chern, moser - real hypersufarce in complex manifolds

7/28/2019 CHERN, MOSER - Real Hypersufarce in Complex Manifolds

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R E A L H Y P E R S U R F A C E S I N C O M P L E X M A N I F O L D SBY

S . S . C H E R N a n d J . K . M O S E RU n i v e r s it y o f C a l i f o rn i a N e w Y o r k U n i v e r s i tyB e r ke le y , C a l ., U S A N e w Y o r k , N . Y . , U S A

Introduct ionW h e t h e r o n e s tu d i e s t h e g e o m e t r y o r an a l y s is i n t h e c o m p l e x n u m b e r s p a c e C a + l ,

o r m o r e g e n e r a l l y , in a c o m p l e x m a n i f o l d , o n e w i l l h a v e t o d e a l w i t h d o m a i n s . T h e i rb o u n d a r i e s a r e r e a l h y p e r s u r f a c e s o f r e a l c o d i m e n s i o n o n e . I n 1 9 07 , P o i n c a r 4 s h o w e d b y , ah e u r i s t i c a r g u m e n t t h a t a r e a l h y p e r s u r f a c e i n (38 h a s l o c a l i n v a r i a n t s u n d e r b i h o l o m o r p h i et r a n s f o r m a t i o n s [ 6] . H e a l so r e c o gn i z e d th e i m p o r t a n c e o f t h e s p e c ia l u n i t a r y g r o u p w h i c ha c t s o n t h e r e a l h y p e r q u a d r i c s ( c f . w F o l l o w i n g a r e m a r k b y B . ~ Se gr e, E l i e : C a r t a nt o o k , u p a g a i n t h e p r o b l e m . I n t w o p r o f o u n d p a p e r s [ 1] , h e g a v e , a m o n g o t h e r r e s u lt s , ac o m p l e t e s o l u t io n o f th e e q u i v a l e n c e p r o b le m , t h a t i s , t h e p r o b l e m o f f i nd i n g a c o m p l e t es y s t e m o f a n a l y t i c i n v a r i a n t s f o r t w o r e a l a n a l y t i c r e a l h y p e r s u r f a e e s i n C~ t o b e l o c a l lye q u i v a l e n t u n d e r b i h o l o m o r p h i c t r a n s f o r m a t i o n s .L e t z 1 , . . . , z n+l b e t h e c o o r d i n a t e s i n C n + r W e s t u d y a r e a l h y p e r s u r f a c e M a t t h eo r i g i n 0 d e f i n e d b y t h e e q u a t i o n

r ( z l . . . . . Z n + l , ~ 1 . . . . , ~ n + l ) = O , ' ( 0 . 1 )w h e r e r i s a re a l a n a l y t i c f u n c t i o n v a n i s h i n g a t 0 s u c h t h a t n o t a l l i t s f i r s t p a r t i a ld e r i v a t i v e s a r e z e r o a t O . W e s e t

Z = ( z l , : . . . . . g n ) , Z n + x = W = U + i V . ( 0 . 2 )A f t e r a n a p p r o p r i a t e l i n e a r c o o rd i n a t e c h a n g e t h e e q u a t i o n o f M c a n b e w r i t t e n a s

v = F ( z , ~ : u), (0.3)w h e r e F i s r e a l a n a l y t i c a n d v a n i s h e s w i t h ,i ts f i r s t p a r t i a l d e r i v a t i v e s a t O . O u r b a s i ca s s u m p t i o n o n M i s , t h a t i t b e : n o n d e g e n e r a t e , t h a t i s, th e L e v i f o r m

This work~Was par t i a l l y s~pported by the Nat ional Science Foundat ion , Gran ts GP~20096 and~P-34785X. We wish to thank the Rockefel ler Un ivers i ty fo r thei r hosp i ta l ity where the f i rs t au thorwas a visitor in th6 Spring Of 1973.15-742902 Acta ma themat i ca 133. lmprim6 le 31 Janv ier 1975


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os=ta'pY g z= P ' (0 .4 )

i s n o n d e g e n e r a t e a t 0 . I n w 2 , 3 w e s t u d y t h e p r o b l e m o f r e d u c i n g t h e e q u a t i o n t o an o r m a l f o r m b y b i h o l o m o r p h i e t r a n s f o r m a t i o n s o f z, w . T h i s i s f i r s t s t u di e d i n t e r m so f f o r m a l p o w e r s e r i e s in w2 a n d t h e i r c o n v e r g e n c e t o a h o lo m o r p h i c m a p p i n g i se s t a b l i s h e d i n w3 . T h e r e s u l t s a r e s t a t e d i n T h e o r e m s 2 . 2 a n d 3 . 5. I t i s w o r t h n o t i n g t h a tt h e c o n v e r g e n c e o r e x i st e n c e p r o o f is r e d u c e d t o t h a t o f o r d i n a r y d i f f e r e n t ia l e q u a t i o n s .

T h e n o r m a l f o r m i s f o u n d b y f i t t i n g t h e h o l o m o r p h i c i m a g e o f a h y p e r q u a d r i c c l os e l yt o t h e g i v e n m a n i f o l d . F o r n = 1 t h i s l e a d s t o 5 t h o r d e r o s c u l a t i o n o f t h e h o l o m o r p h i ei m a g e o f a s p h e r e a t t h e p o i n t i n q u e s t i o n , w h i l e f o r n >~ 2 t h e a p p r o x i m a t i o n i s m o r ec o m p l i c a t e d . I n b o t h e a s e s , h o w e v e r , t h e a p p r o x i m a t i o n t a k e s p l a c e a l o n g a c u r v et r a n s v e r s a l t o t h e c o m p l e x t a n g e n t s p a c e . T h e f a m i l y o f t h e c u r v e s s o o b t a i n e d s a t i s fi e s as y s t e m o f s e co n d o r d e r d i f f e re n t i a l e q u a t i o n s w h i c h i s h o l o m o r p h i c a l l y in v a r i a n t l ya s s o c i a t e d w i t h t h e m a n i f o l d . F o r a h y p e r q u a d r i c , o r t h e s p h e r e , t h e s e c u r v e s a g r e e w i t ht h e i n t e r s e c t i o n o f c o m p l e x l i n e s w i t h t h e h y p e r q u a d r i c . F o r n = 1 t h e d i f f e r e n t i a l e q u a -t i o n s c a n b e d e r i v e d f r o m t h o s e o f th e s p h e r e b y c o n s t r u c t i n g t h e o s c u l a t i n g h o l o m o r p h i ci m a g e o f t h e s p h e r e , w h i l e f o r n > 1 s u c h a s i m p l e i n t e r p r e t a t i o n d o e s n o t s e e m p o s s i bl e .T h i s f a m i l y o f c u r v e s i s c l e a rl y o f b as i c i m p o r t a n c e f o r t h e e q u i v a le n c e p r o b l e m . A tf i r s t t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f o r t h e s e c u r v e s a r e d e r i v e d f o r r e a l a n a l y t i c h y p e r s u r f a c e sb u t t h e y r e m a i n m e a n i n g f u l a n d i n v a r i a n t f o r f i v e t i m e s c o n t i n u o u s l y d if f e r e n ti a b l em a n i f o l d s .

O n t h e o t h e r h a n d , e q u a t i o n ( 0 . 1 ) i m p l i e siOr = - - iOr , (0.5)

w h i c h i s t h e r e f o r e a r e a l - v a l u e d o n e - fo r m d e t e r m i n e d b y M u p t o a n o n - z e r o f a c t or ; w ew i ll d e n o t e t h e c o m m o n e x p r e s s i o n b y 0 . L e t T , a n d T * b e r e s p e c ti v e l y t h e t a n g e n t a n dc o t a n g e n t s p a c e s a t x f i M . A s a b a s i s o f T * w e c a n t a k e 0 , R e (dz~) , I m (dz~), l


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REAL HYPERSURFACES IN COMPLEX MANIFOLDS 221

s u ff ic e s t h a t t h e C a u c h y - R i e m a n n s t r u c t u r e b e d e f i n e d a b s t r a c t l y o n a r e a l m a n i f o ld o fd i m e n s i o n 2 n + 1 . S e c o n d l y , t h e c o n n e c t i o n a n d t h e r e s u l t in g i n v a r i a n t s a r e a l so d e f i n e du n d e r w e a k e r s m o o t h n e s s c o n d i t i o n s , s u c h a s C ~ , a l t h o u g h t h e i r i d e n t i t y w i l l i n g e n e r a ln o t i n s u r e e q u i v a l e n ce w i t h o u t r e a l a n a l y ti c i t y . I n t h i s c o n n e c t i o n w e m e n t i o n t h ed e e p r e s u l t o f C . F e f f e r m a n [ 2] w h o s h o w e d t h a t a b i h o l o m o r p h i c m a p p i n g b e t w e e n t w os t r ic t l y p s e u d o c o n v e x d o m a i n s w i t h s m o o t h b o u n d a r i e s is s m o o t h u p t o t h e b o u n d a r y .

T h e e q u i v a le n c e p ro b l e m w a s s t u d i ed b y N . T a n a k a f o r re a l h y p e r s u r fa c e s inC n +l c a l le d b y h i m r e g u l a r , w h i c h a r e h y p e r s u r f a c e s d e f i n e d l o c a l ly b y t h e e q u a t i o n ( 0 .3 )w h e r e F d o e s n o t i n v o l v e u [ 7 I ] . L a t e r T a n a k a s t a t e d t h e r e s u l t i n th e g e n e r a l c a s e[ 7 I I ] , b u t t h e d e t a i l s , w h i c h a r e c o n s i d e r a b l e , w e r e t o o u r k n o w l e d g e n e v e r p u b l i s h e d .

O n e i n t e r e s t i n g f e a t u r e o f t h i s s t u d y i s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e c a s e s C~ a n dC n +l, n ~ 2. T h e r e is d e f i n e d i n g e n e r a l a t e n s o r w h i c h d e p e n d s o n t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o fr u p t o o r d e r f o u r i n c l u s iv e a n d w h i c h v a n i s h e s i d e n t i c a l l y w h e n n = 1 . T h u s t h e r e a r ei n v a r i a n t s o f o r d e r f o u r i n t h e g e n e r a l c a s e , w h i l e f o r n = 1 t h e l o w e s t i n v a r i a n t o c c u r s i no r d e r s i x . T h i s d i s t i n c t i o n i s a l s o m a n i f e s t f r o m t h e n o r m a l f o r m s .

T h e C a u c h y - R i e m a n n s t r u c t u r e h a s a n o t h e r f o r m u l a t i o n w h i c h r e la t e s o u r s t u d y t os y s t e m s o f li n e a r h o m o g e n e o u s p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o f f i r s t o r d e r w i t h c o m p l e xc o e f fi c ie n t s . I n f a c t , l i n e a r d i f f e r e n t i a l f o r m s b e i n g c o v a r i a n t v e c t o r f i e ld s , t h e d u a l o ra n n i h i l a t o r o f t h e s p a c e s p a n n e d b y 0 , dz~ w i ll b e s p a n n e d b y t h e c o m p l e x v e c t o r f ie l d sX ~ , l ~ n , w h i c h a r e t h e s a m e a s c o m p l e x l i n ea r h o m o g e n e o u s p a r t i a l d i f fe r e n ti a lo p e r a t o r s ( c f . w4 ) . T h e q u e s t i o n w h e t h e r t h e d i f f e r e n t i a l s y s t e m

X,tw=O, l ~ < ~ < n , ( 0 . 6 )h a s n + 1 f u n c t io n a l l y i n d e p e n d e n t s o lu t io n s m e a n s e x a c t l y w h e t h e r a n a b s t r a c t l y g i v e nC a u c h y - R i e m a n n s t r u c t u r e c a n b e r e a li z e d b y o n e a r is in g f r o m a r e a l h y p e r s u r f a c e inC n +l . T h e a n s w e r i s n o t n e c e s s a r i l y a f f ir m a t i v e . R e c e n t l y , N i r e n b e r g g a v e e x a m p l e s o fl i n e a r d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s X i n t h r e e r e a l v a r i a b l e s s u c h t h a t t h e e q u a t i o n

Xw = 0 (0.7)d o e s n o t h a v e a n o n c o n s t a n t l o c a l s o l u t i o n [ 5 ] .

I t m a y b e i n t e r e s t i n g to c a r r y o u t t h i s c o r r e s p o n d e n c e i n a n e x a m p l e . I n C~ w i t ht h e c o o r d i n a t e s z=x +y i , w =u +v i , (0.8)c o n s id e r th e r e a l h y p e r q u a d r i e M d e f i n e d b y

v = z ~ = x ~ + y ~ ( o , 9 )O n M w e h a v e


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2 2 2 S. S. CHERI~ ANDJ . K. MOSE R0 = ~w-i ~dz = (~u+ xdy- yd~) , dz =dx+idy .

S o l v i n g t h e e q u a t i o n s 0 = d z - O ,w e g e t d x : d y : d u = - i : 1: =2z .T h e c o r r e s p o n d i n g o p e r a t o r , d e f i n e d u p t o a f a c t o r , i s

O x i ~y O~u = ~ - ~ x + ~ - i ( x + y i ) , (0.10)w h i c h i s t h e f a m o u s o p e r a t o r d i s c o v e re d b y H a n s L e w y .

T h e s p i r i t o f o u r s t u d y p a r a l l e l s t h a t o f c l a s s i c a l s u r f a c e t h e o r y . W e l i s t t h ec o r r e s p o n d i n g c o n c e p t s a s f o l l o w s :

S u r f a c e s i n e u c l i d e a n 3 - s p a c eG r o u p o f m o t io n sI m m e r s e d s u r f a ceP l a n eI n d u c e d r i e m a n n i a n s t r u c t u r eI s o m e t r i c ' i m b e d d i n g

Ge o d e s i c s

R e a l h y p e r s u r f a c e s i n C n+ lP s e u d o - g r o u p o f b i h o lo m o r p h i c t r a n s f o r m a t i o n sN o n - d e g e n e r a t e r e a l h y p e r s u r f a c eR e a l h y p e r q u a d r i cI n d u c e d C R - s t r u c t u r eE x i s t e n c e o f l o c a l s o l u t i o n s o f c e r t a i n s y s t e m s o f

P D E sC h a i n s

B e c a u s e o f t h e s p e c ia l ro l e p l a y e d b y t h e r e a l h y p e r q u a d r i c s w e w i l l d e v o t e w 1 t o ad i s c u s s i o n o f t h e i r v a r i o u s p r o p e r t i e s . S e c t i o n 2 d e r i v e s t h e n o r m a l f o r m f o r f o r m a lp o w e r s e r i e s a n d w3 p r o v i d e s a p r o o f t h a t t h e r e s u l t i n g s e r ie s c o n v e r g e s t o a b i h o l o -m o r p h i e m a p p i n g , T h e s e r e s u lt s w e r e a n n o u n c e d i n [ 4 ] , I n w~ w e s o l v e t h e e q u i v a l e n c ep r o b l e m o f t h e i n t e g r a b l e G - s t r u c t u r e s i n q u e s t i o n .in th e s e n s e o f E l i e C a r t a n . T h es o l u t i o n i s i n t e r p r e t e d i n w5 a s d e f i n i n g a c o n n e c t i o n i n a n a p p r o p r i a t e b u n d l e : F i n a l l y ,t h e r e s u l t s o f t h e t w o a p p r o a c h e s , e x t r i n s i c a n d i n t r i n s i c re s p e c t i v e l y , a r e s h o w n t o a g r e ew i t h e a c h o t h e r i n w 6.

I n t h e a p p e n d i x w e i n c l u d e r e s u l t s o f S . W e b s t e r w h o d e r i v e d s o m e i m p o r t a n tc o n s e q u e n c e s f r o m t h e B i a n c h i i d e n t i t i e s .

1 . T h e r e a l h y p e r q u a d r i c sA m o n g t h e n o n - d e g e n e r a t e r e a l h y p e r s u r f a c e s in C ~+ 1 t h e s i m p l e s t a n d m o s t i m -

p o r t a n t a r e t h e r e a l h y p e r q u a d r i c s . T h e y f o r m a p r o t o t y p e o f t h e g e n e r a l n o n - d e g e n e r a t er e a l h y p e r s u rf a c e s w h i c h i n t u r n d e r i v e t h e i r i m p o r t a n t g e o m e t r ic a l p r o p e rt i e s f ro m t h e" o s c u l a t i n g " h y p e r q u a d r i c s . I n f a c t , a m a i n a i m o f t h i s p a p e r i s t o s h o w h o w t h e


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R E A L H Y P E R S U R F A C E S I N C O M P L E X M A N I F O L D S 223g e o m e t r y o f a g e n e r a l n o n - d e g e n e r a t e r e a l h y p e r s u r f a c e c a n b e c q n s i d er e d a s a g e n e r a l iz a -t i o n o f t h a t o f r e a l h y p e r q u a d r i c s . W e s h a l l t h e r e f o r e d e v o t e t h i s s e c t i o n t o a s t u d y o f t h i sspec ia l case .

Let za , zn+1 ( = w = u + iv ) , 1


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22 4 s . s . CHERN AND J. K. MOSER( 1 ) ( Z , Z ' ) i s l i n e a r i n Z a n d a n t i - l i n e a r i n Z ';( 2 ) ( z, z' ) = ( z ' , z ) ;(3 ) Q i s d e f in ed b y

( z , z ) = o . ( l . 6 a )

L e t S U ( p + I , q + l ) b e t h e g r o u p o f u n i m o d u l a r l i n e a r h o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n so n CA, w h i c h l e a v e t h e f o r m ( Z , Z ) i n v a r i a n t . T h e n Q i s a h o m o g e n e o u s s p a c e w i t h t h eg r o u p ~ U ( p + l , q + l ) a s it s g r o u p of au t o m o r p h is m s . I t s n o r m a l s u b g r o u p K o f or d e rn + 2 , c o n s is t in g o f t h e t r a n s f o r m a t i o n s

r En+2=l , 0~


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R E A L H Y P E R S U R F A C E S I N C O M P LE X M A N I F O L D S 2 2 5L e t H b e t h e i s o t ro p y s u b g r o u p o f S U ( p + 1 , q + 1 ) , t h a t i s , i t s l a r g e s t s u b g r o u p l e a v -

i n g a p o i n t Z 0 o f Q f i x e d . T h e m o s t g e n e r a l c h a n g e o f Q - f r a m e s l e a v i n g t h e p o i n t Z o f i x e d i sZ ; = t Z o ,Z*~ = t~ Z o + t~P Z p, (1 .15)

Z ' n + 1 = T Z 0 - ~ ~ 'f lZ / ~ I- ~ - l Z n + l ,w h e r e

t , - 1 d e t ( o t : ) = 1 , /o //

I n t h e f i r s t e q u a t i o n o f ( 1 .1 6 ) w e h a v e u s e d h : t o ra i s e o r l o w e r i n d i c es . O b s e r v e t h a tg n + l l i e s o n Q , a s d o e s g n + l ; t h e e q u a -h e l a s t e q u a t i o n o f ( 1. 16 ) m e a n s t h a t t h e p o i n t *

t i o n c a n a l s o b e w r i t t e nI m ( T t - 1 ) = - h r ( 1 . 1 7 )

H i s t h e r e f o r e t h e g r o u p o f a l l m a t r i c e s( ! o o )t ~ # 0 ( 1 . 1 8 )$ ~ ' t - 1

w i t h t h e c o n d i t i o n s ( 1 . 1 6 ) s a t is f i e d . I t s d im e n s io n i s n ~ + 2 n + 2 . B y ( 1 . 1 4 ) t h e c o r r e s p o n d in gc o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n i s

~= t ~ + t ~ + T r ~ .1 ,J

~ * n + l = ~ - 1 ~ r t + l , J

o r , in t e r m s o f t h e n o n - h o m o g e n e o u s c o o r d i n a t e s d e f i n e d i n ( 1 .5 ) ,Z*# = ($t?ZCtq - 1 "# W ) t - l ~ - 1 ]w * = I t l- 2 w ~ - 1 , l ( 1 . 2 0 )

wh e r e ~ = 1 + t - a t , , z~ ' + t-ITw. (1 .21)W e p u t C ~ # = t-i tS , C= a~'= - ~ v B , e = It l - ~ . (1 .22)T h e n ( 1 . 2 0 ) c a n b e w r i t t e n

z*p = C ~ (z~+ a ~w) ~-1 , ~ (1 .23)w* = Qw~ 1. l


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2 2 6 S ~ S . C H E R N A N D J . K . M O S E RB y ( 1 .16 ) t he coe f f i c i en t s i n ( 1 .23 ) s a t i s f y t he co nd i t i on s

G , , a C / h a ~ = Qh~, (1 .24)a n d t h e c o e f f ic i e n t s i n 0 s a t i s f y

- ( 1 . 2 5 )Im'( t=a~) ~ - h ~ a ~ a ~ . JE q u a t i o n s ( 1 .2 3 ) g i v e t h e t r a n s f o r m a t i o n s o f t h e ~ so ~ro py g r o u p H i n n o n - h o m o g e n e o u sc o o r d i n a t e s .

I n c i d e n t a l l y , t h e h y p e r q u a d r i c Q : c a n b e v i e w e d a s a L i e g r o u p . T o s ee t h i s w e c o n -s i d e r t h e i s o t r o p y s u b g r o u p l e a v i n g Z , + 1 f i x e d . T h e r e l e v a n t f o r m u l a e a r e o b t a i n e d f r o m( 1 .19 ) by t he i nvo l u t i on ~ 0_~ ,+ 1 , ~ n+x_~ _~ 0 , $a -~ $~ ( a = l , 2 , ' . ; n ) :

9 ~ , B = _ v P ~ o + t ~ - . (1 .2 6 )r ~ o + t , r tr

w i t h t h e s a m e r e s t r i c ti o n s ( 1 . 16 ) o n t h e c o e f f ic i e n ts . W e c o n s i d e r t h e s u b g r o u p o b t a i n e db y c h o o s i n g

t2 = (~2, t= I (1 .27)a n d h e n c e , b y ( 1 . 1 6 ) ,t~ = - 2 i h ~ B , I m ~ + , h ~ v ~ v p = 0 .

I n, n o n - h o m o g e n e o u s c o o r d i n a t e s w e o b t a i n

z *a = a a + z : w ' tw* = b + 2ihaii:z~'~ LF (1 .28)w h e r e a ~ = - ~ , b = - % $ m . b = h ~ a a a ~ .T h u s t h e p o i n t w i t h t h e c o o r d i n a t e s ( a l , ' a ~ , . . , ~ " , b ) ca r l ~ be v i ew ed a s a po i n t on Q . I fw e t a k e t h e p o i n t ( z1, z 2 . . . . z ", w ) a l so i n Q t h e n ( 1 . 2 8 ) d e f i n e s a n o n c o m m u t a t i v e g r o u pl a w o n Q , m a k i n g Q a L i e g r o u p . M o r e o v e r , t h e ( n + 2 ) 2 ~ 1 d i m e n s i o n a l g r o u p S U ( p + I ,q + l ) / K i s g e n e r a t e d b y t h e s u b g r o u p ( 1 . 2 6 ) s a t i s f y i n g ( 1 . 2 7 ) a n d t h e i s o t r o p y g r o u p H .

T h e M a u r e r - C a r t a n f o r m s o f S U ( p + 1 , q + 1 ) a r e g i v e n b y t h e e q u a t i o n s. dZA =~AB Zb' . (1.29 )

T h e y a r e c o n n e c t e d b y r e l a t i o n s o b t a i n e d f r o m t h e d i f f e n t i a t i o n o f (1 , 10 a ) w h i c h a r e~ + ~ A = O , ( 1 .3 0 )


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REAL HYP~ RSURFACES 1N~ COMPLEX MANIFOLDS 2 2 7w h e r e t h e l o w e r i n g o f in d ic e s: i s r e l a ti y e t o h a.h . F o r t h e s t u d y o f t h e g e o m e t r y o f Q i tw i l l h e u s e f u l t o w r i t e o u t t h e s e e q u a t i o n s e x p l i c i t l y , a n d ~ e h a v e

"

n + i L n + l . . . . .0 - - :T gn ' = , 7 ~n + 1 0 - - : 7 ~n + 1 0 ~ O ,~ : + ~ [: n + I n + l = 0 ,

8 9 ~ ~ + : r n+ ~ h p ~ = O ,~ n+ l ~ 2 i~ro~hD~= O.

( L 3 0 a )

A n o t h e r r e l a t i o n b e t w e e n t h e ~ ' s a r i s e s f r o m t h e d i f f e r e n t i a t i o n o f ( 1 . 1 1 ) . I t i s~a a = 0 , (1 .31)

or , by (1 .30 a ) , z r~= + ~ro - ~0~ = 0. (1.31 a)T h e s t r u c t u r e e q u a t i o n s o f S U ( p + 1 , q -~ i ) a r e o b t a i n e d b y t h e e x t e r i o r d i f f e r e n t i a -

t i o n o f ( 1 : 2 9 ) a n d a r e ' d T ~ a B = y r A C A , Y ~ C , ' 0 < A, B~ ,C~ . n ~+ 1 . ( 1 . 3 2 )T h e l in e a r s p ac e T c s p a n n e d b y ~Z~ ~ZI~": 'Z n i s ~ t h e c ~ t a n g e n t s p a c e o f Q a t Z 0.

I t i s o f c o m p l e x d i m e n s i o n n l i n c o n t r a s t t o t h e r e a l t a n g e n t s p a c e o f r e a l d i m e n s i o n2 n + 1 o f Q , w h i c h i s d e f i n e d i n t h e t a n g e n t b u n d l e o f P n + a , a n d n o t i n P n + l i ts e l f. T h ei n t e r s e c t io n o f Q b y a c o m p l e x l i n e t r a n s v e r s M t o T c ! s c a l l e d a cha in ; O n e e a s i l y v e r i f ie s t h a ta c o m p l e x l in e i n t e r s e e t in ~ T e t r a n s v e r s a l l y a t s o m e p p i n t o f Q i s t r a n s v e r s a l t o T c a te v e r y o t h e r p o i n t o f i n t e r s e c t i o n w i t h Q . W i t h o u t l o ss o f g e n e r a l i t y , s u p p o s e t h e c o m p l e xl i n e b e s p a n n e d b y Z0 , Zn + 1 . Th e l i n e Z0 , Zn + l b e i n g f i x e d , i t f o l l o ws t h a t a l o n g a c h a i ndZoi i/Z n + 1 a r e l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f Z 0, Z n+ . ' ~ I e n c e t h e c h a i n s a r e d e f i n e d b y t h e s y s t e mo f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s

~r0~ = zen +l , 0~ (1.3 3)T h r o u g h e v e r y p o i n t o f Q a n d a n y p r e as s ig n e d d i r e c t io n t r a n s v e rs a l t o T c t h e r e i s au n i q u e c h a i n . S i n c e t h e c o m p l e x l in e s i n P . + I d e p e n d o n 4 n r e a l p a r a m e t e r s , t h e c h a i n s o nQ d e p e n d o n 4 n r e a l p a r a m e t e r s . T h e n o t i o n o f a c h a i n g e n e r al iz e s t o a n a r b i t r a r y r e a lh y p e r s u r f a c e o f C n +x.

w 2 . Cons truc tion o f a norm al form( a) I n t h i s s e c t i o n , w e e o n s i d e r : ~ h e e q u i v a l e n c e p r o b l e m ~ o i n a n e x t r i n s i c p oi nt ~ o f

v i e w . L e tr (z), z2 " :~ ,,+1, .~ , . , z~ ,Z,~, : . .. . ,~ : )= 0


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228 S . S . C H E R N A N D J . K . M O S E R

d e n o t e t h e c o n s i d e r e d h y p e r s u r f a e e M i n CTM, w h e r e r i s a r e a l a n a l y t i c f u n c t i o n w h o s ef i r st d e r i v a t i v e s a r e n o t a l l z e r o a t t h e p o i n t o f r e fe r e n c e. T a k i n g t h i s p o i n t t o b e t h eo r i gi n w e s u b j e c t M t o t r a n s f o r m a t i o n s h o l o m o r p h i c n e a r t h e o r ig i n a n d a s k f o r a s i m p l en o r m a l f o r m . A t f i r s t w e w i ll a v o i d c o n v e r g e n c e q u e s ti o n s b y c o n s i d e r in g m e r e l y f o r m a lp o w e r s e r i e s p o s t p o n i n g t h e r e l e v a n t e x i s t e n c e p r o b l e m t o t h e n e x t s e c t i o n .

W e s i n g l e o u t t h e v a r i a b l e s

a n d a s s u m e t h a t w e h a v er~ , = O , ~ = 1 . . . . . n

r w = - r ~ ~ e Oa t t h e o r ig i n. T h i s c a n b e a c h i e v e d b y a l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n . S o l v i n g t h e a b o v e e q u a t i o nf o r v w e o b t a i n

v = F(z , ~, u) (2 .1)w h e r e F i s a r e a l a n a l y t i c f u n c t i o n i n t h e 2 n + 1 v a r i a b l e s z , ~ , u , w h i c h v a n i s h e s a t t h eo r i g i n t o g e t h e r w i t h i t s f i r s t d e r i v a t i v e s . T h i s r e p r e s e n t a t i o n l a c k s t h e p r e v i o u s s y m -m e t r y b u t h a s t he a d v a n t a g e t h a t F i s u n i q ue l y d e t e rm i n e d b y M .

W e s u b j e c t t h i s h y p e r s u r f a c e t o a h o l o m o r p h i c t r a n s f o r m a t i o nz * = / ( z , w ) , w * = g ( z , w ) , (2.2)

w h e r e / i s n - v e c t o r v a l u e d h o l o m o r p h i c , g a h o l o m o r p h i c s c a l a r . M o r e o v e r , / , g a r er e q u i r e d t o v a n i s h a t t h e o r i gi n a n d s h o u l d p r e s e r v e t h e c o m p l e x t a n g e n t s p a c e ( 2 .1 ) a tt h e o r i gi n : w = 0 . T h u s w e r e q u i re

/ = 0 , g = O , O g = O a t z = w = O . ( 2.3 )OzT h e r e s u l t i n g h y p e r s u f f a c e M * w i l l b e w r i t t e n

v * = F * ( z * , z *, u * ) .O u r a i m i s t o c h o o s e ( 2 .2 ) so a s t o s i m p l i f y t h i s r e p r e s e n t a t i o n o f M * .

F r o m n o w o n w e d r o p t h e a s s u m p t i o n t h a t F i s r e a l a n a l y t i c b u t c o n s id e r i t a s a f o r m a lp o w er se r i e s i n z I . . . . z n , ~1 . . . . ~ n, an d u w i t h t h e r ea l i t y co n d i t i o n

P ( z , ~ , u ) = ~ '( ~ , z , u ) .M o r e o v e r , F i s a s s u m e d t o h a v e n o c o n s t a n t o r l in e a r t e r m s . T h i s l i n e a r s p a c e of f o r m a lp o w e r s e r ie s w i l l b e d e n o t e d b y ~ . S i m i l a r l y , w e c o n s i d e r t r a n s f o r m a t i o n s ( 2 .2 ) g i v e n b yf o r m a l p o w e r s e r i e s / , g i n z I . . . . . z n , w w i t h o u t c o n s t a n t t e r m a n d - - a c c o r d i n g t o ( 2 . 3 ) - -


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R E A L H Y P E R S U R F A C E S I N C O M P L E X M A ~ I ~ O L D S 229

n o t e r m s l i n e ar i n z f o r g. T h e s e f o r m a l t r a n s f o r m a t i o n s c o n s t i t u te a g r o u p u n d e rc o m p o s i t i o n w h i c h w e c a l l ~ . O f t e n w e c o m b i n e f a n d g t o a s i n g l e e l e m e n t h .

F o r t h e f o l lo w i n g i t i s u s e f u l t o d e c o m p o s e a n e l e m e n t F E ~ i n t o s e m i h o m o g e n e o u sp a r t s :

coF = ~ F~ ( z , ~, u )vf f i2

w h e r e F ~( t z , t ~ , t 2 u ) = t ~F ~ ( z , ~ , u ) f o r a n y t > 0 . T h u s w e a s s ig n u t h e " w e i g h t " 2 a n d z ,t h e " w e i g h t " 1 . T o s i m p l i f y t h e t e r m s o f w e i g h t ~ = 2 w e o b s e r v e t h a t t h e y d o n o t c o n t a i nu - - s i n c e F c o n t a in s n o l i n e a r t e r m s - - s o t h a t

F 2 = Q ( z ) + Q ( z ) +H ( z , z)w h e r e Q i s a q u a d r a t i c f o r m o f z a n d H a h e r m i t i a n f o r m . T h e t r a n s f o r m a t i o n

r e m o v e s t h e q u a d r a t i c f o r m , s o t h a t w e c a n a n d w i l l a s s u m e t h a t F ~ = / - / ( z , z ) i s ah e r m i t i a n f o r m . T h i s f o r m , t h e L e v i fo r m , w i ll b e of f u n d a m e n t a l i m p o r t a n c e i n t h ef o l l o w i n g . I n t h e s e q u e l w e w i l l r e q u i r e t h a t t h i s f o r m w h i c h w e d e n o t e b y

( z , z ) = F ~is a n o ~ e g e n e r o ~ e h e r m i t i a n f o r m . I f ( z , z ) i s p o s i t iv e t h e h y p e r s u r f a c e 3 / i s s tr i c t l yp s e u d o c o n v e x . W i t h ( z , z 2) w e d e n o t e t h e c o r r e s p o n d i n g b i l i n e a r f o r m , s u c h t h a t

W i t h t h i s s i m p li f i ca t i o n M c a n b e re p r e s e n t e d b yv = ( z , z ) + F ( 2 . 4 )

COw h e r e F - - ~ F v

c o n t a i n s t e r m s o f w e i g h t ~ > /3 o n ly . N o w w e h a v e t o r e s t r i c t t h e t r a n s f o r m a t i o n ( 2.2 ) b yt h e a d d i t i o n a l r e q u i r e m e n t t h a t ~ g / ~ z ~ z B v a n i s h e s a t t h e o r i g i n .

( b) N o r m a l f o r m s . T o d e t e r m i n e a f o r m a l t r a n s f o r m a t i o n i n ~ s i m p l i fy i n g M * w ew r i t e i t i n t h e f o rm

c o c oz * = z + ~ f ~ , w * = w + ~ g ~ , ( 2 . 5 }

v = 2 I , f f i 3

wh er e ~v(tz, t~w) = t v~( z , w) , gv( t z, l hv) = t vg~( z , w ),


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2 3 0 8 4 S . S. C H E R N ~ A N D J . K , M O S E Ra n d v a l l u t h e " w e i g h t " o f t h e s e p o l y n o m i a l s / v , g~ . I n s e r t i n g ( 2. 5) i n t o

~ , = < ~ * , z * ~ + F *9 I

a n d r e s t r i c t i n g t h e v a r i a b l e s z , w t o t h e h y p e r s u r f a c e ( 2 . 4 ) w e g e t t h e t r a n s f o r m a t i o ne q u a t i o n s , i n w h i c h z , 5 , u a r e c o n s i d e r e d a s i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s . C o l l ec t in g t h e t e r m s o fw e i g h t / t i n t h e r e l a t i o n w e g e t

F ~ + I m g ~ ,( z, u + i ( ~ , ~ > ) = 2 R e ( / ~ _ ~ , z y + F * + . . .w h e r e t h e d o t s i n d i c a te t e r m s d e p e n d i n g o n / v - l , g ~, F , , F * w i t h u < f t . I n F ~ t h e a r g u m e n t sa r e z , w = u + i ( z , z } . W e i n t r o d u c e t h e l i n e a r o p e r a t o r L m a p p i n g h = ( /, g ) i n t o

L h = R e { 2 (z , / ) + ig}~==+,(~.~> (2 .6)a n d w r i t e t h e a b o v e r e l a t i o n a s

L h = F j , - F*~, ~ , . . . fo r h = ( tg-1, gg) (2.7)a n d n o t e t h a t L m a p s / g ~ l , g g i n t o t e rm s o f w e i g h t /~ .

I n o r d e r t o s e e h o w f a r o n e c a n s i m p l i f y t h e p o w e r s e ri es F * o n e h a s t o f i n d a9 / t : .c o m p l e m e n t o f t h e r a n g e o f t h e o p e r a t o r L w h i c h i s a m a t t e r o f l i ne a r a l ge b r a. M o r ep r e c i s e l y w e w i ll d e t e r m i n e a l i n e a r s u b s p a c e ~ o f ~ s u c h t h a t ~ a n d t h e r a n g e o f L s p a n :~ ;i . e. , if ~ d e n o t e s t h e s p a c e o f h = ( / , g ) w i t h / = ~ = 2 / v ; g = ~ a g ~ , , t h e n w e r e q u i r e t h a t

= L ~ + ~ a n d ~ ~ L ~ = ( 0) . ( 2 .8 )T h u s ~ r e p r e s en t s a c o m p l e m e n t o f t h e r a n g e o f L .

G o i n g b a c k t o e q u a t i o n ( 2. 7) i t is c le a r t h a t w e c a n r e q u i r e t h a t F ~ b e l o n g s t oa n d s o l v e t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n f o r h . U s i n g i n d u c t i o n i t f o ll o w s t h a t ( ~.5 ) v a n b e d e t e r -'m i n e d s u c h t h a t t h e f u n c t i o n F * b e l o n g s t o ~ . W e c a ll su c h a h y p e r s u r f a c e M * w i t hF * q ~ i n " n o r m a l f o r m " . I t i s o f e q u a l i m p o r t a n c e t o s t u d y h o w m u c h f r e e d o m o n e h a s i nt r a n s f o r m i n g ( 2. 4) i n t o n o r m a l f o r m w h i c h c l e a r )y d e p e n d s o n t h e n u l l s p a c e o f L . T h u sw e h a v e r e d u c e d t h e p r o b l e m o f fi n d in g a t r a n s f o r m a t i o n i n t o n o r m a l f o r m o f M t o t h ed e t e r m i n a t i o n O a c o m p l e m e n t o f t h e r ~ n g e ~ , a n d t h e n u l l s p a c e ~ : th e o p e r a t o r L . O u rg o a l w il l b e t o c h o o s e ~ s u c h t h a t t h e e l e m e n t s N i n ~ v a n i s h t o h i.g h o r 4 e r a t t h e o r i g i ns o t h a t t h e h y p e r s u r f a c e M * c a n b e a p p r o x i m a t e d t o h i g h d e g r e e b y t h e q u a d r a t i clayperShrfa~ce v =


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R E AL HYP E R S UR F AC E S I~ C OM P L E X M ANIF OL DS 231b y ( 1 .2 3 ). W e w i l l m a k e u s e o f H t o n o r m a l i z e t h e h o l o m o r p h i c m a p p i n g t r a n s f o r m i n g Mi n t o n o r m a l f o r m .

A f t e r th e a b o v e p r e p a r a t i o n w e m a y c o n s i d e r t h e g r o u p ~ o f a ll f o r m a l tr a n s f o r m a -t i o n s p r e s e r v i n g t h e f a m i l y o f f o r m a l h v D e r s u r f a e e s

v = + {w eig ht >~3},a s w e l l a s th e o r i g in . O n e v e r i fi e s e a s i ly t h a t t h e e l e m e n t s o f ~ 1 a r e o f t h e f o r m

z * = C z + { w e i g h t > ~ 2 } ; w * = ~ w + < w e i g h t ~ > 3 > ,w h e r e = i f ( z , z >. U s i n g t h e f o r m ( 1 . 2 3 ) o n e s e e s t h a t a n y r c a n b e f a c t o r e du n i q u e l y a s

w i t h r a n d ~ a f o r m a l t r a n s f o r m a t i o n o f t h e f o r m ( 2 .5 ) w i t h8 2 .12(0'w)=0; Re ~g t(0 , w)=0 a t w=O .

g , ~ g ,a l l h a v e n o c o n s t a n t t e r m .

T h e f i r s t t e r m c a n b e n o r m a l i z e d b y c h o i c e o f a ~ ( a = l , . .. , n ) i n ( 1 . 23 ) : an d t h e s e c o n d b yR e ( t- l~ ) . W e s u m m a r i z e t h e n o r m a l i z a t i o n ; c o n d i t i o n s f o r ~v b y r e q u i r i n g t h a t t h e s e r ie s

0w (2 .9)

F r o m n o w o n w e m a y r e s t r i c t o u r s e lv e s t o ~ t r a n sf o r m a ti o n s (2 .5 ) w i t h t h e n o r m a l i -z a t i o n ( 2 .9 ) . Th e s u b m a n i f o l d o f p o we r s e r i e s h = ( /, g ) wi t h t h e c o n d i t i o n ( 2. 9) wi l l b ec a l l e d ] 9 o . S i m i l a r l y , we d e n o t e t h e r e s t r i c t l b n o f t h e o p e r a t o r L t o ] 9o b y L0 . W e w i l l s e et h a t L0 : 29 0- + ~ i s i n j e c t i v e . T h i s i m p l i e s , i n p a r t i c u l a r , t h a t t h e m o s t g e n e r a l f o r m a l p o w e rs e r ie s m a p p i n g p r e s e r v i n g v = < z, z > a n d t h e o r i g i n b e l o n g s t o t h e i s o t r o p i c g r o u p H .

( d) T h e o p e r a t o r L i n t r o d u c e d a b o v e i s o f b a s ic i m p o r ta r ~ c e. T o d e s c r i b e i t m o r ec o n c e p t u a l l y w e i n t e r p r e t h = ( /, 9 ) a s a h o l o m o r p h i c v e c t o r f i e l d

n e a r t h e m a n i f o l d , M . W e d e s c r i b e t h e m a n i f o l d v = < z, z > b yr (z , 2 , w , ~ ) < z , z > - ~ ( w - ( v ) = O .


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2 3 2 S . S . C H E R N A N D J . K . M O S E RT h e n L h = s r l , - oi s t h e L i e - d e r i v a t i v e o f r a l o n g t h e h o l o m o r p h i e v e c t o r f ie l d X r e s t r i c t e d t o r = 0 . O fc o u r s e , L i s m e a n i n g f u l o n l y u p t o a n o n v a n i s h i n g r e a l f a c t o r .

F o r e x a m p l e , i f w e r e p r e s e n t t h e m a n i f o l d r = 0 b yQ = ( g , Z > + W W = 1

w e c a n a s s o c i a t e w i t h a h o l o m o r p h i e v e c t o r f ie l d

x=2A= 0A ~ +t h e L i e d e r i v a ti v e o f th e a b o v e q u a d r a t i c f o r m

s = 2 R e { < A , Z > + B W }r e s t r i c t e d t o Q = 1.F o r t h e f o l l o w i n g w e w i ll d e t e r m i n e t h e k e r n e l a n d a c o m p l e m e n t o f t h e r a n g e f o r L

i n t h e o r i g i n a l v a r i a b l e s z , w . T o f o r m u l a t e t h e r e s u l t w e o r d e r t h e e l e m e n t s F i n te r m s o fp o w e r s o f z , 5 w i t h c o e f f i c i e n t s b e i n g p o w e r s e r i e s i n u . T h u s w e w r i t e

k , l ~ Owh ere Fkl (~ tz, #~ , u) = ~lzZFk l ( z , ~ , u )f o r a ll c o m p l e x n u m b e r s 2 , p , a n d c a ll ( k, l ) t h e " t y p e " o f F kz .

T h e b a s i c h e r m i t i a n f o r m w i l l b e w r i t t e n a s< z , z > = ~ h ~ z = ~ , ~ =~ = h p ~.

U s i n g t h e n o t a t i o n o f t e n s o r c a l c u l u s w e d e f i n e t h e c o n t r a c t i o n t r ( F ~ , ) = G k - l . ~ -i o fFkl = ~ z ~ , z~k ~ , . . ~~ a a , . . . a k g , . . . g t 9

w h e r e w e a s s u m e t h a t t h e c o e f f i c i e n ts a a, .. . ~z a r e u n c h a n g e d u n d e r p e r m u t a t i o n o f zr1 . . . . ~ ka s w e l l a s o f ~ 1 . . . . /~ z. W e d e f i n e f o r k , 1 > / 1

t r ( F ~ ) = ~ b a , .. . a ~_ ~ , .. . ~ _ ~ z a ' z a ~ - ~ ~ , . . ~ - ~ ( 2 . 1 0 )w h er e ba, . . .a~_lL.. .~t_ 1 = ~ h%P~aa, ak~,. . .~r

gt*,~H e r e h ~ i s d e f i n e d a s u s u a l b y

h ~ hv ~ = (~=~b e i n g t h e K r o n e e k e r s y m b o l .


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R E A L H Y P E R S U RF A C E S I N C O M P L E X M A N I F O L D S 2 3 3

F o r t h e d e s c r i p t io n o f a c o m p l e m e n t o f t h e r a n g e o f L o w e d e c o m p o s e t h e s p a c e :~ o fr e a l f o r m a l p o w e r s e r i e s a s : ~= ~ + ~ tw h e r e ~ c o n s i s t s o f s e r ie s o f t h e t y p e

R = ~ Rkz + Gll (z, z) + (G10+ G01 (z, z~z + O0o (z, z) arain (k./)~~3 only , and ~o i s the 8pace o lorm al pow er ser ies sa t i s t y in g(2.9).


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' 2 ' 3 4 S .S . ~ ERN A N D J . K . MO SER

B e f o r e p r o v i n g th i s l e m m a w e d r a w t h e c r u c i a l c o nc l u si o n f r o m i t: F o r a n y F E ~3t h e e q u a t i o n

L 0 h = F ( m o d ~ )c a n u n i q u e l y b e s o l v e d f o r h i n ~ 0 , s i n c e t h i s e q u a t i o n i s e q u i v a l e n t t o P L o h = P F . T h u s

r e p r e s e n t s a c o m p l e m e n t o f t h e r a n g e o f L o a n d a p p l y i n g o u r p r e v i o u s c o n s i d e r a t i on so n n o r m a l f o r m s w e o b t a i n

T H E O R E M 2 . 2. A / o r m a l h y p e rs u r/ a ce M c a n be t r an s /o r m e d b y a / o r m a l t r a ns f o rm a t i o nz * = z + / ( z , w ), w * = w + g ( z , w )

n o r ma l i z e d b y (2.9) i n t o a n o r m a l / o r mv * = @ * , z *} + N w i t h N E ~ .

Moreover , th i s t rans format ion i s unique .C O R O L L A R Y . Th e o n l y / o r m a l p o we r s er ie s t r a n s / o r ma t io n s wh i c h p r es e r ve v = ( z , z }

a n d t h e o r ig i n a r e g i v e n b y t h e / r a c t i o n a l l i n e a r t ra n s / o r ma t i o n s ( I . 2 3 ) cons t i tu t ing the group H.( e) O b v i o u s l y it s u f f ic e s t o s h o w t h a t t h e e q u a t i o n

L h = F ( r o o d ~ )p o s s e s s e s a u n i q u e s o l u t i o n h E ~qo. H e r e F i s a f o r m a l p o w e r s e r i e s c o n t a i n i n g t e r m s o fw e i g h t ~ 3 o n l y . C o l l ec t i n g t e r m s o f e q u a l t y p e w e h a v e t o s o l v e t h e e q u a t i o n s

(Lh)kz = Fkl fo r m in( k , l ) ~< 1(Lh)k~ = Fk z (m od }l) fo r (k , l) = (2, 2), (3 , 2), (3 ,3).

F o r t h i s p u r p o s e w e c a l c u l a t e (Lh)k~ f o r th e a b o v e t y p e s ( k l/ ) ; b e c a u s e o f t h e r e a l c h a r a c t e ro f F w e m a y t a k e k ~ >l. W e w i ll u se t h e i d e n t i t y

oo / ~ \ v iv (z z~v/ (z , u + i


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R E A L H Y P E R S U R F A c E s I N C O M P L E X M A N I F O L D S 235W e w r i t e L h i n t h e f o r m

L h = R e { 2 ( / , z ) + i g } ~ . , , +~ ( z , z ) - ( z , " 2 ( rood ~ ) .}

F i n a ll y , f o r k = 0 o n e o b t a in s f o u r r e a l e q u a t io n s ,- I m g o = F o e

89 " 2o (z , z) - 2 Im ( /1, z) (z , z) = F~2- R e g o ( z , z ) + 2 R e ( h , z ) = ~ ' 1 1 1

R e g0 ( z , z ) s - R e " 2( /1 , z )> ( z , z ) = FBs

( m o d ~ ) ]

( m o d ~ ) .

(2.14b)

(2.14 c)

Thus we ob ta in th ree groups of deeoupled sys t ems of d i f fe ren t i a l equa t ions ; ac tua l ly thel a s t sys t em (2 .14e) decouples in to two groups .

The so lu t ion of t hese sys t ems i s e l ementa ry : Equa t ion s (2 .14a) can be so lved un i -quely for ]k+l , g~ (k~>2). Equat ions (2.14b) are equivalent to

/ g l + 2 ( z , / o ) = 2 F i e- g ~ z , z ) + 2 ( l s , z ) - 2 i ( z , 1o > ( z , z ) = 2 F ~ I- 4 < ~ , / o ) ( z , ~ )~ = 2 F 3 2 - 2 i F h ( z , ~ ) - F ; o < z, z ) ~ (rood 7?).

S ince the l a s t equa t ion has to be so lved ( rood ~ ) on ly we rep lace the r igh t -hand s ide byi t s p ro j ec t ion in to ~ , which we ca l l G l o ( Z , z ) ~ so t h a t16 - 742902 Acta mathematica 1 3 3. I m p r i m 6 l e 2 0 F 6 v r i e r 1 9 7 4


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236 s . s . ~_v_a~ ~a~x) J . x . ~sosva~- 4 < z , / 0 > -- G10.

W i t h s u c h a c h o i c e o f [ 0 o n e s o l v e s t h e f i r s t e q u a t i o n f o r gl a n d t h e n t h e s e c o n d f o r ]~ .H e r e [ 0 i s f i x e d u p t o a l i n e a r f u n c t i o n i n w ; b u t b y o u r n o r m a l i z a t i o n ( 2. 9) , [ 0 a n d h e n c eg l , [ 3 a r e u n i q u e l y d e t e r m i n e d .

F i n a l l y w e h a v e t o s o l v e ( 2 . 1 4 c ) : S i n c eF ~ = Gl~ +~V=, ~v~ e ~

t h e s e c o n d e q u a t i o n t a k e s t h e f o r m/t t 8 9 g o < z , z> - -2 I m ( /1 , z> = G l l

w h i c h c a n b e s o l v e d w i t h t h e f i r s t f o r I m g o a n d I m ( /~ , z > = ( d / d u ) I m ( /1 , z> . S in ce/1 v a n i s h e s f o r u = 0 w e d e t e r m i n e I m g o, l a n < f l, z > u n i q u e l y i n t h i s w a y .

T h e l a s t t w o e q u a t i o n s o f ( 2 . 1 4 c ) a r e e q u i v a l e n t t ot- R e g o < z , z > + 2 R e < f l , z > = F n

- ~ R e g o ' - - a ~w h e r e w e u s e d t h a t -~aa + 89 z> 2 = Goo a ( ro o d ~ ) .C l e a r l y , t h e l a s t e q u a t i o n c a n b e s o l v e d f o r R e g o ' a n d t h e n t h e f i r s t f o r I c e < / 1, z >. T h u sg o i s d e t e r m i n e d u p t o a w + b w ~, a, b r e a l. B u t b y o u r n o r m a l i z a t i o n b o t h a = 0 a n d b = O ,a n d R e go, ICe a r e u n i q u e l y d e t e r m i n e d .

T h u s , s u m m a r i z i n g , a l l e q u a t i o n s c a n b e s a t i s f ie d b y / k , g k s a t i s f y i n g t h e n o r m a l i z a t i o n( 2. 9) a n d u n i q u e l y s o . T h i s c o n c l u d e s th e p r o o f o f t h e L e m m a 2 .1 a n d h e n c e o f T h e o r e m 2 .2 .

w 3 . E x i s t e n c e t h e o r e m a( a ) S o f a r w e c o n s i d e r e d o n l y f o r m a l se r i e s a n d n o w t u r n t o t h e c a s e o f r e a l a n a l y t i c

h y p e r s u r f a c e s M . W e w i ll sh o w t h a t t h e f o r m a l s e r ie s t r a n s f o r m i n g M i n t o n o r m a l f o r ma r e , i n f a c t , c o n v e r g e n t a n d r e p r e s e n t h o l o m o r p h i c m a p p i n g s . I n t h e c o u r s e o f t h e p r o o fw e w i l l o b t a i n a g e o m e t r i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f t h e c o n d i t io n

tr N22 = 0, (tr) ~ Na~ = 0, (tr)3N38 = 0d e s c r i b i n g t h e n o r m a l f o r m .W e b e g i n w i t h a t r a n s f o r m a t i o n i n t o a p a r t i a l n o r m a l f o r m : L e t M b e a r e a l a n a l y t i ch y p e r s u r f a c e a n d 7 a r e a l a n a l y t i c a r e o n M w h i c h is tr a n s v e r s a l t o t h e c o m p l e x t a n g e n ts p a c e o f M . M o r e o v er , w e g i v e a f r a m e o f li n e a r i n d e p e n d e n t v e c t o r s ec, q T c ( ~ = 1 , . . . , n ) ,a l s o r e a l a n a l y t i c a l o n g t h e c u r v e 7 . A l l t h e s e d a t a 7 , e ~ a r e g i v e n l o c a l l y n e a r ad i s t i n g u i s h e d p o i n t I o o n 7 .


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REA L H Y P ERS U RF A CES IN CO MP LEX MA N IF O LD S 237T H E O R E M 3 . 1 . Given a real analy t i c hypersur /ace M wi th t h e above data ~, e~ there

e x i s t s a u n i q u e h o l o mo r p h i c ma p p i n g ~ t a k i n g p i n t o t h e o r i g i n z - ~w= O, ~ i n t o t h e c u r v ez = O , w= ~, wh er e ~ is a r e a l p a r a me t e r r a n g i n g o v e r a n i n t e rv a l , a n d ea in to r aand the hypersur /ace in to r g iven by

v = F l l ( z , ~ , u ) F ~ ,( z, 5 , u ) , (3 .1)rain (k,l)~2Pr o o / . W e m a y a s s u m e t h a t t h e v a r i a b l e s z = (z1 . . . . $ ' ) a n d w a r e s o i n t r o d u c e d t h a t

p i s g i v e n b y z = 0 , w = 0 a n d t h e c o m p l e x t a n g e n t s p a c e o f M b y w = 0 . I f ~ is g i v e n b yz = p ( ~ ) , w - - q ( ~ )

w h e r e ~ = 0 c o r r es p o n d s t o z = 0 , w = 0 t h e n q '( 0 )~ : 0. T h e t r a n s f o r m a t i o nz = p ( w * ) + z * , w = q ( w * )

i s h o l o m o r p h i c a n d t a k e s t h e c u r v e ~ i n t o z * = O , w * = ~ . C h a n g i n g t h e n o t a t i o n a n dd r o p p i n g t h e s t a r w e c a n a s s u m e t h a t t h e h y p e r s u r f a c e is g i v e n b y

v = F ( z , ~ , u )a n d ~ b y z = O , w = ~ , s o t h a t F ( 0 , 0 , u ) = 0 .

T h e f u n c t i o n F(z , ~ , u) i s g i v e n b y c o n v e r g e n t s e r i e s a n d i s r e a l . I n t h e v a r i a b l e sx % y ~ g i v e n b y z ~ = x ~ + i y ~, 5 ~ = x ~ - i y ~ t h e f u n c t i o n F(z , ~ , u) i s r e a l a n a l y t i c . T h e s p a c eo f t h e s e f u n c t i o n s , r e a l a n a l y t i c i n s o m e n e i g h b o r h o o d o f t h e ] o r i g i n a n d v a n i s h i n g a t t h eo r i g in w i ll b e d e n o t e d b y : ~ . I n t h e f o l l o w i ng i t w i ll b e a u s e f u l o b s e r v a t i o n t h a t z , ~ c a n b ec o n s i d e re d a s i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s f o r E E : ~ .

L E M I ~ A 3 . 2 . I / _ FE: ~~ a n d F( O , O , u ) = O t h e n t he re e x i st s a u n i q u e h o l o mo r p h i ct r a n s / o r ma t i o u ~ * = z ; w * = w + g ( z , w ) ; g ( O , w ) = Otalcing v = E( z, ~, u)into v* = E*(z*, ~*, u*)where E * k o= - F ~ k= 0 f o r ]c = 1 , 2 . . . . . ( 3 .2 )

Pr o o / . T h e c o n d i t i o n s ( 3 . 2 ) c a n b e e x p r e s s e d b yE*(z*, 0 , u) = 0 (3 .3)

a n d a s e c o n d e q u a t i o n w h i c h f ol lo w s o n a c c o u n t o f t h e r e a l c h a r a c t e r o f F * . T h e t r a n s -f o r m a t i o n f o r m u l a g i v es


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2 3 8 s . s . C ~ g R ~ A N D J . K . M O S ~ R

( z * , ~ * , u * ) = 1 ( g ( z , w ) - g (z , w ) ) + ! e ( z , ~ , u )*

w h e r e u * = u + 89 w ) + g ( z , w ) ) , w = u+ iF(z , ~ , u ) .K e e p i n g i n m i n d t h a t z , 5 , ~t c a n b e v i e w e d a s i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s , w e s e t 5 = 0 i nt h e a b o v e e q u a t i o n s . O b s e r v i n g t h a t g ( z , w ) = 0 f o r ~ = 0 , s i n ce g(O , w ) =0 , w e o b t a i n w i t h(3.3) 10 = ~ g(z, u + iF (z , O, u)) + F(z , O, u) (3.4)

a s c o n d i t i o n f o r t h e f u n c t i o n g . T o s o l v e t h i s e q u a t i o n w e s e ts = u + i F ( z , O , u ) .

S i n c e , b y a s s u m p t i o n , F(z , O, u) v a n i s h e s f o r z = O w e c a n s o l v e t h i s e q u a t i o n f o r u :u = s + q(z , s ) wher e G( 0 , s ) = 0 .

E q u a t i o n ( 3 . 4 ) t a k e s t h e f o r m1 1o = ~ g ( z , s ) + ~ ( s - u )

or u = 8 + ~J(z , s ) .T h u s g(z, w) = 2 G ( z , w ) i s t h e d e s i r e d s o l u t i o n w h i c h v a n i s h e s f o r z = 0 . I t i s c l e a r t h a t t h es t e p s c a n b e r e v e r s e d , a n d L e m m a 3 . 2 i s p r o v e n .

T h u s w e m a y a s s u m e t h a t M i s o f t h e f o r mv = F ( z , ~ , u ) = Y F k ~ ( z , ~ , u ) ,mill (k.l )91

a n d t h e c u r v e 7 is g iv e n b y z = O , w = ~ . N o w w e w i l l r e q u i r e t h a t F ix (Z , s 0 ) i s an o n d e g e n e r a te h e r m i t i a n f o r m .

L]$MMA 3.3 . I ] F E . ~ ~ an dPk0 = 0 = F0k / o r k= 0 , 1 , . ..

and F ll( z ~, O) nondegenerate the~ there exists a holomorphic trans/orm atio~z* = z q - ] ( z , w ) ; w * - = w ( 3 . 5 )

w i t h / ( 0 , w ) = 0 , / z ( 0 , w ) = 0 a nd such t ha t v = $ '( z , ~ , u ) / 8 m ap ped i n t ov * = F ~ , ( z * , ~ * , u * ) + 5 F ~ , , . ( 3 . 6 )rain (k./)~>2


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R E A L H Y P E R S U R F A C E S I N C O M P L EX M A N -I FO L D S 2 3 9Pr o o / . B y 0 n~ w e w i l l d e n o t e a p o w e r s e r ie s i n z , 5 c o n t a i n i n g o n l y t e r m s o f t y p e

(]r l ) w i t h b >~ u a n d l > ~ . T h u s F ( z , 5 , u ) c a n b e w r i t t e n a sn n

~'s(g. 5, U) = ~'111(Z 5, U ) ~- ~ z=Ao~(5,u ) + ~ z ~ A~(5, u) + 0 ~~ffil ~ffilw h e r e A ~ (5 , u ) = ~ Z ( ~ - - "~ 11 ) ] zf fi 0= 002"

W e r e s t r i c t u t o s u c h a s m a l l i n t e rv a l i n w h i c h t h e L e v i f o r m

~ 1 1 ( Z , Z , U) = ~ h a~ ( u ) za2 ; li s n o n d e g e n e r a t e . I f ( h~ ) i s t h e i n v e r s e m a t r i x o f ( h ~ ) a n d t h e h o l o m o r p h i c v e c t o r fu n c -t i o n / ( z , w ) i s d e f i n e d b y

/P (z, u) = ~ h ~ (u) A~ (5, u) e 00~ (3.7)

t h e n F11 (z + / , 5 + f , u ) = .F l l (z , ~, u) + ~ z~'A~ + ~ z ~ A~, + 022= (z, 5, u) + O2~

s o t h a t v = F ( z , 5 , u ) i s t r a n s f o r m e d b y ( 3 . 5 ) , d e f i n e d b y ( 3 . 7 ) , i n t oV* = F11(Z* , 5* , q~*) -~02 2.

N o t e a l s o t h a t , b y ( 3 .6 ) , / ( z , u)E 030 w h i c h f i n i s h e s t h e p r o o f .W i t h t h e s e t w o l e m m a s w e s e e t h a t t h e c o o r d i n a te s c a n b e s o c h o s e n t h a t 7 i s g i v e n

b y t h e u - a x i s: z = 0 , w = ~ a n d M g i v e n b y ( 3. 6) . A c t u a l l y t h e c o o r d i n a te s a r e n o t u n i q u e l yf i x e d b y t h e s e r e q u i r e m e n t s b u t t h e m o s t g e n e r a l h o l o m o r p h i c t ra n s f o r m a t i o n p r e s e r v in gt h e p a r a m e t r i z e d c u r v e 7 : z = 0 , w = ~ a n d t h e f o r m ( 3.6 ) o f M i s g i v e n b y

z * = M ( w ) z , w* = ww h e r e M ( w ) i s a n o n s i n g n l a r m a t r i x d e p e n d i n g h o l o m o r p h i e a ll y o n w . T h i s m a t r i x c a n b eu s e d t o t r a n s f o r m t h e f r a m e e a i n t o ~]aza w h i c h , i n t u r n , f i x e s M ( w ) u n i q u e l y . T h i s c o m -p l e t e s t h e p r o o f o f T h e o r e m 3 . 1 .I n o r d e r t o m a k e t h e h e r m i t i a n f o r m F 1 1( z 5 , u ) i n d e p e n d e n t o f u w e p e r f o r m a l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n z* = C(w) z, w* = wa n d d e t e r m i n e C s u c h t h a t

F~ (C (u )z , C(u)z , O) = -~l l(Z, ~ , u) .


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24 0 S . S . C H E R N A N D J . K . M O S E RT h e c h o i c e of C(u) b e c o m e s u n i q u e i f w e r e q ui r e t h a t C(u) b e h e r m i t i a n w i t h r e s p e c t t ~ t h ef o r m

F l l ( Z , 5 , O ) = < Z , Z >i .e. Fn (C z, 5, O) = F n( z, C5, O)D e n o t i n g t h e m a t r i x (h~p(u)) b y H(u) t h e s e r e q u i r e m e n t s a m o u n t t o t h e t w o m a t r i xe q u a t i o n s

C* ( u ) H (O ) C (u ) = H (u ) } ( 3 . 8 )H(O) C(u) = C*(u) H(O).

E l i m i n a t i n g C*(u) w e o b t a i nC~ (u ) = H (O ) 1H ( u ) .

S i n c e t h e r i g h t - h a n d s i d e i s c l o s e t o t h e i d e n t i t y m a t r i x f o r s m a l l u t h e r e e x i s t s a u n i q u em a t r i x C(u) w i t h C ( 0 ) = I . T h i s s o l u ti o n d e p e n d s a n a l y t i c a l l y o n u a n d , m o r e v e r , s a t is f i esa u t o m a t i c a l l y t h e r e l a t i o n ( 3 . 8 ) . I n d e e d , i f C(u) i s a so lu t i o n so i s H-I(O)C*(u)H(O) w h i c ha l so r e d u c e s t o t h e i d e n t i t y f o r u = 0 . B y u n i q u e n e s s i t a g r e e s w i t h C(u) y ie ld in g (3 . 8 ) .

T h u s w e c a n a s s u m e t h a t t h e h y p e r s u r f a c e i s r e p r e s e n t e d b yv = + ~ Fk, (z, 5, u) (3.9)rain (k , l)~2

a n d F i s g i v e n b y z = 0, w = ~ . T h e f r e e d o m i n t h e c h a n g e o f v a r i a b l e s p r e s e r v i n g F a n d t h ea b o v e f o r m o f M i s g i v e n b y l i n e a r m a p z -* U(w)z , w ~ w w h i c h p r e s e r v e t h e f o r m < z, z >.I n o t h e r w o r d s w e c a n p r e s c r i b e a n a n a l y t i c f r a m e ca(u) ( c t = l . . . . . n ) a l o n g t h e u - a x i sw h i c h i s n o r m a l i z e d b y

= h ~ wh ere = ~ h~z~z p .T h e c o e f f i c i e n t s o f Fkl(z, 5, u) i n ( 3 . 9 ) c a n b e v i e w e d a s f u n c t i o n a l s d e p e n d i n g o n t h e

c u r v e 7 : z = p ( ~ ) , w = q( ~ ) . T h e s e a r e , o f c o u r s e , / o c a / f u n c t i o n a l s a n d m o r e p r e c i s e l y w e h a v eL ~ M M A 3 . 4 . The coe//icients of Fkz in (3.9) depend analytically on T, q,/3, ~ and their

derivatives o / orde r


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R E A L H Y P E R S U R F A C E S I N C O M P L E X M A N I F O L D S 241z=p(w*)+z*, w=q(w*)

a n d s t u d y h o w t h e r e s u lt in g h y p e r s u r f a c e d e p e n d s o n / o , q. T h i s h y p e r s u r f a c e i s g iv e ni m p l i c i t l y b y 12-i { q - q} - O(p + z*, p + z*, 89 q + q)) = 0 (3.11)

w h e r e t h e a r g u m e n t s i n Io , q a r e w *. U n d e r t h e a s s u m p t i o n ( 3 .1 0 ) w e c a n s o l v e t h i se q u a t i o n f o r v * t o o b t a i n t h e d e s i r e d r e p r e s e n t a t i o n . S i n c e t h e g i v e n c u r v e w a s a s s u m e dt o l i e o n t h e g i v e n h y p e r s u r f a c e w e h a v e v * = 0 a s a s o l u t i o n o f ( 3 .1 1 ) i f z * = 0 , z * = 0T h e r e f o r e t h e s o l u t i o n o f ( 3 . 11 )

v* = F*(z*, z*, u*) (3.12)v a n i s h e s f o r z* = 0 , z * = 0 . W e e x p a n d t h e t e r m s i n ( 3 . 11 ) i n p o w e r s o f z *, z*--,v* and i n -v e s t i g a t e t h e d e p e n d e n c e o f t h e c o e f f i c ie n t s o n p ( u * ) , q ( u * ) a n d t h e i r d e r i v a t i v e s ,

T o s i m p l i fy t h e n o t a t i o n w e d r o p t h e s t a r a n d d e n o t e t h e l e f t -h a n d s id e o f (3 .1 1 ) b yr ~. u, v) = ~>o(1)c~

w h e r e ( b c v i s a p o l y n o m i a l i n z , ~ , v , h o m o g e n e o u s o f d e g r e e $ i n z , ~ a n d o f d e g r e e v i n v .T h e e q u a t i o n ( 3 . 1 1 ) t a k e s t h e f o r m

Av + ( I )1 0 ~ - c + ~ 2 ( I )~ p = 0 ( 3 . 1 3 )w h e r e A v = (I)01 = R e { q ' - 2 i G J p , ~ , 8 9 + q ) ) p ' - i Gu q ' } vT h u s A i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o f p , ~ , q , q a n d t h e i r d e r i v a t i v e s , i n f a c t , d e p e n d i n gl i n e a r l y o n t h e l a t t e r . M o r e o v e r , b y ( 3 . 1 0 ) , w e h a v e A = ~ 0 f o r s m a l l ] u [ .

S i m i l a r l y , t h e coe f f i c i en t s o f qbC ~ a r e ana l y t i c f unc t i ons o f p , ~ , q , ~ a t ~ = u an d t he i rd e r i v a t i v e s o f o r d e r ~


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242 S. S. C'~[ERN AND J. K. MOS]ER

T h i s p r o v e s t h e s t a t e m e n t a b o u t t h e a n a l y t i c b e h a v i o r o f th e c o e ff i ci e n ts o f F * i n( 3. 12 ). T o c o m p l e t e t h e p r o o f w e h a v e t o s u b j e c t t h i s h y p e r s u r f a c e t o t h e h o l o m o r p h i ct r a n s f o r m a t i o n o f L o m m a 3 .2 , 3 ,3 w h i c h p r e s e r v e th e c u r v e z = 0 , w = ~ . F r o m t h e p r o o f s o ft h e s e l e m m a s i t i s c l e a r t h a t t h e c o e f f i c ie n t s o f t h e t r a n s f o r m a t i o n a s w e l l a s o f t h er e s u l ti n g h y p e r s u d a c e ( 3.6 ) h a v e t h e s t a t e d a n a l y t i c d e p e n d e n c e o n p , q . T h e s a m e i s tr u eo f t h e t r a n s f o r m a t i o n z ~ C ( w ) z , w - ~ w wh i c h l e a d s t o ( 3 . 9 ) .

( b) R e t u r n i n g t o ( 3. 9) it r e m a i n s t o s a t i s f y t h e r e l a t i o n st r l v ~ s = 0 , ( t r ) 2 ~' 32 = 0, ( t r ) 8 ~ '~ ~ 0

w h i c h g i v e r is e t o a s e t o f d i f fe r e n t i a l e q u a t i o n s f o r t h e c u r v e 7 a n d f o r t h e a s s o c i a t e dframe.

W e b e g i n w i t h t h e c o n d i t i o n ( t r) 2F 3 ~ = 0 w h i c h g i v e s r i s e t o a d i f f e r e n t i a l e q u a t i o no f s e co n d o r d e r f o r t h e c u r v e 7 , w h e r e t h e p a r a m e t r i z a t i o n i s i g no r e d . F o r t h i s p u r p o s e w ea s s u m e t h a t t h e p a r a m e t r i z a t i o n i s f ix e d , s a y b y R e q (~ ) = ~ a n d s t u d y t h e d e p e n d e n c e o f~ a 2 o n p ( ~ ). A c c o r d i n g t o L e m m a 3 . 4 t h e c o e f f i c ie n t s o f F 3~ a r e a n a l y t i c f u n c t i o n s o f p ,a n d t h e i r d e r i v a t i v e s u p t o o r d e r 5 . B u t i f t h e h y p e r s u r f a c e i s i n t h e f o r m ( 3 .9 ) t h e n tV 32d e p e n d s o n t h e d e r i v a t iv e s o f o r d e r ~ 2 a n d i s o f t h e f o r m

F n = < z , B p ~ > < z, z> + K s 2 ( 3 . 1 4 )w h e r e K 8 2 , B d e p e n d o n p , ~ , p ' , ~ ' a n a l y t i c a l l y , a n d B i s a n o n s i n g u l a r m a t r i x f o rs m a l l I l -

T o p r o v e t h i s s t a t e m e n t w e r e ca l l t h a t ( 3. 9) w a s o b t a i n e d b y a t r a n s f o r m a t i o nz-~p(w)+C(w)z+..., w--*q(w)+...

W e c h o o s e R e q(u)=,=u f i x i n g t h e p a r a m e t r i z a t i o n ; I m q ( u ) i s d e t e r m i n e d b y p , ~ . T os t u d y t h e d e p e n d e n c e o f F n a t u - - u 0 w e s u b j e c t ( 3 .9 ) t o t h e t r a n s f o r m a t i o n

z = s ( w * ) + z * + . . . , w = q ( w * + u o ) ( 3 . 1 5 )w h i c h a m o u n t s t o r e p l a c in g p (u ) b y p * ( u * ) = p ( u o + u ) + C ( u o + u ) s ( u) . C o n s i d e r i n g p a n d sf i x e d = it u = u 0 w e r e q u i r e s (0 ) = 0 , s' (0 ) = 0 a n d i n v e s t i g a t e t h e d e p e n d e n c e o f F a s o n t h eg e r m o f s a t u - u o. W e c h o o se t h e h i g h e r o r d e r t e r m s i n (3 .1 5 ) i n s u ch a w a y t h a t t h ef o r m o f ( 3 . 9 ) i s p r e s e r v e d a s f a r a s t e r m s o f we i g h t ~


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R E A L H Y P E R S U R F A C E S ~ C O M P L E X M A I ~- IF O L DS 243v - < z , z > = v * - < z * , z * > + 4 R e ~H e n c e F * d e p e n d s o n s , s "~ s ' , o n l y , a n d u s i n g t h a t

( C( uo + u) s ( u ) ) ~ = C( uo ) s ~( O ) f o r u = 0we see th a t F ~ +2 = < U z , U z> .W e w i l l d e f i n e U v i a a d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n


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2 4 4 S . S , C H E R N A N D J . K . M O S E Rdd---~U=UA w i t h ( A z , z ) + ( z, A z ) = O (3 .16)

a n d f i n d f r o m U(w) = U(u) +ivU ' + . . . t h a t( z* , z * ) = ( ( U + i U ' ( z , z ) + . . .) z , ( U + i U ' ( z , z ) + .. . )z }

= ( ( I + i A ( z , z } + . . .) z , ( I + i A ( z , z } + . . .) z }= ( z , z ) ( 1 + 2 i ( A z , z ) + . . . )

w h e r e t h e a r g u m e n t s o f U , A a r e u a n d t h e d o t s i n d i c a t e t e r m s o f o r d e r ~> 6 in z , 5 . T h u s

F*2~ = F ~ + 2i(A z , z~ (z , z ) , Fs*~= ~'32,w h e r e o n t h e l e f t s id e w e s e t z * = U ( u ) z. T h u s , s i nc e t r - ~ 2 i s a h e r m i t i a n f o r m t h e e q u a$ i o nt r F *u = 0 d e t e r m i n e s ( i A z , z ) u n i q u e l y a s a h e r m i t i a n f o r m , h e n c e A i s u n i q u e l y d e t e r -m i n e d a s a n a n t i h e r m i t i a n m a t r i x w i t h r e s p e c t t o ( , 7 . T h u s t h e d i f f e r e n t ia l e q u a t i o n ( 3. 16 )d e f i n e s a U(u), a n a l y t i c i n u , a n d p r e s e r v i n g t h e f o r m ( , ) i f U (0 ) d oe s . M o r e g e o m e t r i c a l ly ,( 3 . 1 6 ) c a n b e v i e w e d a s a f i r s t o r d e r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n

~ f f i ~ a ~ ( u ) e B, ( ea , e D )= h a~f o r t h e f r a m e . N o t e t h a t t h e t e r m F 3~ i s n o t a f f e c t e d b y t h i s c h o ic e o f t h e f l a m e .

F i n a l l y , w e a r e l e f t w i t h c h o o s i n g t h e p a r a m e t r i z a t i o n o n t h e c u r v e i n s u c h a w a yt h a t ( tr ) 8 F a a = 0 . F o r t h i s p u r p o s e p e r f o r m t h e t r a n s f o r m a t i o n

Z $ = ( q ' ( W ) ) I / 2 z , W $ = q ( W )

w i t h q ( O ) = O , q(w i =q (~) , q ' (O) > 0 .T h u s v* = q' (u ) v - ~ q ' " va + . . .

= q ' ( u ) 8 9 q ' " - q , ] ( z , z ) ~w h i c h g i v e s f o r z , w o n t h e h y p e r s u f f a c e

v * - ( z * , z * ) = q ' ( v - ( z , z ) ) + ( ~ q q - 2 \I l l. ( q ' lor av88 = q'F83 + 89 ' " - 89 q, ] 3.

T h u s , ( t r) a E ~3 = 0 g i v e s r i s e t o a n a n a l y t i c t h i r d o r d e r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n f o r t h e r e a l


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R E A L H Y P E R S U R F A C E S I N C O M P L E X M A N I F O L D S 2 4 5f u n c t i o n q ( u) , u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y q ( 0 ) = 0 , q ' ( 0 ) > 0 , q " (0 ) , w h i c h a r e a s s u m e d r e a l .T h u s w e h a v e a d i s t in g u i s h e d p a r a m e t e r ~ i n th e a b o v e c u r v e w h i c h i s d e t e r m i n e d u pt o r e a l p r o j e c t i v e t r a n s f o r m a t i o n s ~ / ( a ~ + fl) , f l > O .

T h u s w e h a v e c o n s t r u c t e d a h o l o m o r p h ic t r a n s f o r m a t i o n t a k i n g M i n t o t h e n o r m a lf o r m , a n d t h e e x i s te n c e p r o o f h a s b e e n r e d u c e d t o t h a t f o r o r d i n a r y d i f f e re n t ia l e q u a t io n s .T h e c h o i c e o f t h e i n i t ia l v a l u e s f o r T ' ( 0 ) E C ~, U( 0 ) a n d Re q '( 0 ) , Re q "( 0 ) a ll o ws u s t os a t i s f y t h e n o r m a l i z a t i o n c o n d i t i o n ( 2 . 9 ) o f w2 . I n f a c t , t h e s e 2 n + n 2 + l + l = ( n + l ) 2 r e a l p a r a m e t e r s c h a r a c te r i z e p re c i se l y a n e l e m e n t o f th e i s o tr o p i c g ro u p H . T h u s w e h a v es h o w n

THEORV.M 3.5 . I / M is a real analyt ic mani /old the uniq ue/o rma l traws/ormation o/Theorem 2 .2 taking M into a normal ]orm and sa tis/ying the normalization condition is givenby convergent series, i .e. defines a holomorphic mapp ing.

T w o r e a l a n a l y t i c m a n i f o l d s M 1 , M 2 w i t h d i s t i n g u i s h e d p o i n t s p l E M 1 , p2EM2 areh o l o m o r p h i c a l l y e q u i v a l e n t b y a h o l o m o r p h i c m a p p i n g ~b t a k i n g P l i n t o I02 i f a n d o n l y i f( M ~ , P k ~ f o r k = 1 , 2 h a v e t h e s a m e n o r m a l f o r m s f o r s o m e c h o i c e o f t h e n o r m a l i z a t i o nc o n d i t i o n s . T h u s t h e p r o b l e m o f e q u i v a l e n c e i s r e d u c e d t o a f i n i t e d i m e n s i o n a l o n e .

T h e a r b i t r a r y i n i t ia l v a l u e s fo r t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t r F2~=O, ( t r ) 2 F 3 2 = 0 ,( t r) 3 F a 3 = 0 h a v e a g e o m e t r i c a l i n t e r p r e t a t i o n : A t a f i x e d p o i n t p E M t h e y c o r r e s p o n d t o

( i) a n o r m a l i z e d f r a m e e a E Tc , ( c a , e p~ = h a ~( ii ) a ve c to r en+1 E T R - - T c c o r r e sp o n d i n g t o t h e t a n g e n t v e c t o r o f t h e c u r v e ~ , a n d( ii i) a r e a l n u m b e r f i x i n g t h e p a r a m e t r i z a t i o n , c o r r e s p o n d i n g t o R e q " ( 0 ) .W i t h t h e c o n c e p t s o f t h e f o l lo w i n g s e c t io n t h i s w i ll b e v i e w e d a s a f r a m e i n a l i n e

b u n d l e o v e r M .A s a c o n s e q u e n c e o f t h e s e r e s u l ts a b o v e w e s e e t h a t t h e h o l o m o r p h i c m a p p i n g s t a k i n g

a n o n d e g e n e r a t e h y p e r s u r f a e e i n t o t h e m s e l v e s f o r m a f in i t e d i m e n s i o n a l g r o u p . I n f a c t ,f i x in g a p o i n t t h e d i m e n s i o n o f t h is g r o u p i s a t m o s t e q u a l t o t h a t o f t h e i s o t r o p y g r o u p H ,i . e . (n 1 ) ~ 1 . Ad d i n g t h e f r e e d o m o f c h o i c e o f a p o i n t g i v e s 2 n 1 ( n 1 ) ~ 1 = ( n + 2 ) ~ - 1a s a n u p p e r b o u n d f o r t h e d i m e n s i o n o f t h e g r o u p o f h o l o m o r p h i c se lf m a p p i n g s o f M . T h i su p p e r b o u n d i s re a l iz e d f o r t h e h y p e r q u a d r i c s .T h e a b o v e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s d e f i n e a h o l o m o r p h i c a l l y i n v a r i a n t f a m i l y o f ap a r a m e t r i z e d c u r v e ~ t r a n s v e rs a l t o t h e c o m p l e x t a n g e n t b u n d l e , w i t h a f r a m e e~p r o p a g a t i n g a l o n g ? . T h e p a r a m e t e r ~ is f ix e d u p t o a p r o j e c t i v e tr a n s f o r m a t i o n~ / ( ~ ( ~ 0 ) k e e p i n g ~ = 0 f i x ed . T h u s cr o ss r a t io s o f 4 p o i n t s o n t h e s e c u r v e s a r ei n v a r i a n t l y d e f i n e d . W e s u m m a r i z e : ( i ) t r F 2 2 = O r e p r e s e n t s a f i r s t o r d e r d i f f e r e n t i a l


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2 4 6 S . S . C H E R N A N D J . K . M O S E Re q u a t i o n f o r t h e f r a m e e a, ( ii) ( t r) ~ F 3 ~ = 0 d e f i n e s a s e c o n d o r d e r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nf o r t h e d i s t i n g u i s h e d c u r v e s y , i r r e s p e c t i v e o f p a r a m e t r i z a t i o n a n d ( iii) ( t r) a F s a -- - 0d e f i n e s a t h i r d o r d e r d i f f e r e n t ia l e q u a t i o n f o r t h e p a r a m e t r i z a t i o n .

( c) T h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t r F 2 2 = 0 , ( t r) z F s 2 = 0 , ( t r) s F 3 a = 0 r e m a i n m e a n i n g f u lf o r m e r e l y s m o o t h m a n i f o l d s . I n d e e d , i f M i s s i x t i m e s c o n t i n u o u s l y d i f f c r e n t i a b l e o n ec a n a c h i e v e t h e a b o v e n o r m a l f o r m s u p t o t e r m s o f o r d e r 6 i n cl u si v e , si m p l yt r u n c a t i n g t h e a b o v e s e r ie s e x p a n s i o n s . C l e a r ly t h e r e s u l t i n g f a m i l ie s o f c u r v e s a n df r a m e s a r e i n v a r i a n t l y a s s o c i a te d w i t h t h e m a n i f o l d u n d e r m a p p i n g s h o l o m o r p h i c n e a r M .I n d e e d s i n c e t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a r e o b t a i n e d b y t h e e x p a n s i o n s o f w2 u p t o t e r m s o fw e i g h t ~< 6 a t a n y p o i n t o n e m a y a p p r o x i m a t e M a t t h i s p o i n t b y a r e a l a n a l y t i c o n e a n dr e a d o f f t h e h o l o m o r p h i e in v a r i a n c e o f th i s s y s t e m o f d i f fe r e n t i a l e q u a t i o n s . I n t h i s e a s et h e d i s t i n g u i s h e d c u r v e s 7 a r e , i n g e n e r a l , o n l y 3 t i m e s c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e b u tt h e n o r m a l f o r m ( s e e ( 2 . 1 1 ) v i a a h o l o m o r p h i c m a p , c a n n o t b e a c h i e v e d , n o t e v e n t o s i x t ho r d e r i n z , ~ . T h i s w o u l d r e q u i r e t h a t t h e f u n c t i o n / ( z , u ), g (z , u ) d e f i n i n g t h e t r a n s f o r m a -t i o n a n d w h i c h c a n b e t a k e n a s p o l y n o m i a l s i n z a d m i t a n a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n t oc o m p l e x v a l u e s o f ~t. I f t h e L e v i f o r m i s i n d e f i n i t e o n e h a s t o r e q u i r e a n a n a l y t i c c o n t i n u a -t i o n t o b o t h s id e s w h i c h c a n h a p p e n o n l y i n t h e e x c e p t i o n a l c as e o f a n a l y t ic c u r v e s 7 .I f , h o w e v e r , t h e L e v i - f o r m is d e f in i t e , i. e . i n t h e p s e u d o c o n v e x c a s e o n e h a s t o r e q u i r eo n l y t h a t / ( z , ~t) , g ( z , u ) a d m i t o n e s i d ed a n a l y t i c c o n t i n u at i o n s. H o w e v e r , w e d o n o tp u r s u e t h i s a r t i f i c ia l q u e s t i o n b u t r e c o r d t h a t t h e s t r u c t u r e o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f o rt h e c u r v e s 7 a n d t h e i r a s s o c i a t e d f r a m e i s m e a n i n g f u l i n t h e c a s e o f s i x t i m e s d i f f e r e n t i a b ] ,m a n i f o l d s .

(d ) I n t h e c a s e n = 1 t h e n o r m a l f o r m h a s a s i m p l e r f o r m s i n c e t h e c o n t r a c t i o n ( t r)b e c o m e s r e d u n d a n t . F o r t h i s r e a s o n F 2 ~ , F 2 3 , F s s , F 3 3 a l l v a n i s h a n d t h e n o r m a l f o r m c a nb e w r i t t e n v = z ~ + c 4 z z 4 ~ 2 + c ~ z 2 ~ 4 + ~ c ~ z z ~ z (3 .18)

k + l ~ 7

w h e r e a g a i n r a i n ( k, l ) > /2 . T h i s n o r m a l f o r m i s u n i q u e o n l y u p t o t h e 5 d i m e n s i o n a l g r o u pH g i v e n b y z ~ ~ ( z + a w )r - 1 , w = l - 2 i S z - ( r + i l a l ~ ) w }

W - -+ I ~ l 2 ~ - 1 (3 .19)w i t h 0 # ~ E C , a f iC , r f i R . I t i s e a s il y s e e n t h a t t h e p r o p e r t y c j 2 ( 0 ) * 0 i s i n v a r i s n t u n d e rt h e s e t r a n s f o r m a t i o n s . I f C 4 s ( 0 ) - - 0 w e c a l l t h e o r i g i n a n u m b i l i c a l p o i n t . F o r a n o n .u m b i l i c a l we c a n a l w a y s a c h i e v e c 4 2 (0 ) = 1 s i n c e z - ~ z l e a d s t o c 4 s (0 )- *Xs ~c4 s (0 ). B y t h i sn o r m a l i z a t i o n ~ i s f i x e d u p t o s i g n .


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R EAL HYPER SUR FAC E S IN C OM PLEX M ANIFOLDS 247F o r a n o n u m b i l i c a l p o i n t w e c a n u s e t h e p a r a m e t e r s a , r t o a c h i e v e

c43(0) = 0 , Re c~:(0) = 0s o t h a t t h e s o n o r m a l i z e d h y p e r s u r f a c e c a n b e a p p r o x i m a t e d t o o r d e r 7 i n z, ~, u b y t h ea l g e b r a i c s u r f a c e v = z~ + 2 R e {z4~2(1+ j z + i k u } (3.20)w h ere ~ "E C , k E R , an d j2, k a r e i n v a r i an t s a t t h e o r ig in .

T h e a b o v e s t a t e m e n t s f o l lo w f r o m t h e f a c t t h a t ( 3. 19 ) w i t h ) l = l , r = O l e a d s t oc 4 3 ( 0 ) - + c 4 3 ( 0 ) + 2 i a , c 5 2 ( 0 ) - ~ c 5 ~ ( 0 ) + 4 i 5

s o t h a t j = % 2 (0 ) + 2 c 4a ( 0) i s u n c h a n g e d . W e f i x a s o t h a t c ~( O) = O an d co n s id e r (3 . 1 9 )w i t h ~ = 1, a = 0 w h ich g iv es r i s e t o

R e c~2(0) -+ 'R e c42 (0 ) + 4 rC h o o s i n g R e c ~ 2 (0 ) = 0 w e o b t a i n ( 3. 20 ), w h e r e w e s t i l l h a v e t h e f r e e d o m t o r e p l a c e zb y - z . T h u s ~ '2 a n d k a r e i n d e e d i n v a r i a n t s .

T h e a b o v e c h o i c e ( 3. 20 ) d i s ti n g u i s h e s a s p e c i a l f r a m e a t t h e o r i g in , b y p r e s c r i b i n g at a n g e n t v e c t o r ~/au t r a n s v e r s a l t o t h e c o m p l e x t a n g e n t p l a n e a n d a c o m p l e x t a n g e n tv e c t o r p a i r ~ / ~ z i n t h e c o m p l e x t a n g e n t p l a n e . T h e s e p a i r s o f v e c t o r s c a n b e a s s i g n e dt o a n y p o i n t o f M w h i c h i s n o n - u m b i h c a l . T h e s e c o n s i d e r a t i o n s c l e a r l y a r e m e a n i n g f u lf o r s e v e n t i m e s d i f f e r e n t i a b l e M .

T h e a b o v e v e c t o r f i e l d s , s i n g u l a r a t u m b i l i c a l p o i n t s , c a n b e v i e w e d a s a n a l o g o u s t ot h e d i r e c t i o n s o f p r i n c i p a l c u r v a t u r e i n c l a s s i c a l d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y . T h i s a n a l o g ys u g g e s ts t h e q u e s ti o n : A r e t h e r e c o m p a c t m a n i f o l d s w i t h o u t u m b i l i c a l p o i n ts ? A r e t h e r es u c h m a n i f o l d s d i f f e o m o r p h i c t o t h e s p h e r e S a ?

C lea r ly t h e sp h e re [ z ]2 + ]w 12 = 1 co n s i s t s o f u m b i l i ca l p o i n t s o n ly a s , ex cep t fo r o n ep o i n t , t h i s m a n i f o l d c a n b e t r a n s f o r m e d i n t o v = z 5 ( c f . ( 1 . 4 ) ) . T h e re fo re w e can say b y(3.18): A n y 3 . d i me n s i o n a l ma n i / o l d M i n C 2 c a n a t a p o i n t b e o sc u l at e d b y th e h o l o mo r p h ici ma g e o / t h e s p h e r e ] z] 2 + ] w l 2 = 1 up to order 5 b ut general ly not to s i x th order . I n t h e l a t t e rc a s e w e h a v e a n u m b i l i c a l p o i n t .

F o r n > ~ 2 t h e a n a l o g o u s d e f i n i t i o n o f a n u m b i l i c a l p o i n t i s d i f fe r e n t : A p o i n t p o nM i s c a l le d u m b i l i c a l i f t h e t e r m F 2~ i n t h e n o r m a l f o r m v a n i s h e s . A g a i n , i t i s e a s i ly s e e nt h a t t h i s c o n d i t io n i s i n d e p e n d e n t o f t h e t r a n s f o r m a t i o n ( 1. 23 ) a n d w e c a n s a y : A n y n o n -d e ge n er at e ma n i / o l d M o / r e a l d i m e n s i o n 2 n + 1 i n Cn+l (n >~2) can a t a poin t be oscula ted by theholomo rphic image o~ a hype rquadr ic v = up to order 3 , bu t general ly not to order 4 .I n c a s e o n e h a s f o u r t h o r d e r o s c u l a t i o n o n e s p e a k s o f a n u m b i l i c a l p o i n t .


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2 4 8 S . S . C H E R N A N D J . K . M O S E R( e) T h e a l g eb r a ic p r o b l e m s c o n n e c t e d w i t h t h e a c t i o n o f t h e i s o t r o p y g r o u p o n t h e

n o r m a l f o r m a r e p r o h i b i t i v e l y c o m p l i c a te d f o r la r g e n . B u t f o r a s t r i c tl y p s e u d o c o n v e x5 - d i m e n s i o n a l m a n i f o l d i n Ca w e o b t a i n a n i n t e r e s t i n g i n v a r i a n t c o n n e c t e d w i t h t h e 4 t ho r d e r t e r m s _ F2 u .

W e a s s u m e n = 2 a n d 2 - ~ 5 . z~ z ~

t t~ l

a n d c o n s i d e r a q u a r t i c _ F2~(z ~ ) o f t y p e ( 2, 2 ) wi t h t r - ~2 = 0 . I f we s u b j e c t t h e m a n i f o l dv* = + F 2 2 ( z * , z * ) + . . .

t o t h e t r a n s f o r m a t i o n ( 1. 23 ) o f t h e i s o t r o p y g r o u p o f Q t h e f o u r t h o r d e r t e r m i s r e p l a c e d b yF ~ ( z * , z*) = .N 2~(z , ~ ) (3.21)

w h e r e z * p = C ~ z a , C~aC ~~ = ~ , ~ > 0 . ( 3 .2 2 )T h e q u e s t i o n a r i s e s t o f i n d i n v a r i a n t s o f hr2 ~ u n d e r t h e s e t r a n s f o r m a t i o n s , w h i c h a r ee v i d e n t l y m u l t i p le s o f u n i t a r y t r a n s fo r m a t i o n s .

I t t u r n s o u t , a n d w e w i l l s h o w , t h a t o n e c a n f i n d ( 3 .2 2 ) s u c h t h a t N 2 z t a k e s t h e f o r mZ ~ 22 = 2 1 4 1 + 2 5 4 2 -~ - 2 3 4 3

w h e r e r r C a a r e f ix e d q u a r t i c s a n d ~ 1, 2 2, 2 s a r e t h r e e re a l n u m b e r s w h i c h w e m a y o r d e r21 ~-


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R EAL HYPER SUR FAC ES I 1~ C OMPLEX MANI FOLD S

( z ~ , z ~ ) - ~ ( z 2 , - z ~ )

249( 3 . 23 )

a n d c o n v e r s e l y a n y s u c h q u a r t i e d i f f e rs f r o m o n e w i t h t r F 2 2 = 0 b y a m u l t i p l e o f < z , z >~T h e f u n c t i o n < z, z > 2 F ~ c a n b e v i e w e d a s a f u n c t i o n o n t h e c o m p l e x p r o j e c t i v e

s p a c e C P x, t h a t i s o n S2. W e u s e t h e f a m i l i a r m a p p i n g [ 3] , d e r i v e d f r o m t h e s t e r e o g r a p h i cp r o j e c t i o n :

i ~ 2 = z 1 z - z ~

s o t h a t 8

t o m a p < z, z ) = 1 o n t o S2. T h e n t h e a b o v e i n v o l u t i o n ( 3 . 23 ) g oe s i n t o t h e a n t i p o d a l m a p sa n d o n e v e r i f i e s t h a t F ~2 b e c o m e s a r e a l q u a d r a t i c f o r m

3F 2 2 (z, ~ ) = r = ~ b ~ , ~ s , .v, ,u~ l

M o r e o v e r 3

s o t h a t t r 2'2 2 = 0 i f a n d o n l y i f t h e t r a c e o f t h e q u a d r a t i c f o r m v a n i s h e s .W e s u b j e c t F 22 t o t h e t r a n s f o r m a t i o n ( 3 .2 2 ). A t f i r s t w e t a k e ~ = 1, s o t h a t ( C ~~) = C is

u n i t a r y . W e a s s u m e f u r t h e r m o r e t h a t d e t C = 1 b e c a u s e o f t h e h o m o g e n e o u s c h a r a c t e r o fF 22 . T h e n , a s i s w e l l k n o w n e v e r y s u c h C c o r r e s p o n d s t o a p r o p e r o r t h o g o n a l t r a n s f o r m a -t i o n o f th e ~ - s p a ce , a n d e v e r y s u c h o r t h o g o n a l t r a n s f o r m a t i o n b e l o ng s t o t w o s u c h u n i t a r yt r a n s f o r m a t i o n s , n a m e l y _ C . T h u s t h e e q u i v a l e n c e p r o b l e m i s r e d u c e d t o t h a t o f t h eq u a d r a t i c f o r m ~P u n d e r p r o p e r o r t h o g o n a l t r a n s f o r m a t i o n s . C h o o si n g t h i s t r a n s f o r m a t i o ns o t h a t ~P i s m a p p e d i n t o d i a g o n a l f o r m

3

w e h a v e ~ = 1 ~ v = 0 . M o r e o v e r , i f t h e e i g e n v a l ue s ~v a r e d i s t in c t a n d o r d e r e d t h eo r t h o g o n a l t r a n s f o r m a t i o n i s u p t o ~ , - ~ u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y t h i s r e q u i r e m e n t .

T o c o m p l e t e t h e d i s cu s s io n w e h a v e t o f r e e o u r s e l v e s f r o m t h e r e s t r i c ti o n d e t C = 1a n d t a k e t h e s t r e t c h i n g z - + g z i n t o a c c o u n t . B o t h f a c t o r s a r e t a k e n i n t o a c c o u n t b y at r a n s f o r m a t i o n z ~ r z , w ~ I r l 2 w w i t h ~ a c o m p l e x n u m b e r w ~ e h l e a d s t o ~ , ~ I r 1 2t ,.


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2 50 S. S. CHERN AND J. K. MOSERT h u s i f w e s e t

r = ~ 2 = 2 { z l z 2 z l z ~ + R e ( z l ~ ) s }r = ~ i = - 2 { z l z S z l z 2 - R e ( z l ~ ) s }

T h e n t h e a b o v e a s s e r t i o n s fo l lo w . T h e p a i r s o f c o m p l e x l i ne s w h i c h c o r r e s p o n d t o a ne i g e n d i r e c t i o n h a v e t h e f o r m

a l z l + a 2 z ~ = Oa2z I --al z2 = 0

w h e r e a l , a s a r e n o t b o t h z e r o , i. e . t h e s e c o n d l i ne is o b t a i n e d f r o m t h e f i r s t b y t h e i n v o l u -t ion (3 .23) .

4 . S o l u t i o n o f a n e q u i v a l e n c e p r o b l e mL e t G b e t h e g r o u p o f a l l n o n s i n g u l a r m a t r i c e s o f t h e f o r m

u 0 0 ) _ _v a u ~~' 0 , v ~ = v a , u ~ ~ = u i ' ,v~ 0 u ~ ;

( 4 . ] )

w h e r e , a s t h r o u g h o u t t h i s s e c t i o n , t h e s m a l l G r e e k i n d i c e s r u n f r o m 1 t o n , u i s r e a l , a n dv ~, u~~ a r e c o m p l e x . G c a n b e c o n s i d e r e d a s a s u b g r o u p o f O L ( 2 n + 1 , R ) . A G -s t ru c tu re i n am a n i f o l d M o f d i m e n s i o n 2 n + 1 i s a r e d u c t i o n o f t h e g r o u p o f i t s t a n g e n t b u n d l e t o G .L o c a l l y i t i s g i v e n b y l i n e a r d i f f e r e n t i a l f o r m s 0 , 0 ~ , 0~ , w h e r e 0 i s r e a l a n d 0 ~ a r e c o m p l e x ,w h i c h a r e d e f i n e d u p t o a t r a n s f o r m a t i o n o f G a n d s a t i s f y t h e c o n d i t i o n

0 A 01A ... A 0n A 0~ A ... A 0 n ~=0. ( 4 . 2 )L e t T x a n d T * , x E M , b e r e s p e c t i v e l y t h e t a n g e n t a n d c o t a n g e n t s p a c e s o f M a t x .

T h e m u l t i p l e s o f 0 d e f i n e a l i n e E z i n T * a n d t h e i r t o t a l i t y i s a r e a l li n e b u n d l e o v e r M ,t o b e d e n o t e d b y E . T h e a n n i h i l a t o r E ~ = T z . c i n T x , c a l le d t h e c o m p l e x t a n g e n t s p a c e , ha sa c o m p l e x s t r u c t u r e .

T h e G - s t r u c t u r e i s c al l e d i n t e g r a b l e i f t h e F r o b e n i u s c o n d i t i o n i s s a ti s f ie d : dO, dO ~b e l o n g t o t h e d i f f e r e n t i a l i d e a l g e n e r a t e d b y 0 , 0 B. S i n c e 0 is r e a l , t h i s c o n d i t i o n i m p l i e s

d O - i h, ,~ O a A 05 , m od 0 , (4 .3 )wh ere h ~ = ~p~ = h~a. (4 .4 )


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REAL HYPERSURFACES 1~ COMPLEX MANIFOLDS 251A n i n t e g r a b l e G - s t r u c t u r e i s c a l l e d n o n d e g e n e r a t e i f

de t (h~ ) =~ 0 . (4 .5)I n t e g r a b l e G - s t r u c t u r e s i n c l u d e t h e s p e c i a l c a s e s :(1 ) R e a l h y p e r s u r f a c e s i n C n + l. L e t z % w b e t h e c o o r d i n a t e s o f C n + l. A r e a l h y p e r -

s u r f a c e M c a n b e l o c a l l y d e f i n e d b yr ( z ~ , ~ , w , ~ v ) = O , r ~ d = O , (4.6)

w h e r e r is a s m o o t h r e a l - v a l u e d f u n c t i o n . O n M a G - s t r u c t u r e i s d e f i n e d b y p u t t i n g0 = i ~ r , 0 a = d z% ( 4 . 7 )

( 2) C o m p l e x - v a l u e d l i n e a r d i ff e r e n t i a l o p e r a t o r s o f t h e f i r s t o r d e r i n R ~ + I . D e n o t et h e o p e r a t o r s b y P ~ a n d s u p p o s e t h e f o l lo w i n g c o n d i t i o n s b e s a t is f ie d : ( a ) P ~ , P ~ a r el i n e a r l y i n d e p e n d e n t ; ( b ) [ P a, P p ] i s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f P v ' W e i n t e r p r e t t h e o p e r a t o r sa s c o m p l e x v e c t o r f ie l d s a n d l e t L b e t h e n - d i m e n s i o n a l l in e a r s p a c e s p a n n e d b y P ~ . I t sa n n i h i l a t o r L i s o f d i m e n s i o n n 1 . Co n d i t i o n ( a ) i m p l i e s t h a t L fi L" i s o n e - d i m e n s i o n a l .W e c a n c h o o s e a r e a l o n e - f o r m 0 E L a N ] ;~ a n d t h e f o r m s 0 , 0 a t o s p a n L ~ . T h e G -s t r u c t u r e s o d e f i n e d i s i n t e g r a b l e b e c a u s e o f c o n d i t i o n ( b ) .

W e s h a l l d e f i n e a c o m p l e t e s y s t e m o f l o c a l i n v a r i a n t s o f n o n d e g e n e r a t e i n t e g r a b l eG - s t r u c t u r e s .

W e c o n s i d e r t h e r e a l l i n e b u n d l e E , w h i c h c o n s i s t s o f t h e m u l t i p l e s u0 , u ( > 0 ) b e in ga f i b e r c o o r d i n a t e . I n E t h e f o r mo) = uO (4.8)

i s i n t r i n s i c a l l y d e f i n e d . B y ( 4 . 3 ) i t s e x t e r i o r d e r i v a t i v e h a s t h e l o c a l e x p r e s s i o n/ d u + \

w h e r e 0 a , ~ 0 a r e o n e - f o r m s i n M a n d ~ 0 i s r e a l . T h i s e q u a t i o n c a n b e w r i t t e ndo) = ig=~o)= A o)~ +o) A~ , (4 .10)

wh e r e o )= a r e l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f 0 ~ , 0 a n d g=~ = g~= a r e c o n s t a n t s . Th e n o n d e g e n e r a c yo f t h e G - s t r u c t u r e i s e x p r e s s e d b y 9

d e t (ga~) # O. (4.11)T h e f o r m s o ) , R e o) ~, I m o )h a n d q~ c o n s t i t u t e a b a s i s o f t h e c o t a n g e n t s p a c e o f E .

T h e m o s t g e n e r a

chern, moser - real hypersufarce in complex manifolds

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