6 )V N I ( t ) =- V i N ( t ) , 7w h e r e i = A , B , C .T h e p h a s e t o p h a s e v o l t a g e s a r e d e r i v e d f r o m ( 6 ) a n d a r er e p r e s e n t e d a s f o l l o w sV i j ( t ) = V i N ( t ) - V j N ( t ) , ( 8 )

1


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v i j ( t ) : = X Vij a n d jo s ( c o t + B c i . jw h e r e o x , j = ( x i - o x j a n d j = A , B , C .T h e p h a s e t o v i r t u a l n e u t r a l v o l t a g e s d e r i v e d f r o m ( 9 ) a r er e p r e s e n t e d a s f o l l o w s1v A O ( t ) = [ V A B ( t ) + V A C ( t ) ] ( 1 0 )3= ' \ 2 V A O r m s , C O S ( w t + U A O ) , I ( 1 )v B O ( t ) = [ V B A ( t ) + V B C ( t ) ]3

= - X V B O r m s c o s ( w ) t + O C B O ) ,v c o ( t ) = [ V C A ( t ) + V C B ( t ) ] ,3

= T h 2 V c o r m s c o s ( c o t + a c o ) .L o a d sT h e l o a d s are g i v e n b yZ . : = 2 R . 2 + ( ( D L i ) 2 6a : = t a n - , (Z i : = 0R. ((C, )2 '6Z :=tan-i = A, B , C a n d j = A , B , C ,

( 1 2 )( 1 3 )

( 9 ) A . C a s e s 1 t o 4 : 3 P h 3 W w i t h 2 - p h a s e L o a dF o r t h i s c i r c u i t t h e r e f e r e n c e c a n b e t h e A o r B c o n d u c t o r( t h e s a m e r e s u l t s a r e o b t a i n e d f o r b o t h ) .U s i n g c o n d u c t o r B a s r e f e r e n c e w i t h v o l t a g e v A B ( t ) g i v e nb y ( 9 ) , t h e c o n d u c t o r c u r r e n t s a r e c a l c u l a t e d a s f o l l o w s .U s e ( 1 8 ) t o d e t e r m i n e t h e l o a d w h e r e R A B = RA+ R B a n d

L A B = L A + L B a n d c a l c u l a t e t h e c o n d u c t o r c u r r e n t s a s f o l l o w si A ( t ) = VABrm c o s ( w o t + O C A B -6 Z ) '

AB

i B ( t ) = X I r V c o s ( c t + C A B 6 Z A B + 1 )AB( 1 9 )( 2 0 )

i c ( t ) = 0 . ( 2 1 )( 1 4 ) U s i n g B a s r e f e r e n c e , t h e c o n d u c t o r a c t i v e c u r r e n t s a r e t h e nc a l c u l a t e d a s f o l l o w s( 1 5 )

( 1 6 )

( 1 7 )

Z i j : = Rij L i j )2 z i j =tan(R1W i t h t h e v o l t a g e s a n d l o a d s d e f i n e d , t h e l o a d c u r r e n t s i ne a c h c on du ct or can b e c a l c u l a t e d . T h e a c t i v e c u r r e n t i n e a c hc o n d u c t o r i s t h e n d et er mi ne d. F o r a p a r t i c u l a r r e f e r e n c e , t h ea c t i v e c u r r e n t s are t h e source c u r r e n t s a f t e r n o n - a c t i v e powerh a s b e e n c o m p e n s a t e d , w h i c h are t h e same as t h e l o a d c u r r e n tr e s o l v e d i n p h a s e w i t h t h e v o l t a g e v e c t o r . T h i s i s as i l l u s t r a t e di n f i g u r e 6 .

3Arce A i A i Q d I' A c t i v 9

iEIourc B B l o o d

B =l c t ' r v 9

i A c o m p ikomp ' C R o m p I N ] c o m p L_____Compensator

F i g u r e 6: Active conductor currentKnowing the active conductor current, the total unit length

conductor loss for a p a r t i c u l a r reference conductor can beo b t a i n e d . Note that "R" is taken as the conductor resistanceper u n i t l e n g t h a n d u s e d t o c o m p u t e t h e c o n d u c t o r l o s s . T h ep r o c e d u r e i s r e p e a t e d f o r e a c h r e f e re nc e c o n d u c t o r . T h i s i so u t l i n e d b e l o w f o r e a c h o f t h e m a i n group o f cases a n di l l u s t r a t e d u s i n g c o n d u c t o r B as r e f e r e n c e .

i A a c t i v e ( t ) = X c o s ( w O t + O C A B ) C O s ( 6 ' B ) ' ( 2 2 )ZABi a c t i v e ( t ) ,i B a c t i v e ( t ) = - i A a c t i v e ( t ) + i C a c t i v e ( t ) ] . ( 2 3 )

T h e c o n d u c t o r l o s s f o r e a c h c o n d u c t o r a n d t h e t o t a lc o n d u c t o r l o s s i s c a l c u l a t e d w i t h ( 4 ) a n d ( 5 ) u s i n g t h e "RMS"v a l u e o f t h e c o n d u c t o r a c t i v e c u r r e n t s a s f o l l o w s7 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2

P A c o n d L o s s VA B r c o s ( 6 z ) R , ( 2 4 )AB

P C c o n d L o s s 0 1 (25){ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2P B c o n d L o s s z C O S ( 6 Z A B R ( 2 6 )ABP t o t a l L o s s P A c o n d L o s s + P C c o n d L o s s + P B c o n d L o s s (27)T h e c o m p u t a t i o n i s r e p e a t e d f o r t h e o t h e r r e f e r e n c e s - " C "a n d " v i r t u a l n e u t r a l " .B . C a s e 5 t o 8 : 3 P h 4W s t a r l o a d

T h e n e u t r a l c o n d u c t o r i s t h e r e f e r e n c e f o r t h i s c i r c u i t .U s i n g v o l t a g e g i v e n i n e q u a t i o n s ( 6 ) a n d l o a d s a s i n ( 1 6 ) , t h ec o n d u c t o r c u r r e n t s a r e g i v e n b yi i ( t ) : = X c o s ( c w t + o c i - 6 z i ( 2 8 )Z iw h e r e i = A , B , C a n di N ( t ) - [ i A ( t ) + i B ( t ) + i C ( t ) ] IN c o s ( w O t t - 6 N ) ( 2 9 )

U s i n g c o n d u c t o r B a s r e f e r e n c e , t h e c o n d u c t o r a c t i v ec u r r e n t s a r e c a l c u l a t e d a s f o l l o w si A a c t i v e ( t )

V A r m s c o s ( C t + C A B ) C O S ( C A B C A +6 ) ( 3 0 )A

i C a c t i v e ( t )X V C r m c o s ( C 1 t +C C B ) C O S ( C C B C + Z 6 k C ( 3 1 )

ci N a c t i v e ( t ) X / I N C O S ( w O t + ( X B + 2 1 ) C O S ( U X B + 2 + 6 N ) ( 3 2 )i B a c t i v e ( t ) = I N A a c t i v e ( t ) + i C a c t i v e ( t ) + i N a c t i v e ( t ) ] . ( 3 3 )

I( o C i R i '


4/6

T h e c o n d u c t o r l o s s f o r e a c h c o n d u c t o r a n d t h e t o t a lc o n d u c t o r l o s s i s c a l c u l a t e d w i t h ( 4 ) a n d ( 5 ) u s i n g t h e "RMS"v a l u e o f t h e c o n d u c t o r a c t i v e c u r r e n t s .T h e c o m p u t a t i o n i s r e p e a t e d f o r t h e o t h e r r e f e r e n c e s " C " ," A " a n d " N " .

C . C a s e 9 t o 1 1 : 3 P h 4 W s t a r l d e l t a m i x e d l o a dF o r t h i s c i r c u i t t h e r e a r e t w o r e f e r e n c e c o n d u c t o r s - n e u t r a lf o r t h e s t a r c o n n e c t e d l o a d a n d A o r B f o r t h e p h a s e - p h a s ec o n n e c t e d l o a d . E s s e n t i a l l y t h i s i s a c a s e o f m i x e d r e f e r e n c ef r o m t h e l o a d p o i n t o f v i e w . H o w e v e r , a s i n g l e r e f e r e n c ec on du ct or h a s t o b e d e t e r m i n e d . T h e c o n d u c t o r c u r r e n t s a r ed e t e r m i n e d a s f o l l o w s .S t a r l o a d c u r r e n t s a r e d e t e r m i n e d a s i n s e c t i o n 1 1 1 . 2 a n dp h a s e AB l o a d c u r r e n t s d e t e r m i n e d a s i n 1 1 1 . 1 . T h e sum g i v e st h e c o n d u c t o r c u r r e n t s . T h i s i s a s f o l l o w s

i A ( t ) : = r 2 I A l c o s ( c o t + O C A I - A ) Ii B ( t ) = X I B I c o s ( c o t + O C B I -BI ) Ii c ( t ) : = X c o s ( c w t + C C - z ) Ic

( 3 4 )( 3 5 )( 3 6 )

i N ( t ) = - [ i A ( t ) + i A ( t ) + i A ( t ) ] X I N I C o s ( w t - 6 N l ) ( 3 7 )U s i n g c o n d u c t o r B a s r e f e r e n c e , t h e c o n d u c t o r a c t i v e c u r r e n t sa r e c a l c u l a t e d a s f o l l o w si A a c t i V e ( t )X I A I c o s ( w O t + O C A B ) C O S ( U X A B O C A I + 6 A 1 ) , ( 3 8 )

i C a c t i v e ( t )X VCrs C O S ( ( C l t + U C C B ) C O S ( U X C B - c + 6 z ) ( 3 9 )z c

i N a c t i v e ( t ) = X ' N I c o s ( w o t + ( X B + 2 1 ) C o s ( U X B + 2 1 + 6 N 1 ) ( 4 0 )i B a c t i v e ( t ) = I - A a c t i v e ( t ) + i C a c t i v e ( t ) + i N a c t i v e ( t ) ] . ( 4 1 )T h e c o n d u c t o r l o s s f o r e a c h c o n d u c t o r a n d t h e t o t a lc o n d u c t o r l o s s i s c a l c u l a t e d w i t h ( 4 ) a n d ( 5 ) u s i n g t h e "RMS"v a l u e o f t h e c o n d u c t o r a c t i v e c u r r e n t s .T h e c o m p u t a t i o n i s r e p e a t e d f o r t h e o t h e r r e f e r e n c e s " C " ," A " a n d " N " .

D . C a s e 1 2 t o 1 6 : 3 P h 3W d e l t a l o a dT h i s i s a l s o a m i x e d r e f e r e n c e c a s e . T h e r e i s n o u n i q u er e f e r e n c e c o n d u c t o r - c o n d u c t o r A i s t h e r e f e r e n c e f o r l o a d BAa n d C A . S i m i l a r l y , B i s f o r l o a d AB a n d CB a n d C i s f o r l o a dAC a n d BC a s r e f e r e n c e . A g a i n , a s i n g l e r e f e r e n c e c o n d u c t o rs h ou l d b e d e t e r m i n e d . C o n d u c t o r c u r r e n t s a r e d e t e r m i n e d a sf o l l o w s .T h e c u r r e n t i n c o n d u c t o r A i s m a d e o f t w o c o m p o n e n t s a sf o l l o w s

i A ( t ) = VAX m cos(t + O C A B - Z A B ) A BV A C 2z c o s ( t + O C A C - 6 Z) Z ( 4 2 )C AT h i s c a n b e s i m p l i f i e d t o

I A ( t ) : = X - I A 2 c o s ( c W t + O C A 2 - AI ) ( 4 3 )

i B ( t ) = X I B 2 c o s ( c w t + O C B 2 -B2 ) Ii c ( t ) = X I C 2 c o s ( c w t + C C 2 - 6 C 2 ) Ii N ( t ) - [ i A ( t ) + i A ( t ) + i A ( t ) ] = X I N 2 c o s ( c t - 6 N 2 )

( 4 4 )( 4 5 )( 4 6 )

U s i n g c o n d u c t o r B a s r e f e r e n c e , t h e c o n d u c t o r a c t i v ec u r r e n t s a r e c a l c u l a t e d a s f o l l o w s .i A a c t i v e ( t ) =X I A 2 c o s ( c w t + O C A B ) C O S ( U X A B - U A 2 + 6 A 2 ) Ii C a c t i v e ( t )X I C 2 c o s ( W t + O C C B ) C O S ( U X C B -UC2 + 6 C 2 ) I

i N a c t i v e ( t ) = X 2 I N 2 C O S ( w - O t + ( X B + 2 1 ) C o S ( C B + 2 1 + 6 N 2 ) Ii B a c t i v e ( t ) =- [ A a c t i v e ( t ) + i C a c t i v e ( t ) + i N a c t i v e ( t ) ] .

( 4 7 )( 4 8 )( 4 9 )( 5 0 )

T h e c o n d u c t o r l o s s f o r e a ch c o n d u c t o r a n d t h e t o t a lc o n d u c t o r l o s s i s c a l c u l a t e d w i t h ( 4 ) a n d ( 5 ) u s i n g t h e "RMS"v a l u e o f t h e c o n d u c t o r a c t i v e c u r r e n t s .T h e c o m p u t a t i o n i s r e p e a t e d f o r t h e o t h e r r e f e r e n c e s - " C " ," A " a n d " V o l " .T h e r e s u l t s o f t h e c o m p u t a t i o n a r e p r e s e n t e d i n t h e n e x ts e c t i o n .

I V . RESULT OF COMPUTATIONT h i s s e c t i o n p r e s e n t s t h e r e s u l t s o f t h e c o m p u t a t i o n o fc u r r e n t s a n d c o n d u c t o r l o s s e s f o r s i x t e e n c a s e s u s i n g t h e d a t ai n T a b l e I I .

TABLE I I . CASE DATAC a s e C a s e L o a d D a t a

1 Ra= 0 . 7 , Rb = 0 . 3 , R c = o p e n c i r c u i t .S y m m e t r i c a l 3 P h a s e ( V p h = 1 5 V ) v o l t a g e2,2A Ra= 0 . 7 , R b = 0 . 3 , R c = o p e n c k t , La= 0 . 0 1 , L b0 . 0 1 , L c = o p e n c k t . Forcase2ACa =Cb= 1 0 1 3r e p l a c e s L a , L b .S y m m e t r i c a l 3 P h a s e ( V p h = 1 5 V ) v o l t a g e

3 Ra= 0 , R b = 0 , R c = o p e n c k t , L a = 0 . 0 1 , L b = 0 . 0 1 , L c= o p e n c k t .S y m m e t r i c a l 3 P h a s e ( V p h = 1 5 V ) v o l t a g e4 Ra= 0 . 6 , Rb = 0 . 9 , Rc = o p e n c k t , La= 0 . 0 0 5 , L b0 . 0 0 4 , L c = o p e n c k t .S y m m e t r i c a l 3 P h a s e ( V p h = 1 5 V ) v o l t a g e

5 Ra= 1 . 0 6 , Rb = 1 . 3 2 , Rc= 1 . 3 2 .S y m m e t r i c a l 3 P h a s e ( V p h = 1 1 5 V ) v o l t a g e6 Ra= 1 . 0 6 , Rb = 1 . 3 2 , Rc= 1 . 3 2 .U n - S y m m e t r i c a l 3 P h a s e ( V p h A = 1 1 5 V , V p h B

1 1 5 V , VphC = 0 . 8 x 1 1 5 V ) v o l t a g e7 , 7 A Ra= 1 . 0 6 , Rb = 1 . 3 2 , R c 1 . 3 2 , La= 0 . 0 0 3 6 , L b0 . 0 0 4 2 , L c = 0 . 0 0 4 2 . F o r c a s e 7A C b = 2 4 1 2 r e p l a c e sL b .S y m m e t r i c a l 3 P h a s e ( V p h = 1 1 5 V ) v o l t a g e8 Ra= 1 . 0 6 , Rb = 1 . 3 2 , R c = 1 . 3 2 , La= 0 . 0 0 3 6 , L b0 . 0 0 4 2 , L c = 0 . 0 0 4 2 .U n - S y m m e t r i c a l 3 P h a s e ( V p h A = 1 1 5 V , V p h B1 1 5 V , V p h c = 0 . 8 x 1 1 1 5 V ) v o l t a g e9 Ra= 1 . 0 6 , Rb = 1 . 3 2 , Rc= 1 . 3 2 , Rab= 1 .S y m m e t r i c a l 3 P h a s e ( V p h = 1 1 5 V ) v o l t a g e1 0 Ra= 1 . 0 6 , R b = 0 , R c = 1 . 3 2 , R a b = 0 , L a = 0 . 0 0 3 6 , L b

= 0 . 0 0 4 2 , L c = 0 . 0 0 4 2 , L a b 0 . 0 0 5 .S y m m e t r i c a l 3 P h a s e ( V p h 1 5 V ) v o l t a g eS i m i l a r l y t h e c u r r e n t i n t h e o t h e r c o n d u c t o r s i s g i v e n b y


5/6

1 1 Ra= 1 . 0 6 , R b = 0 , R c = 1 . 3 2 , R a b = 1 . 0 , L a = 0 . 0 0 3 6 ,L b = 0 . 0 0 4 2 , L c = 0 . 0 0 4 2 , L a b = 0 .S y m m e t r i c a l 3 P h a s e ( V p h = 1 1 5 V ) v o l t a g e1 2 R a b = 1 . 0 6 , R b c = 1 . 3 2 , Rca= 1 . 3 2 , L a b = 0 . 0 , L b c0 . 0 , Lca= 0 . 0 2 .S y m m e t r i c a l 3 P h a s e ( V p h = 1 1 5 V ) v o l t a g e1 3 Rab= 1 . 0 6 , Rbc= 1 . 3 2 , Rca= 1 . 3 2 .U n - S y m m e t r i c a l 3 P h a s e ( V p h A = 1 9 9 . 1 8 5 8 V , V p h B1 9 9 . 1 8 5 8 V , V p h c = 1 7 9 . 6 3 5 7 V ) v o l t a g e1 4 Rab= 1 . 0 6 , Rbc= 1 . 3 2 , Rca= 1 . 3 2 .U n - S y m m e t r i c a l 3 P h a s e ( V p h A B = 1 8 9 . 3 1 3 9 V , V p h B c

= 1 6 9 . 4 0 5 6 V , V p h C A = 1 7 9 . 6 3 5 7 V ) v o l t a g e1 5 Rab= 1 . 0 6 , Rbc= 1 . 3 2 , Rca= 1 . 3 2 , Lab= 0 . 0 0 3 6 , L b c= 0 . 0 0 4 2 , Lca= 0 . 0 0 4 2 . S y m m e t r i c a l 3 P h a s e ( V p h1 1 5 V ) v o l t a g e

1 6 Rab= 1 . 0 6 , Rbc= 1 . 3 2 , Rca= 1 . 3 2 , Lab= 0 . 0 0 3 6 , L b c= 0 . 0 0 4 2 , Lca= 0 . 0 0 4 2 .U n - S y m m e t r i c a l 3 P h a s e ( V p h A = 1 9 9 . 1 8 5 8 V , V p h B1 9 9 . 1 8 5 8 V , V p h c = 1 7 9 . 6 3 5 7 V ) v o l t a g e

N o t e : V o l t a g e s a r e RM S v a l u e s , f r e q u e n c y i s 5 0 H z , r e s i s t a n c e i n O h m s ,i n d u c t a n c e i n H e n r y a n d c a p a c i t a n c e i n g F .T h e RM S c o n d u c t o r c u r r e n t s a n d t o t a l c o n d u c t o r l o s s , f o r

e a ch o f t h e r e f e r e n c e s , c a l c u l a t e d a s o u t l i n e d i n S e c t i o n I I I a r et a b u l a t e d i n T a b l e I I I . N o t e t h a t t h e s o u r c e c u r r e n t s l X s o u r c e( X = A , B , C o r N ) a r e t h e a c t i v e s o u r c e c u r r e n t s a f t e r t h e l o a dc u r r e n t s h a v e b e e n c o m p e n s a t e d a n d P c o n d l o s s i s t h e t o t a lc o n d u c t o r l o s s f r o m t h e f l o w o f t h e s e a c t i v e s o u r c e c u r r e n t s .A l s o n o t e t h a t f o r d e t e r m i n a t i o n o f t h e o p t i m a l r e f e r e n c e , o n l yt h e c o n d u c t o r v o l t a g e t o r e f e r e n c e a n d c o n d u c t o r c u r r e n t s a r er e q u i r e d . K n o w l e d g e a b o u t t h e l o a d i s n o t n e c e s s a r y .TABLE I I I . CONDUCTOR CURRENTS AND TOTAL U N I T LENGTHCONDUCTOR L o s s

Minimum l o s s i s s h o w n i n b o l d i t a l i c s

C a s e 5 - S o u r c e c u r r e n t s / u n i t l e n g t h l o s s a f t e r c o m p e n s a t i o nl A s o u r c e ( A ) 9 3 . 4 6 6 9 3 . 4 6 6 1 5 2 . 0 5 1 0 8 . 4 9I B s o u r c e ( A ) 1 3 6 . 3 4 7 5 . 4 4 9 7 5 . 4 4 9 8 7 . 1 2 1I C s o u r c e ( A ) 7 5 . 4 9 9 1 3 6 . 3 4 7 5 . 4 4 9 8 7 . 1 2 1I N s o u r c e ( A ) 1 0 . 6 8 5 1 0 . 9 4 2 2 1 . 3 6 9 2 5 . 3 6 9P c o n d l o s s ( k W ) 3 2 . 2 3 R 3 3 . 2 3 R 3 4 . 9 6 R 2 7 . 4 1 RC a s e 6 - S o u r c e c u r r e n t s / u n i t l e g t h l o s s a f t e r c o m p e n s a t i o nl A s o u r c e ( A ) 9 3 . 9 5 6 9 7 . 2 3 6 1 4 7 . 8 9 1 0 8 . 4 9l B s o u r c e ( A ) 1 3 3 . 0 9 7 8 . 0 8 3 7 5 . 4 4 9 8 7 . 1 2 1I C s o u r c e ( A ) 5 8 . 0 0 5 1 1 8 . 7 3 5 8 . 0 0 5 6 9 . 6 9 7I N s o u r c e ( A ) 1 . 9 7 3 2 8 . 1 0 9 3 0 . 1 3 8 3 3 . 6 5 4P c o n d l o s s ( k W ) 2 9 . 9 1 R 3 0 . 3 3 R 3 1 . 8 4 R 2 5 . 3 5 RC a s e 7 - S o u r c e c u r r e n t s / u n i t l e g t h l o s s a f t e r c o m p e n s a t i o nI A s o u r c e ( A ) 1 6 . 8 7 2 7 1 . 0 0 3 7 5 . 6 8 7 5 1 . 1 8 7l B s o u r c e ( A ) 7 4 . 8 3 6 1 5 . 9 5 9 5 9 . 5 2 4 3 . 5 7 8c s o u r c e ( A ) 5 9 . 5 2 6 3 . 3 6 4 1 5 . 9 5 9 4 3 . 5 7 8I N s o u r c e ( A ) 5 . 5 7 6 1 2 . 7 3 3 7 . 2 7 8 9 . 8 6 7P c o n d l o s s ( k W ) 9 . 4 5 9 R 1 0 . 1 3 R 9 . 5 7 9 R 6 . 5 1 6 RC a s e 7A - S o u r c e c u r r e n t s / u n i t l e n g t h l o s s a f t e r c o m p e n s a t i o nl A s o u r c e ( A ) 1 6 . 8 7 2 7 1 . 0 0 3 1 1 0 . 4 6 5 1 . 1 8 7l B s o u r c e ( A ) 7 4 . 8 3 6 5 9 . 5 2 1 5 . 9 5 9 4 3 . 5 7 8I C s o u r c e ( A ) 5 9 . 5 2 8 8 . 1 8 2 1 5 . 9 5 9 4 3 . 5 7 8I N s o u r c e ( A ) 5 . 5 7 6 2 5 . 5 0 9 8 2 . 8 8 4 9 . 8 6 7P c o n d l o s s ( k W ) 9 . 4 5 9 R 1 0 . 7 0 R 1 9 . 5 8 R 6 . 5 1 6 RC a s e 8 - S o u r c e c u r r e n t s / u n i t l e n g t h l o s s a f t e r c o m p e n s a t i o nl A s o u r c e ( A ) 1 6 . 8 7 2 6 9 . 4 8 6 8 . 9 9 4 5 2 . 1 8 7l B s o u r c e ( A ) 7 6 . 5 2 3 1 9 . 7 3 7 5 9 . 5 2 4 3 . 5 7 8I c s o u r c e ( A ) 4 8 . 3 3 5 5 9 . 5 7 9 . 6 9 3 3 5 . 8 6 3I N s o u r c e ( A ) 1 7 . 4 7 9 2 1 . 4 4 9 4 . 8 6 9 1 5 . 7 6 6P c o n d l o s s ( k W ) 8 . 8 7 2 R 9 . 2 2 6 R 8 . 8 4 2 R 5 . 9 8 3 RC a s e 9 - S o u r c e c u r r e n t s / u n i t l e n g t h l o s s a f t e r c o m p e n s a t i o nl A s o u r c e ( A ) 2 7 5 . 0 3 1 8 4 . 5 0 3 2 1 . 8 7 2 6 4 . 5 5l B s o u r c e ( A ) 3 0 9 . 3 8 1 6 5 . 9 9 2 5 6 . 5 3 2 4 3 . 9 4I C s o u r c e ( A ) 7 5 . 4 9 9 2 9 2 . 9 9 7 5 . 4 4 9 8 7 . 1 2 1I N s o u r c e ( A ) 1 0 . 6 8 5 1 0 . 6 8 5 2 1 . 3 6 9 1 6 7 . 7 5P c o n d l o s s ( k W ) 1 7 7 . 2 R 1 4 7 . 8 R 1 7 5 . 6 R 1 6 5 . 8 RC a s e 1 0 - S o u r c e c u r r e n t s / u n i t l e n g t h l o s s a f t e r c o m p e n s a t i o nl A s o u r c e ( A ) 1 6 . 8 7 2 1 8 0 . 8 2 4 5 . 5 7 9 3 5 1 . 0 0l B s o u r c e ( A ) 3 5 . 3 1 9 1 5 3 . 4 0 4 3 . 5 7 8 6 3 . 4 0 6I c s o u r c e ( A ) 5 9 . 5 2 1 8 1 . 3 9 1 5 . 9 5 9 4 3 . 5 7 8I N s o u r c e ( A ) 3 8 . 0 0 2 4 6 . 8 1 1 1 0 . 7 4 1 3 5 5 . 5 7

P c o n d l o s s ( k W ) 6 . 5 1 9 R 9 1 . 3 2 R | 4 . 3 4 7 R 2 5 5 . 5 RC a s e 1 1 - S o u r c e c u r r e n t s / u n i t l e n g t h l o s s a f t e r c o m p e n s a t i o nl A s o u r c e ( A ) 2 1 6 . 0 5 1 7 0 . 6 0 2 4 3 . 7 3 2 2 3 . 3 1l B s o u r c e ( A ) 2 1 5 . 3 8 5 0 . 0 1 5 2 4 2 . 7 6 1 7 2 . 5I c s o u r c e ( A ) 5 9 . 5 2 2 4 9 . 7 2 1 5 . 9 5 9 4 3 . 5 7 8I N s o u r c e ( A ) 3 8 . 0 0 2 4 6 . 8 1 1 1 0 . 7 4 1 1 6 0 . 0 3P c o n d l o s s ( k W ) 9 8 . 0 6 R 9 6 . 7 9 R 1 1 8 . 7 R T 1 0 7 . 1 RC a s e 1 2 - S o u r c e c u r r e n t s / u n i t l e n g t h l o s s a f t e r c o m p e n s a t i o nl A s o u r c e ( A ) 2 6 3 . 3 6 2 4 4 . 8 5 4 2 4 . 5 0 - 2 9 3 . 4 3l B s o u r c e ( A ) 4 2 4 . 5 0 2 4 4 . 8 5 2 6 3 . 3 6 - 2 9 3 . 4 2I C s o u r c e ( A ) 2 2 6 . 3 5 4 2 4 . 1 0 2 2 6 . 3 5 - 2 6 1 . 3 6I N s o u r c e ( A ) - - - - 3 1 . 8 9 8P c o n d l o s s ( k W ) 3 0 0 . 8 R 2 9 9 . 8 R 3 0 0 . 8 R - 2 4 1 . 5 R

C a s e 4 - S o u r c e c u r r e n t s / u n i t l e n g t h l o s s a f t e r c o m p e n s a t i o nI A s o u r c e ( A ) 3 . 8 0 4 8 . 1 1 2 6 . 9 0 1l B s o u r c e ( A ) 3 . 8 0 4 4 . 3 0 8 0 . 2 9 1I c s o u r c e ( A ) 0 7 . 0 3 0 7 . 0 4 8I N s o u r c e ( A )P c o n d l o s s ( W ) 2 8 . 9 4 R 1 3 3 . 8 R 9 7 . 3 8 4

R e f e r e n c e B C A N 0P h a s e P h a s e P h a s e P h a s e P h a s eC a s e 1 - S o u r c e c u r r e n t s / u n i t l e n g t h l o s s a f t e r c o m p e n s a t i o nl A s o u r c e ( A ) 2 5 . 9 8 1 2 . 9 9 2 2 . 5 7l B s o u r c e ( A ) 2 5 . 9 8 1 2 . 9 9 2 2 . 5I c s o u r c e ( A ) 0 2 2 . 5 2 2 . 3 6 7I N s o u r c e ( A )P c o n d l o s s ( W ) 1350R 2363R 1516RC a s e 2 - S o u r c e c u r r e n t s / u n i t l e n g t h l o s s a f t e r c o m p e n s a t i o n

' A s o u r c e ( A ) 0 . 6 4 2 3 . 8 1 3 2 . 6 0 7I B s o u r c e ( A ) 0 . 6 4 2 3 . 1 7 2 1 . 4 6 1I c s o u r c e ( A ) 0 3 . 5 3 6 3 . 5 4 2I N s o u r c e ( A )P c o n d l o s s ( W ) 0 . 8 2 4 R 3 7 . 1 1 R 2 1 . 4 7 RC a s e 2A - S o u r c e c u r r e n t s / u n i t l e n g t h l o s s a f t e r c o m p e n s a t i o n' A s o u r c e A 0 . 6 4 0 3 . 1 7 1 1 . 5 3 7l B s o u r c e ( A ) 0 . 6 4 0 3 . 8 1 2 2 . 5 7I C s o u r c e ( A ) 0 3 . 5 3 7 3 . 5 3 1I N s o u r c e ( A )P c o n d l o s s ( W ) 0 . 8 1 9 R 3 7 . 0 9 R 2 1 . 4 4 RC a s e 3 - S o u r c e c u r r e n t s / u n i t l e n g t h l o s s a f t e r c o m p e n s a t i o nI A s o u r c e ( A ) 0 3 . 5 8 1 2 . 1 2 2l B s o u r c e ( A ) 0 3 . 5 8 1 2 . 0 6 7I C s o u r c e ( A ) 0 3 . 5 8 1 3 . 5 8 1I N s o u r c e ( A )P c o n d l o s s ( W ) OR 3 4 . 2 0 R 2 1 . 6 0 R


6/6

C a s e 1 3 - S o u r c e c u r r e n t s / u n i t l e n g t h l o s s a f t e r c o m p e n s a t i o nl A s o u r c e ( A ) 2 6 3 . 3 6 2 4 0 . 2 7 3 9 9 . 9 3 - 2 8 5 . 9 2l B s o u r c e ( A ) 3 9 9 . 9 3 2 4 0 . 2 7 2 6 3 . 3 6 - 2 8 5 . 9 2I C s o u r c e ( A ) 1 8 8 . 5 2 3 9 9 . 9 2 1 8 8 . 5 2 - 2 2 6 . 5 2I N s o u r c e ( A ) - - - - 3 7 . 1 4 7P c o n d l o s s ( k W ) 2 6 4 . 8 R 2 7 5 . 4 R 2 6 4 . 8 R - 2 1 6 . 2 RC a s e 1 4 - - S o u r c e c u r r e n t s / u n i t l e n g t h l o s s a f t e r c o m p e n s a t i o n

' A s o u r c e ( A ) 2 5 7 . 4 5 2 3 9 . 5 7 3 8 4 . 9 1 - 2 7 9 . 7 6l B s o u r c e ( A ) 3 8 4 . 8 8 2 1 8 . 1 9 2 4 3 . 1 6 - 2 6 6 . 4 5I C s o u r c e ( A ) 1 8 4 . 5 2 3 8 4 . 9 2 1 8 9 . 0 7 - 2 2 2 . 2 8I N s o u r c e ( A ) - - - - 3 2 . 2 7 9P c o n d l o s s ( k W ) 2 4 8 . 5 R 2 5 3 . 2 R 2 4 3 . O R - 1 9 9 . 8 RC a s e 1 5 - S o u r c e c u r r e n t s / u n i t l e n g t h l o s s a f t e r c o m p e n s a t i o n

' A s o u r c e A 6 0 . 2 7 4 2 0 0 . 6 1 2 1 8 . 8 6 - 1 5 1 . 5 8l B s o u r c e ( A ) 2 1 5 . 1 3 3 8 . 2 2 1 9 0 . 9 6 - 1 3 2 . 3 1I C s o u r c e ( A ) 1 7 8 . 5 6 2 2 2 . 2 0 4 7 . 8 7 8 - 1 3 0 . 7 3I N s o u r c e ( A ) - - - - 2 5 . 6 8 6P c o n d l o s s ( k W ) 8 1 . 8 R 9 1 . 0 8 R 8 6 . 6 6 R - 5 8 . 2 3 RC a s e 1 6 - S o u r c e c u r r e n t s / u n i t l e n g t h l o s s a f t e r c o m p e n s a t i o nl A s o u r c e ( A ) 6 8 . 9 8 6 1 9 4 . 8 2 2 0 1 . 4 2 - 1 4 7 . 9 6l B s o u r c e ( A ) 2 0 3 . 6 0 3 8 . 7 6 1 1 8 2 . 2 4 - 1 2 7 . 2 1I C s o u r c e ( A ) 1 5 7 . 0 9 2 1 2 . 7 8 3 1 . 5 0 4 - 1 1 3 . 3 0I N s o u r c e ( A ) - - - - 2 2 . 8 7 5P c o n d l o s s ( k W ) 7 0 . 8 9 R 8 4 . 7 3 R 7 4 . 7 8 R - 5 1 . 4 4 R

V . ANALYSIS OF RESULTSI n t h e e n s u i n g a n a l y s i s , t o e v a l u a t e t h e m e t h o d o fi d e n t i f y i n g t h e o p t i m a l r e f e r e n c e c o n d u c t o r , t h e r e s u l t f o rr e f e r e n c e c o n d u c t o r w i t h t h e l o w e s t t o t a l c o n d u c t o r l o s s i sc o m p a r e d w i t h t h e a c t u a l i f k n o w n .T h e f o l l o w i n g i s o b s e r v e d f r o m t a b l e I I I . F o r cases 1 t o 4

we know t h e r e f e r e n c e c o n d u c t o r t o b e B - p h a s e ( o r A - P h a s e ) .T h e p r op o s e d a p p r oa c h i d e n t i f i e s t h e minimum l o s s ( s h o w n i nb o l d i t a l i c s 1 3 5 0 R , 0 . 8 2 4 R , 0 . 8 1 9 R, 2 8 . 9 4 R r e s p e c t i v e l y f o rcases 1 t o 4 ) b e i n g f o r c o n d u c t o r B as t h e p r e f e r r e d r e f e r e n c e .S i m i l a r l y t h e c o r r e c t r e f e r e n c e c o n d u c t o r f o r cases 5 t o 8 i s t h en e u t r a l c o n d u c t o r a n d t h e p r o p os e d a p p r o a ch a g a i n c o r r e c t l yi d e n t i f i e s t h e n e u t r a l c o n d u c t o r w i t h minimum l o s s ( 2 7 . 1 4 R ,2 5 . 3 5 R , 6 . 5 1 6 R , 6 . 5 1 6 R a n d 5 . 9 3 8 R f o r cases 5 t o 8r e s p e c t i v e l y ) t o b e t h e p r e f e r r e d r e f e r e n c e c o n d u c t o r .

T h e t a b l e a l s o s h o w s t h a t f o r cases 1 t o 4 , i f t h e " v i r t u a ln e u t r a l " i s u s e d a s t h e r e f e r e n c e c o n d u c t o r , w h i c h i s p r e s e n t l yt h e p r a c t i c e , t h e c o n d u c t o r l o s s e s are h i g h e r t h a n t h e l o s s e so b t a i n e d u s i n g t h e p r e f e r r e d r e f e r e n c e c o n d u c t o r as i d e n t i f i e db y t h e p r o p o s e d a p p r o a c h . F o r e x a m p l e , in case 2 i t i s 2 1 . 4 7 Ra g a i n s t 0 . 8 2 4 R . T h i s means u s i n g t h e r e f e r e n c e c o n d u c t o r a sp r o p o s e d b y t h e new a p p r o a c h g i v e s o p t i m a l n o n - a c t i v e powerc o m p e n s a t i o n .F o r cases 9 t o 1 6 , w h e r e t h e r e i s no u n i q u e r e f e r e n c e , t h ep ro p os e d a p p r o a c h d o e s i d e n t i f y a p r e f e r r e d r e f e r e n c ec o n d u c t o r w h i c h g i v e s minimum c o n d u c t o r l o s s f o r a non-a c t i v e power c o m p e n s a t e d s y s t e m .

H a v i n g i d e n t i f i e d an o p t i m a l r e f e r e n c e , s i n g l e - p h a s e powerd e f i n i t i o n s can b e u s e d f o r c o m p u t i n g powers i n t h r e e p h a s es y s t e m s . T h e m e t h od a l s o d o e s n o t d e p e n d on i f t h e s y s t e m i sb a l a n c e d or n o t ( i . e . t h e r e i s no n e e d t o a d d r e s s b a l a n c e d a n du n b a l a n c e d cases d i f f e r e n t l y ) . T h i s w i l l a l s o l e a d t o

u n a m b i g u o u s d e f m i t i o n s o f p o w e r s a n d p o w e r f a c t o r .C o m p e n s a t i o n o f n o n - a c t i v e p o w e r u s i n g t h e r e f e r e n c ed e t e r m i n e d b y t h i s m e t h o d l e a d s t o minimum t o t a l l o s s i n t h ec o n d u c t o r s f e e d i n g t h e l o a d .V I . CONCLUSION

A new a p p r o a c h t o d e t e r m i n e a n o p t i m a l r e f e r e n c e c o n d u c t o rf o r a t h r e e - p h a s e s y s t e m h a s b e e n p r e s e n t e d .T h e c u r r e n t s a n d t o t a l p o w e r l o s s f o r a n u m b e r o f c a s e s w i t hu n b a l a n c e d c o n d i t i o n s i s c a l c u l a t e d . T h e p r o p o s e d a p p r o a c hc o r r e c t l y i d e n t i f i e s t h e r e f e r e n c e c o n d u c t o r w h e r e a u n i q u er e f e r e n c e i s k n o w n . W h e r e t h e r e i s n o u n i q u e r e f e r e n c e , t h em e t h o d i d e n t i f i e s a r e f e r e n c e c o n d u c t o r t h a t g i v e s minimumc o n d u c t o r l o s s f o r a c o m p e n s a t e d s y s t e m . T h e m e t h o d a p p l i e st o b o t h b a l a n c e d a n d u n b a l a n c e d t h r e e - p h a s e s y s t e m s .U s i n g t h e p r o p o s e d r e f e r e n c e , s i n g l e - p h a s e p o w e r d e f i n i t i o n sc a n b e e x t e nd e d f o r t h r e e p h a s e s y s t e m s . T h e u s e o f t h i sr e f e r e n c e w i l l g i v e u n a m b i g u o u s v a l u e s o f p o w e r s ( Q a n d S )a n d PF ( p o w e r f a c t o r ) . O p t i m u m c o m p e n s a t i o n o f n o n - a c t i v ep o w e r w o u l d a l s o b e o b t a i n e d b y u s i n g t h i s r e f e r e n c e .

REFERENCES[ 1 ] L . S . C z a r n e c k i , P o w e r r e l a t e d p h e n o m e n a i n t h r e e - p h a s e u n b a l a n c e ds y s t e m s , IEEE T r a n s a c t i o n s o n P o w e r D e l i v e r y , p p 1 1 6 8 - 1 1 7 6 , V o l . 1 0 ,J u l y 1 9 9 5[ 2 ] P . S . F i l i p s k i e t a l , D i s c u s s i o n o f P o w e r D e f i n i t i o n s c o n t a i n e d i n t h eI E E E D i c t i o n a r y , IEEE T r a n s a c t i o n s o n P o w e r D e l i v e r y , V o l 9 N o . 3 ,J u l y 1 9 9 4[ 3 ] F . G a s e m i , W h a t i s W r o n g w i t h E l e c t r i c P o w e r T h e o r y a n d H ow I tS h o u l d b e M o d i f i e d , M e t e r i n g a n d T a r i f f s f o r E n e r g y S u p p l y ,C o n f e r e n c e P u b l i c a t i o n No 4 6 2 , p p 1 0 9 - 1 1 4 , May 1 9 9 9[ 4 ] F . G a s e m i , New C o n c e p t i n AC P o w e r T h e o r y , I E E P r o c e e d i n g s -G e n e r a t i o n , T r a n s m i s s i o n a n d D i s t r i b u t i o n , p p 4 1 7 - 4 2 4 , V o l u m e : 1 4 7I s s u e : 6 , N o v . 2 0 0 0[ 5 ] L . S . C z a r n e c k i , New P o w e r T h e o r y o f t h e 3 - P h a s e N o n - l i n e a rA s s y m m e t r i c a l C i r c u i t s S u p p l i e d f r o m N o ns i n us o i da l V o l t a g e S o u r c e s ,IEEE I n t e r n a t i o n a l S y m p o s i u m o n C i r c u i t s a n d S y s t e m s , V o l . 2 , p p1 6 2 7 - 1 6 3 0 , J u n e 1 9 8 8[ 6 ] L . S . C z a r n e c k i , O r t h o g o n a l D e c o m p o s i t i o n o f t h e C u r r e n t s i n a 3 - P h a s eN o n - l i n e a r A s s y m m e t r i c a l C i r c u i t w i t h a N o n s i n u s o i d a l V o l t a g e S o u r c e ,IEEE T r a ns a c t io n s o n I n s t ru m e nt a t io n a n d M e a s u r e m e n t , V o l . 3 7 I s s u e1 , p p 3 0 - 3 4 , M a r c h 1 9 8 8[ 7 ] P . S . F i l i p s k i , R . A r s e n e a u , D e f i n i t i o n a n d M e a s u r e m e n t o f A p p a r e n tP o w e r U nd e r D i s t o r t e d W a v e f o r m C o n d i t i o n s , T h i r d I n t e r n a t i o n a lC o n f e r e n c e o n H a r m o n i c s i n P o w e r S y s t e m s , I n d i a n a , U S A , O c t o b e r1 9 8 8[ 8 ] L . S . C z a r n e c k i , C o m p a r i s o n o f P o w e r D e f i n i t i o n s f o r C i r c u i t s w i t hN o n s i n u s o i d a l W a v e f o r m s , IEEE T r a n s a c t i o n s o n I n s t r u m e n t a t i o n a n dM e a s u r e m e n t , V o l . 3 7 I s s u e 1 , p p 4 3 - 5 0 , M a r c h 1 9 9 0[ 9 ] H . A k a g i , e t a l , T h e T h e o r y o f I n s t a n t a n e o u s P o w e r i n T h r e e - P h a s eF o u r - W i r e S y s t e m s : A C o m p r e h e n s i v e A p p r o a c h , C o n f e r e n c e R e c o r d o ft h e 1 9 9 9 T h i r t y - F o u r t h I A S A n n u a l M e e t i n g I n d u s t r y A p p l i c a t i o n sC o n f e r e n c e , p p 4 3 1 - 4 3 9 , V o l u m e : 1 , O c t o b e r 1 9 9 9[ 1 0 ] I n s t i t u t e o f E l e c t r i c a l a n d E l e c t r o n i c E n g i n e e r s , IEEE S t a n d a r d 1 4 9 5 -2 0 0 0 - IEEE S t a n d a r d D e f i n i t i o n s f o r t h e M e a s u r e m e n t o f E l e c t r i cP o w e r Q u a n t i t i e s U n d e r S i n u s o i d a l , N o n s i n u s o i d a l , B a l a n c e d , o rU n b a l a n c e d C o n d i t i o n s , I E E E , New Y o r k , 2 0 0 0[ 1 1 ] F . Z . P e n g , L . M . T o l b e r t , C o m p e n s a t i o n o f N o n -A c t iv e C u r r e n t i nP o w e r S y s t e m s - D e f i n t i o n s f r o m C o m p e n s a t i o n S t a n d p i o n t , P o w e rE n g i n e e r i n g S o c i e t y Summer M e e t i n g 2 0 0 0 , p p 9 8 3 - 9 8 7 , V o l u m e : 2 ,1 6 - 2 0 J u l y 2 0 0 0

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