CEDART

“DAVID ALFARO SIQUEIROS”

TRABAJO FINAL DE ALGEBRA

PROFESOR: Víctor Manuel Morales Arzaga

ALUMNO: Gilberto Guzmán Carillo

GRUPO: 1º A

Enero 2011

Índice1. Operaciones algebraicas

2. Productos notables3. Factorización

4. Fracciones algebraicas5. Ecuaciones lineales

6. Ecuaciones cuadráticas

Objetivo general

Este trabajo tiene como propósito hacer que el alumno desarrolle, explore, domine y aprenda más del álgebra que se nos enseña en el salón de clases, para que futuramente se le faciliten este tipo de problemas.

Además se espera que el resultado de la calificación que se obtenga del trabajo, contribuya a que el alumno que lo realiza tenga una calificación aprobatoria para el semestral.

Álgebra

Parte de las matemáticas que estudia la relación entre números y variables para construir modelos matemáticos y realizar operaciones.

Usos

Los usos y costumbres sociales se refieren a las tradiciones que son memorizadas y pasadas a través de generaciones, originalmente sin la necesidad de un sistema de escritura.

Si tu trabajo requiere de algún conocimiento mayor entonces el álgebra está presente en la resolución de pequeñas ecuaciones. por ejemplo cuanto tiempo tengo que dejar determinado dinero a interés para obtener la cantidad que necesitas. O ver cuál es el interés que te están cobrando por financiarte un electrodoméstico y si las cuotas que te cobran son correctas, etc.

Término algebraico:

Es el producto y/o división de una o más variables (factor literal) y un coeficiente o factor numérico. Por ejemplo:

3 xy2

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

Exponentes

El exponente de un número nos dice cuántas veces se usa el número en una multiplicación.

En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64

Grado

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio de una variable es el máximo exponente que posee el monomio sobre la variable; Por ejemplo en 2x3 + 4x2 + x + 7, el término de mayor grado es 2x3; este término tiene una potencia tres en la variable x, y por lo tanto se define como grado 3 o de tercer grado. Para polinomios de dos o más variables, el grado de un término es la suma de los exponentes de las variables en el término; el grado del polinomio será el monomio de mayor grado. Por ejemplo, el polinomio x2y2 + 3x3 + 4y tiene un grado 4, el mismo grado que el término x2y2.

OPERACIONES ALGEBRAICAS

SUMA

Resolver:

(5a2−2a3+a )+ (4 a+3a2 )+(5 a2−2a+7 )+(3a−2a3+5 )

a3+8a2+6a+12 polinomiocùbico

¿+2¿+( 16x−5

2x2+ 7

8)

x2=34−5

2=6−20

8=−14

8=−7

4x=−4

3+ 1

6=−24+3

18=21

18=7

6no .

¿ 21+ 7

8=16+7

8=23

8

−74x2+7

6x+ 23

8trinomiocuadràtico

(4 y−5 z+3 )+(4 z− y+2 )+(4 y−2 z−1)

6 y−3 z+4 trinomio lineal

( 12m2+3

5m−4

7 )+( 38m−5

4 )+( 35m− 3

10m2)

m2=12− 3

10=10−6

20= 4

20m2=1

5m2m=3

5+ 3

8=24+15

40=25

40=5

858+ 3

5=25+24

40=49

40

−47

−54=−16−35

28=−51

28r=1

5m2+ 49

40m−51

28 Trinomio cuadrático.

(2 pq−3 p2q+4 pq2 )+( pq−5 pq2−7 p2q )+(+4 p q2+3 pq−pq )

−10 p2q−3 pq2+5 pq Trinomio cuadrático.

Resta

a) Ejemplifica una aplicación de la resta algebraica (describe el problema, agrega imagen o esquema y resuelve).

Tengo 8 laptops chicas (m), 5 medianas(n) y 7 grandes (p) y voy a vender 2 chicas, 3 medianas y 5 grandes, ¿cuántas computadoras me quedan de cada tamaño?

(8m+5n+7p) - (2n+3n+5p)= 6n+3n+2p trinomio lineal

b) Resuelve las siguientes operaciones.

(5m+4n-7) - (8n-7) + (4m-3n+5) - (-6m+4n-3)=

15m-11n+8 trinomio lineal.

( 4m4+3m3+6m2+5m−4 )−(6m3−8m2−3m+1)

4m4−3m3−14m2+8m−5 polinomio de4¿ grado .

(6 x5+3 x3−7 x+2 )−(10 x5+6 x3−5 x2−2x+4 )

−4 x5−3 x3+5 x2−5 x−2 polinomio de5¿ grado.

(−xy¿¿ 4−7 y3+xy2)+(−2x y4+5 y−2 )−(−6 y3+x y2+5)¿

−3 xy4− y3+5 y−7 polinomiode 4¿ grado.

(16x+ 3

8y−5¿−(8

3y−5

4 )+(32x+ 2

9)

x=16+3

2=2+18

12=5

3x

y=38−8

3=9−64

24=−55

24y

No .−51+ 5

4=−20+5

4=−15

4No .

51+ 2

9=49+2

9=51

9=17

3

53x−55

24y+ 17

3trinomio lineal.

Diseñar otra resta con fracciones (mínimo trinomio)

( 910x+ 5

3y )+( 7

8y−20

5 )−( 1015x−8

9 )x= 9

10−10

15=135−100

150 = 35150

=15x

y=53+7

8=40+21

24=61

24y

No .=−205

+ 89=−180+40

45=28

9

15x+ 61

24y+ 28

9trinomio lineal .

Multiplicación

a) Indica la ley de los signos en la multiplicación.

(+)(+)=(+) (+)(-)=(-) (-)(-)=(+) (-)(+)=(-)

b) Explica la ley distributiva de la multiplicación (utiliza un ejemplo).

La operación o es distributiva por la derecha respecto de la operación ∎si se cumple que dados tres elementos cuales quiera a, b, c, entonces:

(boc) ∎a= ab+ac

Lo que nos quiere decir la ley distributiva es la manera en que se multiplican las letras, por así decirlo, las letras que están adentro del paréntesis multiplican en orden a la/las que están afuera del paréntesis, en este caso, “b” multiplica primero a “a”, y luego “c” multiplica por “a” y el resultado quedaría como el ejemplo anterior. Es la manera en queda multiplicada una operación.

c) Indica la ley de los exponentes en la multiplicación, división, radical y potencia.

MULTIPLICACION: al multiplicar dos potencias de igual base se copia la base y se suman los exponentes, para tener el exponente del producto.

DIVISION: al dividir dos potencias de igual base, se copia la base y al exponente del dividendo se le resta el exponente del divisor, dando el exponente del cociente. Toda cantidad con un exponente negativo es un número racional, que representa el inverso multiplicativo de un número entero. Al dividir dos cantidades exactamente iguales que tengan idéntico exponente, obtendremos una expresión con exponente cero, que también será equivalente a la unidad.

RADICAL: La expresión n√a es un radical el número a se llama radicando y n es el índice

del radical. El símbolo √❑ es un signo radical.

Si √a=b , entoncesb2=a ;esto es ,¿

POTENCIA: al elevar una potencia a un exponente, se copia la base y se multiplican los exponentes.

d) Explica gráficamente los pasos de la multiplicación algebraica (utiliza un ejemplo)1. Los coeficientes se multiplican aplicando la ley de los signos.

(2 x+3 )(5 x−1)

2. Los exponentes de las mismas literales se suman.

(2 x+3 ) (5 x−1 )=10x2−2 x+15 x−3

3. Se aplica la ley distributiva.

(2 x+3 ) (5 x−1 )=(2x ) (5x−1 )+ (3 ) (5 x−1 )=¿

10 x2−2x+15 x−3

4. Se simplifica “sumando” términos semejantes.

10 x2−2x+15 x−3=10 x2+13 x−3

5. Ordenar y clasificar. 2 3 1 1 2 3 −13 x−3+10 x2=10 x2+13 x−3

Incorrecta Correcta

e) Resuelve las siguientes multiplicaciones:

(2 x2−x−3 ) (2 x2−5 x−2 )=¿

4 x4−10 x3−4 x2−4 x3+5 x2+2x−6 x2+15x+6=¿

4 x4−143−5 x2+17 x+6 polinomiode 4¿ grado

(3 x−1 ) (4 x2−2 x−1 )=¿

12 x3−10x2−3 x−4 x2+2 x+1=¿

12 x3 14 x2−x+1 polinomiocubico

( 43a2−5

4a−1

2 )( 25a+ 3

2 )=¿

815a3+ 12

6a2−10

20a2+ 15

8a❑− 2

10a−3

4

815a3+1

12a2+1

2740a−3

4polinomiocubico

(9 xy−4 x2 y ) (2x y2+6 x2 y2 )=¿

18 x2 y3+54 x3 y3−8 x3 y3−24 x4 y3

−24 x4 y3+46x3 y3+18 x2 y3trinomio de7mogrado

(5m12 −3m3

2)(4m−34 −2m5)=¿

20m−14 −10m

112 −12m

−112 +6m

173

( 25z2−1

3z+ 4

9 )( 37z2−7

2z−3)=¿

635z4−14

10z3−6

5z2− 3

21z3+7

6z2+ 3

3z+ 12

63z2−28

18z−12

9

635z4−1

1935z3+ 11

70z2−5

9z−1

13polinomiode4 ¿grado

¿−5) (2y+4)=

6 y2+12 y−10 y−20

6 y2+2 y−20 trinomiocuadratico

(3 x2−x+7 ) (5 x+2 )=¿

15 x3+6 x2−5 x2−2x+35 x+14

15 x3+x2+33 x+14 polinolio cubico

(4 ab+3b ) ( 6a2b−2ab2 )=¿

24 a3b2−8a2b3+18a2b2−6ab3 polinomiode6¿ grado

f) Un terreno rectangular mide 2x - 4 metros de largo y 5x + 3 metros de ancho ¿Cuál es el modelo matemático que expresa su área? (agrega la figura).

(2x-4)(5x+3)

g) En una tienda se compran tres diferentes artículos A, B y C. A cuesta 3x por unidad y se compran 5 unidades, B cuesta 4x + 2 por unidad y

se compraron 3 unidades y C cuesta 34 x por unidad y se compraron 7

unidades. ¿Cuál es el modelo matemático del costo total de la compra?5A+3B+7C=

5(3x)+3(4x+2)+7(34x)

DIVISIÓN

1. Definir la división algebraica.

La división algebraica representa la razón de cambio entre dos funciones.

La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.

2. Propiedades de la división.

Propiedad 1. Operación No Interna:

2x-4

5x+3

El resultado de dividir dos números naturales (esto es, su cociente) no tiene por qué salir otro número natural. Por esto se dice que el cociente de números naturales no es una propiedad interna, el resultado final puede pertenecer a otro conjunto numérico.

Por ejemplo, esto ocurre cuando el segundo término es mayor que el primero, ¿qué pasaría si hiciéramos 2/4 en lugar de 4/2? El resultado es 0.5

Propiedad 2. No Conmutativa:

El orden de los sumandos influye mucho en el resultado de una división. Como ya hemos visto: 2/4 no es igual que 4/2

Propiedad 3 . E lemento Neutro:

Un elemento Neutro es un número que hace que al dividir "no ocurra nada", o sea, cuando tenemos un número y lo dividimos entre su elemento neutro, nos sigue apareciendo el mismo número. Así el 1 es el elemento neutro de la división porque cuando a un número cualquiera lo dividimos entre 1, se sigue quedando el mismo número. Por ejemplo: 3/1=1

Propiedad 4 . E l cero y la d iv is ión:Cero dividido entre cualquier número siempre da 0.

Propiedad 5, División exacta:

En una d iv is ión exacta e l d iv idendo es igual a l d iv isor por e l coc iente. D = d · c

Propiedad 6. División externa:

En una d iv is ión entera e l d iv idendo es igual a l d iv isor por e l coc iente más e l resto.

D = d · c + r

3. Elementos (partes) de la división. Dividendo: Es lo que se desea dividir

Divisor: Es en cuantas partes se quiere dividir

Cociente: Es en cuantas veces queda dividido

Resto: Es lo que sobra de la división.

4. Resolver:

(Nota) las operaciones de polinomios entre polinomios fueran hechas en cuaderno, debido a que no supe cómo poner exactamente la fórmula como se nos mostró en clase.

8m9n2−10m7n4−20m5n6+12m3n8

2m2n3

4m7

n−5m5n−10m3n3+6mn5

20x 4−5 x3−10 x2+15x−5 x

−4 x3+x2+2x+3

4 a8−10a6−5a4

2a3

2a5−5a3−5a4

2a3

2x2 y+6 xy2−8xy+10 x2 y2

2xy

x+3 y−4+5 xy

3x3+2 x−8x+2

3 x2−6 x+14− 36x+2

2x3−4 x−22x+2

x2−x−1

2a4−a3+7 a−32a+3

a3−2a2+3a−1

14 y2−71 y−337 y+3

2 y−11

5. Si un espacio rectangular tiene un área de 6 x2−19 x+15 y la anchura es 3 x−5 ¿Cuánto mide la base?

6 x2−19x+153 x−5

=base :2 x−3

6. Expresar conclusiones personales sobre la primera unidad “Operaciones algebraicas”.

Creo que es interesante la manera en que se desarrollan los temas, al igual que las operaciones, en parte porque los podemos utilizar para resolver problemas que se nos plantean a la hora de hacer un trabajo, puede ser el de medir un terreno, entre otros.

Me fije en que también se puede resolver un problema con distinto método, por ejemplo en la división, creo que en los otros no se puede, no estoy seguro, pero por lo menos en las mencionadas. Las divisiones que se pueden hacer con otro método son las de “monomio entre monomio”, se pueden resolver de la misma manera que las de “polinomio entre polinomio”, de hecho es hacer lo mismo pero acomodando el problema de otra manera.

Es muy importante la manera en que se aplican, dividen, o multiplican los signos porque si en una operación, por ejemplo en resta, no se cambian los signos dentro del paréntesis (en caso de que el signo de la izquierda del paréntesis sea negativo), el resultado estará equivocado.

PRODUCTOS NOTABLES

1. Definir qué son los productos notables.

Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.

Ejemplo: (3 x+2)2=9 x2+12 x+4

2. Indicar las reglas para la resolución de cada uno de los productos notables vistos en clase (5 tipos).

(a+b)n

Los binomios a una potencia es la multiplicación de n veces un mismo binomio.

Ejemplo: ( x+3 ) ( x+3 ) ( x+3 )=(x+3)3

1. Binomio al cuadrado:

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos.

2. Binomio al cubo:

Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

3. Binomios a potencia superior:

Triangulo de Pascal ↑

(Usando el triangulo de Pascal)

El primero inicia con la potencia indicada y luego baja hasta cero.

El segundo inicia con potencia cero y aumenta hasta la potencia que se indica.

4. Binomios con término común:

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto del término común por la suma de los otros (por los términos no comunes), y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

5. Binomios conjugados: a) Cuadrado del primero.b) Menos cuadrado del segundo.

A continuación podremos ver algunos de los ejemplos de resolución de cada tipo de los productos notables.

3. Desarrollar los siguientes productos notables:

(3a+4 )2

9a2+24 a+16

¿¿

4 x4−20x2+25

(7m+8n )2

49m2+112mn+64n2

(4 a+5 )3

64 a3+240a2+300a+125

¿¿

8a9−84 a6−294 a3−343

(5m+4 )3

125m3+300m2+240m+64

(3 x+2 )4

1 (3x ) 4+4¿

81 x4+216 x3+36 x2+24 x+16

¿¿

1¿¿

10¿¿

32 x10−320x8+1280 x6−2560 x4+2560 x2−1024

¿¿

1¿¿

15¿¿

4096 y18+18432 y15+34560 y12+34560 y9+19440 y6

5832 y3+729

(2 x+3 ) (2 x+5 )

4 x2+16 x+15

(x¿¿2−1)(x2+1)¿

x4−1

(m+4 ) (m−2 )

m2+2m−8

(3a−7 ) (3a+7 )

9a2−49

(5a+3b ) (5a−2b )

25a5+5ab−6b2

(4 x¿¿3+3)(4 x¿¿3−3)¿¿

16 x6−9

(a¿¿2−1)(a2−4)¿

a4−5a2+4

4. Investigar la aplicación de los binomios conjugados en otras áreas.

También se usa en la factorización pero con los procedimientos invertidos.

5. Expresar conclusiones personales sobre la segunda unidad “productos notables”

Creo que son muy difíciles pero interesantes de hacer, pero la mayoría tienen métodos más sencillos y uno en especial es más complejo (el de binomios a potencia superior). Aún así pienso que si uno se pone a desarrollar este tipo de operaciones puede llegar a entretenerse porque le llega a gustar, como me pasó a mí.

FACTORIZACIÓN

1. Define qué es factorización.Es expresar un objeto o número como producto de otros objetos más pequeños. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b) (a + b).

2. Ilustra en un mapa conceptual los diversos métodos de factorización.

Métodos de factorización

Factor común

Suma o diferencia de cubos

Trinomio cuadrático

3. Factoriza las siguientes expresiones:

a¿25a2−64b2=¿

(5a+8b )(5a−8b)

b¿8m2−14m−15=¿

8m2−20m+6m−15

8m2−20=4m (2m−5 )

6m−15=3 (2m−5 )

¿ (4m+3 ) (2m−5 )

c ¿ x¿2−15x+54=¿

( x−9 )(x−6)

Se buscan los términos comunes

Se Factoriza en binomios

conjugados pero con base que

tiene raíz cúbica

TCP x2+mx+n

No existe factor común; los extremos tienen raíz cuadrada exacta y el término central es el doble producto de dichas

raíces

No es factor común ni es

TCP, se factoriza a dos binomios

con término común

ax2+bx+c

No tiene factor común ni es TCP, se factoriza por agrupación.

Agrupación

No existe factor común; la

expresión se divide en parejas

comunes (son por lo menos de cuatro términos

Diferencia de cuadrados

Es un binomio donde los términos se restan y tienen raíz cuadrada exacta. Se

factoriza a binomios conjugados

d ¿5 x¿2−13 x+6=¿

5 x2−3 x−10 x+6

5 x2−10 x=5x ( x−2 )

−3 x+6=−3 (x−2 )

¿ (5 x−3 ) ( x−2 )

e ¿27 a¿9−b3=¿

(3a¿¿3−b)¿¿

f ¿5a¿2+10 a=¿

5a(a+2)

g¿n¿2−14 n+49=¿

(n−7)2

h¿ x¿2−20 x−300=¿

( x−30 ) ( x+10 )

i ¿9x ¿6−1=¿

(3 x¿¿3+1)(3x¿¿3−1)¿¿

j ¿64 x ¿3+125=¿

(4 x+5 )¿

k ¿ x ¿2−144=¿

( x+12 ) (x−12 )

l ¿2x ¿2+11 x+12=¿

2 x2+8 x+3 x+12

2 x2+8 x=2 x (x+4 )

3 x+12=3 ( x+4 )

¿ (2 x+3 ) ( x+4 )

m ¿4 x ¿2 y−12 xy2=¿

4 xy (x−3 y )

n¿ xw− yw+xz− yz=¿

xw− yw=w ( x− y )

xz− yz=z ( x− y )

¿ (w+z )(x− y )

o¿ x ¿2+14 x+45=¿

( x+9 ) ( x+5 )

p¿6 y¿2− y−2=¿

6 y2+3 y−4 y−2

6 y2+3 y=3 y (2 y+1 )

−4 y−2=−2 (2 y+1 )

¿ (3 y−2 ) (2 y+1 )

q¿ 4m ¿2−49=¿

(2m+7 ) (2m−7 )

r ¿ x¿2−x−42=¿

( x−7 ) ( x+6 )

s¿2m¿2+3m−35=¿

2m2+10m−7m−35

2m2+10m=2m (m+5 )

−7m−35=−7 (m+5 )

¿ (2m−7 ) (m+5 )

t ¿ a¿2−24 a+119=¿

a2−7a−17a+119

a2−7a=a (a−7 )

−17a+119=−17 (a−7 )

¿ (a−17 ) (a−7 )

4. Investiga la aplicación de la factorización en la solución de ecuaciones cuadráticas.La ecuación cuadrática debe estar igualada a cero, después se debe factorizar el lado que no es cero; los factores obtenidos se igualan a cero y se despeja para la variable.

5. Conclusiones personales sobre la unidad de factorización.Me pareció algo confuso al principio, pero al leer y analizar los pasos para su resolución una y otra vez pude darme cuenta de cuál método de factorización se tenía que usar en cada caso y posteriormente sin tener que estar viendo apuntes.No son tan laboriosos ni cansados (para mí), es solo que a veces se batalla por no poner en práctica seguidamente este tipo de ejercicios

FRACCIONES ALGEBRAICAS

1. Realiza las operaciones con fracciones algebraicas:

x2−16x2+8 x+16

( x+4 )( x−4)(x+4 )2

4 x2−20 xx2−4 x−5

4 x (x−5)( x−5 )(x+1)

= 4 xx+1

3a−9b6a−18b

3(a−3b)6(a−3b)

=36=1

2

x2−6 x+9x2−7 x+12

∗x2+6 x+5

3 x2+2 x−1

( x−3 )2 (x+5 ) ( x+1 )( x−4 ) (x−3 ) (3 x+1 ) ( x−1 )

=( x−3 )(x+5)(x+1)

( x−4 ) (3 x+1 )(x−1)

7 x+21

x2−16 y2∗x2−5 xy+4 y2

4 x2+11 x−3

7 ( x+3 )( x+4 y ) ( x−4 y ) ( 4 x−1 ) ( x+3 )

pendiente

x2−3 x−10x2−25

∗2 x+10

6 x+12

( x−5 ) ( x+2 )2(x+5)( x+5 ) ( x−5 )6 (x+2)

=26=

13

x−42 x+8

∗4 x+8

x2−16

(x−4)4 (x+2)2 ( x+4 ) ( x+4 ) ( x−4 )

=4 (x+2)

2 ( x+4 ) ( x+4 )=

2 (x+2)(x+4)2

3x−15x+3

÷12 x+184 x+12

3 (x−5 ) 4( x+3)(x+3)6 (2 x+3)

=3 (x−5 ) 46(2 x+3)

=2 ( x−5 )

¿¿

4 x2−9x+3 y

÷2 x−3

2 x+6 y

(2x−3 ) (2 x+3 ) 2(x+3 y)(x+3 y ) (2x−3 )

=2(2 x+3)

x2−14 x−15x2−4 x−45

÷x2−12x−45x2−6 x−27

( x−15 ) ( x+1 )(x−9)(x+3)( x−9 ) ( x+5 )(x+3)(x−15)

=( x+1 )( x+5)

a−3

a2−3 a+2− a

a2−4a+3

a−3(a−2 ) (a−1 )

− a(a−3 ) (a−1 )

=a−3 (a−3 )−a (a−2 )

(a−2 ) (a−1 ) (a−3 )=¿

a2−3 a−3a+9−a2+2a(a−2 ) (a−1 ) (a−3 )

= −4a+9(a−2 ) (a−1 ) (a−3 )

m

m2−1+ 3mm+1

m (m+1 )+3m(m2−1)

(m¿¿2−1) (m+1 )= m2+m+3m3−3m

(m¿¿2−1) (m+1 )= 3m3+m2−2m(m¿¿2−1)(m+1 ) ¿

¿¿

2a

a2−a−6− 4

a2−7a+12

2a(a−3 ) (a+2 )

− 4(a−4 ) (a−3 )

=2a (a−4 )−4 (a+2 )(a−3 ) (a+2 ) (a−4 )

=¿

2a2−8a−4a−8(a−3 ) (a+2 ) (a−4 )

= 2a2−12a−8(a−3 ) (a+2 ) (a−4 )

2

m2−11m+30− 1

m2−36+ 1

m2−25

2(m−6 ) (m−5 )

− 1(m+6 ) (m−6 )

+ 1(m−5 ) (m+5 )

=¿

2 (m+6 ) (m+5 )−1 (m−5 ) (m+6 )+1 (m−6 )(m+6)(m−6 ) (m−5 ) (m+6 )(m+5)

=¿

2m2−10m−12m+60−m2−6m+m+30+m2−36(m−6 ) (m−5 ) (m+6 ) (m+5 )

=¿

2m2−27m−54(m−6 ) (m−5 ) (m+6 )(m+5)

x

x2−5x−14+ 2x−7

x( x−7 ) ( x+2 )

+ 2( x−7 )

=x (1 )+2 ( x+2 )( x−7 ) (x+2 )

= x+2 x+4( x−7 ) (x+2 )

=¿

3 x+4( x−7 )(x+2)

2. Define qué es una fracción compleja y da un ejemplo.A una fracción se le llama compleja cuando en su numerador y/o en su denominador contiene fracciones.Ejemplo:

115

3. Conclusiones personales sobre la unidad de fracciones algebraicas.Pienso que esta unidad no es complicada si se sabe factorizar, lo único diferente son aquellos procedimientos que se llevan a cabo después de la factorización, que no es más que simplificar, multiplicar, sumar o restar.Me parecieron sencillos los ejercicios, a excepción del quinto problema en el que no le pude encontrar solución.

Ecuaciones lineales

1. Definir que es una ecuación lineal, los tipos que existen y cuáles son los principales métodos de resolución.Es la representación de una línea recta del tipo y=a+bx.Existen dos tipos: una incógnita y dos incógnitas.Los principales métodos de resolución son:Eliminación Gaussiana.Método de Gauss - Jordan.Método de Gauss - Seidel.

2. Resolver las siguientes ecuaciones:

a¿ 4 (2x−3 )+5 ( x−1 )=7 ( x+2 )−(3 x+4)8 x−12+5 x−5=7 x+14−3 x−4

13 x−17=4 x+1013 x−4 x=10+17

9 x=27

x=279

x=3

b¿ 5x−34

+ 2 x3

= x+12

15x−9+8 x12

= x+12

30 x−18+16 x=12 x+12

46 x−18=12 x+1246 x−12x=12+18

34 x=30

x=3034

x=1517

c ¿3 (4 x+3 )+2 x−3 (2−x )=2+3 ( x−4 )+5 x−212 x+9+2x−6+3 x=2+3 x−12+5 x−2

17 x+3=8 x−1217 x−8 x=−12−3

9 x=−15

x=−159

x=−53

d ¿ 2 x+57

−3x5

= x+22

+3 x

10x+25−2135

= x+2+6 x2

20 x+50−42=35 x+70+21020 x+8=35 x+28020 x−35 x=280−8

−15 x=−272

x=27215

x=182

15

e ¿5 (2 x−3 )+4 ( x+1 )−5=2 x−32

+ x3

10x−15+4 x+4−51

=6 x−9+2 x6

60 x−90+24 x+24−30=6 x−9+2x

84 x−96=8x−9

84 x−8x=−9+96

76 x=87

x=8776

x=11176

3. Graficar:

a) Y= 5x -1

b) Y=2x+3

c) Y=-1/2x + 2

4. Una joyería vende su mercancía 50% más cara que su costo. Si vende un anillo de diamantes en $1500, ¿Qué precio pagó al proveedor?x = ¿?1.5x = $1500

1.5 x=1500

x=15001.5

x=1000

Pagó $1000

5. Resolver los sistemas de ecuaciones:

a) 2x – 3y = 4 x – 4y = 7−2 x+3 y=−4 x−4 y=7

x−8 y=142x+8=7

−5 y=10 x=7−8

y= 10−5

x=−1

y=−2

b) 4a+b=63a+5b=10−12a−3b=−18 4a+b=6

12a+20b=40 4 a+ 2217

=6

17b=22 4a=10217

−2217

b=2217

4a=8017

a=13

17

c) m – n = 33m + 4n= 9−3m+3n=−9m−0=3

3m+4 n=9 7n=0 m=3

n=0

d) 5p + 2q = -32p – q = 3−10 p−4q=62 p−(−7

3 )=3

10 p−5q=15 2 p+73=3

−9q=21 2 p=3−73

q=−219

p=2/32

q=−73p=1

3

e) x + 2y = 83x + 5y = 12−3 x−6 y=−24 x+2 (12 )=83 x+5 y=12x+24=8

-----------------------− y=−12x=8−24

y=12 x=−16f) 3m + 2n =7m – 5n = -2−3m−2n=−7m−5 (1 )=−2

3m−15n=−10 m=−2+5

−17n=−17m=3

n=1

g) 2h – i = -53h – 4i = -2−6h+3 i=15 2h−(−11

5 )=−5

6h−8 i=−4 2h+ 115

=−5

−5 i=112h=−5−115

i=−115

2h=−365

h=−185

6. Graficar los incisos a, c, e y g de los sistemas anteriores.a) 2x – 3y = 4 x – 4y = 7x=-1 y=-2

c) m – n = 3 3m + 4n= 9x=3 y=0

e) x + 2y = 8 3x + 5y = 12x= -16 y=12

h) 2h – i = -5 3h – 4i = -2x= -3.6 y= -2.2

7. Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $1.50 niños. Si se vendieron 1,000 boletos recaudando $3,500. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?X= boletos para adultos.Y= boletos para niños.

x+ y=10004 x+1.5 y=3500

−4 x−4 y=−4000 x+(200 )=1000

4 x+1.5 y=3500 x=1000−200

−2.5 y=−500 x=800

y=−500−2.5

y=200

Se vendieron 800 boletos para adulto y 200 boletos para niño.

8. Si se mezcla una aleación que tiene 30% de Ag con otra que contiene 55% del mismo metal para obtener 800 kg de aleación al 40% ¿Qué cantidad de cada una debe emplearse?x= cantidad de kg de aleación con el 30% de Agy= cantidad de kg de aleación con el 55% de Ag

x+ y=800.3 x+ .55 y=.4 (800 )

−.3 x−.3 y=−240 x+320=800.3 x+ .55 y=320 x=800−320

.25 y=80 x=480

y= 80.25

y=320

Se deben emplear 480 kg de aleación con el 30% de Ag, y 320 kg de aleación con el 55% de Ag.

ECUACIONES CUADRATICAS

Ecuaciones de 2º grado

1. Definir qué es una ecuación cuadrática.Es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica: ax2+bx+c=0

Donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.Una ecuación cuadrática representa una parábola vertical, donde la solución (raíces) son los puntos de intersección con x.

2. Definir qué es un número real y qué es un número imaginario.los números reales son aquellos que poseen una expresión decimal e incluyen tanto a los números racionales como a los números irracionales, que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicasUn número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo.

3. Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:

7 x2+21x=0

7 x (x+3 )=0

7 x=0 x1=0

x+3=0x2=−3

4 x2−16=0

x2=−164

x=±√−164

x=±√ 164i

x1=2 i

x2=−2 i

a2−3a+2=0

−(3 )±√ (−3 )2−4 (1 ) (2 )2 (1 )

3±√12

a1=2

a2=1

9m2+2m−5=0

−(2 )±√ (2 )2−4 (9 ) (−5 )2 (9 )

−2±√18418

m1=0.6424

m2=−0.8647

x2−3 x=0

x (x−3 )=0

x1=0

x−3=0 x2=3

5 x2+10=0

x2=−105

x=±√−2

x=±√2i

x1=1.4142 i

x2=−1.4142 i

7 y2−3 y+10=0

−(−3 )±√¿¿¿

3±√−27114

3±√271 i14

y1=1.3901 i

y2=−0.9615i

2 t2+t+1=0

−(1 )±√¿¿¿

−1√−72

−1√7 i2

x1=0.8228 i

x2=−1.8228 i

8 x2−7 x=0

x (8x−7 )=0

x1=0

8 x−7=0

x=78x2=0.875

a2−25=0

a2=25

a=±√25

a1=5

a2=−5

4. Graficar las siguientes funciones cuadráticas:

y=x2−1

A= -1 B= 1

y=x2+5 x+6

A= -3 B=-2

y=− x2−4

Conclusiones finales.

Personalmente, creo que es un buen ejercicio el que puso nuestro profesor de álgebra, pero lo veo algo

extenso y demasiado difícil cuando no se tiene mucho tiempo de hacerlo (como en mi caso), no sé si sea la

cantidad de problemas más recomendable para aplicar a personas de nuestro grado, pero lo que sí sé es que te deja un buen aprendizaje y motivación para seguir

adelante en cualquier situación.

Por otra parte, también saqué la conclusión de que si tienes un trabajo grande por hacer, más vale empezar

lo más pronto posible como si el trabajo fuera a entregarse para el siguiente día.

Puede que dé flojera hacer tanto trabajo, pero hay que agarrar ganas para tomar nuestra responsabilidad y

hacer lo que nos corresponde.

Una cosa que me gusta de estos problemas es que con sus formulas se pueden resolver problemas y

ecuaciones si algún día se nos llega a ofrecer, y otra cosa que me gusta es que cuando uno se la pasa

resolviendo estos problemas, llega un punto en el que ya hay facilidad para llevarlos a cabo y a veces dan

ganas de realizar más de éstos.