ÇEMBER-DAİREKONU ANLATIMI

ÇEMBER-DAİREÇEMBERDüzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu kümeye çember denir.

Oyarıçap

çap

merkezA B

Yandaki çember de; O noktası çemberin merkezi; [OB] doğru parçası, çemberin yarı çapı, merkezden geçen [AB] doğru parçası da çemberin çapıdır. Yarı çapın uzunluğu r veya R ile gösterilir.lOB l= r veya l OA l= R dır.Çap, yarıçapın iki katı uzunluktadır. lAB l= 2R

ÇEMBER-DAİREÇEMBER

Örnek

O merkezli ve r yarıçaplı çember Ç(o,r) ,

A merkezli ve 5cm çaplı çember Ç(A,5cm) biçiminde belirtilir.

Ç(M,7cm) verilirse, yarıçap uzunluğu 7cm olan M merkezli çember anlaşılır.

ÇEMBER-DAİREÇEMBER

b) Çemberin Düzlemden Ayırdığı BölgelerYandaki şekilde görüldüğü gibi; bir çember, bulunduğu düzlemi iki bölgeye ayırır. Bunların birisi çemberin iç bölgesi diğeri de çemberin dış bölgesidir.

Şekil incelenirse; A,B,C noktalarının O merkezine uzaklıkları farklıdır.

p

B

AC

çember

Dış bölge

içbölge

ÇEMBER-DAİREÇEMBERb) Çemberin Düzlemden Ayırdığı Bölgeler

1-A noktası çember üzerindedir. Çemberin elemanı olan her bir noktanın çemberin merkezine olan uzaklığı, yarıçapının uzunluğuna eşittir. Yani, lOA l = r dir.lOA l = r bağıntısını sağlayan a gibi noktalar, çemberi oluşturur.2- C noktası, çemberin iç bölgesindedir. İç bölgenin elemanı olan her bir noktanın çemberin merkezine olan uzaklığı, yarıçapının uzunluğundan küçüktür. lOC l < r bağıntısını sağlayan c gibi noktalar, iç bölgeyi oluşturur.

Bu noktaların bulundukları yere göre merkeze uzaklıklarının r yarıçapı ile karşılaştırılması şöyledir;

ÇEMBER-DAİREÇEMBERb) Çemberin Düzlemden Ayırdığı Bölgeler3- B noktası, çemberin dış bölgesindedir.

Dış bölgenin elemanı olan her bir noktanın çemberin merkezine olan

uzaklığı, yarıçapının uzunluğundan büyüktür.

lOBl > r bağıntısını sağlayan B gibi notalar, çemberin dış bölgesini

oluşturur.

ÇEMBER-DAİREÇEMBERc)Çemberde; Kesen, Kiriş, Teğet ve Yay

d

N

M

Tk A

yaykesen

kiriş

teğet

• Bir doğrunun çemberle iki ortak noktası varsa, bu doğruya, çemberin keseni denir.

d doğrusu kesendir.• Çemberin elemanı olan herhangi ikinoktasını birleştiren doğru parçasına, çemberin

kirişi denir.[ MN ] bir kiriştir.• Çemberle k doğrusun sadece bir ortaknoktası varsa; bu doğruya, çemberin teğeti

denir. Buna göre, AT doğrusu çemberin teğetidir.

• Teğetin çemberle ortak olannoktasına, değme noktası denir. • Kirişin çemberden ayırdığı çemberparçasına, yay adı verilir. Kiriş çemberi ikiye

ayırır.

ÇEMBER-DAİREÇEMBERBir Doğrunun Çembere Göre DurumlarıBir doğru ile bir çember, üç durumda olabilir.

d

OB

r

2)

d

O

A

r

teğet

1)

d

O

A BE

r3)

kiriş

l OH l > r, d n Ç = { }

Doğru ile çember kesişmez.

l OA l= r, d n Ç ={ A }

Doğru, çembere teğettir.

l OE l < r, d n Ç = { A,B }

Doğru, çemberin kesimidir.

Teğet, değme noktasından geçen yarıçap doğrusuna dik olur.

ÇEMBER-DAİREÇEMBERKiriş Özellikleri1- AB kirişinin orta noktası H dır. Çemberin merkeziyle H noktasından geçen doğru d doğrusudur.l OA l = l OB l olduğundan, OAB üçgeniikizkenar üçgendir.[OH] da bu ikizkenar üçgenin tabana ait kenar ortayıdır.Çemberde kirişin orta noktasının merkeze birleştiren doğru, kirişe diktir. Kirişin orta noktası merkezden geçer.d diktir [AB] olur.

O

F

A HE

d

B

ÇEMBER-DAİREÇEMBERKiriş Özellikleri2-Bir çemberde, eş kirişler merkezden eşit uzaklıktadır. Merkezden eşit uzaklıktaki kirişlerin uzunlukları birbirine eşittir.

O

A E B

D

EF

ÇEMBER-DAİREÇEMBERKiriş ÖzellikleriBir çemberde; •Uzun olan kirişin merkeze olan uzaklığı, kısa olanın kirişinmerkeze uzaklığından az olur.•Kiriş, boyu uzadıkça merkeze yaklaşır.•Merkeze uzaklığı sıfır olan (merkezden geçen) kiriş enbüyük kiriştir.

O halde; çap, çemberin en büyük kirişidir.

ÇEMBER-DAİREÇEMBERÇemberde Yaylar ve AçılarÇemberde Merkez ve Çevre Açılar Merkez Açı;Köşesi çemberin merkezinde bulunan açıya, merkezi açı; merkezi açının iç bölgesinde kalan yay parçasına da bu açının gördüğü yay denir.Çemberde; merkezi açının ölçüsü,gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.

ÇEMBER-DAİREÇEMBERÇemberde Yaylar ve Açılar

O

B

AMerkez açı

Merkez açının gördüğü yay

Şekildeki AB nin ölçüsü, s(AB) yayı biçiminde gösterilir. Değeri, AOB nin ölçüsüne eşittir.

S(AOB)=S(AB) olur.

AB nın uzunluğu ise, l AB l yayı biçiminde gösterilir.

l AB l=2cm dir. Bir yayın uzunluğu denildiğinde, uzunluk birimi olarak değeri; yayın ölçüsü denildiğinde ise, açı ölçüsü birimi olarak değeri anlaşılmalıdır. İki ifadenin birbirinden farklı olduğuna dikkat etmek gerekir.

Bu nedenle, s(AB)≠l AB l olur.

ÇEMBER-DAİREÇEMBERÇevre Açı

Köşesi çember üzerinde olan ve kenarları da köşesi dışında farklı birer noktada çemberi kesen açıya denir.

Bu açının iç bölgesinde kalan yay parçasına da çevre açının gördüğü yay adı verilir.

Bir çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.

S(DEF)= S(DF)/2 olur.

O

D

F

EÇevre açı

Çevre açının gördüğü yay

ÇEMBER-DAİREÇEMBERMerkez Açı ve Çevre Açının Özellikleri

1-Bir çemberde; uzun olan yayı gören merkez açının ölçüsü, kısa yayı görenin ölçüsünden daha büyüktür.

2-Bir çemberde, eş yayları gören merkez açıların ölçüleri eşittir.

3-Bir çemberde, aynı veya eş yayları gören çevre açıların ölçüleri birbirine eşittir.

4-Bir çemberde çapı gören çevre açısının ölçüsü 90 derecedir.

5-Bir çemberde; aynı yayı gören çevre açının ölçüsü, merkez açının ölçüsünün yarısına eşittir.

ÇEMBER-DAİREDAİREDairenin Çevresi

Bir çemberde; çevre uzunluğunun çap uzunluğuna bölümüyle bulunan sabit sayıya, П ( pi ) sayısı denir.

Dairenin yarıçapını r, çevre uzunluğunu Ç ile gösterirsek

∏ = Ç/2r ≈ 3,14 olur.

Çemberin uzunluğu çapın uzunluğu ile ∏ sayısının çarpımına eşittir.

Ç = 2∏r olur.

ÇEMBER-DAİREDAİREDairenin Çevresi ÖrnekÇevresinin uzunluğu 88cm olan çemberin yarıçapı ve çapının uzunluğunu bulalım.Cevap: ç = 2 ∏r 88 = 2 x 22/7 x r ise, r = 14 cm dir. çap = 2r ise 2 x 14 = 28 cm bulunur.

ÇEMBER-DAİREDAİREDairenin Alanı

Yarıçapının uzunluğu r = 6 birim olan çemberi ve kenarları bu çembere teğet olan ABCD karesini çizelim;

ABCD karesi; yandaki gibi birim karelere ayrılırsa; bu birim karelerden, yaklaşık 113 tane bulunur.

A

D

B

C

Bir dairenin alanı yarıçap uzunluğunun karesine

bölünürse, bölüm; 113 / 36 ≈ 3,14 olur.

Bu dairenin alanı yarıçap uzunluğunun karesine bölünürse, yaklaşık olarak 3,14 sayısı bulunur. Öyleyse;

Dairenin alanı, ∏ sayısı ile yarı çap uzunluğunun karesinin çarpımına eşit olur. A = ∏ r²

ÇEMBER-DAİREDAİREDairenin Alanı

Örnek 1

Yarıçapının uzunluğu r = 20 cm olan dairenin alanını bulalım.

A = ∏. r²

A = 3,14 . 20² = 3,14 . 400

A = 1256 cm² dir.

ÇEMBER-DAİREDAİREDairenin Alanı

Örnek 2-Çevresinin uzunluğu 31,4 olan dairenin alanını bulalım.

Ç = 2 ∏ r

31,4 = 2 . 3,14 . r ise,

r = 31,4 / 2 . 3,14 = 5 cm olur.

Yarıçapının uzunluğu 5 cm olan dairenin alnını ise,

A = ∏. r²

A = 3,14 . 5²

A = 3,14 . 25

A = 78.5 cm ² dir.

ÇEMBER-DAİREDAİREDairenin Alanı

Örnek 3- Yarıçapının uzunluğu r = 10 cm olan bir dairede, 72° lik daire diliminin alanını bulalım:

Dairenin iki yarıçapı arasında kalan alan parçasına, dairenin dilimi denir.

Dairede 72° lik daire diliminden,

360 : 72 = 5 tane vardır.

Öyleyse; daire diliminin alanı, dairenin alanının

1 / 5 idir.

B

72°

10 cm

O

A

Daire dilimi

ÇEMBER-DAİREDAİREDairenin Alanı

Örnek 3

B

72°

10 cm

O

A

Daire dilimi

Dilimin alanı ;

A 3,14 . 10² 3,14 . 100 62,8 cm ² bulunur.5 5 5

ÇEMBER-DAİREDAİREDairenin Alanı

Örnek 4-Bir dairede, 45° lik dilimin alanı 39,25 cm²dir. Bu dairenin yarıçapının uzunluğunu bulalım;

Dairede 45° lik dilimden 360 : 45 = 8 tane vardır. Dairenin alanı, bu dilimin 8 katı olur.

A = 39,25 . 8

= 314 cm² dir.

A = ∏ r² olduğundan

314 = 3,14 . r² yazılır

r² = 100 ise r = 10 cm olur.

O45°

A

B