chapter 3design & analysis of experiments 7e 2009 montgomery 1

Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

1

3.5 Interpretações práticas dos resultados

• Após terminar o experimento, realizar a análise estatística e investigar as suposições subjacentes, o experimentador está pronto para inferir conclusões práticas sobre o experimento que está conduzindo.

• Em geral isso é relativamente fácil, e certamente, nos experimentos simples que consideramos até aqui, isto pode ser de algum modo informal, talvez pela inspeção de dispositivos gráficos tais como diagramas de dispersão e boxplot .

• Porém, em alguns casos técnicas mais formais precisam ser incorporadas.

• Apresentaremos aqui algumas dessas técnicas.

3.5.1 Um modelo de regressão• Os fatores envolvidos no experimento podem ser qualitativos ou

quantitativos.• Até aqui ambos foram tratados da mesma forma.• De fato, a ANOVA trata o fator como uma variável categórica.• Se o fator é uma variável quantitativa, em geral é de interesse todo

o campo de variação dos valores.• Por exemplo se os níveis potência 160, 180, 200 e 220 foram

usados, pode-se estar interessado em obter uma resposta para um nível intermediário de 190W, por meio de alguma equação de interpolação. Essa equação representa um modelo empírico do processo que foi estudado.

• A abordagem comum para ajustar modelos empíricos é chamada Análise de Regressão.

• No caso do exemplo em questão, podemos propor, olhando diagrama de dispersão das taxas de gravação vs níveis de potência, um modelo linear e um quadrático.

Modelos ajustados

xy

xy

527,262,137ˆ

10

2

210

028375,02555,877,1147ˆ xxy

xxy

• Em geral, o melhor modelo é o mais simples de modo que se vamos usar uma função polinomial, aquela que parece se ajustar bem aos dados e tem menor grau possível deve ser escolhida.

• Nesse exemplo o modelo quadrático parece se ajustar melhor aos dados do que o linear de tal modo que a complexidade adicional do modelo quadrático deve ser considerada.

• Selecionar a ordem da aproximação polinomial nem sempre é fácil.

• A inclusão de termos de maior ordem que de fato não melhoram o ajuste e aumentam a complexidade do modelo prejudica a utilidade do modelo empírico como equação preditora.

• Nesse exemplo, o modelo empírico poderia ser usado para prever a taxa de gravação para valores de potência dentro da região de experimentação, isto e, entre 160 e 220 watts.

• Em outros casos, o modelo empírico poderia ser usado para processos de otimização, isto é, obter níveis de variáveis de planejamento que resultam nos melhores valores da resposta.


6

Post-ANOVA Comparison of Means• The analysis of variance tests the hypothesis of equal

treatment means• Assume that residual analysis is satisfactory• If that hypothesis is rejected, we don’t know which

specific means are different • Determining which specific means differ following an

ANOVA is called the multiple comparisons problem• There are lots of ways to do this…see text, Section 3.5,

pg. 84• We will use pairwise t-tests on means…sometimes

called Fisher’s Least Significant Difference (or Fisher’s LSD) Method

Comparações entre as médias de tratamento

• Suponha que a hipótese nula, de médias de tratamento iguais, foi rejeitada. Assim, há evidências de que existem diferenças nas médias de tratamento, mas não exatamente que diferença existe.

• Pode ser útil realizar análises entre grupos de médias de tratamento.

• A média do i-ésimo tratamento é dada por μi=+i e μi é estimado pela média amostral correspondente.

• Os procedimentos para fazer essas comparações são chamados métodos de comparações múltiplas.


7


8

Design-Expert Output

Gráficos para comparação de médias

• É fácil desenvolver procedimentos gráficos para a comparação de médias numa ANOVA.

• Suponha que o fator de interesse possua a níveis.• Se conhecemos o desvio-padrão σ, então qualquer média amostral

terá erro-padrão dado por σ /√n.• Se as médias são iguais deve-se esperar que os valores das

médias amostrais estejam próximos um do outro.• A única falha nessa forma de pensar é que σ não é conhecido.• Box, Hunter e Hunter (2005) mostraram que podemos substituir σ

por √(MSE) da ANOVA e usar uma distribuição t com um fator de escala √(MSE) /√n em vez da distribuição normal.

• A figura a seguir ilustra esse gráfico no caso do exemplo analisado.


9


10

Graphical Comparison of MeansText, pg. 88

CONTRASTES

• Um CONTRASTE é uma combinação linear dos parâmetros.


11

a

i

a

iiii cc

1 1

0 que em

• As hipóteses a serem testadas são do tipo:

a

iii

a

iii

c

c

11

10

0:H

0:H

Exemplos de CONTRASTES


12

1;1;0:H

:H4321

431

430

cccc

• Suponha a=4, como no exemplo da taxa de gravação vs potência.

1;1:H

:H4321

43211

43210

cccc

Testes de hipóteses envolvendo contrastes• Veremos duas formas de testar hipóteses sobre

contrastes.• A primeira delas usa um teste t.• Escreva o contraste de interesse em função da média

amostral.


13

s.balanceado osexperiment para,)(Var1

22

1.

n

ii

a

iii c

nCycC

Se a hipótese nula é verdadeira, segue que:

)1,0(~

1

22

N

cn

Ca

ii

Testes de hipóteses envolvendo contrastes


14

• Como a variância é desconhecida, ela é substituída pelo erro quadrado médio MSE e sob a hipótese nula

aNa

ii

E

t

cn

MS

Ct

~

1

2

0

• A região crítica de um teste de nível de significância é dada por:

aNtt ,0

Testes de hipóteses envolvendo contrastes

• A segunda abordagem usa um teste F. • De fato, sob a hipótese nula,


15

aNa

iii

E

F

cn

MS

CtF

,1

1

2

2200 ~

Nesse caso, rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância se

aNFF ,1,0

Observe que podemos escrever

liberdade. degrau 1 com 1

que em1/

1

2

2

0

a

ii

C

E

C

E

C

cn

CSS

MS

SS

MS

MSF

Intervalos de confiança para contrastes


16

a

i

n

iiii

a

iii c

nCVarCEycCc

1 1

22

.1

)(e][,,

a

ii

EaN c

n

MStCIC

1

2,2/:)1,(

Se o intervalo inclui o valor zero, não rejeitamos a hipótesenula ao nível de significância .

Contrastes padronizados

• Quando se está interessado em mais de um contraste pode ser útil avaliá-los na mesma escala.

• Um modo de fazerisso é padronizar os contrastes tal que eles tenham variância σ2. Para isso, basta tomar as constantes


17

a

jj

ii

cn

cc

1

2

*

1

para obter o contraste padronizado.

Tamanhos amostrais desiguais

• Quando os tamanhos amostrais são desiguais, pequenas modificações são feitas nos resultados anteriores.

• Primeiro, note que a definição de contraste, agora requer


18

a

iiicn

1

0

• As outras mudanças são imediatas:

a

i i

i

Ca

i i

iE n

c

CSS

n

cMS

Ct

1

2

2

1

20 e

Contrastes ortogonais

• Dois contrastes com coeficientes ci e ki são ortogonais se Σ ci ki =0 ou, se Σ ni ci ki =0 no caso não-balanceado.

• Para a tratamentos, o conjunto de a-1 contrastes ortogonais particiona a soma de quadrados devido à tratamento (SSTr) em a-1 componentes independentes com 1 grau de liberdade.

• Desse modo, testes realizados em contrastes ortogonais são independentes.

• Existem várias formas de escolher coeficientes de contrastes ortogonais dado um conjunto de tratamentos.

• Em geral, algo na natureza do experimento deve sugerir que comparações serão de interesse.


19

Contrastes ortogonais

• Por exemplo, se a-3 com o nível 1 um controle e os níveis 2 e 3 representando níveis reais de um fator de interesse, contrastes ortogonais podem ser definidos como segue:


20

Tratamento (i) ci ki

1 -2 0

2 1 -1

3 1 1

correspondendo às hipóteses

32

132 2

Contrastes

• O método de contrastes é útil para o que é chamado de comparações pré-planejadas.

• Se as comparações são especificadas após a realização do experimento, muitos experimentadores tenderão a construir comparações com base nas maiores diferenças observadas na média.

• Esse tipo de estratégia poderá inflacionar o erro tipo I (rejeitar uma hipótese nula verdadeira).

• Chama-se data snooping (snoop=bisbilhotar, espionar) o exame dos dados antes de definir as comparações.


21

Exemplo

• Usando os dados do exemplo taxa de gravação vs potência e o R, teste as seguintes hipóteses:


22

43

4321

21

chapter 3design & analysis of experiments 7e 2009 montgomery 1

Documents