chapter 3 wave properties of particles

Semiconductor Materials Lab.Semiconductor Materials Lab. Hanyang University Hanyang University

Chapter 3Chapter 3

Wave Properties of ParticlesWave Properties of Particles

Concepts of modern PhysicsConcepts of modern Physics


주사 전자 현미경 (scanning electron microscope) 에서는 , 시편을 주사하는 전자

빔이 표면의 각도에 따라 그 개수를 달리하는 몇 개의 제 2 차 전자를 튀어나오게 한다 .

적당한 데이터의 표시로서 시편의 3 차원 모습을 얻게 한다 . 풀잎 위에 있는 붉은 거미

진드기의 고 해상의 상은 움직이는 전자의 파동성의 결과이다 .

3. WAVE PROPERTIES OF PARTICLES3. WAVE PROPERTIES OF PARTICLES


3.1 DE BROGILE WAVES3.1 DE BROGILE WAVES

- - 움직이는 물체는 경우에 따라 파동성을 띤 것처럼 행동한다움직이는 물체는 경우에 따라 파동성을 띤 것처럼 행동한다

3.2 WAVES OF WHAT3.2 WAVES OF WHAT

- - 확률파확률파

3.3 DESCRIBING A WAVE3.3 DESCRIBING A WAVE

- - 일반적인 파동 방정식일반적인 파동 방정식

3.4 PHASE AND GROUP VELOCITIES3.4 PHASE AND GROUP VELOCITIES

- - 파군의 속도는 파군을 이루는 개개 파의 속도와 같을 필요는 없다파군의 속도는 파군을 이루는 개개 파의 속도와 같을 필요는 없다

3.5 PARTICLE DIFFRACTION3.5 PARTICLE DIFFRACTION

- DE BROGLIE - DE BROGLIE 파의 존재를 확인하는 실험파의 존재를 확인하는 실험

3.6 PARTICLE IN A BOX3.6 PARTICLE IN A BOX

- - 왜 갇힌 입자의 에너지는 양자화 되는가왜 갇힌 입자의 에너지는 양자화 되는가

3.7 UNCERTAINLY PRINCIPLE 13.7 UNCERTAINLY PRINCIPLE 1

- - 우리는 현재 모르기에 미래도 알 수 없다우리는 현재 모르기에 미래도 알 수 없다

3.8 UNCERTAINLY PRINCIPLE 23.8 UNCERTAINLY PRINCIPLE 2

- - 입자적인 접근 방법도 같은 결과를 준다입자적인 접근 방법도 같은 결과를 준다

3.9 APPLYING THE UNCERTAINTY PRINCIPLE3.9 APPLYING THE UNCERTAINTY PRINCIPLE

- - 부정적인 말이 아니라 유용한 도구이다부정적인 말이 아니라 유용한 도구이다



1905 년 : discovery of the particle properties of waves (Einstein)

1924 년 : particles might show wave behavior

de Broglie 는 1924 년 움직이는 입자는 입자로서의 성질과 파동의 성질도 가진다고 제안

→ soon received respectful attention

→ experimentally demonstrated by 1927 (Duality Principle),

→ 이들 이중성 원리는 이미 Schrodinger 가 그 전해에 양자 역학을 성공적으로 개발하는데 출발점이 됨


..


진동수 v 인 광자의 운동량

3. 1 DE BROGLIE WAVES3. 1 DE BROGLIE WAVES

cvh

c

hvp

움직이는 물체는 경우에 따라 파동성을 띤 것처럼 행동한다움직이는 물체는 경우에 따라 파동성을 띤 것처럼 행동한다

photon wavelength : )1.3(p

h → completely general one that applies to

material particles as well as photons

momentum of a particle of mass m and velocity v → p = mv

de Broglie wavelength : )2.3(mv

h

m : relativistic mass22

0

/1 cv

mm

em wave 와 마찬가지로 운동하는 물체의 파동성과 입자성은 동시에 관찰 불가능

→ 그러므로 어느쪽이 정확한 기술인가 하는 질문은 무의미하고 , moving body 가 어떤 경우에는 wave 같고

어떤 경우 particle 같다고 말할 수 밖에 없음


3. 2 WAVES OF WHAT?3. 2 WAVES OF WHAT?

in water wave → 주기적으로 변하는 것은 수면의 높이이고 ,

in sound wave → 주기적으로 변하는 것은 압력이고 ,

in light wave → 주기적으로 변하는 것은 electric & magnetic field 임

then, What is that varies

in the case of “Matter Wave”?

matter wave 의 경우 변하는 양을 wave function (Ψ) 라 함

Ψ : has no direct physical significance & can not be interpreted in terms of an experiment

P (probability) : 어떤시간 , 어떤장소에서 어떤 물체가 발견될 확률은 0 과 1 사이의 임의의 값을 가질 수 있음

0 : the object is definitely not there

1 : the object is definitely there

중간값 0.2 means that there is a 20% chance of finding the object

-0.2 value is meaningless

확률파확률파


a large value of IΨI2 : 물체가 존재할 확률이 높다는 의미

a small value of IΨI2 : 물체가 존재할 확률이 낮다는 의미

→ this interpretation was made by Max Born in 1926

- there is big difference btw. the probability event & the event itself

우리가 particle 이 공간에서 퍼지는 것은 Ψ 로 표현할 수 있지만 particle 자체가 퍼진다는 것은 아님

즉 전자 (particle) 는 하나가 어떤 시각과 위치에서 발견되거나 안되거나 하며 전자의 20% 라는 것은 존재하지

않음

(but 전자가 발견될 확률이 20% 라는 것은 가능 → 이것이 IΨI2 가 나타내는 가능성임 )

- X-RAY diffraction 의 pioneer 인 Bragg 는 다음과 같이 기술

: Everything in the future is a wave, everything in the past is a particle

IΨI2 : probability density

“ the probability of experimentally finding the body described by the wave function Ψ at the point x, y, z, at the

time t is proportional to the value of IΨI2 there at t.

3. 2 WAVES OF WHAT?3. 2 WAVES OF WHAT?


3. 3 DESCRIBING A WAVE 3. 3 DESCRIBING A WAVE

- How fast do de Broglie wave travel?

→ we expect that this wave has the same velocity as that of the body

if de Broglie wave velocity vp 라고 가정하면

일반적인 파동 방정식일반적인 파동 방정식

pv to find vp , de Broglie wave length λ = h / mv

to find v (frequency), E=hv E=mc2

h

mcmchv

22

de Broglie wave velocity :

22

))((c

mv

h

h

mcvp

v 는 c 보다 항상 적으므로 vp 는 빛의 속도보다 빠르다 ? → unexpected result

이런 예기치 못한 결과를 이해하기 위해 phase velocity 와 group velocity 의 차이를 구별해야 한다 ( phase velocity 는 지금까지 wave velocity 라 부르던 것임 )


Describe waves mathematically

- fig.3-1 처럼 x 축 방향으로 당겨진 줄을 생각하면

그 진동은 y 축 방향이면 단조화 운동 .

- x=0 에서 y 변위의 최대값을 t=0 로 선택하면 동일

장소에서 임의의 시간 t 에서의 줄의 변위는 ?

)4.3(2cos tAy → 변위를 시각의 함수로 나타낸 것 A : 진폭 , v : 진동수

-임의의 시각과 임의의 위치에서의 y 값은 ?

t=0 일때 x=0 에서 줄을 흔들어 파동이 + x 방향으로

진행한다고 생각 ( 속력 =vp)

시간 t 동안 x=vpt 만큼 거리를 진행 ,

∴ x=0 에서 point x 에 도달하기 위한 시간 간격은 t=x/vp

식 3.4 의 t 를 t-x/vp 로 대치 하면

)5.3()/(2cos pvxtAy -wave formula

3. 3 DESCRIBING A WAVE3. 3 DESCRIBING A WAVE

그림 3.1 (a) 어떤 특정한 순간의 잡아당겨진 줄에서의 파동의 모양 . (b) 줄 위 한 점에서의 변위가 시간에 따라 변하는 모양 .

그림 3.2 파동의 진행


eq.(3.5) 의 reduces to eq. (3.4) at x=0

eq.(3.5) may be rewritten

)/(2cos pvvxvtAy

vp is given by vp = vλ

wave formula : )6.3()/(2cos xvtAy

파동에 대해 가장 널리 이용되는 기술 방법은 eq.(3.5) 의 또 다른 형태임

“angular frequency : ω” & “wave number :k”

)8.3(//2

)7.3(2

pvk

v

eq.(3.5) becomes

)9.3()cos( kxtAy

3. 3 DESCRIBING A WAVE3. 3 DESCRIBING A WAVE


3. 4 PHASE AND GROUP VELOCITIES3. 4 PHASE AND GROUP VELOCITIES

de Broglie 파의 Amplitude 는 특정한 시각과 위치에서 moving body 의 확률과 관련

있다 .

but eq.(3.9) 와 같이 de Broglie 파를 간단히 표현할 수 없다 .

( eq.(3.9)∵ 는 동일한 진폭 A 를 갖는 파동들의 무한한 행렬이기 때문 )

운동중인 물체에 대한 파동적인 표현은 fig. 3.3 과 같은 파속 (wave packet) 이나

파군 (wave group) 에 해당할 것임

이 파군의 진폭이 그 물체를 발견할 확률이다 .

파군의 속도는 파군을 이루는 개개 파의 속도와 같을 필요가 없다파군의 속도는 파군을 이루는 개개 파의 속도와 같을 필요가 없다 ..

wave group 이 형성되는 예 중 흔한 것이 beats ( 맥놀이 ) 임

같은 amplitude 와 약간 다른 frequency 를 갖는 2 sound waves 가

생성되면 우리는 frequency 평균값과 주기적으로 amplitude 가 ↑↓하는

것을 듣게 된다 .

( 진동수가 440 과 442 인 두파는 중첩하여 진동수가 441 인 2 개의 peak 를 형성 )

production of beats →

그림 3.3 파군

그림 3.4 맥놀이는 다른 진동수를 가진 두 파동의 중첩에 의해 발생한다 .


wave group 을 수학적으로 설명하는 방법 : 파장이 다른 여러 개의 파장을 중첩하는 것임

파동은 서로 간섭하여 group shape 를 결정하는 것이 amplitude 의 변화를 발생시킴

만약 모든 파동의 velocity 가 같다면 wave group 의 속도와 phase velocity 와 같음 .

만약 phase velocity 가 wavelength 에 따라 다르다면 wave group 의 속도와 phase velocity 의 속도가

다를 것이며 이것을 분산 (dispersion) 이라고 부름 → 이것이 de Broglie wave 이다

to find a group velocity (vg)

wave group arises from the combination of 2 waves

( 진폭 A 는 같고 각 진동수가 Δω 만큼 , 파수가 Δk 만큼 다른 파를 생각하자 )

original waves by the formulas

cos)cos()(2

1cos)(

2

1cos2coscos

])()cos[(

)cos(

2

1

xkktwwAy

kxwtAy

)(2

1cos])2()2[(

2

1cos2

21

kxwtxkktwwA

yyy

임의의 시간 t 일때 임의의 위치 x 에서의 합성변위 y

는



Δω 와 Δk 는 작으므로

2ω+Δω 2≒ ω , 2k+Δk 2k ≒ 에 근사되고

beats : )10.3()22

cos()cos(2 xk

tkxtAy

→ 각진동수 1/2Δω, 파수 1/2Δk 로

변조된 각진동수 ω, 파수 k 인

파동식 이 같은 modulation 효과는 연속적인 wave group (fig. 3.4) 를 형성시킴

위상속도 (vp)

군속도 (vg)

)11.3(k

vp

)12.3(k

vg

ω 와 k 가 두 값 (y1, y2) 를 갖는 대신 연속적인 수 많은 값을 가지면

군속도 (vg) )13.3(dk

dvg

vg ( 군소도 ) 는 vp( 위상속도 ) 보다 클 수도 있고 작을 수도 있다

만약 빛처럼 모든 파장에서 vp ( 위상속도 ) 가 같다면 군속도와 위상속도는 같다 ( vp = vg)



속도 v, rest mass m0 인 moving body 의 ω 와 k 는

)14.3(1

222

22

22

cvh

mc

h

mcv

Angular frequency of de Brolgie waves

Wave number of de Broglie waves )15.3(/1

22222 cvh

mv

h

mvk

group velocity vg of the de Broglie waves associated with body

2/3222/322 )/1(

2

)/1(

2

/

/

cvh

m

dv

dk

cvh

mv

dv

d

dvdk

dvd

dk

dvg

de Broglie group velocity

16.3vvg

→ the de Broglie wave group associated with a moving body travels with the same velocity as the

body



de Broglie phase velocity

v

c

kvp

2

v < c 이기 때문에 vp 는 velocity of body (v) 와 c 보다 크다

but motion of body 에 대응되는 것은 individual wave motion 이 아니라 wave group 의 motion 이기

때문에 vp 는 물리적 의미가 없음

∴ vg < c ( de Broglie 파에서의 vp > c 는 special relativity 에 위배되는 것이 아님 )



3. 5 PARTICLE DIFFRACTION3. 5 PARTICLE DIFFRACTION

de Broglie de Broglie 파의 존재를 확인하는 실험파의 존재를 확인하는 실험

Newton 역학을 따르는 particle 의 행동에서 찾아볼 수 없는 파동성의 명확한 증거 : Diffraction

electron beams are diffracted when they are scattered by the regular atomic arrays of crystals

Davisson and Germer :

studied the scattering of electrons from a solid

고전물리학에 의하면 scattering electrons 은 산란각에 어느 정도 의존하고

입사

전자의 에너지에 거의 무관하게 의존하면서 모든 방향으로 방출 → 이 이론을

D & G 가 증명 by using a block of Ni.

실험 도중 실험 장치 안으로 산소가 유입되어 Ni 표면을 산화시켰음 (by

accident)

→ to reduce oxide to pure Ni, target was baked in hot oven

→ target was returned to the apparatus & the measurement resumed

→ results are very different

→ 산란각에 따라 연속적으로 변하는 것이 아니라 max. 과 min. 를 갖는 산란된

전

자의 세기가 관찰 됨 → see fig. 3.7

그림 3.6 Davisson-Germer 실험


위 그림은 각각의 각도에서 세기가 산란될 위치로부터 각각의 각도에서 곡선까지의

거리에 비례하도록 작성되었음 .

만약 세기가 모든 각에서 같다면 곡선은 산란점을 중심으로 원이 될 것임

2 questions?

what is the reason for this new effect?

why did it not occur until after the Ni target was baked?

de Broglie 의 가설에 의하면 x-ray 가 원자 평면에서 회절되는 것과 비슷하게 electron wave 가 target 에 의한

산란되는 것이다

고온에서 Ni 조각이 가열되면 미소한 결정체들이 큰 결정으로 성장됨 → 산란 가능성

그림 3.7 Davisson-Germer 실험의 결과 . 산란된 전자의 개수가 입사빔과 결정표면 사이의 각도에 따라서 어떻게 변하는가를 보여 주고 있다 . 결정 내에서의 원자들의 면과 결정 표면과는 나란하지 않다 . 한 Bragg 평면 군에 대한 입사각과 산란각은 둘 모두 65 이었다 ( 그림 3.8 을 보라 )



54eV 의 전자 beam 을 Ni target 에 수직으로 입사시키면 전자분포의 max. 값이

전자선과 50° 의 각도에서 나타난다

fig. 3.8 의 Bragg plane 에 대한 입사각은 65˚

x-ray 회절 실험에 측정에 의하면 평면간의 spacing =0.091nm

Bragg eq. for max in the diffraction pattern 은

d=0.091nm, Θ=65˚, n=1 일때의 de Broglie 파장은

)13.2(sin2 dn

nmnmdn 165.0)65)(sin091.0)(2(sin2

de Broglie 공식을 이용하여 전자의 파장 (λ) 를 계산

2

2

1mvKE 이므로 운동량 mv 는

(e 의 KE=54eV → 상대론적 효과 무시 ∵ m0C2 = 0.51MeV 이므로 ) → 즉 상대적으로 계산할 필요 없음

smkgeVJeVkgmKEmv /100.4/106.154101.922 241931

e 의 wave length

: nmmsmkg

sJ

mv

h166.01066.1

/100.4

1063.6 1024

34

→ direct verification of de Broglie`s hypothesis of the wave nature of moving bodies

그림 3.8 표적에 의한 de Broglie 파의 회절이 Davisson- Germer 실험 결과가 있게 하는 원인이다 .



An electron microscope



그림 3.5 전자현미경에서의 빠른 전자의 파장이 광학현미경에서의 빛의 파장보다 짧으므로 ,

전자현미경은 고 배율에서도 날카로운 상을 만들 수 있다 . 전자 현미경에서의 전자빔은 자기장으로 집속시킨다 .

이 전자 현미경 사진은 Escherichia coli 박테리아에 있는 세균분해 바이러스 (bacteriophage virus) 를 보여 주고 있다 . 박테리아의 크기는 약 1 `mu m` 이다 .



석영 (quartz) 에 의한 중성자 산란 . 신호의 봉우리들은 보강간섭이 일어나는 방향을 나타낸다 .전자만 파동성을 나타내는 입자가 아니고 중성자도 위와 같이 회절을 하여 파동성을 보여준다 .



왜 갇힌 입자의 에너지는 양자화 되는가왜 갇힌 입자의 에너지는 양자화 되는가 ??

the wave nature of a moving particle leads to some remarkable consequences

when the particle is restricted to a certain region of space in stead of being able to

move freely.

simple case : fig. 3.9 처럼 a particle that bounces back & forth btw. the walls

walls of the box are infinitely hard → so the particle does not

lose E and its velocity is small

( relativistic consideration∴ 은 필요 없음 )

파동적 관점에서 보면 상자 안에 갇혀진 입자는 마치 상자 벽에 고정되어 팽팽히

당겨진 줄에 형성된 standing wave ( 정상파 ) 와 같다

→ wave variable must be 0 at the wall (∵ 파가 벽에서 정지하기 때문 )

fig. 3.10 에서 처럼 입자의 가능한 de Broglie 파장은 상자의 길이 L 에서 결정됨

가장 긴 파장은 λ=2L, L, 2/3L…

de Broglie wave length of trapped particle

...3,2,12

nn

Ln

운동량과 파장의 관계식에 의해 momentum (mv) 를 갖는 particle 의 KE 는

2

222

22

)(

2

1

mh

m

mvmvKE

그림 3.9 너비 L 인 상자 안에 갇힌 입자 .

입자는 상자 벽 사이에서 직선을 따라 좌우로만 움직인다고 가정한다 .

그림 3.10 너비 L 인 상자 안에 갇힌 입자의 파동함수들

3. 6 PARTICLE IN A BOX3. 6 PARTICLE IN A BOX


permitted wavelength are n

Ln

2

Particle in a Box ,...3,2,18 2

22

nmL

hnEn )18.3(

8)2(2

2

22

2

2

mL

hn

nL

m

h

( 이 모델에서는 입자의 potential E 가 없으므로 )

each permitted energy is called and “Energy Level”, “n” that specifies an energy level En is

called its “Quantum number”

3 general conclusions from eq. 3.18

1. A trapped particle can not have an arbitrary E as a free particle can.

입자의 구속은 파동함수를 제한하고 이 제한은 입자가 어떤 특정한 에너지만 갖게 된다 .

2. A trapped particle can not have zero E.

λ=h/mv 에서 v=0 이면 λ = ∞ 무한대의 파장은 λ=2L/n 에서 L = ∞ 이므로 구속되어 있다는 것과 모순이 생김

따라서 이런 모순을 피하기 위해 입자의 운동 에너지는 0 이 아니다

(E 가 불연속이고 E=0 가 제외된다는 사실은 고전 물리학에서 설명 불가능

고전물리에서의 에너지는 0 을 포함한 음이 아닌 모든 값이 허용됨 )

3. Plank 상수 (h=6.63×10-34 Js) 가 너무 작아 에너지의 양자화는 m 과 L 이 작은 경우에만 뚜렷이 나타난다

3. 6 PARTICLE IN A BOX3. 6 PARTICLE IN A BOX


3. 7 UNCERTAINTY PRINCIPLE 13. 7 UNCERTAINTY PRINCIPLE 1

우리는 현재를 모르기 때문에 미래도 알 수 없다우리는 현재를 모르기 때문에 미래도 알 수 없다 ..

fundamental limits to accuracy with which we can measure such “particle”

properties as position and momentum.

wave group 에 대응되는 particle 은 주어진 시간에 group 내의 어딘가 존재하게 될 것임 → 중간에서 probability density IΨI2 가 가장 클 것이고 발견 확률도 가장 클 것임 . but IΨI2 가 0 이 아닌 어느 위치에서도 입자를 발견할 수는 있다

fig. 3.12 a :

wave group 이 작을수록 particle 의 위치는 정확해 지지만 그것의 wavelength 는부정확해진다 ( not enough waves to measure λ accurately) ∵

→ 이것은 λ=h/mv 이므로 입자의 운동량 mv) 이 정확한 것이 아니라는 것을 의미( 운동량은 넓은 범위의 값을 갖는다 )

fig. 3. 12 b :

wide wave group → λ 는 정확히 정해지지만 particle 의 위치는 그만큼 부정확해짐

the uncertainty principle :

한 물체에 대해서 위치와 운동량을 동시에 정확하게 아는 것은 불가능하다 !

→ discovered by Werner Heisenberg in 1927

운동하는 입자를 운동하는 입자를 wave groupwave group 으로 가정 하는 것이 으로 가정 하는 것이 위치와 운동량 같은 위치와 운동량 같은

“ “입자적 성질”을 측정하는데 한계가 있음입자적 성질”을 측정하는데 한계가 있음

그림 3.12 (a) 좁은 de Broglie 파군 .

입자의 위치는 정확히 결정될 수 있지만 파장 , 즉 운동량은 그렇지 못하다 . 왜냐하면 , 파장을 측정할 만한 충분한 파가 없기 때문이다 . (b)

넓은 파군 . 파장은 정확히 측정할 수 있지만 위치는 그렇지 못하다 .


the uncertainty principle :

한 물체에 대해서 위치와 운동량을 동시에 정확하게 아는 것은 불가능하다 !

→ discovered by Werner Heisenberg in 1927

운동하는 입자를 wave group 으로 가정하는 것이 위치와 운동량 같은 “입자적 성질”을 측정하는데 한계가

있음

a( 하나의 ) moving body 는 a( 하나의 ) single wave group 에 대응되지만 이것 또한 trains of harmonic

wave

( 조화파 ) 의 중첩으로 생각할 수 있음 .

그러나 fig. 3.13. 과 같이 임의의 모양의 wave group 을 형성하기 위해서는 서로 다른 진동수 , 파수 , 진폭을

가진 무한개의 파동이 필요함 At a certain time, the wave group Ψ(x) can be represented by Fourier integral

0

)19.3(cos)()( kxdkkgx g(k) : k 에 의존하는 진폭


그림 3.13 고립된 파군은 다른 파장을 가진 무한개 파동들의 중첩의 결과이다 .

파군이 좁으면 좁을수록 관계하는 파장 영역은 넓어진다 . 좁은 de Broglie

파군에서는 입자의 위치는 잘 정의되지만 (Δx 가 적음 ) 파장은 잘 정의되지

않는다 . 따라서 , 좁은 파군이 나타내는 입자의 운동량 Δp 에는 많은 불확정성이

포함되어 있음을 의미한다 . 넓은 파군은 정확한 운동량을 그러나 정밀하지 않은

위치를 의미한다 .


fig. 3.14 와 같이 파군이 짧을 수록 그 파군을 기술하는데 필요한 파수의 범위는 더 넓어진다 .

- Δx 와 Δk 사이의 관계는 wave group 의 shape 와 how Δx & Δk are defined 에 의존함

- Δx 와 Δk 와의 곱이 최소가 되는 것은 Gaussian function 인 경우임 (3.14 d)

- Δx 와 Δk 가 함수 Ψ(x) 와 g(k) 의 표준 편차로 선택되면 그때 최소값은 Δx · Δk =1/2 이나 , wave

group 이

Gaussian form 을 갖지 않으므로 , eq. 3.20 과 같이 표현하는 것이 현실적임)20.3(2

1 kx

de Broglie wavelength of a particle of P is λ= h/p & corresponding k is h

pk

22

2hk

p the potential momentum


그림 3.14 파동함수와 Fourier 변환 . (a) 펄스 , (b) 파군 , (c) 파열 (wave train), (d) Gauss 분포 . 짧은 시간동안의 교란을 나타내기 위해서는 긴 시간동안의 교란을 나타내는 것 보다 더 넓은 영역의 진동수가 필요하다 . Gauss 함수의 Fourier 변환 역시 Gauss 함수이다 .


uncertainty of Δk of particles results in uncertainty of Δp2kh

p

ΔxΔk ≥ ½ 이므로 , Δk ≥ 1/(2Δx) 이고

uncertainty principle )21.3(4h

px

if Δx is small → narrow wave group → Δp will be large

if Δp is reduced → broad wave group → Δx will be large

These uncertainties are due not to inadequate apparatus but to the imprecise character in nature of the

quantities involved.

We cannot know exactly both where a particle is right now and what it is, we cannot say anything definite

about where it will be in the future or how fast it will be moving then.

H-bar

h/2π → basic unit of angular momentum ( 관습적으로 ђ (“h-bar) 로 축약해서 나타냄 )

sJh

3410054.12

uncertainty principle )22.3(2

px



The uncertainty principle 은 입자의 파동성 (wave properties of particles) 관점에서 뿐만 아니라

파동의 입자성 (particle properties of waves) 관점으로 부터 얻을 수 있다

어떤 순간에 어느 object 의 position 과 momentum 을 측정하려 할 때 ,

→ 관측 대상인 물체에 어떤 것을 접촉시키고 그 다음 그 어떤 것이 필요한 정보를 가지고 관측자인 우리에게

도달하

도록 만든다 . (측정 대상인 물체에 빛을 쐬거나 , 막대로 찔러보거나 비슷한 방법으로 작용을 가함 )

→ 이때 간섭과정을 상세히 분석하면 운동중인 물체의 파동성을 고려하지 않고도 “입자성” 으로만 uncertainty

principle 을 얻을 수 있다


입자적인 접근 방법도 같은 결과를 준다입자적인 접근 방법도 같은 결과를 준다 ..

그림 3.17 운동량을 변화시키지 않고는 전자를 관측할 수 없다 .


fig. 3.16 에서 처럼 파장 λ 인 빛을 사용하여 전자를 관찰

운동량 p (=h/λ) 를 갖는 광자가 전자와 충돌 후 되 튀겨 나올 때 전자의 초기 운동량 변화 .

→ Δp 의 정확한 값은 예측 불가능하지만 Δp 의 대략적인 크기는 h /λ 와 같을 것 이다 .

)23.3(h

p

longer λ → smaller the uncertainty in the electron`s momentum ( λ 길어지면 Δp 는 감소 )

빛은 입자성과 파동성을 가지므로 전자의 위치를 정확히 측정 불가능

그러나 , 측정의 최소의 불확실성의 합리적인 estimation 은 photon 의 one wavelength 로 생각할 수 있다 .

)24.3(x ( 파장이 작아지면 위치의 부정확성도 작아짐 )


→ 위치의 정확도를 높이기 위해 짧은 파장을 사용하면 동시에 운동량의 정확도 감소

eq. 3.23 과 3.24 를 합하여

)25.3(hpx eq. 3.22 Δx·Δp ≥ ђ / 2 와 거의 일치


3. 9 APPLYING THE UNCERTAINTY PRINCIPLE 3. 9 APPLYING THE UNCERTAINTY PRINCIPLE

h is so small, uncertainty principle is significant only “atom” realm

negativenegative 한 말이 아니라한 말이 아니라 , , 유용한 유용한 tooltool 이다이다

Energy and Time

- Another from of the uncertainty principle concerns energy & time.

- wish to measure the energy E emitted during the time interval Δt in an atomic process.

만약 E 가 em wave 라면 관측자가 측정할 수 있는 시간의 제약 때문에 진동수 측정의 정확도가 제한을 받는다 .

파동의 진동수의 개수를 셀 때 개수의 부정확도를 최소수 1 개라고 하면 파동의 수는 시간간격 (Δt) 로 나눈

값이므로

t1

Energy 불확정성은

htEort

hEhE

보다 정밀한 값은 다음과 같다 .

26.32

tE → 에너지와 시간의 불확정성

chapter 3 wave properties of particles

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