chapter 2 time domain analysis
DESCRIPTION
Chapter 2 Time Domain Analysis. LTI System & Convolution. 선형 시불변 시스템 (LTI system) 컨벌루션 - LTI 시스템에서 임의의 입력신호에 대한 출력신호 계산 - 선형시스템의 분석 및 응답 도출 임펄스 응답 - 단위 임펄스 함수 에 대한 프로세서의 응답 LTI 시스템의 출력은 입력신호와 임펄스 응답의 컨벌루션. 임펄스를 이용한 디지털 신호의 표현. : k=4 일 때만 값이 존재. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Chapter 2
Time Domain Analysis
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2
LTI System & Convolution
• 선형 시불변 시스템 (LTI system)
• 컨벌루션
- LTI 시스템에서 임의의 입력신호에 대한 출력신호 계산
- 선형시스템의 분석 및 응답 도출
• 임펄스 응답
- 단위 임펄스 함수 에 대한 프로세서의 응답
• LTI 시스템의 출력은 입력신호와 임펄스 응답의 컨벌루션
][n
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3
...]2[]2[]1[]1[][][]1[]1[]2[]2[...][ nxnxnnxnxnxnx
k
knkxnx ][][][
k
kkxx ]4[][]4[
: k=4 일 때만 값이 존재
임펄스를 이용한 디지털 신호의 표현
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4
• 임펄스 응답 : 시스템의 고유응답 (natural response)
• 다양한 형태의 임펄스 함수
그림 2.2
그림 2.3
LTI System
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5
)5.2(][]2[85.0]1[5.1][
,
)4.2(][]2[85.0]1[5.1][
nnhnhnh
nhnynnx
nxnynyny
4.1085.025.2]1[]0[85.0]1[5.1]2[
5.1005.1]1[]1[85.0]0[5.1]1[
1100]0[]2[85.0]1[5.1]0[
hhh
hhh
hhh
)6.2(]2[]1[][
]3[]2[]1[][
210
321
nxbnxbnxb
nyanyanyany
• 대역 필터의 회귀 공식 표현 예
• 일반적 형태
Recurrence Formula & Difference Eq.
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6
• 식 (2.4) 예 : 대역필터
a1 = 1.5, a2 = -0.85, a3 = 0 and b1 = 1, b2 = 0, b3 = 0
][]2[85.0]1[5.1][ nxnynyny
그림 2.4
1.01.51.4
Impulse Response
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7
][]1[9.0][
][]1[9.0][
nnhnh
nxnyny
729.0]2[9.0]3[
81.0]1[9.0]2[
9.0]0[9.0]1[
110]0[]1[9.0]0[
hh
hh
hh
hh
(a)
]2[]1[][][
]2[]1[][][
nnnnh
nxnxnxny
(b)
1]1[]0[]1[]1[
1]2[]1[]0[]0[
h
h
Non-recursive version
Recursive version
][]1[][
][]1[][
nnhnh
nxnyny
101]1[]0[]1[
110]0[]1[]0[
hh
hh
샘플링주기 , 간격
Cosine 형태로 감소
단위계단함수 형태
예제 2.1
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8
• 계단 함수는 실제로도 많이 발생하는 신호• 갑작스런 장애에 대한 시스템의 응답 평가• 컨벌루션은 계단 신호와 계단 응답으로 정의
• --- 이동합 --- --- LTI 시스템 ---
• --- LTI 시스템 --- --- 이동합 ---
그림 2.6Natural response
n
n
ns
ns
1][
][
nsnsnh
mhnsn
m
nu nh
Step Response
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9
그림 2.7
][]1[8.0][
][]1[8.0][
nnhnh
nxnyny
512.08.0]3[64.08.0]2[
8.0]1[1]0[32
hh
hh
44.2]2[]1[]2[]1[]0[]2[
8.1]1[]0[]1[1]0[]0[
hshhhs
hhshs
3616.3]4[]3[]4[
952.2]3[]2[]3[
hss
hss
0.58.01
18.08.08.01][ 32
s
예제 2.2
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10 그림 2.8
]2[]2[]1[]1[
][]0[]1[]1[]2[]2[][
nhxnhx
nhxnhxnhxny
kknhkxny ][][][
컨벌루션 합
임의의 입력 신호에 대한 출력신호의 합
임의의 입력DSP 의 임펄스 응답
Digital Convolution
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11
그림 2.10
0)2)(2()1)(3()1)(1(]2[
3)2)(1()1)(2()1)(3(]1[
y
y
kkhkxy ]1[][]1[
kkxkhy ]1[][]1[
kknxkhny ][][][
그림 2.9
h[-(k-1)]
Digital Convolution
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12
(a)The input signal is as in Fig2.8 and the impulse response is
given by
1]2[;1]1[;2]0[
20,0][
hhh
nandnnh
(b) The input signal is the sample sequence :
…0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0…
and the impulse response is given by :
1]1[;1]0[
10,0][
hh
nandnnh
예제 2.3
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13
]2[]1[][]1[]2[2.0][ nxnxnxnxnxny
]3[]2[]1[][]1[2.0]1[ nxnxnxnxnxny
]3[]2[2.0]1[][ nxnxnyny
: 비순환 필터
: 순환 필터
그림 2.11
Point 수가 너무 많으면 중요한
변화까지 손실
Noncausal 이지만 미리 저장하여 offline 처리이므로 무관
(realtime 일때는 반드시 causal 이어야… )
5-point Moving Average Filter
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14
32060,10
2sin
60
2sin][
n
nnnx
elsewhere
nnh
,0
90,1.0][
시작과도 신호
그림 2.12두개의 서로 다른 주파수 성분을 포함하는 입력신호에 대한 이동 평균 필터링
두 가지 주파수 성분 포함
10-point Moving Average Filter
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15
][][][][ 1221 nxnxnxnx
][][][][][][ 2121 nhnhnxnhnhnx
][][][][][][][ 2121 nhnxnhnxnhnhnx
• 교환 법칙
• 결합 법칙
• 분배 법칙
Summary
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16
• 무한히 계속되는 실제신호는 존재하지 않는다• 실제적인 디지털 신호처리는 어느 순간에 시작되어 언젠가는 중단• 시작 과도 신호 : 신호가 인가 또는 신호처리가 시작되었을 때 • 정지 과도 신호 : 신호 입력이나 신호처리가 중단되었을 때• 예 : 디지털 대역 필터 ( 그림 1.5)
LTI System 에서의 과도현상
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17
그림 2.5
그림 2.12
LTI System 에서의 과도현상
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18
과도 신호는 여러 가지 이유로 중요
1) 시작과도 특성은 출력 신호의 초기 부분에 더해지기 때문에
원하는 응답을 볼 수 없게 함
2) 디지털 프로세서의 초기 출력은 0 으로 가정하는 경우가 대부분임
그러나 이것은 이전 입력 신호가 끊긴 뒤 안정 상태에 들어간
경우에만 가능함 . 즉 , 모든 정지과도가 모두 사라지고 없어야 함
3) 과도응답은 시스템의 고유응답 및 임펄스응답과 매우 밀접한
관계가 있음 . 이들을 통해서 선형 프로세서의 동작에 관한 보다 가치 있는 통찰이 가능함
LTI System 에서의 과도현상
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19
5 점 이동 평균 필터
15-point moving - average filter
40-point moving - average filter
]}4[]3[
]2[]1[][{2.0][
nxnx
nxnxnxny
]}14[]13[...
]2[]1[][{15
1][
nxnx
nxnxnxny
]}39[]38[...
]2[]1[][{40
1][
nxnx
nxnxnxny
“ 직사각형 펄스” 입력신호에 대한 세 가지 이동 평균 필터들의 과도 및 안정상태 응답 특성 : 주기 당 40 샘플
3
15
8
x(n) 의 한주기에 대한 평균값
LTI System 에서의 과도현상
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20
]2[]1[9021.1][]2[94833.0]1[8523.1][ nxnxnxnynyny
)20/2cos(][ nnx
시작과도 신호 정지과도 신호
LTI System 에서의 과도현상
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21
•
• 일반적인 형태
]2[]1[][
]3[]2[]1[][
210
321
nxbnxbnxb
nyanyanyany : 3 개의 순환 항 3 개의 비순환 항
N
k
M
kkk knxbknya
nxbnxbnxbnyanyanya
0 0
210210
][][
or
]1[]1[][]1[]1[][
N : 시스템의 차수
Difference Equation
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22
• 보조 조건 : 경계 조건
프로세서가 이전의 입력 이후에 완전한 휴식 또는 안정 상태에 있지 않는 경우를 나타냄
예 ) - y[-1] 값을 안다면 y[0] 를 구할 수 있다
- 시스템이 아직 이전의 입력에 대하여 반응하고 있다면 y[-1] 은 0 이 아닐 수 있다
][]1[8.0][][]1[8.0][ nxnynyornxnyny
Difference Equation
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23
• 보조 조건이 0 이 아닌 경우
전체 응답 = 균일해 (homogeneous) + 특수해 (particular)
• 균일해 과도 신호
- 0 이 아닌 보조 조건에 대한 과도 응답
- 입력 신호의 스위칭에 의한 과도 응답
• 특수해 특정 입력에 대한 시스템의 정상 상태 응답
Difference Equation
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24
예 : ][]2[5.0]1[][ nxnynyny
)(][66
2sin][ anu
nnx
)(00.100.1)00.2(5.000.1
]19[]17[5.0]18[]19[
c
xyyy ppp
)(0],2[5.0]1[][
0.1]2[,0.2]1[
dnnynyny
yy
hhh
hh
25.0)5.1(5.05.0]0[5.0]1[]2[
5.0)2(5.05.1]1[5.0]0[]1[
5.15.02]2[5.0]1[]0[
hhh
hhh
hhh
yyy
yyy
yyy
• n=0 에서 시작되었을 경우
• )(0]2[]1[ ],[][][ byynynyny hp
• 일 경우,0.2]1[ hy 0.1]2[ hy
•
균일해
• 입력이 인가되지 않았을 경우
Difference Equation
![Page 25: Chapter 2 Time Domain Analysis](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081504/56813ae0550346895da32f39/html5/thumbnails/25.jpg)
25
• yp[n] 은 사인 신호
• yp[n] 은 x[n] 과 다른 위상을 갖고 있으나 주파수는 동일하다 .
• yh[n] 은 다른 주파수로 진동하며 사라지고 있다
• 균일해는 입력의 특성이 아닌 시스템의 특성을 보여 준다 .
( 시스템의 임펄스 응답과 같은 형태로 나타남 )
Difference Equation
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26
• 필터의 이산 방정식 :
• 오븐의 온도는 샘플링 시작할 때 이고 이후 초당 씩 상승
• Ts = 10 초
• 오븐의 온도는 10 으로 나눈 값이 되도록 스케일링 된다 .
C01
p. 69 그림 (a)
C040
][5.0]1[5.0][ nxnyny
예제 2.4
![Page 27: Chapter 2 Time Domain Analysis](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081504/56813ae0550346895da32f39/html5/thumbnails/27.jpg)
27
• 필터의 임펄스 응답을 찾고 , 배열 Υ 에 저장되는 출력신호 y[n] 의 처음다섯 개의 값을 구하라
풀이 ) 임펄스 응답은 x[n] 을 단위 임펄스로 대치함으로써 구함 y[n] = 0.5 y[n-1] + 0.5 x[n]
예제 2.4
![Page 28: Chapter 2 Time Domain Analysis](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081504/56813ae0550346895da32f39/html5/thumbnails/28.jpg)
28
임펄스 응답은
그림 (b)
스케일링 요소가 10 이라는 것을 감안하여 입력 신호을 그림의 (c) 부분에 그려 놓았다 .
x[n] 과 h[n] 을 비순환적으로 컨벌루션했을 때 처음의 다섯 개의 필터 출력은 다음과 같다 .
][5.0]1[5.0][ nnhnh
125.0]2[ ;25.0]1[ ;5.0]0[ hhh
y[0] = 0.5(4) = 2.0
y[1] = 0.5(5) + 0.25(4) = 3.5
y[2] = 0.5(6) + 0.25(5) + 0.125(4) = 4.75
y[3] = 0.5(7) + 0.25(6) + 0.125(5) + 0.0625(4) = 5.875
y[4] = 0.5(8) + 0.25(7) + 0.125(6) + 0.0625(5) +
0.03125(4) = 6.9375
예제 2.4
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29
(b) 필터의 회귀 공식 : y[n] = 0.5 y[n-1] + 0.5 x[n]
저장된 배열 Υ 의 첫 번째 값을 y[-1] 이라고 가정을 하고 , 이 식으로부터 y[n]의 처음 몇 개의 샘플 값들을 구하면
-10 C 의 안정상태 에러를 제외하고 , y[n] 이 x[n] 을 따라가려는 경향이 있음 .
y[n] 의 처음 다섯 개의 값들은 (a) 에서 구한 값들과 일치함 .
y[0] = 0.5(0) + 0.5(4) = 2y[1] = 0.5(2.0) + 0.5(5) = 3.5y[2] = 0.5(3.5) + 0.5(6) = 4.75y[3] = 0.5(4.75) + 0.5(7) = 5.875y[4] = 0.5(5.875) + 0.5(8) = 6.9375y[5] = 0.5(6.9375) + 0.5(9) = 7.9688y[6] = 0.5(7.9688) + 0.5(10) = 8.9844y[7] = 0.5(8.9844) + 0.5(11) = 9.8822y[8] = 0.5(9.9922) + 0.5(12) = 10.9961y[9] = 0.5(10.9961) + 0.5(13) = 11.9981
o
예제 2.4
![Page 30: Chapter 2 Time Domain Analysis](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081504/56813ae0550346895da32f39/html5/thumbnails/30.jpg)
30
(c) 출력의 특수해 성분을 추정하고 균일해 성분을 구하라 ..
풀이 ) 특수해는 램프 입력 신호에 대한 필터의 안정상태 응답을 나타낸다 .
이 결과로부터 특수해는 다음과 같아야 한다 .
n=-1 까지 확장하면 이다 . 그러나 초기 조건을 만족시키기 위해서
y[-1] 은 0 이어야 한다 . 또한 균일해에 대해서는 이어야 한다 .
따라서 균일해는 다음과 같은 관계를 가져야 한다 .
이로부터 균일해는 다음과 같이 구할 수 있다 .
균일해 그림 (d) : 임펄스 응답 h[n] 이 반전된 파형을 보임 .
1 ,00.1][][ nnxnyp
2]1[ py
2]1[ hy
0 ,0]1[5.0][ nnyny hh
y_h [0] = 0.5(-2) = -1.00y_h [1] = 0.5(-1.00) = -0.50y_h [2] = 0.5(-0.50) = -0.25, ……
예제 2.4
![Page 31: Chapter 2 Time Domain Analysis](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081504/56813ae0550346895da32f39/html5/thumbnails/31.jpg)
31
(d) 모든 n 에 대하여 균일해가 0 이 되는 오븐의 초기 온도를 찾아라 .
풀이 ) 만일 특수해 성분 이 n=-1 일 때 0 이라면 , 균일해 성분은 초기조건이 이미 만족되기 때문에 필요 없음 .
(c) 부분의 결과로부터 이러한 상황은 x[0]=2 일 때 발생한다는 것을 알고 ,
이는 다음의 입력 신호 값에 대해서 필터의 회귀 공식을 사용함으로써 확인할 수 있음
2, 3, 4, 5, 6, 7, ….
y[-1]=0 이라고 가정하면
y [0] = 0.5(0) + 0.5(2) = 1.0
y [1] = 0.5(1.0) + 0.5(3) = 2.0
y [2] = 0.5(2.0) + 0.5(4) = 3.0…………
예상했던 대로 시작 과도응답과 균일해 성분은 발생하지 않음 .
예제 2.4