ELT532- Chapitre II

1 Chapitre II Dimensionnement des transformateurs

II.0 Introduction à la conception des machines électriques

Principes de la conception; définitions; approches de la conception.

II.1 Rappels Description, principe de fonctionnement, modèles d’étude de transformateurs.

II.2 Méthode de dimensionnement d’un transformateur monophasé à noyau

II.3 Calcul des paramètres

II.4 Analyse des performances.

II.0 Introduction à la conception des machines électriques

Le problème de conception se pose suite à un besoin. Dans le domaine de l’électrotechnique, ce dernier peut être :

-Entrainer une charge mécanique (ascenseur, traction électrique..) ;

UN BESOIN - Générer de l’énergie électrique ;

-Alimenter un dispositif ;

Choix d’une structure En fonction de ce besoin, une ou plusieurs structures de machines électriques peuvent être retenues parmi les différents types existants :

Synchrone

Asynchrone

Machines : Courant continu

MRV (pas à pas ou MRV synchrone)

Type d’excitation : Aimants permanents ou inducteur bobiné

Type d’alimentation : Alimentation en courant ou en tension….

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2 Détermination du cahier de charge(CdC) Le cahier de charge va fixer :

Entrée : Type d’alimentation

Sortie : la puissance désirée, la caractéristique couple/ vitesse désirée …

Contraintes de bon fonctionnement : rendement, échauffement normal ….

Des contraintes économiques (prix de revient minimal, minimum de pertes).

Généralement, lors de la conception on cherche à satisfaire ces contraintes tout en aboutissant à une masse minimale et donc au prix minimal.

Exemple de cahier des charges

Soit à concevoir un transformateur monophasé dont le cahier des charges est défini par :

U1=220V f=50Hz S2=100VA U2=25V

Tbob120°C Ts60°C cos0,8

Résolution du problème de conception Après avoir choisi la structure et les matériaux à utiliser, il va falloir déterminer toutes dimensions géométriques de la machine.

Cette étape porte le nom de dimensionnement.

Dans ce cours, la procédure de conception va se limiter à l’étape de dimensionnement. La machine obtenue (calculs) est appelée prototype virtuel.

Analyse des performances Afin de vérifier les contraintes du cahier des charges, il est nécessaire de faire l’analyse des performances du prototype virtuel obtenu.

Les modèles que nous avons l’habitude d’utiliser pour l’étude des machines électriques peuvent être utilisés, pour calculer les performances d’une solution donnée, une fois que les paramètres du modèle (Résistance de phase, réactance synchrone FEM, ..ETC), sont exprimés en fonctions des données géométriques de la machine et des propriétés des matériaux.

Fig.II.0 Modèle de type circuit électrique équivalent d’un transformateur

Si les performances obtenues répondent au CdC, le prototype est retenu, sinon , il est nécessaire de revoir le dimensionnement pour corriger.

On doit noter que :

- La procédure de conception est itérative, il est rare de trouver la solution dès le premier calcul ;

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3 - Le problème de conception admet plusieurs solutions.

Le rôle du concepteur est de trouver la meilleure solution parmi toutes les solutions possibles (qui répondent au CdC) au sens d’un critère objectif.

Ce critère objectif est représenté par une fonction coût qui peut être :

- Le prix de revient de la machine ; - Le poids; - L’encombrement ou autre.

Résumé de la procédure de conception L’organigramme ci-contre résume la procédure de conception.

Approches de dimensionnement des machines électriques L’approche que nous allons utilisée dans ce cours, consiste à utiliser des équations de dimensionnement, c’est « l’approche classique ». Cependant, on doit signaler que grâce aux développements réalisés en informatique, en analyse numérique et dans le domaine de la modélisation des machines électriques une nouvelle approche « approche moderne » a vu le jour et consiste à utiliser les techniques d’optimisation.

Début

Besoin

Cahier des Charges (CdC)

Choix de la structure

Dimensionnement

Analyse des performances

Vérification

du CdC

Fin

oui

non Bouc

le d

e ca

lcul

itér

atif

Prototype virtuel

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4 II.1 Rappels a) Description

Les transformateurs sont des machines électriques statiques. Leurs rôle est de transformer une tension et un courant alternatifs en une autre tension et un autre courant alternatifs de même fréquence mais de valeurs mieux adaptées au transport, ou à la distribution de l’énergie électrique ou encore à la chargé à alimenter.

Ils sont constitués principalement de deux bobines en fil de cuivre (Cu) ou d’aluminium (Al) enfilées sur un noyau ferromagnétique, réalisé par un empilement de tôles minces (épaisseur 0,35mm) pour limiter la circulation des courants de Foucault.

fig. II.1 Transformateur à noyau monophasé 3D

On appelle rapport de transformation d’un transformateur le rapport entre le nombre de spires primaire et secondaire :

푎 =푛푛

b) Principe de fonctionnement (Rappel)

Soit le circuit de la figure ci-contre, formé par un circuit magnétique et deux bobines de nombre de spires n1 et n2. La première bobine est alimentée en tension sinusoïdale :

풖ퟏ(풕) = 푼ퟏ풔풊풏(풕)

La bobine va être parcourue par un courant alternatif i1(t), et va créer un flux magnétique alternatif dans le circuit magnétique (t) [Wb] ou [T.m2].

Que se passe-t-il au niveau de la deuxième bobine ?

En vertu de la loi de Faraday, la variation du flux en fonction du temps va induire une force électromotrice au niveau de cette 2eme bobine notée e2(t) :

푒 (푡) = 푛푑(푡)푑푡

De même on peut exprimer la FEM induite dans la bobine primaire :

푒 (푡) = 푛푑(푡)푑푡

c)Modèles d’étude de transformateurs

ELT532- Chapitre II

5 le modèle le plus utilisé pour l’étude des transformateurs électriques est le modèle de type circuit électrique équivalent fig. II.0

- Modèle du transformateur parfait

Un transformateur parfait est caractérisé par :

Pas de pertes joules R1=R2=0 Pas de fuites du flux magnétique l1=l2=0 Pas de pertes fer Rf La perméabilité du matériau ferromagnétique est infinie

Xm

Rf et Xm pas de branche magnétisante Im0

On peut donc écrire :

푢 (푡) = 푒 (푡)=푛

= = = 푎

푢 (푡) = 푒 (푡)=푛

푖 = 푖 − = 0 푖 = = 푎

푢푢

=푖푖

=푛푛

= 푎

Un transformateur parfait permet de faire la transformation (u1,i1)(u2,i2) sans pertes ni fuites magnétiques. Il fonctionne avec un rendement =100%

Modèle ramené au primaire : transformateur réel

Soit un transformateur parfait alimenté en tension푈 et le secondaire connecté sur une charge d’impédance 푍̅

On peut donc écrire :

푈 = 푎푈

푈 = 푍̅ 퐼 ̅ 퐼 ̅ = 푎퐼 ̅ donc 푈 = 푎푍̅ 퐼 ̅ donc

푈 = 푎 푍̅ 퐼 ̅

On peut donc déduire : vu du primaire, un transformateur parfait alimentant une impédance 푍̅ se comporte comme une simple impédance de valeur 푎 푍̅

Le transformateur parfait peut être remplacé en multipliant les impédances secondaires par a2 et en ramenant courant et tension secondaires aux valeurs primaires.

D’où le modèle du transformateur ramené au primaire :

e1 e2 u1 u2 n1/n2

Transformateur parfait

ELT532- Chapitre II

6

Fig II.2 Modèle d’un transformateur réel ramené au primaire

Modèle du transformateur - Hypothèse de Kapp

Pour les transformateurs de grandes puissances utilisés dans les centrales électriques, le courant magnétisant est négligeable. Il est suffisamment précis d’étudier le transformateur en supprimant la branche de magnétisation (Rf//Xm). Le modèle obtenu s’appelle modèle de Kapp :

Avec 푅 = 푅 + 푎 푅 et 퐿 = 퐿 + 푎 퐿

Avec 푅 = 푅 /푎 + 푅 et 퐿 = 퐿 /푎 + 퐿

c)FEM induite

Soit à exprimer la Fem induite e1(t)

푒 (푡) = 푛푑(푡)푑푡

(푡) = 푠푖푛(푡)

푒 (푡) = 푛 푐표푠(푡)

Comme = 퐵. 푆 = 2푓 on peut écrire :

푒 (푡) = 푛 2푓퐵. 푆 푐표푠(푡)

En posant 퐸 = 푛 2푓퐵. 푆 , on déduit la valeur efficace de la Fem :

퐸 = 푛 √푓퐵. 푆 d’où

퐸 = 4,44푛 푓퐵. 푆

Rs Ls

u 2

i2

u’1=

u 2 /a

Modèle de Kapp Ramené au secondaire

Rp Lp

u1

u’2=

aU2

i1

Modèle de Kapp Ramené au primaire

u’2=

au2

u1

R1 aR2 al2 l1

im

i1 i2/a

Rf Lm

ELT532- Chapitre II

7 Rendement maximal d’un transformateur

=푃푃

=푃푃

=푃

푃 +∑푝푒푟푡푒푠=

푈 퐼 푐표푠푈 퐼 푐표푠 + 푃 + 푃

푃 = 푅 퐼 + 푅 퐼 ramené au secondaire

푃 =푅푎퐼 + 푅 퐼 = 퐼

푅푎

+ 푅 = 퐼 푅

=푈 퐼 푐표푠

푈 퐼 푐표푠 + 퐼 푅 + 푃=

푈 푐표푠

푈 푐표푠 + 푅 퐼 +푃퐼

Le rendement maximal est obtenu quand = 0 d’où

( )

( )= 0 푅 − = 0 푅 퐼 = 푃 푃 = 푃

Dans un transformateur, le rendement est maximal quand les pertes joules sont égales aux pertes fer. Soient PJ1 et PJ2 les pertes joules respectivement au primaire et au secondaire. On peut écrire :

푃 = 푅 퐼 푃 = 푅 퐼

On peut montrer que dans certaines conditions : (bobines primaire et secondaire ayant la même longueur de spire moyenne et de même densité de courant J[A/m2]) :

푅푅

= 푎

On peut donc écrire :

푃 = 푅 퐼 = (푎퐼 ) =푅 퐼 = 푃

Dans un transformateur les pertes joules primaire sont égales ou presque égales, aux pertes joules secondaire.

II.2 Méthode de dimensionnement d’un transformateur monophasé à noyau.

Dans ce paragraphe, nous allons nous intéresser au dimensionnement de transformateurs à noyau fig II.1 (3D) et fig II.3 (2D).

Nous allons considérer un refroidissement par convection naturelle. Les bobines primaire et secondaire sont cylindriques et réalisées avec des fils en cuivre de sections circulaires. Les sections des noyaux (colonnes) sont supposées carrées.

fig. II.3 Transformateur à noyau monophasé 2D

Coupe AA’

A Bobine BT

Bobine HT

Isolation

Circuit magnétique

A’

ELT532- Chapitre II

8 a) Matériaux utilisés

Le tableau ci-dessous résume les propriétés des matériaux utilisés :

Mv(kg/m3) [.m] 75°C Pertes fer [W/kg] 1T, 0.35mm

cuivre 8,9e3 2,16e-8 fer 7,6e3 1 L’isolation va être réalisée avec du papier durci d’épaisseur (i=0,.25mm) (U<1000V).

b) Données nécessaire pour le dimensionnement Il est nécessaire de connaître les données :

- Données du Cahier Des Charges (CdC) U1 U2 S2 f Type de refroidissement. - Données du dimensionnement Pour les transformateurs monophasés (faible puissance < 1KVA), on aura besoin de : La densité de courant dans les conducteurs notée J[A/m2] ; L’induction maximale dans le noyau (circuit magnétique) 퐵 [T] ; Le coefficient du remplissage de la fenêtre Kr.

Les calculs qui suivent vont supposer que le transformateur est parfait et que les densités des courants dans le primaire et le secondaire sont identiques : J1=J2=J.

Pour application numérique, on considère le dimensionnement d’un transformateur défini par le CdC :

S2=100VA U1=220V U2=12V f=50Hz Refroidissement naturel. Pour les données de dimensionnement, on prend : 푩 =1,5T d’où H=700A/m (selon la courbe BH utilisée). Le coefficient de remplissage à choisir par la suite

Effectuer le dimensionnement du transformateur consiste à trouver les valeurs aux dimensions géométriques du circuit magnétique : Sfer, br, bf hf ainsi que le calcul des nombres de spires (n1 n2) et les sections des conducteurs (Sc1 Sc2) relatifs aux bobines primaire et secondaire.

c) Calcul de la section du noyau Sfer

Dans l’hypothèse d’un transformateur parfait on peut écrire :

E1=U1 (pas de chute de tension)

퐸 = 4,44푛 푓퐵. 푆 d’où =,

Sfer

hf

bf br

br

ELT532- Chapitre II

9 Pour f=50Hz 퐵 =1,5T on a =

Soit 푺′풇풆풓 la section du fer exprimée en [cm2], on peut donc écrire :

푛퐸

=30푆′

Remarques :

i) 풏ퟏ푬ퟏ

Représente le nombre de spires/volt. Plus ce chiffre est

grand plus il faut un nombre de spires élevé. j) Si on choisi 푆 élevé (on met beaucoup de fer) on réduit le

nombre de spires n1 (on économise le cuivre). Par contre si on choisi 푆 faible on doit mettre plus de spires (économie du fer au détriment du cuivre).

k) Généralement on choisi 푆 et en même temps en

choisissant un compromis entre ses deux paramètres.

Si on veut n1<1000 spires on opte pour = 4.28 d’où n1=941,6

n1=942 spires et 푆′ = 7푐푚

De même on peut calculer n2=E2x4,28=51.36 spires. n2=52 spires

On déduit donc le rapport de transformation :

푎 = = =18,12

d) Calcul des sections des conducteurs (bobines primaire et secondaire Sc1 et Sc2).

푆 = 푈 퐼 d’où 퐼 = = = 8,33퐴

1 2 3 4 5 6 7 80

5

10

15

20

25

30

S'fer

n1/E

1

15

7,5

4,28

ELT532- Chapitre II

10

fil

D

퐼 =퐼푎

=8,33

18,12= 0,46퐴

La densité de courant J [A/m2] dans un conducteur est définie par :

퐽 = d’où 푆 = on en déduit :

푆 [푚 ] =퐼퐽

=0,46

2,510

Ou bien

푆 [푚푚 ] =퐼퐽

=0,462,5

= 0,184푚푚

푆 [푚푚 ] =퐼퐽

=8,332,5

= 3.332푚푚

Calcul des diamètres des conducteurs d1 et d2:

푆 = 푟 d’où 푟 =

d’où 푑 = 2

푑 = 2푆

= 20,184

= 0,484푚푚

푑 = 2푆

= 23.332

= 2,056푚푚

Choix des conducteurs normalisé

Malheureusement les sections et les diamètres calculés ne sont pas toujours disponibles selon les normes. A cet effet, on doit choisir, à partir

des valeurs normalisées, les sections les plus proches par excès ou par défaut. Selon le tableau donné en annexe on choisit:

fil nu [mm] Sc[mm2] D isolé [mm] Kco primaire 0,5 0,1963 0,579 0,563 secondaire 2 3.141 2.140 0,656 Kco=kr : Coefficient de remplissage, on opte pour kr=0,5 pour le primaire et le secondaire.

fil : diamètre du conducteur nu (sans isolant)

D : diamètre du conducteur avec isolant

e) Calcul de la fenêtre (Sfen=bfxhf)

On peut calculer la surface totale du cuivre :

푆 = 푆 + 푆 = 푛 푆 + 푛 푆

푆 = 942푋0,1963 + 52푋3.141 = 348,25mm

La surface de la fenêtre est liée à la surface totale du cuivre par :

푆 =

On en déduit 푆 = = ,,

=696,5mm27cm2

Pour les transformateurs de faibles puissances, le rapport hf/bf est généralement pris dans l’intervalle [2,5-3].

Si on choisit hf/bf=3, on peut déterminer hf et bf, par la résolution du système de deux équations à deux inconnues (hf et bf) :

ELT532- Chapitre II

11

i i i i i

i

i

bf1/2 bf2/2

ℎ 푏 = 7ℎ = 3푏 d’où bf=1,5275 cm et hf=4,6 cm

f) Exécution du bobinage

Dans cette étape des calculs, on va vérifier si le bobinage est réalisable, autrement dit, si les bobines seront logées sans problème dans l’espace prévu (fenêtre). Ceci va aussi fixer les dimensions des bobines nécessaires pour le calcul de leurs résistances et inductances de fuite.

Si on considère une isolation entre bobine-bobine et bobines- circuit magnétique i=0.25mm, on calcule :

ℎ = ℎ − 2

푏 = 푏 − 5

AN

ℎ = 4,6− 2푋0,025 = 4,55cm

푏 = 1,53− 5푋0,025 = 1,405cm

Les bobines vont être réalisées sur plusieurs couches de spires. Déterminons le nombre de conducteurs par couche :

Primaire D1=0,579mm=0,0579cm h’/D1=78.5878 conducteur Le nombre de spires/couche=nombre de conducteur/couche – 1 D’où le nombre de spires/couche=77 spires 942 spires nombre de couche=942/77=12,23 couches

12 couches complètes et la dernière remplie au ¼ On en déduit finalement l’épaisseur occupée par l’enroulement primaire : bf1=(12+1)XD1(la dernière couche est supposée complète) bf1=0,7527cm Secondaire D2=2,14mm=0,214cm h’/D2=21.2621 conducteur Le nombre de spires/couche=nombre de conducteur/couche – 1 D’où le nombre de spires/couche=20spires 52 spires nombre de couche=52/20=2,6 couches 2 couches complètes et la dernière remplie à 60% On en déduit finalement l’épaisseur occupé par l’enroulement secondaire : Bf2=(2+1)XD2(la dernière couche est supposée complète) Bf2=0,642cm Vérification

bf1+bf2+5di<bf ? 0,7527+0,642+5X0,025=1,5197<1,5275 (vérifié)

L’enroulement peut être réalisé. Dans le cas contraire, il faut augmenter légèrement la fenêtre.

II.3 Calcul des paramètres

Afin de vérifier les performances du cahier des charges (CdC), il est nécessaire de calculer les paramètres du transformateur, à savoir :

Les résistances des enroulements, primaire et secondaire (R1 et R2) ;

Les inductances de fuites lf1 et lf2

ELT532- Chapitre II

12 L’inductance magnétisante Lm et la résistance modélisant les pertes fers Rf

II.3.1 Calcul des résistances

On va utiliser tout simplement la formule bien connue :

푅 =

Avec est la résistivité (cuivre) (75°C),

L la longueur du fil,

et Sc la section du conducteur.

Il s’agit donc d’estimer la longueur du fil pour chaque bobine. Rappelons que l’enroulement est réparti sur les deux colonnes et l’enroulement basse tension est placé en premier (ce qui correspond au secondaire 12V).

La largeur de la colonne br (section carrée) étant : 푏 = 푆 d’où

푏 = √7=2,6458cm

Si on considère un coefficient de foisonnement Kfoi=0.91, on a

푏 = = 2,91푐푚

- Calcul de R2

Calcul de la longueur de spire moyenne selon la figure ci-dessous on peut écrire :

푟 =√

+ d’où 푟 = .√

+ 0.025 = 2,083푐푚

푟 = 푟 + d’où 푟 = 2.083 + . = 2,404푐푚

D’où la longueur de la spire moyenne secondaire :

퐿 = (푟 + 푟 ). donc 퐿 = (2,083 + 2.404). =14,10푐푚

La longueur du fil est donc estimée par le produit de Lmoy par le nombre de spire et donc la résistance secondaire par colonne R2/col est :

푅 / = . / = , . . . , .

, . =0,0252

La résistance 푅 = 2.푅 / = 0,0504

- Calcul de R1

De la même façon on calcule R1 :

푟 = 푟 + d’où 푟 = 2,429 + 0.025 = 2,429푐푚

푟 = 푟 + d’où 푟 = 2.429 + . = 2,805푐푚

D’où la longueur de la spire moyenne primaire :

퐿 = (푟 + 푟 ). donc 퐿 = (2,429 + 2.805). =16,44푐푚

donc la résistance primaire par colonne R1/col est :

푅 / = . / = , . . . , .

, . =8,52

La résistance 푅 = 2.푅 / = 17,04

ELT532- Chapitre II

13

bF

b r

LFe

br br

b r

h

On en déduit les pertes joules primaire et secondaire notées respectivement Pj1 et Pj2 :

푃 = 푅 . 퐼 = 17,04. 0,46 = 3,61푊

푃 = 푅 . 퐼 = 0,0504. 8,33 = 3,75푊

On peut constater 푃 푃

II.3.2 Calcul des inductances de fuites

Le calcul des inductances de fuites est un problème délicat, il demande l’utilisation des méthodes numériques basées sur le calcul du champ magnétique crée par la bobine dans le vide. Dans la phase de conception, on peut se contenter d’utiliser des relations approximatives. pour une bobine cylindrique on prend d’après la réf [3] :

푙 / =13퐿ℎ

.푏2

.푁

Application numérique

Secondaire

푙 / =13

4. 1014,104,55

.0,642. 10

2. 26 = 2,81. 10 퐻

푙 / =13

4. 1016,444,55

.0,7527. 10

2. 471 = 1,26. 10 퐻

D’où

푙 = 2. 푙 / = 2,53. 10 H et 푙 = 2. 푙 / = 5,62. 10 H

II.3.3 Calcul de l’inductance magnétisante

L’inductance magnétisante Lm est liée à la réluctance équivalente du

circuit magnétique Req par :퐿 = 푁R

R =.

avec la perméabilité

absolue du matériau ferromagnétique,

donnée par : = = , = 0,0021[SI]

LFe la longueur moyenne des lignes de flux voir figure ci-contre :

퐿 = 푏 + 푏 ℎ. 2 + (ℎ + 푏 ). 2

퐿 = 2. 푏 + ℎ + 2. 푏

AN : 퐿 = 2. (1,53 + 4,6 + 2.2,646) = 22.84푐푚

Donc R = , ., . .

= 155374퐻 et 퐿 = 942 . = 5.71퐻

II.3.4 Calcul de Rf

Une fois les pertes fer estimées (voir §II.3.5), on peut calculer Rf sachant :

푃 = 퐸 퐼 = 퐸 .R

=R

fig(II.0)

Dans l’hypothèse : E1U1, on peut écrire :R =P

II.3.5 Calcul des masses de la matière active

ELT532- Chapitre II

14 a) Calcul de la masse du fer Mfer

푀 = 푀푣 .푉 Avec 푀푣 푉 sont respectivement la masse volumique et volume du fer. 푉 = 푆 . 퐿 = 7. 10 . 22,84. 10 = 160. 10 푚 푀 = 7,6. 10 . 160. 10 = 1,21푘푔 Calcul des pertes fer

Les pertes spécifiques ps étant de 1W/kg D’où les pertes fer sont données par :

푃 p .퐵 .푀

AN : 푃 1. 1,5 . 1,21 = 2.73푊 d’où

R =P

=.

= 17728

b) Calcul de la masse du cuivre Mcu

푀 = 푀푣 .푉 = 푀푣 . 푁 . 푆 . 퐿 +푁 . 푆 . 퐿

AN :

푀 = 8,9. 10 . (942.0,196310 . 0,1644 + 52.3,141. 10 . 0,1410) == 0,475푘푔

La masse totale de la matière active=Mfer+Mcu=1,685 kg

II.4 Etude des performances sous « simpowersystems »

Afin de vérifier les contraintes du cahier des charges, il est nécessaire d’effectuer la simulation du transformateur calculé, on peut le faire en utilisant « simpowersystems» de simulink voir cours (logiciels de simulation).

Paramètres du modèle de type électrique équivalent :

R1=17,04 L1f=1,3mH Lm=5,71H a=N1/N2=18,1154 R2=0,0504 L2f=5,62H Rf=17728 Rch=1,44 Rch étant la résistance de charge à brancher au secondaire pour que le transformateur débite la puissance de S2=100VA, obtenue par :

푅 = = = = 1,44

U1=220V

R2' L2f'R1 L1f

R'chLm//Rf

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15 Annexe fils de Cu normalisés