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CEPUNT MATEMÁTICA
Equipo de Matemática 340
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS,
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS COMPUESTOS
1. FUNCIÓN SENO
a. Definición
Dom (Sen): “x” <-; > o IR
Ran (Sen): “Y” [-1; 1]
Gráfico de la Función SENO
Una parte de la gráfica de la función seno se repite por tramos de
longitud 2. Esto quiere decir que la gráfica de la función seno es
periódica de período 2. Por lo tanto todo análisis y cálculo del dominio
y rango se hace en el siguiente gráfico
X
Y
1
-1
-4 -2 2 4 0
Sen = {(x; y) / y = Senx}
0
1
-1
/2 3/2 2
Y
X
CEPUNT MATEMÁTICA
Equipo de Matemática 341
X 0 /2 3/2 2
Y=Senx 0 1 0 -1 0
Nota
El período de una función se representa por la letra “T”. Entonces
el período de la función seno se denota así:
b. Propiedad
Si tenemos la función trigonométrica y=Asenkx, entonces al número
“A” se le va a llamar Amplitud y el período de esta función es 2/k.
Es decir:
y = ASenkx
k
2)Senkx(T
AAmpitud
Gráfico:
Ejemplo: Graficar la función y=2Sen4x. Indicar la amplitud y el período
Solución:
y = 2Sen4x
24
2)x4Sen(T
2Ampitud
T(Senx) =2)
0
A
-A
2
k
Y
X
Amplitud
Período Tramo que se repite
CEPUNT MATEMÁTICA
Equipo de Matemática 342
Graficando la función:
2. FUNCIÓN COSENO
a. Definición
Dom (Cos): “x” <-; > o IR
Ran (Cos): “Y” [-1; 1]
Gráfico de la Función COSENO
Una parte de la gráfica de la función coseno se repite por tramos de
longitud 2. Esto quiere decir que la gráfica de la función coseno es
periodo 2. Por la tanto todo análisis y cálculo del dominio y rango se
hace en el siguiente gráfico:
Cos = {(x; y) / y=Cosx}
X
Y
1
-1
-4 -2 2 4 0
0
2
-2
2
2
Y
X
Amplitud
Período
/8 /43/8
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Equipo de Matemática 343
X 0 /2 3/2 2
Y=Cosx 1 0 -1 0 1
Nota
El período de una función Coseno se denota así:
b. Propiedad
Si tenemos la función trigonométrica y=ACoskx, entonces al número
“A” se le va a llamar Amplitud y el período de esta función es 2/k.
Es decir:
y = ACoskx
k
2)Coskx(T
AAmpitud
Gráfico:
T(Cosx) =2
0
1
-1
/2 3/2 2
Y
X
0
A
-A
2
k
Y
X
Amplitud
Período Tramo que se repite
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Equipo de Matemática 344
Ejemplo: Graficar la función y = 4Cos3x. Indicar la amplitud y el
período.
Resolución
:y = 4Cos3x
3
2)x3Cos(T
4Ampitud
Graficando la función
3. PROPIEDAD FUNDAMENTAL
a. Para la Función SENO
Si (a; b) es un punto que pertenece a la gráfica de la función y=Senx.
Entonces se cumple que: b=Sena
Período
0
4
-4
2
3
Y
X
Amplitud
/6 /3/2
0
b=Sena (a;b)
Y
X a
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Ejemplo:
Graficamos la función: y=Senx
b. Para la Función COSENO
Ejemplo: Graficamos la función: y=Cosx
0
Y
X
b=Cosa (a;b )
a
0
Y
X
1/2=Cos60º (60;1/2)
60 180º
-1=Cos180º (180º;-1)
0
=Sen120º (120º; )
Y
X 120º 270º
2
3
2
3
(270º;-1) -1=Sen270º
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Equipo de Matemática 346
I. IDENTIDAES TRIGONOMÉTRICAS
1. IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA.- Una identidad trigonométrica es
una igualdad que contiene expresiones trigonométricas que se cumplen
para todo valor admisible de la variable.
2. IDENTIDADES FUNDAMENTALES
Las identidades trigonométricas fundamentales sirven de base
para la demostración de otras identidades más complejas.
Se clasifican:
Pitagóricas
Por cociente
Recíprocas
2.1 Identidades recíprocas
Senx.cscx=1 ; x n; nZ
cosx.secx=1 ; x(2n+1)2
;nZ
Tgx.ctgx=1 ; xn2
; nZ
2.2 Identidades por división
Tgx = Senx
Cosx x (2n+1)
2
; nZ
Ctgx = Cosx
Senx x n ; nZ
2.3 Pitagóricas
Sen2x+cos2x=1 ;xR
2 2
2 2
sen x 1 cos x
cos x 1 sen x
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Tg2x+1=sec2x; x (2n+1)2
nR
2 2
2 2
sec t 1
t sec 1
x g x
g x x
ctg2x+1=csc2x; xn; nR
2 2
2 2
csc c 1
c csc 1
x tg x
tg x x
Observación
Verso de “x”:vers x = 1 – cosx
Coverso de “x”: cov x = 1 – senx
Exsecante de “x”:ex secx = secx – 1
FÓRMULAS ADICIONALES
1. 5.
2. 6.
3. 7-
4-
II. ÁNGULOS COMPUESTOS
1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE DOS ARCOS
1) sen(+) = sen.cos+cos.sen
2) cos(+) = cos.cos - sen.sen
3)
tg.tg1
tgtg)tg(
tgx + ctgx = secx . cscx
sec2x + csc2x =sec2x.csc2x
sen4x + cos4x =1–2sen2x.cos2x
(1senxcosx)2 = 2(1senx)(1cosx)
(senx + cosx)2 = 1+2senx.cosx
(senx – cosx)2 = 1–2senx.cosx
sen6x + cos6x = 1–3sen2x.cos2x
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4)
tgctg
1tgc.tgc)tg(c
2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA DIFERENCIA DE DOS
ARCOS
1) sen(-)=sen.cos - cos.sen
2) cos(-)=cos.cos + sen.sen
3)
tg.tg1
tgtg)tg
4)
tgctgc
1tgc.tgc)tg(c
¡No olvides!
sen(xy) = senx.cosy cosx.seny
cos(xy)=cosx.cosy senx.seny
ytg.xtg1
ytgxtg)yxtg(
Ejemplos:
a) Sen 75º = Sen (45º+30º) = Sen 45º Cos30º+Cos45º Sen30º
=
2
1
2
2
2
3
2
2 Sen75º =
4
26
b) Cos 16º = Cos (53º-37º) = Cos 53º.Cos37º Sen37º
=
5
3
5
4
5
4
5
3Cos 16º =
25
24
c) tg 8º = tg (53º-45º)
= º45tgº.53tg1
º45tgº53tg
=
3
73
1
3
41
13
4
Tg 8º 7
1
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Equipo de Matemática 349
PROPIEDADES
A) a senx+b cosx=22 ba .sen(x+)tal que:
22 ba
bsen
22 ba
acos
Ejemplos:
senx-cosx= 2 sen(x-45º)
senx- 3 cosx=2sen(x+60º)
B) Dada: f(x)=asenx + bcosxxR
se cumple que:
2222 ba)x(fba
Ejemplos:
- 2 senx + cosx 2
- 5 senx + cosx 5
C) Si A + B + C = k; (k Z)
Se cumple:
tgA+tgB+tgC= tgA.tgB.tgC
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Equipo de Matemática 350
Propiedades Adicionales
3. IDENTIDADES DE ÁNGULOS DOBLES
sen2x = 2senx.cos x
cos2x= cos2x -sen2x =1-2sen2x= 2cos2x -1
2
2 tgtg2
1 tg
xx
x
Ejemplos:
1. º2
ºacos.
º2
ºasen2ºasen
3. cos12º = cos26º - sen26º
2. 2
2 tg20ºtg40º
1 tg 40
4. sen4x = 2sen2x.cos2x
Fórmulas de degradación
Sumando I y II se obtiene:
( )
.
( )
.
Sen a bTg Tgb
Cosa Cosb
Sen a bCtga Ctgb
Sena Senb
2 2
2 2
( ). ( )
( ). ( )
Sen a b Sen a b Sen a Sen b
Cos a b Cos a b Cos a Sen b
Cos2x +sen2x = 1 ……………. I
Cos2x - sen2x = cos2x……………… II
2cos2x =1+cos2x
2 1 cos2cos
2
xx
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Restando I y II se obtiene:
Ejemplos:
1. xcos12
xsen2 2
3. 2cos24x=1+cos8x
2. xcos12
xcos2 2
4. 1+cos12=2cos26
Identidades auxiliares del ángulo doble
Triangulo del ángulo doble: Para determinar Razones Trigonométricas
en función de tangente.
1. Como: xtg1
xtg2x2tg
2 ,construiremos el triángulo rectángulo:
1. x4cos4
1
4
3xcosxsen 44
3. Ctgx + tgx = 2csc2x
2. x4cos8
3
8
5xcosxsen 66
4. Ctgx - tgx = 2ctg2x
1+tg x
2x
2tgx
1-tg x
2
2
2sen2x =1-cos2x
2 1 cos2sen
2
xx
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Equipo de Matemática 352
IDENTIDADES DE ÁNGULO MITAD
Como: 22sen 1 cos
2
xx
1 cossen
2 2
x x
Como: 22cos 1 cos
2
xx
1 coscos
2 2
x x
Como:
sen2tg
2 cos2
xx
x
1 costg
2 1 cos
x x
x
Como:
cos2tg
2 sen2
xx
cx
1 cos
tg2 1 cos
x xc
x
El signo de () se dependerá del cuadrante al que pertenezca el ángulo
2
x
y de la Razón Trigonométrica que la afecta.
Identidades auxiliares del ángulo mitad
1. xcos1
sen
2
xtg
2.
xsen
xcos1
2
xtg
3. xtgcxcsc2
xtg 4.
xsen
xcos1
2
xtgc
5. xcos1
xsen
2
xtgc
6. xtgcxcsc
2
xtgc
7. sen12
xcos
2
xsen 8. sen cos 1 sen
2 2
x xx
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Equipo de Matemática 353
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA VARIABLE TRIPLE
Fórmulas
Especiales:
1x2Cos2
1x2Cos2Tgxx3Tg
)1x2Cos2(Cosxx3Cos
)1x2Cos2(Senxx3Sen
Fórmulas de Degradación:
3
3
4 3 3
4 3 3
Sen x Senx Sen x
Cos x Cosx Cos x
Propiedades:
x3Tg)x60(Tg)x60(TgxTg
x3Cos)x60(Cos)x60(CosxCos4
x3Sen)x60(Sen)x60(SenxSen4
3
3
3
2
3 3 4
3 4 3
33
1 3
Sen x Senx Sen x
Cos x Cos x Cosx
Tgx Tg xTg x
Tg x
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Equipo de Matemática 354
TRANSFORMACIONES TRIGONOMETRICAS
DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO
DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA
2Senx Seny = Cos(x - y) – Cos(x + y)
2Senx Cosy = Sen(x + y) + Sen(x - y)
2Cosx Cosy = Cos(x + y) + Cos(x - y)
PROBLEMAS DE APLICACION
1. Al simplificar la expresión
sen º cos cos º senPcos cos º sen sen º
15 15
15 15
g g
g g, se obtiene:
2cos2 2
x y x ysenx seny sen
2 cos2 2
x y x ysenx seny sen
cos cos 2cos cos2 2
x y x yx y
cos cos 22 2
x y x yx y sen sen
CEPUNT MATEMÁTICA
Equipo de Matemática 355
A) 2 3 B) 2 3 C) 2 3 D) 3
2 E)
3
6
Resolución
sen ºPcos º
15
15
sen ºP tg ºcos º
15
1515
P 2 3 CLAVE: B
2. Al simplificar la expresión E =Sen²(+) + sen²- 2sen (+)
Sen.Cos, Se obtiene:
A) 1 B) sen x C) cos x D) sen2 x E) cos2 x
Resolución: Ordenando y utilizando el artificiode sumar (Cos²Sen² -
Cos²Sen²) y definición de binomio al cuadrado
= Sen²(+) – 2Sen(+) Sen.Cos+ Sen² + Cos²Sen² - Cos²Sen²
=sen(+)-Cos.Sen²+Sen²(1-Cos²), desarrollando
E = Sen²Cos² + Sen² . Sen²= Sen²(Cos² + Sen²) = Sen²
CLAVE: E
3. Si:
sec
sec
4 , el valor de tg tg g , es:
A) 3
5 B)
3
5 C)
2
5 D)
2
5 E)
5
2
Resolución
sec
sec
cos
cos
4, aplicando proporciones
cos cos
cos cos
5
3, desarrollando se obtiene
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Equipo de Matemática 356
cos cos
sen sen
2 5
2 3
tg tg 3
5 CLAVE: B
4. En la figura, el valor de tg , es:
A) 5
14
B) 3
7
C) 1
7
D) 3
14
E) 1
2
Resolución
5 b5 b
2 b
b
5 b5 b
2 b
b
CEPUNT MATEMÁTICA
Equipo de Matemática 357
Del gráfico 3
5tg y tg
1
5, por propiedad del ángulo
exterior del triángulo, se tiene tg tg
tg tgtg
tg tg
1, reemplazando y resolviendo
tg 5
14 CLAVE: A
5. Al simplificar la expresión
sen º cos º
Esen º cos º
3 7 3 7
8 8, se obtiene:
A) 6 B) 6 C) 3 6
4 D)
4 6
3 E) 5 6
Resolución
sen º cos ºE
sen º cos º
3 7 3 7
8 8
3 3 7 7
1 12 8 8
2 2
sen º cos º
sen º cos º
sen º cos º
Esen ºcos º cos ºsen º
3 12 3 7 7
2 2
2 45 8 45 8
7 30 7 302 3
45 82
sen ºcos º cos ºsen ºE
sen( º º)
sen º ºE
sen º
30 76 6
37
CLAVE: B
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Equipo de Matemática 358
6. Si: senx 1
sen5x 5 ,el valor de M tg3 ctg2 g , es:
A) 5 B)1/5 C) 1 D) 2/3 E)3/2
Resolución
senx 1
sen5x 5senxsen5x 5
gM tg3x ctg2x gsen3x cos2x
cos3x sen2x
g
g
2 sen3x cos2xM
2cos3x sen2x
sen5x senx
sen5x sen x
5senx senxM
5senx senx 6senx 3
4senx 2
CLAVE: E
7. Si: 3 3 1
senx cos x sen x cosx8
El valor de2H sen 4x 1 , es:
A)1/4 B)5/4 C)5/8 D)3/4 E) 2/5
Solución: 3 3 1
senx cos x sen x cosx8
2 2 1senx cosx cos x sen x
8
12senx cosx cos2x .2
8
12sen2x cos2x 2
4 ≫
1sen4x
2
2E sen 4x 1 11
4
5E4
CLAVE. B