chapitre5

Sondages à plusieurs degrés

Mahamadou HARO

Ingénieur Statisticien Économiste

Séminaire de sondage

Mahamadou HARO (Ingénieur Statisticien Économiste)Sondages à plusieurs degrés 14 Avril 2012 1 / 26

Plan de la présentation

1 Principe, notations

2 Tirage des unités primaires à proba égales (tirage à 2 degrés)

3 Tirage des unités primaires à probabilités inégales

4 Sondage en grappes

5 L’effet de grappe

6 Considérations pratiques


Principe, notations

Plan








Principe, notations

Principe

On utilise une succession de regroupements des unitésstatistiques pour tirer l’échantillon. Par exemple , on tire unéchantillon de villages (unités primaires), puis on tire, parmi lesvillages tirés, un échantillon de ménages (unités secondaires).On a dans ce cas un tirage à deux degrés (villages puisménages). On peut généraliser à trois degrés, quatre ... À chacundes degrés, les méthodes présentées aux chapitres précédentspeuvent être utilisées (par exemple tirage proportionnel à la tailleau premier degré, donc à probabilités inégales, tirage aléatoiresimple au deuxième degré).

L’appellation "sondage en grappes" est réservée au cas particulierdu sondage à plusieurs degrés (souvent deux degrés) oùl’ensemble des unités au dernier degré de tirage est enquêté.


Principe, notations

Principe

On utilise une succession de regroupements des unitésstatistiques pour tirer l’échantillon. Par exemple , on tire unéchantillon de villages (unités primaires), puis on tire, parmi lesvillages tirés, un échantillon de ménages (unités secondaires).On a dans ce cas un tirage à deux degrés (villages puisménages). On peut généraliser à trois degrés, quatre ... À chacundes degrés, les méthodes présentées aux chapitres précédentspeuvent être utilisées (par exemple tirage proportionnel à la tailleau premier degré, donc à probabilités inégales, tirage aléatoiresimple au deuxième degré).L’appellation "sondage en grappes" est réservée au cas particulierdu sondage à plusieurs degrés (souvent deux degrés) oùl’ensemble des unités au dernier degré de tirage est enquêté.


Principe, notations

Justification, caractéristiques

Le sondage à plusieurs degrés permet de résoudre les deuxproblèmes suivants :

en l’absence d’une base de sondage, on peut se contenter d’untravail partiel d’établissement de cette base de sondage : seule laconnaissance exhaustive des unités primaires est nécessaire ; onpeut se limiter à recenser, dans l’exemple précédent, les ménagesdes villages tirés au premier degré ;globalement, on va réaliser des économies de temps et de fraisde déplacement (au niveau du travail des enquêteurs).


Principe, notations


Par contre, le sondage à plusieurs degrés est, en général, moinsprécis que le sondage à un seul degré, pour une taille donnée del’échantillon (en nombre d’unités statistiques au dernier degré detirage). Ceci est dû aux "effets de grappe.Les unités statistiques regroupées dans une même unité primaire(ou dans une même unité secondaire si on a trois degrés detirage) ont souvent tendance à se ressembler, à avoir descaractéristiques communes.

Le fait de concentrer l’échantillon sur un échantillon d’unitésprimaires peut conduire à une certaine "redondance" del’information sur ces unités et un certain "manque dereprésentativité" de l’ensemble.On peut établir que la majeure partie de la variance desestimateurs dans le cas de tirages à plusieurs degrés provientsouvent du premier degré de tirage.


Principe, notations


Par contre, le sondage à plusieurs degrés est, en général, moinsprécis que le sondage à un seul degré, pour une taille donnée del’échantillon (en nombre d’unités statistiques au dernier degré detirage). Ceci est dû aux "effets de grappe.Les unités statistiques regroupées dans une même unité primaire(ou dans une même unité secondaire si on a trois degrés detirage) ont souvent tendance à se ressembler, à avoir descaractéristiques communes.Le fait de concentrer l’échantillon sur un échantillon d’unitésprimaires peut conduire à une certaine "redondance" del’information sur ces unités et un certain "manque dereprésentativité" de l’ensemble.

On peut établir que la majeure partie de la variance desestimateurs dans le cas de tirages à plusieurs degrés provientsouvent du premier degré de tirage.


Principe, notations


Par contre, le sondage à plusieurs degrés est, en général, moinsprécis que le sondage à un seul degré, pour une taille donnée del’échantillon (en nombre d’unités statistiques au dernier degré detirage). Ceci est dû aux "effets de grappe.Les unités statistiques regroupées dans une même unité primaire(ou dans une même unité secondaire si on a trois degrés detirage) ont souvent tendance à se ressembler, à avoir descaractéristiques communes.Le fait de concentrer l’échantillon sur un échantillon d’unitésprimaires peut conduire à une certaine "redondance" del’information sur ces unités et un certain "manque dereprésentativité" de l’ensemble.On peut établir que la majeure partie de la variance desestimateurs dans le cas de tirages à plusieurs degrés provientsouvent du premier degré de tirage.


Principe, notations

Notations

Dans ce chapitre, on se placera essentiellement dans le cas dusondage à deux degrés et on utilisera les notations suivantes :

unités primaires : M dans l’univers α = 1, ...,Mm tirées dans l’échantillon (i = 1, ...,m).unités secondaires : Nα dans l’unité primaire α(β = 1, ...,Nα)ni dans l’échantillon pour l’unité primaire i(j = 1, ...,ni)

Tα(Y ) total de Y sur l’unité primaire α

Tα(Y ) =Nα∑β=1

Yαβ

où Yαβ est la valeur de la variable Y pour l’unité secondaireβ del’unité primaire α.


Principe, notations

Notations

S21 =

1M − 1

M∑α=1

(Tα(Y ) − T̄ )2

où

T̄ =1M

M∑α=1

Tα(Y )

T(Y) total de Y sur l’univers :

T (Y ) =M∑

α=1

Tα(Y )


Tirage des unités primaires à proba égales (tirage à 2 degrés)

Plan









Estimation du total de Y

On se placera dans le cas d’un tirage sans remise au premier degré,qui est a priori préférable pour la précision.La formule :

T̂ (Y ) =Mm

m∑i=1

T̂i(Y ) (1)

estime le total T(Y) où T̂i(Y ) est l’estimateur du total Ti(Y ) à partir duplan de sondage choisi au deuxième degré de tirage. Cet estimateurest sans biais. On retrouve dans cette formule l’estimation du total auxdeux degrés de tirage. Par exemple, si au deuxième degré on a tiré defaçon aléatoire simple, la formule (4) du chapitre 2 donne :

T̂i(Y ) =Ni

ni

ni∑j=1

yij



Cas particulier : sondage autopondéré :(Ni

ni= constante)

Si on tire à probabilités égales les unités primaires et si, de plus,le taux de sondage est le même pour le deuxième degré de tirage(toujours à probabilités égales) à l’intérieur de toutes les unitésprimaires tirées :alors, puisque la pondération utilisée est la même pour toutes lesunités statistiques de l’échantillon (en l’occurrence les unitéssecondaires) ; le sondage est dit autopondéré.

Dans ce cas, la moyenne simple calculée sur l’ensemble desunités tirées est utilisée comme estimateur de la moyenne surl’univers (ce qui n’est pas le cas si l’on tire au deuxième degréavec des taux de sondage différents selon les unités primaires).



Cas particulier : sondage autopondéré :(Ni

ni= constante)

Si on tire à probabilités égales les unités primaires et si, de plus,le taux de sondage est le même pour le deuxième degré de tirage(toujours à probabilités égales) à l’intérieur de toutes les unitésprimaires tirées :alors, puisque la pondération utilisée est la même pour toutes lesunités statistiques de l’échantillon (en l’occurrence les unitéssecondaires) ; le sondage est dit autopondéré.Dans ce cas, la moyenne simple calculée sur l’ensemble desunités tirées est utilisée comme estimateur de la moyenne surl’univers (ce qui n’est pas le cas si l’on tire au deuxième degréavec des taux de sondage différents selon les unités primaires).



Variance de l’estimateur du total de Y

V (T̂ (Y )) =M2

m

(1 − m

M

)S2

1 +Mm

M∑α=1

Zα (2)

où Zα est la variance de l’estimateur T̂α(Y ) du total Tα (Y)dans l’unitéprimaire α consécutive au plan de sondage choisi au deuxième degré.



Estimation d’une moyenne, d’un ratio

Pour estimer la moyenne de Y par unité statistique sur l’univers àpartir du total, on ne connaît pas en général le nombre totald’unités statistiques de celui-ci (en général on n’a pas de base desondage au niveau des unités secondaires mais plutôt seulementla liste des unités primaires). On est donc obligé d’estimer cenombre total à partir de l’échantillon d’unités primaires, soit N̂ ; onestime la moyenne par T̂ (Y )

N̂.

Un ratio sera estimé comme le rapport de deux masses estimées.


Tirage des unités primaires à probabilités inégales

Plan









Estimateur du total de Y

On se placera ici, pour simplifier, dans le cadre du sondage avecremise. Aα est la probabilité de l’unité primaire a d’être tirée à chacundes tirages d’unités primaires.

T̂ (Y ) =1m

m∑i=1

T̂i(Y )

Ai(3)

T̂ (Y ) est un estimateur sans biais du total de Y sur l’univers ; on voitqu’on passe par l’estimateur T̂i(Y ) du total de Y pour l’unité primaire i ,puis qu’on utilise la formule (1) du chapitre 4. T̂i(Y ) tient compte de laméthode de sondage utilisée au deuxième degré de tirage.



Cas particulier important

On n’a pas abordé pour l’instant le problème du choix des Aα.Souvent on décide de tirer les unités avec une probabilitéproportionnelle à leur taille : Aα = Nα

N (où N =∑M

α=1 Nα)

Dans ce cas il est intéressant de procéder, au deuxième degré, àun tirage aléatoire simple avec le même nombre n0 d’unitéssecondaires dans chaque unité primaire tirée (quelle que soit sataille).

Chaque unité enquêtée a le même coefficient d’extrapolation, ona un sondage dit "autopondéré".



Cas particulier important

On n’a pas abordé pour l’instant le problème du choix des Aα.Souvent on décide de tirer les unités avec une probabilitéproportionnelle à leur taille : Aα = Nα

N (où N =∑M

α=1 Nα)

Dans ce cas il est intéressant de procéder, au deuxième degré, àun tirage aléatoire simple avec le même nombre n0 d’unitéssecondaires dans chaque unité primaire tirée (quelle que soit sataille).Chaque unité enquêtée a le même coefficient d’extrapolation, ona un sondage dit "autopondéré".



Estimation d’une moyenne, d’un ratio

Pour estimer une moyenne par unité secondaire sur l’univers, ilfaudra souvent estimer le nombre total d’unités secondaires quiest inconnu.

Un ratio sera estimé comme le rapport de deux masses estimées



Choix avec remise ,sans remise

En pratique, on procèdera très souvent à des tirages des unitésprimaires à Probabilités inégales sans remise : on utilisera lesformules précédentes ("comme si” on avait tiré avec remise), ensachant que les estimations de précision obtenues (varianced’estimateur) majoreront la véritable précision.

On réalisera parfois le tirage en rangeant les unités selon uncertain critère (par exemple, la taille de la localité) et en procédantà un tirage systématique dans le cumul des tailles (chapitre 4).


Sondage en grappes

Plan








Sondage en grappes

Principe

C’est le cas particulier du sondage à plusieurs degrés oùl’ensemble des unités du « dernier degré » est enquêté : parexemple on tire un échantillon de villages à l’intérieur desquels onva enquêter tous les ménages, ou tous les individus.

Là encore, l’intérêt de ce type de sondage réside en des coûts dedéplacements moindres (si on utilise des unités primairescorrespondant à des regroupements géographiques) et en lanon-obligation de disposer d’une base de sondage complète.


Sondage en grappes

Estimation d’un total dans le cas d’un tirage desgrappes a probabilités égales

Si Ti(Y ) est le total de Y observé sur la grappe i (ou unité primaire)sans erreur aléatoire (puisqu’on a enquêté exhaustivement la grappe) :

T̂ (Y ) =Mm

m∑i=1

Ti(Y ) (4)

est l’estimateur du total de Y sur l’univers.On est donc ramené àl’estimateur classique proposé au chapitre 2.


L’effet de grappe

Plan








L’effet de grappe

Principe

Le fait de tirer à deux degrés, ou de tirer des grappes, induitsouvent une perte de précision (par rapport à un sondage simpleà partir du même nombre d’unités enquêtées) due au fait que lesunités situées à l’intérieur d’une même unité primaire ont souventtendance à se ressembler.


Considérations pratiques

Plan









Quand utiliser des sondages à plusieurs degrés ?

Ce type de méthode est efficace pour certains domainesd’études, pas du tout pour d’autres (pour lesquels il existe unecertaine ”concentration” du phénomène étudié sur quelquesunités primaires, par exemple).L’efficacité dépendra de la capacité à construire des unitésprimaires hétérogènes (à l’intérieur d’elles-mêmes et vis-à-vis dela variable étudiée, c’est-à-dire contenant des individus plutôtdifférents les uns des autres).

On a évoqué précédemment deux méthodes de tiragesautopondérés souvent utilisées selon que le tirage des unitésprimaires se fait à probabilités égales ou inégales (en généralproportionnelles à leur taille).




Ce type de méthode est efficace pour certains domainesd’études, pas du tout pour d’autres (pour lesquels il existe unecertaine ”concentration” du phénomène étudié sur quelquesunités primaires, par exemple).L’efficacité dépendra de la capacité à construire des unitésprimaires hétérogènes (à l’intérieur d’elles-mêmes et vis-à-vis dela variable étudiée, c’est-à-dire contenant des individus plutôtdifférents les uns des autres).On a évoqué précédemment deux méthodes de tiragesautopondérés souvent utilisées selon que le tirage des unitésprimaires se fait à probabilités égales ou inégales (en généralproportionnelles à leur taille).




Si l’on dispose de l’information pour tirer à probabilités inégales,c’est cette méthode que l’on utilisera en général.De plus, on a intérêt à stratifier au niveau des unités primaires :par exemple, si celles-ci sont des regroupements locaux, oncréera des strates en utilisant des critères administratifs ouagro-écologiques. C’est à ce niveau qu’on gagne de la précision.

La stratification des unités primaires sera parfois liée aussi à lavolonté de produire des résultats au niveau des strates. Parcontre, la stratification des unités secondaires s’avère beaucoupmoins rentable (de plus, il y aurait un risque à transformer lerecensement au sein des unités primaires en une opération troplourde destinée à cette stratification des unités secondaires).




Si l’on dispose de l’information pour tirer à probabilités inégales,c’est cette méthode que l’on utilisera en général.De plus, on a intérêt à stratifier au niveau des unités primaires :par exemple, si celles-ci sont des regroupements locaux, oncréera des strates en utilisant des critères administratifs ouagro-écologiques. C’est à ce niveau qu’on gagne de la précision.La stratification des unités primaires sera parfois liée aussi à lavolonté de produire des résultats au niveau des strates. Parcontre, la stratification des unités secondaires s’avère beaucoupmoins rentable (de plus, il y aurait un risque à transformer lerecensement au sein des unités primaires en une opération troplourde destinée à cette stratification des unités secondaires).


chapitre5

Data & Analytics