čekanja

REDOVI ČEKANJA

Ciljevi ovog poglavlja su slijedeći:

Shvatiti suštinu problema redova čekanja Naučiti klasifikaciju problema redova čekanja prema različitim kriterijima Upoznati terminologiju koja se koristi u teoriji redova čekanja Shvatiti pretpostavke za primjenu modela redova čekanja Objasniti ulogu distribucije dolazaka i vremena usluživanja Razumjeti model redova čekanja jednokanalne jednofazne strukture Upoznati model redova čekanja višekanalne jednofazne strukture Koristeći se konkretnim primjerima naučiti rješavati probleme pomoću

modela jednokanalne jednofazne strukture Na konkretnim primjerima naučiti rješavati probleme pomoću modela

višekanalne jednofazne strukture

6.1. POJAM REDOVA ČEKANJA

Problem redova čekanja javlja se u situacijama:- kada izvjesne jedinice (klijenti) kojima je potrebna usluga moraju čekati

prije nego što budu uslužene i- kada uslužno mjesto mora čekati klijente koje treba uslužiti.

Uzroci formiranja reda čekanja su:- slučajni dolasci klijenata i- vrijeme usluživanja koje je najčešće slučajna promjenljiva.

Teorija redova čekanja (repova čekanja, teorija masovnog opsluživanja) počela se masovnije koristiti poslije II svjetskog rata. Postoji širok dijapazon problema koji se mogu prikazati općim modelom redova čekanja. Uvijek postoje klijenti (ljudi, mašine, prevozna sredstva, telefonski pozivi i sl.) koji traže uslugu nekog kapaciteta ili radnog mjesta. Česte situacije u kojima se javljaju redovi čekanja prikazane su u tabeli 6.1.

3

2 Stohastički modeli u poslovnom odlučivanju

Tabela 6.1. Problemi redova čekanja

Kao posljedica formiranja reda čekanja uglavnom se javljaju dvije pojave, odnosno dvije vrste gubitaka:

- klijenti, s obzirom na kapacitet uslužnog mjesta, moraju čekati na uslugu što uzrokuje gubitke u vremenu i novcu zbog čekanja klijenata i

- uslužna mjesta, s obzirom na zahtjeve klijenata, ostaju neiskorištena što uzrokuje gubitke uslužnih mjesta.

Svaka od ovih dviju pojava ima suprotnu tendenciju djelovanja na ukupne gubitke u sistemu. Tako npr. ako ima malo uslužnih mjesta, onda će gubici uslužnih mjesta biti mali, dok će gubici zbog čekanja klijenata biti veliki. Međutim, ako ima puno uslužnih mjesta onda će biti mali ili nikakvi gubici zbog čekanja klijenata dok će s druge strane biti veliki gubici uslužnih mjesta. Zbog prethodnog, rješenje problema sastoji se u postizanju minimuma ukupnih gubitaka izraženih kao zbir gubitaka u redu čekanja i uslužnom mjestu.

6. Redovi čekanja 3

6.2. KLASIFIKACIJA PROBLEMA REDOVA ČEKANJA

Problemi redova čekanja se mogu klasificirati prema više kriterija od kojih ćemo u nastavku neke analizirati.

6.2.1. Klasifikacija prema izvjesnosti procesa

Prema ovom kriteriju razlikujemo: - determinističke sisteme redova čekanja i- stohastičke sisteme redova čekanja.

Kod determinističkih sistema redova čekanja osnovne veličine (intenzitet dolazaka klijenata i vrijeme usluživanja) su unaprijed poznate determinističke veličine, te se za njihovo rješavanje mogu koristiti obični postupci računanja. Zbog toga se teorija redova čekanja u pravilu ne bavi determinističkim procesima. Najveći broj problema redova čekanja sadrži slučajne komponente, odnosno pretpostavlja se da su dolasci klijenata i vremena usluživanja stohastičke veličine. Teorija redova čekanja bavi se stohastičkim sistemima koje ćemo težišno i razmatrati.

6.2.2. Klasifikacija prema kompleksnosti problema

Prema ovom kriteriju razlikujemo:- jednostavne probleme redova čekanja i- kompleksne probleme redova čekanja.

Kod jednostavnih problema redova čekanja pretpostavlja se da osnovne veličine slijede neku od statističkih distribucija. Klasa modela redova čekanja, koju ćemo ovdje razmatrati, bazirana je na pretpostavkama da frekvencija dolazaka slijedi Poissonovu distribuciju, a vrijeme usluživanja negativnu eksponencijalnu distribuciju. Ona spada u klasu jednostavnih modela redova čekanja pošto matematička izvođenja i rezultirajući modeli nisu kompleksni. U situaciji kada se ne mogu unaprijed prihvatiti pretpostavke o osnovnim veličinama sistema onda se moraju koristiti druge tehnike kao što su simulacija, statističko modeliranje i sl.

6.2.3. Klasifikacija prema određenosti dužine reda čekanja

Prema ovom kriteriju razlikuju se:- beskonačni redovi čekanja i- konačni redovi čekanja.


Beskonačni redovi čekanja polaze od pretpostavke da se broj jedinica u redu može beskonačno popunjavati, odnosno dužina reda se ne ograničava. Nasuprot tome, u modelima konačnih redova dužina reda je konačna. Npr. u automehaničarskoj radionici kapaciteti ne dozvoljavaju da se u redu može naći više od 8 automobila.

6.2.4. Klasifikacija prema obliku reda čekanja

Prema ovom kriteriju razlikuju se:- problemi sa kompaktnim redovima čekanja i- problemi sa raspršenim redovima čekanja.

Kod kompaktnih redova čekanja se i vizuelno može utvrditi red čekanja (kupci na blagajni samousluge, automobili na benzinskoj pumpi, štediše u banci i sl.), dok kod raspršenih redova čekanja vizuelno uočavanje je otežano (gosti u restoranu koji čekaju da budu usluženi, mašine u pogonu koje čekaju da budu popravljene i sl.).

6.2.5. Klasifikacija prema strukturi sistema reda čekanja

Svaki sistem reda čekanja sastoji se od reda čekanja i uslužnih mjesta, tako da struktura sistema reda čekanja može biti:

- jednokanalna jednofazna,- jednokanalna višefazna,- višekanalna jednofazna i- višekanalna višefazna.

Broj kanala određuje broj uslužnih mjesta na koja klijenti dolaze iz reda čekanja, dok broj faza usluživanja klijenta determinisan je aktivnostima uslužnog mjesta (npr. naplaćivanje na šalteru samousluge i pakovanje kupljene robe - dvije faze). Grafički se struktura sistema može predstaviti kao na slici 6.1.


Slika 6.1. Strukture sistema redova čekanja

6.3. TERMINOLOGIJA REDOVA ČEKANJA

Teorija redova čekanja izgradila je specifičnu terminologiju koja se koristi:- Klijent je osoba ili predmet koji zahtijeva uslugu ili obradu. Već smo

ranije vidjeli da klijenti mogu biti kupci sa robom, vozila, mašine u kvaru, dijelovi koji montiraju i sl.

- Uslužna mjesta su radna ili neka druga mjesta na kojima se klijent uslužuje. Ukoliko više klijenata može biti usluženo istovremeno onda se govori o uslužnim mjestima sa više kanala.

- Red čekanja (rep - linija) formira se kada klijenti čekaju da budu usluženi.

- Način na koji se uzimaju klijenti iz reda čekanja na usluživanje naziva se disciplina reda. Uobičajena pretpostavka je da ko je prvi došao - prvi je i uslužen (first in - first out). U formulisanje redova čekanja mogu se uključiti i druge pretpostavke (posljednji u redu - prvi van, prioritetno raspoređivanje, slučajno odabiranje i sl.).

- Klijenti dolaze u red čekanja prema izvjesnoj distribuciji dolazaka (u konstantnim intervalima, slučajnim vremenima ili na neki drugi način). Intenzitet dolazaka klijenata (brzina dolazaka) označava prosječan broj dolazaka klijenata u jedinici vremena i označava se grčkim slovom (lambda).

- Distribucija vremena usluživanja je distribucija trajanja pojedinih usluga klijentima koje obavljaju uslužna mjesta. Intenzitet (brzina) usluživanja predstavlja prosječan broj usluga u jedinici vremena koje može obaviti svaki kanal i označava se sa grčkim slovom (mi).


6.4. OSNOVNI MODELI REDOVA ČEKANJA

U nastavku će se razmatrati modeli beskonačnih redova čekanja jednokanalne jednofazne i višekanalne jednofazne strukture sistema.

6.4.1. Pretpostavke modela

Osnovni modeli redova čekanja razvijeni su pod slijedećim pretpostavkama:- Intenzitet dolazaka klijenata slijedi Poissonovu distribuciju.- Vrijeme usluživanja slijedi negativnu eksponencijalnu distribuciju.- Intenzitet dolazaka manji je od proizvoda broja kanala u sistemu M i

intenziteta usluživanja ( < M), odnosno intenzitet dolazaka mora biti manji od stvarnog prosječnog broja usluživanja kojeg mogu obaviti svi kanali u određenom vremenu.

- Disciplina čekanja u redu je prvi došao - prvi uslužen, bez napuštanja reda.

- Broj klijenata je beskonačan.

6.4.2. Distribucija dolazaka i distribucija vremena usluživanja

Kao što je već istaknuto osnovni modeli redova čekanja polaze od pretpostavke da intenzitet dolazaka slijedi Poissonovu distribuciju, a vremena usluživanja negativnu eksponencijalnu distribuciju. Obje navedene distribucije su jednoparametarske. Prva je u terminologiji redova čekanja određena parametrom , a druga parametrom .

6.4.3. Označavanje

Osnovne oznake koje se koriste u modelima redova čekanja su:- - intenzitet dolazaka (broj dolazaka klijenata u jedinici vremena),- 1/ - vrijeme između dva uzastopna dolaska klijenata,- - intenzitet usluživanja (broj usluga u jedinici vremena),- 1/ - vrijeme usluživanja jednog klijenta (Ws),- - faktor iskorištenosti uslužnog mjesta,- M - broj kanala u sistemu,- p0 - vjerovatnoća da nema klijenata u sistemu (u redu čekanja i na

uslužnom mjestu),- pn - vjerovatnoća da se n klijenata nalazi u sistemu,- L - prosječan broj klijenata u sistemu,- Lq - prosječan broj klijenata u redu čekanja,- W - prosječno vrijeme čekanja klijenta u sistemu,


- Wq - prosječno vrijeme čekanja klijenta u redu čekanja,- P(xn) - vjerovatnoća da u sistemu nema više od n klijenata,- P(x>n) - vjerovatnoća da će u sistemu biti više od n klijenata.

6.4.4. Model jednokanalne jednofazne strukture

Osnovni parametri ovog sistema beskonačnih redova čekanja izračunavaju se na slijedeći način:

- faktor iskorištenja uslužnog mjesta ,

- prosječan broj klijenata u redu čekanja ,

- prosječan broj klijenata u sistemu ili ,

- prosječno vrijeme čekanja klijenta u redu čekanja ili

,

- prosječno vrijeme čekanja klijenta u sistemu , ili

,

- vjerovatnoća da nema klijenata u sistemu ,

- vjerovatnoća da se n klijenata nalazi u sistemu ,

- vjerovatnoća da u sistemu nema više od n klijenata ili

,

- vjerovatnoća da će u sistemu biti više od n klijenata .

6.4.5. Model višekanalne jednofazne strukture

Višekanalni sistem beskonačnih redova čekanja sa neograničenim brojem klijenata determinisan je vrijednošću slijedećih veličina:

- vjerovatnoća da u sistemu nema klijenata ,


- prosječan broj klijenata u redu čekanja ,

- prosječan broj klijenata u sistemu ,

- prosječno vrijeme čekanja klijenta u redu čekanja ,

- prosječno vrijeme čekanja u sistemu ,

- prosječan broj slobodnih kanala ,- vjerovatnoća da se n klijenata nalazi u sistemu

za

za ,

- vjerovatnoća da će klijent čekati u redu da bude uslužen

,

- vjerovatnoća da klijent neće čekati, odnosno da će odmah biti uslužen

ili .

DODATAK V: PRIMJENA MODELA REDOVA ČEKANJA

V-1. Jednokanalne jednofazne strukture

Primjer 1.: U jednoj radionici na izdavanju alata radi jedan radnik. Statističkim istraživanjem utvrđeno je da u toku jednog sata u radionicu prosječno dođe 20 montera, dok radnik na izdavanju alata prosječno uslužuje jednog montera 45 sekundi. Odrediti režim usluživanja u radionici, pretpostavljajući da dolasci montera slijede Poissonov, a trajanje izdavanja alata negativni eksponencijalni zakon vjerovatnoće? Kolika je iskorištenost alatnice? Kolika je vjerovatnoća da monter koji dođe u alatnicu ne čeka na uslugu? Kolika je vjerovatnoća da monter u trenutku dolaska u alatnicu neće zateći više od 4 montera?

Rješenje:

Intenzitet dolazaka je

montera/h.

Intenzitet usluživanja je


montera/h = 80

montera/h.

Faktor iskorištenosti uslužnog mjesta je

.

Prosječan broj montera u alatnici je

montera.

Prosječan broj montera koji čekaju u redu je

montera.

Prosječno vrijeme čekanja montera u alatnici je

h = 1 min.

Prosječno vrijeme čekanja montera u redu je

h = 0,25 min = 15 sec.

Vjerovatnoća da nijedan monter nije u alatnici (vjerovatnoća da monter koji dođe u alatnicu uopšte ne čeka) je

p0 = 1 – = 1 – 0,25 = 0,75.

Vjerovatnoća da se u alatnici ne zatekne više od 4 montera iznosi

.

V-2. Višekanalne jednofazne strukture

Primjer 2.: U jednoj samousluzi postoje 3 blagajne. Ako vrijeme usluživanja kupaca slijedi eksponencijalnu raspodjelu sa srednjom vrijednošću od 5 minuta, a kupci pristižu na blagajnu po Poissonovoj distribuciji intenzitetom od 24 kupca na sat, odrediti režim usluživanja u samousluzi. Koliko će prosječno blagajnica biti besposleno. Kolika je vjerovatnoća da se jedan kupac uslužuje ili čeka na uslugu, a kolika da se 4 kupca uslužuju ili čekaju na uslugu?

Rješenje:


Intenzitet dolazaka je

kupca/h.

Intenzitet usluživanja je

kupaca/min.

Broj kanala je M=3.

Faktor iskorištenosti uslužnog mjesta (blagajne) je

.

Vjerovatnoća da na blagajnama nema kupaca iznosi

Prosječan broj kupaca koji čekaju u redu na uslugu je

kupaca.

Prosječan broj kupaca u samousluzi je

L = Lq + = 0,889 + 2 = 2,889 kupaca.

Prosječno vrijeme koje kupac provede u redu čekanja je

h = 2,222 min.

Prosječno vrijeme koje kupac provede u samousluzi je

h = 7,222 min.

Prosječan broj slobodnih blagajnica je

.

Vjerovatnoća da se u sistemu nalazi jedan kupac je


.

Vjerovatnoća da se u sistemu nalaze četiri kupca je

.

V-3. Riješeni zadaci

1. Neka u prosjeku 120 pacijenata u toku dana (24 sata) traži uslugu jedne klinike. Neka je za pregled svakog pacijenta potrebno u prosjeku 10 minuta. U bilo kojem trenutku klinički kapaciteti omogućavaju pregled samo jednog pacijenta. Pregled jednog pacijenta od 10 minuta košta kliniku 1300 NJ, a svaki minut, ako pregled traje manje od 10 minuta košta kliniku 100 NJ.

Izračunati i objasniti sve karakteristike prethodno definisanog sistema masovnog usluživanja. Ako bi se smanjio srednji broj pacijenata u redu čekanja na 0,5 koliko bi to koštalo kliniku?

Rješenje:

= 5 pacijenata/h

= 6 pacijenata/h

pacijenata

pacijenata

h = 50 min

= 60 min

Smanjenje srednjeg broja pacijenata u redu čekanja na 0,5


pacijenata/h.

Prema tome, vrijeme trajanja usluge smanjeno je sa

min/pacijentu

na

min/pacijentu.

Tako troškovi smanjenja vremena trajanja pregleda po jednom pacijentu (za 4 minute) iznose

1300 + 4100 = 1700 NJ/pacijentu.

2. Na benzinskoj stanici postoji samo jedna pumpa iz koje se vozila snabdijevaju gorivom. Na osnovu statističkih istraživanja utvrđeno je da u toku jednog sata na benzinsku pumpu prosječno dođe 60 vozila, dok snabdijevanje vozila gorivom prosječno traje 0,5 minuta.

Odrediti režim usluživanja benzinske stanice pretpostavljajući da dolasci vozila slijede Poissonov, a trajanje servisa eksponencijalni zakon vjerovatnoće. Kolika je iskorištenost benzinske pumpe? Kolika je vjerovatnoća da vozilo koje dođe na stanicu uopšte ne čeka na uslugu? Kolika je vjerovatnoća da vozilo u trenutku dolaska na stanicu zatekne jedno vozilo na stanici, a kolika da ne zatekne više od 2 vozila? Kolika je vjerovatnoća da će vozilo u trenutku dolaska na stanicu zateći više od 3 vozila u sistemu?

Rješenje:

vozila/h = 1 vozilo/min

min/vozilu vozila/min

- pumpa je iskorištena 50%.

Prosječan broj vozila na benzinskoj pumpi je

L = .


Prosječan broj vozila koji čekaju na uslugu je

.

Prosječno vrijeme koje vozilo provede u sistemu je

min.

Prosječno vrijeme čekanja vozila je

min.

Vjerovatnoća da vozilo kada dođe na stanicu ne čeka na uslugu je

p0 = 1- = 1-1/2 = 0,5 (50%).

Vjerovatnoća da vozilo kada dođe na stanicu zatekne jedno vozilo na stanici je

p1 = p0 = 1/21/2 = 0,25 (25%).

Vjerovatnoća da vozilo u trenutku dolaska na stanicu ne zatekne više od 2 vozila je

0,875 (87,5%).

Vjerovatnoća da će se na stanici zateći više od 3 vozila je

0,0625 (6,25%).

3. Jedan pogon sastoji se od sličnih automatskih mašina o čijem održavanju brigu vode tri mašinbravara. Svaki od mašinbravara može samostalno vršiti popravke automatskih mašina i prosječno može popraviti 10 mašina u toku mjeseca. Mjesečno se prosječno kvari 15 mašina.

Utvrditi režim rada ekipe mašinbravara. Koliko će prosječno mašinbravara biti besposleno? Kolika je vjerovatnoća da se dvije mašine popravljaju ili čekaju na popravku, a kolika da se četiri mašine popravljaju ili čekaju na popravku? Kolika je vjerovatnoća da će mašina koja se pokvari morati da čeka na popravku, a kolika da će se odmah popravaljati.

Rješenje:

λ = 15 kvarova/mjesec

μ = 10 kvarova/mjesec

M = 3


Prosječan broj mašina u sistemu je

.

Prosječno vrijeme koje mašina provede u redu čekanja je

mjeseci.

Prosječno vrijeme koje mašina provede u sistemu je

mjeseci.

Prosječan broj slobodnih mašinbravara je

.

Vjerovatnoća da se u sistemu nalaze dvije mašine je

.

Vjerovatnoća da se u sistemu nalaze četiri mašine je

.

Vjerovatnoća da će mašina morati da čeka u redu je

0,237.

Vjerovatnoća da će se mašina odmah moći popravljati je suprotna vjerovatnoća, tj.


ili

.

4. Na liniji punjenja kisele vode u staklene boce pred mašinom za etiketiranje formira se red čekanja. Naime, kapacitet punjenja je 720 boca na sat, a mašina etiketira jednu bocu prosječno za 2,5 sekundi. Zbog uskog grla etiketiranja tvornica gubi po svakoj boci u redu čekanja 0,5 NJ u toku jedne minute.

U cilju rješavanja ovog problema razmatra se alternativna nabavka nove mašine za etiketiranje čiji je kapacitet 28 boca u minuti, a nabavna cijena 2000000 NJ. Po kojoj najnižoj cijeni bi se morala prodati stara mašina da bi se isplatilo nabaviti novu mašinu za etiketiranje.

Napomena: režim rada linije punjenja i etiketiranja je 5 radnih dana sedmično u jednoj smjeni od 8 sati. Računati sa 52 sedmice godišnje.

Rješenje:

Prvo ćemo utvrditi godišnje troškove postojećeg stanja:

= 720 boca/h = 12 boca/min

sec/boci 24 boce/min

.

Prosječni troškovi koji nastaju u minuti po svakoj boci u redu čekanja su

Tm1 = Lq∙C = 1/4 NJ/min.

Godišnji troškovi iznose

TG1 = 1/4∙60∙8∙5∙52 = 31200 NJ.

Sada utvrđujemo godišnje troškove ako se izvrši nabavka nove mašine

= 720 boca/h = 12 boca/min

28 boce/min


Tm2 = Lq∙C = 9/56 NJ/min

TG2 = 9/56∙60∙8∙5∙52 = 20057 NJ.

Prodajna cijena stare mašine (PC) zavisi od troškova i nabavne cijene nove mašine (NC), tako da mora biti zadovoljen uslov

PC + TG1 > NC + TG2

pa je

PC + TG1 > NC + TG2

PC > NC + TG2 – TG1

PC > 2000000 + 20057 - 31200

PC > 1988857 NJ.

Prema tome, minimalna prodajna cijena prve mašine je 1988857 NJ.

5. Jedno preduzeće koje ima dvije različito locirane organizacione jedinice želi riješiti problem održavanja voznog parka izgradnjom vlastite radionice za održavanje. U predinvesticijskoj studiji izdiferencirale su se dvije alternative:

- izgraditi jednu centralnu radionicu ili- pri organizacionim dijelovima izgraditi manje radionice istog tipa.

Statistički je utvrđeno da se u svakoj organizacionoj jedinici mjesečno kvari po 20 vozila. Ako bi se gradila centralna radionica ona bi mogla vršiti 50 popravaka mjesečno. Ako bi se, pak, gradile dvije dislocirane radionice pri organizacionim jedinicama, onda bi kapacitet svake od njih bio 30 popravaka mjesečno. Ukupni planirani mjesečni troškovi centralne radionice za održavanje vozila iznose 24106 NJ. Ako bi gradili dvije, dislocirane radionice, onda se vozila iz jedne organizacione jedinice ne bi mogla slati na popravak u drugu radionicu, već bi se vršila popravka samo vlastitih vozila. Ukupni planirani mjesečni troškovi za svaku radionicu bi iznosili po 10106 NJ. Procijenjeno je da bi gubici nastali zbog neangažovanja jednog vozila iznosili 106 NJ mjesečno.

Na osnovu komparacije ukupnih mjesečnih troškova za obje varijante (izgradnje jedne centralne radionice ili dvije manje) utvrditi koja je varijanta povoljnija.

Rješenje:

Varijanta I - izgradnja centralne radionice:

= 2∙20 vozila/mjesec = 40 vozila/mjesec

50 vozila/mjesec

Prosječan broj vozila koja se ne koriste je


.

Planirani mjesečni troškovi centralne radionice su

Tp = 24∙102 NJ.

Troškovi neangažovanja vozila su

T1 = 106 NJ.

Mjesečni troškovi neangažovanja vozila su

Tm = L∙T1 = 4∙106 NJ.

Ukupni mjesečni troškovi u slučaju izgradnje centralne radionice bi bili

24∙106 + 4∙106 = 28∙106 NJ.

Varijanta II - izgradnja dvije manje radionice:

Kako se vozila ne mogu slati iz jedne radionice u drugu, radi se o dva jednokanalna sistema. Pošto su isti parametri za obje jedinice utvrdićemo mjesečne troškove samo za jednu jedinicu.

= 20 vozila/mjesec

30 vozila/mjesec

Prosječan broj vozila koja se ne koriste je

.

Planirani mjesečni troškovi jedne radionice su

Tp = 10∙102 NJ.

Mjesečni troškovi neangažovanja vozila su

Tm = 2∙106 NJ.

Ukupni mjesečni troškovi izgradnje jedne radionice bi bili

NJ.

a za obje radionice

NJ.


Pošto je TI > TII, opravdano je izgraditi dvije dislocirane radionice za popravak vozila.

6. U jednoj tvornici postoji alatnica iz koje mehaničari podižu i vraćaju alat koji im je potreban za izvršenje radnih zadataka. Dolasci mehaničara u alatnicu dešavaju se u slučajnim vremenskim trenutcima i slijede Poissonovu distribuciju sa prosječnim brojem od 20 dolazaka na sat. U alatnici postoji više šaltera na kojima radi po jedan izdavač alata. Srednje vrijeme usluživanja jednog mehaničara je slučajna veličina koja slijedi eksponencijalni zakon vjerovatnoće sa brzinom usluživanja od 10 mehaničara na sat.

Vrijeme koje mehaničari provedu u redu čekanja i vrijeme u toku koga je izdavač alata nezaposlen predstavljaju čisti gubitak. Bruto LD mehaničara po radnom danu je 10000 NJ, a izdavača alata 6400 NJ. Pri kom broju izdavača alata su gubici, izraženi u zavisnosti od bruto LD mehaničara i izdavača alata, najniži? Dnevno se radi u jednoj smjeni po 8 sati.

Rješenje:

λ = 20 mehaničara/h

μ = 10 mehaničara/h

ρ = 2

Da bismo odredili broj izdavača alata pri kome su ukupni gubici, bruto LD mehaničara i izdavača alata, najmanji potrebno je izračunati prosječno vrijeme čekanja mehaničara u redu za različit broj izdavača alata M=1,2,3,…. Pošto za M=1 i M=2 nije zadovoljen uslov <M i došlo bi do zastoja zbog bržeg dolaska klijenata, radimo za M=3,4,….

M=3

Prosječno vrijeme koje mehaničar čeka na usluživanje

h.

U toku smjene od 8 sati u alatnicu prosječno dođe

mehaničara.

Ukupno vrijeme potrebno za usluživanje ovih mehaničara je

h.


Pošto u alatnici rade 3 radnika, vrijeme njihovog neangažovanja u toku dana iznosi

3∙8 – 16 = 8h.

Ukupno izgubljeno vrijeme mehaničara u redu čekanja je

= 7,11 h.

Bruto LD mehaničara je

10000 NJ/dan = 1250 NJ/h.

Bruto LD izdavača alata je

6400 NJ/dan = 800 NJ/h.

Prema tome, ukupni dnevni gubici bruto LD izdavača alata i mehaničara pod uslovom da rade 3 izdavača alata iznose

NJ.

M=4

h.

Broj mehaničara koji u toku smjene dođe u alatnicu je 160.

Ukupno vrijeme neangažovanja mehaničara je

= 1,39 h.

Vrijeme usluživanja svih mehaničara u toku smjene je

= 16 h.

Vrijeme neangažovanja izdavača alata je

4∙8 – 16 = 16 h.

Ukupni dnevni gubitci bruto LD iznose

NJ.


M=5

h.

Ukupno vrijeme neangažovanja mehaničara je

= 0,32 h.

Vrijeme neangažovanja izdavača alata je

5∙8 – 16 = 24 h.

Ukupni dnevni gubitci bruto LD iznose

NJ.

Možemo primijetiti da bi dalje povećanje broja izdavača alata samo povećalo ukupne gubitke jer se oni mnogo brže povećavaju zbog povećanja broja izdavača nego što se smanjuju zbog skraćenja vremena neangažovanja mehaničara. Prema tome, ekonomski je opravdano da se zaposle 4 izdavača alata.

7. Hemijski institut dobio je zadatak da izvrši ispitivanje sadržaja kuhinjske soli u otpadnim vodama jedne tvornice. Odlučeno je da se u toku 24 sata prosječno uzme 216 uzoraka. Kapaciteti laboratorije ne dozvoljavaju istovremenu analizu dva ili više uzoraka. Troškovi analize jednog uzorka u trajanju od 4 minute su 2000 NJ, a ako analiza traje manje od 4 minute onda svaki minut donosi uštedu od 300 NJ.

a) Potrebno je odrediti režim usluživanja ovog sistema. Kolika je vjerovatnoća da će uzorak u trenutku donošenja u labaratoriju zateći više od tri uzorka u laboratoriji.

b) Organizacionim mjerama u laboratoriji smanjilo se vrijeme trajanja analize. Utvrđeno je da se prosječan broj uzoraka koji čekaju analizu smanjio na 0,5. Za koliko su se smanjili troškovi analize jednog uzorka nakon sprovedenih organizacionih mjera?

Rješenje:

a)

λ = 216 uzoraka /dan = 9 uzoraka/h

μ = 4 min/uzorku = 1/4 uzorka/min = 15 uzoraka/h

ρ = 3/5 < 1


h

h

(12,96%).

b)

Lq = 0,5

Novi faktor iskorištenosti je .

Vrijeme trajanja analize jednog uzorka, odnosno Ws je

uzoraka/h

h/uzorku = min/uzorku = min/uzorku.

Vrijeme trajanja analize jednog uzorka smanjilo se za

min/uzorku.

Troškovi analize smanjili su se za

2/3∙300 = 200 NJ

i iznose

2000 – 200 = 1800 NJ/uzorku.

8. U jednoj fabrici postoji veliki broj istovrsnih mašina koje se kvare na slučajan način sa prosječnim intenzitetom od 5 kvarova po danu. Troškovi nerada jedne mašine iznose 40000 NJ dnevno. Za održavanje prijavila su se tri stručna radnika. Prvi radnik traži 3000 NJ/h, dok jedan kvar može da otkloni prosječno za 48 minuta. Drugi radnik traži 2500 NJ/h i jedan kvar može da otkloni


prosječno za jedan sat, a treći radnik traži 5000 NJ/h i jedan kvar može prosječno da otkloni za 30 minuta.

Potrebno je odrediti kojeg radnika zaposliti da bi se postigli minimalni ukupni troškovi, ako se dnevno radi 8 h.

Rješenje:

I radnik:

λ = 5 mašina/dan

μ = 48 min/mašini = 1/48 mašina/min = 8∙60/48 mašina/dan = 10 mašina/dan

ρ = 1/2 < 1.

Prosječan broj neangažovanih mašina je

.

Troškovi angažovanja I radnika su

T1 = 1∙40000 + 3000∙8 = 64000 NJ.

II radnik:


ρ = 5/8 < 1

NJ.

III radnik:


ρ = 5/16 < 1

NJ.

Pošto je T3 < T1 < T2 najmanje troškove bi imali ako bi angažovali trećeg radnika.

9. U jednoj automehaničarskoj radionici potrebno je zaposliti određen broj radnika koji bi vršili servisiranje automobila. Prosječno vrijeme između dva dolaska u radionicu je 20 minuta. Radnik može da otkloni kvar prosječno za 15


minuta. Pretpostavljajući da dolasci slijede Poissonov, a trajanje servisiranja eksponencijalni zakon vjerovatnoće, potrebno je odrediti broj radnika koji će raditi na servisiranju pod uslovom da se ostvare minimalni ukupni troškovi. Poznato je da su troškovi nerada jednog radnika 2000 NJ/h, dok su troškovi čekanja jednog vozila 3000 NJ/h.

Rješenje:

λ = 20 min/vozilo = 1/20 vozila/min = 60/20 vozila/h = 3 vozila/h

μ = 15 min/vozilo = 1/15 vozila/min = 60/15 vozila/min = 4 vozila/h

ρ = 3/4 < 1

Funkcija troškova u zavisnosti od broja kanala M je

T = (M–)T1 + Lq·T2 = (M–3/4)·2000 + Lq·3000

M=1

NJ

M=2

NJ

M=3

p0 = 8/17

Lq = 1/68

NJ

Pošto za M = 4,5,… troškovi rastu, najpovoljnije bi bilo zaposliti 2 radnika jer ćemo tako imati najniže ukupne troškove.

V-4. Zadaci sa ispitnih rokova


1. Dolasci u jednu telefonsku kabinu odvijaju se prema Poissonovoj distribuciji sa prosječnim vremenom od 8 minuta između dva dolaska. Trajanje jednog poziva ponaša se po eksponencionalnoj distribuciji sa prosječnom vrijednošću od 3 minute.

a) Kolika je vjerovatnoća da će osoba koja je pristigla morati da čeka?b) Kolika je srednja dužina reda čekanja?c) Pošta je odlučila da instalira i drugu kabinu ako bi utvrdila da osoba

koja je pristigla mora čekati najmanje 2 minute. Na koliko mora narasti broj osoba koje pristižu u red čekanja da bi se uvela druga kabina?

2. Pogon ima jednog mašinbravara za otklanjanje kvarova na mašinama. Pogon raspolaže sa tri grupe mašina: 20 mašina A, 30 mašina B i 30 mašina C. Svaka grupa mašina prosječno u toku mjeseca (30 dana) ima 20 kvarova za čije je otklanjanje prosječno potrebno 2,5 sati rada na kvaru.

a) Odrediti režim rada mašinbravara i troškove koji nastaju zbog čekanja mašina na otklanjanje kvara, ako vrijeme nerada mašine dnevno (radni dan traje 8 sati) košta fabriku prosječno 2000 NJ, a troškovi neangažovanja mašinbravara 850 NJ.

b) Odrediti vjerovatnoću da u momentu kada se neka mašina pokvari na popravci neće zateći više od dvije mašine, kao i vjerovatnoću da će zateći više od tri mašine.

3. U pošti postoji jedan šalter za rad sa strankama. U toku jednog sata on može da usluži prosječno 25 klijenata. Na šalter u toku jednog sata dođe 20 klijenata da traži uslugu. Smatrajući da dolasci klijenata slijede Poissonov, a trajanje usluge eksponencijalni zakon vjerovatnoće utvrditi:

a) Režim rada ovog šaltera.b) Vjerovatnoću da će klijent u momentu dolaska pred šalter zateći tačno

dva, odnosno više od dva klijenta.c) Izračunati ukupne troškove (za jedan sat) pri ovom režimu, ako su

troškovi nerada šaltera 30 NJ/h, a troškovi čekanja jednog klijenta u redu 12 NJ.

4. Supermarket ima pet kasirnih mjesta za usluživanje kupaca. Kupci dolaze na kasu slijedeći Poissonovu distribuciju sa prosječnom brzinom od 120 kupaca na sat. Trajanje usluge slijedi eksponencijalnu distribuciju. Prosječna brzina usluživanja svake kase je 30 kupaca na sat. Troškovi jednog kasirnog mjesta su 25 NJ/h. Zbog mogućnosti gubljenja kupaca, procjenjeni su troškovi od 5 NJ po satu koji kupci provedu čekajući pred kasom.

a) Utvrditi režim rada kasirnih mjesta.b) Ispitati opravdanost uvođenja još jednog kasirnog mjesta.

5. Laboratorija u toku radnog dana (8 sati) prosječno vrši analizu 96 uzoraka kako bi utvrdila njihov hemijski sastav. Uzorci dolaze na analizu slijedeći Poissonovu distribuciju, a vrijeme trajanja usluge slijedi eksponencijalni zakon vjerovatnoće. Prosječno vrijeme trajanja analize jednog uzorka je 3 minute, nije


moguća istovremena analiza dva ili više uzoraka. Troškovi analize jednog uzorka u trajanju od 3 minute iznose 2 NJ. Svako smanjenje trajanja analize ispod 3 minute izaziva dodatne troškove u iznosu od 0,5 NJ po minuti.

Potrebno je odrediti:a) Režim rada laboratorije.b) Za koliko će se povećati troškovi analize jednog uzorka, ako se

prosječan broj uzoraka koji čekaju na analizu svede na 0,6.

6. U pošti postoji jedan šalter za uplate novca i on u toku jednog sata prosječno usluži 30 klijenata. Između dva uzastopna dolaska klijenata prosječno protekne 3 minute. Pod pretpostavkom da dolasci klijenata slijede Poissonovu, a vrijeme trajanja usluge eksponencijalni zakon vjervatnoće, potrebno je:

a) Odrediti režim rada ovog šaltera.b) Utvrditi ukupne dnevne troškove pri ovom režimu, ako su troškovi

nerada šaltera 15 NJ/h i troškovi čekanja jednog klijenta u redu 0,5 NJ/h. Šalter radi 8 sati u toku dana.

7. Autopraonica ima dvije mašine za vanjsko pranje vozila, a svaka od njih može da opere vozilo prosječno za 5 minuta. Vozila dolaze u autopraonicu svake 4 minute. Ako mašina nije u pogonu onda se javljaju troškovi neangažovanja radnika zaposlenih na mašini i oni iznose 0,10 NJ/min. Ako vozilo čeka u redu onda se javljaju i troškovi čekanja vozila i oni iznose 0,05 NJ/min.

Polazeći od pretpostavke da dolasci vozila slijede Poissonov, a trajanje pranja eksponencijalni zakon vjerovatnoće odrediti:

- režim rada autopraone,- vjerovatnoću da će vozilo u momentu dolaska u autopraonicu zateći

jedno vozilo u autopraonici,- vjerovatnoću da će vozilo u momentu dolaska u autopraonicu zateći dva

vozilo u autopraonici,- vjerovatnoću da će vozilo da čeka na pranje,- vjerovatnoću da vozilo neće da čeka na pranje i- ukupne mjesečne troškove, ako pretpostavimo da se dnevno radi po 10

sati i da u mjesecu imamo 25 radnih dana.

8. Na benziskoj stanici postoji 5 pumpi za sipanje goriva. U jednoj minuti prosječno na stanicu dođe 2 vozila. Dolasci vozila slijede Poissonovu distribuciju. Svaka pumpa prosječno može da usluži 30 vozila/h. Troškovi rada jedne pumpe su 25 NJ/h. Ako vozilo dugo čeka ispred pumpe postoji mogućnost da odustane od sipanja goriva. Tako se procjenjuju troškovi čekanja jednog vozila ispred pumpe u iznosu od 5 NJ/h.

Utvrditi režim rada benzinske pumpe i ispitati opravdanost uvođenja još jedne pumpe.

čekanja

Documents