c:/dokumente und einstellungen/josseline bauer/eigene

!#"%$'&)(+*-,.(0/213!%$.4 5.6-$ 7 8/21"'&)(96:$./2;<;+/2$= (+>?(@)/2$

ABBCDEFGEH

IJDKL BMON?PQCSRDTU<VW XC<YEHC

Z GRLGUBX\[]]^

_` XGEH baFcedfdg `hijC k\clGBD3m2cndfd `hWoqpERV rsGEtuDD

vCw`xHykzM|0X~~x`w`|

WSHUkQ S¡ £¢+¤SO¥ ¦§ ¨©` `ªM«+¬<®O¢¯S bªU°O±SªM¥S «²¬<®S¡³O¥S b< bµ´3«²¶O¢u·X ¦

¸b¹»º ¼¾½¿À¿À»ÁSÂbÀ»Ã½XÄÅÆu½XÁS¿Ç½XÄÈÉ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ Ê¸b¹¡¸ ËÄu½XÁSÂS½XÆÂS½XÁS¿u½XÄÈ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ Ê¸b¹¡Ì ÍSÅÆÄÎÏ+¿uÐuÑ`ÆÀ»ÄÄÏÒÁSÏlÓ)Ï+¿¿u½XÁS¿uÔXÄÈ9ÏÕ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ Ö

¦ ×J³O¢+®< bØn³O¢Ò£«²¬<® JÙªÚ¤S¯¡³¥S b ÛÌb¹»º Ó)½XÄÑSÏÒÜn½XÄÀ¿ÐuÑSÏ+¿Ó)ÅÂ`ÏÒÝ»ÝÞ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ßÌb¹¡¸ Ë<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆà¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ áÌb¹¡Ì âVã<ÄÆÏÒÜåäUÏÒÆÄÄÑSÏ+ÅÆÀÏæ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹çº9¸Ìb¹ Ê èUÅé`ê`Ý½)¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸ë

ì í ¬<®<¶O¢u·O¤SO¥ §`¦ÊS¹»º Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È0½XÑ`Ý-¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸ÌÊS¹¡¸ Ë<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`ÎeÂ`ÏÒÆ3Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È0½XÑ`Ý»îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`ÁSÎ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸XÊÊS¹¡Ì Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏ2¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸ÖÊS¹ Ê Ë<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`ÎeÂ`ÏÒÆlð ÁSÅÆÜn½XÝÏÒÁðñË<ÐuÑÔÂ`ÏÒÁ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸òÊS¹¡Ö Ë<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`ÎeÂ`ÏÒÆlðóÏ²ã<ÄÆÏÒÜjÏÒÁðñË<ÐuÑÔÂ`ÏÒÁ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸ß

ô õ bªÚö¤«Ç¢°O bªM¢u ö¤SO¥S«²³S<«Ç³¢u· ìS÷Öb¹»º Ó)½XÄÑSÏÒÜn½XÄÀ¿ÐuÑSÏ+¿Ó)ÅÂ`ÏÒÝ»ÝÞ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹øÊOëÖb¹¡¸ ËÀ»Üåê`Ý½XÄÀÅÁù¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹øÊSºÖb¹¡Ì úÁäUÏÒÁSÂbê`Á`ÎÉ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹øÊÊÖb¹ Ê Í½XÈ+À»Äù¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹øÊOÖ

´ûS®³O¥ ìSü

¸

ý?þ »w`z~ÿw

ÏÒÆjúêS¿ÎO½XÁ`Î¿é`ê`Á`Ã<ÄjÂ`Ï+¿À¿À»ÃÅÜn½XÁ½XÎÏÒÜjÏÒÁÄ¿jÀ¿Äj¿ÄÏÒÄ¿qÂS½¿jâQÆ½¿¿ÏÒÁ îÅÁ WÀ¿À»ÃOÏÒÁ¹ ½È+ê ÎÀ`ÄnÏ+¿nÏÒÀ»ÁSÏ3ÀÏÒÝ»È0½XÑ`Ý3½XÁ Ó)ïÎÝ»ÀÐuÑ`ÃÏÒÀ»ÄÏÒÁEÈ+äÀ¿ÐuÑSÏÒÁ'Â`ÏÒÁSÏÒÁ Ün½XÁFäÔXÑ`ÝÏÒÁ Ã½XÁ`Á¹ ÅÐuÑÜjïÐuÑÄÏnÜn½XÁWÀ¿À»ÃOÏÒÁ?Á`ÀÐuÑÄåÁê`Æê½XÝ»À»Äu½XÄÀ»îîÏÒÆ¿ÄÏÒÑSÏÒÁÈ+ê`Ü ¼¾ÏÒÀ¿é`ÀÏÒÝäUÅµÂbÀÏ+¿Ïe½XêÄÆÏÒÄÏÒÁÅÂ`ÏÒÆqäUÏÒÝÐuÑSÏÆ¿Ç½ÐuÑSÏÒÁ îÅÆÝ»ÀÏÒÎÏÒÁ ¿ÅÁSÂ`ÏÒÆÁF½XêSÐuÑ Oê½XÁ<ÄÀ»Äu½XÄÀ»îñ¹Ü äUÏÒÀ»ÄÏÒÆÏÒÁ EÏÒÆÝ½Xê!ñÏ¿uÐuÑÔÄÀ»ÎÏÒÁäÀ»Æê`ÁS¿"ñÏÒÀ¿é`ÀÏÒÝ»Ñ½ÄÜqÀ»ÄÂ`ÏÒÜ#½XÁ`Ã<äÀ»ÆÄ¿ÐuÑ½ÄÝ»ÀÐuÑSÏÒÁ$À¿À»ÃÅÜn½XÁ½XÎÏÒÜjÏÒÁÄê`ÁSÂÎÆÏÒÀ%MÏÒÁ ¿ÅÜqÀ»ÄÂS½¿'&¾ÑSÏÒÜn½q¼¾½¿uÏÒÝ()½XêÚ¹+*ÏÒÆu½Â`ÏûÂbÀÏûîÅÁ Â`ÏÒÆW¼½XÁ`ÃÏÒÁ½XêM¿ÀÐuÑÄîOÅÆÎÏ+¿ÐuÑ`ÆÀÏñÏÒÁSÏâ ÀöÎÏÒÁ`Ã½Xé`À»Äu½XÝ»ê`Á<ÄÏÒÆÝÏ+Îê`Á`Î,ê+-Ä ½XêñÏÒÀ»ÁSÏÒÆ/.ê½XÁÄÀ%0SÈ+ÀÏÒÆê`Á`ÎåÂ`ÏÒÆÀ¿À»ÃÏÒÁÂ`ÏÒÆ ÏÒÀ»ÁSÏ¼¾½XÁ`Ã½XêS¿ÎÏ+¿ÏÒÄÈ+ÄÀ¿Ä1Â¹ Ñ¹HÂS½¿"2HÀÏÒÝLÀ¿ÄÏ+¿1HÂS½¿!WÀ¿ÀöÃOÅe½XÁ`Ñ½XÁSÂJÏÒÀ»ÁSÏ+¿43½Xé`À»Äu½XÝñÏÒÄÆu½XÎO¿65Â`ÏÒÆ3Ï7ñÏÒÁÂbÀÏ+¿uÏ+¿½8S¿À»ÐuÑÏ²ÆÁ ¿uÅÝ»Ý95jÈ+êÜjÏ+¿¿ÏÒÁ¹ÁS¿)ñÏ+¿ÅÁSÂ`ÏÒÆÏÂS½¿ÓJÏ+¿¿uÏÒÁ_îÅÁ ÅéñÏÒÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏÒÁ:WÀ¿À»ÃOÏÒÁÆ);SÐuÃ<ÄlÜjÏÒÑ`Æåê`ÁSÂ\ÜjÏÒÑ`ÆlÀ»ÁùÂ`ÏÒÁ$EÅÆÂ`ÏÒÆÎÆê`ÁSÂ\ê`ÁSÂ\äÀ»ÆÂsÏ²ã<é`Ý»À»È+À»ÄåîOÅÁ\Â`ÏÒÆ ¼½XÁ`ÃÏÒÁ½XêM¿ÀÐuÑÄ½XÁ`ÎÏ+¿é`ÆÅÐuÑSÏÒÁ¹ ÏÒÆ¼½¿ÝÏÒÆ¾úêS¿¿uÐuÑêS¿¿<=;`Æ¾¼½XÁ`ÃOÏÒÁ½Xê¿ÀÐuÑ<ÄÂ`Ï0SÁ`ÀÏÒÆÄWÅéñÏÒÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏ+¿6WÀ¿À»ÃOÅ½XÝ¿

> *ûÏ½XÑ`ÆlîOÅÁ$EÏÒÆÝ»êS¿ÄÏÒÁLÂbÀÏjÀ»ÁMÅÝ»ÎÏnÏÒÀ»ÁSÏÒÆ?Á`È+ê`ÝÔXÁ`ÎÝ»ÀÐuÑ`ÃÏÒÀ»ÄqÅÂ`ÏÒÆåÂ`Ï+¿ ÏÒÆ¿u½ÎÏÒÁS¿QîOÅÁqÀ»ÁÄÏÒÆÁSÏÒÁ@ ÏÒÆ½XÑ`ÆÏÒÁÓJÏÒÁS¿ÐuÑSÏÒÁjê`ÁSÂnËBAb¿ÄÏÒÜjÏÒÁjÅÂ`ÏÒÆ À»ÁÅÝ»ÎÏWÏ²ã<ÄÏÒÆÁSÏÒÆâQÆÏÒÀ»ÎÁ`À¿¿uÏÏÒÀ»ÁÄÆÏÒÄÏÒÁ > ¹(C

â Æ ¿ÐuÑ`ÝÔXÎÄD=;`ÆåÂbÀÏe¼¾ÏÒÆÏ+ÐuÑ`Áê`Á`ÎgÂ`ÏÒÆ â À»ÎÏÒÁ`Ã½Xé`À»Äu½XÝ½XÁEÅÆÂSÏÒÆê`Á`ÎF=;`ÆåÅéñÏÒÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏGWÀ¿À»ÃOÏÒÁÂbÆÏÒÀúÁS¿uÔXÄÈ9ÏîOÅÆ1H ÏÒÁ¼½¿À¿À»ÁSÂbÀ»Ã½XÄÅÆÇ½XÁS¿u½XÄÈ@¼Iú"Â`ÏÒÁ ËÄu½XÁSÂS½XÆÂS½XÁS¿u½XÄÈJËK&Lú"Qê`ÁSÂ_ÂbÀÏMÅÆÄÎÏ+¿ÐuÑ`ÆÀ»ÄÄÏÒÁSÏÒÁùÓ)Ï+¿¿u½XÁS¿uÔXÄÈ9ÏLúÓ)ú"ÂbÀÏn½XÝ»ÝÏqÀ»ÜM3½Xé`À»ÄÏÒÝU¸Ãê`ÆÈjîOÅÆÎÏ+¿ÄÏÒÝ»Ý»ÄläUÏÒÆÂ`ÏÒÁ¹ ÏÒÆ/Ï+¿ÄEÂ`ÏÒÆúÆ)ñÏÒÀ»ÄÃÅÁ`È9ÏÒÁÄÆÀÏÒÆÄ¾¿ÀÐuÑ_½XêÂbÀÏúêS¿)N;`Ñ`Æê`Á`ÎåÂ`Ï+¿/OÅ¿¿ À¿ÄÆÀ`ê`ÄÀÅÁ_úÁS¿u½XÄÈ9Ï+¿½XÝ¿WÏÒÀ»ÁSÏÒÁµÂ`ÏÒÆ'MÅÆÄÎÏ+¿ÐuÑ`ÆÀ»ÄÄÏÒÁSÏÒÁ)úÁS¿uÔXÄÈ9Ï¹

P QSR kLWUT\WVûûUñW ûWYX.W[ZSQ

Í\;`ÆÂbÀÏWÓ)Ï+¿¿ê`Á`ÎlÅéñÏÒÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏÒÆIÀ¿À»ÃOÏÒÁqÁSÏÒÁ`ÁÄÂ`ÏÒÆ¼½¿ÝÏÒÆúêS¿u¿ÐuÑêS¿¿]=;`ÆE¼½XÁ`ÃÏÒÁ½XêM¿ÀÐuÑÄÀ»ÜäUÏ+¿ÏÒÁÄÝ»ÀÐuÑSÏÒÁ_ÂbÆÏÒÀ+EÅÆÎÏÒÑSÏÒÁS¿äUÏÒÀ¿ÏÒÁÂbÀÏW¿ÀÐuÑ@ñÏÒÈ^;`ÎÝ»ÀÐuÑeÀ»Ñ`ÆÏÒÆ/3ÅÜqé`ÝÏ²ã<À»ÄuÔXÄê`ÁÄÏÒÆ¿uÐuÑSÏÒÀ%Â`ÏÒÁ¹ ÀÏ½Xêä¾ÔXÁSÂbÀ»Î¿ÄÏÒÁJEÏÒÆ½XÑ`ÆÏÒÁn¿À»ÁSÂjÂ`À»Ï'ÅÆÄÎÏÒ¿uÐuÑ`ÆÀ»ÄÄÏÒÁSÏÒÁ_ÓJÏ+¿u¿u½XÁS¿uÔXÄÈ9Ï¹B*ûÏÒÆu½Â`ÏWî<ÀÏÒÝÏÃ<ÝÏÒÀ»ÁSÏÒÆÏ ê`ÁSÂ)ÜqÀ»ÄÄÝÏÒÆÏq¼½XÁ`ÃÏÒÁgê`ÁSÂ_ÁS¿ÄÀ»Äê`ÄÀÅÁSÏÒÁÏÒÆ=;`Ý»ÝÏÒÁÂbÀÏ îOÅÜ-úêS¿¿ÐuÑêS¿¿3ÎÏ+¿ÏÒÄÈ+ÄÏÒÁEÅÆu½XêS¿¿ÏÒÄÈ+ê`ÁSÎÏ²Á`ÁSÅÐuÑnÁ`ÀÐuÑÄ_ê`ÁSÂà¿ÅsÂ;SÆÄÏÒÁ ¿ÀÐuÑ ÂbÀÏ+¿Ï)úÁS¿ÇÔXÄÈ9ÏJÏÒÆ¿Ä_À»ÜaO½XêÏ)Â`ÏÒÆ2ñÏÒÀ»ÄÂbê`ÆÐuÑS¿ÏÒÄÈ9ÏÒÁ¹úÁSÂ`ÏÒÆÏÒÆ¿ÏÒÀ»Ä¿À¿ÄÏÒÀ»ÁgÎÆïb-ÏÒÆÏÒÆúêä¾½XÁSÂ_ñÏÒÀQÂ`ÏÒÆ¼¾ÏÒÆÏ+ÐuÑ`Áê`Á`Î ÎÏÒäUïÑ`ÁÝ»ÀÐuÑ½XêÐuÑeÜqÀ»ÄUÏÒÀ»ÁSÏÒÆÎÆïb-ÏÒÆÏÒÁc*Ï²ÁH½Xê`À»ÎÃÏÒÀ»ÄUîÏÒÆ)Sê`ÁSÂ`ÏÒÁÂbÀÏäÀÏ+Â`ÏÒÆê`Ü ÏÒÀ»ÁSÏ3½XÁ`ÎÏÒÜjÏ+¿¿ÏÒÁSÏÒÆÏ3½Xé`À»Äu½XÝ»ê`ÁÄÏÒÆÝÏÒÎêSÁ`ÎeÀ»Á úêS¿¿ÀÐuÑÄW¿ÄÏÒÝ»Ý»Ä9¹

dfe+ghibjlknmohqpsr]tvu8momowyx1u8momlz%rvjlk|~7p|bknuzmoqwyx^<^spfpW)^i

Ì

I ~|xñW`~lb9`~u|Òx`z y`~w~w:wS|<~

<oM4l (¡N¢£1¤¦¥¦l[£1§ ÏÒÆl¼¾½¿À¿À»ÁSÂbÀ»Ã½XÄÅÆu½XÁS¿Ç½XÄÈe½XÝ¿lÂ`ÏÒÆÆêSÂbÀ»ÜjÏÒÁÄÇÔXÆ¿ÄÏnúÁS¿u½XÄÈñÏÒÆÏ+ÐuÑ`ÁSÏÒÄåÂbÀÏ@3½Xé`À»Äu½XÝ»ê`ÁÄÏÒÆÝÏ7Îê`Á`Î\Âbê`ÆÐuÑFÓJê`Ý»ÄÀ»é`Ý»À»Ã½XÄÀÅÁ ÏÒÀ»ÁSÏÒÆjäÀ»ÆÄ¿ÐuÑ½ÄÝ»ÀÐuÑSÏÒÁS3ÏÒÁ`Á`È0½XÑ`ÝWÜqÀ»ÄjÂ`ÏÒÜ ¿ÅÎÏÒÁ½XÁSÁÄÏÒÁ

α

ÍH½XÃ<ÄÅÆ1Â`ÏÒÆeîOÅÜ úêS¿¿uÐuÑêS¿¿e½XêEnº9Ö$¨QÆÅÈ9ÏÒÁÄ©MÏ+¿ÄÎÏÒÝÏÒÎÄeäê`ÆÂSÏ¹ ÀÏ:3ÏÒÁ`Á`È0½XÑ`ÝûÀ¿ÄeÏÒÀ»ÁSÏ*ûÆïb-ÏÂ`À»ÏåÂ`ÏÒÁª*ûÏ+¿ÐuÑÔÄ¿ê`Ü«½XÁ`ÎnäÀÂ`ÏÒÆ¿éSÀ»ÏÒÎÏÒÝ»Á¿ÅÝ»Ý¹ ÀÏl¼½XÁ`ÃOÏÒÁ½Xê¿ÀÐuÑÄÁSÏÒÁ`Á<Äû½XÝ¿¿ÅÝ%ÐuÑSÏÒÁ©ÁSÂbÀ»Ã½XÄÅÆÂ`ÏÒÁnÜqÀ»ÄÄÝÏÒÆÏÒÁe¼UÆê`ÄÄÅÏÒÆÄÆu½XÎ Â`ÏÒÆEÝÏÒÄÈ+ÄÏÒÁeÂbÆÏÒÀ¬O½XÑ`ÆÏ¹ êSÆÐuÑnÂbÀÏÍÏ+¿ÄÝÏÒÎê`Á`ÎÂ`Ï+¿

αCÍH½XÃ<ÄÅÆ¿îOÅÁ)½Xê+-Ï²Á)äÀ»ÆÂJÃ<Ý½XÆ1HÂS½¿¿ÂbÀÏ ¿ÅJñÏÒÆÏ+ÐuÑ`ÁSÏÒÄÏ?3½Xé`À»Äu½XÝ»ê`Á<ÄÏÒÆÝÏÒÎêSÁ`Î ÂbÀÏlÀ»Á

ÂbÀ»î<ÀÂbêSÏÒÝ»ÝÏJË<ÄÆê`ÃÄê`ÆnÂ`Ï+¿JCÁS¿ÄÀ»ÄêSÄ¿qÁ`ÀÐuÑÄjÀ»Á ½XÁ`ÎÏÒÜjÏ+¿¿uÏÒÁSÏÒÆ@\ÏÒÀ¿ÏGñÏÒÆ);SÐuÃb¿ÀÐuÑÄÀ»ÎÏÒÁ Ã½XÁ`Á¹® ñÏÒÆÂbÀÏ+¿À¿Ä Ï+¿©Æu½XÎä';`ÆÂbÀ»Î+ÅbøÂ`ÏÒÆ ¼UÆê`ÄÄÅÏÒÆÄÆu½XÎ'½XÝ¿GÁSÂbÀ»Ã½XÄÅÆGN;`Æ ÂS½¿ÅéñÏÒÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏÀ¿À»ÃOÅ ÂbÀÏÒÁSÏÒÁùÃ½XÁ`Á\ê`ÁSÂ\À»Ü é`ÆÅéñÅÆÄÀÅÁ½XÝÏ+ÁEÏ²ÆÑÔXÝ»ÄÁ`À¿lÈ+êsÏ7ñÏÒÁùÂbÀÏ+¿ÏÒÜ ¿ÄÏÒÑÄ9¹vÜqé`Ý»À»È+À»ÄäÀ»ÆÂê`ÁÄuÏ²Æu¿ÄÏÒÝ»Ý»Ä1ÂS½¿u¿ÏÒÀ»ÁÎÆïb-ÏÒÆÏÒÆå¼UÆê`ÄÄÅÏÒÆÄÆu½XÎ)½Xê`ÄÅÜn½XÄÀ¿uÐuÑ?ÜqÀ»ÄlÏÒÀ»ÁSÏÒÜ ÑSïÑSÏÒÆÏÒÁ\ÅéñÏÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏÒÁ:À¿ÃÀÅ îOÏÒÆ)`ê`ÁSÂ`ÏÒÁ À¿Ä1`È+ä¹SÏÒÀ»ÁcÁS¿ÄÀ»Äê`ÄÜqÀ»ÄÎÏÒÆÀ»Á`ÎÏÒÆÏÒÜ ¼UÆê`ÄÄÅÏÒÆÄÆu½XÎeÏÒÀ»ÁSÏÒÜÃ<ÝÏÒÀ»ÁSÏÒÆÏÒÁ¯WÀ¿À»ÃÅJ½XêS¿ÎÏ+¿uÏÒÄÈ+ÄåÀ¿Ä9¹ ÀÏeÍÅÆÜjÏÒÝUÈ+ê`Æ ¼¾ÏÒÆÏ+ÐuÑ`Áê`Á`ÎÂ`ÏÒÆ âQÀ»ÎÏÒÁ`Ã½Xé`À»Äu½XÝ½XÁEÅÆÂ`Ï7Æê`Á`ÎjÁH½ÐuÑµÂ`ÏÒÜ ¼¾½¿À¿À»ÁSÂbÀ»Ã½XÄÅÆu½XÁS¿Ç½XÄÈÝ½Xê`ÄÏÒÄ1H

EKB = α G

EKBâQÀ»ÎÏÒÁ`Ã½Xé`À»Äu½XÝ»ê`ÁÄuÏÒÆÝÏÒÎê`Á`ÎeÎÏÒÜnÔ8-nÂ`ÏÒÜ ¼½¿À¿ÀöÁÂbÀ»Ã½XÄÅÆu½XÁS¿u½XÄÈ

αîOÅÜ úêS¿¿ÐuÑêS¿¿½Xêº9Ö±°²Ï+¿ÄÎÏÒÝÏÒÎÄÏÒÆÍH½XÃÄÅÆ

GÜqÀ»ÄÄÝÏÒÆÏÒÆ_¼UÆê`ÄÄÅÏÒÆÄÆu½XÎùÂ`ÏÒÆnÝÏÒÄÈ+ÄÏÒÁàÂbÆÏÒÀ!¬O½XÑSÆÏ³=¬O½XÑ`ÆuÏ ÜqÀ»ÄnÁÏ²ÎO½XÄÀöîOÏÒÜ ¼UÆê`ÄÄÅÏÒÆÄÆu½XÎ¿À»ÁSÂ È+ê À»ÎÁSÅÆÀÏÒÆÏÒÁ

<´Mµ£1\l¡¦(¥¡¦\[8[£1§Ü Â`ÏÒÁ)ËÄu½XÁSÂS½XÆÂS½XÁS¿u½XÄÈ ½XÁäUÏÒÁSÂ`ÏÒÁ È+ê ÃOïÁ`ÁSÏÒÁbÜ?;S¿¿ÏÒÁ À»Ü¶*ûÏÒÎÏÒÁS¿u½XÄÈÈ+ê`Ü ¼Wú#¿Å0äUÅÑ`ÝÏÒÀ»Á`À»ÎÏê½XÝ»À»Äu½XÄÀ»îOÏ ½XÝ¿3½XêSÐuÑ:ê½XÁÄÀ»Äu½XÄÀ»îOÏD ÅÆu½XêS¿u¿ÏÒÄÈ+ê`Á`ÎÏÒÁ:ñÏÒÈ^;`ÎÝ»ÀÐuÑgÂ`Ï+¿!WÀ¿À»ÃÅÜn½XÁ½XÎÏÜjÏÒÁÄËBAb¿ÄÏÒÜj¿WÏÒÆ=;`Ý»ÝöÄW¿ÏÒÀ»Á¹+*ûÏÒÎÏÒÁB;EñÏÒÆWÂ`ÏÒÜ ¼WúÏ²ÆÜjïÎÝöÀÐuÑ<ÄWÏ+¿ÂbÀÏ+¿ÏÒÆúÁS¿u½XÄÈÂS½XÁ`Á ½8ñÏÒÆ½XêSÐuÑùÈ+äÀ¿ÐuÑSÏÒÁùÂ`ÏÒÁÀ¿À»ÃÏÒÁsÏÒÀ»Á`È9ÏÒÝ»ÁSÏÒÆ@*ûÏ+¿uÐuÑÔÄ¿MÏÒÝÂ`ÏÒÆåÈ+ê\ê`ÁÄÏÒÆ¿uÐuÑSÏÒÀÂ`ÏÒÁ¹\Á`ÁSÏÒÆÑ½XÝùÂ`ÏÒÆÏÒÀ»Á`È9ÏÒÝ»ÁSÏÒÁ©*ûÏ+¿ÐuÑÔÄ¿ÏÒÝÂ`ÏÒÆäÀ»ÆÂ ÂbÀÏUâQÀ»ÎÏÒÁ`Ã½Xé`À»Äu½XÝ½XÁMÅÆÂ`ÏÒÆêSÁ`Îl½XÁ½XÝÅÎ3È+ê`Ü ¼Wú¯ñÏÒÆÏ+ÐuÑ`ÁSÏÒÄ9¹ ÀÏJËÄu½XÁSÂS½XÆÂbê`Á<ÄÏÒÆÄÏÒÀÝ»ê`Á`ÎùÂSÏÒ¿eúêS¿¿uÐuÑêS¿¿Ï+¿qÀ»Á'ß$*ûÏ+¿ÐuÑÔÄ¿MÏÒÝÂ`ÏÒÆjê`ÁSÂFÂbÀÏ È+ê`ÎÏÒÑSïÆÀ»ÎÏÒÁ¿uÅÎÏÒÁ½XÁ`ÁÄÏÒÁ

βCÍH½XÃ<ÄÅÆÏÒÁµ¿À»ÁSÂ&½8ñÏÒÝ»ÝÏnºûÈ+êµÏÒÁÄÁSÏÒÑ`ÜjÏÒÁ¹ ÀÏÍÅÆÜjÏÒÝÝ½Xê`ÄÏÒÄWÑ`ÀÏÒÆ½XÝ¿uÅEH

EKS =∑

i

βiGi

EKSâQÀ»ÎÏÒÁ`Ã½Xé`À»Äu½XÝ»ê`Á<ÄÏÒÆÝÏ+Îê`Á`ÎeÎÏÒÜnÔ8-eÂ`ÏÒÜ ËÄu½XÁSÂS½XÆÂS½XÁS¿u½XÄÈ

βiîOÅÜ úêS¿¿ÐuÑ<êS¿¿IMÏ+¿ÄÎÏÒÝÏÒÎÄÏÍH½XÃ<ÄÅÆÏÒÁ

GiÜqÀ»ÄÄÝÏÒÆÏ¼UÆê`ÄÄÅÏÒÆÄÆuÔXÎÏåÂ`ÏÒÆ4*ûÏ+¿ÐuÑÔÄ¿)ñÏÒÆÏÒÀÐuÑSÏ©îÏÒÆÎÝÏÒÀÐuÑSÏl¼Wú"

Ê


Á<ÄÏÒÆÁSÏÒÑ`ÜjÏÒÁS¿0SÁ½XÁ`È+ÀÏ+Æê`Á`ÎK·ñÏÒÆu½Äê`Á`Î º9ß±°¸ ½XÁSÂSÏ²Ý º9ß±°ÏÒÄu½XÀ»Ý%¹*ûÏ+¿uÐuÑÔÄ º9¸±°ÍÀ»ÆÜjÏÒÁ`Ãê`ÁSÂ`ÏÒÁ`ÎÏ+¿uÐuÑÔÄ º9Ö±°2½XÑ`Ý»ê`Á`Î¿îOÏÒÆÃÏÒÑ`Æ4º»?ÏÒÆÄé½Xé`ÀÏÒÆu½8äÀÐÇÃÝ»ê`ÁSÎ º9ß±° ÏÒéñÅÄEê`ÁSÂc&ÆÏÒê`Ñ½XÁSÂbÎÏ+¿ÐuÑÔÄÏ º9Ö±° ÏÒÆÜjïÎÏÒÁS¿îÏÒÆä¾½XÝ»Äê`Á`Î º9¸±°?ÏÒÆÄé½XéSÀ»ÏÒÆéSÆÅ0îÀ¿ÀÅÁS¿ÎÏ+¿ÐuÑÔÄÏ º9¸±°&½8ñÏÒÝ»ÝÏnºH*ûÏ+¿ÐuÑÔÄ¿ÏÒÝÂ`ÏÒÆ ÜqÀ»Ä ¼¾ÏÒÄu½CÍH½XÃÄÅÆÏÒÁ¹

.êSÏÒÝ»ÝÏbH¼WèË<¼`M¸ëëXÊBHË<ÏÒÀ»ÄÏjº9Ìë

¼ Ï7ñÏÒÁsÂ`ÏÒÁ$ñÏÒÆÏÒÀ»Ä¿DñÏÒÀ»Ü ¼WúYÏÒÆäÔXÑ`ÁÄÏÒÁ3ûÆÀ»ÄÀ»Ã<é`ê`Á`ÃÄÏÒÁ$ÔXÝ»Ý»Äå½XêEÂS½¿¿lÂbê`ÆÐuÑùÂS½¿lÏÒÀ»Á½ÐuÑSÏnúê½Â`ÂbÀÏÒÆÏÒÁùÏÒÀ»ÁSÏjéñÏÒÆMÏÒÃ<ÄÏJ3ÅÆÆÏÒÝ½XÄÀÅÁùÈ+äÀ¿ÐuÑSÏÒÁ Â`ÏÒÁsÅéñÏÒÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏÒÁ WÀ¿À»ÃOÏÒÁ\Â`ÏÒÆ*Ï+¿ÐuÑÔÄ¿½ñÏÒÆÏÒÀÐuÑSÏ¾½XÁ`ÎÏÒÁSÅÜqÜjÏÒÁqäÀ»ÆÂ¹ ½¿¦ñÏ+Â`ÏÒê`ÄÏÒÄ1ÂS½¿u¿LÅéñÏÒÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏWWÀ¿À»ÃÏÒÁåÈ+ê`ÆLÎÝÏÒÀ%ÐuÑSÏÒÁc2ñÏÒÀ»Ä½XêÄÆÏÒÄÏÒÁ<ä¾½¿Á`ÀÐuÑÄ/ñÏ+¿uÅÁSÂ`ÏÒÆ¿ÆÏ9½XÝ»À¿ÄÀ¿ÐuÑeÀ¿ÄEê`ÁÂnÈ+ê_ÏÒÀ»ÁSÏÒÆ¾ÏÒÑSÏÒÆUÃÅÁS¿ÏÒÆî½XÄÀ»îOÏÒÁ3½Xé`À»Äu½XÝ»Ñ`À»ÁÄÏ+ÆÝÏÒÎêSÁ`ÎGN;SÑ`ÆÄ9¹(2Hä¾½XÆ3À¿ÄûÂbÀÏ+¿À»Ü ËÀ»Á`ÁSÏ Â`ÏÒÆ¾ÏÒÎê`Ý½XÄÀÅÁS¿½ñÏÒÑSïÆÂ`ÏÃ½XÁ`Á½8ñÏÒÆÏÒÀ»ÁSÏqÍÏÒÑ`Ý½XÝ»ÝÅÃ½XÄÀ»ÅÁsÂ`Ï+¿"3½Xé`À»Äu½XÝ¿À»Á`ÁSÏÒÆÑ½XÝ\Â`Ï+¿"ÁS¿ÄÀ»Äê`Ä¿ûÈ+ê`ÆÍÅÝ»ÎÏ Ñ½8ñÏÒÁ¹úêS¿ÂbÀÏ+¿ÏÒÜ*ûÆê`ÁSÂ`Ïû¿ÅÝ»Ý»ÄÏûÏÒÀ»ÁSÏû¼½XÁ`ÃeÂS½XÆu½XÁÀ»ÁÄÏÒÆÏ+¿¿ÀÏÒÆÄW¿ÏÒÀ»ÁbÏÒÀ»ÁSÏÒÁ¿ÅÆÄÎÏ+¿ÐuÑ`ÆÀ»ÄÄÏÒÁSÏÒÁ Ó)Ï+¿¿u½XÁS¿Ç½XÄÈ3È+êîOÏÒÆäUÏÒÁSÂ`ÏÒÁ¹

<´ÀÂÁ(¤¦¥¹£^ÃvÄ+8ÅlÆ¦¥Ç£^£1Ä(lÄUÈ Ä+8\lÉ[£1§Äúê Â`ÏÒÜ#*ûÏ7`ÀÏÒÄ3Â`ÏÒÆMÅÆÄÎÏ+¿ÐuÑ`ÆÀ»ÄÄÏÒÁSÏÒÁgÓ)Ï+¿¿u½XÁS¿uÔXÄÈ+ÏäUÏÒÆÂSÏ²Á)îÏÒÆ¿uÐuÑ`ÀÏ+Â`ÏÒÁ: ÅÆÎÏÒÑSÏÒÁS¿äUÏÒÀ%¿uÏÒÁ ÂbÀ¿Ã<ê`ÄÀÏÒÆÄWê`ÁSÂÊä¾Ï²À»ÄÏÒÆÚÏ²Á<ÄäÀÐuÃOÏÒÝ»Ä9¹HúêS¿WÂbÀÏ+¿ÏÒÜ¶*3Æê`ÁSÂ Ñ½XÄ¿ÀÐuÑµÂ`ÏÒÆWúêS¿¿uÐuÑêS¿¿¾Á`ÀÐuÑÄ½XêÏÒÀ»ÁùÃOÅÁ`Ã<ÆÏÒÄÏ+¿EÏÒÆM½XÑ`ÆÏÒÁ³MÏ+¿ÄÎÏÒÝÏÒÎÄ1V¿ÅÁSÂ`ÏÒÆÁùÝÔ¿¿Ä Â`ÏÒÁ ¼¾½XÁ`ÃOÏÒÁ³ÆÏÒÀÏ ¸ ½XÁSÂ³ñÏ²À¾Â`ÏÒÆs½XÑ`ÝÂ`Ï+¿ÃOÅÁ`Ã<ÆÏÒÄÏÒÁ)úÁS¿u½XÄÈ9Ï+¿9¹ ¼ ½XÄ);`ÆÝ»ÀÐuÑ)ÎÀ`ÄûÏ+¿û½XêSÐuÑ)Ñ`ÀÏÒÆäWÀ»ÏñÏÒÀ»Ü ËK&Lú ÎÏÒäÀ¿¿ÏåúÁMÅÆÂ`ÏÒÆê`Á`ÎÏÒÁ¹úÝ»ÝÏÒÁMÅÆÄÎÏ+¿ÐuÑ`ÆÀ»ÄÄÏÒÁSÏÒÁnÓJÏ+¿¿Ç½XÁS¿uÔXÄÈ9ÏÒÁ ÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁqÀ¿Ä1XÂS½¿¿Q¿ÀÏ¾½XêHÂSÏ²Á À»ÁÄÏÒÆÁSÏÒÁ ½XÄÏÒÁùÂ`ÏÒÆ ¼½XÁ`Ãª½¿ÀÏÒÆÏÒÁsê`ÁSÂs¿ÅÜqÀ»Ä ÂbÀÏG*3Æê`ÁSÂbÝ½XÎÏ_ÏÒÀ»ÁSÏ+¿lÀ»ÁSÂbÀ»î<ÀÂbêSÏÒÝ»Ý½XêÂS½¿ÁS¿ÄÀ»Äê`ÄÈ+ê`ÎÏ+¿uÐuÑ`Á`À»ÄÄÏÒÁSÏÒÁùÓ)ÅÂ`ÏÒÝ»Ý¿,SÀöÝÂ`ÏÒÁ¹ ¸ ÀÏÒÆ)ñÏÒÀ ÑH½XÁSÂ`ÏÒÝ»ÄåÏ+¿l¿ÀÐuÑ\ê`Ü ÏÒÀ»Á\Ün½XÄÑSÏÒÜn½XÄÀ¿ÐuÑSÏ+¿ Ó)Å8Â`ÏÒÝ»ÝfäUÏÒÝÐuÑSÏ+¿lÂS½¿,À¿À»ÃOÅ¿`È+ä¹Â`ÏÒÁ\ÂS½XÜqÀ»ÄlîÏÒÆ)`ê`ÁSÂ`ÏÒÁSÏÒÁ³ ÏÒÆÝ»êS¿Äå½XÝ¿ÏÒÀ»ÁSÏ©2Hê½XÝ»Ý¿î½XÆÀ½8`ÝÏ½XÁS¿ÀÏÒÑÄ9¹úêE-ÏÒÆÂ`ÏÒÜçÀ¿ÄQÏ+¿QÂ`ÏÒÆ ¼½XÁ`Ã ÏÒÆÝ½XêE`ÄËñÏÒÀE ÏÒÆäUÏÒÁSÂbê`Á`ÎlÏÒÀ»ÁSÏ+¿ ú3ÓJúÌ½Âbî½XÁSÐ+Ï+ÂqÜjÏ9½¿ê`ÆÏÒÜjÏÒÁÄ½Xé`é`ÆÅ½ÐuÑ[VÂbÀÏ¾ÆÀ¿À»ÃOÅÜqÀ»ÁSÂ`ÏÒÆÁSÂ`Ï'À»ÆÃ<ê`Á`ÎîOÅÁ«EÏÒÆ¿ÀÐuÑSÏÒÆê`Á`ÎÏÒÁnÀ»ÁjÂbÀÏ¼UÏÒÆÏ+ÐuÑ`Á<ê`Á`ÎlÂ`ÏÒÆË3½é`À»Äu½XÝ½XÁMÅÆÂ`ÏÒÆê`Á`ÎeÜqÀ»ÄWÏÒÀ»Á`È+êEñÏÒÈ+ÀÏÒÑSÏ+Á¹ ÀÏlË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿îÅÆÔXÝ»ÝÏäUÏÒÆÂ`ÏÒÁµÁ`ÀÐuÑÄWÁê`ÆÁ½ÐuÑ À»Ñ`ÆÏÒÆ¸ ÏÒÆÃ<ê`ÁÄÎÏÒÜnÔ8-Â`ÏÒÁjß¾*ûÏ+¿ÐuÑÔÄ¿MÏÒÝÂ`ÏÒÆÁq½XêS¿&½8ñÏÒÝ»ÝÏºUÂbÀ%ÍÏÒÆÏÒÁ`È+À»ÏÒÆÄ¿ÅÁSÂ`ÏÒÆÁ È+êS¿uÔXÄÈ+Ý»ÀÐuÑ©Î

Ö


îOÏÒÆ¿ÐuÑ`ÀÏ+Â`ÏÒÁSÏÒÁc3½XÄuÏ²ÎÅÆÀ»ÏÒÁ îOÅÁÅéñÏÒÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏÒÁEÏÒÆÝ»êS¿ÄÄsA<éñÏÒÁ_È+ê`ÎÏ+ÅÆÂbÁSÏÒÄ9¹EÁS¿ÎÏ+¿u½XÜåÄUÃOïÁÁSÏÒÁnÂbÀÏWÅéñÏÒÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏÒÁ©EÏÒÆÝ»êS¿ÄÏ½XÝ¿ÅÖòûîOÏÒÆ¿ÐuÑ`ÀÏ+Â`ÏÒÁSÏÒÁG2HÏÒÝ»ÝÏÒÁnÈ+ê`ÎÏ+ÅÆÂbÁSÏÒÄEäUÏÒÆÂ`ÏÒÁ¹K2HêSÏÒÆ¿ÄäUÏÒÆÂ`ÏÒÁµÂbÀÏÏÒÀ»Á`È9ÏÒÝ»ÁSÏÒÁL3ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁSÏÒÁJ¿ÏÒé½XÆu½XÄ'ñÏÒÄÆu½ÐuÑÄuÏ²Äê`ÁSÂ ¿éÔXÄÏÒÆWÂbÀÏûâ ÆÎÏ7`Á`À¿¿Ï½XÎbÎÆÏÒÎÀÏÒÆÄ9¹ ÀÏ!3ûÝ½¿¿ÏÒÁÂ`ÏÒÆUâQÆÏÒÀ»ÎÁ`À¿ÄsA<éñÏÒÁ Â`ÏÒÆUÅéñÏÒÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏ+ÁWÀ¿À»ÃOÏÒÁOäÀÏîOÅÜYúêS¿u¿ÐuÑêS¿¿MÏ+¿ÄÎÏÒÝÏÒÎÄ1`Ý½Xê`ÄÏÒÁlCH

• ÁÄÏÒÆÁSÏÒÆ¼¾ÏÒÄÆê`Î• âVãbÄÏÒÆÁSÏÒÆ¼¾ÏÒÄÆê`Î• ¼¾Ï+¿ÐuÑÔÄÀ»Îê`Á`Î¿îÏÒÆÑÔXÝ»ÄÁ`À¿u¿Ïê`ÁSÂ úÆ)ñÏÒÀ»Ä¿é`Ý½XÄÈ9¿ÀÐuÑSÏÒÆÑSÏÒÀ»Ä• 3ûÝ»ÀÏÒÁÄÏÒÁn9¨QÆÅÂbêSÃÄê`ÁSÂ:*ûÏ+¿ÐuÑÔÄ¿îOÏÒÆÑ½XÝ»ÄÏÒÁ• Ë<ÐuÑÔÂ`ÏÒÁ)½XÁ Ün½XÄÏÒÆÀÏÒÝöÝÏÒÁ)úÃÄÀ»î½• *ûÏ+¿ÐuÑÔÄ¿ê`ÁÄÏÒÆ)`ÆÏ+ÐuÑê`Á`Îeê`ÁSÂJËBAb¿ÄÏÒÜåîÏÒÆ¿Ç½XÎÏÒÁ• úêS¿N;`Ñ`Æê`Á`Î¿nEOÀ»ÏMÏÒÆEê`ÁSÂc¨QÆÅÈ9Ï+¿u¿Ün½XÁ½XÎÏÒÜjÏÒÁ<Ä

2Hê)Â`ÏÒÁLMÅÆÄÎÏ+¿ÐuÑ`ÆÀ»ÄÄÏÒÁSÏÒÁúÁS¿uÔXÄÈ9ÏÒÁJÎÏÒÑSïÆÄ3ê`ÁÄÏÒÆû½XÁSÂ`ÏÒÆÏÒÜ-Â`ÏÒÆ4ÓJúÏÀ»ÁÄuÏ²ÆÁ½XÝÜjÏ9½¿ê`ÆÏÜjÏÒÁÄ ½Xé`é`ÆÅ½ÐuÑê`ÁSÂsÂ`ÏÒÆO ú#ÝÅ¿¿åÂbÀ¿ÄÆÀ`ê`ÄÀÅÁ ½Xé`é`ÆÅ½ÐuÑ²¹\Á\Â`ÏÒÆ¨QÆu½kãbÀ¿lÀ¿ÄlÂ`ÏÒÆ ½XÜÑÔXê0SÎ¿ÄÏÒÁe½XÁ`È+ê`ÄÆÏÍÏÒÁSÂ`ÏúÁS¿u½XÄÈWÂ`ÏÒÆËO ú ¹Ü»EÏÒÆÎÝÏÒÀÐuÑjÈ+ê`Ü`ÓJúS`ÀÏÒÄÏÒÄEÏÒÆQÜjÏÒÑ`Æ ÍÝÏ²ãbÀ%`À»Ý»À»ÄuÔXÄê`ÁSÂe¿ÐuÑÔXÄÈ+ÄUÂ`ÏÒÁnê`ÁSÏÒÆä¾½XÆÄÏÒÄÏÒÁ¿EÏÒÆÝ»êS¿ÄÂbÀ»ÆÏÒÃ<Ä1OÂ¹ Ñ¹ÂbÀÏWÎÏ+¿u½XÜåÄÏ6EÏÒÆÝ»êS¿ÄîÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎäÀ»ÆÂ ÎÏ+¿ÐuÑÔXÄÈ+Ä1ä¾ÔXÑ`ÆÏÒÁSÂ Â`ÏÒÆÓ)ú îOÅÁ ÏÒÀ»ÁSÏÒÆ ½XÁ½XÝAÄÀ¿uÐuÑSÏÒÁqúÁ`ÁÔXÑSÏÒÆê`Á`ÎÂ`Ï+¿ê`ÁSÏÒÆä¾½XÆÄuÏ²ÄuÏ²ÁEÏÒÆÝ»êS¿Ä¿åÀ»Á`ÁSÏÒÆÑ½XÝ ÏÒÀ»ÁSÏ+¿EÏÒÆÝ»êS¿ÄÜjÅÂ`ÏÒÝ»Ý¿q½XêS¿ÎÏÒÑÄ9¹ ÏÒÆlêSÁSÏÒÆä¾½XÆÄÏÒÄÏ©EÏÒÆÝ»êS¿ÄñÏÒÈ9ÏÒÀÐuÑ`ÁSÏÒÄÂbÀÏ À%ÍÏÒÆÏÒÁ`ÈÈ+äÀ¿ÐuÑSÏÒÁ Â`ÏÒÜ áá¡á±°D¹.ê½XÁÄÀÝWÂ`ÏÒÆ4ÐÔXÑ`ÆÝ»ÀÐuÑSÏÒÁ ÏÒÆÝ»êS¿ÄîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Îê`ÁSÂùÂ`ÏÒÜÏÒÆä¾½XÆÄuÏ²ÄuÏ²ÁGEÏÒÆÝ»êS¿Ä1<½XÝ¿ÅåÂ`ÏÒÜ%âQÆä¾½XÆÄê`Á`Î¿äUÏÒÆÄWÏ7ñÏÒÁ_ÂbÀÏ+¿ÏÒÆI ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎS¹ ¸ ÀÏÒÆ)ñÏÒÀñÜåêS¿¿<ñÏ½ÐuÑÄÏÒÄåäUÏÒÆÂ`ÏÒÁÂS½¿¿lÂ`ÏÒÆåÏÒÆä¾½XÆÄÏÒÄÏJ ÏÒÆÝ»êS¿ÄÁ½XÄ);`ÆÝ»ÀÐuÑ ½XêSÐuÑ\ê`ÁÄÏÒÆÝÏÒÎÄlä¾Ï²ÆuÂ`ÏÒÁ\ÜåêE-S¹ ÏÒÆÀ»ÁÄÏÒÆÁSÏlÓ)Ï+¿¿u½XÁS¿u½XÄÈÃ½XÁ`Áµ¿Å îOÏÒÆ¿Äu½XÁSÂ`ÏÒÁµäUÏÒÆÂ`ÏÒÁÂS½¿¿WÂS½¿6WÀ¿À»ÃOÅ Á½ÐuÑJÂ`ÏÒÜ ÓµÀ»ÄÄÏÒÝ»äUÏÒÆÄé`ÆÀ»Á`È+À»éqÎÏÒÜjÏ+¿¿uÏÒÁ äÀ»ÆÂ(Â¹ Ñ¹Â`ÏÒÆQâEÏ²ä½XÆÄê`Á`Î¿äUÏÒÆÄ äÀ»ÆÂ ÜqÀ»ÄQÏÒÀ»ÁSÏ¾ÜjÍ½XÃ<ÄÅÆVÜåê`Ý»ÄÀ»é`Ý»À»È+ÀÏÒÆÄ0¹ ½¿¦3½Xé`À»ÄÏÒÝEÎ<¹¡ÖWÀ»Á è3¹0úÝÏ²ãS½XÁSÂ`ÏÒÆIM¸ëëÌ±(ñÏ+¿uÐuÑÔÄÀ»ÎÄ¿ÀÐuÑlÁÔXÑSÏÒÆLÜqÀ»ÄÂ`ÏÒÜÌÓ)úsê`ÁSÂåÏÒÁÄÑÔXÝ»Ä½XêSÐuÑ?ÂbÀÏMÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`ÏÒÁ?úêS¿¿u½XÎÏÒÁ¹ ÏÒÆ¼½¿À¿yÓ)ú ÎÏÒÑÄÂS½9îÅÁ\½XêS¿1ÂS½¿¿ûÂbÀÏnË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÂ`ÏÒÄÏÒÆÜqÀ»Á`À¿ÄÀ¿ÐuÑgÀ¿Äê`ÁSÂ)ÂbÀÏqË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È0½XÑ`Ý]`À»ÁSÅÜqÀ½XÝ»îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»Ä9¹úêEÂbÀÏ+¿ÏÒÁgúÁ`Á½XÑ`ÜjÏÒÁ½XêN½XêSÏÒÁSÂÊñÏÒÆÏ+ÐuÑ`ÁSÏÒÄåÏÒÆÂ`À»ÏjâQÀ»ÎÏÒÁ`Ã½Xé`À»Äu½XÝ»Ñ`À»Á<ÄÏÒÆÝÏ+Îê`Á`Îg½XÝ¿úÁÄÏÒÀ»Ý Â`Ï+¿lÏÒÆä¾½XÆÄÏÒÄÏÒÁ$EÏÒÆÝ»êS¿Ä¿9¹ ÀÏÎÆê`ÁSÂbÝÏÒÎÏÒÁSÂ`ÏåÍSÅÆÜjÏÒÝLÂ`Ï+¿ÓJúÝ½Xê`ÄÏÒÄ1H

EKIMA = γE(L) = γµL,

äUÅbñÏÒÀµL

Â`ÏÒÆâQÆä¾½XÆÄê`Á`Î¿äUÏÒÆÄ3Â`Ï+¿È+êÔXÝ»Ý»À»ÎÏ²ÁLEÏÒÆÝ»êS¿ÄÏ+¿LÀ¿Ä9¹

ÀÏγCÍH½XÃÄÅÆÏÒÁ ¿À»ÁSÂ\Á`ÀÐuÑÄåîOÅÜ ¼½¿ÝÏÒÆ úêS¿u¿ÐuÑêS¿¿,0`ã<ÀÏÒÆÄ ê`ÁSÂ\Ü;S¿¿ÏÒÁù¿ÏÒÝS¿ÄlÃ½XÝ»À`ÆÀÏÒÆÄ

äUÏÒÆÂ`ÏÒÁ¹âQÀ»ÁSÏgÓ)ÏÒÄÑSÅÂ`ÏUäÀÏgÂbÀÏ+¿Ï)ÍH½XÃ<ÄÅÆÏÒÁ ÎÏ+¿ÐuÑÔXÄÈ+ÄäUÏÒÆÂ`ÏÒÁ ÃOïÁ`ÁSÏÒÁUäÀ»ÆÂø½XêåÂ`ÏÒÁdsÑ\uphÒhÒpÓbj(Ôljl?n7st¦|xbkn|8gW1i

ò


Ë<ÏÒÀ»ÄÏÒÁ#ºÒÊOßuº9Öò?Â`ÏÒÆnÅbñÏÒÁFÎÏÒÁ½XÁ`ÁÄÏÒÁÕ.êSÏÒÝ»ÝÏcñÏ+¿ÐuÑ`ÆÀÏ7ñÏÒÁ¹¼UÏÒÀÂ`ÏÒÆ_Ë<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`Î\äÀ»ÆÂFÂbÀÏ Ï0SÁ`À»ÄÀÅÁJÂ`Ï+¿Wê`ÁSÏÒÆä¾½XÆÄÏÒÄÏÒÁLEÏÒÆÝ»êS¿Ä¿½XêS¿ÎÏÒÁê`ÄÈ+Ä9¹

γ µL = EKIMA = q99,9% − µL ⇒ γ =q99,9% − µL

µL

EKIMAâQÀ»ÎÏÒÁ`Ã½Xé`À»Äu½XÝ»êSÁÄÏÒÆÝÏÒÎê`ÁSÎnÎÏÒÜnÔ8-eÂ`ÏÒÜ ¼¾½¿À¿yÓ)ú

γîOÅÜÖÁS¿ÄÀ»Äê`ÄWÈ+êñÏ+¿ÄÀ»ÜqÜjÏÒÁSÂ`ÏÒÆÍH½XÃ<ÄÅÆ

µLâQÆä½XÆÄê`Á`Î¿äUÏÒÆÄ3Â`ÏÒÆ ÏÒÆÝ»êS¿ÄîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î

q99,9%ÂS½¿áá¡á±°D¹.ê½XÁÄÀ»ÝLÂ`ÏÒÆEÏÒÆÝ»êS¿ÄîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î

ÀÏDEÏÒÆÝ»êS¿ÄîOÏ²ÆÄÏÒÀöÝ»ê`ÁSÎ_À¿ÄÁ`ÀÐuÑÄ4ñÏÒÃ½XÁ`ÁÄ3ê`ÁSÂµäÀ»ÆÂJÂbê`ÆÐuÑgÏÒÀ»ÁSÏåúÁ`Á½XÑ`ÜjÏ;EñÏÒÆ3ÂbÀÏ Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È0½XÑ`Ý»îÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎûÀ»ÁSÂbÀ»ÆÏÒÃÄvMÏ+¿ÄÎÏÒÝÏÒÎÄ1kÂS½WäÀ»ÆîOÅÁåÏÒÀ»ÁSÏÒÆÂ`ÏÒÄÏÒÆÜqÀ»Á`À¿ÄÀ¿ÐuÑSÏÒÁnË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏ½XêS¿ÎÏÒÑSÏÒÁ¹Ë<ÏÒÄÈ+ÄWÜn½XÁ ÂbÀÏâQÀ»ÎÏÒÁ`Ã½Xé`À»Äu½XÝ»ê`ÁÄÏ+ÆÝÏÒÎêSÁ`ÎnÁ`ÀÐuÑÄÁ½ÐuÑµÂ`ÏÒÜ ¿ÅÎÏÒÁ½XÁ`ÁÄÏÒÁµâQÆä¾½XÆÄê`Á`Î¿äUÏÒÆÄé`ÆÀ»Á`È+À»é\½XÁ Â¹ Ñ¹ñÂbÀÏ âQÀ»ÎÏÒÁ`Ã½Xé`À»Äu½XÝ»ê`Á<ÄÏÒÆÝÏÒÎê`Á`Î À¿ÄûÏÒÀ»ÁgúÁÄÏÒÀ»Ýf[ñÏÒÈ+À»ÏÒÑ<ê`Á`Î¿äUÏÒÀ¿Ï3ÀÏÒÝ%½ÐuÑSÏ+¿UÂ`Ï+¿UâQÆä¾½XÆÄê`Á`Î¿äUÏÒÆÄÏ+¿`¿ÅÁSÂ`ÏÒÆÁ_Á½ÐuÑ_Â`ÏÒÜ ËÄu½XÁSÂS½XÆÂS½8äUÏ+ÀÐuÑê`ÁSÎ¿é`ÆÀ»ÁSÈ+À»ébÏÒÆÎÀ`Ä¿ÀÐuÑ ÜqÀ»Ä

σL½XÝ¿ËÄu½XÁSÂS½XÆÂS½8ä¾ÏÒÀÐuÑêSÁ`Î_Â`ÏÒÆ'EÏÒÆÝ»êS¿ÄîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Îζ σL = EKIMA = q99,9% − µL ⇒ ζ =

q99,9% − µL

σL.

ÁÄÏÒÆ îÏÒÆ¿ÐuÑ`ÀÏ+Â`ÏÒÁSÏÒÁFúÁ`Á½XÑ`ÜjÏÒÁ¯;EñÏÒÆqÂbÀÏ Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È0½XÑ`Ý»îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`ÁSÎ?ÏÒÆÎÏ7ñÏÒÁF¿ÀÐuÑ ÂbÀÏ_À»Á&½8ñÏÒÝ»ÝÏå¸q½XÁ`ÎÏÒÎÏ7ñÏÒÁSÏÒÁ)ÍÅÆÜjÏÒÝ»ÁcN;`ÆWÂbÀÏâQÀ»ÎÏÒÁ`Ã½Xé`À»Äu½XÝ»ê`ÁÄuÏÒÆÝÏÒÎê`Á`ÎS¹EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î âQÆä¾½XÆÄê`Á`Î¿äUÏÒÆÄ

µNËÄu½XÁSÂS½XÆÂS½8äUÏÒÀÐÇÑê`Á`Î

σN EKIMA¼UÀ»ÁSÅÜqÀ½XÝnp

√

np(1 − p) ≈ √np ζX

√np¨ÅÀ¿¿uÅÁ

λ√

λ ζX√

λ¼ ÏÒÎO½XÄÀ»îB`À»ÁSÅÜqÀ½XÝαβ β

√α ζXβ

√α

npλαê`ÁÂ

β¿À»ÁSÂ ÂbÀÏ"¨Q½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆÂ`ÏÒÆÐÏÒäUÏÒÀ»ÝöÀ»ÎÏÒÁLEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î+×

Â`ÏÒÄÏÒÆÜqÀ»Á`À¿ÄÀ¿uÐuÑSÏ Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏX

&½8ñÏÒÝ»ÝÏå¸HSÍSÅÆÜjÏÒÝD=;`ÆJÂbÀÏ\â À»ÎÏÒÁ`Ã½Xé`À»Äu½XÝ»ê`Á<ÄÏÒÆÝÏÒÎê`Á`Î Á½ÐuÑØÓ)úÙñÏÒÀlîOÏÒÆ¿ÐuÑ`ÀÏ+Â`ÏÒÁSÏÒÁgË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È0½XÑ`Ý»îOÏ²ÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎO¿u½XÁ`Á½XÑSÜjÏÒÁ¹

¼ ½ÐuÑSÂ`ÏÒÜ Ün½XÁqÂbÀÏ+¿Ï¾¼¾ÏÒÆÏ+ÐuÑ`Áê`Á`ÎÏÒÁ=;`ÆÐÏ+Â`Ï¾Â`ÏÒÆ Öò43ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁSÏÒÁe½XêS¿ÎÏN;`Ñ`ÆÄQÑ½XÄ1XÃ½XÁ`ÁÜn½XÁ)ÂbÀÏåâQÀ»ÎÏÒÁ`Ã½Xé`À»Äu½XÝ»Ñ`À»Á<ÄÏÒÆÝÏ+Îê`Á`ÎÏ+Á)È¹ó¼û¹ñ½XêM½ÂSÂbÀÏ²ÆuÏ²ÁvHäUÅbñÏÒÀLÑ`ÀÏÒÆäÀÏ+Â`ÏÒÆ3ÏÒÀ»ÁSÏléñÏÒÆMÏÒÃÄuÏ3ÅÆÆÏÒÝ½XÄÀÅÁJîOÅÁ À»Üqé`Ý»À»È+ÀÏÒÆÄÀ¿Ä9¹Sâ ¿WÀ¿Ä½8ñÏÒÆ3½XêSÐuÑµÏÒÀ»ÁSÏÎÏÒÁ½XêSÏÒÆÏlÓ)ÅÂ`ÏÒÝ»Ý»ÀÏÒÆê`Á`Î_Â`ÏÒÆ¼¾ÏÒÈ+ÀÏÑê`ÁSÎÏ²ÁµÈ+äÀ¿ÐuÑSÏÒÁJÂ`ÏÒÁµÏ²À»Á`È9ÏÒÝ»ÁSÏÒÁF3ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁSÏÒÁJÜjïÎÝ»ÀÐuÑ¹Ü:ÍÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`ÏÒÁ?äUÏÒÁSÂ`ÏÒÁäÀ»Æê`ÁS¿Â`ÏÒÜYO úÈ+ê¹¼UÏÒÀ ÂbÀÏ+¿ÏÒÜ úÁ¿u½XÄÈq¿ÄÏÒÑÄÂbÀÏ?EÏÒÆÝ»êS¿ÄîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î_½XÝ¿W¿uÅÝÐuÑSÏûê`ÁSÂ Â`ÏÒÆÏÒÁJÓJÅÂ`ÏÒÝ»Ý»ÀÏÒÆê`Á`ÎnÀ»ÜÖEÅÆÂ`ÏÒÆÎÆê`ÁSÂ¹

Î

Ú³Û y<x~½Üey<|Òx~ÝU9ÿwlz y`~w

Þ ß WW!à ñWYá K6Tq û

2HêSÏÒÆ¿Ää¾Ï²ÆuÂ`ÏÒÁ?äÀ»Æå½XÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁsÂbÀÏqÜn½XÄÑSÏÒÜn½XÄÀ¿ÐuÑSÏeÓJÅÂ`ÏÒÝ»Ý»ÀÏÒÆê`Á`Î)ÏÒÀ»ÁSÏ+¿"EÏÒÆÝ»êS¿ÄÏ+¿lÏÒÀ»ÁN;`ÑÆÏÒÁ\ê`ÁSÂ?ÂbÀÏj¼¾Ï+Â`ÏÒê`Äê`Á`ÎÏÒÁª5:;EñÏÒÆÄÆu½XÎÏÒÁ ½XêÂ`ÏÒÁ\ÍH½XÝ»ÝEÂ`Ï+¿"EÏÒÆÝ»êS¿ÄîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿u½XÁS¿u½XÄÈ9Ï+¿,5¿ÃÀ»È+È+ÀÏÒÆÏÒÁ¹ ½XÜqÀ»ÄÂS½¿_ÓJÅÂ`ÏÒÝ»Ý3¿éHÔXÄÏÒÆ½XÁ ½XÄÏÒÁø½XÁ`ÎÏÒé½¿¿ÄeäUÏÒÆÂ`ÏÒÁàÃ½XÁ`ÁEäUÏÒÁSÂ`ÏÒÁ'äÀ»Æê`ÁS¿UÂS½XÁ½ÐuÑ_Â`ÏÒÜâ&¾ÑSÏÒÜn½ Ë<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆUÈ+ê¹ ÀÏâQÀ»ÎÏÒÁS¿uÐuÑ½Ä¾ÅéñÏÒÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏÒÆ'WÀ¿À»ÃOÏÒÁÂS½¿¿U½XêSÐuÑÏ²ãbÄÆÏÒÜÑSÅÑSÏûË<ÐuÑÔÂ`ÏÒÁeÜqÀ»ÄUÏ²À»ÁSÏÒÆÁ`ÀÐuÑÄÈ+ênîOÏ²ÆÁ½ÐuÑ`ÝÔ¿¿À»ÎÏÒÁSÂ`Ï6s½XÑ`Æ¿ÐuÑSÏÒÀ»Á`Ý»ÀÐuÑ`ÃOÏÒÀ»ÄîOÅÆÃOÅÜ«ÜjÏÒÁv0SÁSÂ`ÏÒÄ À»ÁùÏÒÀ»ÁSÏÒÜã¨Q½XÆu½XÎÆu½Xé`ÑSÏÒÁ¯;EñÏÒÆ âVãbÄÆÏÒÜåäUÏÒÆÄÄÑSÏ+ÅÆÀÏ¿ÏÒÀ»ÁSÏÒÁ ¼ ÀÏ+Â`ÏÒÆ¿ÐuÑ`Ý½XÎS¹ ½¿&¾ÑSÏÒÜn½eèUÅé`ê`Ý½j¿ÅÝ»ÝÂS½¿¼À»ÝÂ îOÏÒÆîÅÝ»Ý¿ÄÇÔXÁSÂbÀ»ÎÏÒÁ¹

À<oäÈ [£Æ[Ä(åª[£bbÅ[ÆlÄ+ªÈ ¤¡vÄææàÀÏ,ñÏÒÆÏÒÀ»Ä¿3ÏÒÆä¾ÔXÑSÁÄ1äÀ»ÆÂJÂS½¿4WÀ¿À»ÃOÅEESÈÒäl¹HÂ`ÏÒÆ6EÏÒÆÝ»êS¿ÄÜqÀ»Ä3Â`ÏÒÜ¶3ÅÁ`È9ÏÒé`ÄûÂ`ÏÒÆ"2HêM½XÝ»Ý¿)î½XÆÀ½8`ÝÏÒÁ)îOÏÒÆ)`ê`ÁSÂ`ÏÒÁ¹ñÍ\;`Æû½XÝ»ÝÏåäUÏÒÀ»ÄÏÒÆÏÒÁúêS¿u¿u½XÎÏÒÁJäÀ»ÆÂJÀ»Üqé`Ý»ÀöÈ+À»ÄÏÒÀ»Á)È+ê`ÎÏÒÑSïÆÀ»ÎÏÒÆ¾\½XÑ`Æ¿uÐuÑSÏÒÀ»Á`Ý»ÀÐuÑ`ÃÏÒÀ»Ä¿Æu½Xê`Ü

(Ω, A, P )êSÁÄÏÒÆ¿ÄÏÒÝ»Ý»Ä9¹ 'À»Æ3ÎÏÒÑSÏÒÁJîOÅÁJÏÒÀ»ÁSÏÒÜ¶ ÏÒÆÝ»êS¿Ä

L½XêS¿1Â`ÏÒÆ3¿ÀÐuÑ

½XêS¿3ÏÒÀ»ÁSÏÒÆÎÏÒäÀ¿¿ÏÒÁ)úÁ`È0½XÑ`ÝLîÅÁJâ À»Á`È9ÏÒÝ¿ÐuÑÔÂ`ÏÒÁXi

È+êS¿u½XÜqÜjÏÒÁS¿ÏÒÄÈ+Ä9¹ ÀÏ+¿Ïå¿Å0äÀÏåÂbÀÏlúÁÈ0½XÑ`ÝÂ`ÏÒÆWË<ÐuÑÔÂSÏ²Á ¿À»ÁSÂeÈ+êÔXÝ»Ý»À»Î+b¿Å ÂS½¿u¿UäÀ»Æ¾À»ÁS¿ÎÏ+¿u½XÜåÄÏÒÀ»ÁSÏÒÁ È+êMÔXÝ»Ý»À»ÎÏÒÁEÏÒÆÝ»êS¿Ä¾ÏÒÆÑ½XÝ»ÄÏÒÁ¹ ½lÂbÀÏ+¿Ï ® ñÏÒÆÝÏÒÎê`Á`Î Âbê`ÆÐuÑÏÒÀ»ÁM½ÐuÑSÏËê`ÜqÜjÏÒÁB`À»ÝÂbêSÁ`Îj½XêÆÏÒÀ»ÁeÄÑSÏ+ÅÆÏÒÄÀ»¿uÐuÑ¿ñÏÒÝ»ÀÏ7`À»Î î<ÀÏÒÝÏ¼¾ÏÒÆÏÒÀÐuÑSÏOÀ»ÁeÂ`ÏÒÁSÏÒÁ©EÏÒÆÝ»êS¿ÄÏ½XêÄÆÏÒÄÏÒÁ;EñÏÒÆÄÆu½XÎÏÒÁ_äUÏÒÆÂ`ÏÒÁeÃ½XÁ`ÁÆÏÒÀÐuÑÄUÏ+¿EÈ+êSÏÒÆ¿ÄEÁê`ÆÏÒÀ»Á*Ï7`ÀÏÒÄUÈ+ê©ñÏÒÄÆu½ÐuÑ<ÄÏÒÁ¹Üâ3ÅÁÄÏ²ã<ÄÂ`Ï+¿IO ú?Â`ÏÒÆ¾ÂbÀÏ!EÏÒÆÝ»êS¿ÄîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎqÂ`ÏÒÆ¾ÖòåÏÒÀ»Á`È9ÏÒÝ»ÁSÏÒÁ*Ï+¿ÐuÑÔÄ¿)ÏÒÝÂKfEÏÒÆÝ»êS¿ÄÄsA<éy3ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁÏÒÁ ÜjÅÂ`ÏÒÝ»Ý»ÀÏÒÆÄjê`ÁSÂ ÂS½XÆu½XêS¿qÂbÀÏ¿EÏÒÆÝ»êS¿ÄîÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎÂ`ÏÒÆ?*Ï+¿u½XÜåÄ)½XÁ`Ã_ñÏÒÆÏ+ÐuÑ`ÁSÏÒÄ1ÃOÅÁ`È9ÏÒÁÄÆÀÏÒÆÏÒÁ\äÀ»Ælê`ÁS¿¿ÅÜqÀ»ÄÈ+êSÏÒÆ¿Ä ½XêÏÒÀöÁÏj¿ÅÝÐuÑSÏ@3ÅÜ«`À»Á½XÄÀÅÁsê`ÁSÂªñÏÒÑ½XÁSÂ`ÏÒÝ»ÁsÀ»Ü È+äUÏÒÀ»ÄÏÒÁ Ë<ÐuÑ`ÆÀ»ÄÄ«*ûÏ+¿ÀÐuÑÄ¿é`ê`Á`ÃÄÏnÂ`ÏÒÆlúÎÎÆÏÒÎO½XÄÀÅÁ¹vÜ ÂbÀÏEÏÒÆÝ»êS¿ÄîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎÈ+ê ÜjÅÂ`ÏÒÝ»Ý»ÀÏÒÆÏÒÁQÎÆÏÒÀ%Ä Ün½XÁF½XêûÏ²À»ÁSÏÒÁ îOÏÒÆ¿ÀÐuÑSÏÒÆê`Á`Î¿Ün½XÄÑSÏÒÜn½ÄÀ¿ÐuÑSÏÒÁúÁS¿u½XÄÈåÈ+ê`Æ);SÐuÃ¹ ½XÈ+ê:ñÏÒÄÆu½ÐuÑÄÏÒÁgäÀ»Æ!MÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`Ï+¿ä¾½XÑSÆ¿ÐuÑSÏÒÀ»Á`Ý»ÀÐuÑ`ÃÏÒÀ»Äu¿ÄÑSÏ+ÅÆÏ+ÄÀ¿ÐuÑSÏqÓJÅÂ`ÏÒÝ»ÝÏÒÀ»ÁSÏÒÆ È+êÔXÝ»Ý»À»ÎÏÒÁFËê`ÜqÜjÏeÈ+ê`Æ ¼¾Ï+¿ÐuÑ`ÆÏÒÀ`ê`Á`ÎgÂ`Ï+¿EÏÒÆÝ»êS¿ÄÏ+¿åÀ»Á`ÁSÏÒÆÑ½XÝ ÏÒÀ»ÁSÏ+¿*Ï+¿ÐuÑÔÄu¿)ñÏÆÏÒÀÐuÑS¿H

L =N∑

i=1

XiÚº

NÈ+êÔXÝ»Ý»À»ÎÏåË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È0½XÑ`ÝfSê`Á½8`ÑÔXÁ`ÎÀ»ÎeîÅÁ Â`ÏÒÁ

Xi

XiÈ+êÔXÝ»Ý»À»ÎÏ Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑïÑSÏ Â`Ï+¿À%ÄÏÒÁË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿3ê`ÁÄÏÒÆ3Â`ÏÒÆ3¼¾Ï+ÂbÀ»Á`Îê`Á`Î+ñÂS½¿¿ÏÒÀ»ÁË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁÏÒÀ»Á`ÎÏÒÄÆÏÒÄÏÒÁ À¿Ä9¹QâE¿qäÀ»ÆÂ ½XÁ`ÎÏÒÁSÅÜqÜqÁSÏÒÁÂS½¿¿qÂbÀÏ

Xiê`Á½8`ÑÔXÁ`ÎÀ»Î\ê`ÁSÂ ÀÂ`ÏÒÁÄÀ¿ÐuÑ

îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»Ä¿À»ÁSÂ¹ÁÄÏÒÆ ÂbÀÏ+¿ÏÒÁ úÁ`Á½XÑ`ÜjÏÒÁùÝ½¿u¿ÏÒÁù¿ÀÐuÑ³ÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`Ï_ÎÆê`ÁSÂbÝÏÒÎÏÒÁSÂ`ÏÒÁFâQÀ»ÎÏÒÁS¿uÐuÑ½ÄÏÒÁFÂ`Ï+¿qËê`Ü«ÜjÏÒÁ`é`ÆÅÈ9Ï+¿u¿Ï+¿WÑSÏÒÆÝÏÒÀ»ÄÏÒÁH

• E(L) = E(N)E(X)`äUÅbñÏÒÀ

X ∼ XiÂbÀÏ+¿ÏÒÝñÏ"EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎjäWÀ»Ï

XiñÏ+¿À»ÄÈ+Ä

ß


• V ar(L) = E(N)V ar(X) + V ar(N)(E(X))2¹

À<´Mµ<Å[Æ[É[£1§Ä(¥ ½¿\&¾ÑSÏÒÜn½ûË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ¦0SÁSÂ`ÏÒÄÜn½XÁ À»ÁDM½¿Ä9ÐÚÏ+Â`ÏÒÜØOÏÒÑ`Æ)`êSÐuÑ ÈÒêSÆâQÀ»Á=;`Ñ`Æê`Á`Î3À»Á ÂbÀÏËÄu½XÄÀ¿ÄÀ»Ã[äÀÏÈ¹ó¼û¹`À»ÁJËÄu½XÑSÏÒÝIM¸ëë¸±¾ÅÂ`ÏÒÆ½XêS¿)N;`Ñ`ÆÝ»ÀÐuÑSÏÒÆÀ»ÁJËÀ»Ý»îOÏ7AªÚº9á±ÎÖ±²¹àÀ»ÆWÎÏÒÑSÏÒÁJîOÅÁµÏÒÀ»ÁSÏÒÜ ¿ÅÎÏÒÁ½XÁ`ÁÄÏÒÁJé½XÆu½XÜjÏÒÄÆÀ¿ÐuÑSÏÒÁgÓ)ÅÂ`ÏÒÝ»Ý½XêS¿Wê`ÁSÂµÅÆÂbÁSÏÒÁ)¿Å0äUÅÑ`ÝLÂ`ÏÒÆË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È0½XÑ`Ý

N½XÝ¿ ½XêSÐuÑùÂ`ÏÒÆqË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏ

XÏÒÀ»ÁSÏné½XÆu½XÜjÏÒÄÆÀ¿ÐuÑSÏ¿ ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿)M½XÜqÀ»Ý»ÀÏ

Fθ | θ ∈ Θ È+êSäUÅbñÏÒÀ ΘÂ`ÏÒÆ¾*3Æê`ÁSÂbÆu½Xê`Ü À¿Ä1Â`ÏÒÆ3½XÝ»ÝÏÜjïÎÝ»ÀÐuÑSÏÒÁ_¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆîÏÒÃ<ÄÅÆÏÒÁ

θÂ`ÏÒÆ/EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Îåê`Ü«½¿¿Ä9¹ÁeÂ`ÏÒÁeÜjÏÒÀ¿ÄÏÒÁ_ÍQÔXÝ»ÝÏÒÁeÀ¿ÄÂbÀÏ6 ÏÒÆÄuÏ²À»Ý»ê`Á`Î Á`ÀÐuÑÄ/ñÏÒÃ½XÁ`ÁÄê`ÁSÂe¿ÅÝ»Ý½XêÎÆê`ÁSÂ?îÅÁ ½XÄÏÒÁ\ÎÏ+¿ÐuÑÔXÄÈ+ÄläUÏÒÆÂ`ÏÒÁ¹ ê`ÆÐuÑ\ÂbÀÏjÍÏ+¿ÄÝ»ÏÒÎê`ÁSÎµÂ`ÏÒÆåÍH½XÜqÀ»Ý»ÀÏqîOÅÁÊ ÏÒÆÄÏÒÀ%Ý»ê`Á`ÎÏÒÁeÀ¿ÄEÏÒÀ»ÁSÏÏÒÆ¿ÄÏúÁ`Á½XÑ`ÜjÏÎÏÒÄÆÅ8ÍÏÒÁ×Âbê`ÆÐuÑ_ÂbÀÏs½XÑ`ÝHÂ`ÏÒÆ/¨Q½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ¾¿ÅÝ»ÝHÂS½XÁ`ÁeÂbÀÏ+¿uÏEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿½XÜqÀ»Ý»ÀÏÜjïÎÝ»ÀÐuÑS¿ÄÎê`Ä¾½XÁeÂbÀÏ6ñÏ+Åb½ÐuÑÄÏÒÄÏÒÁG?ÏÒÆÄÏ3½XÁ`ÎÏÒé½¿¿ÄäUÏÒÆÂ`ÏÒÁ¹KÜ ÂbÀÏ*¾;`ÄÏeÏÒÀ»ÁSÏ+¿jË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ¿ È+êñÏÒê`ÆÄÏÒÀ»ÝÏÒÁV¿Ä½;`ÄÈ+ÄåÜn½XÁ ¿ÀÐuÑ ½XêÂbÀÏJÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`ÏÒÁ âQÀ»ÎÏÒÁS¿uÐuÑ½ÄÏÒÁê`ÁSÂ Ï0SÁ`À»ÄÀÅÁSÏÒÁ¹£¥S b«²¬<®³Bç¢u b °O±ñ í ¬<®¶¢u·k `ªúÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁåÎÀ»Ý»Ä10ÂS½¿¿ÏÒÀ»Á Ë<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ

θ=;`Æ

θäÀÏ+Â`ÏÒÆê`Ü ¿ÏÒÝS¿ÄÏÒÀ»ÁSÏW2HêM½XÝ»Ý¿î½XÆÀ½8`ÝÏEÀ¿Ä19ÂbÀÏEÏÒÀ»ÁSÏ

EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿ê`Á`ÃÄÀÅÁGñÏ+¿À»ÄÈ+Ä9¹ ÀÏ+¿Ï¾2Hê½XÝ»Ý¿î½XÆÀ½8`ÝÏ3Ã½XÁ`Á_îÏÒÆ¿ÐuÑ`ÀÏ+Â`ÏÒÁSÏûÓJÏÒÆÃ<Ün½XÝÏû½XêäUÏÒÀ%¿uÏÒÁ¹

• âQÀ»ÁSÏåäÀÐuÑÄÀ»ÎÏ âQÀ»ÎÏÒÁS¿ÐuÑ½Ä3À¿Ä3ÂbÀÏ«èIéê<ëbéì=íKîBï8ð7ì=é½ñí+ñqÂ`Ï+¿Ë<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ¿1ñÂ¹ Ñ¹E(θ) = θ

¹Ü:ÓJÀ»ÄÄÏÒÝ ÏÒÁÄ¿é`ÆÀÐuÑÄlÂ`ÏÒÆåË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆå½XÝ¿Å Â`ÏÒÜ:ä¾½XÑ`ÆÏÒÁ$¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ

θ¹ ½ÂbÀÏJ*3Æïb-Ï

b := E(θ) − θ½XÝ¿ ¼UÀ½¿ñÏÒÈ9ÏÒÀÐuÑ`ÁSÏÒÄqäÀ»ÆÂ(LÑSÏÒÀ-ÏÒÁ ÏÒÆä¾½XÆÄê`Á`Î¿ÄÆÏÒêSÏµË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆj½XêSÐuÑ

ê`ÁB`À½¿Ï+Â¹• 3ÅÁS¿Ï^êSÏÒÁÄÏÒÆäUÏÒÀ¿ÏåÜjïÐuÑÄÏlÜn½XÁL;EñÏÒÆÂbÀÏ+¿È+äÀ¿uÐuÑSÏÒÁJÂ`ÏÒÁ)ÏÒÆä¾½XÆÄê`Á`Î¿ÄÆÏÒêSÏÒÁ\Ë<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆÁàÏÒÀ»ÁSÏµ¼¾ÏÒê`ÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î Â`ÏÒÆ*4;`ÄÏEä¾½¿nÈ+ê'Â`ÏÒÁóòô'õ¦öf÷[øùúìûñéîÕ=;`Ñ`ÆÄFÜqÀ»Á`À»Üåê`Üî½XÆÀ½XÁSÐ+Ïê`ÁB`À½¿Ï+Â9²¹

• ü Ñ`Á`Ý»ÀÐuÑ Â`ÏÒÆâQÆä¾½XÆÄê`Á`Î¿ÄÆÏÒêÏûÜqÀ¿¿Ä¾Â`ÏÒÆ4ý«þ=ìoì=ÿ´ñé½ñ^íëé)ëì=þð^øùñ¦ñùÿ´ñéGÜjÏ9½XÁ ¿Äu½XÁÂS½XÆÂÏÒÆÆÅÆ3ÂbÀÏ À%ÍÏÒÆÏÒÁ`È > È+äÀ¿ÐuÑSÏÒÁ?Â`ÏÒÜ Ë<ÐuÑHÔXÄÈ9Ï²Æê`ÁSÂgÂSÏ²Ü:ä¾½XÑ`ÆÏÒÁÊ¨Q½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ9¹MSEθ := E((θ − θ)2).

• âQÀ»Á?äUÏÒÀ»ÄÏÒÆÏ+¿D3ûÆÀ»ÄÏÒÆÀ»ê`Ü À¿ÄÂbÀÏbîEðþ ðìyñ7îKû^Â¹ Ñ¹ÂS½¿" ÏÒÆÑ½XÝ»ÄÏÒÁsÂ`Ï+¿åË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ¿"=;`Æ¿ÏÒÑ`ÆWÎÆÅb-ÏÒÁ)ËÄÀÐuÑ`é`ÆÅbñÏÒÁêSÜ«½XÁ`ÎS¹ ÏÒÆ3Ë<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆÑSÏÒÀ-ÄWÃOÅÁS¿À¿ÄÏÒÁÄ1`äUÏÒÁ`Á ÎÀ»Ý»Ä

θ(Y1, Y2, . . . , Yn)P−→ θ

`Â¹ Ñ¹P ( | θ(Y1, Y2, . . . , Yn) − θ | > ε ) → 0, ∀ ε > 0

ê`ÁSÂn → ∞.

á


èIþNî ÷[øùKú±ìûñéþ ðìñþNî[ñlíKî! ì=þ"bî#ñé%$&béÿÇþfñfïñî'ñ7î)(ëìyñî+*,(,þfñð^ñGðþ î+êþfñ-ñéíBýÏû7í/.7úbÿNÿÇþï10fðþfñùñ,÷ìfë8ùñÿ204355376&8÷lñþ=ìyñ9!:&5;6<*Ü ÂbÀÏD¨Q½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆÀ»ÁJÏÒÀ»ÁSÏÒÜ ÎÏÒÎÏ7ñÏÒÁSÏÒÁ)Ó)ÅÂ`ÏÒÝ»ÝfÂ¹ Ñ¹SÈ+êJÏÒÀ»ÁSÏÒÆÎÏÒä¾ÔXÑ`Ý»ÄÏÒÁF ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿½ÜqÀ»Ý»ÀÏÈ+êñÏ+¿ÄÀ»ÜqÜjÏÒÁSÎÀ`ÄÏ+¿WîÏÒÆ¿ÐuÑ`ÀÏ+Â`ÏÒÁSÏlÓ)Ï²ÄÑSÅÂ`ÏÒÁ¹×J³=b»Ø ¤Ø?>A@SCB0 b£»®<±H±H¯ í ¬<®<¶O¢u·X bªË<ÏÒÀÏÒÁ_ÂbÀÏ ½XÄÏÒÁ

y = (y1, y2, . . . , ym)½XÝ¿

mê`Á½8`ÑÔXÁ`ÎÀ»ÎÏ4Ï9½XÝ»À¿u½XÄÀ»ÅÁÏ²Á_Â`ÏÒÆW2HêM½XÝ»Ý¿î½XÆÀ½

`ÝÏÒÁYÎÏÒÎÏ7ñÏÒÁ¹ ÀÏ4s½XÑ`Æ¿ÐuÑSÏÒÀ»Á`Ý»ÀÐuÑ`ÃÏÒÀ»Ä1SÂS½¿u¿¾ÂbÀÏ"Ï9½XÝ»À¿u½XÄÀÅÁSÏÒÁ

y1, y2, . . . ymîÅÁ ÏÒÀ»ÁSÏÒÆ

2Hê½XÝ»Ý¿î½XÆÀ½8`ÝÏÒÁYÜqÀ»Ä? ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î

Fθ∗ÎÏ²È9ÅÎÏÒÁ äê`ÆÂ`ÏÒÁ¿é`ÀÏÒÎÏÒÝ»Ä ÂbÀÏ©¨ Ý½XêS¿À`À»Ý»À»ÄuÔXÄqÂ`Ï+¿

¨Q½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ¿θ∗½XÝ¿ä½XÑ`ÆÏÒÆ¦¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆÂ`ÏÒÆvEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎäÀÂ`ÏÒÆ9¹¬ÏQÎÆïb-ÏÒÆÂbÀÏs½XÑ`Æ¿ÐuÑSÏÒÀ»Á`Ý»ÀÐuÑ

ÃOÏÒÀ»ÄVê`Á<ÄÏÒÆ ÏÒÀ»ÁSÏÒÆEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎFθ∗

ÎÏÒÆu½Â`ÏWÂbÀÏUîOÅÆÝ»ÀÏÒÎÏÒÁSÂ`ÏÒÁJÏ9½XÝ»À¿u½XÄÀÅÁSÏÒÁjÈÒêjÏÒÆÑ½XÝ»ÄÏÒÁÂ`Ï+¿ÄÅé`Ý½XêS¿À`ÝÏÒÆ ÏÒÆ¿ÐuÑSÏÒÀ»ÁÄ ÂbÀÏeúÁ`Á½XÑ`ÜjÏLÂS½¿u¿

θ∗Â`ÏÒÆ ä¾½XÑ`ÆÏ©¨Q½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ À¿Ä9¹àÀ»ÆåäUÅÝ»ÝÏÒÁ ½XÝ¿Å

θ¿ÅJñÏ+¿ÄÀ»ÜqÜjÏÒÁÂS½¿¿ûÂbÀÏÒ¿uÏ\½XÑ`Æ¿ÐuÑSÏÒÀ»Á`Ý»ÀÐuÑ`ÃOÏÒÀ»ÄÜn½kã<À»Ün½XÝVäÀ»ÆÂ¹ ½@M½¿Äû½XÝ»ÝÏåé½XÆu½XÜjÏÒÄÆÀ%

¿uÐuÑSÏ6EÏ²ÆÄÏÒÀöÝ»ê`ÁSÎÏ²Á ÜjÏÒÑ`Æ½XÝ¿UÏÒÀ»ÁSÏÒÁG¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ'ñÏ+¿À»ÄÈ9ÏÒÁÎÏÒÑSÏÒÁ_äÀ»Æ½XÝ¿/EÏÒÆu½XÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁSÏÒÆê`ÁSÎÂS½9îOÅÁ ½XêS¿1ÂS½¿¿åÏ+¿å¿ÀÐuÑ³ñÏÒÀ

θ ∈ Rp ê`Ü ÏÒÀ»ÁSÏÒÁ³EÏÒÃ<ÄÅÆlÑ½XÁSÂ`ÏÒÝ»Ä1LÂ`ÏÒÆ ÂbÀÏ©¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ Â`ÏÒÆ

EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎeÏÒÁÄÑÔXÝ»Ä9¹\ÏÒÁ`Á?äWÀöÆ ½XÁ`ÁSÏÒÑ`ÜjÏÒÁLÂS½¿u¿Â`À»ÏjÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁS¿u½XÜjÏJEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î

Hθ(y1, y2, . . . , ym)Â`Ï+¿?2HêM½XÝ»Ý¿)

îOÏÒÃ<ÄÅÆ¿(Y1, Y2, . . . , Ym)

ÏÒÀ»ÁSÏ ÀÐuÑÄÏh(θ; y) := hθ(y1, y2, . . . , ym)

ñÏ+¿À»ÄÈ+Ä1Ã½XÁ`ÁjÜn½XÁnÂbÀÏÅbñÏÒÁ ½XÁ`ÎÏ+¿é`ÆÅÐuÑSÏÒÁSÏ4\½XÑ`Æ¿uÐuÑSÏÒÀ»Á`Ý»ÀÐuÑ`ÃÏÒÀ»Ä¾ÜqÀ»ÄUÂ`ÏÒÆÏÒÁ ¸ À»Ý%MÏÂS½XÆ¿ÄÏÒÝ»ÝÏÒÁ¹ ê`ÆÐuÑ_ÂbÀÏ ¼ ÅÄu½XÄÀÅÁh(θ; y)

¿uÅÝ»ÝL½XêS¿ÎÏ+ÂbÆ);SÐuÃÄä¾Ï²ÆuÂ`ÏÒÁÂS½¿¿WäÀ»ÆÂbÀÏ ÀÐuÑÄÏ,ñÏÒÀÎÏÒÎÏñÏÒÁSÏÒÜy½XÝ¿ÍSê`Á`Ã<ÄÀÅÁ À»Á

θñÏÒÄÆu½ÐuÑÄÏÒÁäUÅÝ»ÝÏÒÁ¹<Óg½XÁeÁSÏÒÁ`ÁÄUÂbÀÏ+¿uÏÍSê`Á`ÃÄÀÅÁÂS½XÁ`Á½XêSÐuÑGOÀ»ÃOÏÒÝ»À»ÑSÅÅÂKCÍ`ê`ÁSÃÄÀÅÁ¹ ¼ êSÄÈ+Ä

Ün½XÁg½XêS¿1ÂS½¿u¿ÂbÀÏYiê`Á½8`ÑÔXÁ`ÎÀ»Î_ê`ÁSÂ ÀÂ`ÏÒÁÄÀ¿uÐuÑJîÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ÄÏ ê`é`Ý»À»Ã½XÄÏlîÅÁ

Y¿À»ÁSÂ(SÝ½Xê`ÄÏÒÄ

Â`ÏÒÆÏÒÆ¿ÄÏúÁS¿u½XÄÈ±Hmaxθ∈Θ

h(θ; y) = maxθ∈Θ

m∏

i=1

fθ(yi)M¸±

Θ¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆÎÆê`ÁSÂbÆÇ½Xê`Ü

fθ ÀÐuÑÄÏÂ`ÏÒÆEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎjîOÅÁ

YÜqÀ»Ä6¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆîOÏÒÃÄÅÆ

θúêS¿Eé`Æu½XÃÄÀ¿uÐuÑSÏÒÁ*3Æ);`ÁSÂ`ÏÒÁeÜn½kãbÀ»ÜqÀÏÒÆÄÜn½XÁeÁ`ÀÐuÑÄUÂbÀÏÅb`À»ÎÏ!OÀ»ÃOÏÒÝ»À»ÑSÅÅÂKCÍSê`Á`Ã<ÄÀÅÁ

h(θ; y)

¿uÅÁSÂ`ÏÒÆÁ'ÂbÀÏLOÅÎbyOÀ»ÃOÏÒÝ»À»ÑSÅÅÂCÍSê`Á`Ã<ÄÀÅÁLθ(y) := ln h(θ; y)

¹ ÏÒÆeÓ)½kãbÀ»Üåê`Ü«yOÀ»ÃOÏÒÝ»À»ÑSÅÅÂË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ

θÏÒÆÎÀ`Ä¿ÀÐuÑJ½XÝ¿Oï¿êSÁ`ÎnÂbÀÏ+¿Ï+¿WÓg½kãbÀ»ÜqÀ»ÏÒÆêSÁ`Î¿é`ÆÅb`ÝÏÒÜj¿9¹Hâ ¿ÎÀ»Ý»Ä

θ := arg maxθ∈Θ

h(θ; y) ⇔ θ = arg maxθ∈Θ

Lθ(y),

ÂS½nÂ`ÏÒÆ4OÅÎO½XÆÀ»ÄÑ`Üåê¿ûÏÒÀ»ÁSÏå¿ÄÆÏÒÁ`ÎeÜjÅÁSÅÄÅÁSÏ Í`ê`Á`Ã<ÄÀÅÁJÀ¿Ä9¹ ÀÏ+¿uÏ+¿Óg½kã<À»ÜqÀÏÒÆê`Á`Î¿é`ÆÅb`ÝÏÒÜÝï¿ÄÜn½XÁÀ»ÁSÂ`ÏÒÜ Ün½XÁ\Â`ÏÒÁ¯*3Æu½ÂbÀÏÒÁÄÏÒÁîOÏÒÃÄÅÆ Â`ÏÒÆOÅÎbyOÀ»ÃOÏÒÝ»À»ÑSÅÅÂKÍ`êSÁ`ÃÄÀÅÁsÎÝÏÒÀÐuÑ ¼ ê`Ý»Ý

º9ë


¿uÏÒÄÈ+Ä3ê`ÁÂ½XêS¿ûÂSÏ²Á?ÂS½XÆu½XêS¿ûÆÏ+¿ê`Ý»ÄÀÏÒÆÏÒÁSÂ`ÏÒÁ*3ÝÏÒÀÐuÑê`Á`ÎÏÒÁθñÏ+¿ÄÀ»ÜqÜåÄ9¹ ÀÏ+¿Ï+¿,*ûÝ»ÏÒÀÐuÑêSÁ`Î¿

¿½A<¿ÄÏÒÜÏñÏ+¿ÄÏÒÑSÏÒÁSÂJ½XêS¿p*3ÝÏÒÀÐuÑê`Á`ÎÏÒÁH

∂

∂θjLθ(y) =

∂

∂θjln h(θ; y) =

m∑

i=1

∂

∂θjln f(yi; θ)

!= 0, j = 1, . . . , p.

ÀÏÜjÏÒÀ¿ÄÏÒÁG ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎÏÒÁ ÎÏ²ÑïÆÏÒÁÈ+ê`Æ¾âVã<éñÅÁSÏÒÁÄÀ½XÝ%½XÜqÀ»Ý»ÀÏ±`Â¹ Ñ¹<¿ÀÏ6ñÏ+¿À»ÄÈ9Ï²Á ÏÒÀ»ÁSÏ ÀÐuÑÄÏÂ`ÏÒÆÍÅÆÜ

fθ(x) = C(θ) eθ T (x)g(x).Á ÂbÀÏ+¿ÏÒÜ ÍH½XÝ»ÝÏÒÆÑÔXÝ»ÄWÜn½XÁ=;`ÆWÂbÀÏ,OÅÎbyOÀ»ÃOÏÒÝ»À»ÑSÅÅÂK*3ÝÏÒÀÐuÑ<ê`Á`ÎÏ+Ám∑

i=1

T (xi) = m∂ ln C(θ)

∂θj, j = 1, . . . p.

ÏÒÆUÓg½kã<À»Üåê`Ü«yOÀ»ÃÏÒÝ»À»ÑSÅÅÂ Ë<ÐuÑÔXÄÈ+ÏÒÆ,Ó:O?Ë<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆI`È+ä¹ÓFOâ³N;`ÆUÓFOJÏ+¿ÄÀ»Ün½XÄÅÆ À¿ÄÂ`ÏÒÆñÏÒÃ½XÁ`ÁÄÏ+¿ÄÏåÂ`ÏÒÆé½XÆu½XÜjÏÒÄÆÀ¿ÐuÑSÏÒÁ?Ë<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ9¹ ÏÒÆÎÆÅb-ÏD ÅÆÄÏÒÀ»ÝÂ`Ï+¿Óg½kã<À»ÜåêSÜ«fOÀ»ÃÏÒÝ»À»ÑSÅÅÂË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ¿À¿ÄW¿uÏÒÀ»ÁSÏ"3ÅÁS¿À¿ÄÏÒÁ`È©¿ÀÏÒÑSÏåËÀ»Ý»îÏ7AªÚº9á±ÎÖ±ñË<ÏÒÀ»ÄÏÎò±²¹×J±ñØn bO¢u `SØn ¢+®±ñ¯S ¼¾ÏÒÀÂ`ÏÒÆWÓ)ÅÜjÏÒÁÄÏÒÁ`ÜjÏÒÄÑSÅÂ`ÏlîOÏÒÆäUÏÒÁSÂ`ÏÒÄWÜn½XÁL3ÏÒÁ`Á`È0½XÑ`ÝÏÒÁJÂ`ÏÒÆ3ËÄÀÐuÑ`é`ÆÅbñÏÈ+ê`Æ3Ë<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`ÎÂ`ÏÒÆûÏÒÁÄ¿é`ÆÏ+ÐuÑSÏÒÁSÂ`ÏÒÁgÄÑSÏ+ÅÆÏÒÄÀ¿ÐuÑSÏÒÁª3ÏÒÁ`Á`È0½XÑ`ÝÏÒÁÂbÀÏlÀ»Ü äUÏ+¿ÏÒÁÄÝ»ÀÐuÑSÏÒÁÓJÅÜjÏÒÁÄÏ Â`ÏÒÆ!EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿À»ÁSÂ¹ ÏÒÜqÁ½ÐuÑgÏÒÆÎÀ`Äû¿ÀÐuÑc=;`ÆÏÒÀ»ÁSÏlîÅÁJÂSÏ²Æ"2Hê½XÝ»Ý¿î½XÆÀ½8`ÝÏÒÁ

YÎÏÒÈ9ÅÎÏÒÁSÏåê`Á½8

ÑÔXÁ`ÎÀ»ÎÏ ËÄÀÐuÑ`é`ÆÅbñÏy1, y2, . . . , ym

ÍSÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`Ï+¿?îÏÒÆÎÝÏÒÀÐuÑSÏ ËÄu½XÑSÏÒÝIM¸ëë¸±HË<ÏÒÀ»ÄÏå¸ß±H

ÏÒÆâQÆä¾½XÆÄê`Á`Î¿äUÏÒÆÄäÀ»ÆÂ ÎÏ+¿ÐuÑÔXÄÈ+ÄÂbê`ÆÐuÑy :=

1

m

m∑

i=1

yi,MÌ½±

ÂbÀÏ¾½XÆÀ½XÁ`ÈlÂbê`ÆÐuÑs2 :=

1

m − 1

m∑

i=1

(yi − y)2,MÌ8

ÂbÀÏlË<ÐuÑ`ÀÏMÏäÀ»ÆÂ ÎÏ+¿ÐuÑÔXÄÈ+ÄÂbê`ÆÐuÑs3 :=

1

m

m∑

i=1

z2i

MÌÐ

ê`ÁSÂ ÂbÀÏ"OL½XÁ`Î¿ÐuÑä¾ÔXÁ`È+À»ÎÃOÏÒÀ»ÄÂbêSÆÐuÑs4 :=

1

m

m∑

i=1

z3i − 3

ÜqÀ»Äzi :=

yi − y

s.

MÌÂ9

ºº


À<´ÀEDGF+£¥Ä(åIH?Ä(¥¹£^£Æ[Ä9¤v¥ÄâE¿3¿ÅÝ»ÝÏÒÁ)ÏÒÀ»Á`À»ÎÏ ú¿éñÏÒÃÄÏê`ÁÂJâQÆÎÏ7`Á`À¿¿Ï Â`ÏÒÆûâVã<ÄÆÏÒÜåäUÏÒÆÄÄÑSÏ+ÅÆÀÏâË4&"ñÏ²ã<ÄÆÏÒÜjÏåî½XÝ»êSÏÄÑSÏ+ÅÆ)A+LÂS½XÆÎÏÒÝÏ²ÎÄQäUÏÒÆÂ`ÏÒÁÂbÀÏ¾¿éÔXÄÏÒÆ\ñÏÒÀbÂ`ÏÒÆQÓJÅÂ`ÏÒÝ»Ý»ÀÏÒÆê`Á`ÎÂ`ÏÒÆ Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÒÁîÏÒÆÄÏ+À»Ý»ê`ÁSÎñÏ+¿ÄÀ»ÜqÜjÏÒÁSÂ ¿uÏÒÀ»ÁùäUÏÒÆÂ`ÏÒÁ¹ ÀÏ+¿ÏÒÆ¨V½XÆu½XÎÆu½Xé`Ñ ½¿ÀÏÒÆÄ Ñ½Xê`é`Ä¿uÔÐuÑ`Ý»ÀÐuÑ ½Xê4ÏÒÀ¿¿·8&¾ÑSÅÜn½¿M¸ëëbº2âQÜ`ÆÏ+ÐuÑÄ¿·?3ûÝ;`é`éñÏÒÝñÏÒÆÎB·XÓJÀ»ÃÅ¿uÐuÑ$Úº9áá±ÎEê`ÁSÂ_Ó)ÏÒÁ`ÃOÏÒÁS¿¾M¸ëëÖ±²¹`Ó)½XÁ¿ñÏ9½ÐuÑÄÏÂS½¿u¿WÂbÀÏ ¼ ÅÄu½XÄÀÅÁSÏÒÁJ¿ÀÐuÑµ½XÁµÂbÀÏ"ñÏÒÀÂ`ÏÒÁ ÝÏÒÄÈ+ÄÎÏÒÁ½XÁ`Á<ÄÏÒÁª.êSÏÒÝ»ÝÏÒÁJ½XÁ`ÝÏÒÑ`ÁSÏÒÁ¹àÀ»ÆÎÏÒÑSÏÒÁlîOÅÁDÆ¿é`Æê`ÁSÎ¿ÂS½XÄÏÒÁ

x1, x2, . . . , xm½XÝ¿vÏ9½XÝ»À¿Ç½XÄÀÅÁSÏÒÁlê`Á½8`ÑÔXÁ`ÎÀ»ÎÏÒÆLêSÁSÂÀÂ`ÏÒÁ

ÄÀ¿uÐuÑ\îOÏÒÆÄÏÒÀ»ÝöÄuÏ²Æ@2HêM½XÝ»Ý¿î½XÆÀ½8`ÝÏÒÁX1, X2, . . . , Xm

½XêS¿0¹ ÀÏjÈ+ê`ÎÏÒÑSïÆÀ»ÎÏ©EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿êSÁ`ÃÄÀÅÁ

F¿ÏÒÀÁ`ÀÐuÑÄ«ñÏÒÃ½XÁ`ÁÄ9¹Ë2HêSÏÒÆ¿Ä ÏÒÀ»Á`À»ÎÏ Ï0SÁ`À»ÄÀÅÁSÏÒÁ ê`ÁSÂù¼¾Ï²È9ÏÒÀÐuÑ`ÁêSÁ`ÎÏÒÁQÂbÀÏeÃB;`ÁÄÀ»Î

ÎÏ7`Æu½XêSÐuÑ<ÄäUÏÒÆÂ`ÏÒÁHº¹KJÆÂbÁSÏÒÄÜn½XÁJÂbÀÏ

m2Hê½XÝ»Ý¿î½XÆÀ½8`ÝÏÒÁ

X1, . . . , XmÀ»Á)½8S¿ÄÏÒÀ»ÎÏÒÁSÂ`ÏÒÆ4ÏÒÀ»ÑSÏÒÁÅÝ»ÎÏÏÒÆ

ÑÔXÝ»ÄÜn½XÁJÂbÀÏJÆÂbÁê`Á`Î¿¿Äu½XÄÀ¿ÄÀ»ÃÏÒÁXm:m ≤ · · · ≤ X2:m ≤ X1:m

Â¹ ÑX1:m

À¿ÄÂS½¿Óg½kã<À»Üåê`Ü Â`ÏÒÆ42Hê½XÝ»Ý¿î½XÆÀ½8`ÝÏÒÁ¹

¸b¹'àÀ»Æ"ñÏÒÈ9ÏÒÀÐuÑ`ÁSÏÒÁù½XÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁsÂ`ÏÒÁÆÏ+ÐuÑÄÏÒÁ`È+ä¹Â`ÏÒÁÝ»À»Á`ÃOÏÒÁ?â ÁSÂbé`ê`Á`ÃÄåÏÒÀ»ÁSÏÒÆ, ÏÒÆÄÏÒÀ%Ý»ê`Á`Î¿ê`Á`Ã<ÄÀÅÁ

FÜqÀ»Ä

xR(F ) := supx |F (x) < 1 `È+ä¹xL(F ) := infx |F (x) > 0 ¹

Ìb¹WÓJÀ»ÄF (x) := 1 − F (x)

ñÏÒÈ9ÏÒÀÐuÑ`ÁSÏÒÁµäÀ»ÆÂbÀÏÍÝ½XÁ`ÃÏÒÁê`Á`Ã<ÄÀÅÁ îOÅÁF¹ ÀÏ+¿ÏûÎÀ`ÄWÂ`À»Ï

s½XÑ`Æ¿ÐuÑSÏÒÀ»Á`Ý»ÀÐuÑ`ÃOÏÒÀöÄj½XÁLÂS½¿¿åÂbÀÏG2Hê½XÝ»Ý¿î½XÆÀ½8SÝ»ÏX ∼ F

ÎÆïb-ÏÒÆq½XÝ¿xÀ¿Ä1ä¾ÏÒÝ»ÐuÑÏ

Ñ`À»ÁS¿ÀÐuÑÄÝ»ÀÐuÑJÂ`ÏÒÆ¼¾ÏÒÄÆu½ÐuÑÄê`Á`ÎnîOÅÁ ® ñÏÒÆ¿ÐuÑ`ÆÏÒÀ»Äê`Á`ÎÏÒÁ)ÏÒÀ»ÁSÏÆÏÒÝÏÒî½XÁÄÏ?*3Æïb-ÏÀ¿Ä9¹ÊS¹ ÀÏûîOÏÒÆu½XÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁSÏÒÆÄÏÁîÏÒÆ¿uÏ3îOÅÁ

FÀ¿ÄWÂ`Ï0SÁ`ÀÏÒÆÄÂbê`ÆÐuÑ

F←(y) := infx |F (x) ≥ y.¿Ä¾ÂbÀÏ4EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿ê`Á`Ã<ÄÀÅÁ ¿ÄÏÒÄÀ»Î êSÁSÂ¿ÄÆÏÒÁ`ÎqÜjÅÁSÅÄÅÁ`¿uÅåÑ½XÁSÂ`ÏÒÝ»ÄÏ+¿¾¿ÀÐuÑÑ`ÀÏÒÆ)ñÏÒÀê`Ü ÂbÀÏ,ÜqÃOÏÒÑ`Æu½8E`À»ÝÂbê`Á`Î_Â`ÏÒÆ'EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿ê`Á`ÃÄÀÅÁ¹

Öb¹WÍ\;`ÆX ∼ F

Â`Ï0SÁ`ÀÏÒÆÄÜn½XÁµÂS½¿q¹.ê½XÁÄÀ»Ý

xq := F←(q) = infx |F (x) ≥ q.òb¹ ÀÏµÏÒÜqé`À»ÆÀ¿uÐuÑSÏLEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿ê`Á`ÃÄÀ»ÅÁ½¿ÀÏÒÆÏÒÁSÂ ½XêlÂ`ÏÒÁ

m ½XÄÏÒÁ

x1, . . . , xmÀ¿Ä

Â`Ï0SÁ`ÀÏÒÆÄÂbê`ÆÐuÑFm(x) := 1

m

∑mi=1 1Xi≤x

¹¨©S bª«Ç¬<®Sª £¢+¤O¥S bâ À»ÁSÏ3äÀÐuÑÄÀ»ÎÏÍSÆu½XÎÏ<ÜqÀ»ÄÂSÏ²Æ¿ÀÐuÑÂbÀÏûâVãbÄÆÏÒÜåäUÏÒÆÄÄÑSÏ+ÅÆÀÏl½XêS¿ÏÒÀ»Á½XÁSÂ`ÏÒÆ¿ÏÒÄÈ+Ä1`À¿ÄÂS½¿IEÏÒÆÑ½XÝ»ÄÏÒÁ Â`ÏÒÆ ® ñÏÒÆ¿ÐuÑ`ÆÏÒÀ»Äê`Á`ÎÏÒÁ ÅbñÏÒÆÑ½XÝùÏÒÀ»ÁSÏÒÆåÑSÅÑÏ²ÁFË<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏ

u¹àÀ»ÆlÁSÏÒÑ`ÜjÏÒÁ ½XÁLÂS½¿¿

u < xR(F ).âE¿Ã½XÁ`Áø¿uÅ0äUÅÑ`ÝÂbÀÏÓJÏÒÁ`ÎÏ Xi |Xi > u Â`ÏÒÆcÆ¿é`Æê`ÁSÎ¿ÂS½XÄÏÒÁÂbÀÏgÎÆïb-ÏÒÆµ¿À»ÁSÂ.½XÝ¿ÂbÀÏË<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏ

u5gÂbÀÏn¿ÅÎÏÒÁ½XÁ`Á<ÄÏÒÁùâVãbÈ9Ï+Â`ÏÒÁÄÏÒÁ$5L½XÝ¿å½XêSÐuÑùÂbÀÏnÓ)ÏÒÁ`ÎÏnÂ`ÏÒÆ ÏÒÀ»ÎÏ²Á<ÄÝ»ÀÐuÑSÏÒÁ

º9¸


® ñÏÒÆ¿ÐuÑ`ÆÏÒÀ»Äê`Á`ÎÏÒÁ Yi |Yi := Xi − u, Xi > u 5 ÂbÀÏ ¿ÅÎÏÒÁ½XÁ`ÁÄÏÒÁâVãbÈ9Ï+¿¿Ï"5ñÏÒÄÆu½ÐuÑÄÏÒÄäUÏÒÆÂ`ÏÒÁ¹[CÜ \ÏÒÀ»ÄÏÒÆÏÒÁJÃÅÁ`È9ÏÒÁÄÆÀÏ²ÆuÏ²ÁgäÀ»Æê`ÁS¿Ñ½Xê`é`Ä¿uÔÐuÑSÝöÀÐuÑ½XêEÂbÀÏlâQã<È9Ï+Â`ÏÒÁÄÏÒÁÄXi¹SâE¿

ÏÒÆÎÏ7ñÏÒÁJ¿ÀÐuÑµÂbÀÏ" ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎÏÒÁH

Fu(x) : = P (X ≤ x |X > u) = P (X ≤ x, X > u)/P (X > u) =F (x) − F (u)

1 − F (u) ÏÒÆÄuÏ²À»Ý»ê`Á`ÎJ;EñÏÒÆÂ`ÏÒÆ3Ë<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏuN;`Æ

x ≥ u

F(u)(y) := P (Y ≤ y |X > u) = P (X − u ≤ y |X > u)

= P (X ≤ y + u |X > u) = Fu(y + u), y ≥ 0® ñÏÒÆ¿uÐuÑ`ÆÏÒÀ»Äê`Á`Î¿îÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`ÁSÎnÈ+ê`Æ3Ë<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏuÏ²ãbÐ+Ï+¿u¿WÂK

ÊB

LNMPO ¤S¯ Ù L,QÓJÀ»Ä ¸ À»Ý%ÏÂ`ÏÒÆEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎJ;EñÏÒÆÂ`ÏÒÆûË<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏ

uÝÔ¿¿Ä¿ÀÐuÑµÂbÀÏl¿ÅÎÏÒÁ½XÁ`ÁÄÏD¨RJ4&IËÄu½8`À»Ý»À»ÄuÔÄ

éñÏ9½XÃb¿ÅkîÏÒÆÄÑ`ÆÏ+¿ÑSÅÝÂ93ê`ÁSÂ?Â`ÏÒÆD¨NJ4&ICúÁ`È+ÀÏÒÑê`Á`ÎO¿)ñÏÒÆÏÒÀÐÇÑsÂ`Ï0SÁ`ÀÏÒÆÏÒÁÕîÏÒÆÎÝÏÒÀÐuÑSÏJÏÒÀ¿u¿·&¾ÑSÅÜn½¿?M¸ëëbºHË<ÏÒÀ»ÄÏå¸Ö±HS% TUVXWYV[Z'\ èIþNî[ñcô+ñ7éìyñþNÿíBîBïbðX.íBî! 8ì=þ]bî

Fùñþ ^¦ì'¨RJ4&IC¿Äu½8`À»Ý]8Ëê/ñî+î_ñð6û^í_1ñ-ñý

u ∈ Rbî+ðìfëbî9ìyñ7îau, bu

ïbþa`7ì[8ËðAb±ë8ðð6ïbþNÿ%ì4cFu(au x + bu) = F (x)

S% TUVXWYV[Z'edf òFëbî:ð7ë1ï±ìIëbÿ ÿïñýJñþNîFÝ»ÀÏÒÎÄWÀ»Ü ¨NJ4&ICúÁ`È+ÀÏÒÑê`Á`ÎO¿)ñÏÒÆÏÒÀÐÇÑµîOÅÁ

G8

ê/ñ7î+îGïþ ÿ%ìFu(au x + bu) → G(x), u → xR(F )

./gBé!ïñnñþ%ïî[ñ7ìyñîEðìfëbîìyñîau, bu.

âE¿ÎÀ`Ä4 ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎÏÒÁÂbÀÏåÎÏÒÆu½Â`Ï Âbê`ÆÐuÑgÂbÀÏ?¨NJ4&IËÄu½8`À»Ý»ÀÄuÔXÄ½XêS¿ÎÏÒÈ9ÏÒÀÐuÑ`ÁSÏÒÄ¿À»ÁSÂ(HÂbÀÏ ¿Å8ÎÏÒÁ½XÁ`ÁÄuÏ²Á_îOÏÒÆu½XÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁSÏÒÆÄÏÒÁG¨Q½XÆÏÒÄÅ8f ÏÒÆÄÏÒÀ»Ýê`Á`ÎÏÒÁÊf*¾¨ ÎÏÒÁSÏÒÆu½XÝ»À»È9Ï+Âeé½XÆÏÒÄÅåÂbÀ¿ÄÆÀ`ê`ÄÀ%ÅÁ²¹`ËÀÏ3ÏÒÆÎÏ7ñÏÒÁ ¿ÀÐuÑ½XÝ¿ÁSÀ»ÐuÑ<ÄCÏÒÁÄu½XÆÄÏÒÄÏD*3ÆÏÒÁ`È+îOÏ²ÆÄÏÒÀöÝ»ê`ÁSÎqÂ`ÏÒÆ ® ñÏÒÆ¿ÐuÑ`ÆÏÒÀ»Äê`Á`Î¿uÂS½XÄÏÒÁîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î+SäUÏÒÁ`ÁµÂbÀÏåË<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏ

u → ∞ ¿ÄÆÏ7`Ä0¹ ½¿nÏÒÁÄ¿ÐuÑSÏÒÀÂ`ÏÒÁSÂ`Ï:&¾ÑSÏ+ÅÆÏÒÜÞÈ+ê`ÆnÓ)ÅÂ`ÏÒÝ»Ý»ÀÏÒÆê`Á`ÎsÂ`ÏÒÆ ® ñÏÒÆ¿ÐuÑ`ÆÏÒÀ»Äê`Á`Î¿uÂS½XÄÏÒÁS0SÁSÂ`ÏÒÄjÜn½XÁÈ+ê`Ü ¼¾ÏÒÀ¿é`ÀÏÒÝÀ»ÁLÏÒÀ¿¿·8&¾ÑSÅÜn½¿DM¸ëëbºñË<ÏÒÀ»ÄÏl¸òb¹hfi Wkjl ¼½XÝ»ÃOÏÒÜn½XÁCÂ`Ï ¸ ½½XÁy¨QÀÐuÃ½XÁSÂ`¿ Km ëì

Fu(au x + bu)ñþNî[ñ4ð7ìyñ7ì=þïñonWé½ñîKû7$8ñé7ìyñþNÿÇíKîBï./gKé

u → xR(F )ý«þ=ì¦ïñnñþïbî[ñ7ìyñ7î1îEðìfëbîìyñî

au, bu8ðA?ïþ ÿ%ì

sup0≤x<xR(F )−u

∣

∣

∣

∣

Fu(x) − G

(

x − u

σu

) ∣

∣

∣

∣

→ 0, u → xR(F )

º9Ì


ý«þ=ì¿ñþ îlñép$8ñ7é)ëbÿ ÿïñýJñ7þ î[ñ7éìyñ7îrqëbé½ñ7ìaböbô+ñé7ìyñþNÿÇíKîBïGíBî'ïBñ½ñ7þ%ïbîlñ7ìyñý

σu > 08*ùs*bþoñnWénñîKûA$bñéìyñ7þ ÿíBîKïtñévuw`½ñ7énð^øùé½ñþ=ì=íKîBï8ð7±ëìyñ7îx$8ñ7é7ìyñ7þ ÿíKîBï³þð7ìDñþNî[ñ%$8ñé)ëbÿ ÿïñ7ýJñþNî[ñé7ìyñbqëbé½ñ7ìabö

ô+ñ7éìyñ7þ ÿíBîKï* ÀÏ¾îOÏÒÆu½XÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁSÏÒÆÄÏ+Á©¨V½XÆÏÒÄÅ8fEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`ÁSÎÏÒÁnÝ½¿u¿ÏÒÁj¿ÀÐuÑ«MÅÝ»ÎÏ²ÁÂ`ÏÒÆÜn½8-ÏÒÁeÂ`Ï0SÁ`ÀÏÒÆÏÒÁeÂbê`ÆÐuÑαy¨Q½XÆu½XÜjÏÒÄÆÀ¿ÀÏÒÆêSÁ`ÎBH

G0(x) =

0 , x < 0

1 − e−x , x ≥ 0

âVãbéñÅÁSÏÒÁÄÀ½XÝ»îÏÒÆÄÏ+À»Ý»ê`Á`Î MÖ½±

Gα(x) =

0 , x ≤ 1

1 − x−α , x ≥ 1α > 0

¨Q½XÆÏÒÄÅ8f ÏÒÆÄÏÒÀ»Ýê`Á`Î MÖ8

Gα(x) =

0 , x < −1

1 − (−x)α , −1 ≤ x ≤ 0

1 , x > 0

α > 0¼¾ÏÒÄu½9îÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎS¹ MÖÐ

tdf ("þfñ`þïñzy!ñ^ìfë$8ñé7ìyñ7þ ÿíKîBï|`nñ½ûñ7þ=øùBî[ñ7ì'ñ7þ î[ñb[ñþNÿ .7ëbý«þNÿÇþfñBñég!`ÿþoøùñî~y4ñöìfë<$8ñé7ìyñþ ÿíKîBï*nð7ìþNýbÿïñî+ñî|bþfñR6ñ-ñ$&bîLñþNî[ñéRy!ñ^ìfë$8ñé7ìyñ7þ ÿíKîBï8¦ðA,ùKëbî+ñÿ%ì]ñð'ðþ=øùíBýñ7þ î[ñP$8ñé)ëÿ ÿ ïBñýJñþNî[ñé7ìyñqëbé½ñ7ìaböbô+ñé7ìyñþNÿÇíKîBï* ÏÒÆD¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ

αäÀ»ÆÂs½XÝ¿*ûÏ+¿Äu½XÝ»Ä¿é½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆåÅÂ`ÏÒÆlÍÝ½XÁ`ÃOÏÒÁ`é½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆñÏÒÈ9ÏÒÀÐuÑ`ÁSÏÒÄ1Â`ÏÒÆ

ñÏÒÀQÂ`ÏÒÆ"¨V½XÆÏÒÄÅ8fEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎµÂS½¿¾&½XÀ»Ý»îOÏÒÆÑ½XÝ»ÄÏÒÁªñÏ+¿ÄÀ»ÜqÜåÄ9¹v2Hê`Æ¾ñÏ+¿¿ÏÒÆÏÒÁ ¸ ½XÁSÂbÑH½8`ê`Á`Î Â`ÏÒÆÌåÍQÔXÝ»ÝÏ6½¿¿ÄÜn½XÁÂbÀÏ+¿Ïê`ÁÄÏÒÆÂ`ÏÒÆ¾¿Äu½XÁSÂS½XÆÂbÀ¿ÀÏÒÆÄÏÒÁ îÏÒÆu½XÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁSÏÒÆÄuÏÒÁc¨V½XÆÏÒÄÅ8fEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`ÁSÎÈ+êS¿Ç½XÜqÜjÏÒÁ³

ξy¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÆÀ¿ÀÏÒÆê`Á`ÎKH

S% TUVXWYV[Z'

Gξ(x) :=

1 − e−x,./gBé

ξ = 0

1 − (1 + ξ x)− 1

ξ ,./gBé

ξ 6= 0

ê2`nñþ

0 < x./gBé

ξ = 0

0 < x./gBé

ξ > 0

0 < x < 1| ξ |

.;gKéξ < 0

Mò±

ùEñþ ^\ìËð7ìfëbî'±ëébþðþoñ7éìyñP$8ñé)ëbÿ ÿïñ7ý@ñ7þ îlñé7ìyñq'ëé½ñ7ìabö8ô9ñéìyñ7þ ÿíKîBï¿ý«þ=ìn6ñðìfëÿìNð4ëbé½ëbýJñ7ìyñéξ*

úÁ½XÝÅÎ\È+ê`ÆnâQÆäUÏÒÀ»ÄÏÒÆê`Á`ÎùÂ`ÏÒÆËÄu½XÁSÂS½XÆÂbÁSÅÆÜn½Ý»îÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»êSÁ`Î N (0, 1)Ý½¿¿ÏÒÁ ¿ÀÐuÑ ÂbÀÏµ¿Äu½XÁ

ÂS½XÆÂbÀ¿ÀÏÒÆÄÏnîÏÒÆu½XÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁSÏÒÆÄuÏ¿¨V½XÆÏÒÄÅ8fEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Îgê`ÁSÂ\ÂbÀÏjîOÏÒÆu½XÝ»Ý»ÎÏ²ÜjÏÒÀ»ÁSÏ+ÆÄÏÒÁ¯¨V½XÆÏÒÄÅ8fEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎÏÒÁ?À»Á?Â`ÏÒÆ

αy¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÆÀ¿ÀÏÒÆê`Á`ÎµÈ+êÏÒÀ»ÁSÏÒÆÎÆïb-ÏÒÆÏÒÁ$3ûÝ½¿¿uÏq½XêS¿Â`ÏÒÑ`ÁSÏÒÁÀ»ÁSÂ`ÏÒÜ:Ün½XÁ

ºÒÊ


x−µσ

¿Äu½XÄÄxÀ»ÁeÂbÀÏÅb`À»ÎÏÒÁ Ï0SÁ`À»ÄÀÅÁSÏÒÁÏÒÀ»ÁS¿ÏÒÄÈ+Ä9¹ ½XÁ`ÁnÃ½XÁ`ÁnÜn½XÁ_Â`ÏÒÁ Ï0SÁ`À»ÄÀÅÁS¿)ñÏÒÆÏÒÀÐuÑ

Â`ÏÒÆ¿Äu½XÁSÂ½XÆÂbÀ¿ÀÏÒÆÄÏÒÁµîOÏÒÆu½XÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀöÁÏ²ÆÄÏÒÁF¨V½XÆÏÒÄÅ8fEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î_¿ÐuÑ`ÆÏÒÀñÏÒÁ)½XÝ¿

D(ξ, µ, σ) =

[µ,∞)½XÝöÝ¿

ξ ≥ 0

[µ, µ + σ|ξ| ]

½XÝ»Ý¿ξ < 0

.

àÀÏ!ñÏ²ÆuÏ²À»Ä¿ÏÒÆä¾ÔXÑ`ÁÄ¿À»ÁSÂeîÏÒÆu½XÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁSÏÒÆÄuÏ"¨V½XÆÏÒÄÅ8f ÏÒÆÄÏÒÀ»Ýê`Á`ÎÏ+Á Â`ê`ÆÐuÑ_À»Ñ`ÆÏ4¨NJ4&IËÄu½8`ÀÝ»À»ÄuÔXÄ¾ÐuÑ½XÆu½XÃ<ÄÏÒÆÀ¿ÀÏÒÆÄ9¹ ¸ ÀÏÒÆu½XêS¿UÃ½XÁ`ÁeÜn½XÁ¿ÐuÑ`Ý»ÀÏ7-ÏÒÁ<ÂS½¿¿UÂbÀÏ ® ñÏÒÆ¿ÐuÑ`ÆÏÒÀ»Äê`Á`ÎÏÒÁäÀÏ+Â`ÏÒÆÏÒÀÁSÏîOÏÒÆu½XÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁSÏÒÆÄÏ¾¨V½XÆÏÒÄÅ8fEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`ÁSÎ?ñÏ+¿À»ÄÈ9ÏÒÁ_îOÏÒÆÎÝÏÒÀÐuÑSÏ4ÏÒÀ¿¿·8&¾ÑSÅÜn½¿¾M¸ëëbº`Ë<ÏÒÀ»ÄÏ¸ò±·¸±Î²¹2 i ÷lñþ

X ∼ Gξ,µ,σ(x).(Dëbî9î.7bÿïñî%bþfñouU`nñéð7øùé½ñ7þNì=íKîBïñ7î

Y := X−u`nñ½û7gbïbÿþoøù

ñ7þ î[ñ7é¾ùs8ùñîF÷[øùê/ñ7ÿ ÿñícêþoñ-ñé?ñ7þ î[ñ7é$bñé)ëbÿ ÿïñ7ý@ñ7þ îlñéìyñ7î1q'ëbé½ñ^ìabö8ô+ñ7éìyñ7þ ÿíKîBï*y4ñê/ñþ ð7*ûË<ÏÒÀ

F (x) := Gξ,µ,σ(x)¹\ÏÒÎÏÒÁ Â`ÏÒÆ6¨NJ4&IËÄÇ½8`À»Ý»À»ÄuÔXÄÎÀ»Ý»Ä

Fu (au x + bu) = F (x) ⇔ Fu(y) = F

(

y − bu

au

) =;`ÆÎÏ+ÏÒÀ»ÎÁSÏÒÄÏD3ÅÁS¿Äu½XÁÄÏÒÁau, bu ,

ê`ÁSÂ ¿ÅÜqÀ»Ä

P (X − u ≤ x |X > u) = Fu(x + u) = F

(

x + u − bu

au

)

= Gξ,µ,σ

(

x + u − bu

au

)

= Gξ, au µ+bu−u, σ au(x)

Â¹ Ñ¹<ÂbÀÏ6EÏ²ÆÄÏÒÀöÝ»ê`ÁSÎ Â`ÏÒÆ ® ñÏÒÆ¿uÐuÑ`ÆÏÒÀ»Äê`Á`ÎÏÒÁGñÏ²È^;`ÎÝ»ÀÐuÑ ÏÒÀ»ÁSÏÒÆUÑSÅÑSÏÒÁ Ë<ÐuÑä¾Ï²Ý»ÝÏuÀ¿ÄEîOÏÒÆu½XÝ»Ý»ÎÏ

ÜjÏÒÀ»ÁSÏÒÆÄ!¨V½XÆÏÒÄÅ8îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»Ä9¹ ÀÏ À»ÐuÑ<ÄÏÂ`ÏÒÆEîOÏÒÆu½XÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁSÏÒÆÄÏ+ÁG¨V½XÆÏÒÄÅ8fEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`ÁSÎ Ý½Xê`ÄÏÒÄ"îÏÒÆÎÝÏÒÀÐuÑSÏ3Ó)ÏÒÁ`ÃÏÒÁS¿¾M¸ëëÖ±Ë<ÏÒÀ»ÄÏåÌë±H

gξ,µ,σ(x) =

1σ (1 + ξ x−µ

σ )− 1

ξ−1 =;`Æ

ξ 6= 0

1σ e−

x−µσ

=;`Æξ = 0

ÜqÀ»Ä

x ≥ µ½XÝ»Ý¿

ξ ≥ 0

µ ≤ x ≤ µ − σξ

½XÝ»Ý¿ξ < 0 .

2Hê`Æ¾ ÏÒÆu½XÁS¿uÐuÑ½Xê`Ý»ÀÐuÑê`Á`Î ¿À»ÁSÂ ÀÐuÑÄÏÒÁÂ`ÏÒÆÌnîÏÒÆu½XÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁSÏÒÆÄÏ+ÁÊ¨V½XÆÏÒÄÅ8fEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`ÁSÎÏÒÁÜqÀ»Äê`ÁÄuÏ²Æu¿ÐuÑ`ÀÏ+ÂbÝ»ÀÐuÑSÏÒÁF¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆÁJÀ»Á ú!E`À»ÝÂbê`Á`ÎJºÂS½XÆÎÏ+¿ÄÏÒÝ»Ý»Ä9¹ ¤«Ç³Ø Øn bS®<¶SO¥S Á?Â`ÏÒÆ

ξy¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÆÀ¿ÀÏÒÆêSÁ`ÎJÀ¿Ä

Gξ,µ,σÏÒÀ»ÁSÏ@¨Q½XÆÏÒÄÅ8f ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»êSÁ`ÎLN;`Æ

ξ > 0ê`ÁSÂ?ÏÒÀ»ÁSÏj¼¾ÏÒÄu½

îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎcN;`Æξ < 0

¹â ¿ÎÀ»Ý»ÄxL(Gξ,µ,σ) = infx |Gξ(

x−µσ ) > 0 = µ

Â`ÏÒÁ`Áª=;`Æξ > 0

º9Ö


Beta

Exponential

Pareto

1 2 3 4

0.5

1

´k1ykn|knr4Òwsx^fp¹|

G(0,0,0.3)

G(0,0.3,0.5)G(0,0,0.5)

G(0,0.1567, 1.4)

0.5 1

1

2

3

!Y|8p|^fqknhÒwsx^fp¹|

G(2,1.3,0.4)

G(1.8,1.3,2)

G(2,1.3,3)

G(0.5,-0.5,1.5)

-1 1 2 3 4 5 6 7

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

w½Eknrfp¹aC]qwyx^fp|

G(-0.2,1,0.7)

G(-0.2,0,1)

G(0.5,0,0.7)

G(-0.5,0,2)

1 2 3 4 5

0.5

1

8\j[p¹yk/Òwsx^fp¹|ú!E`À»ÝÂbê`Á`ÎJºH ÀÐuÑÄÏÒÁµÂ`ÏÒÆ4*"¨ À»ÁµÂ`ÏÒÆ

ξy¨Q½XÆu½XÜjÏÒÄÆÀ¿ÀÏÒÆê`ÁSÎ

ÜåêE-0 ≤ x−µ

σ ⇔ µ ≤ x9N;`Æ

ξ < 0ÜåêE-

0 ≤ x−µσ < 1

| ξ | ⇔ µ ≤ x < σ| ξ | + µ

ê`ÁSÂL=;`Æξ = 0

ÜåêE-0 ≤ x−µ

σ ⇔ µ ≤ xÎÏÒÝ»ÄÏÒÁñÂS½XÜqÀ»Ä3ÂbÀÏ,EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿ê`Á`Ã<ÄÀÅÁF?ÏÒÆÄÏÎÆïb-ÏÒÆ½XÝ¿

¼ ê`Ý»Ý½XÁ`ÁSÀöÜqÜ Ä9¹Á\Â`ÏÒÆ

αy¨Q½XÆu½XÜjÏÒÄÆÀ¿ÀÏÒÆêSÁ`Î)ÎÀ»Ý»Ä,=;`ÆlÂbÀÏJ¨V½XÆÏÒÄÅ8fEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»êSÁ`Î)ÜqÀ»Ä

α > 0 xL(Gα,µ∗,σ∗) =

µ∗ + σ∗ÂS½ x−µ∗

σ∗≥ 1 ⇔ x ≥ µ∗ + σ∗

ê`ÁSÂ_N;`ÆlÂbÀÏj¼¾ÏÒÄu½9îÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎJÜqÀ»Äα < 0

ÏÒÆÑÔXÝ»ÄÜn½XÁùäUÏÒÎÏÒÁ

0 ≥ x−µ∗

σ∗≥ −1 ⇔ µ∗ ≥ x ≥ µ∗ − σ∗

ÂS½¿u¿åÂ`ÏÒÆåÝ»À»Á`ÃÏeâQÁSÂbé`ê`Á`Ã<Ä ÎÝÏÒÀÐuÑµ∗ − σ∗

ê`ÁSÂ Â`ÏÒÆÆÏ+ÐuÑÄÏâ ÁSÂbé`ê`Á`ÃÄWÎÝÏÒÀÐuÑµ∗À¿Ä9¹ ¸ ÀÏÒÆu½XÁ ÏÒÆÃÏÒÁ`ÁÄÜn½XÁ ÏÒÀ»ÁSÏ¼¾Ï+¿ÅÁSÂ`ÏÒÆÑSÏÒÀ»Ä

Â`ÏÒÆ¼¾ÏÒÄu½9îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î+H¿ÀÏ¾ñÏ+¿À»ÄÈ+ÄÏÒÀöÁÏ²ÁJÏÒÁSÂbÝ»ÀÐuÑSÏÒÁµÆÏ+ÐuÑÄÏÒÁJâQÁSÂbé`ê`Á`Ã<ÄxR < ∞ ¹

#f òFëî`nñ)ëøùBìyñ;8zë8ðnðFu(x)

ëbÿÇð$ô+ñéìyñ7þ ÿíKîBï1gx`½ñ7éñ7é÷[øùê/ñÿNÿñuBñîEð^ñ7ÿÇö`nñîÌÿÇþNî! bñ7îÕèIî';íKî! ìùKëìêþoñbþfñnWé½ñîûA$8ñ7éìyñþNÿíBîBï8ñ7é½ñî 8ëì=þ"bîEðaEëbé)ëý@ñ^ìyñé_þ îBñé

ξö"q'ëbé)ëbýJñ7ì=éþðþoñ7éíKîBï³ðìyñ7ìNðcý«þ=ìñý ÿÇþNî! bñ7î èIî'/íBîx ìg!`nñénñþ î+ðì=þ ý«ýì0fðþfñùñl`nñî6Y8*ùs*

xL(Gξ,u,σ) = u = xL(Fu(x)) = inf

x∣

∣

∣

F (x)−F (u)1−F (u) ≥ 0

.

º9ò


ÀÏ©MÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`ÏÒÁF¼¾Ï²È+ÀÏÒÑê`ÁSÎÏ²ÁFÈ+äÀ¿uÐuÑSÏÒÁ Â`ÏÒÁFÂbÆÏÒÀ¾îOÏÒÆu½XÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁSÏÒÆÄÏÒÁS¨Q½XÆÏÒÄÅ8f ÏÒÆÄÏÒÀ»Ýê`Á`ÎÏÒÁ0SÁSÂ`ÏÒÄÜn½XÁ È¹ó¼3¹`À»ÁLÏÒÀ¿¿·8&¾ÑSÅÜn½¿DM¸ëëbºW½XêEË<ÏÒÀ»ÄÏlÌß¹2 i d ÷lñþ

X ∼ Gα,0, σ, α > 0ñþNî[ñzq'ëbé½ñ7ìabö$8ñé7ìyñ7þ ÿ%ìyñP í/.^ëbÿ ÿqð/$ëbéþ=ë`ÿñY*

(ëbî+îïbþNÿì0fþ6

ln X ∼ G0,ln σ, 1α, α > 0

þ ðìWñþ îlñ?ñ¡;!bî[ñ7î9ì=þ=ëÿ$bñéìyñ7þ ÿ%ìyñ í;.^ëbÿ ÿÇð;$ëbéþoë`ÿ´ñíKî'0fþNþ¢6 −1/X ∼ Gα,0, 1

σ, α > 0

ñ7þ î[ñ`½ñ^ìfë$8ñé7ìyñ7þ ÿ%ìyñP í/.^ëbÿ ÿqð/$ëbéþ=ë`ÿñY*y4ñê/ñþ ð7* À âQÀ»ÁSÏÒÆ¿ÏÒÀ»Ä¿Ñ½8ñÏÒÁ äÀ»Æ1SÂS½¿u¿

P (X ≤ x) = Gα,0,σ(x) = 1 −(x

σ

)−α

⇒ P (ln X ≤ x) = P (X ≤ ex) = 1 −(

ex

σ

)−α

.

úÁSÂ`ÏÒÆÏÒÆ¿ÏÒÀ»Ä¿WÎÀ»Ý»Ä

G0,ln σ, 1α(x) = 1 − e

−x−ln σ1/α = 1 − e−α (x−ln σ) = 1 −

(

ex

eln σ

)−α

= 1 −(

ex

σ

)−α

.

¸ ÀÏÒÆu½XêS¿WMÅÝ»ÎÄ1SÂS½¿¿ln X ∼ G0,ln σ, 1

α.

À»À Ë<ÏÒÀX ∼ Gα,0,σ

ÜqÀ»Äα > 0

¹`âE¿ÎÀ»Ý»Ä

P (−1/X ≤ y) = P (X ≤ −1/y) = 1 −(

− 1

σ y

)−α

= 1 − (−σ y)−(−α)

úÝ¿ÅsÑ½XÁSÂ`ÏÒÝ»Ä Ï+¿ ¿ÀÐuÑÕñÏÒÀ −1/Xê`Ü ÏÒÀ»ÁSÏFñÏÒÄu½9îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ÄÏ³2HêM½XÝ»Ý¿î½XÆÀ½8`ÝÏgÜqÀ»ÄL*Ï

¿Äu½XÝ»Ä¿é½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆα > 0

EOÅÃ½XÄÀÅÁS¿é½XÆu½XÜjÏÒÄÏ+Æ3ë ê`ÁSÂJËÃ½XÝÏÒÁ`é½XÆu½XÜjÏÒÄÏ+Æ1/σ

¹

ÀÏqÂbÆÏÒÀQîOÏÒÆu½XÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁSÏÒÆÄÏ+Á³¨V½XÆÏÒÄÅ8fEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎOÏÒÁsÂ`ÏÒÆαy¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÆÀ¿ÀÏÒÆê`ÁSÎµÝ½¿¿ÏÒÁ?¿ÀÐuÑÀ»Á

ÂbÀÏ)¿Äu½XÁSÂS½XÆÂbÀ¿ÀÏÒÆÄÏ)îÏÒÆu½XÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁSÏÒÆÄÏª¨V½XÆÏÒÄÅ8fEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`ÁSÎ ÜqÀ»Äξy¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÆÀ¿ÀÏÒÆê`Á`Î ;EñÏÒÆ

=;`Ñ`ÆÏÒÁH• =;`ÆûÂbÀÏ«¨V½XÆÏÒÄÅ8fEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎµÂbê`ÆÐuÑ Gα(1 + 1

α x) = Gξ(x)HäUÅbñÏÒÀ

α > 0, ξ = 1α > 0ê`ÁSÂ

• =;`ÆqÂbÀÏ ¼¾ÏÒÄu½9îÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎsÂbê`ÆÐuÑ Gα

(

−(1 + (− 1α x))

)

= Gξ(x)Vä¾ÅbñÏÒÀ

α > 0, ξ =− 1

α < 0.

ºÎ


• Í\;`Æ¾ÂbÀÏâQã<éñÅÁSÏÒÁÄÀ½XÝ»îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»êSÁ`Îj¿À»ÁSÂJñÏÒÀÂ`Ï¾¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÆÀ¿ÀÏÒÆêSÁ`ÎÏÒÁ Å8ÍÏÒÁS¿ÀÐuÑÄÝ»ÀÐuÑÀÂ`ÏÒÁÄÀ¿ÐuÑ¹

½ÏÒÀ»Á`À»ÎÏ@Ï+¿ê`Ý»Äu½XÄÏ À»Á?Â`ÏÒÆαy¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÆÀ¿ÀÏÒÆê`Á`ÎµêSÁSÂ?½XÁSÂ`ÏÒÆÏqÀ»ÁÂ`ÏÒÆ

ξy¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÆÀ¿ÀÏÒÆê`Á`Î

é`ÆuÔ¿uÏÒÁÄÀÏÒÆÄûäUÏÒÆÂ`ÏÒÁñÃ½XÁ`Á)Ün½XÁg¿éÔXÄuÏ²Æ½XêÂbÀÏ+¿Ï?ÏÒé½XÆu½XÜjÏÒÄÆÀ¿ÀÏÒÆê`Á`Î È+ê`Æ);SÐuÃ<ÎÆÏÒÀ%ÏÒÁñê`Ü¿ÀÏÏÒîÏÒÁÄêSÏÒÝ»ÝÝÏÒÀÐuÑÄÏÒÆWÁ½ÐuÑSÈÒêSîÅÝ»Ý»È+ÀÏÒÑSÏÒÁ¹£ ¡³SBk bSØn±ñ¯S bö££ bªÚ¤SO¥ ê`ÆÐuÑFÜ«MÅÆÜjÏÒÁJÂ`ÏÒÆ Ï0SÁ`À»ÄÀÅÁ)Â`ÏÒÆ6EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î©;EñÏÒÆÂ`ÏÒÆûË<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏ

uÀ»ÁÊBÏÒÆÑÔXÝ»ÄÜn½XÁ

=;`Æx ≥ u

ÂbÀÏ¾MÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`Ï ½XÆ¿ÄÏÒÝ»Ý»ê`Á`ÎeÂ`ÏÒÆ'EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿ê`Á`Ã<ÄÀÅÁHF (x) = (1 − F (u)) Fu(x) + F (u), x ≥ u.

fÎ ÀÏ+¿Ïl¿ÄuÏ²Ý»Ý»Ä3ÏÒÀ»ÁSÏÒÁJ¿uÏÒÑ`ÆÁB;`ÄÈ+Ý»ÀÐuÑSÏÒÁª2HêS¿Ç½XÜqÜjÏÒÁ`Ñ½XÁ`Î_ÑSÏÒÆÈ+äÀ¿ÐuÑSÏÒÁ)Â`ÏÒÆ! ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î_îÅÁ

X

ÂbÀÏ ÜjÅÂ`ÏÒÝ»Ý»ÀÏÒÆÄeäUÏÒÆÂ`ÏÒÁ'¿ÅÝ»ÝfVê`ÁSÂ Â`ÏÒÆ@ñÏÒÂ`ÀöÁSÎÄÏÒÁSEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î?îOÅÁXÎÏÒÎÏ7ñÏÒÁEÂS½¿¿jÏÒÀ»ÁSÏ

Ë<ÐuÑä¾ÏÒÝöÝÏ³;+ñÏ²Æu¿ÐuÑ`ÆÀ»ÄÄÏÒÁ2äÀ»ÆÂ¹ ÀÏÊñÏ+ÂbÀ»Á`ÎÄÏ³EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎàÃOïÁ`ÁSÏÒÁ#äÀ»Æ)Âbê`ÆÐuÑ2ÏÒÀ»ÁSÏ¯*"¨ ½Xé`é`ÆÅ0ã<À»ÜqÀÏÒÆÏÒÁäUÏÒÁ`Á#ÂbÀÏùË<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏ

uÁê`ÆµÑSÅÐuÑÎÏÒÁê`Î À¿Ä1Wä¾½¿ ÎÏÒÆu½Â`Ï\ÂSÏ²ÆgËb½XÄÈ\îOÅÁ

¼½XÝ»ÃOÏÒÜn½XÁCÂ`Ï ¸ ½½XÁy¨QÀÐuÃ½XÁSÂ`¿ÆÏ+ÐuÑÄMÏÒÆÄÀ»ÎÄ9¹ ¤ (,þfñéýJñÿ6fÎz bëbî+îFý@ëbî_ëíøù1bíBé)ø7ùy4ñbþNîBïñ7îFùñéÿ´ñþNìyñ7î+c

F (x) = P (X ≤ x |X > u) P (X > u) + P (X ≤ x |X ≤ u) P (X ≤ u)

= Fu(x) (1 − F (u)) + F (u).;gKé

x ≥ u,±ëb±ëbî9î

P (X ≤ x |X ≤ u) = 1.

Ó)ÏÒÁ`ÃOÏÒÁS¿Ê¸ëëÖ±¿ñÏ+¿ÐuÑ`ÆÏÒÀ`ÄJ½XênË<ÏÒÀ»ÄÏ?ÌÌ ÏÒÀ»ÁSÏ?½XÁSÂ`ÏÒÆÏsËÀÐuÑÄä¾ÏÒÀ»¿uÏ?Â`ÏÒÆJËÀ»Äê½XÄÀÅÁ¹ ¸ ÀÏÒÆäÀ»ÆÂsÂS½9îÅÁù½XêS¿ÎÏÒÎO½XÁ`ÎÏÒÁÂS½¿¿Ün½XÁsÂbÀÏ@ ÏÒÆÄuÏ²À»Ý»ê`Á`Î)Â`ÏÒÆåÏÒÀ»ÎÏÒÁÄÝ»ÀÐuÑSÏÒÁ ® ñÏÒÆ¿uÐuÑ`ÆÏÒÀ»Äê`Á`ÎÏÒÁY := X − u

Âbê`ÆÐuÑÏÒÀ»ÁSÏ*"¨ ½Xé`é`ÆÅ9ãbÀ»ÜqÀÏÒÆÄ9¹ ÀÏ+¿ÏÒÆÎÀ`Ä¿ÀÐuÑ½XêS¿ûÂ`ÏÒÜM2HêS¿u½XÜqÜjÏÒÁ`Ñ½XÁ`ÎÈ+äÀ¿uÐuÑSÏÒÁµÂ`ÏÒÆ ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎeÂ`ÏÒÆ ® ñÏÒÆ¿uÐuÑ`ÆÏÒÀ»Äê`Á`Î¿ÂS½XÄÏÒÁ

Fu(x)ê`ÁSÂ Â`ÏÒÆ ® ñÏÒÆ¿ÐuÑ`ÆÏÒÀ»Äê`Á`Î¿îÏÒÆ

ÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎFî<ÎÝ¹´ÊB½²¹F(u)(y) = Fu(y + u) = Fu(x) ≈ Gξ,u,σ(x) = Gξ,u,σ(y + u) = Gξ,0,σ(y).

¸ ÀÏÒÆ)ñÏÒÀ"ñÏ+¿À»ÄÈ+Ä ÂbÀÏ$*¾¨ ÂbÀÏ\½XÁ.ÂbÀÏ ® ñÏÒÆ¿ÐuÑSÆÏÒÀöÄê`Á`ÎÏÒÁ#½XÁ`ÎÏÒé½8-ÄµäUÏÒÆÂ`ÏÒÁ.Ã½XÁ`ÁÂ`ÏÒÁOÅÃ½XÄÀÅÁS¿é½XÆu½XÜjÏ+ÄÏÒÆê`ÁSÂ ¿ÅÜqÀ»ÄÂ`ÏÒÁ Ý»À»Á`ÃOÏÒÁµâQÁSÂbé`ê`Á`Ã<Ä3ëb¹2 i n6ñoïBñk`nñîÌð^ñ7þ@ñþNî[ñóô+ñé7ìyñþ ÿíKîBï8ð[.íKî! ì=þ"bî,* m ëbî+ñÿ%ì©ñðFðþoøù`nñþñé#uw`½ñ7éöð^øùé½ñ7þNì=íKîBï8ð7±ëìyñîx$bñé7ìyñ7þ ÿíKîBï

Fu(x6JíBý#ñ7þ î[ñ¥n2qG(

Gξ,u,σ(x)ðAcñéùKúbÿ%ìIý@ëbîÊëbÿÇðDíBî+`nñ-bþNîBïbö

ìyñ»ô+ñé7ìyñþ ÿíKîBïF (x) = (1 − F (u)) Fu(x) + F (u), x ≥ u

`nñéùKëbÿ`ñéÊ÷[ø7ùê/ñÿ ÿ´ñuñ7þ î[ñtn2qG(ãý«þNìñý?ð^ñÿ`nñî¦n6ñðìfëÿìNð4ëbé½ëbýJñ7ìyñé

ξíBî+p 8ë±ì=þ]bî+ðö`nû7êN*4÷x 8ëbÿ´ñîEëbé)ëbýJñ7ìyñ7é

σ = σ/(1 − F (u))−ξ íKî' µ = u − σξ

*

º9ß


y4ñê/ñþ ð7*â ¿WÎÀ»Ý»Ä

(1 − F (u)) Gξ,u,σ(x) + F (u) = (1 − F (u))

(

1 −(

1 + ξx − u

σ

)− 1ξ

)

+ F (u)

= 1 −(

(1 − F (u))

(

1 + ξx − u

σ

)− 1ξ

)

= 1 −(

(1 − F (u))−ξ

(

1 + ξx − u

σ

))− 1ξ

= 1 −(

F (u)−ξ ξ

(

1

ξ+

(x − u)

σ

))− 1ξ

= 1 −(

ξF (u)−ξ

σ

(

σ

ξ+ x − u

))− 1ξ

= 1 −(

ξ

(

x − (u − σξ )

σ/F (u)−ξ

))− 1ξ

= Gξ,µ,σ(x),=;`Æ

x ≥ uÜqÀ»Ä

µ = u − σ

ξ

ê`ÁSÂσ = σ/F (u)−ξ.

úêS¿ Â`ÏÒÆξy¨Q½XÆu½XÜjÏÒÄÆÀ¿ÀÏÒÆê`ÁSÎFÝÔ¿¿Ä ¿ÀÐuÑøÂbê`ÆÐuÑ.ÏÒÀ»ÁSÏÏÒÀ»Á½ÐuÑSÏªÏ+ÐuÑ`Á<ê`Á`ÎFÂS½¿¹.ê½XÁÄÀ»Ý

ÑSÏÒÆÝÏÒÀ»ÄÏÒÁ¹SÓJÀ»Ä¾ÏÒÀ»ÁSÏÒÆ's½XÑ`Æ¿ÐuÑSÏÒÀ»Á`Ý»ÀÐuÑ`ÃOÏÒÀ»ÄîOÅÁqÝ»ÀÏÒÎÏÒÁ ÂbÀÏ4\ÏÒÆÄÏûÂ`ÏÒÆWEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿ê`Á`ÃÄÀÅÁ

ê`ÁÄuÏ²ÆÂ`ÏÒÜ`\ÏÒÆÄEÂ`Ï+¿q¹.ê½XÁÄÀ»Ý¿1OÂ¹ Ñ¹OÏ+¿QäÀ»ÆÂjÜqÀ»ÄEÏÒÀ»ÁSÏÒÆËs½XÑ`Æ¿ÐuÑSÏÒÀ»Á`Ý»ÀÐuÑ`ÃOÏÒÀ»ÄEîOÅÁjÑSïÐuÑS¿ÄÏÒÁ

1 − q;EñÏÒÆ¿ÐuÑ`ÆÀ»ÄÄÏÒÁ¹

Gξ(x) = 1 − (1 + ξ x)− 1

ξ = q ⇔ G−1ξ (q) =

(1 − q)−ξ − 1

ξ= x

=;`Æξ 6= 0,

G0(x) = 1 − e−x = q ⇔ G−10 (q) = − ln (1 − q) = x

N;`Æξ = 0. e§¨ ÿ ÿïñýJñþNî$ÿë8ðnð1ñîªðþ=øùIbþfñb©WíEëbî9ì=þNÿñJñþNî[ñéªô9ñéìyñ7þ ÿíBîKï8ðX.íBîx ì=þ]î

Fµ,σ =F (x−µ

σ )íBé)ø7ùbþoñ©WíEëbî9ì=þNÿññé'ðìfëî'±ëbébþ ðþfñé7ìyñî ô+ñé7ìyñþNÿÇíKîBï8ð[.íKî! ì=þ"bîcëbíBðAbé/gøA bñîíKî'«ñð

ïþ ÿ%ìF−1

µ,σ(y) = µ + σ F−1(y)*Ë÷+ý?þ=ìf.Aÿ ïì.;gKéobþfñ%©WíEëbî9ì=þNÿññé«ð7ìfëbî'±ëbé-bþðþoñ7éìyñî$bñé)ëbÿ ÿö

ïBñýJñþ îlñé7ìyñîlqëbé½ñ7ìaböbô+ñé7ìyñþNÿÇíKîBïGξ,µ,σ

ý«þ=ìw 8ëì=þ"bîEð4ëé)ëbýJñ7ìyñéµíKî'¿÷x 8ëbÿ´ñîEëbé)ëbýJñ7ìyñ7é

σc

G−1ξ,µ,σ(y) = µ+

σ

ξ((1−y)−ξ−1)

.;gKéξ 6= 0

íBî'G−1

0,µ,σ(y) = µ−σ ln(1−y).;gKé

ξ = 0*

º9á


À<«ª¬¾¤w®¯¦æ¼¾ÏÒÀ¾Â`ÏÒÆ Ó)ÅÂ`ÏÒÝ»Ý»ÀÏÒÆê`Á`ÎgîOÅÁùú!`ÑÔXÁ`ÎÀ»ÎÃOÏÒÀ»ÄÏÒÁ Ñ½XÄ Â`ÏÒÆ ¼¾ÏÒÎÆÀ%ÍàÂ`ÏÒÆjèUÅé`ê`Ý½JÀ»Á Â`ÏÒÁùÝÏÒÄÈ+ÄÏÒÁ¬½XÑ`ÆÏÒÁàÈ+ê`ÁSÏÒÑ`ÜjÏÒÁSÂø½XÁ ¼¾Ï+Â`ÏÒê`Äê`Á`ÎùÎÏÒäUÅÁSÁSÏÒÁ¹ ÀÏLÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`Ï Ï0SÁ`À»ÄÀÅÁ0SÁSÂ`ÏÒÄ_Ün½XÁàÀ»Á ê`ÆÆÝÏÒÜn½XÁ· ¼ À»ÃÏÒÎÑK½XÝ»À ·8ÅÁSÐ9½XÝ»Ý»ÀWM¸ëëë±²¹S% TUVXWYV[Z'°¤ ÷(ñþ

(X1, . . . , Xd) ∈ Rd ñþNî d

ö±bþNýJñîEðþ]bî[ëbÿñ7é8,é½ñnñÿ ÿê/ñéì=þïñ7é| í;.^ëbÿ ÿÇð;$8ñ/ öìaé³ý?þ=ì«ïBñýJñþNîEð7ëbýJñéô+ñé7ìyñþNÿíBîBï

F (x1. . . . , xd) = P (X1 ≤ x1, . . . , Xd ≤ xd)íBî+ëbî'<$8ñé7ìyñþNÿÇíKîBïñî

Fi(xi) = P (Xi ≤ xi), i = 1, . . . , d*DèWþ î[ñô+ñ7éìyñþNÿíBîBïbðX.íBî! 8ì=þ]bî

C : [0, 1]d → [0, 1]ùñ7þ ^\ì3èUÅé`ê`Ý½8.^ëbÿ ÿqð6ïþ ÿ%ì

• Cn(un) := C(1, . . . , 1, un, 1, . . . , 1) = un,./gKé

n = 1, . . . díKî'

un ∈ [0, 1]

• F (x1, . . . , xd) = C(F1(x1), . . . , Fd(xd)),./gBéëbÿ ÿ´ñ,÷ìyñ7ì=þï bñþ=ìNðaíKî! ìyñ

xi$&bî

Fi.

â À»ÁSÏÎÆê`ÁSÂbÝÏÒÎÏÒÁSÂ`ÏåúêS¿u¿u½XÎÏ¾;EñÏÒÆ3èUÅé`ê`Ý½¿ñÏÒÀ»Á`Ñ½XÝ»ÄÏÒÄÂ`ÏÒÆ'MÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`ÏåËb½XÄÈ¹ ¸ ÀÏÒÆÈ+ê ê`ÁSÂ È+êOÏÒÜqÜn½ ÊjîOÏÒÆÎÝÏÒÀ»ÐuÑÏÂS½nèUÅ¿Äu½ À½¿DM¸ëëXÊB²¹hfi Wkj~d =&¾ÑSÏ+ÅÆÏÒÜ îÅÁµËÃ<Ý½XÆ í:ñþNî[ñé

dö±bþNýJñîEðþ]bîëÿñLô+ñé7ìyñþ ÿíKîBï8ðX.íKî! ì=þ"bî

Fý«þ=ì\ð7ìyñö

ì=þïñî¥'ëî'$8ñé7ìyñþNÿÇíKîBïBñîFi, i = 1, . . . , d

ñ-¡bþð7ì=þoñ7éì/ñþNî[ñ,ñþNî'ñ7íKì=þï`nñðì=þNý«ý«ìyñlíKî! ì=þ"bîH8

ð7b±ë8ðnð!ïbþ ÿ%ìF (x1, . . . , xd) = H(F1(x1), . . . , Fd(xd)).(,þfñ4èIéê/ñþNìyñ7éíKîBï%bþoñð^ñé(íBîx ì=þ]î_ëí;.

[0, 1]dþ ðìIñ7þ î[ñb²w;íKÿ%ë

Cý«þNì

F (x1, . . . , xd) = C(F1(x1), . . . , Fd(xd)).¨ î'ñ7é½ñéð^ñþ=ìNðDþ ðì,bþfñ"û7íGïñfïñk`nñ7î[ñ7îñþNî'bþNýJñîEðþ"bîëÿñî ô+ñ7éìyñþNÿíBîBïBñîF1, . . . , Fd

íKî'cñþNî[ñédö³bþ ýJñî+ðþ]îëbÿ´ñé²w;[íBÿë

CbíBé)ø7ù

F (x1, . . . , xd) := C(F1(x1), . . . , Fd(xd))Bñ[´Ëî+þfñé7ìyñlíKî! ì=þ"bîªñþNî[ñdö±bþNýJñîEðþ"bîëÿñLô9ñéìyñ7þ ÿíBîKï8ðX.íBîx ì=þ]î!8Nbþfñbþoñëbî'$8ñ7éìyñ7þ ÿíBîKïñî

F1, . . . , Fd`½ñðþ=ìû^ì4*

ÏÒÆF*3Æê`ÁSÂøä¾½XÆê`Ü èUÅé`ê`Ý½¿µÈ+ê`Æ Ó)ÅÂ`ÏÒÝ»Ý»ÀÏÒÆê`Á`ÎSñÏ+¿ÅÁSÂ`ÏÒÆ¿ ÎÏ+ÏÒÀ»ÎÁSÏÒÄJ¿À»ÁSÂ(Ý»ÀÏÒÎÄ À»Á.Â`ÏÒÆÓ)ïÎÝ»ÀÐuÑ`ÃOÏÒÀ»Ä1`È+êµÏÒÀ»ÁSÏÒÆÜjÏÒÑ`ÆÂbÀ»ÜjÏÒÁS¿ÀÅÁ½XÝÏÒÁ:EÏÒÆÄÏÒÀ»ÝöêSÁ`Î¿ê`Á`Ã<ÄÀÅÁ

FÂbÀÏ,½XÁSÂbîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎÏÒÁ

FiîOÅÁ.Â`ÏÒÆJèUÅé`ê`Ý½

CÈ+ê.ÄÆÏÒÁ`ÁSÏÒÁ.ê`ÁSÂ.ÂbÀÏ+¿Ï_ñÏÒÀÂ`ÏÒÁØ*ûÆïb-ÏÒÁ.¿uÏÒé½XÆu½XÄ È+ê ñÏÒÄÆu½ÐuÑÄÏÒÁ¹

ÀÏ èUÅé`ê`Ý½)ê`Ü«½¿¿Ä Ñ`ÀÏÒÆ)ñÏÒÀWÂbÀÏ_ÎÏ+¿u½XÜåÄÏ ú!`ÑÔXÁ`ÎÀ»ÎÃÏÒÀ»Ä¿¿ÄÆê`ÃÄê`ÆqÈ+äÀ¿uÐuÑSÏÒÁ Â`ÏÒÁFÏÒÀ»Á`È9ÏÒÝ%ÁSÏÒÁc ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎÏÒÁ

Fi¹ ÀÏ+¿WÏÒÆÝ½XêE`ÄÏÒÀ»ÁSÏÑSÅÑSÏÍÝÏ²ã<À`À»Ý»À»ÄuÔXÄê`ÁSÂ ÏÒÀ»ÁSÏûÎÏÒÁ½XêSÏÒÆÏlúÁ`é½¿u¿ê`Á`Î

Â`Ï+¿ Ün½XÄÑSÏÒÜn½XÄÀ¿ÐuÑSÏÒÁFÓ)ÅÂ`ÏÒÝ»Ý¿q½XÁ ÂbÀÏ¿Ï9½XÝ»À»ÄuÔXÄ9¹ ® ñÏÒÆÂbÀÏ+¿?ñÏ+¿À»ÄÈ9ÏÒÁ èUÅé`ê`Ý½¿qÂS½¿ äÀÐuÑÄÀ%ÎÏ Ó)ÏÒÆÃ<Ün½XÝWÂ`ÏÒÆ@CÁ<î½XÆÀ½XÁ`È ê`ÁÄÏÒÆjÜjÅÁSÅÄÅÁSÏÒÁ &Æu½XÁS¿MÅÆÜn½XÄÀÅÁSÏÒÁÌ¿ÀÏÒÑSÏ ÂS½?èUÅ¿Äu½ À½¿M¸ëëXÊB)²¹

¸ë


2 i ¤ ÷lñþfñîhi : R → R, i = 1, . . . , d

ýobî'ìabî[ñ/84î+þoøùBìU.^ëbÿ ÿ´ñî'ñ(íBîx ì=þ]î[ñî+*(ëbî+îñî9ìNð4éþ=øùKìbþfñp²w;íKÿëñð í/.7ëbÿNÿqð/$8ñ; ìaénð(X1, . . . , Xd)

Bñép²w;íKÿë8bþfñ@û^ívBñý í/.^ëbÿ ÿqð/$8ñ; 8ìabé(h1(X1), . . . , hd(Xd))

ïBñùµbé7ì4*EÅÁJÏÒÀ»ÁSÏÒÜ é`Æu½XÃ<ÄÀ¿ÐuÑSÏÒÁËÄu½XÁSÂbé`ê`Á`ÃÄ½XêS¿ñÏÒÄÆu½ÐuÑÄÏÒÄ3À¿ÄÂbÀÏ+¿uÏlâQÀ»ÎÏÒÁS¿ÐuÑ½Ä3¿uÏÒÑ`ÆWÁB;`ÄÈ+Ý»ÀÐuÑÂS½ñÏ+¿ÄÀ»ÜqÜåÄÏ/&Æu½XÁS¿)ÅÆÜn½XÄÀÅÁSÏÒÁqÂ`ÏÒÆ ½XÄÏÒÁ0äÀÏ È¹ó¼û¹kÂS½¿¦OÅÎO½XÆÀ»ÄÑ`ÜqÀÏÒÆuÏÒÁXÂbÀÏEÈ+ê`ÎÏÒÑSïÆÀ»ÎÏèUÅé`ê`Ý½qÁ`ÀÐuÑÄñÏ+ÏÒÀ»Ás¶SêS¿¿uÏÒÁ¹ ÀÏÍÅÆÜjÏÒÝ»Á È+ê`Æ3Ë<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`ÎeÂ`ÏÒÆ¨Q½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆÂ`ÏÒÆèUÅé`ê`Ý½qê`ÁSÂ Â`ÏÒÆ6½XÁSÂbîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎÏÒÁJ¿À»ÁSÂÂS½FèUÅ¿Äu½ À½¿$M¸ëëXÊB_ê`ÁSÂ ê`ÆÆÝÏÒÜn½XÁ· ¼ À»ÃÏÒÎÑBH½XÝ»À ·8ÅÁSÐ9½XÝ»Ý»À¿M¸ëëë±ÏÒÁÄÁSÅÜqÜjÏÒÁ¹6ÜÂbÀÏ+¿uÏ<¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆÈ+êDñÏ+¿ÄÀ»ÜqÜjÏÒÁ Ã½XÁ`ÁlÜn½XÁ ÂbÀÏEÓg½kã<À»Üåê`Ü«yOÀ»ÃÏÒÝ»À»ÑSÅÅÂ ÓJÏÒÄÑSÅÂ`ÏU½XÁäUÏÒÁSÂ`ÏÒÁ¹ÁÄÏÒÆÂ`ÏÒÆEúÁ`Á½XÑ`ÜjÏOÂS½¿¿EÂbÀÏ3èUÅé`ê`Ý½ê`ÁSÂnÂbÀÏ3½XÁSÂbîÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎÏÒÁ ÀÐuÑÄÏÒÁJñÏ+¿À»ÄÈ9ÏÒÁÝÔ¿¿Ä¿ÀÐuÑsÂbÀÏ ÀÐuÑÄÏeÂSÏ²ÆåÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁS¿u½XÜjÏÒÁ¯ ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î

FÂbê`ÆÐuÑ ÂbÀÏ ÀÐuÑÄÏeÂ`ÏÒÆqèUÅé`ê`Ý½µê`ÁSÂ\ÂbÀÏ

ÀÐuÑÄÏÒÁJÂ`ÏÒÆ3½XÁSÂbîOÏ²ÆÄÏÒÀöÝ»ê`ÁSÎÏ²Á)ÂS½XÆ¿ÄÏÒÝ»ÝÏÒÁH

f(x1, . . . , xd) = c(F1(x1), . . . , Fd(xd))d∏

k=1

fk(xk),

äUÅbñÏÒÀfkÂbÀÏ ÀÐuÑÄÏÒÁJÂ`ÏÒÆ3½XÁSÂbîÏÒÆÄuÏ²À»Ý»ê`Á`ÎÏÒÁJê`ÁSÂ

c(u1, . . . , ud) =∂C(u1, . . . , ud)

∂u1 · · · ∂ud

ÂbÀÏ ÀÐuÑÄÏÂ`ÏÒÆ3èUÅé`ê`Ý½j¿À»ÁSÂ¹2HêåÏ²À»ÁSÏÒÆVËÄÀÐuÑ`é`ÆÅbñÏ

x = (x1, . . . ,xT )îOÅÜóÜ«½XÁ`Î

TÜqÀ»Ä

xt = (xt1, . . . , x

td)t = 1, . . . , TÜåêS¿u¿WÂbÀÏ¾ÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`Ï,OÅÎbyOÀ»ÃÏÒÝ»À»ÑSÅ<ÅÂJÍSê`Á`ÃÄÀÅÁ À»Á

θÜn½kãbÀ»ÜqÀÏÒÆÄWä¾Ï²ÆuÂ`ÏÒÁ¹

Lθ(x) = ln

(

T∏

t=1

f(xt)

)

=T∑

t=1

ln( f(xt) ) =T∑

t=1

(

ln c(F1(x1), . . . , Fd(xd)) +d∑

k=1

ln(fk(xtk))

)

Mß±

ÏÒÆ« ÏÒÃ<ÄÅÆθÏÒÁÄÑÔXÝ»Äj¿Å0äUÅÑ`ÝÂbÀÏ¿¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆnÂ`ÏÒÆjèUÅé`ê`Ý½½XÝ¿q½XêSÐuÑ Â`ÏÒÆ«3½XÁSÂbîOÏÒÆÄÏÒÀ»ÝöêSÁ

ÎÏÒÁñ¿uÅnÂS½¿u¿À»Á)ÂbÀÏ+¿ÏÒÜ-ÍH½XÝ»ÝV½XÝ»ÝÏ*3Æïb-ÏÒÁgÈÒê¿u½XÜqÜjÏÒÁ)ÎÏ+¿ÐuÑHÔXÄÈ+Ä3äUÏÒÆÂ`ÏÒÁ¹l¬ÏåÁ½ÐuÑSÂ`ÏÒÜ äÀÏî<ÀÏÒÝÏ3½XÁSÂbîÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎÏÒÁ\îOÅÆÝ»ÀÏÒÎÏÒÁÀ¿ÄÂ`ÏÒÆÆÏ+¿ê`Ý»ÄÀÏÒÆÏÒÁSÂ`ÏJÏ+ÐuÑSÏÒÁ½Xêä¾½XÁSÂ?¿uÏÒÑ`ÆÎÆÅb-S¹úÝ¿úÝ»ÄÏÒÆÁ½XÄÀ»îOÏÃ½XÁ`ÁJÂbÀÏå¿ÅÎÏÒÁ½XÁ`ÁÄÏÍVÓcCÓ)ÏÒÄÑSÅÂ`Ïå½XÁ`ÎÏÒäUÏÒÁSÂ`ÏÒÄ3äUÏÒÆÂSÏ²ÁvHÂbÀÏå½XêEÂ`ÏÒÆ!&ÆÏÒÁÁê`ÁSÎÂSÏ²ÆE¿éñÏÒÈ+ÀÏÒÝ»ÝSÈ+ênÂ`ÏÒÁJ½XÁSÂbîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎÏÒÁnÎÏÒÑSïÆÏÒÁSÂ`ÏÒÁ©¨Q½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆEê`ÁSÂjÂ`ÏÒÁe½XÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀöÁÏ²Áú!`ÑÔXÁ`ÎÀ»ÎÃOÏÒÀ»Ä¿é½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆÁ?½XêN½Xê`Ä9¹[ÍVÓÉ¿ÄÏÒÑÄ6N;`ÆÀ»ÁÏÒÆÏÒÁSÐ+ÏDê`ÁSÐÒÄÀÅÁS¿!ÅÆÜn½XÆÎÀ»ÁS¿ê`ÁSÂÂbÀÏ+¿uÏÓ)ÏÒÄÑSÅÂ`ÏÎÝ»ÀÏ+Â`ÏÒÆÄ¿ÀÐuÑ À»Á È+äUÏÒÀË<ÐuÑ`ÆÀ»ÄÄÏH

• 2HêSÏÒÆ¿ÄWäUÏÒÆÂ`ÏÒÁJÂbÀÏ,½XÁSÂbîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿é½XÆu½XÜjÏÒÄÏ+ÆÎÏ+¿ÐuÑÔXÄÈ+Äê`ÁSÂ• ÂS½XÁ`ÁàÜqÀ»Ä_Â`ÏÒÆÏÒÁ ¸ À»Ý%MÏJÏ²À»Á.Ë<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ©=;`Æ_Â`ÏÒÁ EÏÒÃÄÅÆ_Â`ÏÒÆ½XÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁSÏÒÁU¨Q½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆÃOÅÁS¿ÄÆê`ÀÏÒÆÄ9¹

¸bº


ÀÏLÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`ÏgÍÅÆÜæÂ`ÏÒÆ¿OÅÎbyOÀ»ÃOÏ²Ý»À»ÑSÅ<ÅÂøÍSê`Á`ÃÄÀÅÁ ¿ÄÏÒÝ»Ý»ÄeÀ»Ü \Ï+¿ÏÒÁÄÝ»ÀÐuÑSÏÒÁøÏÒÀ»ÁSÏg½XÁSÂ`ÏÒÆÏË<ÐuÑ`ÆÏÒÀ`ä¾Ï²À¿uÏîÅÁ³Mß±UÂ½XÆ1`ÂbÀÏÂ`ÏÒÁµÏÒÆÃ<ÝÔXÆÄÏÒÁF2HêS¿u½XÜqÜjÏÒÁ`Ñ½XÁ`ÎeîOÏÒÆÂ`ÏÒê`ÄÝ»ÀÐuÑSÏÒÁJ¿ÅÝ»Ý¹

Lθ(x) =T∑

t=1

(

ln c(F1(x1; θ1), . . . , Fd(xd; θd); α) +d∑

k=1

ln(fk(xtk, θk))

)

,

ÜqÀ»ÄåÂ`ÏÒÁ$¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆîOÏÒÃÄÅÆÏÒÁθi , i = 1, . . . , d

Â`ÏÒÆD3½XÁSÂbîOÏ²ÆÄÏÒÀöÝ»ê`ÁSÎÏ²Ásê`ÁSÂ?Â`ÏÒÜä¨V½XÆu½XÜjÏÄÏÒÆîOÏÒÃ<ÄÅÆ

αÂ`ÏÒÆ3èUÅé`ê`Ý½b¹+Ü ÏÒÆ¿ÄÏÒÁ)Ë<ÐuÑ`ÆÀ»ÄÄ6ñÏ+¿ÄÀ»ÜqÜåÄWÜn½XÁµÂ`À»ÏÓFOùË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ

θk = arg maxθ∈Θ

ln

(

T∏

t=1

fk(xtk, ; θk)

)

= arg maxθ∈Θ

T∑

t=1

ln(fk(xtk; θk)), k = 1, . . . , d

ê`ÁSÂ À»Ü È+äUÏÒÀ»ÄÏÒÁgË<ÐuÑ`ÆÀ»ÄÄ

α = arg maxT∑

t=1

ln(c(F1(x1; θ1), . . . , Fd(xd; θd); α).

\ÏÒÀ»ÄÏÒÆÏûúêS¿)N;`Ñ`Æê`Á`ÎÏÒÁê`ÁSÂ ½XêSÐuÑ ÏÒÀ»ÁSÏÒÁÁ`ÀÐuÑÄé½XÆu½XÜjÏÒÄÆÀ¿uÐuÑSÏÒÁ úÁS¿u½XÄÈ!0SÁSÂ`ÏÒÄ¾Ün½XÁÀ»ÁÂ`ÏÒÁÅbñÏÒÁµÎÏÒÁ½XÁ`ÁÄÏÒÁ_.êSÏÒÝ»ÝÏÒÁ¹¼UÏÒÀ¿é`ÀÏÒÝÏ¾N;`Æ3èUÅé`ê`Ý½¿¿À»ÁSÂ(H

• *½XêE-bèUÅé`ê`Ý½HC(u1, . . . , ud) = N (0, R) (Φ−1 (u1), . . . , Φ

−1 (ud)),

äUÅbñÏÒÀ N (0, R)ÂbÀÏ

dCÂbÀ»ÜjÏÒÁS¿ÀÅÁ½XÝÏ ¼ ÅÆÜn½XÝ»îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎqÜqÀ»Ä¾ÓJÀ»ÄÄÏÒÝ»äUÏÒÆÄîOÏÒÃÄÅÆ

0ê`ÁSÂ

3ÅÆÆÏÒÝ½XÄÀÅÁS¿Ün½ÄÆÀöãR ∈ R

dxd ê`ÁSÂ ΦÂbÀÏ ÏÒÀ»ÁSÂbÀ»ÜjÏÒÁS¿ÀÅÁ½XÝÏnËÄu½XÁSÂS½XÆÂ`ÁSÅÆÜn½XÝ»îOÏÒÆÄÏÒÀ

Ý»ê`Á`Î@ñÏÒÈ9ÏÒÀÐuÑ`ÁSÏÒÄ9¹• *3ê`ÜñÏÒÝ%èUÅé`ê`Ý½EH

C(u1, . . . , ud) = exp

−(

d∑

i=1

(− ln ui)α

)1/α

, α ≥ 1.

• èÝ½1A<ÄÅÁèUÅé`ê`Ý½H

C(u1, . . . , ud) =

(

d∑

i=1

(

u−θi − 1

)

+ 1

)−1/θ

, θ ∈ ( 0,∞ ) .

¸¸

·)¸x<ÿw¹ º WZS'Ü ÏÒÀ»ÁSÏe½XÃ<Ã<ê`Æu½XÄÏ_Ë<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`ÎgÂbê`ÆÐuÑ`È+êN;`Ñ`ÆÏÒÁ\ñÏ+ÂS½XÆÏ+¿lÏÒÀ»ÁSÏÒÆ ½XêS¿ÆÏÒÀÐuÑSÏÒÁSÂsÎÆÅb-ÏÒÁ ½ÄÏÒÁ`ÜjÏÒÁ`ÎÏ¹ ½åÂS½¿W&¾ÑSÏÒÜn½ ÅéñÏÒÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏ"WÀ¿À»ÃOÏÒÁ_ÏÒÆ¿Ä¾¿ÏÒÀ»Ä¾ÏÒÀ»Á`À»ÎÏÒÆ62ñÏÒÀ»Ä¾¼¾Ï9½ÐuÑÄê`Á`Î«0SÁSÂ`ÏÒÄ1À¿ÄÎÏÒÆu½Â`ÏjÂbÀÏ+¿uÏÒÆD¨Qê`Á`ÃÄåÏÒÀ»ÁSÏÒÆlÂ`ÏÒÆ Ë<ÐuÑä¾½ÐuÑS¿ÄÏÒÝ»ÝÏÒÁ³ñÏÒÀEÂ`ÏÒÆlÓ)ÏÒ¿u¿ê`Á`Î îOÅÁ?ÅéñÏÒÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏÒÁÀ¿À»ÃOÏÒÁ¹LÓµÀ»Äq½8`ÁSÏÒÑ`ÜjÏÒÁSÂ`ÏÒÜÂÜ«½XÁ`ÎgÂ`ÏÒÆ ¼¾ÏÒÅbH½ÐuÑÄê`Á`ÎÏÒÁ ÝÔ¿¿Äq½XêSÐuÑ ÂbÀÏ_úêS¿¿u½XÎÏÒÃ<Æu½ÄÏÒÀ»ÁSÏ+¿3Ë<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ¿Á½ÐuÑSÂ`ÏÒÆ¿ÀÐuÑJ½XêVÂbÀÏ+¿uÏ¼¾Ï+Åb½ÐuÑÄê`Á`ÎÏÒÁ)¿Ä);`ÄÈ+Ä9¹

ªIo µ<Å[Æ[(¡¦Ä(l§\Æ¦æ ÀÏûúÁ`È0½XÑ`ÝÂ`ÏÒÆË<ÐuÑÔÂ`ÏÒÁ äÀ»ÆÂ_ÄsAé`À¿ÐuÑSÏÒÆäUÏÒÀ¿uÏ½XÝ¿W¨ÅÀ¿¿uÅÁîÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ÄÏD2Hê½XÝ»Ý¿î½XÆÀ½8`ÝÏ½XÁ`ÎÏÁSÅÜqÜjÏÒÁH

N : (Ω, A) → (N, P),ÜqÀ»ÄÂ`ÏÒÆ6¨ÅÄÏÒÁ`È+ÜjÏÒÁ`ÎOÏ

Pê`ÁÂ

P (N = n) = e−λ λn

n!.

â À»Á ¼ ½ÐuÑÄÏÒÀ»ÝÂ`ÏÒÆv¨ÅÀ¿¿uÅÁf ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎÀ¿ÄÐÏ+Â`ÅÐuÑ9ÂS½¿u¿À»Ñ`ÆLâQÆä¾½XÆÄê`Á`Î¿äUÏÒÆÄÜqÀ»ÄÂ`ÏÒÆ½XÆÀ½XÁ`È;EñÏÒÆÏÒÀ»ÁS¿ÄÀ»ÜqÜåÄ9¹ ½¿3¿ÐuÑ`ÆuÔXÁ`Ã<ÄÁ`ÀÐuÑÄ3Áê`Æ3ÂbÀÏåÍÝÏ²ã<À`À»Ý»À»ÄuÔXÄûÂ`Ï+¿3Ó)ÅÂ`ÏÒÝ»Ý¿3ÏÒÀ»ÁH¿uÅÁSÂ`ÏÒÆÁJÃ½XÁ`ÁÐÏûÁ½ÐuÑ ½XÄÏÒÁJ½XêSÐuÑµÏÒÀ»Á½ÐuÑ ê`Á`È+ê`ÄÆÏÍÏÒÁSÂJ¿ÏÒÀ»Á¹â À»ÁSÏqÓ)ïÎÝ»ÀÐuÑ`ÃOÏÒÀ»Ä1Â`À»Ï+¿uÏÒÁ?Ó)½XÁSÎÏ²Ý È+êªñÏÒÑSÏ7ñÏÒÁ?ê`ÁSÂgÎÝÏÒÀÐuÑ`È9ÏÒÀ»ÄÀ»ÎJÂS½¿,3ÅÁ`È9ÏÒé`Äl¿uÅÎÏÒÁ½XÁ`ÁÄÏÒÆ6WÀ¿À»ÃOÅÄÆÏÒÀñÏÒÆWÏÒÀ»Á`È+êE½XêSÏÒÁSÀ¿ÄWÏ+¿1`Â`ÏÒÁcÁÄÏÒÁS¿À»ÄuÔXÄ¿½XÃÄÅÆ

λÂ`ÏÒÆ6¨ÅÀ¿¿ÅÁfEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î_½XÝ¿

Á`ÀÐuÑÄCÂSÏ²ÄuÏ²ÆÜqÀ»Á`À¿ÄÀ¿uÐuÑgîOÅÆu½XêS¿È+êS¿uÏÒÄÈ9ÏÒÁ¹ñâ À»Á_WÀ¿À»ÃÅÄÆÏÒÀñÏÒÆ3À»Ü-¼¾ÏÒÆÏÒÀÐuÑÅéñÏÒÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏWÀ¿À%ÃOÏÒÁ\À¿ÄlÈ+ê`Ü ¼¾ÏÒÀ¿é`ÀÏÒÝUÂbÀÏnúÁ`È0½XÑ`ÝÂ`ÏÒÆ ÓJÀ»Äu½XÆ)ñÏÒÀ»ÄÏÒÆåÀ»ÁùÏÒÀ»ÁSÏÒÆ ú6`ÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î+H\¬ÏnäUÏÒÁ`À»ÎÏÒÆ ÓJÀ»Ä½XÆ)ñÏÒÀ»ÄÏÒÆ1Â`Ï+¿ÄÅ ÑïÑSÏÒÆWÂbÀÏ*ûÏ½XÑ`Æ1`ÂS½¿¿WÏÒÀ»ÁSÏ"&Æu½XÁS¿Ç½XÃÄÀÅÁ Á`ÀÐuÑÄWÃOÅÆÆÏÒÃÄ½XêS¿ÎÏN;`Ñ`ÆÄWäÀ»ÆÂ¹ÜÜn½XÄÑSÏÒÜn½XÄÀ¿ÐuÑSÏÒÁµËÀ»Á`ÁSÏîOÏÒÆ¿ÄÏÒÑÄEÜn½XÁeê`ÁÄÏÒÆUÏÒÀ»ÁSÏÒÜ WÀ¿À»ÃOÅÄÆÏÒÀñÏÒÆÏÒÀ»ÁSÏ¾2Hê½XÝ»Ý¿î½XÆÀ½8`ÝÏîOÅÁ Â`ÏÒÆÂ`ÏÒÆ6ÁÄÏÒÁS¿À»ÄuÔXÄ¿é½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ

λÂ`ÏÒÆ3Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È9½XÑSÝöîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ýê`Á`Î½8`ÑÔXÁ`ÎÄ1Â¹ Ñ¹

P(N = n|Λ = λ) = e−λ λn

n!

ÀÏlê`ÁKñÏ+ÂbÀ»Á`ÎÄÏjË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È0½XÑ`Ý»îÏÒÆÄuÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î ÏÒÆÑÔXÝ»Ä3Ün½XÁgÂbê`ÆÐuÑgÓµÀ¿uÐuÑSÏÒÁJÜqÀ»Ä3Â`ÏÒÆ4EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎîOÅÁ

Λ¹`Óg½XÁ ¿éSÆÀÐuÑÄ½XêSÐuÑ îÅÁµÏÒÀ»ÁSÏÒÜ ÓJÀ»¿uÐuÑê`Á`Î¿ÜjÅÂ`ÏÒÝ»Ý¹

P(N = n) =

∑∞λ=0 P(N = n|Λ = λ) P(Λ = λ)

=;`ÆWÂbÀ¿Ã<ÆÏÒÄÏ+¿ΛÜqÀ»Ä\ÏÒÆÄÏÒÁJ½XêS¿

N0

∫

P(N = n|Λ = λ) d PΛ(λ)=;`ÆW¿ÄuÏ²ÄÀöÎjîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ÄÏ+¿

Λ¹

ÏÒÆ3â ÀöÁ!¶SêE-Â`Ï+¿4À»¿À»ÃÅÄÆÏÒÀñÏÒÆ¿û½XêÂ`ÏÒÁË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁgäÀ»ÆÂµÜjÏÒÀ¿Ä!;EñÏÒÆûÂbÀÏ Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È0½XÑ`Ý»îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎlÜjÅÂ`ÏÒÝ»Ý»ÀÏÒÆÄ1OäUÏÒÀ»Ý¿ÀÐuÑjÂS½XÁ`ÁMÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`ÏÒÆ< ÅÆÄÏÒÀ»ÝÏÒÆÎÀ`Ä1H±'À»ÆÂn½XÁ`ÎÏÒÁSÅÜqÜjÏÒÁÂS½¿¿ Â`ÏÒÆ

¸Ì

·)¸x<ÿwÀ¿À»ÃOÅÄÆÏÒÀñÏÒÆ

ΛÎO½XÜqÜn½9îÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ÄWÀ¿ÄUÜqÀ»ÄWÂ`ÏÒÁ¨Q½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆÁ

αê`ÁSÂ

βb¿Å ÏÒÆÑÔXÝ»ÄÜn½XÁµ½XÝ¿'Ï

¿ê`Ý»Äu½XÄ10ÂS½¿¿LÂbÀÏ ê`ÁBñÏ+ÂbÀ»Á`ÎÄÏ/EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î3Â`ÏÒÆVË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È0½XÑ`ÝbÏÒÀ»ÁSÏ ¼ ÏÒÎO½XÄÀ»îK`À»ÁSÅÜqÀ½XÝ»îÏÒÆÄÏ+À»Ý»ê`ÁSÎÀ¿ÄI5nÎÏÒÁ½XêSÏÒÆ

N ∼ NegBin(

α, 1β+1

)

.

P(N = n) =

∫ ∞

0e−λ λn

n!

1

Γ(α)β−α λα−1e−

1β

λ d λ =

∫ ∞

0e−λ » 1+ 1

β ¼ λn+α−1

Γ(α) n!β−α d λ

=β−α

Γ(α) n!

∫ ∞

0e−λ(1+ 1

β) λn+α−1d λ =

β−α

Γ(α) n!Γ(α + n)

(

1

1 + 1β

)α+n

=β−α Γ(α + n)

Γ(α) n!

(

1

1 + 1β

)α (

1

1 + 1β

)n

=

(

n + α − 1

n

) (

1

β + 1

)α(

1

1 + 1β

)n

.

ªI´Mµ<Å[Æ[É[£1§+¯\[Ã¡vÄ¥µËÅ[Æl(¡vÄ(l§\Æ¦æ¢½9Ä(¥¹£1ÄlNæC¯¦[Ã¼ ½ÐuÑSÂ`ÏÒÜ Ün½XÁø¿ÀÐuÑN;`Æ ÏÒÀ»ÁSÏFEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿M½XÜqÀ»Ý»ÀÏ?ÏÒÁÄ¿ÐuÑ`ÀÏ+Â`ÏÒÁøÑ½XÄ1UÃ½XÁ`Á Ün½XÁ È+êøÏÒÀ»ÁSÏÒÆËÄÀÐuÑ`é`ÆuÅbñÏ

x = (x1, . . . , xn)ÂbÀÏJ¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆqÂ`ÏÒÆ Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È0½XÑ`Ý»îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»êSÁ`Î)ÜqÀ»Ä ÏÒÀ»ÁSÏÒÆåÂ`ÏÒÆ

ÅbñÏÒÁµÎÏÒÁ½XÁ`ÁÄÏÒÁJÓJÏÒÄÑÅOÂSÏ²ÁJ¿ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÁ¹ÁÄÏÒÆ¿ÄÏÒÝ»ÝÏÒÁµäÀ»ÆÏÒÀ»ÁSÏ,¨ÅÀ¿u¿ÅÁf ÏÒÆÄuÏ²À»Ý»ê`Á`Î©N;`ÆÂbÀÏÈ+êÔXÝ»Ý»À»ÎÏ Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È0½XÑ`Ý

NS¿uÅ ÝÔ8-Ä¿ÀÐuÑ

ÂbÀÏ ÀÐuÑÄÏµ½XêÂbÀÏ À»Á ¨V½XÆu½XÎÆu½Xé`Ñ Ìb¹¡¸?½XÁ`ÎÏ+¿é`ÆÅÐuÑSÏÒÁSÏJÍÅÆÜÂ`ÆÀ»Á`ÎÏÒÁEäUÏÒÀ»ÝÂbÀÏL¨ÅÀ¿¿ÅÁEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎnÈ+ê`ÆWâQã<éñÅÁSÏÒÁÄÀ½XÝ%½XÜqÀ»Ý»ÀÏlÎÏÒÑSïÆÄ9¹â ¿WÎÀ»ÝöÄH

e−λ λx

x!=

1

x!ex ln λ−λ = C(θ) eθ T (x) g(x) = eθ T (x)−a(θ) g(x),

äUÅbñÏÒÀa(y) = ey, T (x) = x, θ = ln λ, a(θ) = λ

êSÁSÂg(x) =

1

x!.

¸ ÀÏÒÆu½XêS¿ÏÒÆÎÀ`Ä¿ÀÐuÑµÂbÀÏ"OÅÎbyOÀ»ÃOÏÒÝöÀ»ÑSÅ<ÅÂK¹*ûÝÏÒÀÐuÑêSÁ`Î+9`È+ä¹SÂ`ÏÒÆÓ:OùË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆn∑

i=1

T (xi) = n∂a

∂θ(θ) = n a′(θ) ⇒

n∑

i=1

xi = n eθ = n λ ⇒ λ =1

n

n∑

i=1

xi .

¾ (?ñéoqëbé)ëbýJñ7ìyñé/$8ñ/ ìaéθþð7ì4þNîbþfñð^ñ7ý¿ëbÿNÿ'ñþNî'bþNýJñîEðþ]bî[ëbÿ<íKî'_ý@ëbî bëbî+îñþïñî9ì=ÿþoøù³î+þoøùBìz$&bîpëbé7ì=þfñÿ ÿ´ñî ¨ `ÿ´ñþ=ì=íBîKïñîSðaé½ñ½øùEñî!8ëbþfñoqÀbþ ðnðAî+ö8ô+ñ7éìyñþNÿíBîBï

î9íBéLñþNî[ñîq'ëbé)ëbýJñ7ìyñ7é1`½ñðþ=ìû^ì4* ¨ íBðpnWé/gBî'Bñî\Bñé ¨ îëbÿnïbþoñ¿û7íKý¿qëbé)ë1ïbé)ë/9ùñî\gx`nñéGò¥÷løùKúìûñé,êíKéñbþfñð^ñzÁ±ìfëì=þ]îIñ7î+î'øù%$8ñéê/ñî'ñ7ì4*Í\;`ÆÏÒÀ»ÁSÏµÁSÏÒÎO½XÄÀ»îK`À»ÁSÅÜqÀ½XÝ»îOÏÒÆÄÏÒÀÝ»ÄÏÊ2Hê½XÝ»Ý¿î½XÆÀ½8`ÝÏ1Â ∼ NegBin(r, p)

¿À»ÁSÂ'Â`ÏÒÆâQÆä¾½XÆÄê`Á`Î¿äUÏÒÆÄWê`ÁSÂ ÂbÀÏ"½XÆÀ½XÁ`ÈÎÏÒÎÏ7ñÏÒÁµÂbê`ÆuÐuÑ

E(X) = r(1 − p)/pê`ÁSÂ

V ar(X) = r(1 − p)/p2.

¸XÊ

·)¸x<ÿwÁªÏÒÀ¿u¿·8&¾ÑSÅÜn½¿JM¸ëëbºË<ÏÒÀ»ÄÏ º9ëß_äUÏÒÆÂ`ÏÒÁ\ÂbÀÏ«¨Q½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆlÂ`ÏÒÆ ¼ ÏÒÎO½XÄÀ»îK`À»ÁSÅÜqÀ½XÝ»îÏÒÆÄÏÒÀÝ»ê`Á`ÎùÂbê`ÆÐuÑàÂbÀÏJÓJÅÜjÏÒÁÄÏÒÁ`ÜjÏÒÄÑSÅ<Â`ÏJÎÏ+¿ÐuÑHÔXÄÈ+Ä9¹Óg½XÁ'ÏÒÆ¿ÏÒÄÈ+ÄeÂSÏ²ÁàâQÆä¾½XÆÄê`Á`Î¿äUÏÒÆÄ_ê`ÁSÂÂbÀÏ¿½XÆÀ½XÁ`È Âbê`ÆÐuÑ

xê`ÁSÂ

s2 îÎÝ¹'MÌ½±lê`ÁSÂUMÌ8½ê`ÁSÂùÝï¿Ä ÂbÀÏ¿ÀÐuÑ ÂS½XÁ`Á ÏÒÆÎÏ7ñÏÒÁSÂ`ÏÒÁ*ûÝÏÒÀÐuÑê`Á`ÎÏÒÁµÀ»Árê`ÁSÂ

p¹`úÝ»¿Ë<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆÏÒÆÑÔXÝ»ÄÜn½XÁ

p = x/s2, r = x2/(s2 − x).

ªI´ÀMµ<Å[Æ[(¡¦Ä(lÆÃÆ[ÄÜ *ûÏÒÎÏÒÁS¿Ç½XÄÈåÈ+ê`Ü¶ÓJúØñÏÒÁSïÄÀ»ÎÄ3Ün½XÁ:ñÏÒÀ»Ü O ú ÏÒÀ»ÁSÏ Ë<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`ÎÂ`ÏÒÆÎÏ+¿u½XÜåÄÏÒÁ?Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÒÁîÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`ÁSÎ+Hê`Ü ¿éÔXÄÏÒÆÜqÀ»Ä ¸ À»Ý%MÏîOÅÁÚº¾ê`ÁSÂJÂ`ÏÒÆûË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È9½XÑSÝöîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ýê`Á`ÎÂbÀÏEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎeÂ`Ï+¿'EÏÒÆÝ»êS¿ÄÏ+¿

LÈ+êñÏÒÆÏ+ÐuÑ`ÁSÏÒÁ¹

2Hê`ÆÓJÅÂ`ÏÒÝ»Ý»ÀÏÒÆê`Á`ÎeÂ`ÏÒÆË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÎÏÒÑSÏÒÁ äÀ»ÆîOÅÁéñÅ¿À»ÄÀ»îÏÒÁ`ê`Á½8`ÑÔXÁ`ÎÀ»ÎÏÒÁµê`ÁSÂÀÂ`ÏÒÁÄÀ¿uÐuÑJîÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ÄÏÒÁÊ2Hê½XÝ»Ý¿î½XÆÀ½8`ÝÏ²Á

Xi : (Ω, A) → (R, B)ÜqÀ»ÄûÂ`ÏÒÆ3¼¾ÅÆÏÒÝ¿ÐuÑSÏÒÁ

σCúÝ»ÎÏ7`Æu½

B½XêS¿`Â¹ Ñ¹Xi > 0, Xi ∼ X ∀ i.

\ÏÒÁ`ÁøÜn½XÁÂbÀÏ?ÏÒÜqé`À»ÆÀ¿ÐuÑSÏÒÁ ½XÄÏÒÁÂ`ÏÒÆ)Ë<ÐuÑÔÂ`ÏÒÁ ñÏÒÄÆu½ÐuÑÄÏÒÄ1ÂbÀÏÂbê`ÆÐuÑÅéñÏÒÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏÀ¿À»ÃOÏÒÁîOÏÒÆê`Æ¿u½ÐuÑÄWäê`ÆÂ`ÏÒÁ¿ÄÏÒÝ»Ý»ÄWÜn½XÁÏ+¿Ä1`ÂS½¿¿WÏ+¿Ë<ÐuÑÔÂ`ÏÒÁµÜqÀ»Ä

• ÎÆÅb-ÏÒÆ ¸ ÔXê0SÎÃOÏÒÀ»ÄWê`ÁSÂ ÎÏÒÆÀ»Á`ÎÏÒÆ ¸ ïÑSÏ• ÜqÀ»ÄÄÝÏÒÆÏÒÆ ¸ ÔXê0SÎÃÏÒÀ»ÄWê`ÁSÂ ¸ ïÑSÏûê`ÁSÂ• ÎÏÒÆÀ»Á`ÎÏÒÆ ¸ ÔXê0SÎÃÏÒÀ»ÄWê`ÁSÂ ÎÆÅb-ÏÒÆûË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÎÀ`Ä9¹

ÀÏûÝÏÒÄÈ+ÄÏ"3½XÄÏÒÎÅÆÀÏÀ¿ÄÂbÀÏ¹ÐÚÏÒÁ`À»ÎÏSÂbÀÏ4=;`ÆÂS½¿'ÁS¿ÄÀ»Äê`ÄWÂbÀÏqð ÎÏMÔXÑ`ÆÝ»ÀÐuÑS¿ÄÏð`À¿Ä1<äUÏÒÀ»Ý¿uÐuÑSÅÁÏÒÀ»ÁÏÒÀ»Á`Ün½XÝ»À»ÎÏÒÆåË<ÐuÑ½ÂSÏ²Á?ÂbÀÏ+¿ÏÒÆúÆÄ3È+ê`Ü#Wê`À»ÁFN;`Ñ`ÆÏÒÁgÃ½XÁ`Á¹ ÀÏ âVãbÀ¿ÄÏÒÁ`Èq¿ÅÝÐuÑSÏÒÆlË<ÐuÑÔÂ`ÏÒÁù¿é`ÀÏÒÎÏÒÝ»Äå¿ÀÐuÑ\À»ÁsÏÒÀ»ÁSÏÒÆå¿ÅÎÏÒÁ½XÁ`ÁÄÏÒÁ ¿ÐuÑäUÏÒÆÏÒÁùÍLÝ½XÁ`ÃOÏ:ÑSÏ9½9îBAÄu½XÀ»Ý Â`ÏÒÆ Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSï8ÑSÏÒÁîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î\äÀÂ`ÏÒÆ9¹]EÏÒÆÝ»êS¿ÄÏÀ»Á ÎÆÅb-ÏÒÆ ¸ ïÑSÏÑ½8ñÏÒÁ ÏÒÀ»ÁSÏÁ`ÀÐuÑÄqÈ+ê îOÏÒÆÁ½ÐuÑ`ÝÔ¿¿À»ÎÏÒÁSÂ`Ïâ À»ÁÄÆÀ»ÄÄ¿ä¾½XÑ`Æ¿ÐuÑSÏÒÀÁ`Ý»ÀÐuÑSÃÏÒÀ»Ä9¹ ÀÏ¾EÏ²ÆÄÏÒÀöÝ»ê`ÁSÎjîOÅÁ

XÀ»Á À»Ñ`ÆÏÒÆ4*ûÏ+¿u½XÜåÄÑSÏÒÀ»ÄWÜqÀ»ÄÏÒÀ»ÁSÏÒÆÏÒÀ»Á`È+À%

ÎÏÒÁJÄÑSÏ+ÅÆÏÒÄÀ¿ÐuÑSÏÒÁ_ ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î_ê`ÁSÂµÑ`À»Á`ÆÏÒÀÐuÑSÏÒÁSÂ`ÏÒÆ,*ÏÒÁ½Xê`À»ÎÃÏÒÀ»Ä3È+êµÜjÅÂ`ÏÒÝ»Ý»ÀÏÒÆÏÒÁgÀ¿ÄÀ»ÁJÂ`ÏÒÁÜjÏÒÀ¿ÄÏÒÁµÍQÔXÝ»ÝÏ²ÁµÁ`ÀÐuÑÄWÜjïÎÝ»ÀÐuÑ¹úêS¿ÂbÀÏÒ¿uÏÒÜ¶*ûÆê`ÁSÂ ÄÏÒÀ»Ý»ÄÜn½XÁJÂ`ÏÒÁc\ÏÒÆÄÏ7ñÏÒÆÏÒÀÐuÑ)Â`ÏÒÆ3Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÒÁJÀ»ÁµÂ`ÏÒÁJ¼UÏÒÆÏÒÀÐuÑJÂ`ÏÒÆð ÁSÅÆÜn½XÝÏÒÁðê`ÁSÂàÂ`ÏÒÆðóÏ²ãbÄÆÏÒÜjÏÒÁðIEÏÒÆÝ»êS¿ÄÏJê`ÁÂ ñÏÒÄÆu½ÐuÑÄÏÒÄñÏÒÀÂ`Ï)ÎÏÒÄÆÏÒÁ`Á<Ä9¹¾úÝ¿_ÁSÅÆÜn½ÝÏ_Ë<ÐuÑÔÂ`ÏÒÁs¿À»ÁSÂ?¿ÅÝÐuÑSÏjÜqÀ»ÄÑSÅÑSÏÒÆ ¸ ÔXê0SÎÃOÏÒÀ»Äê`ÁSÂ?ÎÏÒÆÀ»Á`ÎÏÒÜMEÏÒÆÝ»êS¿Äê`ÁSÂ\ÂbÀÏqÜqÀ»ÄÄÝÏÒÆÏÒÁË<ÐuÑÔÂ`ÏÒÁJÈ+êµ¿ÏÒÑSÏÒÁ¹ ¼ ê`Á äUÏÒÆÂ`ÏÒÁµÀ»ÁµÂ`ÏÒÆ6¨QÆu½kãbÀ¿WÁ`ÀÐuÑÄ½XÝ»ÝÏlÅéñÏÒÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏÒÁ:EÏÒÆÝ»êS¿ÄÏÀ»ÁµÏÒÀ»ÁSÏ ½XÄÏÒÁB½XÁ`Ã ½XêÎÏÒÁSÅÜqÜjÏÒÁE¿ÅÁSÂ`ÏÒÆÁ Áê`ÆjÂbÀÏ¹ÐÏÒÁ`À»ÎÏÒÁ ½8FÏÒÀ»ÁSÏÒÆqÎÏÒäÀ¿u¿ÏÒÁ ¸ ïÑSÏ

l¹ ½XÆê`Á

ÄÏÒÆjÝ»ÀÏÒÎÏÒÁ ÃOÏÒÀ»ÁSÏJË<ÐuÑÔÂ`ÏÒÁ îOÅÆ1\MÅÝ»ÎÝ»ÀÐuÑFÀ¿ÄnÂ`ÏÒÆn¼¾ÏÒÆÏÒÀÐuÑ'Â`ÏÒÆµð ÁSÅÆÜn½XÝÏÒÁðUË<ÐuÑ½ÂSÏ²Á¿ÑSïÑSÏÒÁñÏ+¿uÐuÑ`ÆuÔXÁ`ÃÄ9¹[2Hê ÏÒÀ»ÁSÏÒÆWÎÏÒÎÏ7ñÏÒÁSÏÒÁË<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏ

uÏÒÆÑÔXÝ»ÄÜn½XÁµ¿ÅÜqÀ»Ä'ÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`Ï,¨Q½XÆÄÀ»ÄÀÅÁH

N := Xi |Xi < u ê`ÁSÂ E := Xi |Xi ≥ u.

¸Ö

·)¸x<ÿwÓg½XÁñÏ9½ÐuÑÄÏXÂS½¿¿LÂ`À»Ï/ñÏÒÀÂ`ÏÒÁ ¼UÏÒÆÏÒÀÐuÑSÏUÂbÀ¿=ÐÚê`Á`Ã<ÄL¿À»ÁSÂlê`ÁSÂ ½XêÎÆê`ÁSÂ ÂbÀÏÒ¿uÏÒÆúÁ`Á½XÑ`ÜjÏÏÒÀ»ÁSÏ¿uÏÒé½XÆu½XÄÏ¼¾ÏÒÄÆu½ÐuÑÄê`Á`Î ê`ÁSÂe¿ÅÜqÀ»ÄUÏÒÀ»ÁSÏÓ)ÅÂ`ÏÒÝ»Ý»ÀÏÒÆê`Á`Î Âbê`ÆÐuÑeÈ+äUÏÒÀñ¿ÀÐuÑnÁ`ÀÐuÑÄ/;EñÏÒÆÝ½Xé`éñÏÒÁSÂSÏEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿ê`Á`ÃÄÀÅÁSÏÒÁÜjïÎÝ»ÀÐuÑøÀ¿Ä9¹ ÀÏ+¿uÏÒÁøúÁS¿u½XÄÈ±¾ÂbÀÏ\Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÒÁîOÏÒÆÄÏÒÀÝ»ê`Á`Îà½XêS¿È+äUÏÒÀ9 ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎÏÒÁnÈ+êS¿Ç½XÜqÜjÏÒÁ`È+êS¿ÏÒÄÈ9ÏÒÁ±0SÁSÂ`ÏÒÄ Ün½XÁeÏ²ã<é`Ý»À»È+À»Ä À»Á_èÑ½XéñÏÒÝ»ÝÏÏÒÄ½XÝ¹9M¸ëëXÊBê`ÁSÂ ÀèÝÏÒÜjÏÒÁÄÏ·8ÅÜn½XÁSÅM¸ëëXÊB²¹âQÜ`ÆÏ+ÐuÑÄ¿·83½XêEÜn½XÁSÁ·Ëb½ÜjÅÆÅ<ÂbÁ`À»Ä¿ÃBA M¸ëë¸±¿é`ÆÏ+ÐuÑSÏÒÁÂbÀÏ+¿uÏ+¿]&¾ÑSÏÒÜn½3Áê`ÆÃ<ê`ÆÈW½XÁ½8ñÏÒÆQÏÒÆÝÔXê`ÄuÏ²ÆÁjÏÒ¿VÁ`ÀÐuÑÄQ¿Åû½XêS¿=;`Ñ`ÆÝ»ÀÐuÑ äÀÏ¾ÂbÀÏIñÏÒÀÂ`ÏÒÁj½XÁSÂ`ÏÒÆÏÒÁ.êSÏÒÝ»ÝÏÒÁ¹Í\;`ÆÂS½¿Ün½XÄÑSÏÒÜn½XÄÀ¿ÐuÑSÏåÓ)ÅÂ`ÏÒÝ»ÝÂ`ÏÒÆË<ÐuÑH½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÒÁJÏÒÆÎÀ`Ä¿ÀÐuÑ ¿uÅÜqÀ»ÄWÍÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`Ï+¿1Hº¹WúÁ`Á½XÑ`ÜjÏH ÏÒÆUÈ+êMÔXÝ»Ý»À»ÎÏË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁ

XÏÒÀ»ÁSÏ+¿¾ÅéñÏÒÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏÒÁEÏÒÆÝ»êS¿ÄÏ+¿À¿ÄUÁ½ÐuÑ_ê`ÁÄÏÒÁ

ñÏ+¿ÐuÑ`ÆuÔXÁ`Ã<Ä1SÂ¹ Ñ¹X ≥ l

¹¸b¹WúÁ`Á½XÑ`ÜjÏH ÏÒÆ¾Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁ

XñÏ+ÂbÀ»Á`ÎÄ¾ÂS½XÁ½ÐuÑÂS½¿¿ÏÒÆEÎÏ²ÆÀöÁSÎÏ²Æ½XÝ¿

uÀ¿Ä1îOÏÒÆÑÔXÝ»ÄU¿ÀÐuÑ

äÀÏlÏÒÀ»ÁSÏÝÅÎÁSÅÆÜn½XÝ»îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ÄÏ2HêM½XÝ»Ý¿î½XÆu½XÀ`ÝÏYÎÏÒÎÏ7ñÏÒÁÂS½¿¿

YÀ»Ü CÁÄÏÒÆî½XÝ»Ý

[ l, u ]Ý»ÀÏÒÎÄ1SÂ¹ Ñ¹P (X ∈ · |X ≤ u) = P (Y ∈ · |Y ∈ [ l, u ])

Má±ÜqÀ»ÄÏÒÀ»ÁSÏÒÆWÝÅÎÁSÅÆÜn½XÝ»îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ÄÏ+Á_2Hê½XÝ»Ý¿î½XÆÀ½8`ÝÏÒÁ

Y¹

Ìb¹WúÁ`Á½XÑ`ÜjÏHJ!ñÏÒÆÑ½XÝ_Â`ÏÒÆË<ÐuÑ<äUÏÒÝ»ÝÏuîOÏÒÆÑÔXÝ»ÄE¿ÀÐuÑnÂbÀÏË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÒÁîÏÒÆÄÏ+À»Ý»ê`ÁSÎläÀÏ

ÏÒÀ»ÁSÏ*¾¨ SÂ¹ Ñ¹P (X ∈ · |X > u) = Gξ,u,σ( · ). Úº9ë±

¸ ÀÏÒÆu½XêS¿ÏÒÆÎÀ`Ä¿ÀÐuÑ À»ÁS¿ÎÏ+¿u½XÜåÄ'=;`ÆWÂbÀÏ" ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎeÂ`ÏÒÆ3Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÒÁ¯A ∈ B

HP (X ∈ A) = P (X ∈ A |X > u) P (X > u) + P (X ∈ A |X ≤ u) P (X ≤ u).

Úºº ÀÏGs½XÑ`Ý¾îOÅÁ

uÀ¿ÄqÑ`ÀÏ²Æ½ñÏ²À½XêS¿u¿ÐuÑ`Ý½XÎÎÏ7ñÏÒÁSÂ( ÂS½gÂbÀÏ+¿Ï ÂbÀÏ ½XÄÏÒÁ¯MÏ+¿ÄÝÏÒÎÄ1 ½XêûÂ`ÏÒÁSÏÒÁ

ÂbÀÏ äUÏÒÀ»ÄÏÒÆÏjË<ÐuÑHÔXÄÈ+ê`Á`Î Â`ÏÒÆ¾¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ,½¿ÀÏÒÆÄ9¹ ÏÒÆûâQÁÄ¿ÐuÑÏ²ÀÂbêSÁ`Î;EñÏÒÆÂbÀÏ ¸ ïÑSÏ ÂbÀÏ+¿ÏÒÆË<ÐuÑä¾ÏÒÝöÝÏ

uäUÏÒÁSÂ`ÏÒÁ äÀ»ÆVê`ÁS¿À»Ü ú!S¿ÐuÑ`Á`À»ÄÄ];EñÏÒÆVÂbÀÏWË<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`Î¾N;`ÆVÂbÀÏ3ðóÏ²ãbÄÆÏÒÜjÏÒÁðË<ÐuÑÔÂ`ÏÒÁ

È+ê¹ËÀÏj¿ÏÒÀ À»Ü#ÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`ÏÒÁ³¨Q½XÆu½XÎÆu½Xé`ÑSÏÒÁ ½XÝ¿ÎÏÒÎÏ7ñÏÒÁ\îOÅÆu½XêS¿ÎÏ+¿ÏÒÄÈ+Ä9¹úÝ»ÝÏÒÆÂbÀ»Á`Î¿îOÏÒÆÜåê`ÄÏÒÄÜn½XÁµÀ»ÁÄê`À»ÄÀ»îlÂS½¿u¿

uÆÏÒÝ½XÄÀ»î ÎÆÅb-e¿ÏÒÀ»Á ÜåêS¿u¿1`ê`Ü ÏÒÀ»ÁSÏlú6`ÎÆÏÒÁ`È+ê`Á`ÎeÈ+äÀ¿ÐuÑSÏÒÁùð ÁSÅÆÜn½XÝÏÒÁð

ê`ÁSÂ?ðóÏ²ãbÄÆÏÒÜjÏÒÁðñË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁJÂS½XÆÈ+êS¿ÄÏÒÝ»ÝÏÒÁ¹

ªI«ªÙµ<Å[Æ[É[£1§+¯\[Ã¡vÄ¥ÄN[¤¦¥å_\æÄ(wÄ/µËÅ[ÆlÉ(¡vÄ(Í\;`ÆeÂbÀÏJË<ÐuÑÔXÄÈÒêSÁ`ÎùÂ`ÏÒÆ_Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÒÁîÏÒÆÄuÏÒÀ»Ý»ê`ÁSÎùÂ`ÏÒÆJð ÁSÅÆÜn½XÝÏÒÁð¾Ë<ÐuÑÔÂ`ÏÒÁ'Ý½¿¿uÏ²Á'¿ÀÐuÑÃ<Ý½¿¿À¿uÐuÑSÏË<ÐuÑHÔXÄÈ+ÜjÏ²ÄÑSÅÂ`ÏÒÁ îOÏÒÆäUÏÒÁSÂ`ÏÒÁ¹XúÝ»ÝÏÒÆÂbÀ»Á`Î¿À¿ÄLÂS½XÆu½XêSÈ+ê ½ÐuÑÄÏÒÁXÂS½¿¿LÂ`ÏÒÆ¼¾ÏÒÆÏÒÀÐuÑÂ`ÏÒÆË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÒÁ)îOÅÁJÅbñÏÒÁ)Âbê`ÆÐuÑ)ÂbÀÏ Ë<ÐuÑä¾Ï²Ý»ÝÏåêLñÏÒÎÆÏÒÁ`È+Ä3À¿Äê`ÁSÂµÏ+¿À»ÁJÂ`ÏÒÆ4Ï9½XÝ»À»ÄuÔXÄ½XêSÐuÑnÏÒÀ»ÁSÏê`ÁÄÏÒÆÏË<ÐuÑSÆu½XÁ`ÃÏÎÀ`Ä1ê`ÁÄÏÒÆÑ½XÝeÂ`ÏÒÆÏÒÆ ½XÄÏÒÁnÂ`ÏÒÆEÏÒÀ»Á`ÎÏÒÄÆÏÒÄÏÒÁSÏÒÁË<ÐuÑÔÂ`ÏÒÁnÁ`ÀÐuÑÄÆÏÒÎÀ¿ÄÆÀÏÒÆÄWäê`ÆÂ`ÏÒÁ¹

¸ò

·)¸x<ÿwÜÉÏÒÀ»ÁSÏÒÁFÏÒÀ»Á`ÎÏ+¿ÐuÑ`ÆuÔXÁ`Ã<ÄÏÒÁ \ÏÒÆÄÏ7ñÏÒÆÏÒÀÐuÑ ñÏÒÀÂ`ÏÒÆnË<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`Î?ÜqÀöÄqÏÒÀ»Á`È+êEñÏÒÈ+ÀÏÒÑÏÒÁQÜåêS¿¿ÂbÀÏ ÀÐuÑÄÏlÂ`ÏÒÆ½XÁ`ÎÏÒÁSÅÜqÜjÏÒÁSÏ+ÁFOÅÎÁSÅÆÜn½XÝ»îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»êSÁ`Î_¿Å ÜjÅÂbÀ%0SÈ+ÀÏÒÆÄäUÏÒÆÂ`ÏÒÁÂS½¿u¿W¿ÀÏÈ+êÂ`ÏÒÆE½8`ÎÏ+¿ÐuÑ`Á`À»ÄÄÏÒÁSÏÒÁ@EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿ê`Á`ÃÄÀÅÁjé½¿¿Ä9¹úêS¿QÂ`ÏÒÆQÅb`À»ÎÏÒÁjÍÅÆÜjÏÒÝMá±ÏÒÆÎÀ`Ä ¿ÀÐuÑ

P (Y ≤ y |Y ∈ [ l, u ]) =P (d ≤ Y ≤ y)

P (Y ∈ [ l, u ])=

F (y) − F (l)

F (u) − F (l)

⇒ f∗(y) =f(y)

F (u) − F (l)

ÜqÀ»Ä

YÝÅÎÁSÅÆÜn½XÝ»îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ÄuÏ?2Hê½XÝ»Ý¿î½XÆÀ½8`ÝÏ

l, uË<ÐuÑ`ÆÇ½XÁ`ÃÏÒÁ

FEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿ê`Á`ÃÄÀÅÁµîOÅÁ

Y

f ÀÐuÑÄÏîOÅÁ

F

f∗ñÏ+ÂbÀ»Á`ÎÄÏ ÀÐuÑÄÏ

ÀÏLOÅÎÁSÅÆÜn½XÝ»îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ýê`Á`Î Â`ÏÒÆG2Hê½XÝ»Ý¿î½XÆÀ½8`ÝÏÒÁYÀ¿ÄjÎÏÒÎÏ7ñÏÒÁàÂbê`ÆÐuÑ

ln Y ∼ N (µ, σ)

Â¹ Ñ¹F (y) = P (Y ≤ y) = P (ln Y ≤ ln y) = N (µ, σ) (ln y)

ê`ÁSÂ

F (y) =1√2π σ

∫ ln y

−∞e−

12(

t−µσ )

2

dt.

ÀÏ ÀÐuÑÄÏÂ`ÏÒÆ6OÅÎÁSÅÆÜn½XÝ»îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»êSÁ`ÎeÀ¿ÄÎÏÒÎÏ7ñÏÒÁJÂbê`ÆÐuÑ

f(y) =1√2π σ

1

ye−

12(

ln y−µσ )

2

.

ÆÅ+ ("þfñpq'ëbé)ëbýJñ7ìyñéñép½ïî'béýëÿ$8ñ7éìyñþNÿíBîBïµ := E(ln Y )

íBî+σ :=

√

V ar(ln Y )ñ7î9ìNðaénñ)ø7ùñîcî+þoøùBìUñ7ýèIéê<ëbé7ì=íBîBïbðê/ñé7ì[8G`½û7êN*ñé6÷ìfëbî'ëbé±ë`ê/ñ7þ=ø7ùíBîBïñé í/.^ëbÿ ÿqð/$ëbéþ=ë`ÿñ7î

Y*f(,þoñð1ñ,ðþ î+ïñfïñk`nñ7îÇbíKé)øù

E(Y ) = eµ eσ2

2íKî' √

V ar(Y ) =

√

eσ2 (eσ2 − 1) e2 µ.

ò_ëbîp`nñ½ë±øùBìyñ/8,±ë8ðð¾ðAbê2bùÿ<.0aÈ/6@ëbÿÇðDëíøùb04È/6$&bîÇ`½ñ7þ]ñ7î~q'ëbé)ëbýJñ7ìyñ7éîÊë`ùúbîBïñî*Ë<ÏÒÀÂbÀÏ ê`ÁÄÏÒÆÏgË<ÐuÑ`Æu½XÁ`ÃOÏ

lê`ÁSÂ ÂbÀÏµÅbñÏÒÆÏ

uñÏÒÃ½XÁ`ÁÄnê`ÁSÂFÝ»ÀÏÒÎÏÒÁà¼UÏ+Åb½ÐuÑÄê`Á`ÎÏÒÁ

x =(x1, . . . , xn)

½XêS¿ Â`ÏÒÜÙÁÄÏÒÆî½XÝ»Ý[ l, u ]

îOÅÆ9¹ ÀÏ©¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆµê`ÁSÂ

σÂ`ÏÒÆ?OÅÎÁSÅÆÜn½XÝ»îÏÒÆ

¸±Î

·)¸x<ÿwÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎeÃïÁ`ÁÏ²ÁµÜqÀ»ÄÄÏÒÝ¿Â`ÏÒÆÓ)½kãbÀ»Üåê`Ü«yOÀ»ÃOÏÒÝ»À»ÑSÅÅÂ)ÓJÏÒÄÑSÅÂ`ÏÎÏ+¿uÐuÑÔXÄÈ+ÄäUÏÒÆÂ`ÏÒÁ¹úÝ¿6OÅÎbOÀ»ÃÏÒÝ»À»ÑSÅÅÂKCÍSê`Á`Ã<ÄÀÅÁ:ñÏÒÈ+ÀÏÒÑê`Á`Î¿äUÏÒÀ¿ÏDOÅÎbyOÀ»ÃÏÒÝ»À»ÑSÅ<ÅÂK¹*ûÝÏÒÀÐuÑêSÁ`ÎÏÒÁ)ÏÒÆÑÔXÝ»ÄÜn½XÁH

Lθ(x) =n∑

i=1

ln f∗(xi) =n∑

i=1

ln

(

f(xi)

F (u) − F (l)

)

⇒

∂

∂µLθ(x) =

∂

∂µ

n∑

i=1

ln

(

f(xi)

F (u) − F (l)

)

!= 0

∂

∂σLθ(x) =

∂

∂σ

n∑

i=1

ln

(

f(xi)

F (u) − F (l)

)

!= 0.

¸ ÀÏÒÆUÜåêS¿u¿UÜn½XÁ ÏÒÀöÁÁê`ÜjÏÒÆÀ¿ÐuÑSÏ+¿'EÏ²Æ)M½XÑ`ÆÏÒÁÈ+ê`Æ'Oï¿ê`Á`ÎqÂ`ÏÒÆ6*3ÝÏÒÀÐuÑê`Á`ÎÏÒÁ ÑSÏÒÆu½XÁ`È+ÀÏÒÑSÏÒÁ¹

ªIÉäµ<Å[Æ[É[£1§+¯\[Ã¡vÄ¥Ä%Ä!F+£¥Ä(åªÄ(GÄIµ<Å[Æ[É(¡¦Ä(úÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀ»Á ÃÅÜqÜåÄWÂ`ÏÒÆWÓ)ÅÂ`ÏÒÝ»Ý»ÀÏÒÆê`Á`ÎnÂ`ÏÒÆÆÏ+ÐuÑÄÏÒÁµÍÝ½XÁ`ÃOÏûÏÒÀ»ÁñÏ+¿ÅÁSÂ`ÏÒÆÏ+¿úê`ÎÏÒÁ`ÜjÏÒÆÃeÈ+êäUÏÒÀ»Ý3ÂbÀÏµÜjÏÒÀ¿ÄÏÒÁ EÏÒÆM½XÑ`ÆÏÒÁ ñÏÒÀ3Â`ÏÒÆeÓ)Ï+¿¿ê`Á`ÎsÂ`Ï+¿©À¿À»ÃOÅ¿nÂbÀÏ)Ë<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`Î ÏÒÀ»ÁSÏ+¿eÑSÅÑSÏÒÁ.ê½XÁÄÀ»Ý¿WÂ`ÏÒÆWEÏÒÆÝ»êS¿ÄîOÏ²ÆÄÏÒÀöÝ»ê`ÁSÎqÜqÀöÄuÏ²À»ÁKñÏ²È+ÀÏ+ÑSÏÒÁ¹+Á`ÁSÏÒÆÑ½XÝ ÏÒÀ»ÁSÏ+¿'&LÏÒÀ»Ý¿ÏÒÃ<ÄÅÆ¿¾À¿Ä¾À»ÁÏÒÆ¿ÄÏÒÆOÀ»Á`ÀÏ_ÏÒÀ»ÁSÏnÎê`ÄÏ Ë<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`ÎÂ`ÏÒÆåÎÏ+¿Ç½XÜåÄÏÒÁFË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÒÁîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»êSÁ`ÎgäÀÐuÑÄÀ»Î+äUÏÒÀ»ÝUÂbÀÏ+¿uÏÈ+ê`Æ¼¾ÏÒÆÏ+ÐuÑ`Áê`Á`Î Â`ÏÒÆ¾EÏÒÆÝ»êS¿ÄîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î Â`Ï+¿Ë<ÏÒÃ<ÄÅÆ¿4ñÏÒÁSïÄÀöÎÄäÀ»ÆÂÂ¹ Ñ¹ÏÒÀ»Á$.ê½XÁÄÀ»ÝQÂ`ÏÒÆEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎµÂ`ÏÒÆ Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÒÁsäÀ»ÆÂÎO½XÆÁ`ÀÐuÑÄÎÏ7`À»ÝÂ`ÏÒÄ9¹ ÏÒÁ`ÁSÅÐuÑ?À¿ÄÏÒÀ»ÁSÏqÎê`ÄÏjÓJÅÂ`ÏÒÝ%Ý»ÀÏÒÆê`Á`ÎsÂ`ÏÒÆ_Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿îÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`ÁSÎs¿ÐuÑSÅÁ'½XêÂ`ÏÒÆqê`ÁÄÏÒÆ¿ÄÏÒÁ âñÏÒÁSÏJ½XêS¿¿ÐuÑ`Ý½XÎÎÏ7ñÏÒÁSÂ( ê`ÜÂbÀÏÏ²ã<ÄÆÏÒÜjÏ²ÁL ÏÒÆÝ»êS¿ÄÏ½XêSÐuÑJ½XêVÂ`ÏÒÆ4*ûÏ+¿u½XÜåÄ)½XÁSÃÏ7ñÏÒÁSÏÁ`ÀÐuÑÄWÈ+ê ê`ÁÄÏÒÆ¿uÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÁ¹+'ÀÏÀ»Ü¨Q½XÆu½XÎÆu½Xé`ÑSÏÒÁc;EñÏÒÆWâ¾& ¿À»ÁSÂ ½XêSÐuÑ Ñ`ÀÏÒÆÂbÀÏ ¸ ½Xê`é`ÄÆuÏMÏÒÆÏÒÁ`È9ÏÒÁLÏÒÀ¿u¿·8&¾ÑSÅÜn½¿,M¸ëëbºê`ÁSÂâ Ü`ÆÏ+ÐuÑÄ¿·83ûÝ;`éSéñÏÒÝñÏ+ÆÎB·XÓJÀ»ÃOÅ¿ÐuÑÚº9áá±Î²¹´ûxÊ³<«Ç«0¤S¥? <»< bªÙ L,Q ³ ¯H g¨©` `ªM«²¬<®Sª £¢+¤SO¥«u°O bªM¢u <»ö¤S¥Ü ¿ÅÎÏÒÁ`Á½XÄÏÒÁ_¨NJ4&ICÓ)ÅÂ`ÏÒÝ»ÝVäÀ»ÆÂ)½XêÎÆê`ÁSÂ)Â`Ï+¿3¼¾½XÝ»ÃOÏÒÜn½CÂ`Ï ¸ ½½XÁy¨QÀÐuÃ½XÁSÂ`¿y&¾ÑSÏ+ÅÆÏ+Üj¿ÂbÀÏqúÁ`Á½XÑ`ÜjÏqÎÏÒÄÆÅ8ÍÏÒÁ

Fu(x) ≈ Gξ,u,σ(x). ÀÏ« ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿)ê`Á`Ã<ÄÀÅÁ?ÝÔ¿¿Ä¿ÀÐuÑ?½XÝ¿uÅ©=;`Æ

x ≥ u¿ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÁEÀ»ÁSÂ`ÏÒÜ Ün½XÁ

F (u)Âbê`ÆÐuÑàÂbÀÏµÏÒÜqé`À»ÆÀ¿ÐuÑSÏ: ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿ê`Á`Ã<ÄÀÅÁ ½XÁ'Â`ÏÒÆ

ËÄÏÒÝ»ÝÏu¿ÐuÑÔXÄÈ+Äûê`ÁSÂ

Fu(x)Âbê`ÆÐuÑ?ÏÒÀ»ÁSÏ@*¾¨ ½Xé`é`ÆÅ9ãbÀ»ÜqÀÏÒÆÄ9¹Ë<ÅÏÒÆÎÀ`Ä¿ÀÐuÑ?½XÝ¿Ë<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ

=;`ÆWÂbÀÏ"EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿ê`Á`Ã<ÄÀÅÁJÅbñÏÒÆÑ½XÝJÂ`ÏÒÆ3Ë<ÐuÑ`Æu½XÁ`ÃÏuÜqÀ»Ä ¸ À»Ý%ÏÂ`ÏÒÆÍÅÆÜjÏÒÝ/fÎ

F (x) =(

1 − Fn(u))

Gξ,u,σ(x) + Fn(u).

â À»ÁSÏÒÁF.ê½XÁÄÀ»Ý¿ÐuÑÔXÄÈ9Ï+Æ=;`ÆWÂS½¿p¹.ê½XÁÄÀöÝ

xpÃ½XÁ`Á Ün½XÁJ½XêS¿WÂ`ÏÒÜ úÁS¿u½XÄÈ

F (xp) =(

1 − Fn(u))

Gξ,u,σ(xp) + Fn(u) = p½XÝ¿

¸ß

·)¸x<ÿw

xp = G−1ξ,u,σ

(

p − Fn(u)

1 − Fn(u)

)

= u +σ

ξ

(

1 − p − Fn(u)

1 − Fn(u)

)−ξ

− 1

ÎÏÒäÀ»Á`ÁSÏÒÁ¹ ÀÏ+¿WÝÔ8-Ä¿ÀÐuÑ îOÏÒÆÏÒÀ»ÁM½ÐuÑSÏÒÁµÈ+ê

xp = u +σ

ξ

(

1 − p

1 − Fn(u)

)−ξ

− 1

= u +σ

ξ

(

(n

k(1 − p)

)−ξ− 1

)

,

äUÏÒÁ`Á Ün½XÁGñÏ9½ÐuÑÄÏÒÄ1`ÂS½¿u¿1− Fn(u)

ÎÏ²ÆÇ½Â`Ï kn

À¿Ä9¹ ¸ ÀÏÒÆ)ñÏÒÀÎÏÒÑSÏÒÁäÀ»ÆÂS½9îOÅÁ ½XêS¿1bÂS½¿¿¾Ï+¿k® ñÏ²Æu¿ÐuÑ`ÆÏÒÀ»Äê`Á`Î¿ÂS½XÄÏÒÁ)À»Á`ÁSÏÒÆÑ½XÝ)Â`ÏÒÆ

nê`Æ¿é`Æ);`Á`ÎÝ»ÀÐuÑSÏÒÁ ½XÄÏÒÁ

xn:n ≤ . . . xk:n ≤ · · · ≤x1:n

ÎÀ`Ä1`ÂbÀÏ4;EñÏÒÆuÝ»ÀÏÒÎÏÒÁ¹ ÀÏË<ÐuÑÔXÄÈÒêSÁ`ÎjÂ`ÏÒÆ'¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆÂ`ÏÒÆ6*¾¨ ñÏÒÆ);SÐuÃb¿ÀÐuÑÄÀ»ÎÄÁê`Æ

ÂbÀÏ+¿uÏk ½XÄÏÒÁOä¾ÏÒÀöÝñÁê`ÆU¿ÀÏ3½XÝ¿EÆÏÒÝÏÒî½XÁÄ<=;`ÆUÂS½¿<EÏÒÆÑ½XÝ»ÄÏÒÁÂ`ÏÒÆÆÏ+ÐuÑÄÏÒÁÍÝ½XÁ`ÃÏ3½XÁ`ÎÏ+¿uÏ²ÑÏ²Á

äUÏÒÆÂ`ÏÒÁ¹ ÀÏåÆÏ+¿ÄÝ»ÀÐuÑSÏÒÁ ½XÄÏÒÁgîOÏÒÆÑ½XÝ»ÄÏÒÁ¿ÀÐuÑ¿Ð½nÎÏÒÆu½Â`Ï Á`ÀÐuÑÄûäÀÏ ÏÒÀ»ÁSÏ îÏÒÆu½XÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁSÏÒÆÄuÏ¨Q½XÆÏÒÄÅ8f ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»êSÁ`Îùê`ÁÂFÃOïÁ`ÁSÏÒÁà¿ÅÜqÀ»Ä_½XêSÐuÑ'ÃOÏÒÀ»ÁSÏLÁÅÆÜn½XÄÀÅÁSÏÒÁàÈ+ê`Æ¿¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ¿ÐuÑÔXÄ)È+ê`Á`ÎeîOÅÁ

ξ, µê`ÁSÂ

σñÏÒÀ»ÄÆu½XÎÏÒÁ¹Ó)½XÁ:ñÏ9½ÐuÑÄÏHÂS½¿u¿ÂS½¿¾*3ÆÏÒÁ`È+îOÏÒÆÑ½XÝ»ÄÏÒÁgÂ`ÏÒÆ! ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î

Fu(x)À»Ü Ëb½XÄÈîOÅÁù¼½XÝ»ÃOÏÒÜn½CÂ`Ï ¸ ½½XÁy¨QÀÐuÃ½XÁSÂ`¿«N;`Æ

u → ∞ ÎÀ»Ý»Ä9¹ ÀÏ+¿?ñÏ+Â`ÏÒê`ÄÏÒÄ1QÂS½¿¿ÆÏÒÀ»ÁµÄÑSÏ+ÅÆÏÒÄÀ¿ÐuÑ)ÂbÀÏÍÏÒÑ`ÝÏÒÆÆu½XÄÏåÂ`ÏÒÆúé`é`ÆÅ9ãbÀ»Ün½XÄÀÅÁc=;`Æ

k → 0ÎÏÒÎÏÒÁ ¼ ê`Ý»Ý¿ÄÆÏ7`Ä9¹

k → 0ñÏ+¿Ç½XÎÄq½8ñÏÒÆ Á`ÀÐuÑÄ¿q½XÁSÂ`ÏÒÆÏ+¿j½XÝ¿ ÏÒÀ»ÁSÏ_À»ÜqÜjÏÒÆ ÃÝÏÒÀ»ÁSÏÒÆ äUÏÒÆÂ`ÏÒÁSÂ`ÏúÁ`È0½XÑ`Ý¾îÅÁ ® ñÏÒÆ¿ÐuÑ`ÆÏÒÀ%Äê`Á`Î¿uÂS½XÄÏÒÁ¹Oâ ¿ËñÏ+¿ÄÏÒÑÄ½XÝ¿ÅÏÒÀ»ÁJ3ÅÁs¶SÀ»Ã<Ä È+äÀ¿ÐuÑSÏÒÁeÂ`ÏÒÆI*ûÏÒÁ½Xê`À»ÎÃOÏÒÀöÄÂ`Ï+¿EÓJÅÂ`ÏÒÝ»Ý¿ ê`ÁSÂjÂ`ÏÒÆúêS¿¿u½XÎÏÒÃ<Æu½ÄÂ`ÏÒÆWÎÏ+¿ÐuÑÔXÄÈ+ÄÏÒÁ:¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆÂbÀÏ"ñÏÒÀÎÆïb-ÏÒÆÏÒÁJÅbñÏ²ÆuÏ²ÁgË<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏÒÁ)½8`Á`À»ÜqÜåÄ9¹¼¾ÏÒÀÂ`ÏÒÆ úÁ`é½¿u¿ê`Á`ÎJÂ`ÏÒÆ«*"¨ ½XÁsÂbÀÏ ® ñÏÒÆ¿ÐuÑSÆÏÒÀöÄê`Á`Î¿ÂS½XÄÏÒÁùÜåêS¿¿åÂ`Ï+¿Ñ½XÝsÎÏÒÁSÏÒÆÏÒÝ»ÝUÏÒÀ»Á*ûÝÏÒÀÐuÑ`ÎÏÒäÀÐuÑÄ È+äÀ¿uÐuÑSÏÒÁ Â`ÏÒÜ ¼À½¿ ê`ÁSÂùÂ`ÏÒÆ?½XÆÀ½XÁ`ÈÂ`Ï+¿«¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ¿uÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆu¿ ÎÏê`ÁSÂ`ÏÒÁäUÏÒÆÂ`ÏÒÁ¹â À»ÁSÏ_äÀÐuÑÄÀ»ÎÏÅÝ»ÝÏeÀ»Á Â`ÏÒÆqâQã<ÄÆÏÒÜåäUÏÒÆÄÄÑSÏ9ÅÆÀÏ ¿é`ÀÏÒÝ»ÄqÂbÀÏ¿uÅÎÏÒÁ½XÁ`ÁÄÏÜqÀ»ÄÄÝÏÒÆÏ âVãbÈ9Ï+¿¿ê`Á`Ã<ÄÀÅÁ$Ó)â ÍWSÓJÏ9½XÁµâVã`Ð+Ï+¿¿WÍSê`ÁSÐÒÄÀÅÁ²¹S% TUVXWYV[Z'e§f

eF (u) := E(X − u |X > u) =

∫

x d F(u)(x)./gKé

0 ≤ u < xR(F )

ùEñþ ^\ì¾ÜqÀ»ÄÄÝÏÒÆÏâVãbÈ9Ï+¿¿êSÁ`ÃÄÀÅÁtñécô+ñ7éìyñþNÿíBîBïbðX.íBî! 8ì=þ]bîF82`½û7êN*ñé í/.^ëbÿ ÿÇð;$ëbéþ=ë`ÿ´ñî

X*

ÀÏ+¿ À¿ÄEÂ`ÏÒÆâQÆä¾½XÆÄê`Á`Î¿äUÏÒÆÄUÂ`ÏÒÆ ® ñÏÒÆ¿ÐuÑ`ÆÏÒÀ»Äê`Á`ÎÏÒÁY = X−u

ñÏÒÈ^;`ÎÝ»ÀÐuÑ_Â`ÏÒÆ< ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎF(u)

½XÝ¿ûÍSê`Á`Ã<ÄÀÅÁgÀ»Áu¹ñ¼¾ÏÒÄÆu½ÐuÑÄÏÒÄÜn½XÁÂbÀÏ Â`ÏÒÆD*3Æïb-Ï Á½ÐuÑgÎÏ+ÅÆÂbÁSÏÒÄÏÒÁ ½XÄÏÒÁ

xn:n ≤. . . x2:n ≤ x1:n

S¿Å Ã½XÁ`Á Ün½XÁµÂbÀÏÏÒÜqé`À»ÆÀ¿ÐuÑSÏlÓ)â Í ÂS½XÆ¿ÄÏÒÝ»ÝÏÒÁ)½XÝ¿

en(u) := eFn(u) :=

1

k

k∑

i=1

(xi:n − u) ,

äUÅbñÏÒÀK := xi |x − i > u = xk:n, . . . , x1:n

ÂbÀÏÓ)ÏÒÁ`ÎÏê`ÁSÂ

k = |K | ÂbÀÏúÁ`È0½XÑ`ÝÂ`ÏÒÆ¼¾ÏÒÅbH½ÐuÑÄê`Á`ÎÏÒÁJÅbñÏÒÆÑ½XÝµîOÅÁuÀ¿Ä9¹

¸á

·)¸x<ÿwJ6ÍÏÒÁS¿ÀÐuÑÄÝ»ÀÐuÑ ¿ÄÏÒÑSÏÒÁÂbÀÏ3úÁ`È0½XÑ`ÝÂ`ÏÒÆ ® ñÏÒÆ¿ÐuÑ`ÆÏÒÀ»Äê`Á`Î¿ÂS½XÄÏÒÁ ê`ÁSÂÂbÀÏÈ+ê`ÎÏÒÑSïÆÀ»ÎÏlË<ÐuÑäUÏÒÝ%ÝÏeÀ»Á ÏÒÀ»ÁSÏÒÜ ÂbÀ»ÆÏÒÃÄÏÒÁ¯ ÏÒÆÑHÔXÝöÄÁ`À¿1Â`ÏÒÁ`Á

kÑÔXÁ`ÎÄ îÅÁ

u½8¹\¬Ï+Â`ÏÒÆnË<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏ

uÝÔ¿¿Ä ¿ÀÐuÑ

ÏÒÀ»ÁSÏÏÒÀ»ÁSÂ`ÏÒê`ÄÀ»ÎÏlúÁ`È0½XÑ`ÝîÅÁ ® ñÏÒÆ¿ÐuÑ`ÆÏÒÀ»Äê`Á`Î¿uÂS½XÄÏÒÁµÈ+êSÅÆÂbÁSÏÒÁE=;`Æ]ÐÚÏ+Â`ÏîÅÆÎÏÒÎÏ7ñÏÒÁSÏlúÁÈ0½XÑ`ÝWÝ½¿¿ÏÒÁF¿ÀÐuÑ_ÐÚÏ+Â`ÅÐuÑ ÄÑSÏ+ÅÆÏÒÄÀ¿ÐuÑFÜjÏÒÑ`ÆÏÒÆÏJË<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏÒÁ

uj0SÁSÂ`ÏÒÁ¹ úÝ¿3ÅÁîOÏÒÁÄÀÅÁ ¿ÏÒÀ

ÂbÀÏåÈ+ê`ÎÏÒÑSïÆÀ»ÎÏnË<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏ Âbê`ÆÐuÑuk := xk:n

½XÝ¿kÎÆïb-ÄÏÒÆ¾\Ï²ÆÄ3Â`ÏÒÆ ½XÄÏÒÁgÂ`Ï0SÁ`ÀÏÒÆÄ9¹ Ï²Á

È+ê`ÎÏÒÑSïÆÀ»ÎÏÒÁª¨QÝÅÄ1HÂ`ÏÒÆÂbÀÏåÏÒÜqé`À»ÆÀ¿ÐuÑSÏåÓ)Ï9½XÁJâVã`Ð+Ï+¿¿ÍSê`ÁSÐÒÄÀÅÁ¯Ó)â ÍËeFn

(u)ÎÏÒÎÏÒÁJîOÏÒÆ

¿uÐuÑ`ÀÏ+Â`ÏÒÁSÏqË<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏÒÁu½8`ÄÆuÔXÎÄ1ñÁSÏÒÁ`ÁÄûÜn½XÁgÏÒÜqé`À»ÆÀ¿ÐuÑSÏÒÁÓ)Ï9½XÁgâVãbÐ+Ï+¿u¿4¨QÝÅÄ@ÓJâË¨I²¹2ê

OÏÒÜqÜn½µÖîOÏÒÆÎÝÏÒÀÐuÑSÏJÏÒÀ¿¿·8&¾ÑSÅÜn½¿©M¸ëëbºVË<ÏÒÀ»ÄÏeÖÌÖÖ ê`ÁSÂ?¿éñÏÒÈ+ÀÏÒÝ»ÝEÈ+ê`Ü ¼¾ÏÒäUÏÒÀ¿ ¸ ½XÁM¸ëëÌ±ñË<ÏÒÀ»ÄÏjº9áb¹2 i § 2gBébþfñ"ò_ñ½ëbîcèw¡±øñððzlíKîø^ì=þ"bîïbþNÿì<ý«þNì

u < xR(F )0fþ6eFµ,σ(u) = σ eF

(x−µσ

)

0fþNþ¢6eGξ,0,σ

(u) = σ−ξ u1−ξ

þð7ìIÿþNî[ñ½ëbéN./gKé0 < ξ < 1

íBî+b bî+ðìfëbî9ì./gKéþoñDèw¡;!bî[ñîì=þ=ëbÿË$8ñéöìyñþNÿíBîBï*

y4ñê/ñþ ð7* À Ë<ÏÒÀX ∼ F

ê`ÁSÂY := σ X + µ ∼ Fµ,σ

ÜqÀ»Ä?OÅÃ½XÄÀÅÁS¿é½XÆu½XÜjÏÒÄÏ+Æµê`ÁSÂ

ËÃ½XÝÏÒÁ`é½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆσ¹ ½XÁ`Á ÎÀ»Ý»ÄWäUÏÒÎÏÒÁµÂ`ÏÒÆ6OÀ»ÁSÏ9½XÆÀ»ÄuÔXÄ3Â`ÏÒÆñÏ+ÂbÀ»Á`ÎÄÏÒÁJâQÆä¾½XÆÄê`Á`Î

eFµ,σ(u) = E(Y − u |Y > u) = E

(

σ

(

X − u − µ

σ

)

∣

∣

∣X >

u − µ

σ

)

= σ E

(

X − u − µ

σ

∣

∣

∣X >u − µ

σ

)

= σ eF

(

u − µ

σ

)

.

À»À ¿\ÏÒÎÏÒÁ

E((X − u) 1X>u) =

∫ ∞

u(X − u) d F (x) = lim

R→∞

∫ R

u(X − u) f(x) d x

= limR→∞

(

[

(x − u) F (x)

]R

u

−∫ R

uF (x) d x

)

= limR→∞

(

(R − u) F (R) −∫ R

uF (x) d x

)

= limR→∞

(∫ R

u1 d x −

∫ R

uF (x) d x

)

= limR→∞

∫ R

u(1 − F (x)) d x =

∫ ∞

u(1 − F (x)) d x

ÝÔ¿¿ÄW¿ÀÐuÑ ÂbÀÏÜqÀ»ÄÄÝÏÒÆÏlâVã<È9Ï+¿u¿ê`Á`Ã<ÄÀÅÁ ÎÆê`ÁSÂ`¿uÔXÄÈ+Ý»ÀÐuÑ)½XêSÐuÑ À»ÁµÂ`ÏÒÆÍÅÆÜ

eF (u) =E( (X − u) 1X>u)

P (X > u)=

∫∞u (1 − F (x)) d x

P (X > u)

¿ÐuÑ`ÆÏÒÀñÏÒÁ¹

Ìë

·)¸x<ÿw¸ ÀÏÒÆu½XêS¿WMÅÝ»ÎÄ'N;`ÆWÏÒÀ»ÁSÏâVãbéñÅÁSÏÒÁÄÀ½XÝ»îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»êSÁ`Î

F = G0

1

1 − F (u)

∫ ∞

u(1 − F (x)) d x =

1

e−u

∫ ∞

ue−x d x =

1

e−u

[

−e−x

]∞

u

= 1

⇒ eG0,µ,σ(u) = σ`Â¹ Ñ¹SÂbÀÏÓJâ Í À¿ÄÃOÅÁS¿Äu½XÁÄ9¹

Í\;`Æξ 6= 0

ÏÒÆÑÔXÝ»ÄÜn½XÁ

eGξ=

1

(1 + ξ u)− 1

ξ

∫ ∞

u(1 + ξ x)

− 1ξ d x.

½¿ÁÄÏÒÎÆu½XÝÃOÅÁîÏÒÆÎÀÏÒÆÄWÁêSÆW=;`Æ0 < ξ < 1

¹ ½XÁ`Á ÎÀ»Ý»Ä∫ ∞

u(1 + ξ x)

− 1ξ d x =

1

1 − ξ(1 + ξ u)

− 1ξ+1

⇒ eGξ,µ,σ(u) =

1+ξ u1−ξ , 0 < ξ < 1

∞, 1 ≤ ξ

.

úêS¿ÂbÀÏ+¿ÏÒÜÖÏ+¿ê`Ý»Äu½XÄÝÏÒÀöÄuÏ²Ä¿ÀÐuÑ ÏÒÀ»ÁSÏÓ)ÏÒÄÑSÅÂ`ÏûÈ+ê`Æ¾ÎÆu½0¿uÐuÑSÏÒÁ ¼¾Ï+¿ÄÀ»ÜqÜåê`Á`ÎnÂ`ÏÒÆË<ÐuÑä¾ÏÒÝöÝÏu½8¹ ½ûäÀ»ÆÏÒÀ»ÁSÏ4*¾¨ ½XÁeÂbÀÏ ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿ê`Á`Ã<ÄÀÅÁ

FÅbñÏÒÆÑ½XÝ_Â`ÏÒÆ¾Ë<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏ

u½XÁ`é½¿¿ÏÒÁ

äUÅÝ»ÝÏÒÁÜåêS¿¿e¿ÀÐuÑ'ÂbÀÏJÅbñÏÒÁ'ÎÏÒÁ½XÁ`ÁÄÏ)âQÀ»ÎÏÒÁS¿ÐuÑ½ÄÂ`ÏÒÆ_ÓJâ ÍçÏÒÀ»ÁSÏÒÆ*"¨ ½XêSÐuÑ'À»Á'Â`ÏÒÁ ½XÄÏÒÁ äÀÂ`ÏÒÆ¿é`ÀÏÒÎÏ²Ý»Á¹

• ¨QÝÅÄÄÏlÂbÀÏÏÒÜqé`À»ÆÀ¿ÐuÑSÏlÓJâEÍISÂ¹ Ñ¹SÂbÀÏ,¨Qê`Á`Ã<ÄÏ (xi:n, en(xi:n)) | i = 1, . . . , n ¹• ¼¾Ï+¿ÄÀ»ÜqÜjÏ

u¿ÅE`ÂS½¿¿W=;`Æ½XÝ»ÝÏ

xi:nÎÆïb-ÏÒÆ½XÝ¿

uÂ`ÏÒÆÓJâ<¨'½XÝ¿!*ûÏÒÆu½Â`ÏîÏÒÆÝÔXêÄ9¹

ÀÏLs½XÑ`Ý3Â`ÏÒÆ Ë<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏuÏÒÆÅÝ»ÎÄ_À»ÁàÂ`ÏÒÁàÜjÏÒÀ¿ÄÏÒÁ ÍQÔXÝ»ÝÏÒÁàÜqÀ»ÄeÎÆu½0¿uÐuÑSÏÒÁ ¸ À»Ý%M¿ÜqÀ»ÄÄÏÒÝ»Á¹

ÅÐuÑgÎÀ`ÄÏ+¿½XêSÐuÑgÆÏ+ÐuÑ`ÁSÏÒÆÀ¿ÐuÑSÏqÓ)ÏÒÄÑSÅÂ`ÏÒÁ¹èÑ½XéñÏÒÝ»ÝÏqÏÒÄ½XÝ¹]M¸ëëXÊBË<ÏÒÀ»ÄÏ@Î@`È+ä¹Vº9¸eÏÒÆÜqÀ»ÄÄÏÒÝ»ÁJÂbÀÏlË<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏ¿uÅEbÂS½¿u¿ÂbÀÏ"ñÏ+¿ÄÏúÁ`é½¿¿ê`Á`ÎjÂ`ÏÒÆ4*¾¨ ½XÁ ÂbÀÏ ½XÄÏÒÁ ÎÏÒÜnÔ8-nÏÒÀ»ÁSÏÒÆ*ÅÅÂbÁSÏ+¿¿CÅ8NCÍLÀ»ÄËÄu½XÄÀ¿ÄÀ»ÃîOÅÆÝ»À»ÏÒÎÄ9¹ ÀLèÝÏÒÜjÏÒÁÄÏ·8ÅÜn½XÁÅ:M¸ëëXÊB¾ä¾ÔXÑ`ÝÏÒÁ

uäÀÏ¾ÅÝ»ÎÄ

u := max

x |F (x) < 1 − Nxn

,äUÅbñÏÒÀ

NxÂbÀÏúÁ`È0½XÑ`Ý¾Â`ÏÒÆnË<ÐuÑÔÂ`ÏÒÁ ;EñÏÒÆ

xÀ¿Ä ê`ÁSÂ

nÂbÀÏÂ`ÏÒÆ ÎÏ+¿u½XÜåÄÏÒÁe¼¾Ï+Åb½ÐuÑÄê`Á`ÎÏÒÁ¿uÅ0äÀÏFÂbÀÏ ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î+ÂbÀÏWÂbÀÏË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÒÁîOÏÒÆÄÏÒÀ

Ý»ê`Á`ÎjÀ»Ü¶2ñÏÒÁÄÆê`Ü ÜjÅÂ`ÏÒÝ»Ý»ÀÏÒÆÏÒÁJ¿ÅÝ»Ý¹ ½Âbê`ÆÐuÑ À¿ÄWÂbÀÏÓ)ÅÁSÅÄÅÁ`ÀÏÂ`ÏÒÆWÈ+êS¿u½XÜqÜjÏÒÁ`ÎÏ+¿ÏÒÄÈ+ÄÏÒÁEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Îe¿ÀÐuÑSÏÒÆÎÏ+¿ÄÏÒÝ»Ý»Ä9¹¸ ½XÄ Ün½XÁ_ÂbÀÏ3Ë<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏ

uÎÏ+¿ÐuÑHÔXÄÈ+Ä1O¿ÅÀ¿ÄEÂbÀÏ+¿Â`ÏÒÆ/OÅÃ½XÄÀÅÁS¿é½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ¾Â`ÏÒÆW*"¨ ÂbÀÏÂbÀÏ® ñÏÒÆ¿ÐuÑ`ÆÏÒÀ»Äê`Á`Î¿uÂS½XÄÏÒÁ ÅbñÏÒÆÑH½XÝ% Â`ÏÒÆWË<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏ3ÜjÅÂ`ÏÒÝ»Ý»ÀÏÒÆÏÒÁ ¿ÅÝ»Ý¹<â ¿UÜ;S¿¿ÏÒÁ ½XÝ¿ÅåÁSÅÐuÑÂ`ÏÒÆ

*Ï+¿Äu½XÝ»Ä¿é½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆξê`ÁSÂ Â`ÏÒÆËÃ½XÝÏÒÁ`é½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ

σñÏ+¿ÄÀ»ÜqÜåÄWäUÏÒÆÂ`ÏÒÁ¹`Í\;`ÆWÂbÀÏlË<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`Î

Ìbº

·)¸x<ÿwÂ`Ï+¿D*ûÏ+¿Äu½XÝ»Ä¿é½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ¿¿ÄÏÒÑSÏÒÁgÜjÏÒÑ`ÆÏÒÆÏqúÁS¿uÔXÄÈ9Ï È+ê`Æ4EÏÒÆN;SÎê`Á`ÎS¹ ÏÒÆlËÃ½XÝÏÒÁ`é½XÆu½XÜjÏÒÄÏ+ÆÃ½XÁ`Á È¹ó¼3¹`ÜqÀ»Ä ¸ À»Ý%MÏÏÒÀ»ÁSÏ+¿Ó:OâFÎÏ+¿ÐuÑÔXÄÈ+ÄäUÏÒÆÂ`ÏÒÁ¹×J³=b»Ø ¤Ø?>A@SCB0 b£»®<±H±H¯ í ¬<®<¶O¢u·O¤SO¥úÁåÂbÀÏ ® ñÏÒÆ¿ÐuÑ`ÆÏÒÀ»Äê`ÁSÎ¿ÂS½XÄÏÒÁîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`ÁSÎ

Fu(x)Â`ÏÒÆ ½XÄÏÒÁ

x = (x1, . . . , xk)¿ÅÝ»ÝÏÒÀ»ÁSÏW*"¨

Gξ,u,σ(x)½XÁ`ÎÏÒé½¿¿ÄäUÏÒÆÂ`ÏÒÁ¹ ÀÏ ÀÐuÑÄÏ

g(x) = 1ξ (1 + ξ x−u

σ )− 1

ξ−1

,N;`Æ

x ∈ D(ξ, u, σ)ÂbÀÏ+¿uÏÒÆ!*"¨ =;`Ñ`ÆÄÈ+ê`Æ6OÅÎbyOÀ»ÃÏÒÝ»À»ÑSÅ<ÅÂKCÍSê`Á`Ã<ÄÀÅÁvH

Lθ(x) = ln

( k∏

i=1

1

σ

(

1 + ξxi − u

σ

)− 1ξ−1)

= ln

(

1

σk

k∏

i=1

(

1 + ξxi − u

σ

)− 1ξ−1)

= −k ln σ −(

1

ξ+ 1

) k∑

i=1

ln

(

1 + ξxi − u

σ

)

⇒

∂Lθ(x)

∂ξ= −

(

− 1

ξ2

k∑

i=1

ln

(

1 + ξxi − u

σ

)

+

(

1

ξ+ 1

) k∑

i=1

xi − u

σ (1 + ξ xi−uσ )

)

=1

ξ2

k∑

i=1

ln

(

1 + ξxi − u

σ

)

−(

1

ξ+ 1

) k∑

i=1

xi − u

σ + ξ (xi − u)

!= 0

∂Lθ(x)

∂σ= −k

σ+

(

1

ξ+ 1

) k∑

i=1

ξ (xi − u)

σ2 + σ ξ (xi − u)

= −k1

σ+

ξ + 1

ξ

ξ

σ

k∑

i=1

xi − u

σ + ξ (xi − u)

!= 0.

ÀÏ é½XÆÄÀÏÒÝ»ÝÏÒÁ\ú!`ÝÏÒÀ»Äê`Á`ÎÏÒÁ\Â`ÏÒÆ,OÅÎbyOÀ»ÃOÏÒÝ»À»ÑSÅÅÂKCÍSê`ÁSÃÄÀÅÁ?Ü;S¿u¿ÏÒÁ ¼ ê`Ý»ÝVÎÏ+¿ÏÒÄÈ+ÄäUÏÒÆÂ`ÏÒÁ½XÝ¿3ÁSÅÄäUÏÒÁSÂbÀ»ÎÏq¼¾Ï+ÂbÀ»Á`Îê`Á`ÎGN;`ÆûÂS½¿4EÅÆÝ»À»ÏÒÎÏÒÁÏÒÀ»ÁSÏ+¿Ó)½kãbÀ»Üåê`Üj¿9¹ ÀÏåÆÏ+¿ê`Ý»ÄÀÏ²ÆuÏ²ÁÂ`Ï@*ûÝÏÒÀÐuÑê`ÁSÎÏ²ÁùÃ½XÁ`Á\Ün½XÁsÁ`ÀÐuÑÄ ½XÁ½XÝAÄÀ¿uÐuÑsÝï¿ÏÒÁ¿uÅÁSÂ`ÏÒÆÁsÜåêS¿¿ ½XêWÏÒÀ»ÁsÁê`ÜjÏÒÆÀ¿ÐuÑSÏ+¿«CÄÏÒÆu½XÄÀ%ÅÁS¿îÏÒÆ½XÑ`ÆÏÒÁ È+ê`Æ);SÐuÃÎÆÏÒÀ%MÏÒÁ¹Ì ³S®ªM«²¬<® S¬<®Bk £¢u«->Ú¥S <Í¬<®O¢u ¢u J×J±ñØn bO¢u `SØn ¢+®±ñ¯S ü Ñ`Á`Ý»ÀÐuÑjÂSÏ²ÆËñÏÒÆÏÒÀ»Ä¿E½XÁ`ÎÏ+¿é`ÆuÅOÐuÑÏ²ÁÏ²Á_ÓJÅÜjÏÒÁÄÏÒÁ`ÜjÏÒÄÑSÅ<Â`ÏWäUÏÒÆÂ`ÏÒÁ@ñÏÒÀSÂ`ÏÒÆQä¾½XÑ`Æ¿uÐuÑSÏÒÀ»Á`Ý»ÀÐuÑÃOÏÒÀ»Ä¿ÎÏÒäÀÐuÑÄÏÒÄÏÒÁ_Ó)ÅÜjÏÒÁÄÏÒÁ`ÜjÏÒÄÑSÅ<Â`Ï?ÜjÏÒÄÑSÅÂeÅ8é`ÆÅb½8`À»Ý»À»ÄsABäUÏÒÀ»ÎÑ<ÄÏ+ÂnÜjÅÜjÏÒÁ<Ä¿VÄÑSÏ+Å8ÆÏÒÄÀ¿uÐuÑSÏÓ)ÅÜjÏÒÁÄÏlÂbê`ÆÐuÑµÏÒÁÄ¿é`ÆÏ+ÐuÑSÏÒÁSÂ`ÏåÓJÅÜjÏÒÁÄÏlÂ`ÏÒÆ3ËÄÀÐuÑ`é`ÆÅbñÏlÎÏ+¿ÐuÑÔXÄÈ+Ä9¹úÝ»ÝÏÒÆÂbÀ»Á`Î¿ÃOÅÜqÜåÄÑ`ÀÏÒÆå½XÝ¿ÈÒê¿uÔXÄÈ+Ý»ÀÐuÑSÏ@3ÅÜqéñÅÁSÏÒÁÄÏnÏÒÀ»ÁSÏ«s½XÑ`Æ¿ÐuÑSÏÒÀ»Á`Ý»ÀÐuÑ`ÃOÏÒÀ»ÄlÑ`À»Á`È+ê¹ ½©=;`Æ

ξ ≥ 1ÃOÏÒÀ»ÁSÏeâQÆä¾½XÆÄê`Á`Î¿äUÏÒÆÄÏeê`ÁSÂsÏÒÁSÂbÝ»ÀÐuÑSÏ©½XÆÀ½XÁ`È9ÏÒÁ Ï²ã<À¿ÄÀÏÒÆÏÒÁÀ¿ÄåÂbÀÏ+¿ÏeÓJÏÒÄÑSÅÂ`ÏeÁê`ÆDñÏÎÆÏÒÁ`È+ÄnîÏÒÆäUÏÒÁSÂ½XÆ9¹ ÀÏ¿MÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`ÏÒÁ úêS¿¿u½XÎÏÒÁ¯0SÁSÂSÏ²ÄnÜn½XÁ À»Á âQÜ`ÆÏ+ÐuÑÄ¿·83ûÝ;Sé`éñÏÒÝ´ñÏÒÆÎK·ÓJÀ»ÃOÅ¿ÐuÑ$Úº9áá±ÎHË<ÏÒÀ»ÄÏåÌÖßb¹

Ì¸

·)¸x<ÿw Ï0SÁ`ÀÏÒÆÏ"N;`Æ

X ∼ Gξ,0,σ =: G

wj(ξ, σ) := E(X (G(X))j) =

∫

x (G(x))j d G(x)ê`ÁÂ

wj(ξ, σ) :=

∫

x (G(x))j d Gn(x)

½XÝ¿3ÂbÀÏåÄÑSÏ+ÅÆÏÒÄÀ¿ÐuÑSÏÒÁ[`È+ä¹ñÏ²ÜqéSÀöÆÀ»¿uÐuÑSÏÒÁ)ä¾½XÑ`Æ¿uÐuÑSÏÒÀ»Á`Ý»ÀÐuÑ`ÃÏÒÀ»Ä¿)ÎÏÒäÀÐuÑ<ÄÏÒÄÏ+ÁÓJÅÜjÏÒÁ<ÄÏlîOÅÁX`äUÅbñÏÒÀ

Gn(x)ÂbÀÏÏÒÜqé`À»ÆÀ¿ÐuÑSÏ,EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿ê`ÁSÃÄÀÅÁµîÅÁ

XÀ¿Ä9¹`â ¿WÎÀ»Ý»Ä

wj(ξ, σ) =

∫

x (G(x))j d G(x) =

∫ 1

0G−1(y) (1 − y)j d y

=

∫ 1

0

σ

ξ((1 − y)−ξ − 1) (1 − y)j d y

=σ

ξ

∫ 0

1(z−ξ − 1) zj (−1) d z =

σ

ξ

∫ 1

0z−ξ+j − zj d z

=σ

ξ

[

1

1 − ξ + jz1−ξ+j − 1

1 + jz1+j

]1

0

=σ

ξ

(

1

1 − ξ + j− 1

1 + j

)

=σ

(1 − ξ + j) (1 + j)=;`ÆWÂbÀÏÄÑSÏ+ÅÆÏÒÄÀ¿ÐuÑSÏ?*3Æïb-Ïê`ÁSÂ

wj(ξ, σ) =

∫

x (G(x))j d

(

1

n

n∑

i=1

1Xi≤x(ω)

)

=1

n

n∑

i=1

∫

x (G(x))j d 1Xi≤x(ω)

=1

n

n∑

i=1

Xi:n (G(Xi:n))j

Í\;`Æj = 0, 1

ÎÀ»Ý»Ä1Hw0(ξ, σ) =

σ

1 − ξ

ê`ÁSÂw1(ξ, σ) =

σ

2 (2 − ξ)

⇒ w0(ξ, σ) − 2 w1(ξ, σ) =σ

(1 − ξ) (2 − ξ)ê`ÁSÂ Ñ`ÀÏÒÆu½XêS¿ÅÝ»ÎÄ

σ =σ2

(1 − ξ) (2 − ξ)

/ σ

(1 − ξ) (2 − ξ)=

2 w0(ξ, σ) w1(ξ, σ)

w0(ξ, σ) − 2 w1(ξ, σ)

ê`ÁSÂξ = 2 − w0(ξ, σ)

w0(ξ, σ) − 2 w1(ξ, σ).

Ü ÏÒÀ»ÁSÏÒÁ Ë<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ,=;`Æξ, σ

È+ê\ÏÒÆÑ½XÝ»ÄÏÒÁs¿À»ÁSÂ?ÂbÀÏ¿*3ÝÏÒÀÐuÑê`Á`ÎÏÒÁwj(ξ, σ) = wj(ξ, σ)

=;`Æj = 0, 1

È+êqÝï¿ÏÒÁÂ¹ Ñ¹ξ, σ

¿À»ÁSÂq¿Å3È+êñÏ+¿ÄÀ»ÜqÜjÏÒÁOÂS½¿¿Q¿ÀÏÂbÀÏ'Oï¿êSÁ`ÎÂbÀÏ+¿Ï+¿/*3ÝÏÒÀÐuÑê`Á`Î¿)¿½A<¿ÄÏÒÜj¿W¿À»ÁSÂ¹

ÌÌ

·)¸x<ÿwQ bª L ¬sBk³S<¯S« í ¬<®¶¢u·X bª ÏÒÆ¨QÀÐuÃ½XÁSÂ`¿eË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ«=;`Æ

ξ ∈ RÏÒÆÎÀ`Äj¿ÀÐuÑF½XêS¿?ÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`ÏÒÁ ® ñÏÒÆÝÏÒÎê`Á`ÎÏÒÁÌîÎÝ¹QâQÜ«

`ÆÏ+ÐuÑÄu¿·83ûÝ;`é`éñÏÒÝñÏÒÆÎB·XÓJÀ»ÃÅ¿uÐuÑÚº9áá±ÎñË<ÏÒÀ»ÄÏlÌ¸±ÎÍV¹9H• Ë<ÏÒÀbÂbÀÏEîOÏÒÆu½XÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁSÏÒÆÄÏâVã<ÄÆuÏ²Ü äUÏÒÆÄîÏÒÆÄÏÒÀ»Ýê`Á`ÎJâ XÏ²ãbÄÆÏÒÜjÏî½XÝ»êSÏUÂbÀ¿ÄÆÀ`ê`ÄÀÅÁÎÏÒÎÏ7ñÏÒÁJÂbê`ÆÐuÑ

Hξ =

exp(

−(1 + ξ x)− 1

ξ

) M½XÝ»Ý¿ξ 6= 0

e−e−x M½XÝ»Ý¿ξ = 0

.

ÏÒÆ Ï0SÁ`À»ÄÀÅÁS¿½ñÏÒÆÏÒÀÐuÑFÀ¿Ä=;`Æξ > 0

Âbê`ÆÐuÑx > −1

ξ

¦N;`Æξ < 0

Âbê`ÆÐuÑx < −1

ξê`ÁSÂª=;`Æξ = 0

Âbê`ÆÐuÑx ∈ R

ÎÏÒÎÏ7ñÏÒÁ¹ ÀÏnâVãbÄÆÏÒÜåäUÏÒÆÄîÏÒÆÄuÏ²ÀÝ»ê`Á`ÎOÏÒÁùÏÒÆÎÏ7ñÏÒÁù¿ÀÐuÑ½XÝ¿ ÏÒÀ»Á`È+À»ÎÏ)Á`ÀÐuÑÄ)CÏ²Á<Äu½XÆÄÏÒÄÏ³*3ÆÏÒÁ`È+îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎÏÒÁ.é½¿¿ÏÒÁSÂàÁSÅÆÜqÀÏÒÆÄÏÒÆ Óg½kãbÀ»Ün½\îOÅÁê`Á½8`ÑÔXÁ`ÎÀ»ÎÏÒÁJê`ÁSÂ ÀÂ`ÏÒÁÄÀ¿ÐuÑµîÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ÄÏÒÁ_2HêM½XÝ»Ý¿î½XÆÀ½8`ÝÏÒÁ¹ ÀÏ¼UÏÒÈ+ÀÏÒÑê`Á`Î

Gξ(x) = − ln Hξ(x)

È9ÏÒÀ»ÎÄÂ`ÏÒÁ?ÏÒÁ`ÎÏÒÁ³2HêS¿u½XÜqÜjÏÒÁ`Ñ½XÁSÎ È+äÀ¿ÐuÑSÏÒÁ\Â`ÏÒÆD*¾¨ ê`ÁSÂÂ`ÏÒÆâ ¹úÁ½XÝÅÎ È+ê`Ü¨NJ4&ICúÁ`È+ÀÏÒÑê`Á`Î¿½ñÏÒÆÏÒÀÐÇÑ ÎÀ`Ä Ï+¿ ½XêSÐuÑùÑ`ÀÏÒÆ Ï²À»ÁSÏÒÁ ¿ÅÎÏÒÁ½XÁ`ÁÄÏÒÁ Ó)½kãbÀ»Üåê`Ü«CúÁ`È+ÀÏÑê`Á`Î¿)ñÏÒÆÏÒÀÐuÑ

MDAÜn½kã<À»Üåê`ÜÉÂ`ÅÜn½XÀ»Á Å8½XÄÄÆu½ÐÒÄÀÅÁ²¹ ÀÏnÜjÏÒÀ»¿ÄÏÒÁùÂ`ÏÒÆåÃ<Ý½¿¿À%

¿ÐuÑSÏÒÁEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Îbê`Á`ÃÄÀÅÁSÏÒÁ_¿À»ÁSÂ À»ÜçÓg½kã<À»Üåê`Ü«CúÁ`È+ÀÏÒÑê`Á`Î¿)ñÏÒÆÏÒÀÐuÑeÏÒÀ»ÁSÏÒÆEâ ¹±CÜÍÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`ÏÒÁ ¿ÏÒÀÂbÀÏ+¿uÏ3¼¾Ï+ÂbÀ»Á`Îê`Á`Î«=;`Æ¾ÂbÀÏ4EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿ê`Á`Ã<ÄÀÅÁ

FÂ`ÏÒÆË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÒÁ

ÏÒÆ=;`Ý»Ý»Ä1 Â¹ Ñ¹F ∈ MDA(Hξ)

¹Ë<ÏÒÀU(t) := F←(1 − 1

t )ÂS½¿

(1 − 1t )¹.ê½XÁÄÀ»ÝÂ`ÏÒÆ

EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎF¹

• â ¿WÎÀ»Ý»Älim

u↑xR(F )|Fu(x) − Gξ,σ(x) | = 0 ⇔ F ∈ MDA(Hξ) ⇔

lims→∞

U(s x) − U(s)

U(s y) − U(s)=

xξ−1yξ−1

M½XÝ»Ý¿ξ 6= 0

ln xln y

M½XÝ»Ý¿ξ = 0

.

Úº9¸±

• úêS¿,º9¸±¾ÏÒÆÑÔXÝ»ÄWÜn½XÁ ÜqÀ»Äx = 2

`È+ä¹x = 1/2

Âbê`ÆÐuÑ À»îÀ¿À»ÅÁ

lims→∞

U(2 s) − U(s)

U(s/2) − U(s)=

2ξ − 1

(1/2)ξ − 1= −2ξ ⇔ lim

s→∞U(2 s) − U(s)

U(s) − U(s/2)= 2ξ.

Í\;`ÆÏÒÀ»ÁSÏ éñÅ¿À»ÄÀ»îOÏ ÍSê`Á`Ã<ÄÀÅÁÜqÀ»Älims→∞ c(s) = 2

`ÝÏÒÀ`ÄÂ`ÏÒÆ*3ÆÏÒÁ`È+äUÏÒÆÄlÏÒÆÑ½XÝ»ÄÏÒÁäUÏÒÁ`Á Ün½XÁµÂbÀÏl¸j½XêVÂ`ÏÒÆWÝ»À»Á`ÃOÏÒÁ)Ë<ÏÒÀ»ÄÏÂbê`ÆÐuÑ

c(s)ÏÒÆ¿uÏÒÄÈ+Ä9¹

ÌXÊ

·)¸x<ÿw

• Í\;`Æ¨V½XÆÏÒÄÅ8îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ÄÏ2HêM½XÝ»Ý¿î½XÆÀ½8`ÝÏÒÁV1, . . . , Vn

`È+ä¹LÂ`ÏÒÆÏÒÁsÏÒÁÄ¿é`ÆÏ+ÐuÑSÏÒÁSÂSÏ¥JÆÂKÁê`Á`Î¿¿Äu½XÄÀ¿ÄÀ»ÃÏÒÁ ÎÀ»Ý»Ä

(Xk:n)k=1,...,nd= (U(Vk:n))k=1,...,n

äUÅbñÏÒÀXk:n

JÆÂbÁê`Á`Î¿)¿Äu½XÄÀ¿ÄÀ»ÃÏÒÁó¨Q½XÆÏÒÄÅ8îÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ÄuÏÒÆª2Hê½XÝ»Ý¿î½XÆÀ½8`ÝÏÒÁ

X1, . . . , Xn¿À»ÁSÂç¹ ÀÏ+¿ Ã½XÁ`Á.ÜqÀ»Ä

¸ À»Ý%ÏÂ`ÏÒÆ4.ê½XÁÄÀ»Ý»ÄÆu½XÁS¿MÅÆÜn½XÄÀÅÁJÎÏ²È9ÏÒÀ»ÎÄäUÏÒÆÂ`ÏÒÁH

U(Vk)d= F←(FV (Vk))

d= F←(Uk)

d= Xk,

äUÅbñÏÒÀFV (t) = 1− 1

t

ÂbÀÏ4 ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿)ê`Á`Ã<ÄÀÅÁ Â`ÏÒÆ'¨V½XÆÏÒÄÅ8f ÏÒÆÄÏÒÀ»Ýê`Á`ÎjÀ¿ÄUê`ÁSÂUk ∼

U[0,1]ÎÝÏÒÀÐuÑîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ÄÏ?2Hê½XÝ»Ý¿î½XÆÀ½8`ÝÏÒÁ)½Xê

[0, 1]¿À»ÁSÂ¹

• ½Ï+¿¿ÀÐuÑªñÏÒÀ Â`ÏÒÁ Vk:nê`Ü ÂbÀÏqÏÒÜqé`À»ÆÀ¿ÐuÑSÏÒÁ

(1 − kn)¹.ê½XÁÄÀ»ÝÏqÑ½XÁSÂ`ÏÒÝ»Ä1ÝÔ8-Äl¿ÀÐuÑ

È9ÏÒÀ»ÎÏÒÁÂS½¿¿k

nVk:n

P−→ 1, Vk:nP−→ ∞,

V2k:n

Vk:n

P−→ 1

2

=;`Æn → ∞.

OÏÒÄÈ+ÄÏÒÆÏ+¿ÏÒÆÎÀ`Ä¿ÀÐuÑ Âbê`ÆÐuÑ2V2k:n

Vk:n= 2k

n V2k:n

/

kn Vk:n → 1, n → ∞ ¹

• ÁS¿ÎÏ+¿u½XÜåÄWÏÒÆÑ½XÝ»ÄÏÒÁµäÀ»Æ½XÝ¿Å

Xk:n − X2k:n

X2k:n − X4k:n

d=

U(Vk:n) − U(V2k:n)

U(V2k:n) − U(V4k:n)=

U( Vk:nV2k:n

V2k:n) − U(V2k:n)

U(V2k:n) − U(V2k:nV4k:n

V2k:n)

P−→ 2ξ

ê`ÁSÂ ÂS½XÜqÀ»ÄÂ`ÏÒÁL¨QÀÐuÃ½XÁSÂ`¿3Ë<ÐuÑHÔXÄÈ9Ï²Æ

ξ(P )k,n =

1

ln 2ln

Xk:n − X2k:n

X2k:n − X4k:n.

àÀÏûÜn½XÁñÏÒÆÏÒÀ»Ä¿½XÁ Â`ÏÒÆ ¼ ÅÄu½XÄÀÅÁµÏ²ÆÃÏÒÁ`ÁSÏÒÁ Ã½XÁ`ÁbÑÔXÁ`ÎÄÂbÀÏ+¿ÏÒÆË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆWîOÅÁk½8`Â¹ Ñ¹

îOÅÁFÂ`ÏÒÆjúÁ`È0½XÑ`ÝWÂ`ÏÒÆqÈ+ê ñÏÒÆ);SÐuÃb¿ÀÐuÑÄÀ»ÎÏÒÁSÂ`ÏÒÁ ½XÄÏÒÁ ÅbñÏÒÆÑ½XÝ Â`ÏÒÆeËbÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏu¹ÜÉÁê`Á

ÏÒÀ»Á)ÎÏ+ÏÒÀ»ÎÁSÏÒÄÏ+¿kÈ+êJä¾ÔXÑ`ÝÏÒÁñÎÆÏÒÀ%Ä3Ün½XÁgÔXÑ`Á`Ý»ÀÐuÑgäÀÏDñÏÒÀ»Ü-ÓJâ<¨ ½XêEEÏÒÀ»ÁSÏlÎÆu½0¿uÐuÑSÏ âQÁÄ

¿uÐuÑSÏÒÀÂbê`Á`Î¿Ñ`À»Ý%ÏWÈ+ê`Æ);SÐuÃñ¹Óg½XÁqé`ÝÅÄÄÏÒÄEÂbÀÏ'¨QêSÁ`ÃÄÏ (k, ξ(P )k,n ) | k = 1, . . . , n ê`ÁSÂñÏ+¿ÄÀ»ÜqÜåÄ

k¿ÅEÂS½¿u¿ÆÏ+ÐuÑÄ¿åÂS½9îÅÁsÏÒÀ»ÁSÏs½½XÎÏÒÆÏ+ÐuÑÄÏnÈ+ê\ÏÒÆÃOÏÒÁ`ÁSÏÒÁ\À¿Ä9¹ ÏÒÆ¨QÀÐuÃ½XÁSÂ`¿ Ë<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆåÀ¿Ä

¿uÐuÑä¾½ÐuÑ ÃÅÁS¿À¿À»ÄÏÒÁÄ1SÂ¹ Ñ¹SÏ+¿ÎÀ»Ý»Ä

ξ(P )k,n

P−→ ξN;`Æ

n → ∞.

Q bªzÎö í ¬<®¶O¢Ç·k bª ÀÏ+¿ÏÒÆUË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆÏÒÀ»ÎÁSÏÒÄ¿ÀÐuÑ«=;`Æ

ξ > 0¹ÜçÍÀ»Á½XÁ`È^ñÏÒÆÏÒÀÐuÑeäÀ»ÆÂqÑÔXê0SÎåÏÒÀ»ÁSÏ' ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎlÜqÀ»Ä

¿uÐuÑäUÏÒÆÏÒÆnÍÝ½XÁSÃÏ ê`ÁÄÏÒÆ¿ÄÏÒÝ»Ý»Ä9¹ Ï+¿äUÏÒÎÏÒÁ À»¿ÄjÏÒÀ»Á éñÅ¿À»ÄÀ»îOÏÒÆ¿*ûÏ+¿Äu½XÝ»Ä¿é½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ1EÂ`ÏÒÆnÏÒÀ»ÁSÏÒÆ

ÌÖ

·)¸x<ÿw¨Q½XÆÏÒÄÅ8f ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»êSÁ`Î ÏÒÁÄ¿é`ÆÀÐuÑÄ1Âbê`ÆÐuÑ½XêS¿/;E`Ý»ÀÐuÑeê`ÁSÂeÂ`ÏÒÆ ¸ À»Ý»ÝË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆäUÏÒÀ»ÄîOÏÒÆ)`ÆÏÒÀ»ÄÏÒÄ9¹âQÆÀ¿ÄWÂbê`ÆÐuÑ

ξ(H)k,n :=

1

k

k∑

j=1

ln

(

Xj:n

Xk:n

)

=1

k

k∑

j=1

ln(

Xj:n

)

− ln(

Xj:n

) ÎÏÒÎÏ7ñÏÒÁ¹

ÏÒÆ ¸ À»Ý»ÝWË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆqÃ½XÁ`ÁùÀ»ÁS¿uÅ0äUÏÒÀ»Äq½XÝ¿ Á½XÄ);`ÆÝöÀÐuÑSÏÒÆ_Ë<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆj½XÁ`ÎÏ+¿ÏÒÑSÏÒÁ äUÏÒÆÂ`ÏÒÁQ½XÝ¿ ÂS½¿¿ÏÒÆ ¿ÀÐuÑ ½XêS¿åîOÏÒÆ¿ÐuÑ`ÀÏ+Â`ÏÒÁSÏÒÁ úÁS¿ÇÔXÄÈ9ÏÒÁsÑÏ²ÆÝ»ÏÒÀ»ÄÏÒÁ ÝÔ8-Ä0¹ ¼ À»ÜqÜåÄ Ün½XÁùÈ+ê`ÜÉ¼¾ÏÒÀ¿é`ÀÏÒÝ¾ÂS½¿ ¿Å8ÎÏÒÁ½XÁ`ÁÄuÏñÏ+¿ÐuÑ`ÆuÔXÁ`Ã<ÄÏ?¨V½XÆÏÒÄÅ8CÓ)ÅÂ`ÏÒÝ»Ý Â`ÏÒÆ

αy¨Q½XÆu½XÜjÏÒÄÆÀ¿ÀÏÒÆê`ÁSÎÜqÀ»Ä¾OÅÃ½XÄÀÅÁS¿é½XÆu½XÜjÏÒÄÏ+Æ

ë ê`ÁSÂJËÃ½XÝÏÒÁ`é½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆuSÂ¹ Ñ¹½XÝ¿'EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿ê`Á`ÃÄÀÅÁJÂ`ÏÒÆ ® ñÏÒÆ¿ÐuÑ`ÆÏÒÀ»Äê`Á`Î¿ÂS½XÄÏÒÁJäÀ»ÆÂ

ÂbÀÏD ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎF := Gα,0,u

ÜqÀ»ÄÝ»À»Á`ÃOÏ²Ü âQÁSÂbé`ê`Á`Ã<Äuê`ÁSÂF*ûÏ+¿Äu½XÝ»Ä¿é½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ

α = 1ξ > 0ÎÏÒä¾ÔXÑ`Ý»Ä1b¿ÅÈ9ÏÒÀ»ÎÏÒÁ©MÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`Ï ® ñÏÒÆÝÏÒÎê`Á`ÎÏÒÁbÂS½¿¿Â`ÏÒÆ¾Ó:Oâ ÂbÀÏ+¿Ï+¿I&LÏÒÀ»Ý»ÜjÅÂ`ÏÒÝ»Ý¿¾ÎÏÒÆu½Â`ÏÂ`ÏÒÆ

¸ À»Ý»ÝLË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆÀ¿Ä9¹• àÀ»ÆÁSÏÒÑ`ÜjÏÒÁ½XÁÂS½¿u¿¿ÀÐuÑJÂbÀÏ k

¼¾Ï+Åb½ÐuÑÄê`Á`ÎÏÒÁÂ`ÏÒÆnÆ¿é`Æê`Á`Î¿uÂS½XÄÏÒÁ)ÅbñÏÒÆÑ½XÝ

Â`ÏÒÆ3Ë<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏuäÀÏÏÒÀ»ÁSÏ,¨V½XÆÏÒÄÅ8fEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»êSÁ`ÎeîÏÒÆÑ½XÝ»ÄÏÒÁ¹

• ¼¾Ï+¿À»ÄÈ9ÏÒÁù½XÝ¿ÅXi ∼ X, i = 1, . . . , k

ÏÒÀöÁÏ@¨V½XÆÏÒÄÅ8fEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`ÁSÎGα,0,u(x) = F (x) =

1 − (xu)−α `ÂS½XÁ`Á ÎÀ»Ý»ÄWÜqÀ»Ä C := uα ê`ÁSÂ Y := ln X

P (X < x) = F (x) =(x

u

)−α= C x−α ⇒ P (Y > y) = P (X > ey) =

(

ey

u

)−α

.

½¿ ÑSÏÒÀ-Ä1OÂS½¿¿EÏ+¿E¿ÀÐuÑ@ñÏÒÀYê`ÜÏÒÀ»ÁSÏÏ²ã<éñÅÁSÏÒÁ<ÄÀ½XÝöîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ÄuÏ¾2HêM½XÝ»Ý¿î½XÆÀ½8`ÝÏWÑ½XÁÂ`ÏÒÝöÄ

ÜqÀ»Ä¾EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿ê`Á`ÃÄÀÅÁF ∗(v) = e−α v = e−α (y−ln u) ¹ ÏÒÆÓFOâ.Â`Ï+¿"¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ¿

αÂ`ÏÒÆEâVã<éñÅÁSÏÒÁ<ÄÀ½XÝöîOÏÒÆÄÏÒÀÝ»ê`Á`Îåê`ÁSÂq¿ÅÜqÀ»ÄEÂ`Ï+¿/*ûÏ+¿Äu½XÝ»Ä¿é½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ¿ À¿ÄVÎÏÒÎÏ7ñÏÒÁeÂbê`ÆÐuÑ

α =

(

1

k

k∑

i=1

ln

(

Xi

u

)

)−1

⇔ ξ =1

k

k∑

i=1

ln

(

Xi

u

)

â À»ÁJ½XÁSÂ`ÏÒÆÏúÁS¿u½XÄÈÃ½XÁ`Ác;EñÏÒÆ¿ÅÎÏÒÁ½XÁ`ÁÄÏÆÏÒÎê`ÝÔXÆWî½XÆÀ»ÀÏÒÆÏÒÁSÂ`ÏlÍSê`Á`ÃÄÀÅÁSÏÒÁJÏÒÆÅÝ»ÎÏÒÁH• ÁÄÏÒÆqÏÒÀ»ÁSÏÒÆGé½ñfïbíKÿ%úé¥$ëbéþNþoñénñî'ñîlíKî! ì=þ"bî ý«þ=ìÏî+ñ¡ α ∈ R

îOÏ²Æu¿ÄÏÒÑÄ Ün½XÁ ÏÒÀ»ÁSÏéñÅ¿À»ÄÀ»îOÏ+OÏ7ñÏ+¿ÎêSÏÜjÏ7-H½XÆÏåÍSê`Á`ÃÄÀÅÁ

h½Xê

(0,∞)ÜqÀ»Ä

limx→∞

h(t x)

h(x)= tα, t > 0.

• âQÀ»ÁSÏJäUÏÒÀ»ÄÏÒÆÏ)úÁ½XÝÅÎÀÏJÈ+äÀ¿ÐuÑSÏÒÁàÂ`ÏÒÆ*"¨ ê`ÁSÂ'Â`ÏÒÆ_âË È9ÏÒÀ»ÎÄ_¿ÀÐuÑàÂbê`ÆÐuÑàÏÒÀ»ÁSÏαy¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÆÀ¿ÀÏÒÆê`ÁSÎÂ`ÏÒÆ â î<ÎÝ¹¦ÏÒÀ¿¿·8&¾ÑSÅÜn½¿M¸ëëbºQË<ÏÒÀ»ÄÏgº9ÖÍQ¹ê`ÁSÂùâQÜ«`ÆÏ+ÐuÑÄ¿·83ûÝ;`é`éñÏ+ÝñÏÒÆ·ÓµÀ»ÃOÅ¿ÐuÑÚº9áá±ÎñË<ÏÒÀ»ÄÏjº9¸bº²¹SÓJÀ»ÄÄÏÒÝ¿WÂbÀÏ+¿uÏÒÆ¨Q½XÆu½XÜjÏÒÄÆÀ¿ÀÏÒÆê`ÁSÎ

Ìò

·)¸x<ÿwÝÔ¿¿Ä¿ÀÐuÑFMÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`Ï ü ê`À»î½XÝÏÒÁ`ÈqÈ9ÏÒÀ»ÎÏÒÁS¿ÀÏÒÑSÏ Ñ`ÀÏÒÆÈ+ê?âQÜ`ÆÏ+ÐuÑÄu¿·83ûÝ;`é`éÏÒÝñÏÒÆÎB·XÓJÀ%ÃOÅ¿ÐuÑ$Úº9áá±ÎñË<ÏÒÀ»ÄÏjº9ÌbºH

F ∈ MDA(Hα), α > 0 ⇔ limt→∞

F (t x)

F (t)= x−α, α, x > 0,

Â¹ Ñ¹FÀ¿ÄÀ»Ü Óg½kã<À»Üåê`Ü«CúÁ`È+ÀÏÒÑê`Á`Î¿)ñÏÒÆuÏÒÀÐuÑÏÒÀ»ÁSÏÒÆ3¿uÅÎÏÒÁ½XÁ`ÁÄÏÒÁgÍSÆ-Ð+ÐuÑSÏÒÄîÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î

α > 0

ÎÏÒÁ½XêøÂS½XÁ`ÁäUÏÒÁ`ÁøÂbÀÏ)ÍÝ½XÁ`ÃÏÒÁê`Á`Ã<ÄÀÅÁF (x)

ÆÏÒÎê`ÝÔXÆî½XÆÀ»ÀÏÒÆÏÒÁSÂàÜqÀ»ÄÁSÂ`Ï²ã −α

À¿Ä9¹• ¸ ÀÏÒÆu½XêS¿WÏÒÆÑ½XÝ»ÄÏÒÁµäÀ»ÆÂbÀÏ ½XÆ¿ÄÏÒÝ»Ý»ê`Á`Î

1

F (t)

∫ ∞

tln(x

t

)

d F (x) → 1

α, t → ∞.

• âQÆ¿ÏÒÄÈ+Ä_Ün½XÁàÂbÀÏ)Ë<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏuÂbê`ÆuÐuÑàÂbÀÏ

k + 1ÄÏlJÆÂbÁê`ÁSÎ¿¿Äu½XÄÀ¿ÄÀ»Ãl¿Å?Ý»ÀÏÒÎÏÒÁ

k¼¾Ï+Åb½ÐuÑÄê`Á`ÎÏÒÁøÅbñÏÒÆÑ½XÝàÂbÀÏ+¿ÏÒÆ Ë<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏJê`ÁSÂFÜn½XÁàÏÒÆÑÔXÝ»Ä½XÝ¿Ë<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ©N;`ÆeÂ`ÏÒÁ*ûÏ+¿ÄÇ½XÝöÄu¿é½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ

ξ =1

α=

1

k

∫ ∞

Xk+1:n

ln

(

x

Xk+1:n

)

d Fn(x) =1

k

k∑

i=1

ln

(

Xi:n

Xk+1:n

)

.

• Óg½XÁ:ñÏ9½ÐuÑÄÏÂ½¿¿û½XêSÐuÑ)Ñ`ÀÏÒÆûäÀÏ+Â`ÏÒÆÏ²À»ÁSÏjË<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`ÎÀ»Ü ¨Q½XÆÏÒÄÅ8CÓJÅÂ`ÏÒÝ»ÝfÂ¹ Ñ¹ξ =

1α > 0

îOÅÆÝ»ÀÏÒÎÄ9¹àÀÏFñÏÒÀÂ`ÏÒÆGs½XÑ`ÝÂ`ÏÒÆµË<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏ

uê`ÁSÂ Â`ÏÒÆJË<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`ÎFÂ`Ï+¿L*ûÏ+¿Äu½XÝ»Ä¿é½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ¿ Á½ÐuÑ

¨ ÀÐuÃ½XÁSÂ`¿1EÁ`À»ÜqÜåÄeÜn½XÁàÏÒÀ»ÁSÏÒÁ¨QÝÅÄeÈ+ê`Æ ¸ À»Ý%Ï³Â`ÏÒÆ ¸ À»Ý»Ý!¨QÝÅÄ©ñÏ+¿ÄÏÒÑÄ_½Xê¿nÂSÏ²Á¨Qê`Á`Ã<ÄÏÒÁ(k, ξ

(H)k,n ) | k = 1, . . . , n ê`ÁSÂ ¿ÅÝ»Ý»ÄÏl½8 ÏÒÀ»ÁSÏÒÜ ÎÏÒäÀ¿¿ÏÒÁ

kä¾½½XÎÏÒÆÏ+ÐuÑÄîÏÒÆÝ½XêMÏÒÁ²¹

Q bª Q ¬sBk bª«->+SØn³S® >¯S lÎ³³ í ¬<®¶¢u·X bª ÏÒÆ ¸ À»Ý»ÝË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ À¿ÄQÏÒÀ»ÎÏÒÁÄÝ»ÀÐuÑjÁê`Æ\=;`ÆQÂbÀÏWË<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`ÎîOÅÁ éñÅ¿À»ÄÀ»îOÏÒÁJ*ûÏ+¿Äu½XÝ»Ä¿é½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆÁ½XêS¿ÎÏÒÝÏÒÎÄ9¹SúÝ¿WâQÆäUÏÒÀ»ÄÏÒÆê`Á`ÎJN;`Æ

ξ ∈ RÃ½XÁ`Á Ün½XÁµÂ`ÏÒÁÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`ÏÒÁgË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ3½XÁS¿ÏÒÑSÏÒÁH

ξ(DEH)k,n := 1 + H

(1)k,n +

1

2

(H(1)k,n)2

H(2)k,n

− 1

−1

,

ÜqÀöÄH

(1)k,n :=

1

k

k∑

i=1

ln

(

Xi:n

Xk+1:n

) ê`ÁSÂH

(2)k,n :=

1

k

k∑

i=1

(

ln

(

Xi:n

Xk+1:n

))2

.

Óg½XÁÊ0SÁSÂ`ÏÒÄ ÂbÀÏÒ¿uÏÒÁ Ë<ÐuÑÔXÄÈ+ÏÒÆq½XêSÐuÑsê`ÁÄÏÒÆ Â`ÏÒÆ ¼¾ÏÒÈ9ÏÒÀÐuÑê`Á`ÎgÓJÅÜjÏÒÁÄÏÒÁS¿uÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ1LäUÏÒÀ»ÝÜn½XÁH

(1)k,n

ê`ÁSÂH

(2)k,n

½XÝ¿ÏÒÜqé`À»ÆÀ¿ÐuÑSÏlÓJÅÜjÏÒÁÄÏå½XêÍ½¿¿uÏÒÁ Ã½XÁ`Á¹

Ì±Î

·)¸x<ÿw×J ³?+=O¬ «²« £ ¤S¬¢Ò£±µ´3«²³O¢Ç·Óg½XÁÃ½XÁ`Á ÏÒÀ»ÁSÏË<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`ÎqîOÅÁ

ξ½XêSÐuÑ ÂbÀ»ÆÏÒÃÄW½XêS¿Â`ÏÒÜ Ó)âË¨ ÎÏÒäÀ»Á`ÁSÏÒÁ`À»ÁSÂ`ÏÒÜ%Ün½XÁ ÏÒÀ»ÁSÏ

Ý»À»ÁSÏ9½XÆÏÏÒÎÆÏ+¿¿ÀÅÁJ½XêEQÂbÀÏlÓJâ Í ÅbñÏÒÆÑ½XÝ)Â`ÏÒÆûË<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏu½XÁäUÏÒÁSÂ`ÏÒÄ9¹HúêS¿Â`ÏÒÆ6&V½XÄ¿u½ÐuÑSÏ

ÂS½¿u¿ÂbÀÏÓJâEÍ ÏÒÀ»ÁSÏÒÆ:*"¨ ÏÒÀ»ÁSÏ)Ý»À»ÁSÏ9½XÆÏ?ÍSê`Á`ÃÄÀÅÁøÀ¿Ä1UÝÔ8-Ä ¿ÀÐuÑøÏÒÀ»ÁË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆN;SÆÂ`ÏÒÁ*Ï+¿Äu½XÝ»Ä¿é½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ3½8`ÝÏÒÀ»ÄÏÒÁ¹

eGξ,µ,σ(u) =

1 + ξ u

1 − ξ=

1

1 − ξ+

ξ

1 − ξu = β0 + β1 u ⇒ ξ =

β1

1 + β1.

ÏÒÆ4¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆβ1À¿ÄÎÏÒÆu½Â`Ï ÂbÀÏ ËÄÏÒÀ»Îê`Á`ÎÂ`ÏÒÆ!ÏÒÎÆÏ+¿¿ÀÅÁS¿ÎÏÒÆu½Â`ÏÒÁ¹ ÀÏ+¿ÏÒÆûË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ3À¿Ä

ÆÏÒÝ½XÄÀ»î ê`Á`ÎÏÒÁ½XêÂS½nÂbÀÏ¨Qê`Á`Ã<ÄÏåÂ`Ï+¿3Ó)âË¨'ÁêSÆ!ñÏÒÀÏÒÀ»ÁSÏÒÆËÄÀÐuÑ`é`ÆÅbñÏ îOÅÁJÏÒÀ»ÁSÏÒÆ,*¾¨ ½XÝ¿*ÏÒÆu½Â`ÏÈ+êjÏÒÆÃOÏÒÁ`ÁSÏÒÁn¿À»ÁSÂ ê`ÁSÂqÀ»Áqé`Æu½XÃ<ÄÀ¿ÐuÑSÏÒÁnÍQÔXÝ»ÝÏÒÁnÏÒÀ»ÁSÏW¿ÏÒÑ`ÆQÑSÅÑSÏ'EÅÝ½XÄÀ»Ý»À»ÄuÔXÄU½XêäUÏÒÀ¿ÏÒÁÃOïÁ`ÁSÏÒÁñä¾½¿ÂbÀÏjË<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`Î À»Ü ÏÒÎÆÏ+¿¿ÀÅÁS¿ÜjÅÂ`ÏÒÝ»ÝQê`Á`ÎÏÒÁ½XêÜn½ÐuÑÄ!5 êSÁSÂLMÅÝ»ÎÝ»ÀÐuÑ?½XêSÐuÑÂ`ÏÒÁ Ë<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ/=;`Æ

ξ¹úÝ»Ý»ÏÒÆÂ`ÀöÁSÎ¿Ã½XÁ`ÁeÜn½XÁ_¿uÅlÏÒÀ»ÁSÏÒÁÏÒÆ¿ÄÏÒÁ ËÄu½XÆÄäUÏÒÆÄIN;`ÆUÂbÀÏ!ÄÏÒÆu½XÄÀÅÁÂ`Ï+¿

ÓFOâ 0SÁSÂ`ÏÒÁ¹£¥S b«²¬<®³Bç¢u bµ¯S bª í ¬<®<¶O¢u·X bªâ À»ÁSÏ À¿ÃêS¿u¿ÀÅÁ«;EñÏÒÆEÂbÀÏîÏÒÆ¿uÐuÑ`ÀÏ+Â`ÏÒÁSÏÒÁ_Ë<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆË=;`Æ Â`ÏÒÁ©*Ï+¿Äu½XÝ»Ä¿é½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆË0SÁSÂ`ÏÒÄ Ün½XÁÀ»Á¯ÏÒÀ¿u¿·8&¾ÑSÅÜn½¿M¸ëëbºQË<ÏÒÀ»ÄÏgºÒÊOëcÍV¹ê`ÁSÂsÀ»Á Ó)Ð ¼ ÏÒÀ»Ý ·Ëb½XÝ½ÂbÀ»ÁóÚº9áá±ÎQË<ÏÒÀ»ÄÏ ß±·áb¹Í\;`Æ\ÏÒÆÄÏJÂSÏÒ¿c*ûÏ+¿Äu½XÝ»Ä¿é½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ¿È+äÀ¿ÐuÑSÏÒÁ

0ê`ÁSÂ

0.4À¿Ä_Â`ÏÒÆ Ë<ÐuÑHÔXÄÈ9Ï²Æ Â`ÏÒÆ_ä¾½XÑ`Æ¿ÐuÑSÏÒÀ»Á

Ý»ÀÐuÑ`ÃOÏÒÀ»Ä¿ÎÏÒäÀÐuÑÄÏÒÄÏ+Á Ó)ÅÜjÏÒÁÄÏÒÁ`ÜjÏÒÄÑSÅÂ`Ï)Â`ÏÒÜ Ó)½kãbÀ»Üåê`Ü«yOÀ»ÃOÏÒÝ»À»ÑSÅÅÂøË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ¿;EñÏÒÆÝÏÎÏÒÁEäUÏÒÀ»ÝÏÒÆeÏÒÀ»ÁSÏµÎÏÒÆÀ»Á`ÎÏÒÆÏJÜqÀöÄÄÝÏ²ÆuÏ:Oê½Â`Æu½XÄÀ¿ÐuÑSÏJú6äUÏÒÀÐuÑê`ÁSÎ³ñÏ+¿À»ÄÈ+Ä9¹ À»Ï+¿uÏÒÆ©ÁÄÏÒÆ¿uÐuÑ`ÀÏ+ÂJîÏÒÆäÀ¿ÐuÑÄ½XÝ»ÝÏÒÆÂbÀ»Á`Î¿ûÜqÀ»Ä3È+ê`ÁSÏÒÑ`ÜjÏÒÁSÂ`ÏÒÆåËÄÀÐuÑ`é`ÆÅbñÏÒÁ`ÎÆïb-Ï¹l¿Ä

ξ ≥ 0.5H¿uÅ@N;`Ñ`ÆÄ

ÂbÀÏQä¾½XÑ`Æ¿uÐuÑSÏÒÀ»Á`Ý»ÀÐuÑ`ÃÏÒÀ»Ä¿)ÎÏÒäÀÐÇÑÄÏÒÄÏÓ)ÅÜjÏÒÁÄÏÒÁ`ÜjÏÒÄÑSÅÂ`ÏEÈ+êlÏÒÀ»ÁSÏÒÜÁ`ÀÐuÑÄÏÒÆä¾½XÆÄê`Á`Î¿ÄÆÏÒêSÏÒÁË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ1kä¾ÔXÑSÆÏÒÁSÂlÑ`ÀÏÒÆÂ`ÏÒÆÓ:Oâ:;EñÏÒÆÂ`ÏÒÁ ÅÆÄÏÒÀ»Ý<Â`ÏÒÆ\3ÅÁS¿À¿ÄÏÒÁ`ÈîOÏÒÆ=;`ÎÄ9¹0ú3¿)A<Üqé`ÄÅÄÀ¿ÐuÑÎê`ÄÏâ À»ÎÏÒÁS¿ÐuÑ½ÄÏÒÁ:ñÏ+¿À»ÄÈ+ÄÂ`ÏÒÆÓ:Oâ N;`Æ

ξ > −0.5¹

úêS¿¿u½XÎÏÒÁøÈ+ê`ÆJ½¿)A<Üqé`ÄÅÄÀ¿ÐuÑSÏÒÁ EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î Â`Ï+¿µÓ)½kãbÀ»Üåê`Ü«yOÀ»ÃOÏÒÝ»À»ÑSÅÅÂ2Ë<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ¿c0SÁSÂ`ÏÒÄÜn½XÁJ¿Å0ä¾ÅÑ`ÝÀ»ÁJâQÜ`ÆÏ+ÐuÑÄ¿·83ûÝ;Sé`éñÏÒÝÏÒÆÎB·ÓµÀ»ÃOÅ¿ÐuÑ¯Úº9áá±ÎË<ÏÒÀ»ÄÏåÌÖòj½XÝ¿3½XêSÐuÑcñÏÒÀ¦ÏÒÀ¿u¿·&¾ÑSÅÜn½¿?M¸ëëbºHË<ÏÒÀ»ÄÏnº9Ö¸b¹¼¾ÏÒÈ9ÏÒÀÐuÑ`ÁSÏÒÄ

Xnd−→ X ⇔ limn→∞ P (Xn ≤ x) = P (X ≤ x)

ÂbÀÏI3ÅÁîÏÒÆÎÏÒÁ`È¾À»Á?EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î+¿uÅ ÎÀ»Ý»ÄÜqÀ»ÄÂ`ÏÒÆ`À»î½XÆÀ½XÄÏÒÁ)ËÄu½XÁÂS½XÆÂbÁSÅÆÜn½XÝ»îOÏÒÆÄÏ+À»Ý»ê`Á`Î N (µ, Σ)

H

√n (ξMLE

n −ξ,σMLE

n

σ−1)

d−→ N (0, M−1), n → ∞ ÜqÀ»ÄM−1 = (1+ξ)

(

1 + ξ 1

1 2

)

.

¸ ÀÏÒÆ)ñÏÒÀ ¿À»ÁSÂξMLEn

ê`ÁSÂσMLE

n

ÂbÀÏùÓ:Oâ È+ê`ÜfËÄÀÐuÑ`é`ÆÅbñÏÒÁêSÜ«½XÁ`În¹âQÜ«

`ÆÏ+ÐuÑÄu¿·83ûÝ;`é`éñÏÒÝñÏÒÆÎB·XÓJÀ»ÃÅ¿uÐuÑÊÚº9áá±ÎEê`ÁÄÏÒÆ¿êSÐuÑSÏÒÁ ½XêSÐuÑÂbÀÏ3â À»ÎÏ²Á¿ÐuÑ½ÄÏÒÁ Â`Ï+¿ ¸ À»Ý»ÝHê`ÁSÂ¨ ÀÐuÃ½XÁSÂ`¿?Ë<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ¿9¹ûâQÀ»Á2äÀÐuÑÄÀ»ÎÏ+¿_Ï+¿ê`Ý»Äu½XÄ)À¿ÄJÂ½¿g½¿)AÜqé`ÄÅÄÀ¿uÐuÑSÏ³ ÏÒÆÑ½XÝ»ÄÏÒÁ ÂbÀÏ+¿ÏÒÆ

Ìß

·)¸x<ÿwË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ9¹UÍ\;`ÆnÂSÏ²Á¨QÀÐuÃ½XÁSÂ`¿ Ë<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆeÃ½XÁ`Á ÎÏÒÈ9Ï²À»ÎÄeäUÏÒÆÂSÏ²ÁvEÂS½¿u¿jê`ÁÄÏÒÆeÎÏ²äWÀ»¿u¿ÏÒÁ'¼¾ÏÂbÀ»Á`Îê`Á`ÎÏÒÁJÎÀ»Ý»Ä

√k (ξ

(P )k,n − ξ)

d−→ N (0, v(ξ)), n → ∞ ,

äUÅbñÏÒÀv(ξ) = ξ2 (22ξ+1+1)

(2 (2ξ−1) ln 2)2¹

½¿½¿)A<Üqé`ÄÅÄÀ¿ÐuÑSÏEÏÒÆÑ½XÝ»ÄÏÒÁeÂ`Ï+¿ ¸ À»Ý»ÝñË<ÐuÑHÔXÄÈ9Ï²Æu¿EäÀ»ÆÂqÀ»Á@ÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`ÏÒÜ Ëb½XÄÈWîOÏÒÆÂ`ÏÒê`ÄÝ»ÀÐuÑÄ9¹hfi Wkj1 ¼UÀ½¿f½XÆÀ½XÁ`È7¹2HêS¿u½XÜqÜjÏ+Á`Ñ½XÁ`ÎÂ`Ï+¿ ¸ À»Ý»ÝË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ¿ ÷lñþfñî

Xi ∼ F, i ∈ NíBî[ë`ö

ùúbîBïbþïJíKî'Jþ"ñî9ì=þ ð7ø7ù¥$8ñé7ìyñþNÿì[8F ∈ MDA(H1/α), α > 0

íKî'c• ý«þNì A(x) := α−2 a(U(x))

íKî'FñþNî[ñéý@ñðnð7`½ëbénñîp(íKî! ì=þ"bîa(x)

8ùî[ñ³ô!bé)ûñþoøùñî+öê/ñ½øù±ð1ñÿ[ïñÿ%ìyñ

limx→∞

U(t x)/ U(x) − tξ

A(x)= tξ

tρ ξ − 1

ρ ξ.

(,þoñ¥îEðìfëbî9ìyñρ ≤ 0

êþNé³ëÿqðqëbé)ëbýJñ7ìyñéGû7ê/ñ7þNìyñéÑWéî+íBîKïv`nñ½ûñ7þ=ø7ùî[ñ7ì?íKî'v`nñöðì=þNý«ýì2bþfñbîx$bñéoïñ7îKû7é)ëìyñ$&bî

F (t x)/F (x)ïñoïBñî

t−α *• ñð!ïñÿ%ìyñ

k → ∞,k

n→ 0

íKî' √k A

(n

k

)

→ λ ∈ R,.;gKé

n → ∞ .Úº9Ì±

(ëbî+îïbþNÿì./gBén → ∞

√k(

α(H) − α)

d−→ N(

α3 λ

ρ − α, α2

)

.

ÀÏ+¿ÏÒÆ Ëb½XÄÈeé`ÆuÔXÈ+À¿ÀÏÒÆÄ Â`ÏÒÁ¯2HêS¿Ç½XÜqÜjÏÒÁ`Ñ½XÁ`Î)È+äÀ¿ÐuÑSÏÒÁùÂ`ÏÒÆ ½¿)A<Üqé`ÄÅÄÀ¿ÐuÑSÏÒÁ³½XÆÀ½XÁ`È±ÂbÀÏÜqÀ»ÄWä¾½ÐuÑS¿uÏÒÁSÂ`ÏÒÜ

k½8`Á`À»ÜqÜåÄ1Sê`ÁSÂ ÏÒÀ»ÁSÏÒÜ ÜjïÎÝ»ÀÐuÑSÏÒÁ)¼À½¿9¹

tÒf (,þfñy!ñ-bþNîBïbíKîBï³Úº9Ì±,þ ðì/ú^íBþ[$ëbÿ´ñî9ìËû7í.Aÿ ïñ7î'ñézy!ñ-bþNîBïbíKîBïclim

x→∞F (t x)/ F (x) − t−α

a(x)= t−α tρ − 1

ρ, t > 0

ò_ëbî%`½ñ½ë±øùKìyñ;8ë8ðnð!ñð'þ î¥ñéNqWé)ëk¡bþ ðWþNîbBñîJð1ñÿ%ìyñîEðìyñ7îo/úÿ ÿñ7î©ýoµnïbÿÇþoøù«þ ðìþoñð1ñRy!ñ-bþNîBïbíKîBïû^í%gx`nñé4'g;.1ñî+*úÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀ»Áù¿ÏÒÀEÂS½XÆu½XêÑ`À»Á`ÎÏÒäÀÏ+¿uÏÒÁLÂS½¿¿lÂbÀÏnÓJÅÂ`ÏÒÝ»Ý½XÁ`Á½XÑ`ÜjÏ+Á½XêWÂ`ÏÒÁSÏÒÁùÂbÀÏeË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆñÏÒÆê`ÑSÏÒÁÏÒÆ=;`Ý»Ý»Ä¿ÏÒÀ»Á Ü;S¿u¿ÏÒÁbê`Ü ½XêS¿¿Ç½XÎÏÒÃÆuÔÄÀ»ÎÏâQÆÎÏ7`Á`À¿¿ÏÈ+êµÏ²ÆÑ½XÝ»ÄÏÒÁ¹

Ìá

ÓÕÔ ~zÿ|9~0~özÿwEO|ÇykwS|Çy<Ö × Os`¾k`s63HWHSÜ 3½Xé`À»ÄÏÒÝÊ äê`ÆÂ`Ï4ñÏ+¿uÐuÑ`ÆÀÏ7ñÏ²ÁvbäÀÏ3é½XÆu½XÜjÏÒÄÆÀ¿ÐuÑSÏÓJÅÂ`ÏÒÝ»ÝÏ½XÁ ÂbÀÏË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È0½XÑ`Ý% ê`ÁSÂË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÒÁîÏÒÆÄuÏÒÀ»Ý»ê`ÁSÎe½XÁ`ÎÏÒé½¿u¿ÄäUÏÒÆÂ`ÏÒÁ ÃOïÁ`ÁSÏÒÁ¹àÀÏ4ñÏÒÆÏÒÀ»Ä¿ÏÒÆä¾ÔXÑ`ÁÄäÀ»ÆÂñÏ²ÀÂ`ÏÒÁMÅÆÄÎÏ+¿ÐuÑ`ÆÀ»ÄÄÏÒÁSÏÒÁ\Ó)Ï+¿¿u½XÁS¿ÇÔXÄÈ9ÏÒÁÏÒÀ»ÁSÏ úêÄÏÒÀöÝ»ê`ÁSÎ Â`ÏÒÆåË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÔXÝ»Ý»ÏjÂ`ÏÒÆûÎÏ+¿u½XÜåÄuÏ²Á\¼¾½XÁ`ÃÁ½ÐuÑ?îÏÒÆ¿ÐuÑ`ÀÏ+Â`ÏÒÁSÏÒÁ*Ï+¿ÐuÑÔÄ¿)ÏÒÝÂ`ÏÒÆÁê`ÁSÂªWÀ¿À»ÃÅÄsA<éñÏÒÁ M½XÝ¿,ÁÄÏÒÆÃ<Ý½¿¿ÏÒÁ?Â`Ï+¿ÅéñÏÒÆu½XÄÀÅ8ÁSÏÒÝ»ÝÏÒÁ À¿À»ÃÅ¿¿ÀÏÒÑSÏ Ë<ÏÒÀ»ÄÏ ò±îOÅÆÎÏÒÁSÅÜqÜjÏÒÁVê`ÜÉÏÒÀ»ÁSÏ_ÂbÀ%ÍÏÒÆÏÒÁ`È+ÀÏÒÆÄÏÒÆÏ Ó)Ï+¿¿ê`Á`Î)ÈÒê ÏÒÆÜjïÎÝ»ÀÐuÑSÏÒÁ¹Wê`ÆÂ`ÏÒÁàÁê`Á ÂbÀÏ@ÐÏÒäUÏÒÀ»Ý»À»ÎÏÒÁEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎÏÒÁøÂ`ÏÒÆÏÒÀ»Á`È9ÏÒÝ»ÁSÏÒÁ *Ï+¿ÐuÑÔÄu¿)ñÏÒÆÏÒÀÐuÑÀ¿À»ÃOÅÄsAéy3ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁ\ÎÏ+¿ÐuÑÔXÄÈ+Ä1`ÝÏÒÀ`ÄlÂbÀÏjÍ`ÆÇ½XÎÏbäÀÏqÜn½XÁs½XÝ»ÝÏjÂbÀÏ+¿ÏÁÅÆÜn½XÄÀÅÁSÏÒÁÈ+ê ÏÒÀ»ÁSÏÒÆ<*ûÏ+¿Ç½XÜåÄîÏÒÆÝ»êS¿ÄîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎJê`ÁSÂ ¿éÔXÄÏÒÆÏÒÁ«À¿À»ÃOÅÃÏÒÁ`Á`È0½XÑ`Ý ÃOÅÜqé`ÆÀ»ÜqÀÏÒÆÏÒÁqÃ½XÁ`Á¹

É/oäÈ [£Æ[Ä(åª[£bbÅ[ÆlÄ+ªÈ ¤¡vÄææ¼ À»ÜqÜåÄ3Ün½XÁ½XÁñÂS½¿¿ K ÂbÀÏ ÓJÏÒÁ`ÎÏ Â`ÏÒÆ,*ûÏ+¿ÐuÑÔÄ¿)ñÏÒÆÏÒÀÐuÑyWÀ¿À»ÃÅÄsA<éy3ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁSÏÒÁÀ¿Äê`ÁSÂ

K := | K | ÂbÀÏµúÁ`È0½XÑ`ÝÂ`ÏÒÆ©3ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁSÏÒÁv¿uÅÝÔ8-Ä_¿ÀÐuÑ Â`ÏÒÆG*ûÏ+¿u½XÜåÄîOÏÒÆÝ»êS¿Ä1EÂ`ÏÒÆÂbê`ÆÐuÑJÂbÀÏÏÒÀ»Á`È9ÏÒÝ»ÁSÏÒÁ: ÏÒÆÝ»êS¿ÄÏÂ`ÏÒÆ63ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁSÏÒÁ)ÏÒÁÄ¿ÄÏÒÑÄS¿ÐuÑ`ÆÏÒÀñÏÒÁJ½XÝ¿

L =∑

k∈KLk .

ÚºÒÊB

ÏÒÆ\EÏÒÆÝ»êS¿ÄLk

Â`ÏÒÆkÄÏÒÁ3ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁj¿uÏÒÄÈ+ÄV¿ÀÐuÑ ÎÏÒÜnÔ8-Â`ÏÒÜ À»Á«3½Xé`À»ÄÏÒÝSÌ!ñÏ+¿ÐuÑ`ÆÀÏ7ñÏÒÁSÏÒÁ

Ó)ÅÂ`ÏÒÝ»Ý½XêS¿¾ÜjÏÒÑ`ÆÏÒÆÏÒÁ)Ë<ÐuÑÔÂ`ÏÒÁ È+êS¿u½XÜqÜjÏÒÁ`Â`ÏÒÆÏÒÁ úÁ`È0½XÑ`ÝÎÏÒÁ½Xê äÀÏûÂbÀÏ ¸ ïÑSÏûÂ`ÏÒÆË<ÐuÑÔÂ`ÏÒÁÈ+êÔXÝ»Ý»À»Î À¿Ä9¹KCÁ`ÁÏ²ÆÑ½XÝ ÏÒÀ»ÁSÏÒÆ6*ûÏ+¿ÐuÑÔÄ¿MÏÒÝÂKyWÀ¿À»ÃOÅÄsAéy3ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁ ÑH½8ñÏ²Á äÀ»Æ¾¿uÅÜqÀ»ÄÏÒÀ»Á ÃOÅÝ»ÝÏÒÃÄÀ»îOÏ+¿WÓ)ÅÂ`ÏÒÝ»ÝfSÂS½¿WÂ`ÏÒÁcEÏÒÆÝ»êS¿ÄWÂbêSÆÐuÑµÏÒÀ»ÁSÏåËê`ÜqÜjÏÒÁîÏÒÆÄuÏ²À»Ýê`Á`ÎeÜjÅÂ`ÏÒÝ»Ý»ÀÏÒÆÄ1H

Lk =

Nk∑

i=1

Xk,i, k = 1, . . . , K

Í\;`ÆËÐÚÏ+Â`ÏD3ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁ)äÀ»ÆÂµÏÒÀ»ÁSÏ Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È0½XÑ`Ý%UêSÁSÂ ÏÒÀ»ÁSÏ ËbÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÒÁîÏÒÆÄuÏÒÀ»Ý»ê`ÁSÎ©ñÏÁSïÄÀ»ÎÄ9¹l ÏÒÆMÅÝ»ÎÄ3Ün½XÁÏÒÀ»ÁSÏÒÁgé½XÆu½XÜjÏÒÄÆÀ»¿uÐuÑSÏÒÁ?úÁS¿u½XÄÈ±ñ¿uÅnÝ½¿u¿ÏÒÁg¿ÀÐuÑgÂbÀÏ«¨V½XÆu½XÜåÄÏÒÆÂbÀÏ+¿ÏÒÆEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎÏÒÁJÂbê`ÆÐuÑµÂ`À»ÏÀ»ÁL3½Xé`À»ÄÏÒÝÊñÏ+¿ÐuÑ`ÆÀÏ7ñÏÒÁSÏÒÁ)ÓJÏÒÄÑSÅÂ`ÏÒÁJ¿ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÁ¹\ÏÒÆÂ`ÏÒÁÂbÀÏ«3ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁSÏÒÁs½XÝ¿3ê`Á½8`ÑÔXÁ`ÎÀ»Î îOÅÁSÏÒÀ»Á½XÁSÂ`ÏÒÆl½XÁ`ÎÏÒÁSÅÜqÜjÏÒÁ_5 ÎÏÒÁ½XêSÏÒÆ¿À»ÁSÂÂbÀÏ

Lk¿ÄÅÐuÑ½¿ÄÀ¿ÐuÑ ê`Á½8`ÑÔXÁ`ÎÀ»ÎF5 ¿uÅµÃ½XÁ`ÁùÜn½XÁ ÂbÀÏ Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È0½XÑ`Ýê`ÁSÂFË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSï8

ÑSÏeÂSÏ²ÆkÄÏÒÁ3ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁ ê`Á½8`ÑÔXÁ`ÎÀ»Î)îOÅÁùÂ`ÏÒÆqË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È0½XÑ`Ý¾ê`ÁSÂÊÑSïÑSÏ_Â`ÏÒÆ ½XÁSÂ`ÏÒÆÏÒÁ

3ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁÏÒÁsÏÒÆÈ9ÏÒê`ÎÏÒÁ¹ËÀ»ÁSÂÂbÀÏLkÐÚÏ+Â`ÅÐuÑ?Á`ÀÐuÑÄ¿ÄÅÐuÑ½¿ÄÀ¿ÐuÑê`Á½8`ÑÔXÁ`ÎÀ»Î+¿ÅÜåêS¿¿

Â`ÏÒÆ©2Hê½XÝ»Ý¿îOÏÒÃÄÅÆ(L1, L2, . . . , LK)

ÎÏÒÜnÔ8-\Â`ÏÒÆn½XÁ`ÎÏÒÁSÅÜqÜjÏÒÁSÏÒÁ'ú!`ÑÔXÁ`ÎÀ»ÎÃÏÒÀ»Ä¿u¿ÄÆê`Ã<Äê`Æ½XÝ¿EÏÒÀ»Á¿*½XÁ`È9ÏÒ¿¿À»Üåê`Ý»ÀÏÒÆÄEäUÏÒÆÂ`ÏÒÁ¹ ÀÏ+¿QÀ¿ÄQÎÏÒÆu½Â`Ï'=;`Æ ÏÒÀ»ÁSÏWÎÆïb-ÏÒÆÏúÁ`È0½XÑ`Ý

KÃOÅÜqé`Ý»À»È+ÀÏÒÆÄ9¹

Ë<ÐuÑSÅÁ =;`ÆK ≥ 4

ÏÒÆäUÏÒÀ¿Äj¿ÀÐuÑ ÂbÀÏJË<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`Î\Â`ÏÒÆjÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁS¿u½XÜjÏÒÁS ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î?ÜqÀ»ÄnÏÒÀ»ÁSÏÒÆñÏ+¿ÄÀ»ÜqÜåÄÏÒÁú6`ÑÔXÁ`ÎÀ»ÎÃOÏÒÀ»Ä¿¿ÄÆê`Ã<Äê`Æ½XÝ¿3¿ÐuÑäUÏÒÆ9¹[Á)ÂbÀÏ+¿ÏÒÜY2HêS¿Ç½XÜqÜjÏÒÁ`Ñ½XÁ`Î ÏÒÆäUÏÒÀ¿Äû¿ÀÐuÑÂS½¿63ÅÁ`È9ÏÒé`ÄÂ`ÏÒÆè¾Åé`ê`Ý½j½XÝ¿WÑ`À»ÝÆÏÒÀÐuÑ¹

ÊOë

ÓÕÔ ~zÿ|9~0~özÿwEO|ÇykwS|Çy<É/´MµW åv¯\æÇ[£b¤â À»ÁSÏ¾ÂbÀ»ÆÏÒÃÄÏ¾¼¾Ï²ÆuÏÒÐuÑSÁê`Á`ÎÂ`ÏÒÆ] ÏÒÆÝ»êS¿ÄîÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¾N;`ÆVÏÒÀ»ÁSÏ*ûÏ+¿ÐuÑÔÄ¿ÏÒÝÂKCâQÆuÏ²À»ÎÁ`À¿ÄsAéy3ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁ)½XêS¿WÂ`ÏÒÆ3Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È0½XÑ`Ý%ê`ÁSÂ Â`ÏÒÆË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÒÁîOÏÒÆÄÏÒÀÝ»ê`Á`ÎeÀ¿ÄÀ»Á Â`ÏÒÁ äUÏÒÁ`À»Î¿ÄÏÒÁÍQÔXÝ»ÝÏÒÁ ÜjïÎÝ»ÀÐuÑ¹W\ÏÒÁ`ÁàÜn½XÁ Áê`Á.½XÝ»ÝÏÖò³3ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁSÏ+ÁøÈ+êS¿Ç½XÜqÜjÏ²ÁEM½¿¿ÏÒÁ äWÀöÝ»Ýf¾¿Äïb-ÄÜn½XÁF½XêÏÒÀ»ÁSÏeÁSÅÐuÑ ÎÆïb-ÏÒÆÏG3ÅÜqé`ÝÏ²ã<À»ÄuÔXÄ0¹Ë2Hê`Æq¼UÏÒÆÏ+ÐuÑ`Áê`Á`ÎªñÏÒÁê`ÄÈ+Ä Ün½XÁ Â`Ï+¿äUÏÒÎÏÒÁ ÏÒÀÁSÏ¿ÅÎÏÒÁ½XÁ`ÁÄÏ Ó)ÅÁÄÏ è½XÆÝÅ?ËÀ»Üåê`Ý½XÄÀÅÁóÓèËE²¹Vâ ¿ Ñ½XÁSÂ`ÏÒÝ»Äq¿ÀÐuÑ ê`Ü ÏÒÀ»ÁùÁê`ÜjÏÒÆÀ¿uÐuÑSÏ+¿EÏÒÆ½XÑ`ÆÏÒÁ¹Í\;`ÆûÂ`ÏÒÁgÍH½XÝ»ÝVÂ`ÏÒÆ¾Á½8`ÑÔXÁSÎÀöÎÃOÏÒÀ»ÄûÃ½XÁ`Á)Ün½XÁgÂ`ÏÒÁ:MÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`ÏÒÁgúÝ»ÎÅÆÀ»ÄÑ`ÜåêS¿4N;SÆ3ÂbÀÏqËÀ»ÜåêÝ½XÄÀÅÁJÂ`ÏÒÆ4*ûÏ+¿u½XÜåÄîOÏÒÆÝ»êS¿ÄîOÏÒÆÄÏÒÀ»ÝöêSÁ`ÎnîÏÒÆäUÏÒÁSÂSÏ²ÁvH

• âQÆÈ9ÏÒê`ÎÏN

(1)k , N

(2)k , . . . , N

(n)k n

Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È0½XÑ`ÝÏÒÁ ÜqÀ»Ä ¸ À»Ý%MÏ ÂSÏ²ÆLÎÏ+¿uÐuÑÔXÄÈ+ÄÏÒÁ«¨ÅÀ¿¿ÅÁEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î)Â`ÏÒÆ

kÄÏÒÁ3ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁ

k = 1, . . . , K¹ ÀÏ¿2½XÑ`Ý

nÂ`ÏÒÆqËÀ»Üåê`Ý½XÄÀÅÁSÏÒÁ

¿ÅÝ»Ý»ÄÏÎÆÅb-n¿ÏÒÀ»Á`È+ê`Ü ¼¾ÏÒÀ¿é`ÀÏÒÝEº9ëb¹¡ëëëb¹• ÀÏIÐÏÒäUÏÒÀ»Ý¿Wé½¿¿ÏÒÁSÂ`ÏúÁ`È0½XÑ`ÝL½XÁ)Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÒÁ

X(1)k,1 , X

(1)k,2 , . . . , X

(1)

k,N(1)k

; X(2)k,1 , . . . , X

(2)

k,N(2)k

; . . . , . . . ; X(n)k,1 , . . . , X

(n)

k,N(n)k

, k = 1, . . . , K

ÏÒÆÈ9ÏÒê`ÎÄÜn½XÁ ÜqÀ»Ä ¸ À»Ý%MÏÂ`ÏÒÆ3Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÒÁîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»êSÁ`Î_Â`ÏÒÆkÄÏÒÁL3ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁ¹

• Óg½XÁ ÏÒÆÑÔXÝ»Än¿À»Üåê`Ý»ÀÏÒÆÄÏ,\Ï²ÆÄÏ4=;`ÆWÂ`ÏÒÁF*ûÏ+¿u½XÜåÄîOÏÒÆÝ»êS¿Ä1`À»ÁSÂ`ÏÒÜ Ün½XÁ

L(j) =∑

k∈KL

(j)k , j = 1, . . . , n

ñÏÒÆÏ+ÐuÑ`ÁSÏÒÄê`ÁSÂ ¿ÅÜqÀ»ÄÂbÀÏÏÒÜqé`À»ÆÀ¿ÐuÑSÏ, ÏÒÆÄuÏ²À»Ý»ê`Á`Î¿)ê`Á`Ã<ÄÀÅÁJÂ`Ï+¿!*ûÏ+¿Ç½XÜåÄîÏÒÆÝ»êS¿ÄÏ+¿9¹àÀÏLñÏÒÆÏÒÀ»Ä¿ÏÒÆä¾ÔXÑ`ÁÄ1¾¿ÐuÑSÏÒÀ»ÁÄÏÒÀ»ÁSÏ:Á½8`ÑÔXÁ`ÎÀ»ÎÃOÏÒÀ»Ä¿u½XÁ`Á½XÑ`ÜnÏ)È+äÀ¿ÐuÑSÏÒÁøÂ`ÏÒÁàÏÒÀ»Á`È9ÏÒÝ»ÁSÏÒÁ*Ï+¿ÐuÑÔÄ¿)ÏÒÝÂKCâQÆÏÒÀ»ÎÁ`À¿ÄsAéy3ÅÜSÀ»Á½XÄÀÅÁSÏÒÁ Á`ÀÐuÑÄ ÆÏ9½XÝ»À¿ÄÀ¿ÐuÑ¹\Ü ÂbÀÏ_ú6SÑÔXÁ`ÎÀ»ÎÃÏÒÀ»Ä ÜqÀ»ÄÏÒÀ»Á`È+êEñÏÒÈ+ÀÏÒÑSÏ+ÁÀ¿ÄEÂbÀÏ ¸ À»Á`È+ê`Á½XÑ`ÜjÏÏÒÀ»ÁSÏÒÆ¾èUÅé`ê`Ý½l¿À»Á`ÁîOÅÝ»Ý¹âQÀ»ÁeÏÒÁÄu¿é`ÆÏ+ÐuÑSÏÒÁSÂ`ÏÒÆUúÝ»ÎÅÆÀ»ÄÑÜåêS¿äÀÏÀ»Ñ`Á ÀèÝÏÒÜjÏÒÁÄÏ·8ÅÜn½XÁÅM¸ëëXÊBE½XêVË<ÏÒÀ»ÄÏåº9áá±·¸ëëDñÏ+¿ÐuÑ`ÆÏÒÀñÏÒÁb¿ÏÒÀñ½XÁ_ÂbÀÏ+¿ÏÒÆËÄÏÒÝ»ÝÏå½XêÎÏ=;`Ñ`ÆÄ1HâE¿äWÀöÆuÂ îOÅÁ«ÐÏÒäUÏÒÀ»Ý¿3ËDÐÔXÑ`ÆÝ»ÀÐuÑSÏÒÁLEÏÒÆÝ»êS¿ÄÂS½XÄÏÒÁµÀ»Á`ÁSÏÒÆÑ½XÝJÏÒÀ»ÁSÏÒÆÏÒÀ»Á`È9ÏÒÝ»ÁSÏÒÁ_*ûÏ+¿uÐuÑÔÄ¿MÏÒÝÂKâ ÆÏÒÀ»ÎÁ`À¿ÄsAéy3ÅÜ?`À»Á½XÄÀÅÁSÏ+Á ½XêS¿ÎÏÒÎO½XÁ`ÎÏÒÁH

lji , i = 1, . . . , m j = 1, . . . , SÀ¿ÄµÂ`ÏÒÆ

j

ÄÏÊ ÏÒÆÝ»êS¿ÄJÂ`ÏÒÆiÄÏÒÁó3ÅÜ`À»Á½XÄÀ»ÅÁväUÅbñÏÒÀ

mÂbÀÏ?úÁ`È0½XÑ`ÝåÂ`ÏÒÆF*ûÏ+¿ÐuÑÔÄ¿MÏÒÝÂKCâQÆÏÒÀ»ÎÁ`À¿

3ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁÏÒÁ.À¿Ä1UÂbÀÏ½XÎÎÆÏÒÎÀÏÒÆÄ äUÏÒÆÂ`ÏÒÁø¿ÅÝ»ÝÏÒÁ¹úêE-ÏÒÆÂ`ÏÒÜ ¿ÅÝ»ÝûÂ`À»Ïgú!`ÑÔXÁ`ÎÀ»ÎÃOÏÒÀ»Ä¿¿ÄÆê`ÃÄê`ÆÂbê`ÆÐuÑ?ÏÒÀ»ÁSÏnËÄêSÂ`ÏÒÁÄ9ðó¿ÄèUÅé`ê`Ý½ÜjÅÂ`ÏÒÝ»Ý»ÀÏÒÆÄäUÏÒÆÂ`ÏÒÁ¹¦2HêSÏÒÆ¿ÄäÀ»ÆÂÂbÀÏ+¿ÏjèUÅéSê`Ý½`È+ä¹bÂ`ÏÒÆÏÒÁ¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ1½XÁ`Ñ½XÁSÂÂ`ÏÒÆ ½XÄÏÒÁÎÏ+¿ÐuÑÔXÄÈ+Äê`ÁSÂ_ÂS½XÁ½ÐuÑ:2HêM½XÝ»Ý¿È0½XÑ`ÝÏÒÁ ÜqÀ»Ä¾ÂbÀÏ¿uÏÒÆWú6`ÑÔXÁ`ÎÀ»ÎÃOÏÒÀ»Ä¿¿ÄÆê`ÃÄê`ÆÏÒÆÈ9ÏÒê`ÎÄ9¹

ÊSº

ÓÕÔ ~zÿ|9~0~özÿwEO|ÇykwS|Çy<

• &Æu½XÁS¿MÅÆÜqÀÏÒÆÏÂbÀÏ_Ñ`À¿ÄÅÆÀ¿ÐuÑSÏÒÁ ½XÄÏÒÁ ljiÂbê`ÆÐuÑ

lji = Fi(lji ) ∼ U[0,1]

È+êF½XêØ¡ë»º/ÙÎÝÏÒÀÐuÑîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ÄÏÒÁ ½XÄÏÒÁ¹Ó)½XÁ$ñÏ+½ÐuÑ<ÄÏÂS½¿¿

FiÂbÀÏjÏÒÜqé`À»ÆÀ¿ÐuÑ$EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î¿ê`Á`ÃÄÀ»ÅÁ

Â`ÏÒÆiÄÏÒÁL3ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁJÀ¿Ä9¹

• &Æu½XÁS¿MÅÆÜqÀÏÒÆÏÂbÀÏÅbñÏÒÁ_ÏÒÆÈ9ÏÒê`ÎÄÏÒÁ ½XÄÏÒÁ ljiÂbê`ÆÐuÑ

zji = Φ−1(lji ) ∼ Φ

È+êËÄu½XÁSÂS½XÆÂKÁSÅÆÜn½XÝ»îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ÄÏÒÁ ½XÄuÏ²Á¹

• &Æu½XÁS¿MÅÆÜqÀÏÒÆÏÂbÀÏWÅbñÏÒÁeÏÒÆÈ9ÏÒê`ÎÄÏÒÁ ½XÄÏÒÁ ljiÂbê`ÆÐuÑ

cji = t−1

m (lji ) ∼ tmÈ+ê ½XÄÏÒÁnÜqÀ»Ä

ËÄêSÂ`ÏÒÁÄÄfEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»êSÁ`Îtm

ÜqÀ»ÄmÍSÆÏÒÀ»ÑSÏÒÀöÄu¿ÎÆu½Â`ÏÒÁ¹

• Ë<ÐuÑÔXÄÈ9ÏlÂbÀÏÍ`ÆÏÒÀ»ÑSÏÒÀ»Ä¿ÎÆu½Â`ÏlÂ`ÏÒÆ3ËÄêSÂ`ÏÒÁÄ9ðó¿WÄèUÅé`ê`Ý½jÂbê`ÆÐuÑ

ν = arg maxν

S∑

j=1

ln c(lj1, . . . , ljm; R, ν),

äUÅbñÏÒÀ ÂbÀÏ È+ê`ÎÏÒÑSïÆÀ»ÎÏ@3ÅÆÆÏÒÝ½XÄÀÅÁS¿Ün½ÄÆÀöãRäÀÏ À»Ü-ÁHÔÐuÑS¿ÄÏÒÁÊ¨Qê`Á`ÃÄ"ñÏ+¿ÐuÑ`ÆÀÏ7ñÏÒÁ

ñÏ+¿ÄÀ»ÜqÜåÄäÀ»ÆÂ¹• ÀÏ"3ÅÆÆÏÒÝ½XÄÀÅÁS¿Ün½XÄÆÀöã R

ÏÒÆÑÔXÝ»ÄWÜn½XÁJ½XÝ¿4*3ÆÏÒÁ`È+äUÏÒÆÄÂ`ÏÒÆÍÅÝ»ÎÏûîOÅÁ Óg½XÄÆÀ»È9ÏÒÁ

R0 =1

S

S∑

j=1

zj zjTRk+1 =

ν + n

ν S

S∑

j=1

cj cjT

1 + 1ν cjT R∗k cj

,

äUÅbñÏÒÀzj = (zj

1, zj2, . . . , z

jn)T ê`ÁSÂ

cj = (cj1, c

j2, . . . , c

jn)T ¿Å0äÀÏ

R∗kÂbÀÏûÓ)½XÄÆÀöã

ÜqÀ»Ä(R∗k)u,v =

(Rk)u,v√

(Rk)u,u

√

(Rk)v,v

,

Â`ÏÒÆÏÒÁ ¸ ½Xê`é`ÄÂbÀ½XÎÅÁ½XÝÏåÁSÅÆÜqÀÏÒÆÄÀ¿Ä9¹ ¸ ÀÏÒÆ)ñÏÒÀÀ¿ÄxT Â`ÏÒÆWÄÆu½XÁS¿éñÅÁ`ÀÏÒÆÄÏD ÏÒÃ<ÄÅÆWê`ÁSÂ

Ï+¿ÎÀ»Ý»Ä1HRk → R,

=;`Æk → ∞.

¸ ½XÄ Ün½XÁeÂbÀÏ m (m−1)2 +1

¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆUÂSÏ²Æ¾ËÄêSÂ`ÏÒÁ<Ä9ðó¿EÄèUÅé`ê`Ý½,ñÏ+¿ÄÀ»ÜqÜåÄË5D=;`ÆEÂbÀÏ¿)AÜqÜjÏÄÆÀ¿uÐuÑSÏ63ÅÆÆÏÒÝ½XÄÀÅÁS¿Ün½XÄÆÀöã m (m−1)

2

ê`ÁSÂµº'N;SÆEÂbÀÏúÁ`È0½XÑ`ÝHÂ`ÏÒÆÍSÆÏÒÀ»ÑSÏÒÀ»Ä¿ÎÆu½Â`Ï'5O¿ÅÝ½¿¿ÏÒÁ¿ÀÐuÑ ÂbÀÏ"ñÏÒÁSïÄÀ»ÎÄÏÒÁ_2Hê½XÝ»Ý¿È0½XÑ`ÝÏÒÁµäÀÏ¾ÅÝ»ÎÄ¿À»Üåê`Ý»ÀÏÒÆÏÒÁH

• âQÆÈ9ÏÒê`ÎÏmê`Á½8`ÑÔXÁ`ÎÀ»ÎÏ¿Äu½XÁSÂS½XÆÂbÁSÅÆÜn½XÝ»îOÏÒÆÄÏÒÀÝ»ÄÏ¾2HêM½XÝ»Ý¿È0½XÑ`ÝÏÒÁ

z = (z1, . . . , zm)T

• âQÆÈ9ÏÒê`ÎÏlÏÒÀ»ÁSÏÈ+êzê`Á½8`ÑÔXÁ`ÎÀ»ÎÏèÑ`À%¹.ê½ÂbÆu½XÄîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ÄuÏ?2Hê½XÝ»Ý¿î½XÆÀ½8`ÝÏ

s ∼ X 2ν

• ¼¾Ï+¿ÄÀ»ÜqÜjÏÂbÀÏåèÑSÅÝÏ+¿ÃKAc2ñÏÒÆÝÏÒÎê`Á`ÎeÂ`ÏÒÆ63ÅÆÆÏÒÝ½XÄÀÅÁS¿Ün½XÄÆÀ»ãR = A AT

• ¼¾Ï+¿ÄÀ»ÜqÜjÏÂbÀÏ"EÏÒÃÄÅÆÏÒÁy = A z

ê`ÁSÂx =

√ν√sy¹

ÊO¸


• ÏÒÆEÏÒÃÄÅÆ u = (u1, . . . , um)T ÜqÀ»Äui = tν(xi)

N;`Æi = 1, . . . , m

À¿ÄåÎÏÒÜnÔ8-gÂ`ÏÒÆËÄêSÂ`ÏÒÁÄ9ðó¿ÄèUÅé`ê`Ý½qîÏÒÆÄuÏ²À»Ý»Ä9¹

ÀÏlúÁ`é½¿¿ê`Á`ÎeÏÒÀ»ÁSÏÒÆèUÅé`ê`Ý½e½XÁJÂbÀÏlÎÏÒÎÏ7ñÏÒÁSÏÒÁ ½XÄÏÒÁµÀ¿Ä3½XêäUÏÒÁSÂbÀ»Î+HÂS½@ñÏÒÀLÏÒÀ»ÁSÏÒÆËÄêÂ`ÏÒÁÄ9ðó¿nÄèUÅé`ê`Ý½È¹ó¼3¹ ¿ÐuÑÅÁ ñÏÒÀÂ`ÏÒÆn¼¾ÏÒÆ);SÐuÃb¿ÀÐuÑÄÀ»Îê`Á`Î\îOÅÁ ÎgÂ`ÏÒÆeÖògîÅÜÞ¼½¿ÝÏÒÆnúêS¿¿uÐuÑêS¿¿qîOÅÆÎÏ+¿ÐuÑ`Ý½XÎÏÒÁSÏÒÁ3ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁSÏ+Á ¸¸ª¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ_ÎÏ+¿ÐuÑÔXÄÈ+ÄnäUÏÒÆÂ`ÏÒÁ Ü;S¿¿uÏÒÁ¹ ÀÏÅbñÏÒÁÎÏÒÁ½XÁ`Á<ÄÏ«EÅÆÎÏÒÑSÏÒÁS¿äUÏÒÀ¿Ïqê`Ü:ú!`ÑÔXÁ`ÎÀ»ÎÃOÏÒÀ»ÄÏÒÁ?ÈÒêÜjÅÂ`ÏÒÝ»Ý»ÀÏÒÆÏÒÁ\À¿Ä½XÝ¿ÅÏÒÑSÏÒÆÄÑSÏ+Å8ÆÏÒÄÀ¿uÐuÑê`ÁSÂÏ+¿¾¿uÏÒÀÏÒÀ»ÁSÏûÓ)ÏÒÄÑSÅÂ`Ï3ÎÏÒÁ½XÁSÁÄ1`ÂbÀÏ3é`Æu½XÃÄÀöÃ½8`ÝÏÒÆWÏÒÆ¿ÐuÑSÏÒÀ»ÁÄ9¹ ¸ ÀÏÒÆÈ+ê äUÏÒÆÂ`ÏÒÁ ÂbÀÏú!`ÑÔXÁ`ÎÀ»ÎÃOÏÒÀ»ÄÏÒÁg½XÝ¿ú!`ÑÔXÁ`ÎÀ»ÎÃÏÒÀ»ÄÏÒÁ)È+äÀ¿ÐuÑSÏÒÁ)Â`ÏÒÁgË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È0½XÑ`Ý»îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ýê`Á`ÎÏÒÁv`È+ä¹Â`ÏÒÁË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÒÁîÏÒÆÄuÏÒÀ»Ý»ê`ÁSÎÏÒÁJÂ`ÏÒÆÏÒÀ»Á`È9ÏÒÝ»ÁSÏÒÁL3ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁÏÒÁ ÜjÅÂ`ÏÒÝ»Ý»ÀÏÒÆÄ9¹ñË<ÏÒÀ

mäÀÏ+Â`ÏÒÆWÂbÀÏ

úÁ`È0½XÑ`ÝÂ`ÏÒÆ63ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁSÏÒÁ:;EñÏÒÆÂbÀÏl½XÎÎÆÏÒÎÀÏÒÆÄäUÏÒÆÂ`ÏÒÁJ¿ÅÝ»Ý¹• âQÆÈ9ÏÒê`ÎÏ

nË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È0½XÑ`Ý»îOÏÒÃÄÅÆuÏ²Á

(N(j)1 , . . . , N

(j)m ), j = 1, . . . , n

Â`ÏÒÆ!OÔXÁ`ÎÏmSÂ`Ï

ÆÏÒÁS½XÁSÂbîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎÏÒÁ'Â`ÏÒÁ N;`ÆjÂbÀÏ«ÐÏÒäUÏÒÀ»Ý»À»ÎÏc3ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁ'ÎÏ+¿ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÁàËbÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È0½XÑ`Ý»îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎÏÒÁ ÏÒÁÄ¿é`ÆuÏÒÐuÑÏ²Á¹ ÀÏ

mCÂbÀ»ÜjÏÒÁS¿ÀÅÁ½XÝÏ ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î?Â`Ï+¿«EÏÒÃÄÅÆu¿ äÀ»ÆÂ

Âbê`ÆÐuÑµÂ`À»ÏÎÏ+¿ÐuÑÔXÄÈ+ÄÏÒÁ:3½XÁSÂbîÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎÏÒÁGi

êSÁSÂ ÏÒÀ»ÁSÏåèUÅé`ê`Ý½CNñÏ+¿ÄÀ»ÜqÜåÄ1Â¹ Ñ¹

CN (G1(n1), . . . , Gm(nm)) = P (N1 ≤ n1, . . . , Nm ≤ nm),

äUÅbñÏÒÀNk ∼ Gk, k = 1, . . . , m

¹• ¼¾Ï+¿ÄÀ»ÜqÜjÏ

N (j) := maxmk=1 N

(j)k , j = 1, . . . , n

• âQÆÈ9ÏÒê`ÎÏ¾N;`Æj = 1, . . . , n

ÐÚÏÒäUÏÒÀ»Ý¿N (j) EÏÒÃ<ÄÅÆÏÒÁ Â`ÏÒÆ'OÔXÁ`ÎÏ m

ÜqÀ»ÄË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑïÑSÏÒÁÎÏÒÜnÔ8-eÏÒÀ»ÁSÏÒÆ3èUÅé`ê`Ý½

CXH

(X(j)1,1 , . . . , X

(j)m,1)¹¹¹

(X(j)

1,N(j) , . . . , X(j)

m,N(j)).àÀ»ÆÂ?ÂbÀÏ«=;`ÆlÂbÀÏkÄÏJ3ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁsÎÏ+¿ÐuÑÔXÄÈ+ÄÏË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÒÁîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»êSÁ`ÎJÜqÀ»Ä

FkñÏÒÈ9ÏÒÀÐuÑ`ÁSÏÒÄ19ñÏ+Â`ÏÒê`ÄÏÒÄÂbÀÏ+¿CX(F1(x1), . . . , Fm(xm)) = P (X

(j)1,i ≤ x1, . . . , X

(j)m,i ≤ xm),

i = 1, . . . N (j), j = 1, . . . , n.

• Í\;`ÆvÐÏ+Â`ÏûËÀ»Üåê`Ý½XÄÀÅÁj = 1, . . . , n

¿ê`ÜqÜqÀÏÒÆÏ<ÐÏÒäUÏÒÀ»Ý¿UÂ`À»Ï3ÏÒÆ¿ÄÏÒÁNk

Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÒÁê`Ü Â`ÏÒÁc ÏÒÆÝ»êS¿ÄWÂ`ÏÒÆ

kÄÏÒÁL3ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁJÈ+êµÏ²ÆÑ½XÝ»ÄÏÒÁ¹

L(j)k =

N(j)k∑

i=1

X(j)k,i

â ¿ Ã½XÁ`ÁjîOÅÆÃÅÜqÜjÏÒÁOÂS½¿¿EÏÒÀ»Á`À»ÎÏÂ`ÏÒÆE¿À»Üåê`Ý»ÀÏÒÆÄÏÒÁXk,i

Á`ÀÐuÑÄEÀ»ÁnÂbÀÏW¼¾ÏÒÆÏ+ÐuÑ`Áê`Á`Î Â`Ï+¿EÏÒÆÝ»êS¿ÄÏ+¿ÜqÀ»ÄÏÒÀ»ÁBñÏÒÈ9ÅÎOÏÒÁµä¾ÏÒÆÂ`ÏÒÁ¹Sâ ¿WÎÀ»Ý»Ä1H

Xk,i ∼ Fk, k = 1, . . . , mê`ÁSÂµ½XÝ»ÝÏ

i¹

ÊOÌ


• âQÀ»Á ¿À»Üåê`Ý»ÀÏÒÆÄÏÒÆ'\Ï²ÆÄ¾Â`Ï+¿*ûÏ+¿u½XÜåÄîÏÒÆÝ»êS¿ÄÏ+¿W;EñÏÒÆW½XÝ»ÝÏ¾3ÅÜ`À»Á½XÄÀÅÁSÏÒÁk = 1, . . . , mÏÒÆÎÀ`ÄL¿ÀÐuÑÜqÀ»Ä ¸ À»Ý%Ï Â`ÏÒÆÍÅÆÜjÏÒÝ[ÚºÒÊBÒ¹ ÀÏ

n¿À»Üåê`Ý»ÀÏÒÆÄÏÒÁ«*Ï+¿u½XÜåÄîÏÒÆÝ»êS¿ÄäUÏÒÆÄÏN;`Ñ`ÆÏÒÁ

½XêQÏÒÀ»ÁSÏÏÒÜqé`À»ÆÀ¿ÐuÑSÏ, ÏÒÆÄuÏ²À»Ý»ê`Á`ÎeÂ`Ï+¿4*ûÏ+¿u½XÜåÄîOÏÒÆÝ»êS¿ÄÏ+¿9¹

É/´ÀÆÚ©+H?Ä((¡2¯¦lÃÁ\Â`À»Ï+¿uÏÒÜä¨V½XÆu½XÎÆu½Xé`ÑSÏ+ÁùäÀ»ÆÂ\ÂbÀÏJ ÅÆÎÏÒÑSÏÒÁS¿äUÏÒÀ¿ÏnÈ+ê`Æ Ë<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`ÎgÂ`ÏÒÆDEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎÏÒÁ ½XÁÑ½XÁSÂà¿À»Üåê`Ý»ÀÏÒÆÄÏÒÆ ½XÄÏÒÁ'îOÏÒÆÂ`ÏÒê`ÄÝ»ÀÐuÑÄ9¹ ÀÏ+¿©`À»ÝÂ`ÏÒÄ_ÂbÀÏ_*ûÆê`ÁSÂbÝ½XÎÏLN;`Æ_ÏÒÀ»ÁSÏJ¿éÔXÄÏÒÆÏgË<ÀÜåê`Ý½XÄÀÅÁ.Â`ÏÒÆÊf*ûÏ+¿u½XÜåÄîOÏÒÆÝ»êS¿ÄîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎS¹ ÀÏ ½XÄÏÒÁ äê`ÆÂ`ÏÒÁ ÜqÀ»ÄÄuÏ²Ý¿ ÂSÏ²ÆÀ»ÜæúÁ`Ñ½XÁ`ÎîOÅÆÝ»ÀÏÒÎÏÒÁSÂ`ÏÒÁJÍSê`Á`Ã<ÄÀÅÁµÏÒÆÈ9ÏÒê`ÎÄWê`ÁSÂñÏ9½XÆ)ñÏÒÀ»ÄÏÒÄ9¹*ÏÒÑÄÜn½XÁ îOÅÁ ÏÒÀ»ÁSÏÒÆ!¨ÅÀ¿¿ÅÁfEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Î@=;`ÆWÂbÀÏÓ)ÅÂ`ÏÒÝ»Ý»ÀÏÒÆê`Á`ÎeÂ`ÏÒÆ3Ë<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È0½XÑ`Ý½XêS¿`¿ÅÏÒÆÎÀ`Ä¿ÀÐuÑgÂ`ÏÒÆÓ:OâøÂ`Ï+¿¾ÁÄÏÒÁS¿À»ÄuÔXÄ¿é½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ¿l½XÝ¿ûÓJÀ»ÄÄÏÒÝ»äUÏÒÆÄÂ`ÏÒÆû¼¾Ï+Åb½ÐuÑÄê`Á`ÎÏÒÁ¹âE¿äê`ÆÂSÏnîOÅÁs¿À»Üåê`Ý»ÀÏÒÆÄÏÒÁùÜjÅÁ½XÄÝ»ÀÐuÑSÏÒÁ ½XÄÏÒÁ³;EñÏÒÆ ÏÒÀ»ÁSÏÒÁ 2ñÏÒÀ»ÄÆu½Xê`ÜÉîÅÁ ÌL¬O½XÑ`ÆÏÒÁ ½XêS¿ÎÏÎO½XÁ`ÎÏÒÁê`Ü ÂbÀÏq¼½¿À¿Â`ÏÒÆåË<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`ÎJÂ`ÏÒÆÜjÅÁ½XÄÝ»ÀÐuÑSÏÒÁ³¨ÅÀ¿¿uÅÁf ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎµÈ+ê?ÏÒÆÑSïÑSÏÒÁ¹ ÏÒÆUÏÒÆÜqÀ»ÄÄÏÒÝ»ÄÏÜjÅÁ½XÄÝ»ÀÐuÑSÏ¾CÁÄÏÒÁS¿À»ÄuÔXÄ¿é½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆ¾äê`ÆÂ`Ï3½XÁS¿ÐuÑ`Ý»ÀÏ7-ÏÒÁSÂ½XêEÏÒÀ»Á¿¬O½XÑ`ÆUÑSÅÐuÑ¿Ã½XÝ»ÀÏÒÆÄ9¹HË<ÅÜqÀ»ÄÏÒÆÎO½8µ¿ÀÐuÑ ÏÒÀ»ÁLÁÄÏÒÁS¿À»ÄuÔXÄ¿é½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆîÅÁ?º9¸bº9Öb¹¡ÌÌÌ¹

0 500 1000 1500

500

1000

1500

2000

2500

3000

Threshold

Mea

n E

xces

s

ú6E`À»ÝÂbê`ÁSÎe¸HSÓJÏ9½XÁµâVã`Ð+Ï+¿¿¨QÝÅÄ

¼¾ÏÒÀLÂ`ÏÒÆûË<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`Î_Â`ÏÒÆûË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑïÑSÏÒÁîÏÒÆÄÏ+À»Ý»ê`Á`Îäê`ÆÂSÏ ½XÝ»¿ÏÒÆ¿ÄÏ+¿ÏÒÀ»ÁJÓJÏ9½XÁJÏ²ã`Ð+ÏÒ¿u¿6¨QÝÅÄÂ`ÏÒÆ ½XÄÏÒÁ Âbê`ÆÐuÑ`ÎÏ=;`Ñ`ÆÄ9¹8àÀÏEÜn½XÁ À»Á ú!E`À»ÝÂbê`Á`Î¸¿ÀÏÒÑÄ1kÝÔ¿¿Ä¿ÀÐuÑ ÅbñÏÒÆÑ½XÝqÂ`ÏÒÆ Ë<ÐuÑä¾Ï²Ý»ÝÏu = 1000

ÏÒÀ»ÁSÏ$*ûÏÒÆu½Â`ÏÜqÀ»Ä éñÅ¿À»ÄÀ»îOÏÒÆJËÄÏÒÀ»Îê`Á`Î ÏÒÆÃÏÒÁ`ÁSÏÒÁ¹ ÏÒÆ Ó)âË¨ À¿Ä ¿ÏÒÑ`Æ ¿uÏÒÁ`À»ÄÀ»îÎÏÒÎÏÒÁB;EñÏÒÆ< ÏÒÆuÔXÁSÂ`ÏÒÆê`Á`ÎÏÒÁeÂ`ÏÒÆEË<ÐuÑä¾Ï²Ý»ÝÏ

uê`ÁSÂq¿ÅÝ»Ý»ÄÏUÁê`Æ ÏÒÀ»ÁSÏÏÒÆ¿ÄÏâQÀ»ÁS¿ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`ÎlÝ»ÀÏMÏÒÆÁ¹

â À»ÁSÏgÎÏÒÁ½XêSÏÒÆÏ$ÁÄuÏ²Æu¿êSÐuÑê`Á`ÎFÈ+ê`Æs½XÑ`ÝÂ`ÏÒÆJË<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏÀ¿Äµ½Xê!ÐÏ+Â`ÏÒÜ ÍH½XÝ»ÝÏÒÆÅÆÂ`ÏÒÆÝ»ÀÐuÑîOÏÒÆÎÝÏÒÀÐuÑSÏ èÑ½XéñÏÒÝ»ÝÏlÏÒÄ½XÝ¹vM¸ëëXÊBñË<ÏÒÀ»ÄÏjº9¸?ÍV¹q²¹â À»Á`À»ÎÏeâ ÆÎÏ7`Á`À¿¿Ï_Â`ÏÒÆåÍSê`Á`Ã<ÄÀÅÁtÛÜ!ÝÞ[ÂbÀÏeÂbÀÏeÓ)½kãbÀ»Üåê`Ü«yOÀ»ÃOÏÒÝ»À»ÑSÅÅÂFË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆN;`ÆåÂ`ÏÒÁ*Ï+¿Äu½XÝ»Ä¿ ê`ÁSÂ Â`ÏÒÁËÃ½XÝÏÒÁ`é½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆcñÏÒÀ3îOÅÆÎÏÒÎÏ7ñÏÒÁSÏÒÆJË<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏ

uñÏÒÆÏ+ÐuÑ`ÁSÏÒÄ1¿À»ÁSÂàÀ»Á

ÊÊ

ÓÕÔ ~zÿ|9~0~özÿwEO|ÇykwS|Çy<&½8ñÏÒÝ»ÝÏ ÌJÏÒÁÄÑ½XÝ»ÄÏÒÁ¹ ¸ ÀÏÒÆ)ñÏÒÀWñÏÒÈ+ÏÒÀÐuÑ`ÁSÏÒÄ

NuÂbÀÏúÁ`È0½XÑ`ÝÂ`ÏÒÆq¼¾Ï+Åb½ÐuÑÄê`Á`ÎÏÒÁFÅbñÏÒÆÑ½XÝ

Â`ÏÒÆûË<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏu½XêEQÂ`ÏÒÁSÏÒÁJÂbÀÏ Ë<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`Î_Â`ÏÒÆ!¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆûÂ`ÏÒÆWîOÏÒÆu½XÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁSÏÒÆÄÏÒÁ_¨V½XÆÏÒÄÅ8

EÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎF½¿ÀÏÒÆÄ9¹Lâ ¿ ¿ÏÒÀ<ñÏÒÜjÏÒÆÃÄ1ÂS½¿¿åÂS½¿lÁê`ÜjÏÒÆÀ¿uÐuÑSÏJEÏÒÆ½XÑ`ÆÏÒÁÜqÀ»ÄåÂ`ÏÒÜ ÂbÀÏeÓFOË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆ!ñÏÒÆÏ+ÐuÑ`ÁSÏÒÄäUÏÒÆÂ`ÏÒÁJÀ»ÁµÂ`ÏÒÁJÍQÔXÝ»ÝÏÒÁ

u = 1032, 1040ê`ÁSÂ

1050Á`ÀÐuÑÄÂbê`ÆÐuÑ=;`Ñ`Æ)½XÆ

À¿Ä9¹ECÜ ÍSÅÝ»ÎÏÒÁSÂ`ÏÒÁµäÀ»ÆÂ ÂbÀÏåË<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏu = 113

½XÁ`ÎÏÒÁSÅÜqÜjÏÒÁ¹

u Nu ξMLE σMLE

º9ëbº9Ö ÎÖ º¹¡ÌÌá º9¸b¹¡ßÌÌº9ëbº9Ì Îß º¹»º9Ö¸ º9òb¹¡Ì¸áº9ëÌbº Ì±Î º¹qÎÖ ¸ëb¹¡ëßº9ëëë Îá ëb¹qÎ¸±ÎÌ Ìáb¹¡ÖÌá±Îá±Îë ßbº ëb¹ ÊOábºº ßëb¹¡ÌÌòß

&½8ñÏÒÝ»ÝÏåÌHË<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`ÎÏÒÁJÈ+ê îÏÒÆ¿ÐuÑ`ÀÏ+Â`ÏÒÁSÏÒÁgË<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏÒÁ¹¼ ê`Á Ã½XÁ`Á Ün½XÁqÂbÀÏW¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆEÂ`ÏÒÆ]ñÏ+ÂbÀ»Á`ÎÄÏÒÁ@OÅÎÁSÅÆÜn½XÝ»îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ýê`Á`Îl¿ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÁÀ»ÁSÂ`ÏÒÜ Ün½XÁÂbÀÏåÓg½kã<À»Üåê`Ü«yOÀ»ÃÏÒÝ»À»ÑSÅÅÂgÓ)ÏÒÄÑSÅÂ`Ï ½XêEÂbÀÏ,ñÏ+ÂbÀ»Á`ÎÄÏ ÀÐuÑÄÏäÀÏå¿ÀÏå½XêUË<ÏÒÀ»ÄÏ ¸±În½XÁ`ÎÏÎÏ7ñÏÒÁ À¿Ä1`½XÁä¾ÏÒÁSÂ`ÏÒÄ9¹ ¸ ÀÏÒÆÈ+ê äê`ÆÂ`ÏÂbÀÏÍSê`Á`ÃÄÀÅÁ~Ûxß&Þàßá&ÞâJñÏÒÁê`ÄÈ+Ä9¹HËÀÏÏ²ÆÜjïÎÝöÀÐuÑ<ÄÂbÀÏÓg½kãbÀ»ÜqÀÏÒÆê`Á`ÎnÂ`ÏÒÆÂbê`ÆÐuÑJÂbÀÏ";EñÏÒÆÎÏ7ñÏÒÁSÏ ÀÐuÑÄÏ"ñÏ+¿ÄÀ»ÜqÜåÄuÏ,OÀöÃOÏÒÝ»À»ÑSÅÅÂKCÍSê`Á`Ã<ÄÀÅÁ¹HúÝ»Ý»ÏÒÆÂbÀ»Á`Î¿VÜåêS¿¿Ün½XÁ îOÅÁ ÏÒÀ»Á`À»ÎÏÒÁqúêS¿Á½XÑ`ÜjÏÒÁj½8`ÎÏ+¿ÏÒÑSÏÒÁq¿ÄÏÒÄ¿QËÄu½XÆÄä¾ÏÒÆÄÏ¾Â`ÏÒÆVÈ+ê ¿ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÁSÂ`ÏÒÁ¨Q½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆW;EñÏÒÆÎÏ7ñÏÒÁbÂbÀÏ6N;`ÆUÂS½¿IÄÏÒÆu½XÄÀÅÁS¿îOÏÒÆM½XÑSÆÏÒÁ_ÎÏ7`Æu½XêSÐuÑÄ¾äUÏÒÆÂ`ÏÒÁ¹ ÀÏ+¿Ïäê`ÆÂ`ÏÒÁÂbê`ÆÐuÑsÂbÀÏjÓ)ÅÜjÏÒÁÄÏÒÁ`ÜjÏÒÄÑSÅÂSÏJñÏÒÆÏ+ÐuÑ`ÁSÏÒÄ ½XÝ¿

mls = 5.040625ê`ÁSÂ

sdls = 0.9838013¹

âE¿VÀ¿ÄQÈ+êñÏ+½ÐuÑ<ÄÏÒÁÂS½¿¿VÁê`Æ ÂbÀÏ ½XÄÏÒÁqê`ÁÄÏÒÆÑ½XÝeÂ`ÏÒÆË<ÐuÑäUÏÒÝ»ÝÏu = 1013

È+ê`Æ/*ÏÒäÀ»Á`Áê`Á`ÎÂ`ÏÒÆ ËÄu½XÆÄäUÏÒÆÄÏê`ÁSÂåúÁ`é½¿¿ê`Á`ÎÂ`ÏÒÆ¦ñÏ+ÂbÀ»Á`ÎÄÏÒÁOÅÎÁSÅÆÜn½XÝ»îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ýê`Á`Î¾ñÏÒÁê`ÄÈ+Ääê`ÆÂ`ÏÒÁ¹Ë<Å8ÜqÀ»ÄWÏÒÆÎO½8µ¿ÀÐuÑ¿=;`ÆÂbÀÏÓ:OsË<ÐuÑÔXÄÈ9ÏÒÆÂ`ÏÒÆ¨V½XÆu½XÜjÏÒÄÏÒÆÂ`ÏÒÆ'ñÏ+ÂbÀ»Á`ÎÄÏÒÁLOÅÎÁSÅÆÜn½XÝ»îÏÒÆÄÏ+À»Ý»ê`ÁSÎml = 5.08909442, sdl = 1.44464534

¹

É/«ª Á(l§Ç£ÓJÀ»Ä Â`ÏÒÆGEÏÒÆu½8S¿ÐuÑ`ÀÏ+Âbê`Á`Î Â`Ï+¿ ¼½¿ÏÒÝ")nú6`ÃOÅÜqÜjÏÒÁS¿ À¿ÄÂSÏ²Æ ¼¾Ï+ÂS½XÆ ½XÁU ÏÒÆ½XÑ`ÆÏÒÁ È+ê`Æ¼¾Ï+¿ÄÀ»ÜqÜåê`Á`ÎlÂ`ÏÒÆ âQÀ»ÎÏÒÁ`Ã½Xé`À»Äu½XÝ»ÑSÀ»ÁÄÏ+ÆÝÏÒÎêSÁ`ÎÎÏ+¿ÄÀÏÒÎÏÒÁqê`ÁSÂ ÜqÀ»Ä Â`ÏÒÆQÏ²ãbé`Ý»À»È+À»ÄÏÒÁjâQÆäÔXÑ`Áê`Á`ÎÅéñÏÒÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏÒÆ!À¿À»ÃOÏÒÁÀ»ÁS¿)ñÏ+¿uÅÁSÂ`ÏÒÆÏl½XêQÂbÀÏ+¿ÏÒÜ¶*ûÏ7`ÀÏÒÄ9¹ ÀÏeîOÅÆÝ»ÀÏÒÎÏÒÁSÂ`ÏúÆ)ñÏÒÀ»Ä ¿ÅÝ»Ý»ÄÏ_ÏÒÀ»ÁSÏÒÁ Ó)ÏÒÄÑSÅÂ`ÏÒÁB;EñÏÒÆ)`Ý»ÀÐÇÃsÈ+ê`Æ@.ê½XÁÄÀ%0SÈ+ÀÏÒÆê`ÁSÎîÅÁ ÅéñÏÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏÒÁÕWÀ¿À»ÃÏÒÁFÎÏ7ñÏÒÁ'ê`ÁSÂ ÏÒÀ»Á'¿Äu½XÄÀ»¿ÄÀ¿ÐuÑSÏ+¿eÓJÅÂ`ÏÒÝ»Ýû½XêÈ9ÏÒÀ»ÎÏÒÁEäUÏÒÝÐuÑSÏ+¿½XêÏÒÀ»ÁSÏÒÜîOÏÒÆ¿ÀÐuÑSÏÒÆê`Á`Î¿Ün½XÄÑSÏÒÜn½XÄÀ¿ÐuÑSÏ+ÁU*3ÆêSÁSÂ`¿ÄÏÒÀ»ÁSñÏÒÆê`ÑSÏÒÁSÂ'ÏÒÀ»ÁSÏ ¿ÅÝÐuÑSÏµÓ)Ï+¿¿ê`Á`Î\ÏÒÆÜjïÎÝ»ÀÐuÑÄ9¹ ÏÒÆWË<ÐuÑäUÏÒÆé`ê`Á`Ã<ÄÂ`ÏÒÆ½XÁ`ÎÏ+¿é`ÆÅÐuÑSÏÒÁSÏÒÁ ú3¿éñÏÒÃ<ÄÏÝ½XÎq½XêLÂ`ÏÒÆ¾Ó)ÅÂ`ÏÒÝ»Ý»ÀÏÒÆê`Á`ÎqÂ`ÏÒÆWËbÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÒÁîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎS¹

ÊOÖ

ÓÕÔ ~zÿ|9~0~özÿwEO|ÇykwS|Çy<¼¾ÏÒÀ Â`ÏÒÆ ¸ ½XÁSÂbÑ½8`ê`Á`ÎµÅéñÏÒÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏÒÆWÀ¿ÀöÃOÏÒÁ¿ÐuÑSÏÒÀ»ÁSÏÒÁÈ+äUÏÒÀ/*ûÏ+¿À»ÐuÑ<Ä¿é`ê`Á`ÃÄuÏ îOÅÁ_ñÏ+¿ÅÁÂ`ÏÒÆÏÒÜ CÁÄÏÒÆÏ+¿u¿ÏHQÂS½¿núêÄÆÏÒÄÏÒÁ Ï²ã<ÄÆÏÒÜjÏÒÆË<ÐuÑÔÂ`ÏÒÁ ê`ÁSÂFÂbÀÏ ½XÄÏÒÁ`Ý½XÎÏ¹âQÆ¿ÄÏÒÆÏ+¿jÃ½XÁ`ÁÜn½XÁ Âbê`ÆÐuÑ &LÏ+ÐuÑ`Á`À»ÃÏÒÁFÂ`ÏÒÆ âVãbÄÆÏÒÜåäUÏÒÆÄÄÑSÏ9ÅÆÀÏñÏÒä¾ÔXÝ»ÄÀ»ÎÏÒÁ¹Q¼¾ÏÒÀ¾Â`ÏÒÆqúÁ½XÝA<¿Ï_Â`ÏÒÆnË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÒÁµäê`ÆÂ`ÏåÂS½¿63ÅÁ`È9ÏÒé`Ä3ÏÒÀ»ÁSÏÒÆÈ+êS¿u½XÜqÜjÏÒÁ`ÎÏ+¿ÏÒÄÈ+ÄÏÒÁFEÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`ÎJñÏÒÁê`ÄÈ+Ä9¹ ÀÏ"EÏÒÆäUÏÒÁSÂbêSÁ`ÎÏÒÀ»ÁSÏÒÆ Ã<Ý½¿¿À¿ÐuÑSÏÒÁ¯OÅÎÁSÅÆÜn½XÝ»îOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`ÁSÎ_N;`Æ ÂS½¿@2HÏÒÁ<ÄÆê`Ü Â`ÏÒÆ? ÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»ê`Á`Îgê`ÁSÂÏÒÀ»ÁSÏÒÆµîOÏÒÆu½XÝ»Ý»ÎÏÒÜjÏÒÀ»ÁSÏÒÆÄÏÒÁ»¨V½XÆÏÒÄÅ8f ÏÒÆÄÏÒÀ»Ýê`Á`ÎS=;`ÆµÂbÀÏ?ÍÝ½XÁ`ÃOÏÎÏÒä¾ÔXÑ`ÆÝÏÒÀ¿ÄÏÒÄ)ÏÒÀ»ÁSÏªñÏ+¿u¿ÏÒÆÏÓ)ÅÂ`ÏÒÝ»Ý»ÀÏÒÆê`Á`ÎàÂ`ÏÒÆgË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿ÑSïÑSÏÒÁîOÏÒÆÄÏÒÀ»Ý»êSÁ`ÎS¹4CÁÂ`ÏÒÆ:OÀ»ÄÏÒÆu½XÄê`ÆL0SÁSÂ`ÏÒÄµÜn½XÁ2½XêSÐuÑî<ÀÏÒÝÏÏÒÜqé`À»ÆÀ¿uÐuÑSÏ_ËÄêSÂbÀÏÒÁ\È+ê`ÆlúÁ½XÝAb¿ÏqÅéñÏÒÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏ+Æ?WÀ¿ÃOÏÒÁÜqÀ»Ä ¸ À»Ý%ÏjÂ`ÏÒÆlâVãbÄÆÏÒÜåäUÏÒÆÄÄÑSÏ+ÅbÆÀÏ¹âQÀ»Á`À»ÎÏnÂS½9îOÅÁ\¿À»ÁSÂsèÑ½XéñÏÒÝ»ÝÏnÏÒÄ ½XÝ¹<M¸ëëXÊB ÀèUÝ»ÏÒÜjÏÒÁÄuÏ1·8ÅÜn½XÁSÅM¸ëëXÊBûê`ÁSÂ\âQÜ«`ÆÏ+ÐuÑÄu¿·83½XêÜn½XÁ`Á·Ëb½XÜnÅÆÅÂbÁSÀ»Ä¿ÃKA»M¸ëë¸±²¹ ½¿¨QÆÅb`ÝÏÒÜ Â`ÏÒÆ ½XÄÏÒÁ`Ý½XÎÏÂS½¿¿¿`À¿ÑSÏÒÆÁê`Æ3äUÏÒÁ`À»ÎÏ ½XÄÏÒÁ)È+êgÅéñÏÒÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏÒÁÊÀ¿À»ÃÏÒÁJîOÅÆÝ»ÀÏÒÎÏÒÁñäê`ÆÂ`ÏåÁ`ÀÐuÑÄûäUÏÒÀ»ÄÏÒÆ½XêS¿ÎÏ=;`Ñ`ÆÄ1Ï7ñÏÒÁS¿uÅµäUÏÒÁ`À»Î)äWÀ»Ï_Â`Ï+¿¿ÏÒÁ ¼UÏÒäUÏÒÆÃb¿ÄÏÒÝ»Ý»À»Îê`Á`ÎS¹VâE¿ ¿ÏÒÀvÐÏ+Â`ÅÐuÑ ½XÁ`ÎÏÒÜjÏÒÆÃ<Ä1VÂS½¿¿ Ï+¿åäÀÐuÑÄÀ»ÎÀ¿Ä1HÏÒÀ»ÁSÏ ÏÒÁÄ¿é`ÆÏ+ÐuÑSÏÒÁSÂ`Ï À»ÁÄÏÒÆÁSÏ ½XÄÏÒÁB½XÁ`ÃµÈ+ê`Æ4EÏÒÆ=;`Îê`Á`Î_È+ê)Ñ½8ñÏÒÁÂS½eÏ+¿û¿ÀÐuÑ)ÎÏÒÆu½Â`ÏñÏÒÀÅéñÏÒÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏ+Á:À¿À»ÃÏÒÁ ÑÔXê0SÎnê`Ü ê`ÁÄuÏ²ÆÁSÏÒÑ`ÜjÏÒÁS¿¿éñÏÒÈ+À%0¿uÐuÑSÏDÀ¿À»ÃOÏÒÁÑ½XÁSÂ`ÏÒÝ»Ä9¹

ÊOò

w`xHykw

XW6

ãÀä ÁU¯\\¢£b%¤[Ä¯§+¯¦¥PÚ©®[l8¯\[Ã ¡¦Ä(¥å,Ä¥s£1ÄlNæC¯\[Ã&æA¯¦]¢£b¤lÄ(Ü ÍÅÝöÎÏÒÁSÂSÏ²ÁàÀ¿ÄeÂ`ÏÒÆG.êSÏÒÝ»ÝÐ+ÅÂ`Ï)ÏÒÀ»Á`À»ÎÏÒÆ_ÍSê`Á`Ã<ÄÀÅÁSÏÒÁ'ÎÏÒÎÏ7ñÏÒÁê`Ü ÂbÀÏgË<ÐuÑÔXÄÈ+ê`Á`ÎùÂ`ÏÒÆË<ÐuÑ½Â`ÏÒÁS¿È0½XÑ`Ý¾ê`ÁSÂÊÑSïÑSÏeÜqÀ»Ä ¸ À»Ý%MÏnÂ`ÏÒÆ ¿Äu½XÄÀ¿ÄÀ¿ÐuÑSÏÒÁFË<Å8Ää¾½XÆÏ¿YÂbê`ÆÐuÑ`È+ê=;`Ñ`ÆÏÒÁ¹\3ÀÏÒÝÏÁB;`ÄÈÒÝ»ÀÐuÑSÏlÍSê`Á`Ã<ÄÀÅÁSÏÒÁ È+êµÂbÀÏ+¿ÏÒÜ &¾ÑSÏÒÜn½«0SÁSÂ`ÏÒÄWÜn½XÁµ¿ÐuÑSÅÁ À»ÁL¨V½XÃÏÒÄÏÒÁJÏÒÁÄÑ½XÝ»ÄÏÒÁ¹çsèsé&êsë Þìíîï\àsðâ èsé&êsñ àð<îxáì ñê!òó ðâÞ!ðsß ò íîïìsô!õYâÜ!Ýsßáö-÷øù7úYûûüìÜ<ýô!õ7ýxð ñ îUö-ìüòñ ýsþà ñ ô!õú&ÿìÜ<ýâýGö ò ßá&Þ ò áö7üüç ð<îsð<âßð<âÞÕð!ßYî èsé&êsñ àð<îxá êê ðîá ñ ýsÜ ò ðeð!ßYî!ðâ ñ þïðá éYê îß&ÞÞsð<îsð<îÝ<ïîsÝ<â<ý ñòó ðâÞsð!ßçsò íîï ó ðâþíîàsðîýßYÞrðsß&îsð<â ðâÞsð!ß ò íîïÕÝþ!ðâ ê!ñò þÕðsß&îsð<â\â!ð é&ê Þsð<î è!éYê â ñ î sðç íîàð!ßYî!ð&ýÝ<þsð<âsð<îí ñ îÞß ò ð<âÞç!ñ î\þ!ð ñ!éYê Þ!ðù|à ñ ááàßðâïð<þî'ßááð ñò áßáÞsðeìíâ é ïsð<ïsðþ!ðî ð<âàsðîò ßYþâ ñ âUö;ð ó àü ç Ûâ#àxß<ð è ß7ýsí òñ Þ'ßÝîàð<â Ü'ßá èñ ýÜ ò ðô!õYÛíî é Þ'ßÝîwö ñ îìGù ñò Ü ê!ñ é ö-û;úfù³û!üùaýxð ñ î ò Ý<ïûUù;áà ò Ý<ï'úù;á é<ñò ð'úùá êsñ Üsð'úü ò ð<ÛÞsôxõ"! ò îsÝ<â<ý2ö ñò Ü ê!ñ$# ú&%wù4ýxð ñ î ò Ý<ïGùáà ò Ý<ïüâ'ß&ï ê Þ!ô!õ"! ò î!ÝâýGö ñò Ü êsñ# ÿ'%Gùaýð ñ î ò Ýïwù;áà ò Ý<ï'ü ç ðîÞxáÜâß éYê Þ#àð<â è!éYê ð òò ðíé ðîÞsð<âxá ñ ýÜ ò ðô!õkâ!ðÜwö)( ñ (Gù ñ îìüÛsÝâ öAß#ßYî ökú+* ñ îì'üü , ô!õûê ß ò ð ö , ô ò ðÛÞ.- ,/ â'ß&ï ê Þ'ü, ô!õYâ ò îsÝâýGöYúù4ýxð ñ î ò Ý<ïGùáà ò Ýïüé ðîÞsð<âxá ñ ýÜ ò ð # ß0%sô!õ ,1ð , Þâsðý'á ñ ýÜ ò ðô!õkâïÜàö ñ îìGù ò Ý é âßï ê ÞGù;á éñò ðUùá êsñ Ü!ð!üâ ñ îàíîß&Ûsô!õYâíîß&ÛUö ñ îì'üá ñ ýsÜ ò ðxú&ôxõ é ðîÞsðâá ñ ýÜ ò ð # â ñ îàíîßÛô ñò Ü êsñ# ÿ%%á ñ ýsÜ ò ðÿôxõð , Þâsð&ý+á ñ ýÜ ò ð # â ñ îàíîßÛ / ñò Ü êsñ# ÿ%%á ñ ýsÜ ò ðô!õ é öAá ñ ýÜ ò ðxúfùá ñ ýÜ ò ðÿ!üâ!ðáí ò Þsô!õ ò ßá&Þwö/á ñ ýÜ ò ð!á ñ ýÜ ò ðUù ñ îì ñ îìwù ñò Ü êsñ ñò Ü êsñ ù ò Ý<ïî!Ýâ é ö±ýxð ñ î ò Ýïwù;áà ò Ý<ïüù ò Ý é âß&ï ê Þ2ùá éñò ð'xá é<ñò ðUùá êsñ Üsð'xá ê!ñ Ü!ð!üâ!ðÞíâîUö³â!ðáí ò Þ'ü1ýsísôxõ2

ÊBÎ

w`xHykw

áàôxõú+2ñò Ü êsñò ô!õû$/úñò Ü êsñ âsô!õû$)á é ôxõú&ûá ê ôxõú+2î!ô!õúYûûûáß7ýô!õ Ü'ßá èñ ýÜ ò ð ö ñ îìîGù4ýxð ñ î ò Ý<ïýsíGùáà ò Ý<ï!áàGùá é<ñò ð'!á é ùá êsñ Üsð'xá ê üç àsðâ sñ ÞsðîýðÜ ò Ý<ÞUö/áß7ý43á ñ ýÜ ò ðxüçñ âÞ'ßYÞß<Ýî#àsðâ sñ Þsð<îò ô!õáßký53á ñ ýsÜ ò ð # áß7ý43á ñ ýÜ ò ðôxú&ûúY÷%ê ô!õáßký53á ñ ýsÜ ò ð # áß7ý43á ñ ýÜ ò ð / +úYûú&÷%çsè Þ ñ âÞ ð<âÞá é&êsë Þìíîï\Ûâ#àsðî î!ô!õ ò ð<îïÞ ê ö ò ü ç76 îì ñ<êsò àðâ98î!Ýâý ñò ðî8;:xðâÞ!ðý ò áô!õ7ýxð ñ îUö ò Ýïö ò üü çè!éYê!ë ÞìðâÛâýð ñ î ò Ýïáô!õá&íýGö\ö ò Ýïö ò üõ7ý ò áü=< ÿüáà ò á<ôxõ<á!âÞwö/á>ö³î+õúüü çè!éYê!ë ÞìsðâÛâáà ò Ýïç þsðàxß&îïÞ!ð?Ýïî!Ýâý ñòó ð<âÞ!ðsß ò íîïò ð<ÛÞsôxõ"! ò îsÝ<â<ý2ö-û$/úù;áßký53 ò Ý<ïîsÝ<â # ú"%wù;áßký53 ò Ý<ïîsÝ<â # ÿ%üâ'ß&ï ê Þ!ô!õ"! ò î!ÝâýGö-ûUùáß7ý53 ò Ýïî!Ýâ # ú&%Gùáß7ý53 ò Ýïî!Ýâ # ÿ'%üç ðîÞxáÜâß éYê Þ#àð<î:xðâÞsð<î#àð<â è ß7ýsí òñ Þß<Ýî ò ð<ÛÞGù%âßï ê ÞGùýð ñ î ò Ý<ïwùIáà ò Ý<ïç þsðàxß&îïÞ!ð ß éYê ÞsðÞâíî é àðîá<ôxõYÛíî é Þß<Ýîwö , ùý ò ùláà ò ü à ò î!ÝâýGö , ùý ò ùáà ò ü>°ö~Ü ò îsÝ<â<ý2ö³â'ß&ï ê ÞGùý ò ù;áà ò ü\õtÜ ò îsÝ<â<ý2ö ò ð<ÛÞ2ùaý ò ù;áà ò ü\ü1ç èsé&êsë Þìíîïò ßYþâ ñ âUö 6!èè ü ç Ûâ#àßð@íî Þß<Ýî#ÛßYÞàxßáÞâÛsô!õ&Ûxß&Þàxßá&ÞâUö ò ù¥Þâíî é àsðîxá ùlá&Þ ñ âÞ ò ßáÞUö±ý ò ý ò áùláà ò xáà ò ásüü

ÊOß

A~Çy<ÿ

B SX

ÀÏ©OÀ»ÄÏÒÆu½XÄê`Æu½XÁ`ÎO½bñÏÒÁ ¿À»ÁSÂs½XÝ»é`Ñ½8ñÏÒÄÀ¿ÐuÑùÁ½ÐuÑùÂ`ÏÒÁ ¼ ½XÜjÏÒÁùÂ`ÏÒÆåúê`ÄÅÆÏÒÁsÎÏ+ÅÆÂbÁSÏÒÄ9¹¼¾ÏÒÀÜjÏÒÑ`ÆÏÒÆÏÒÁ úê`ÄÅÆÏÒÁsäÀ»ÆÂsÁ½ÐuÑùÂ`ÏÒÜ ÏÒÆ¿ÄÏÒÁùúê`ÄÅÆå¿uÅÆÄÀÏÒÆÄ9¹¦ÁsÏÒÀ»Á`À»ÎÏÒÁùÍQÔXÝ»ÝÏÒÁsÀ¿ÄlÈ+ê$ñÏ½ÐuÑÄÏÒÁÂS½¿¿eÂS½¿nÏÒÁÄ¿é`ÆÏ+ÐuÑSÏÒÁSÂ`Ï ÅÃ<ê`ÜjÏÒÁÄnÀ»Ü ÁÄÏÒÆÁSÏÒÄnÝÏÒÀÐuÑÄeîÅÁ'Â`ÏÒÜÞÀ»Á'¼êSÐuÑMÅÆÜîOÅÆÝ»ÀÏÒÎÏÒÁSÂ`ÏÒÁ ÅÃ<ê`ÜjÏÒÁÄ½8äUÏÒÀÐuÑÄ9¹HËbÔXÜåÄÝ»ÀÐuÑSÏ,ÁÄÏÒÆÁSÏÒÄu½ÂbÆÏ+¿¿uÏÒÁ ê`ÁSÂOÀ»Á`Ãb¿WñÏÒÈ+ÀÏÒÑSÏÒÁJ¿ÀÐuÑ½XêQúê`ÎêS¿Ä¸ëëÖqê`ÁSÂÃOïÁ`ÁSÏÒÁµ¿ÀÐuÑ È+äÀ¿ÐuÑSÏÒÁ`È9ÏÒÀ»ÄÝ»ÀÐuÑJÎÏ9ÔXÁSÂ`ÏÒÆÄÑ½8ñÏÒÁ¹

Ø»º/Ù è3¹SúWÐÒÏÒÆ)SÀo ¹+&½¿ÐuÑSÏJM¸ëëÖ±HJÁ ÄÑSÏåèUÅÑSÏÒÆÏÒÁSÐ+ÏåÅ8QâVãbéñÏ+ÐÒÄÏ+Â)ËÑSÅÆÄ½XÝ»Ý¹9¬Åê`ÆÁ½XÝÅ8¼¾½XÁ`Ã<À»Á`Îe½XÁSÂ ÍÀ»Á½XÁSÐ+ÏEEÅÝ¹S¸áb¹ÑÄÄéHq··käääWÜ º¹ Ün½XÄÑSÏÒÜn½ÄÀ»Ã¹ ÄêÜåêÏÒÁSÐuÑÏÒÁ¹óÂ`Ï·kÜqÊB·XéñÏÒÆ¿·kÄu½¿ÐuÑSÏ·¿ÑSÅÆÄ½XÝ»Ý¹ éñÂ

Ø¡¸&Ù è3¹LúÝÏ²ãS½XÁSÂ`ÏÒÆM¸ëëÌ±HGJéñÏÒÆu½XÄÀÅÁ½XÝ'À¿ÃlHvÏÒÎê`Ý½XÄÀÅÁVúÁ½XÝA<¿À¿ ½XÁSÂùÓg½XÁ½XÎÏÒÜjÏÒÁÄ9¹º¹óúês¶¹ ¼ ÏÒäCÅÆÃlH`Í\& ¨QÆÏÒÁÄÀÐ+Ï ¸ ½XÝ»Ý¹

Ø¡Ì&Ùå¼¾½¿ÝÏÒÆúêS¿¿ÐuÑêS¿u¿!N;`Æ¼½XÁ`ÃOÏÒÁ½XêM¿ÀÐuÑÄ@HlÁÄÏÒÆÁ½XÄÀÅÁ½XÝÏ@3ÅÁîOÏÒÆÎÏÒÁ`ÈnÂ`ÏÒÆâ À»ÎÏÒÁ`Ã½Xé`À%Äu½XÝ»ÜjÏ+¿¿ê`Á`Îqê`ÁSÂ Â`ÏÒÆâ ÀöÎÏÒÁ`Ã½Xé`À»Äu½XÝ½XÁEÅÆÂ`Ï+Æê`Á`ÎOÏÒÁ ® ñÏÒÆu½XÆ)ñÏÒÀ»ÄÏÒÄÏ,½XÑ`ÜjÏÒÁîOÏÒÆÏÒÀ»ÁB½Æê`Á`Î++¬ê`Á`À¸ëëXÊS¹ÑÄÄéHq··käää¹ `À¿0¹óÅÆÎB·ké`ê+`Ý ·Ð7S¿9º9ë±ÎXÎÏÒÆ9¹ Ñ<ÄÜ

Ø ÊÙåúå¹SèÑ½XéñÏÒÝ»ÝÏC ¹SèÆu½XÜn½9* ¹ ¸ ;E`ÁSÏÒÆ1¬S¹ y¨V¹E¨ÏÒÄÏÒÆ¿DM¸ëëXÊBH`¼½¿ÏÒÝ(½E½XÁSÂ~JéñÏÒÆu½XÄÀÅÁ½XÝWÀ¿Ã©ICÜqé`Ý»ÀÐ9½XÄÀÅÁLMÅÆWÆÀ¿Ã_ÜjÏ9½¿ê`ÆÏÒÜjÏÒÁÄ½XÁSÂ Ün½XÁ½XÎÏÒÜjÏÒÁÄ3À»ÁµÄÑSÏ"0SÁ½XÁSÐÒÀ½XÝ¿Ï+ÐÒÄÅÆ9¹¼ ½XÄÀÅÁ½XÝL¼¾½XÁ`ÃÅ8Q¼¾ÏÒÝ»ÎÀ»ê`Üc`äUÅÆÃ<À»Á`Îjé½XéñÏÒÆÁSÅjÖbº¹

Ø¡Ö&Ùåúå¹`ÂS½jèUÅ¿Äu½ À½¿DM¸ëëXÊB7HHèUÅé`ê`Ý½CÁEÏÒÆÏÒÁSÐ+Ï4MÅÆWÍÀ»Á½XÁSÐ+Ïl½XÁSÂÁS¿ê`Æu½XÁSÐ+Ï¹ À¿¿9¹bÓg½ÄÑSÏÒÜn½XÄÀ¿ÐuÑSÏàÀ¿¿ÏÒÁS¿ÐuÑ½ÄÏÒÁâQÀÂbÎÏÒÁSï¿u¿À¿ÐuÑSÏ?&LÏ+ÐuÑ`Á`À¿ÐuÑSÏ ¸ ÅOÐuÑ¿ÐuÑê`ÝÏåâË& ¸ 2;`ÆÀÐuÑ¼ Æ9¹º9Ö¸ßÌb¹ÑÄÄéHq··XÏCÐ+ÅÝ»ÝÏ+ÐÒÄÀÅÁ¹óÏ+ÄÑB`À¹óÏÒÄÑ`ÈO¹óÐuÑ·¿ÑSÅ0äED9ÄsAéñÏ"FûÂbÀ¿¿nº3Á`ÆGF º9Ö¸ßÌ

Ø¡ò&Ùåúå¹ ÀeèÝÏÒÜjÏÒÁÄÏ è3¹"ÅÜn½XÁSÅ M¸ëëXÊBHÓ)Ï9½¿ê`ÆÀ»Á`Îó¨ÅÆÄMÅÝ»ÀÅUE½XÝ»êSÏ½XÄyÀ¿ÃØBA ½èUÅé`ê`Ý½Câ¾& ½¿Ï+Â'½Xé`é`ÆÅ½ÐuÑ¹IÁHRJéñÏÒÆu½XÄÀÅÁ½XÝ¾À»¿Ã Ó)ÅÂ`ÏÒÝ»Ý»À»Á`Î ½XÁSÂ'úÁ½XÝAb¿À¿9¹º¹úês¶¹+WÀ¿Ã_¼¾ÅÅÃ<¿Ë<ÏÒÀ»ÄÏjº9ßá¸ëòb¹ÑÄÄéHq··käää¹ ÎÝÅÆÀ½XÜ ê`ÁSÂbÀ¹¡ÅÆÎB·Xé`ÀÐ+¿ÆÏ+¿uÅê`ÆÐ+Ï+¿·½Â`ÐÒÆÊS¹óéñÂK

ØqÎYÙ ¸ ¹ ÆÏ+Ï+¿1/O ¹Â`Ï ¸ ½½XÁ¾Ëñ¹/Ï+¿Á`ÀÐuÃ M¸ëëë±7H ¸ Å0ä ÄÅ\Ün½XÃÏ)½ ¸ À»Ý»Ýé`ÝÅÄ9¹UúÁ`Á½XÝ¿_Å8ËÄu½XÄÀ¿ÄÀÐ+¿1EEÅÝ¹S¸ß ¼ Å`¹ºË<ÏÒÀ»ÄÏå¸ÖXÊb¸±ÎkÊS¹

Ø¡ß&ÙD ¹ ê`ÆÆÝÏÒÜn½XÁ`ú ¹ ¼ À»ÃÏÒÎÑB½XÝ»ÀfE&¹ÅÁSÐ9½XÝöÝ»À<M¸ëëë±HàÑ`ÀÐuÑµèUÅé`ê`Ý½ À¿UÄÑSÏûÆÀ»ÎÑÄÅÁSÏ"DäUÅÆÃÀ»Á`Îjé½XéñÏÒÆ1[*3ÆÅê`éñÏÂ`Ï,Ð+ÐuÑSÏÒÆÐuÑSÏJé+ÐÒÆu½XÄÀÅÁSÏÒÝ»ÝÏèÆ-Ð+ÂbÀ»Ä6OAÅÁ`Á½XÀ¿SÍSÆu½XÁSÐ+Ï¹ÑÄÄéHq··kÎÆÅ`¹óÐÒÆÏ+Â`À»ÄÝAOÅÁ`Á½XÀ¿0¹ Æ·XÐ+ÅÁ<ÄÏÒÁÄ·Xäé·Ð+Åé`êSÝ½CÐuÑÅÀÐ+Ï¹ éÂK

Ø¡á&Ù¨¹<âQÜ`ÆÏ+ÐuÑÄ¿1Sè3¹B3ûÝ;`é`éñÏÒÝñÏÒÆÎ+E&¹ÓJÀ»ÃOÅ¿ÐuÑFÚº9áá±Î7H<ÓJÅÂ`ÏÒÝ»Ý»À»Á`ÎqâVãbÄÆÏÒÜn½XÝâQîOÏÒÁÄ¿9¹ñº¹úês¶¹ ¼ Ï²äHCÅÆÃ[HËé`ÆÀ»Á`ÎÏÒÆ9¹

ÊOá

A~Çy<ÿ

Ø»º9ë&Ù?¨¹UâQÜ`ÆÏ+ÐuÑÄ¿1Wå¹/3½XêÜn½XÁ`Á* ¹Ëb½XÜjÅÆÅÂbÁ`À»Ä¿ÃKAØM¸ëë¸±HIê`À»Á'ÄÑSÏ+ÅÆ)A ÆÏÒîÀ¿À»ÄÏ+Â(H¿ÄÅÐuÑ½¿ÄÀÐJÜjÅÂ`ÏÒÝ¿JMÅÆeÅéñÏÒÆu½XÄÀÅÁ½XÝûÆÀ¿Ã¹<ÁH/WÀ¿Ã Óg½XÁ½XÎÏÒÜjÏÒÁÄ©MÅÆèUÏÒÁÄÆu½XÝû¼¾½XÁ`ÃÍÅÆÏÒÀöÎÁÏ+¿ÏÒÆîOÏ+¿LâEÂ`¿9¹èû¹ ¼¾ÏÒÆÁ½Â`ÏÒÝ»Ý3ÏÒÄe½XÝ¹qqâQê`ÆÅéñÏ9½XÁøèUÏÒÁÄÆu½XÝ3¼½XÁ`Ã[EÍ`Æu½XÁSÃê`ÆÄ½b¹óÓs¹HË<ÏÒÀ»ÄÏl¸XÊOÌ¸òbº¹

Ø»ºº/Ù2¹ ¸ ½XÁãM¸ëëÌ±HúÐÒÄê½XÆÀ½XÝÓJÅÂ`ÏÒÝ»Ý»À»Á`Î Å8\âVãbÄÆÏÒÜn½XÝâQîÏÒÁÄ¿àêS¿À»Á`Î &Æu½XÁS¿MÅÆÜjÏ+Â*ûÏÒÁSÏÒÆu½XÝ»À»È9Ï+ÂµâVãbÄÆÏÒÜjÏ"½XÝ»êSÏ À¿ÄÆÀ`ê`ÄÀÅÁS¿½XÁSÂ:*Ï²ÁÏ²ÆÇ½XÝöÀ»È9Ï+Â:¨V½XÆÏÒÄÅ À¿ÄÆÀ`ê`ÄÀÅÁS¿9¹ÑÄÄéHq··käää¹ Ün½ÄÑ¹óÅÑSÀÅ8C¿Äu½XÄuÏ¹óÏ+Â`ê·kÑ`À¿ÄÅÆ)AE·kéSÑSÂ`¿·½8¿ÄÆu½ÐÒÄ¿·kéñÂKf· ¸ ½XÁ¹q2ñÑSÅÁ`Îã<À½XÁ¹óéñÂK

Ø»º9¸&Ù úå¹1¬S¹0ÓJÐ ¼ ÏÒÀ»Ýf1&¹kËb½XÝ½ÂbÀ»Á¿Úº9áá±ÎH&¾ÑSÏË¨Ï9½XÃb¿Å0îOÏÒÆv&¾Ñ`ÆÏ+¿ÑSÅÝÂ`¿LÓ)ÏÒÄÑSÅÂ¾MÅÆâ ¿ÄÀ»Ün½XÄÀ»Á`Î¸ À»ÎÑ .ê½XÁÄÀ»ÝÏ+¿ Å86OÅ¿¿ À¿ÄÆÀ`ê`ÄÀÅÁS¿9¹\¨ ÆÅÐ+Ï+ÏÒÂ`ÀöÁSÎ¿qÅ8¸ßXÄÑ¯ÁÄÏÒÆÁ½XÄÀÅÁ½XÝúûËK&' ¼èUÅÝ»ÝÅBOê`À»ê`Ü ¹ÑÄÄéHq··käää¹ Ün½ÄÑ¹óÏÒÄÑ`È¹óÐuÑ[· ∼ ÜjÐÒÁÏÒÀ»Ý ·Äé·XÐ9½À»ÆÁS¿9¹ éñÂØ»º9Ì&Ù?J ¹Ó)ÏÒÁ`ÃÏÒÁS¿¾M¸ëëÖ±H`èUÍsáëbº3âVãbÄÆÏÒÜjÏ!½XÝöêÏ!&¾ÑSÏ+ÅÆ)A_èèUÍVâ ú"· ÏÒé½XÆÄÜjÏÒÁÄ¾Å8Lâ Ð+Å8ÁSÅÜqÀÐ+¿6ÁSÀöîOÏÒÆ¿À»ÄsAÅ8Vâ ¿u¿Ï²ã¹ÑÄÄéHq··käää¹óÏ+¿¿uÏ²ã¹¡½Ð¹ ê`Ã+·XÐ+ÐMÏ9½±·èUÅê`Æ¿Ï+¿·èUÍQáë`º·ËéSÆÀ»Á`ÎI¸ëëÖ±·\Ï+ÏÒÃJIÌIÊB·èUÍIáëbºKIWÌb¹ éÂK

Ø»ºÒÊÙ?l¹ ¹lÏÒÀ¿¿1Ós¹l&¾ÑSÅÜn½¿JM¸ëëbºHLËÄu½XÄÀ¿ÄÀÐ9½XÝ úÁ½XÝAb¿À¿ûÅ8¾âVã<ÄÆÏÒÜjÏE½XÝ»êSÏ+¿0¹¸b¹úês¶¹¼UÏÒÆÝ»À»ÁH¼UÀöÆÃÑÔXêS¿ÏÒÆ9¹

Ø»º9Ö&Ù2¹9úå¹kËÄu½XÑSÏÒÝM¸ëë¸±HXËÄu½XÄÀ¿ÄÀ¿ÐuÑSÏ ½XÄÏÒÁ½XÁ½XÝAb¿Ï¹9ÊS¹9úês¶¹9¼UÆu½Xê`ÁS¿ÐuÑäUÏÒÀ»ÎB·àÀÏ+¿)½Â`ÏÒÁvHÀÏÒäUÏÒÎ@EÏÒÆÝ½XÎS¹

Ø»º9ò&ÙqËñ¹ ¹HËÀ»Ý»îOÏ7AªÚº9á±ÎÖ±HHËÄu½XÄÀ¿ÄÀÐ+½XÝ¦ÁÏÒÆÏÒÁSÐ+Ï¹+OÅÁSÂ`ÅÁHñèÑ½Xé`Ün½XÁ)½XÁSÂ ¸ ½XÝ»ÝvOÄÂ¹Ø»ºÎYÙ Ós¹ y¨¹[3ÀÐÒÄÅÆÀ½CÍÏ+¿ÏÒÆ@M¸ëëë±HlÅb`êS¿Ä À¿ÄÆÀ`ê`ÄÀÅÁâ ¿ÄÀ»Ün½XÄÀÅÁäÀ»ÄÑÓJÀ¿¿À»Á`Î ½XÄu½b¹

ú!!¨FÂbÀ¿ÐÒêS¿¿ÀÅÁ é½XéñÏÒÆ ¼ Å`¹SÖ±ÎKHËK&'ÚèUâ< EOË<âW¹ÑÄÄéHq··X¿ÄÀÐ+ÏÒÆÂ¹ Ý¿Ï¹¡½Ð¹ ê`Ã+·XÂbéS¿·XÂS½Æé· ú46¨EÖ±Îb¹ éñÂK

Öë

c:/dokumente und einstellungen/josseline bauer/eigene

Documents