ceqii

1

Confiabilidade

1. Definições e conceitos fundamentais

Confiabilidade é a probabilidade de um item componente ou produtodesempenhar com sucesso a função requerida e sob determinada condiçõesoperacionais. Esta definição envolve quatro conceitos fundamentais :

Probabilidade Sucesso Função Condições operacionais

A probabilidade está ligada a chance ou ao número de vezes em que um item

ou produto funciona com sucesso no intervalo de tempo, desta forma a

confiabilidade é um numero compreendido entre 0 e 1. A probabilidade é o

elemento quantitativo da confiabilidade.

Sucesso é a não ocorrência de falha. Desta forma, o conceito de falha precisa

ser bem estabelecido.

Função ou missão é o objetivo que item ou produto deve executar. Esta missão

geralmente está ligada a um intervalo de tempo, ciclos , quilômetros, etc.

Condições operacionais devem estar bem definidas porque estas condições

afetam o valor da confiabilidade. Geralmente níveis de fatores como

temperatura , umidade, tensões especificam estas condições de operacionais.

A quantificação da confiabilidade feita pela probabilidade traz o inconveniente de

não se saber o tempo da missão, assim sendo, é usual representar a

confiabilidade pelas figuras de mérito , ou parâmetros dos modelos probabilísticos.

De acordo com a British Standard 4778 ( BS – 4778) confiabilidade é a

“capacidade de um ítem desempenhar satisfatoriamente a função requerida, sob

condições de operação estabelecidas , por um período de tempo determinado.”

2

1.1 Medidas Empíricas de confiabilidade

Sejam Tj , j= 1,2,3,.... n os tempos até a falha de um determinado componente.A confiabilidade ( R ) para um tempo Ti é estimada por dada por :

^R = (n - i) / n ,

onde ( n – i ) é o número de sobreviventes para o tempo Ti , e a probabilidade defalha ( F ) pode ser estimada por:

^F = i / n

A relação entre a confiabilidade e a probabilidade de falha é dada por:

R + F = 1

A função taxa de falha ( h ) é dada por :

h i= fi / ( Nt ∆ti )

fi: Número de falhas ocorridas no intervalo ∆ti

Nt :Número de unidades em funcionamento no intervalo ∆ti

∆ti : Intervalo considerado

3

Exercício 1:

Considere a tabela a seguir com os tempos até a falha de um equipamento nãoreparável. Pede-se calcular:

j Tj

(horas) F= i/n R = (n-i)/n 1 2 2 4 3 27 4 48 5 54 6 54 7 58 8 64 9 68 10 72 11 78 12 120 13 132 14 204 15 241 16 260 17 263 18 288 19 319 20 422 21 445 22 475 23 677 24 737 25 1208

4

Exercício 2

Construir a função h( t) utilizando o intervalo ∆t = 1000 horasTempos até a falha ( horas)

110 520 1440 4280 6620 9210 11740125 540 1560 4370 7010 9790 11830135 590 1620 4450 7100 10080 11970210 640 1700 5040 7510 10260 12060230 680 1750 5120 7560 10360 12100295 690 1920 5200 7840 10400 12290300 720 2810 5330 7920 10440 12330310 830 2820 5420 8410 10500 12450330 870 2900 5560 8600 10580 12580350 920 3060 5640 8790 10650 12660385 980 3240 5830 8840 11070 12770430 1030 3300 6020 8990 11260 1840465 1050 3530 6370 9080 11350 12920470 1190 3610 6460 9110 11480 12980480 1380 4010 6530 9150 11510 12995

5

Construção de histograma , gráfico de freqüência acumulada , o polígono de

freqüências .

Determine o tamanho da amostra (n)

Estabeleça o maior e o menor valor Xmax e Xmin.

Estabeleça o número de classes(k)

K = √ n k = 1+3.3 log n, tabela

Calcule o tamanho de classe (t) : t = ( Xmax - Xmin ) / k

Faça ajustes

Estabeleça os intervalos de classes

Estabeleça a freqüência de cada classe

Construa barras proporcionais às freqüências encontradas

Exercício 3

Construir:a) O histogramab) O polígono de freqüênciasc) Gráfico de freqüências acumuladas ( Fa)d) O gráfico para (1- Fa)

1163 372 279 338 465697 624 610 529 254361 115 768 301 469373 668 226 281 432365 696 427 471 563351 252 213 486 746506 263 364 586 502621 676 635 795 595709 702 366 875 306557 443 479 606 369

6

Exercício 4

Construir:

a) O histogramab) O polígono de freqüênciasc) Gráfico de freqüências acumuladas ( Fa)d) O gráfico para (1- Fa)

2015 1918 2553 1786 18401795 1869 2325 2159 23721678 1803 2057 1672 20881927 1878 1793 1481 21642009 2129 1911 1531 24462152 2292 2341 2269 21341987 1718 2311 1895 22591970 1861 2022 2324 22122339 2210 1929 1920 19961729 1884 1811 1899 2580

2 . Modelos probabilísticos na confiabilidade

2.1 Generalidades

Seja t uma variável aleatória . A variável t pode ser qualquer variável que

mede a vida de um equipamento, isto é, tempo, ciclos, metros, etc.

A variável t é descrita por uma função densidade de probabilidade então:

Função densidade: f ( t )

f(t)

F R

t

7

Função distribuição : F ( t )

t

F( t ) = ∫ f ( t ) dt -∞ou

t

F( t ) = ∫ f ( t ) dt , pois t é uma variável positiva ou nula 0

∞

R + F = 1 = ∫ f ( t ) dt = Área total sob a curva f ( t ) -∞

Função Confiabilidade R ( t ) :

∞R ( t )= 1 – F ( t ) = 1 - ∫ f ( t ) dt

0

por que t é uma variável positiva ou nula .

h ( t ) = f ( t ) / R ( t )

2.2 Modelo Exponencial

Função distribuição de confiabilidade

F( t ) = 1- e-λt

Função densidade de probabilidade

f ( t ) = λ e -λt

Função confiabilidade

R ( t ) = e-λt

8

Função Confiabilidade e Função distribuição modelo exponencial

Função densidade de probabilidade exponencial

Valor esperado

∞E( t ) = ∫0 t e -λt dt = ( 1/λ ) = θ = MTBF ou MTTF

Variância

Modelo Exponencial

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 50 100 150

Tempo

Pro

babi

lidad

e

Função Distribuição

Função Confiabilidade

Modelo Exponencial

00,010,020,030,040,05

0 50 100 150Tempo

Funç

ão D

ensi

dade

9

∞V( t ) = ∫0 t 2 e -λ t = ( 1/λ2 )

µ = valor esperado ( MTBF ou MTTF)= θ

λ = 1/ θ

Características do modelo

Taxa de falhas constante ( λ )

Tempo médio entre Falhas ( MTBF = 1/λ ) – equipamentos reparáveis

Tempo médio até a falha ( MTTF = 1/λ) – equipamentos não reparáveis

Exercício 5

Um equipamento tem taxa de falhas λ = 0,00025 f/ ciclos.

Qual o MTBF deste equipamento ?

Qual a confiabilidade para um tempo de operação igual ao MTBF?

Qual a confiabilidade para um tempo de 6000 ciclos?

Qual a confiabilidade para 2000 ciclos ?

Exercício 6

A confiabilidade de um equipamento para 1200 h de operação é 0,65.

Qual a confiabilidade para 800 horas?

Qual o MTBF e a taxa de falha deste equipamento?

Exercício 7

Um equipamento com MTBF de 10000 horas deve operar com confiabilidade

0,9900 .

Qual o tempo de operação para que o equipamento tenha a confiabilidade

requerida?

10

2.2.1 Testes de hipótese para verificação do Modelo

Teste Gráfico ( Papel de probabilidade )

O papel de probabilidade exponencial possui a escala horizontal linear e a

escala vertical é logarítmica. O teste consiste em plotar os valores de t e F ( t )

ou de t e R( t ) , para isto é necessário observar o tipo de papel de probabilidade

que se está utilizando. Para a plotagem dos pontos no gráfico deve-se utilizar

valores estimativos para F ( t ) ou R ( t ) a saber:

^ F = i/ ( n+1)

^R ( t) = (n+1-i)/ ( n+1)

i: é a ordem dos valores

n : é o número de valores

Após plotados os pontos, verificar se eles mostram uma tendência reta, em

caso afirmativo não se descarta a hipótese do modelo exponencial, caso não

apresente uma tendência reta o modelo exponencial deve ser rejeitado. No anexo

2 encontra-se um modelo de papel de probabilidade. Traçando-se uma reta a

sentimento entre os pontos plotados de tal forma que esta reta seja representativa

da tendência linear é possível se estimar graficamente os valores de λ ,θ .

^ ^Estimativa gráfica do MTBF ou MTTF ( θ ) e da taxa de falha ( λ )

Utilizando o valor de R( t ) = 0,368 ou o valor de F ( t ) = 0,632 traça-se uma

reta horizontal até encontrar a reta de tendência, da reta de tendência traça-se

11

uma vertical até encontrar a escala horizontal de tempos. O valor encontrado para

o tempo corresponde a estimativa de θ e invertendo este valor de θ encontra-se λ .

12

Exercício 5

Com o teste do papel de probabilidade , verificar se os dados do exercício 1 se

ajustam ao modelo exponencial.

Em caso afirmativo estimar os parâmetros θ e λ.

j Tj

(horas) F= i/( n+1) R = 1- i/( n+1) 1 2 2 4 3 27 4 48 5 54 6 54 7 58 8 64 9 68 10 72 11 78 12 120 13 132 14 204 15 241 16 260 17 263 18 288 19 319 20 422 21 445 22 475 23 677 24 737 25 1208

13

2.2.2 Ensaios de Vida para determinação de λ e θ

Os ensaios de vida são classificados em:

Ensaios com tempo fixo ( ta )

Com reposição ( E )

Sem reposição ( O )

Ensaio com número de falhas fixo ( r )

Com reposição ( E )

Sem reposição ( O )

Desta forma tem-se quatro tipos de planos de ensaio:

[ N, E, ta ] : N itens em ensaio, com reposição dos itens que falharem e com tempo

fixo.

[ N, O, ta ] : N itens em ensaio, sem reposição dos itens que falharem e com

tempo fixo.

[ N, E, r ] : N itens em ensaio, com reposição dos itens que falharem e com

número de falhas fixo.

[ N,O, r ] : N itens em ensaio, sem reposição dos itens que falharem e com número

de falhas fixo.

Plano de ensaio Taxa de falha( λ ) Tempo Médio ( θ ) ^ ^[ N,E,r ] λ = r/N tr θ = N tr / r

^ ^[ N,E,ta ] λ = f/N ta θ = N ta / f

^ ^

14

[ N,O,r ] λ = r/ [ Σ ti + (N –r). tr ] θ =[ Σ ti + (N –r). tr ]/r

^ ^[ N,O,ta ] λ = f/ [ Σ ti + (N –f). ta ] θ =[ Σ ti + (N –f). ta ]/f

f: número de falhas ocorridas

r: número de falhas fixado

ti :tempo em que ocorreu a i-ésima falha

ta : Tempo fixo de ensaio

tr: tempo em que ocorreu a r – ésima falha

2.2.3 Determinação dos intervalos de confiança

Seja ϕ o nível de confiança especificado e α = 1- ϕ o nível de significância.

a) Ensaios terminados no tempo ta [ N, E, ta] ou [ N, O, ta ]

a1) Estimativas bilaterais ^ ^ K1 λ ≤ λ ≤ λ K2

^ ^ θ / K2 ≤ θ ≤ θ / K1

K1 = [χ2 2f,(1+ϕ)/2 ]/( 2f) K2 = [χ2

2(f+1), (1-ϕ)/2 ]/( 2f)

χ2 gl , p :função Qui-quadrado com “graus de liberdade” gl e “probabilidade” p

Os valores do Qui quadrado estão na tabela anexo 3.

a2) Estimativas unilaterais

^ λ ≤ λ K3

^ θ / K3 ≤ θ

K3= [χ2 2(f+1), (1-ϕ) ]/( 2f)

15

b) Ensaios terminados na falha r [ N, E, r] ou [ N, O, r ]

b1) Estimativas bilaterais ^ ^ K1 λ ≤ λ ≤ λ K2

^ ^ θ / K2 ≤ θ ≤ θ / K1

K1 = [χ2 2r,(1+ϕ)/2 ]/( 2r) K2 = [χ2

2r, (1-ϕ)/2 ]/( 2r)



b2) Estimativas unilaterais

^ λ ≤ λ K3

^ θ / K3 ≤ θ

K3= [χ2 2r, (1-ϕ) ]/( 2r)

c) Ensaios com tempo fixo que não apresentaram falhas

c1) Estimativas bilaterais 0 ≤ λ ≤ χ2

2,(1+ϕ)/2 / 2Nta

2Nta / χ2 2,(1+ϕ )/2 ≤ θ < ∞



a2) Estimativas unilaterais

λ ≤ χ2 2,ϕ / 2Nta

16

2Nta / χ2 2,ϕ ≤ θ

Para valores mais usuais de ϕ temos a tabela a seguir:

ϕ 0,60 0,90 0,95 0,99Bilateral 3,2188 5,9914 7,3777 10,5966Unilateral 1,8325 4,6051 5,9914 9,2103

Exercício 8

Vinte componentes eletrônicos foram submetidos a um ensaio de vida. O

ensaio tinha o tempo fixado em 1000 horas. Durante o ensaio houve 4 falhas. Os

tempos das falhas foram : 250 h, 450h, 600 h e 700 h.

Estime o MTTF e a Taxa de falhas.

Estime o MTTF com nível de confiança 95%. ( Use caso Unilateral inferior e

bilateral)

Exercício 9

Quinze equipamentos foram submetidos ao ensaio de vida. O ensaio

terminava com o surgimento da 3ª falha. Sabendo que os tempos das falhas foram

: 120 h, 890 h e 1500 h. Determine o MTBF e a taxa de falha. Estabeleça um nível

de confiança e determine o MTB e a taxa de falha com este nível de confiança.

Exercício 10

Noventa e seis componentes foram submetidos a ensaio de vida por tempo

fixado em 2000 horas. Ao final do ensaio não houve falhas. Estima a taxa de falha

e o MTTF ao nível de confiança de: a) 90% b ) 60%.

17

2.3 Modelo Normal ou Gauss

Função distribuição

∞

F( t ) = ∫0 (1/σ√ ( 2π ) e-1/2[( x-µ ) / σ ] 2 , 0 ≤ t ≤ ∞

Esta função possui variável definida entre menos infinito e mais infinito.

Como a confiabilidade geralmente é função da variável tempo, ciclos ou uma

variável positiva optou-se por definir a função de zero a infinito.

A integral para determinação de F( t ) não possui solução analítica , assim deve-se

recorrer a solução numérica e consequentemente ao uso de tabela .

Função densidade de probabilidade

_____ 2f ( t ) = (1/σ√ ( 2π ) ) e-1/2[( x-µ ) / σ ]

Os parâmetros da distribuição são µ e σ

Função confiabilidade

R ( t ) = 1- F( t )

O uso da tabela ( anexo 1) permite calcular para qualquer parâmetros µ e σ

a probabilidade de falha F ( t ) ou a confiabilidade R ( t ) = 1 – F ( t ). Para usar a

tabela deve-se calcular a variável :

z = ( t - µ) / σ

18

z é o número de desvios padrão existentes entre a média µ e o tempo t de

interesse. Com o valor de z calculado busca-se na tabela o valor da

probabilidadede falha correspondente. Desejando a confiabilidade é só subtrair da

unidade o valor obtido na tabela.

Ao utilizar a tabela do anexo 1 é preciso ter em mente que o valor de tabela

é correspondente a área que está a esquerda do valor t de interesse, conforme

mostra a área hachurada. Existem tabelas em livros e periódicos, também para a

distribuição normal, que fornecem áreas diferentes para valores t.

Estas tabelas foram construídas para que o uso seja facilitado em

aplicações específicas e podem ser usadas desde que se tenha o cuidado

adequado em relação a área de interesse. É preciso cuidado com o cabeçalho e

as notas de rodapé de tabelas porque eles orientam para ouso correto das

tabelas.

Função densidade de probabilidade normal

Função densidade normal

0

0,3

0,6

-4 -2 0 2 4

valores z

frequ

ênci

a

19

Funções confiabilidade e distribuição

O valor esperado E( t ) = µ e o valor da variância é V( t ) = σ2

Testes de hipótese para verificação do Modelo de Gauss

Teste papel de probabilidade

O papel de probabilidade normal é um dos diversos testes utilizados para

verificar a hipótese de normalidade dos dados. O teste consiste em plotar os

valores de t e F ( t ) ou de t e R( t ) . Para a plotagem dos pontos no gráfico deve-

se utilizar valores estimativos para F ( t ) ou R ( t ) a saber:

^ F = ( i - 0,5)/ n

^R ( t) = (n+0,5-i)/ n

i: é a ordem dos valores

n : é o número de valores

Após plotados os pontos, verificar se eles mostram uma tendência reta, emcaso afirmativo não se descarta a hipótese do modelo normal, caso não apresente

Funções distribuição e confiabilidade

0

0,5

1

-5 0 5

Valores z

Prob

abili

dade função distribuição

Funçãoconfiabilidade

20

uma tendência reta o modelo normal deve ser rejeitado. No anexo 1 encontra-seum modelo de papel de probabilidade. Traçando-se uma reta a sentimento entreos pontos plotados de tal forma que esta reta seja representativa da tendêncialinear é possível se estimar graficamente os valores de µ e σ .

^ ^Estimativa gráfica de µ e σ .

Utilizando o valor de F( t ) = 0,50 ou o valor de R ( t ) = 0,50 traça-se uma retahorizontal até encontrar a reta de tendência, da reta de tendência traça-se umavertical até encontrar a escala horizontal de tempos. O valor encontrado para otempo corresponde a estimativa de µ. Par encontrar σ traça-se uma reta horizontalpassando pelo valor z=1 até encontrar a reta de ajuste, deste ponto traça-se umavertical até encontrar o tempo t . A diferença entre o tempo t e o valor µ é o valorestimado do desvio padrão.

21

Exercício 11

Verificar se os dados se ajustam ao modelo normal.

Estimar graficamente µ e σ.

i Tempos F= (i-0,5)/n i Tempos F= (i-0,5)/n1 88 0,01 26 101 0,512 92 0,03 27 101 0,533 92 0,05 28 101 0,554 93 0,07 29 102 0,575 94 30 102 0,596 94 0,11 31 102 0,617 95 0,13 32 102 0,638 96 0,15 33 102 0,659 96 0,17 34 103 0,67

10 97 0,19 35 103 0,6911 97 0,21 36 104 0,7112 97 0,23 37 104 0,7313 97 0,25 38 104 0,7514 98 0,27 39 10415 98 0,29 40 105 0,7916 98 0,31 41 105 0,8117 98 0,33 42 105 0,8318 99 0,35 43 105 0,8519 99 0,37 44 105 0,8720 99 0,39 45 105 0,8921 100 0,41 46 106 0,9122 100 0,43 47 106 0,9323 100 0,45 48 106 0,9524 101 0,47 49 11325 101 0,49 50 114

22

2.3 Modelo Weibull

Este modelo foi proposto pelo sueco Waloddi Weibull. Trata-se de uma

distribuição de grande utilidade em estudos de confiabilidade.

Uma das vantagens deste modelo é sua flexibilidade pois dependendo dos

valores assumidos pelos parâmetros da distribuição o modelo pode se ajustar às

formas de modelos conhecidos.

A função distribuição é dada por;

F( t ) = 1 – exp [ - (( t - γ)/η)β] , t ≥ γ , β > 0 , η

Esta é uma função regida por três parâmetros γ, η, β.

γ : é a vida mínima

η: parâmetro de posição ou escala

β. parâmetro de forma

A função densidade é dada por:

f( t ) =[ β( t -γ )β-1/η ] exp [ - (( t - γ)/η)β]

A função confiabilidade é dada por :

R ( t ) = exp [ - (( t - γ)/η)β]

23

Exercício 12.

Construir os gráficos da função densidade , da função distribuição de

probabilidade , da função confiabilidade par os parâmetros dados.

Confiabilidade de Sistemas

Sistema série

Supondo os componentes independentes a confiabilidade do sistema é dada por:

Cs = C1. C2. C3.........Cn

Fs = 1- Cs

Sistema em paralelo

2 1 3 n

1

2

3

n

24

Supondo os componentes independentes tem-se:

Fp= F1 . F2 . F3. ...........Fn

Cp = 1- Fp

ceqii

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