立体の表面積と体積

１ 立体の表面積

ポイント：面積の意味，単位が理解できる

広さのことを面積といいます。

１辺が１ｃｍの正方形の面積を

１ｃ㎡（１平方センチメートル）といいます。

1 の正方形が5個あるので、5 となります。cm cm2 2

次の図形の面積を求めなさい。

(ｱ)長方形の面積を求めなさい。 (ｲ)三角形の面積を求めなさい。

(ｳ)平行四辺形の面積を求めなさい。 (ｴ)等脚台形の面積を求めなさい。

(ｵ)台形の面積を求めなさい。

1cm

1cm 1cm2

3cm

6cm

3cm

6cm

3cm

6cm

3cm 3cm

4cm

2cm

3cm

6cm

3cm

表面積と体積 1

表面積と体積 2

ポイント：角柱、円柱の底面積・側面積・表面積を求めることができる

右の図のような、底面が長方形の角柱があります。例１．

① １つの底面の面積を（ ）といいます。

底面積を求めなさい。

② 側面全体の面積を（ ）といいます。

側面積を求めなさい。

③ 立体の表面全体の面積を（ ）といいます。

表面積を求めなさい。

底面が縦 、横 cmの長方形で、高さが である直方体について、問１． 5 3 6cm cm

次の問いに答えなさい （見取り図と展開図を書いてみましょう）。

(ｱ)底面積を求めなさい。

(ｲ)側面積を求めなさい。

(ｳ)表面積を求めなさい。

8cm

6cm4cm

表面積と体積 3

底面の半径が 、高さが の円柱があります。例２． 4 10cm cm

① 底面積を求めなさい。

② 側面積を求めなさい。

③ 表面積を求めなさい。

底面の半径が3 、高さが5 の円柱があります。このとき、次の問いに答えなさ問２． cm cm

い （見取り図と展開図を書いてみましょう）。

(ｱ)底面積を求めなさい。

(ｲ)側面積を求めなさい。

(ｳ)表面積を求めなさい。

表面積と体積 4

ポイント：角錐、円錐の底面積・側面積・表面積を求めることができる

右の図のように、底面が１辺５ の正方形で、例３． cm

側面の二等辺三角形の高さが６ の正四角錐があります。cm

① 底面積を求めなさい。

② 側面積を求めなさい。

③ 表面積を求めなさい。

底面が１辺4 の正方形で、側面の二等辺三角形の高さが3 の正四角錐がありま問３． cm cm

す。このとき、次の問いに答えなさい （見取り図と展開図を書いてみましょう）。

(ｱ)底面積を求めなさい。

(ｲ)側面積を求めなさい。

(ｳ)表面積を求めなさい。

5cm

6cm

底面の半径が２ で、母線の長さが６ の円錐があります。例４． cm cm

① 底面積を求めなさい。

② 側面積を求めなさい。

③ 表面積を求めなさい。

ポイント：おうぎ形の面積を半径と弧の長さだけで求めることのできる，

おうぎ形の面積を理解する （つまり角度を使っていない）。

おうぎ形の半径（母線）の長さが ，r

弧の長さが のときに，円全体の円周 π と，l r2弧の長さ の割合で面積を求めるとl

おうぎ形の面積は，

r r cm l cmπ (円全体の面積)× ＝2

(※)三角形の面積を求める公式の

「底辺×高さ× 」と似ている

l aまた円錐と考えて，底面の半径を とすると， ＝ πa 2これを代入すると， π となるおうぎ形の面積は， ar

の側面積を公式を使って求めましょう。問４．例４

2πr

l 12 lr

12

acm

表面積と体積 5

表面積と体積 6

底面の半径が で、母線の長さが の円錐があります。問５． 3 12cm cm

このとき、次の問いに答えなさい （見取り図と展開図を書いてみましょう）。

(ｱ)底面積を求めなさい。

(ｲ)側面積を求めなさい。

(ｳ)表面積を求めなさい。

母線の長さが ，底面の半径が の円錐の表面積を求めなさい。問６． 6 2cm cm

cm6

cm2

表面積と体積 7

２ 立体の体積

ポイント：体積の意味、体積の単位が理解できる

3・１辺が の立方体の体積 →1 1cm cm3・１辺が の立方体の体積 →1 1m m

１辺が の立方体の積み木でつくった1cm

右の形の体積を求めましょう。

体積 の立方体が何個分あるかで考えます。1cm3

ポイント：角柱、円柱の体積を求めることができる

角柱・円柱の体積は ×

(1) (2) (3)

cm6cm cm6 6

cm cm cm5 5 3半径

1cm3

1cm

1cm

1cm

1m31m

1m

1m

4cm 4cm

表面積と体積 8

ポイント：角錐、円錐の体積を求めることができる

角錐・円錐の体積は × ×

(1) (2) (3)

cm cm cm高さ 高さ 高さ6 6 6

cm cm cm5 5 3半径

次の体積を求めなさい。問１．

(1)底面の半径が 、高さが の円柱3 9cm cm

(2)底面が１辺が の正方形で、高さが の正四角錐8 15cm cm

(3)底面の半径が で、高さが の円錐6 20cm cm

4cm4cm

表面積と体積 9

次の各図で(1)(2)(3)は表面積を、(4)(5)は体積を求めなさい。問２．

(1) (2) (3)

正四角錐です

(4) (5) 長方形

cm12

cm5

cm cm5 13

2cm

12cm 6cm8cm

12cm

12cm

3cm

12cm10cm

10cm

表面積と体積 10

３ 球の計量

ポイント：球の体積を円柱や円すいの体積と比べることにより理解する

のとき、次の体積は半径 、高さr cm r cm

の体積 の体積 の体積円柱 円錐 球半

の体積球

(ｱ)円柱の体積と円錐の体積の比は

円柱の体積：円錐の体積＝（ ： ））（

(ｲ)円錐の体積と半球の体積の比は

円錐の体積：半球の体積＝（ ： ））（

(ｳ)円柱の体積と円錐の体積と半球の体積の比は

円柱の体積：円錐の体積：半球の体積＝（ ： ： ））（ ） （

したがって、球の体積は

おもしろいのは、

( )の体積＝( )の体積＋( )の体積 となること

r cm r cm

r cmr cm r cm

r cm

r cm

表面積と体積 11

ポイント：球の表面積の公式が分かる

半径 の球の体積が π であることを利用して半径 の球の表面積を考えます。r r r3

底面積が で、高さが のa r角錐（円錐）がたくさんできる。

錐の高さは、球の半径を と同じr底面積 をすべて集めて合計するとa

球の表面積になるのでＳとおく

球の体積は π なのでr 3

3Ｓ× × ＝ πr r

2これを変形して ∴ Ｓ＝ π4 r

Ｓ＝ π から 円の面積と球の表面積を比べてみよう。4 r 2

のとき、半径 r cm

円の 積は面

球の表面積は

次の球の体積と表面積を求めなさい。問１．

(ｱ) 半径 の球3cm

(ｲ) 半径 の球6cm

43

13

43

43

表面積と体積 12

問題

次の体積を求めなさい。１．

(ｱ)底面が 辺 の正方形で、高さが の正四角錐1 6 10cm cm

(ｲ)底面の半径が で、高さが の円錐5 12cm cm

(ｳ)底面積が で、高さが の六角柱12 4cm cm2

(ｴ)底面の半径が で、高さが の円柱3 7cm cm

(ｵ)底面が 辺 の正方形で、高さが の直方体1 5 8cm cm

次の円柱において、次の問いに答えなさい。２．

(ｱ) ＝4のとき、 の値を求めなさい。a b

(ｲ) ＝12πのとき、 の値を求めなさい。b a

(ｳ) ＝5のとき、 の値を求めなさい。a b

(ｴ) ＝18πのとき、 の値を求めなさい。b a

a cm

a cm

b cm

表面積と体積 13

次の円錐において、次の問いに答えなさい。３．

(ｱ) の値と の値を求めなさい。x ＝ 、 ＝ のとき、120 3c d e

(ｲ) の値を求めなさい。 の値を求めなさい。e c d＝ 、 ＝ のとき、 また、6 4 x

e cm

c cm

d cm

x°

e cm

c cm

e cm

c cm

d cm

e cm

c cm

x°

表面積と体積 14

図のような直角三角形ＡＢＣで、次の問いに答えなさい。４．

(ｱ)辺ＡＢを軸として１回転させて

できる立体の体積

(ｲ)辺ＢＣを軸として１回転させて

できる立体の体積

側面の展開図が、半径10 の半円になるような円錐があります。５． cm

(ｱ)この円錐の底面の半径を求めなさい。

(ｲ)表面積を求めなさい。

A

CB

6cm

3cm

A

B C

3cm

6cm

表面積と体積 15

半径が の球とそれが丁度すっぽり入る円柱があります。６． 10cm

このとき、次の問いに答えなさい。(アルキメデスの発見)

(ｱ)球の体積を求めなさい。

(ｲ)円柱の体積を求めなさい。

(ｳ)球の体積と円柱の体積を比べてみよう。

(ｴ)球の表面積を求めなさい。

(ｵ)円柱の側面積を求めなさい。

(ｶ)球の表面積と円柱の側面積を比べてみよう。

(ｷ)円柱の表面積を求めなさい。

h height高さ

volume(ｸ)球の表面積と円柱の表面積を比べてみよう。 体積 V

square measure面積 S

r radius半径

半径 、高さ の円柱、円錐、半球の体積を考えて見ようr cm r cm

r cm

r cm r cm r cm

r cmr cm

表面積と体積 16