ch06(stat1 normal curve(ok)

1

สถิ�ติ�วิ�จั�ย 1

โดยกิ�ตต�เชษฐ์� สวั�สด��ธนาสกิ�ลอ้�างอ้�งจากิ :

หน�งส�อ้เรื่��อ้งสถิ�ต�วั�จ�ย 1 ผู้ �แต"งรื่อ้งศาสตรื่าจารื่ย� ดรื่.บุ�ญเรื่&ยง ขจรื่ศ�ลป์)ภาควั�ชากิารื่ศ,กิษา คณะศ,กิษาศาสตรื่� มหาวั�ทยาล�ยเกิษตรื่ศาสตรื่� พิ�มพิ�ท&� โรื่งพิ�มพิ�พิ&เอ้ส.พิรื่�2นท� นนทบุ�รื่& พิ�มพิ�ครื่�2งท&� 9 ม�.ย. 2549

วั�ชา:01153531 สถิ�ต�ในกิารื่วั�จ�ยทางกิารื่ศ,กิษา 1

อ้าจารื่ย�ผู้ �สอ้น : อ้.วัารื่�ณ& ล�ภนโชต� ควัามม�"งหมายขอ้งสไลด�น&2 เพิ��อ้อ้ธ�บุายให�ผู้ �ท&�ย�งไม"ม&ควัามรื่ �พิ�2นฐ์านทางสถิ�ต� และหากิบุางส"วันผู้�ดพิลาดโป์รื่ดแจ�งให�ผู้ �จ�ดท5าทรื่าบุจ�กิเป์6นพิรื่ะค�ณย��ง

บทท� 6การแจักแจังทางทฤษฎี�ท� ใช้�

อนุ�มานุสถิ�ติ�คุ�ณสมบ�ติ�ของโคุ�งปกติ� (Normal Curve)

การประมาณคุ#า

2

คุ�ณสมบ�ติ�ของโคุ�งปกติ� (Normal Curve)

1 .พื้%&นุท� ใติ�โคุ�งปกติ�หร%อคุ#าคุวิามนุ#าจัะเป)นุ(P)ม�คุ#าเท#าก�บ 1

2. คุวิามส*งของโคุ�งท� ส*งท� ส�ด อย*#ท� คุ#า 3. ร*ปทรงเป)นุ Bell shaped (ระฆั�ง

คุวิ- า) ,ม�คุวิามสมมาติร (Sysmetric) และฐานุนุ�ยมม�เพื้�ยงคุ#าเด�ยวิ (Unimodal)

4. ล�กษณะการกระจัายภายใติ�โคุ�งปกติ� ม�ล�กษณะด�งนุ�& 4.1 บวิกลบ 1 เท#าคุ#าเบ� ยงเบนุมาติรฐานุจัากคุ#าเฉล� ย ม�พื้%&นุท� ประมาณ 68%4.2 บวิกลบ 2 เท#าคุ#าเบ� ยงเบนุมาติรฐานุจัากคุ#าเฉล� ย ม�พื้%&นุท� ประมาณ 95%43. บวิกลบ 3 เท#าคุ#าเบ� ยงเบนุมาติรฐานุจัากคุ#าเฉล� ย ม�พื้%&นุท� ประมาณ 99%

5. ถิ�าคุ#าเฉล� ย ( ) เป)นุศู*นุย3 และคุ#าเบ� ยงเบนุมาติรฐานุ ( ) = 1 เร�ยกวิ#า โคุ�งปกติ�มาติรฐานุ “(Standard normal curve)”

(บุ�ญเรื่&ยง ขจรื่ศ�ลป์). สถิ�ต�วั�จ�ย 1,ป์รื่ะมวัลจากิ อ้.วัารื่�ณ& ล�ภนโชต� อ้ธ�บุาย : ป์รื่ะกิอ้บุสไลด�)

3

1.พื้%&นุท� ใติ�โคุ�งปกติ�หร%อคุ#าคุวิามนุ#าจัะเป)นุ

(P)ม�คุ#าเท#าก�บ 12.คุวิามส*งของโคุ�งท� ส*งท� ส�ด อย*#ท� คุ#า 3.ร*ปทรงเป)นุ Bell shaped (ระฆั�งคุวิ- า ) ,

ม�คุวิามสมมาติร (Sysmetric ) และ

ฐานุนุ�ยมม�เพื้�ยงคุ#าเด�ยวิ (Unimodal)4.ล�กษณะการกระจัายภายใติ�โคุ�งปกติ�

ม�ล�กษณะด�งนุ�& 4.1 บุวักิลบุ 1 เท"าค"า

เบุ&�ยงเบุนมาตรื่ฐ์านจากิค"าเฉล&�ย ม&พิ�2นท&�

ป์รื่ะมาณ 68%4.2 บุวักิลบุ 2 เท"าค"า


ป์รื่ะมาณ 95%4.3 บุวักิลบุ 3 เท"าค"า


ป์รื่ะมาณ 99%5.ถิ�าคุ#าเฉล� ย ( ) เป)นุศู*นุย3 และ

คุ#าเบ� ยงเบนุมาติรฐานุ ( ) = 1

เร�ยกวิ#า “โคุ�งปกติ�มาติรฐานุ

(Standard normal curve)”

คุ�ณสมบ�ติ�ของโคุ�งปกติ� (Normal Curve)

-4 -3 -2 -1 10 2 3 4

95%

2 95%

-3-4 -2 -1 10 2 3 499%

3 99%

-4 -3 -2 -1 10 2 3 4

68%

1 68%


4

คุะแนุนุมาติรฐานุคุะแนุนุมาติรฐานุ คุ%อ คุะแนุนุท� ม�คุ#า

เฉล� ยและคุ#าเบ� ยงเบนุมาติรฐานุคุงท� ไม#วิ#าจัะเป)นุ

ข�อม*ลช้�ดใด ได�แก# คุะแนุนุมาติรฐานุ Z (Z-score)

, คุะแนุนุมาติรฐานุ T เป)นุติ�นุเนุ% องจัากการเปร�ยบเท�ยบคุวิามสามารถิของผู้*�

เร�ยนุในุด�านุคุะแนุนุท� ม�คุวิามแติกติ#างจัากสาเหติ�ท� ติ#างก�นุ ท-าให�การเปร�ยบเท�ยบระหวิ#างคุะแนุนุด�บไม#สามารถิเปร�ยบเท�ยบได� หร%อไม#สะท�อนุถิ6งคุ�ณภาพื้ท� แท�จัร�ง เช้#นุ

คุะแนุนุจัากการสอบสองคุร�&ง คุร�&งแรกข�อสอบยาก คุร�&งท� สองข�อสอบง#าย ท-าให�ผู้ลคุะแนุนุแติกติ#างก�นุถิ6งแม�จัะเป)นุนุ�กเร�ยนุกล�#มเด�ม ด�งนุ�&นุจั6งม�วิ�ธี�การนุ-าคุะแนุนุด�บนุ�&นุมาท-าการเปร�ยบ

เท�ยบก�บคุะแนุนุมาติรฐานุเพื้% อบอกคุวิามหมายของคุะแนุนุหร%อคุ�ณภาพื้ได�ช้�ดเจันุย� งข6&นุ


5

Z คุ%อ คุะแนุนุมาติรฐานุX คุ%อ คุะแนุนุของผู้*�เร�ยนุแติ#ละคุนุX หร%อ คุ%อ คุะแนุนุเฉล� ยของข�อม*ลในุแติ#ละช้�&นุS หร%อ คุ%อ คุ#าเบ� ยงเบนุมาติรฐานุของคุะแนุนุช้�ดนุ�&นุ

คุะแนุนุมาติรฐานุ Z (Z-score)• คุะแนุนุมาติรฐานุ Z คุ%อ คุะแนุนุมาติรฐานุท� ม�

ล�กษณะการกระจัายเหม%อนุก�บการกระจัายของคุะแนุนุด�บ (Raw scores) ท� ก#อนุจัะเปล� ยนุมาเป)นุคุะแนุนุมาติรฐานุ

• คุ#าเฉล� ยของ Z-score คุ%อ 0 “ศู*นุย3 ” และคุ#าเบ� ยงเบนุมาติรฐานุ คุ%อ 1 “หนุ6 ง”

• การคุ-านุวิณหาคุะแนุนุมาติรฐานุ Z อาศู�ยคุะแนุนุเฉล� ยและคุ#าเบ� ยงเบนุมาติรฐานุของคุะแนุนุแติ#ละช้�ด โดยใช้�ส*ติร ด�งนุ�&

Z =

X -

X - X S

or

6

คุะแนุนุมาติรฐานุ T (T-score)• คุ%อคุะแนุนุมาติรฐานุท� ด�ดแปลงมาจัากคุะแนุนุ

Z ซึ่6 งม�ท�&งคุ#าบวิกและลบ ท-าให�ล-าบากในุการติ�คุวิามหมาย

• ล�กษณะของคุะแนุนุ T1. ม�ล�กษณะการกระจัายเหม%อนุก�บการกระจัายของคุะแนุนุด�บ

2. เป)นุคุะแนุนุมาติรฐานุท� ม�คุ#าเฉล� ย 50

และคุ#าเบ� ยงเบนุมาติรฐานุ 10• การเปล� ยนุคุะแนุนุ Z เป)นุ คุะแนุนุ T ใช้�ส*ติร

ด�งนุ�&

T = 50 + 10Z

7

ข�&นุติอนุในุการคุ-านุวิณหาพื้%&นุท� ใติ�โคุ�งปกติ�1 .เข�ยนุร*ปโคุ�งปกติ�ประกอบการคุ-านุวิณ เพื้% อ

ช้#วิยให�ทราบวิ#าพื้%&นุท� ใติ�โคุ�งปกติ�ส#วินุใดท� ติ�องการหา

2. เปล� ยนุคุะแนุนุด�บให�เป)นุคุะแนุนุมาติรฐานุ Z โดยใช้�ส*ติรด�งนุ�&

3. ใช้�ติารางโคุ�งปกติ�มาติรฐานุ (Standard normal table) ในุการหาคุ#าพื้%&นุท� ภายใติ�โคุ�งปกติ� (หนุ�งส%อ อ.บ�ญเร�ยง หนุ�า -153

154

Z =

X -

X - X S

or

8

ติ�วิอย#างท� 1ถิ�า X N(10,16) จังคุ-านุวิณหา

คุ#าคุวิามนุ#าจัะเป)นุ หร%อพื้%&นุท� ใติ�โคุ�งปกติ�ท� 11. X < 20

1.2 X < 61.3 X > 18

1.4 6 < X < 18

จัากส*ติร X N(, 2)เข�ยนุได�ด�งนุ�& X N(10,16)อ#านุวิ#า : X ม�การแจักแจังเป)นุโคุ�งปกติ� ท� ม�คุ#าเฉล� ย

10 และคุวิามแปรปรวินุ 16N มาจัากคุ-าวิ#า Normal curve

9

ติ�วิอย#างท� 1 ถิ�า X N(10,16 ) จังคุ-านุวิณหาคุ#าคุวิามนุ#าจัะเป)นุ หร%อพื้%&นุท� ใติ�โคุ�งปกติ�ท� 11. X < 20

ส*ติร P(X<20) =)XZ(P

: เปล� ยนุคุะแนุนุด�บให�เป)นุคุะแนุนุมาติรฐานุ Z

X= 20 = 10 =

== 4

16

2)

4

1020Z(P

0.9938

พื้%&นุท� ใติ�โคุ�งปกติ� เม% อ (X < 20) = 0.9938

: ใช้�ติารางโคุ�งปกติ�มาติรฐานุ (Standard normal table ) จัากติ-าแหนุ#ง Z ท�# 25. ได�คุ#าพื้%&นุท� ใติ�โคุ�งปกติ� คุ%อ 0 .9 9 3 7 9 0 3 (หนุ�า 1 5 4 )

-3

-4

-2

-1

10 2 3 4พื้%&นุท� Z = 0.9938

P(Z< 2.5 )

=

=

=

10

พื้%&นุท� ใติ�โคุ�งปกติ�มาติรฐานุ= 1

11. X < 20“คุวิามเข�าใจัของพื้%&นุท� ใติ�โคุ�งเพื้� มเติ�ม ใช้�ข�อม*ลจัากติ�วิอย#างท� 11 ประกอบคุ-าอธี�บาย”

พื้%&นุท� ใติ�โคุ�งปกติ�มาติรฐานุท� Z( 2.5) พื้ท. Z

=0.9938พื้%&นุท� ใติ�โคุ�งปกติ�มาติรฐานุ

ท� Z( 2.5) พื้ท . B=0.4938

(หร%อ ม�คุ#าเท#าก�บ -05.Z)พื้%&นุท� ใติ�โคุ�งปกติ�มาติรฐานุ

ท� Z( 2.5) พื้ท . C=0.0062

B = Area between mean and Z, C = Area beyond Z

11

ติ�วิอย#างท� 1 ถิ�า X N(10,16 ) จังคุ-านุวิณหาคุ#าคุวิามนุ#าจัะเป)นุ หร%อพื้%&นุท� ใติ�โคุ�งปกติ�ท� 1.2 X < 6

ส*ติร P(X<6)= )X

Z(P

: เปล� ยนุคุะแนุนุด�บให�เป)นุคุะแนุนุ

มาติรฐานุ ZX= 6 = 10 =

== 4

16

2

P(Z< -1 )

=

==

)4

106Z(P

*** : เปล� ยนุเคุร% องหมาย เป)นุ – + และ < เป)นุ > เพื้% อหาคุ#า Z เนุ% องจัากโคุ�งปกติ�ม�คุ�ณสมบ�ติ�คุวิามสมมาติร หร%อด*ติาราง พื้%&นุท� C ของ Z(1) จัะได�คุ#าเท#าก�นุ ท�นุท�

0.8413

P(Z> 1 )

1- 0.84130.1

5

8

7

===

ใช้�คุ�ณสมบ�

ติ�สมมาติรในุการหาคุ#าClick here

พื้%&นุท� Cพื้%&นุท� Z

12

ติ�วิอย#างท� 1 ถิ�า X N(10,16 ) จังคุ-านุวิณหาคุ#าคุวิามนุ#าจัะเป)นุ หร%อพื้%&นุท� ใติ�โคุ�งปกติ�ท� 1.3 X > 18

ส*ติร P(X>18) = : เปล� ยนุคุะแนุนุด�บให�เป)นุคุะแนุนุมาติรฐานุ Z

X= 18 = 10 =

== 4

16

2

P(Z> 2 )

=

== 0.9772

0.0228==

)X

Z(P

)4

1018Z(P

1 - 0.9772

พื้%&นุท� ใติ�โคุ�งปกติ� เม% อ (X > 18) = 0.0228

พื้%&นุท� Z พื้%&นุท� C

13

ติ�วิอย#างท� 1 ถิ�า X N(10,16 ) จังคุ-านุวิณหาคุ#าคุวิามนุ#าจัะเป)นุ หร%อพื้%&นุท� ใติ�โคุ�งปกติ�ท� 1.4 6 < X < 18

ส*ติร P(6<X<18) = P(X<18) – P(X<6)


6 < X < 18 = 10 =

== 4

16

2

=

)X

Z(P)X

Z(P 21

)4

106Z(P)

4

1018Z(P

P(Z<2) – P(Z<-1) -09772

01587

08185.

=

==

พื้%&นุท� ใติ�โคุ�งปกติ� เม% อ X ม�คุ#าระหวิ#าง 6 ก�บ 18 = 0.8185

ภาพื้อธี�บายสไลด3ถิ�ดไป

14

ติ�วิอย#างท� 1 ถิ�า X N(10,16 ) จังคุ-านุวิณหาคุ#าคุวิามนุ#าจัะเป)นุ หร%อพื้%&นุท� ใติ�โคุ�งปกติ�ท� 1.4 6 < X < 18

= P(Z<2) = 09772.= P(Z<-1) = P(Z>1)

= 0.8413= P(Z<-1) = 1-0.8413

= 0.1587

ใช้�หล�กสมมาติรในุการคุ-านุวิณและเอาคุ#าลบออก(อาจัใช้�พื้%&นุท� C แทนุคุ#าก;ได�เร;วิกวิ#า)

Click Here

= P(6<X<18)= -097720. .1587

= 0.8185ติ�องท-าคุวิามเข�าใจัก�บเคุร% องหมาย < หร%อ > เพื้% อจัะได�ทราบพื้%&นุท� ท� ติ�องการวิ#าอย*#ด�านุใด ของโคุ�งปกติ�

15

ติ�วิอย#างท� 2

ในุการสอบวิ�ช้าสถิ�ติ�คุะแนุนุเฉล� ยช้�&นุเร�ยนุเป)นุ

70 และคุ#าเบ� ยงเบนุมาติรฐานุ 10 ผู้*�สอนุให�เกรดผู้*�เร�ยนุท� ได�

คุะแนุนุระหวิ#าง - 6179 ได�เกรด C ปรากฏวิ#า ม�ผู้*�ได�เกรด จั-านุวินุ 2

4 คุนุ ถิ�าคุะแนุนุสอบวิ�ช้า

สถิ�ติ�ม�การแจักแจังเป)นุโคุ�งปกติ�จัะม�ผู้*�เข�าสอบวิ�ช้านุ�&ก� คุนุ

X1=61 X2=79

=70

24 คุนุ

จั-านุวินุก� คุนุ

16

ติ�วิอย#างท� 2ในุการสอบวิ�ช้าสถิ�ติ�คุะแนุนุเฉล� ยช้�&นุเร�ยนุเป)นุ 70 และคุ#าเบ� ยงเบนุมาติรฐานุ 10 ผู้*�สอนุให�เกรดผู้*�เร�ยนุท� ได�คุะแนุนุระหวิ#าง - 6 1 7 9 ได�เกรด C ปรากฏวิ#า ม�ผู้*�ได�เกรด C จั-านุวินุ 24 คุนุ

ถิ�าคุะแนุนุสอบวิ�ช้าสถิ�ติ�ม�การแจักแจังเป)นุโคุ�งปกติ�จัะม�ผู้*�เข�าสอบวิ�ช้านุ�&ก� คุนุ

X1=61 X2=79

=70

24 คุนุ

จั-านุวินุก� คุนุ

ส*ติร=P(61<X<79) = P(X <79) – P(X

<61) )X

Z(P)X

Z(P 12

= 70 =10

)10

7061Z(P)

10

7079Z(P

P(Z <0.9) – P(Z <-0.9)P(Z <0.9) – (1-P(Z <0.9))0.8159 – (1-0.8159)0.8159 – 0.184106318

พื้%&นุท� ใติ�โคุ�ง 06318.= 24 คุนุ

ถิ�าพื้%&นุท� ใติ�โคุ�ง 1 =

=37.99ม�ผู้*�เข�าสอบ = 38

คุนุอธี�บายสไลด3ถิ�ดไป

หล�กบ�ญญ�ติ�ไติรยางคุ3

6318.0

124


=

=

=====

12

12

12

12

12

17

Click here61 79

=70

24 คุนุ

ติ�วิอย#างท� 2ในุการสอบวิ�ช้าสถิ�ติ�คุะแนุนุเฉล� ยช้�&นุเร�ยนุเป)นุ 70 และคุ#าเบ� ยงเบนุมาติรฐานุ 10 ผู้*�สอนุให�เกรดผู้*�เร�ยนุท� ได�คุะแนุนุระหวิ#าง - 6 1 7 9 ได�เกรด C ปรากฏวิ#า ม�ผู้*�ได�เกรด C จั-านุวินุ 24 คุนุ

ถิ�าคุะแนุนุสอบวิ�ช้าสถิ�ติ�ม�การแจักแจังเป)นุโคุ�งปกติ�จัะม�ผู้*�เข�าสอบวิ�ช้านุ�&ก� คุนุ

= 70 =10 P(Z<0.9) –

P(Z<-0.9)

P(Z<0.9) – (1-P(Z<0.9))

0.8159 – (1-0.8159)

0.8159 – 0.1841

06318.

หล�กสมมาติร

18

ติ�วิอย#างท� 3ถิ�าคุวิามส*งของนุ�ส�ติ 10000

คุนุ ม�การแจักแจังเป)นุโคุ�งปกติ�ท� ม�คุ#าเฉล� ย 69 นุ�&วิ และคุ#าเบ� ยงเบนุมาติรฐานุ 2 .5 นุ�&วิ

ในุช้#วิงคุวิามส*งเท#าใดท� คุาดวิ#าจัะม�คุนุท� อย*#ในุช้#วิงคุวิามส*งติรงกลาง 7 5 % ของคุนุท�&งหมด

= 69 นุ�&วิ

75%

Z1

X1

???

Z2

X2

???25% ติ#อสไลด3ถิ�ดไป

= 69 =2.5

19

ติ�วิอย#างท� 3ถิ�าคุวิามส*งของนุ�ส�ติ 10000 คุนุ ม�การแจักแจังเป)นุโคุ�งปกติ� ท� ม�คุ#าเฉล� ย 69 นุ�&วิ และคุ#าเบ� ยงเบนุมาติรฐานุ 25. นุ�&วิ ในุช้#วิงคุวิามส*งเท#าใดท� คุาดวิ#าจัะม�คุนุท� อย*#ในุช้#วิงคุวิามส*งติรงกลาง 75

% ของคุนุท�&งหมด = 69 นุ�&วิ

75%

25%

พื้%&นุท� ติรงกลาง= 75%เท�ยบเป)นุพื้%&นุท� ใติ�ส#วินุโคุ�ง= 0.75พื้%&นุท� เหล%อแติ#ละข�าง= (1 - 0.75) 2

= 0.125นุ� นุคุ%อ P(X<X2) = 0.75 + 0.125ได�พื้%&นุท� Z คุ%อ = 0.875

พื้%&นุท� 0875.=

(P(Z2<1.15)และ = (P(Z1>-1.15)

หล�กสมมาติรติ#อสไลด3ถิ�ดไป

= 69 =2.5

เป=ดติารางหาติ-าแหนุ#ง Z

20

Click here

ติ�วิอย#างท� 3ถิ�าคุวิามส*งของนุ�ส�ติ 10000 คุนุ ม�การแจักแจังเป)นุโคุ�งปกติ� ท� ม�คุ#าเฉล� ย 69 นุ�&วิ และคุ#าเบ� ยงเบนุมาติรฐานุ 25. นุ�&วิ ในุช้#วิงคุวิามส*งเท#าใดท� คุาดวิ#าจัะม�คุนุท� อย*#ในุช้#วิงคุวิามส*งติรงกลาง 75

% ของคุนุท�&งหมด = 69 นุ�&วิ =

69 =2.5

75%

25%

พื้%&นุท� 0875.=

(P(Z2< 1.15)และ = (P(Z1> -1.15)

1.15-1.15

เท�ยบส*ติร Z( เพื้% อหาคุ#า X) :

1

1

XZ

22

XZ

5.2

6915.1 2

X

X1 = (-1.15)2.5 + 69

5.2

6915.1 1

X

X2 = (-1.15)2.5 + 69

X1 = 66.125 X2 = 71875.ด�งนุ�&นุ 75% ของคุนุท�&งหมดจัะติกอย*#ในุช้#วิงคุวิามส*ง ติรง

กลางจัาก - 66125 71875 นุ�&วิ

5.2

6915.1 1

X

X1-69 =-1.152.5X1 = (-1.15 2.5)+69

15.15.2

691 X

21

แบบฝึ?กห�ดบทท� 61 .ถิ�า X ม�การแจักแจังเป)นุโคุ�งปกติ�ท� ม� Mean เป)นุ 2

และ Variance 9 ซึ่6 งเข�ยนุเป)นุส�ญล�กษณ3ได�ด�งนุ�& X~N(2,9) จังหาคุ#าของ1) P(1 < X < 3) 2) P(X > 4) 3) P( X < -1) 4) P( X> 5)

2. ถิ�าคุะแนุนุเฉล� ยของวิ�ช้าสถิ�ติ�เป)นุ 60 คุ#าเบ� ยงเบนุมาติรฐานุ 5ถิ�าม�นุ�กเร�ยนุเข�าสอบท�&งหมด 200 คุนุ จัะม�นุ�กเร�ยนุประมาณก� คุนุ ท� ได�คุะแนุนุระหวิ#าง 50 ถิ6ง 70 คุะแนุนุ วิ�ช้าสถิ�ติ�ม�การแจักแจังเป)นุโคุ�งปกติ�

3. ถิ�าคุวิามส*งของนุ�ส�ติ 10000, คุนุม�การแจักแจังเป)นุโคุ�งปกติ�ท� ม�คุ#าเฉล� ย 69 นุ�&วิ และ คุ#าเบ� ยงเบนุมาติรฐานุ 25 นุ�&วิ จัะม�นุ�ส�ติก� คุนุท� คุาดวิ#าจัะม�คุวิามส*งอย#างติ- า 6 ฟุ�ติ

4. ผู้ลการสอบวิ�ช้าหล�กการวิ�ดผู้ลการศู6กษาม�นุ�ส�ติเข�าสอบจั-านุวินุ 300 คุนุ ได�คุะแนุนุเฉล� ย 72 คุะแนุนุ คุ#าเบ� ยงเบนุมาติรฐานุ 10 คุะแนุนุ การแจักแจังของคุะแนุนุ ม�ล�กษณะเป)นุโคุ�งปกติ�ดวิงสมร สอบได�คุะแนุนุมาติรฐานุ T 63 จังคุ-านุวิณวิ#า ม�นุ�ส�ติประมาณก� คุนุท� ได�คุะแนุนุติ- ากวิ#าดวิงสมร

คุวิรลองท-าด*ก#อนุ จัะได�ประโยช้นุ3อย#างมากกวิ#าการด*เฉลยวิ�ธี�คุ�ดท�นุท�

22

คุวิรลองท-าด*ก#อนุ จัะได�ประโยช้นุ3อย#าง

มากกวิ#าการด*เฉลยวิ�ธี�

คุ�ดท�นุท�

23

แบบฝึ?กห�ดบทท� 61 .ถิ�า X ม�การแจักแจังเป)นุโคุ�งปกติ�ท� ม� Mean เป)นุ 2 และ Variance 9 ซึ่6 งเข�ยนุเป)นุส�ญล�กษณ3ได�ด�งนุ�& X~N(2,9) จังหาคุ#าของ1) P(1 < X < 3) 2) P(X > 4) 3) P( X < -1) 4) P( X> 5)

1) P(1 < X < 3)

แนุวิคุ�ดโจัทย3

ปร�บส*ติรติามแนุวิคุ�ดโจัทย3 : P( X2< 3)P(X1<1)-เปล� ยนุคุ#า X เป)นุคุะแนุนุ Z : P( Z2< 3) -

P(Z1<1)

X2X1

ส*ติรคุะแนุนุ Z : )X

Z(P)X

Z(P 11

22

ด*สไลด3ถิ�ดไป

24


1) P(1 < X < 3)


X2X1


Z(P)X

Z(P 11

22

)3

21Z(P)

3

23Z(P 12

)3

1Z(P)

3

1Z(P 12


25

P(Z2<0.33) – 1-P(Z1<0.33)

Click here


1) P(1 < X < 3)


X2X1

)3

1Z(P)

3

1Z(P 12

P(Z2<0.33) – P(Z1<-0.33)0.6293 – (1-0.6293)


คุ#า Z ไม#ม�คุ#าเป)นุ ลบ ท-าให� ติ-าแหนุ#ง - 0 .3 3 จั6ง

ไม#ม�คุ#าเท�ยบในุติาราง

-0.33

0.33

ด�งนุ�&นุใช้�หล�กสมมาติรในุการกล�บร*ประฆั�งคุวิ- า

และหาคุ#าติ-าแหนุ#ง Z ท� 033.คุ%อ 06293.

ด�งนุ�&นุ ติ-าแหนุ#ง -033.คุ%อ พื้%&นุท� -10629.3หร%อติ-าแหนุ#ง C ของ 033.(คุล�กท� เด�มเพื้% อลบกรอบนุ�&)

26


1) P(1 < X < 3)


X2X1

0.6293 – (1 - 0.6293)0.6293 – 0.370302.59

0

คุ#า X =จับข�อ 1

27


2) P(X > 4)


X

ปร�บส*ติรติามแนุวิคุ�ดโจัทย3 : เปล� ยนุคุ#า X เป)นุคุะแนุนุ Z : 1-P( Z< 4)


Z(1

P

Click #1

Click #2

Click #3

Click #4

P(X>4)

1

P(X<4)

1 - P(X<4)

1 - P( X< 4)

28


2) P(X > 4)


X

)X

Z(1

P

)3

24Z(1

P

)3

2Z(1 P

1- P(Z<0.67)

1-0.7486

0.2514หร%อด*ติาราง

พื้%&นุท� C ได�ท�นุท�

=

=

=

=

=

=

29

แบบฝึ?กห�ดบทท� 61 .ถิ�า X ม�การแจักแจังเป)นุโคุ�งปกติ�ท� ม� Mean เป)นุ 2 และ Variance 9 ซึ่6 งเข�ยนุเป)นุส�ญล�กษณ3ได�ด�งนุ�& X~N(2,9) จังหาคุ#าของ1) P(1 < X < 3) 2) P(X > 4) 3) P( X < -1) 4) P( X> 5)แนุวิคุ�ด

โจัทย3

ปร�บส*ติรติามแนุวิคุ�ดโจัทย3 : 1 - P( X < 1)เปล� ยนุคุ#า X เป)นุคุะแนุนุ Z : 1 - P( Z <

1)ส*ติรคุะแนุนุ Z : )X

Z(1

P


=

3) P( X < -1)

ด�งนุ�&นุ : P( X < -1) = 1 - P(X < 1)

30


)X

Z(1

P

)3

21Z(1

P

)3

3Z(1 P

1 - P(Z < 1)1-0.84130.1587

หร%อด*ติารางพื้%&นุท� C ได�ท�นุท�

=

=

=

===



=

3) P( X < -1)

31


4) P( X> 5)


ปร�บส*ติรติามแนุวิคุ�ดโจัทย3 : P( X>5)เปล� ยนุคุ#า X เป)นุคุะแนุนุ Z : P( Z>5)


Z(P

32


4) P( X> 5)


)X

Z(P

)3

25Z(P

)3

3Z(P

=

=

=

====

Click here #1Click here #1




P(Z > 1)1 - (P(Z<1)1 - 0.84130.1587

33

แบบฝึ?กห�ดบทท� 62. ถิ�าคุะแนุนุเฉล� ยของวิ�ช้าสถิ�ติ�เป)นุ 60 คุ#าเบ� ยงเบนุมาติรฐานุ 5 ถิ�าม�นุ�กเร�ยนุเข�าสอบท�&งหมด 200 คุนุ จัะม�นุ�กเร�ยนุประมาณก� คุนุ ท� ได�คุะแนุนุระหวิ#าง 50 ถิ6ง 70 คุะแนุนุ วิ�ช้าสถิ�ติ�ม�การแจักแจังเป)นุโคุ�งปกติ�

แนุวิคุ�ดโจัทย3 = 60 = 5N = 200X = 50 < X < 70

= 6050 70

จัากโจัทย3 ก-าหนุด แนุวิคุ�ด ด�งนุ�& = P(50 < X < 70)

ปร�บส*ติรติามแนุวิคุ�ดโจัทย3

X1 X2

X = P(50 < X < 70)

= P(X2< 70) - P(X1<50)

= P(Z2< 70) - P(Z1<50)

ส*ติรคุะแนุนุ Z :

ด*สไลด3ถิ�ดไป (ข�อ 2 ติ#อ)

34



= 6050 70



X1 X2

= P(Z2< 70) - P(Z1<50)

ส*ติรคุะแนุนุ Z :

)X

Z(P)X

Z(P 11

22

)5

6050Z(P)

5

6070Z(P 12

)5

10Z(P)

5

10Z(P 12

P(Z2< 2) - P(Z1<-2)

ด*สไลด3ถิ�ดไป (ข�อ 2 ติ#อ)

35



= 6050 70



X1 X2

= P(Z2< 2) - P(Z1<-2)= P(Z2< 2) – (1-P(Z1<2))= 0.977-(1-0.977)= 0.977-0.023= 0.954

= 0.954 200= 190.8= 191 คุนุ

36

แบบฝึ?กห�ดบทท� 63. ถิ�าคุวิามส*งของนุ�ส�ติ 10,000 คุนุม�การแจักแจังเป)นุโคุ�งปกติ�ท� ม�คุ#าเฉล� ย 69 นุ�&วิ และ คุ#าเบ� ยงเบนุมาติรฐานุ 2.5 นุ�&วิ จัะม�นุ�ส�ติก� คุนุท� คุาดวิ#าจัะม�คุวิามส*งอย#างติ- า 6 ฟุ�ติ (72 นุ�&วิ)แนุวิคุ�ดโจัทย3

= 6972

X

= 69 = 2.5N = 10,000X = X > 72จัากโจัทย3 ก-าหนุด แนุวิคุ�ด ด�งนุ�& =

P(X > 72)X = P(X > 72)

= P(Z> 72)ส*ติรคุะแนุนุ Z :

)X

Z(P

37

แบบฝึ?กห�ดบทท� 63. ถิ�าคุวิามส*งของนุ�ส�ติ 10,000 คุนุม�การแจักแจังเป)นุโคุ�งปกติ�ท� ม�คุ#าเฉล� ย 69 นุ�&วิ และ คุ#าเบ� ยงเบนุมาติรฐานุ 2.5 นุ�&วิ จัะม�นุ�ส�ติก� คุนุท� คุาดวิ#าจัะม�คุวิามส*งอย#างติ- า 6 ฟุ�ติ (72 นุ�&วิ)แนุวิคุ�ดโจัทย3

= 6972

X

= 69 = 2.5N = 10,000X = X > 72จัากโจัทย3 ก-าหนุด แนุวิคุ�ด ด�งนุ�& =

P(X > 72))X

Z(P

)5.2

6972Z(P

)5.2

3Z(P

= P(Z >1.2)= 1 - P(Z <1.2)= 1 - 0.885= 0.115

= 0.115 10,000= 1,150 คุนุ

38

แบบฝึ?กห�ดบทท� 64. ผู้ลการสอบวิ�ช้าหล�กการวิ�ดผู้ลการศู6กษาม�นุ�ส�ติเข�าสอบจั-านุวินุ 300 คุนุ ได�คุะแนุนุเฉล� ย 72 คุะแนุนุ คุ#าเบ� ยงเบนุมาติรฐานุ 10 คุะแนุนุ การแจักแจังของคุะแนุนุ ม�ล�กษณะเป)นุโคุ�งปกติ�ดวิงสมร สอบได�คุะแนุนุมาติรฐานุ T 63 จังคุ-านุวิณวิ#า ม�นุ�ส�ติประมาณก� คุนุท� ได�คุะแนุนุติ- ากวิ#าดวิงสมร

แนุวิคุ�ดโจัทย3 = 72

63

X

= 72 = 10N = 300X = X < 63

จัากโจัทย3 ก-าหนุด แนุวิคุ�ด ด�งนุ�& = P(X < 63)T = 50 +

10Z63= 50 +

10Z

10

5063Z

10

13Z

Z = 1.3พื้%&นุท� Z =0.903นุ�ส�ติ = 0.903 300

= 271 คุนุ

39

จับบทท� 6

เร% องการแจักแจังทางทฤษฎี�ท� ใช้�อนุ�มานุสถิ�ติ�

โดย ประช้า คุรรช้�ติจัาร�ส�ทธี�A [email protected]

ch06(stat1 normal curve(ok)

Education