c:/documents and settings/user/desktop/rel …Ðåñéå÷üìåíá 0.1 Ðñüëoãoò 5 1...

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÅÉÄÉÊÇ ÈÅÙÑÉÁ ÔÇÓÓ×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ

ÄçìÞôñçò Ð.Ê. Ãêßêáò

11 Öåâñïõáñßïõ 2008

ÄçìÞôñçò Ð.K. Ãêßêáò, ÔìÞìá ÖõóéêÞò, ÐáíåðéóôÞìéï Ðáôñþí 2

Ðåñéå÷üìåíá

0.1 Ðñüëoãoò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 TA ÐÅIÑÁÌÁÔIÊÁ ÄÅÄÏÌÅÍÁ. 71.1 AäñávåéáêÜ ÓõóôÞìáôá êáé Ìåôáó÷çìáôéóìoß ôoõ Ãáëéëáßoõ . . . . 7

1.1.1 Ç Ývvoéá ôoõ Áäñávåéáêoý ÓõóôÞìáôoò . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Ïé Ìåôáó÷çìáôéóìoß ôoõ Ãáëéëáßoõ . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 To Ðñüâëçìá ìå ôçv Ôá÷ýôçôá ôoõ Öùôüò . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1 Ç éäéáéôåñüôçôá ôoõ Çëåêôñoìáãvçôéóìoý . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2 ÐåéñÜìáôá ìÝôñçóçò ôçò ôá÷ýôçôáò ôoõ öùôüò . . . . . . . . . 12

1.2.3 Ôo Ðåßñáìá ôùv Michelson - Morley . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Ïé Áñ÷Ýò ôçò ÅéäéêÞò Èåùñßáò

ôçò Ó÷åôéêüôçôáò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1 Oé ÁñxÝò ôoõ Einstein êáé ôo Ðñüâëçìá ôçò

Ôáõôo÷ñovéêüôçôáò Äýo Ãåãovüôùv . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2 ÓõvÝðåéåò óôç ÌÝôñçóç ôoõ xñüvoõ êáé ôoõ xþñoõ . . . . . . . 16

2 Ï ÌÅÔÁÓXÇÌÁÔIÓÌÏÓ LORENTZ. 212.1 Ï Ìåôáó÷çìáôéóìüò Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Aìåóç Áðüäåéîç ìå ÂÜóç ôéò ÓõvÝðåéåò . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2 Ç ÃåvéêÞ ÌoñöÞ ôoõ Ìåôáó÷çìáôéóìoý Lorentz . . . . . . . . 23

2.2 Eðéðôþóåéò óôoõò Íüìoõò ôçò Ìç÷ávéêÞò . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1 Måôáó÷çìáôéóìüò Ôá÷õôÞôùv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.2 H Aváãêáéüôçôá Ãåvßêåõóçò ôùv Íüìùv ôoõ Íåýôùvá . . . . 26

2.2.3 Ç Ývvoéá ôçò Óõváëëoßùôçò Äéáôýðùóçò ôùv Íüìùv ôçò

ÖõóéêÞò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Ï ×ÙÑÏÓ MINKOWSKI. 333.1 Ç ÃåùìåôñéêÞ åéêüvá ôoõ Ìåôáó÷çìáôéóìoý Lorentz . . . . . . . . . . 33

3.1.1 ÓôñoöÝò óôo ÷þño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.2 O ×þñoò Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Ôåôñáäéávýóìáôá êáé Ìç÷ávéêÝò Ðoóüôçôåò . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.1 Tåôñáäéávýóìáôá êáé ÂáèìùôÜ ÌåãÝèç . . . . . . . . . . . . . 39

3

ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ

3.2.2 Tåôñáôá÷ýôçôá êáé ÔåôñáoñìÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.3 Ç Äýváìç Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 ÓÕÍÁËËÏIÙÔÇ ÄIÁÔÕÐÙÓÇ ÔÙÍ ÖÕÓIÊÙÍ ÍÏÌÙÍ. 454.1 Mç÷ávéêÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.1 ÃåvéêÜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.2 ÅöáñìoãÝò óôçv Êñoýóç Óùìáôßùv . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2 Hëåêôñoìáãíçôéóìüò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.1 ÃåvéêÜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.2 Ï Ìåôáó÷çìáôéóìüò ôùv Ðåäßùv . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.3 Óõváëëoßùôç Äéáôýðùóç ôoõ Çëåêôñoìáãvçôéóìoý . . . . . . 55

4.2.4 ÓõvÝðåéåò - ÅöáñìoãÝò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3 Êâáíôoìç÷áíéêÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3.1 Mç Ó÷åôéêéóôéêÞ Êâávôoìç÷ávéêÞ . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3.2 H Eîßóùóç Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3.3 Ç Åîßóùóç Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64


0.1. ÐÑÏËOÃOÓ

0.1 Ðñüëoãoò

ÇÅéäéêÞ Èåùñßá Ó÷åôéêüôçôáò (Å.È.Ó.) åßváé óÞìåñá ãéá ôçv ÖõóéêÞ ìéá oëoêëçñùìÝvç

èåùñßá, ìå ðëÞñç ðåéñáìáôéêÞ åðéâåâáßùóç. Áðoôåëåß óõìðëÞñùóç êáé åðÝêôáóç

ôçò ÊëáóéêÞò ÖõóéêÞò ùò ðñoò ôçv ðåñéãñáöÞ öáévoìÝvùv ðoõ åìðåñéÝ÷oõv êévÞóåéò

ìå ìåãÜëåò ôá÷ýôçôåò. ÅðéóôçìoëoãéêÜ ç Å.È.Ó. åßváé Ývá ðëáßóéo ðoõ âáóßæåôáé

óå äýo ìüvo áñ÷Ýò áðü ôéò oðoßåò óõvÜãovôáé vÝoé oñéóìoß èåìåëéáêþv êëáóéêþv

åvvoéþv üðùò ôoõ ÷ñüvoõ êáé ôoõ ÷þñoõ. ÔÝôoéåò êëáóéêÝò Ývvoéåò Ý÷oõv ðçãÜóåé

áðü ôçv êáèçìåñévÞ åìðåéñßá ôoõ ávèñþðoõ, åìðåéñßá ðoõ åßíáé Ýíá åßäoò ìÝôñçóçò

ìå ìåôñçôéêÜ üñãáíá ôá áéóèçôÞñéá üñãávÜ ôoõ, êáé ôéò êëáóéêÝò óõóêåõÝò ðoõ åßváé

ðñoóáñìoóìÝvåò ëåéôoõñãéêÜ ó’áõôÜ. Åôóé, Þôáv éóôoñéêÜ áváðüöåõêôo ôo ãåãovüò

ôçò ìç Üìåóçò áðoäo÷Þò ôçò Å.È.Ó. üôáv ðñoôÜèçêå áðü ôov Einstein ôo 1905. Ç Å.È.Ó.

åßváé ìßá èåùñßá äéáéóèçôéêÜ ôüóo ðáñÜäoîç, ðoõ ôá ðñþôá ÷ñüvéá ôçò åéóáãùãÞò ôçò

áðåôÝëåóå ávôéêåßìåvo öéëoóoöéêþv, êoévùvéêþv, áêüìç êáé ðoëéôéêþv ávôéèÝóåùv

ìå éäéáßôåño öáváôéóìü. Ç ìåãáëùóývç ôoõ Einstein Ýãêåéôáé óôo ãåãovüò üôé

ôüëìçóå vá åðávoéêoäoìÞóåé üëo ôo êëáóéêü ðëáßóéo ôçò ÖõóéêÞò ÷Üñév ôçò

îåêÜèáñçò ðåéñáìáôéêÞò Ýväåéîçò ôçò óôáèåñüôçôáò ôçò ôá÷ýôçôáò ôoõ öùôüò óå

üëá ôá áäñávåéáêÜ óõóôÞìáôá. Åßváé üðùò ãëáöõñÜ åßðå êÜðoéoò, óáv vá Ý÷oõìå Ývá

oéêoäüìçìá ôoõ oðoßoõ ìßá ðüñôá äåv ôáéñéÜæåé óôo Üvoéãìá ôoõ ôoß÷oõ êáé ávôß vá

îáváöôéÜîoõìå ôçv ðüñôá, ãêñåìßæoõìå üëo ôo oéêoäüìçìá êáé ôo îává÷ôßæoõìå Ýôóé

þóôå vá ôáéñéÜæåé óôçv ðüñôá, êáé óôçv óõvÝ÷åéá vá õðo÷ñåùèoýìå vá îáváöôéÜîoõìå

üëåò ôéò ðüñôåò êáé ôá ðáñÜèõñá ãéá vá ôáéñéÜæoõv óôo vÝo oéêoäüìçìá. ÊÜôé ôÝôoéo

åßváé êáé ç Å.È.Ó.: üëåò oé êëáóéêÝò Ývvoéåò ðñÝðåé vá îáváoñéóôoýv áðü ôçv

áñ÷Þ. Ç äõóêoëßá ôoõ vá êáôáëÜâåé êÜðoéoò ôçv Å.È.Ó. ðåñéoñßæåôáé êõñßùò óôo

ðñþôo áõôü óôÜäéo ôçò ãåvßêåõóçò ôùv åvvoéþv. Ôá ÌáèçìáôéêÜ åñãáëåßá ðoõ

÷ñçóéìoðoßçóå o Einstein óôéò ðñþôåò ôoõ åñãáóßåò åßváé åîáéñåôéêÜ áðëÜ, êé áõôü

ü÷é ãéáôß äåv åß÷å ìáèçìáôéêÝò ãvþóåéò, áëëÜ ãéáôß Þèåëå vá ìçv óõóêoôéóèoýv

oé óõëëoãéóìoß ôoõ ìå äýóêoëåò ìáèçìáôéêÝò Ývvoéåò. ÂÝâáéá, óôçv óõvÝ÷åéá

üôáv Ýðñåðå ðëÝov ç Å.È.Ó. vá åðåêôáèåß ó’üëç ôç ÖõóéêÞ êáé vá åöáñìoóôåß óå

ðoëýðëoêá öõóéêÜ ðñoâëÞìáôá, åéóÞ÷èçóáv êáôÜëëçëåò ìáèçìáôéêÝò äoìÝò üðùò

o ÷þñoò Minkowski, ôávõóôÝò ê.ë.ð.. ÐáñÜëëçëá ìå ôçv åðÝêôáóç ôçò Å.È.Ó. êáé

ôçv åêëÝðôõvóç ôùv ìáèçìáôéêþv ìåèüäùv o Einstein ðñoóðÜèçóå vá ãåvéêåýóåé

ôç èåùñßá ôoõ óå ìç-áäñávåéáêÜ óõóôÞìáôá. Ôüôå áváêÜëõøå üôé áváðüöåõêôá ç

âáñýôçôá ðñÝðåé vá ðáßæåé Ývá åvôåëþò éäéáßôåño ñüëo óôç ÖõóéêÞ. Åôóé ãåvvÞèçêå

ç ÃåvéêÞ Èåùñßá Óåôéêüôçôáò (Ã.È.Ó.) ðoõ âáóßæåôáé óôçv õðüèåóç üôé o îå÷ùñéóôüò

ñüëoò ôçò âáñýôçôáò åßváé vá äçìéoõñãåß êáìðõëüôçôá óôo ÷þño. Ç Ã.È.Ó. åßváé

Ývá èáõìÜóéo ìáèçìáôéêü äçìéoýñãçìá ðoõ óå ìåãÜëo âáèìü áðåéêovßæåé ôç öõóéêÞ

ðñáãìáôéêüôçôá. Åvôoýôoéò äåv Ý÷åé ôçv ðëçñüôçôá ôçò Å.È.Ó. êáé áõôü ü÷é ãéáôß

õðÜñ÷oõv ðåéñáìáôéêÝò åväåßîåéò ðoõ ôçv áváéñoýv áëëÜ ãéáôß äåv åßváé óõìâéâáóôÞ

ìå ôçv Üëëç åðÝêôáóç ôçò ÊëáóéêÞò ÖõóéêÞò, ôçv ÊâávôoìçávéêÞ. O óõväéáóìüò

ôçò ÅéäéêÞò Èåùñßáò ôçò Ó÷åôéêüôçôáò êáß ôçò ÊâávôoìçávéêÞò Ýäùóå ôéò óçìåñévÝò


ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ

èåùñßåò ôùv Óôoé÷åéùäþv Óùìáôßùv ìÝóá áðü ôçv ãëþóóá ôçò ÊâávôéêÞò Èåùñßáò

Ðåäßoõ. Ç Âáñýôçôá üìùò äåv åêöñÜæåôáé ìå ôÝôoéá ãëþóóá. Ç åvùðoßçóç üëùv ôùv

âáóéêþv áëëçåðéäñÜóåùv: éó÷õñþv, çëåêôñoìáãvçôéêþv, áóèåvþv êáé âáñõôéêþv

áðoôåëåß ôo âáóéêþôåño åñåõvçôéêü ðñüâëçìá ôçò ÈåìåëéáêÞò ÖõóéêÞò óÞìåñá. Ïé

ìüvåò èåùñßåò ðoõ êáô’áñ÷Þv äÝ÷ovôáé ôç Âáñýôçôá åßváé oé ëåãüìåvåò èåùñßåò

Õðåñ÷oñäþv ðoõ êé áõôÝò üìùò Ý÷oõv âáóéêÝò äõóêoëßåò. ÅêðáéäåõôéêÜ ç ðoñåßá

áðü ôçv ÅéäéêÞ Èåùñßá Óåôéêüôçôáò êáé ôçv ÊâávôéêÞ ÖõóéêÞ ìÝ÷ñé ôéò óçìåñévÝò

Èåùñßåò áðáéôåß ðoëëÜ åôÞóéá ìáèÞìáôá ðñoðôõ÷éáêoý êáé ìåôáðôõ÷éáêoý åðéðÝäoõ.

Óôo ìÜèçìá áõôü ôçò Èåùñßáò Óåôéêüôçôáò ìðoñåß vá öôÜóåé êávåßò ìÝ÷ñé ôçv äåéëÞ

åéóáãùãÞ ôçò ÃåvéêÞò Èåùñßáò Ó÷åôéêüôçôáò. Óôá ìáèÞìáôá áõôÜ èá äoèåß Ýìöáóç

êáé óôo åðéóôçìoëoãéêü ðëáßóéo ôçò ÅéäéêÞò Èåùñßáò Ó÷åôéêüôçôáò êáé óôçv

ðñáêôéêÞ åöáñìoãÞ ôçò. Åôóé èá ãßvåé êáé ávÜëõóç ôçò áváãêáéüôçôáò ãåvßêåõóçò

ôùv êëáóéêþv åvvoéþv êáé åöáñìoãÞ ôoõ ìåôáó÷çìáôéóìoý Lorentz êáé ôçò ìåèüäoõ

ôùv áváëëoéþôùv ðoóoôÞôùv óå ðñoâëÞìáôá óêÝäáóçò. Ãéá ôç ÃåvéêÞ Èåùñßá,

èá åéóá÷èoýv oé åîéóþóåéò ôoõ Einstein êáé èá ãßvoõv výîåéò ãéá ôéò êoóìoëoãéêÝò

åöáñìoãÝò.

1.


ÊåöÜëáéï 1

TA ÐÅIÑÁÌÁÔIÊÁ ÄÅÄÏÌÅÍÁÊÁI ÏI ÈÅÙÑÇÔIÊÅÓYÐÏÈÅÓÅIÓ TOÕ EINSTEIN

1.1 AäñávåéáêÜ ÓõóôÞìáôá êáé Ìåôáó÷çìáôéóìoß

ôoõ Ãáëéëáßoõ

1.1.1 Ç Ývvoéá ôoõ Áäñávåéáêoý ÓõóôÞìáôoò

Óå êÜèå ÅìðåéñéêÞ ÅðéóôÞìç ç óõóóþñåõóç ôùv äåäoìÝvùv ôùv ðáñáôçñÞóåùv

oäçãåß ðÜvôá óôçv ávÜãêç áváãùãÞò ôçò ðåñéå÷üìåvçò ðëçñoöoñßáò óå ëßãåò

Áñ÷Ýò ìå ôéò oðoßåò èåùñçôéêÜ åßváé äõváôÞ ç ávÜëõóÞ ôçò. ÁõôÝò oé Áñ÷Ýò

ëÝãovôáé vüìoé êáé ôo Èåùñçôéêü Ïéêoäüìçìá ðoõ êáôáóêåõÜæåôáé ëÝãåôáé Èåùñßá.

Ïé vüìoé åßváé ôo Ó÷Ýäéo ìå ôo oðoßo ÷ôßæåôáé ç èåùñßá (ôo oéêoäüìçìá). Ôo

Ïéêoäüìçìá üìùò ÷ñåéÜæåôáé õðüâáèño, êáé ôo õðüâáèño ãéá ôç èåùñßá åßváé oé

ÕðoèÝóåéò. Ïé ÕðoèÝóåéò åßváé ç äéáðéóôùìÝvç ávôßëçøç ôçò Öýóçò ôùv Åvvoéþv

ìå ôéò oðoßåò ðñùôoãåvþò o Ávèñùðoò ávôéëáìâÜvåôáé ôç ÖõóéêÞ ðñáãìáôéêüôçôá.

Ïé Íüìoé åßváé Ó÷Ýóåéò ìåôáîý ôùv åvvoéþv áõôþv. ÔÝôoéåò âáóéêÝò Ývvoéåò åßváé o

÷ñüvoò êáé o ÷þñoò. Ç åðéóôçìoëoãéêÞ åîÝëéîç ðoõ óõvåðÜãåôáé ç ÅéäéêÞ Èåùñßá

Ó÷åôéêüôçôáò åßváé áêñéâþò ç áëëáãÞ ôùv ÕðoèÝóåùv ãéá ôéò Ývvoéåò ôoõ ÷ñüvoõ

êáé ôoõ ÷þñoõ. Åðüìåvo ëoéðüv åßváé vá áëëÜîåé êáé ôo oéêoäüìçìá ãéá ôçv ÊëáóéêÞ

ÖõóéêÞ. IóôoñéêÜ ç áñ÷Þ ôçò óõóôçìáôéêÞò ávÜëõóçò ôùv ðåéñáìáôéêþv äåäoìÝvùv

êáé oñãÜvùóçò ôoõò óå Ývá ëoãéêü óývoëo Ýãévå áðü ôov Ãáëéëáßo (ã.1564). Ï

Ãáëéëáßoò îåêévþvôáò áðü ôç èåùñßá ôoõ ÊoðÝñvéêoõ ãéá ôçv êßvçóç ôçò Ãçò

oäçãÞèçêå óôçv õðüèåóç üôé êÜèå êßvçóç åßváé óõväéáóìüò äýo ðáñáãüvôùv

á) Åõèýãñáììçò êßvçóçò ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá.

â) Êßvçóç ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õvóç.

7

ÊÅÖÁËÁÉÏ 1. TA ÐÅIÑÁÌÁÔIÊÁ ÄÅÄÏÌÅÍÁ.

Ç áèþá öñÜóç "åõèýãñáììç êßvçóç ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá" åßváé ðoõ ðåñéÝ÷åé êáé

ôo êñßóçìo óçìåßo ôùv âáóéêþv áñ÷þv. Ãéá vá oñßóoõìå üôé ìßá êßvçóç åßváé

"åõèýãñáììç" ðñÝðåé vá ôçv óõãêñßvoõìå ìå êÜðoéá "åõèåßá áváöoñÜò" êáé ãéá vá

ðoýìå üôé Ýxåé "óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá" ðñÝðåé vá ìåôñÞóoõìå ôçv êßvçóç ìå êÜðoéo

"xñüvo áváöoñÜò". Ó÷åôéêÜ ìå ôo ðñþôo åñþôçìá áv ìßá êßvçóç åßváé åõèýãñáììç ùò

ðñoò ôo ôñáðÝæé ôoõ åñãáóôçñßoõ, ðñoöávþò äåv åßváé åõèýãñáììç áv ôç äoýìå áðü

Ývá óçìåßo Ýîù áðü ôç Ãç. Áðü Ývá ôÝôoéo óçìåßo âÝâáéá oýôå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá

èá Ý÷åé. ÅðoìÝvùò ðñÝðåé vá äoèåß óõìðëçñùìáôéêÜ êáé o oñéóìüò ôoõ óçìåßoõ

áváöoñÜò Ýôóé þóôå ç öñÜóç "åõèýãñáììç êßvçóç ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá" vá Ý÷åé

ìç ávôéöáôéêü åìðåéñéêü ðåñéåxüìåvo. Ôo âáóéêü áõôü åðéóôçìoëoãéêü åñþôçìá

ìåôáôñÜðçêå áðü ôo Ãáëéëáßo oõóéáóôéêÜ óå oñéóìü, óôov oñéóìü ôoõ ÁäñávåéáêoýÓõóôÞìáôoò. ÄçëáäÞ Ývá óýóôçìá åßváé Áäñávåéáêü üôáv Ývá óþìá÷ùñßò ôçv åðßäñáóç åîùôåñéêþv äõvÜìåùv åêôåëåß ó÷åôéêÜ ìå ôo óýóôçìááõôü åõèýãñáììç êßvçóç ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá. Åôóé âÝâáéá ôo ðñüâëçìáìåôáôoðßæåôáé åðéóôçìoëoãéêÜ óôo Åñþôçìá: Ðþò ìðoñoýìå vá äéáöoñoðoéÞóoõìå

Ývá áäñávåéáêü óýóôçìá áðü Ývá Üëëo: Ç áðÜvôçóç ôoõ Ãáëéëáßoõ Þôáv ôåëéêÞ :

Áðëþò äåv ìðoñoýìå. Áõôü ëÝãåôáé êáéÁîßùìá ôoõ Ãáëéëáßoõ, Þ Ó÷åôéêüôçôáôoõ Ãáëéëáßoõ. Ôo åñþôçìá üìùò îáváôÝèçêå Üìåóá ìå ôoõò vüìoõò ôoõ Íåýôùvá.Ï Äåýôåñoò Íüìoò ëÝåé üôé üôáv Ý÷oõìå åðéôÜ÷õvóç ôüôå õðÜñåé êÜðoéá äýváìç. Áv

äåv õðÜñ÷åé åîùôåñéêÞ äýváìç ôüôå Ývá óþìá èá êévåßôáé åõèýãñáììá ìå óôáèåñÞ

ôá÷ýôçôá, ó÷åôéêÜ ìå êÜðoéo áäñávåéáêü óýóôçìá. ÅðoìÝvùò áv äåv ìðoñoýìå vá

äéáðéóôþóoõìå ôçv ýðáñîç åîùôåñéêÞò äýváìçò êáé ôo óþìá åðéôá÷ývåôáé ôüôå ôo

óýóôçìÜ ìáò äåv åßváé áäñávåéáêü êáé o åöéÜëôçò îáváðáñoõóéÜæåôáé: Ó÷åôéêÜ ìåôé ôo óýóôçìá áváöoñÜò åðéôá÷ývåôáé; Ï Íåýôùv, ßóùò ìå ðëÞñç ávôßëçøç ôçòåðéóôçìoëoãéêÞò ávôßöáóçò, ìåôáôüðéóå ôo åñþôçìá ìå ôo vá åéóÜãåé ôéò Ývvoéåò

ôoõ Áðüëõôoõ ×ñüvoõ êáé Áðüëõôoõ ×þñoõ. Åßváé ðoëý ìáêñéÜ ç éóôoñßá ôùvöéëoóoöéêþv áváëýóåùv áõôþv ôùv åvvoéþv. Ç áðÜvôçóç êáé ôoõ Einstein Þôáv

ôåëéêÞ áëëÜ óå äýo åðßðåäá: Ðñþôov äÝ÷ôçêå óáv âáóéêÞ õðüèåóç üôé äåv õðÜñ÷åé

áðüëõôoò ÷ñüvoò êáé ÷þñoò (ÅéäéêÞ Èåùñßá ôçò Ó÷åôéêüôçôáò) êáé äåýôåñov ç ìç

áäñávåéáêüôçôá åvüò óõóôÞìáôoò êñßvåôáé ìå óýóôçìá áváöoñÜò ôoõò áðëávåßò

áóôÝñåò. Ôo ôåëåõôáßo ëÝãåôáé êáé Áñ÷Þ ôoõ Mach. Èá åðávÝëèoõìå óôéò áñ÷ÝòáõôÝò ðáñáêÜôù.

1.1.2 Ïé Ìåôáó÷çìáôéóìoß ôoõ Ãáëéëáßoõ

Å÷oõìå áðü ôo Áîßùìá ôoõ Ãáëéëáßoõ üôé äåv ìðoñoýìå vá äéáðéóôþóoõìå ðåéñáìáôéêÜ

ôç ó÷åôéêÞ êßvçóç äýo áäñávåéáêþv óõóôçìÜôùv. ÄçëáäÞ oé äõvÜìåéò ðoõ áóêoývôáé

óôá äýo áäñávåéáêÜ óõóôÞìáôá èá åßváé ßäéåò. ÅðoìÝvùò èá Ý÷oõìå

md2~r

dt2= m

d2~r′

dt′2(1.1)


1.1. AÄÑÁVÅÉÁÊÁ ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ ÊÁÉ ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌOÉ ÔOÕ ÃÁËÉËÁÉOÕ

Ó÷Þìá 1.1: ÌÝôñçóç ìçêþí óôçí ÊëáóéêÞ Ìç÷áíéêÞ

üðoõ (t, ~r), (t′, ~r′) oé óõvôåôáãìÝvåò óôá äýo óõóôÞìáôá áváöoñÜò Ó êáé Ó’. Áv ôáóõóôÞìáôá Ý÷oõv ðáñÜëëçëoõò Üîovåò êáé êévoývôáé ìå ó÷åôéêÞ ôá÷ýôçôá v ùò ðñoò

ôov Üîová ôùv x ôüôå ç ðáñáðÜvù éóüôçôá ôùv äõvÜìåùv èá éó÷ýåé áv êáé ìüvov áv

oé óõvôåôáãìÝvåò óõväÝovôáé ìå ôo ëåãüìåvo Ìåôáó÷çìáôéóìü ôoõ Ãáëéëáßoõ

x = x′ + vt′ , y = y′ , z = z′ , t = t′ (1.2)

H éó÷ýò ôoõ Ìåôáó÷çìáôéóìoý ôoõ Ãáëéëáßoõ åßváé èåìåëéáêÞ õðüèåóç ôçò ÊëáóéêÞò

ÖõóéêÞò. Åvôoýôoéò äéáðéóôþèçêå üôé ìüvo ç ÊëáóéêÞ Ìç÷ávéêÞ õðáêoýåé óôçv

(1.2). ÄçëáäÞ ìüvo ðåéñÜìáôá ìå êëáóéêÝò ìç÷ávéêÝò ðoóüôçôåò äßvoõv éóoäýváìá

áðoôÝëåóìáôá óôá áäñávåéáêÜ óõóôÞìáôá. Ïðùò èá äoýìå ôá ÇëåêôñoìáãvçôéêÜ

öáévüìåvá üðùò ðåñéãñÜöovôáé áðü ôéò åîéóþóåéò Maxwell äåv ìðoñoýv vá åßváé

áváëëoßùôá ùò ðñoò ôov ìåôáó÷çìáôéóìü (1.2). Ôo ðñüâëçìá óõväÝåôáé ìå

ôo åñþôçìá ôçò ó÷åôéêÞò ôá÷ýôçôáò ôùv óõóôçìÜôùv êáé ôçò ôá÷ýôçôáò ôùv

çëåêôñoìáãvçôéêþv êõìÜôùv. Ï ðñoâëçìáôéóìüò îåêévÜåé áðü ôçv óýãêñéóç ìåôáîý

çëåêôñoìáãvçôéêþv êáé áêoõóôéêþv êõìÜôùv. Ãé’áõôü ðñþôá èá áváëýóoõìå ôo

öáévüìåvo Dobbler ãéá ôov Ç÷o.

3. ÓõvÝðåéåò óôç äéÜäoóç ôoõ Ç÷oõ. (Öáévüìåvo Dobbler)

O Þ÷oò Ý÷åé ôá÷ýôçôá cη = 333m/sec ìÝóá óôov áÝñá. Ôá âáóéêÜ äåäoìÝvá åäþåßváé üôé o Þ÷oò ÷ñåéÜæåôáé Ývá õëéêü åëáóôéêü ìÝóo ãéá ôç äéÜäoóÞ ôoõ. Ç êëáóéêÞ

áõôÞ öõóéêÞ áðáßôçóç Ý÷åé óáv èåìåëéáêÞ (ðñoöávÞ) óõvÝðåéá üôé ç ôá÷ýôçôá ôoõ

Þ÷oõ Ý÷åé êÜðoéá äåäoìÝvç ôéìÞ óå ó÷Ýóç ìå áõôü ôo ìÝóo. Ïðùò èá äoýìå áõôÞ

áêñéâþò ç ßäéá óõó÷Ýôéóç ãéá ôo öùò Ýäùóå ôéò oõóéáóôéêÝò êëáóéêÝò ávôéöÜóåéò. Ôo

öáévüìåvo Dobbler ãéá ôá äýo áõôÜ êõìáôéêÜ öáévüìåvá, Þ÷o êáé öùò, äéáöoñoðoéåß

÷áñáêôçñéóôéêÜ ôo Ývá áðü ôo Üëëo.

Åóôù ðçãÞ Þ÷oõ áêßvçôç ùò ðñoò ôov áÝñá óôç èÝóç Ï. Åvá óöáéñéêü êýìáðáñáãüìåvo óôo Ï èá öèÜóåé óå áðüóôáóç 333m óå Ývá sec. Åóôù Ïá=333m, üðoõ ç

ìÝôñçóç ãßvåôáé ìå áêßvçôç ñÜâäo ìÝôñçóçò ÏÁ. Åóôù êévoýìåvç ñÜâäoò ìÝôñçóçò

Ï’Á’ ìå ôá÷ýôçôá v. Ùò ðñoò ôçv êévoýìåvç ñÜâäo ðñoöávþò ç ôá÷ýôçôá ôoõ Þ÷oõ

ôþñá èá åßváé cìåôñ = cη − v. Áv ç ñÜâäoò êévåßôáé êÜèåôá ç ìåôñoýìåvç ôá÷ýôçôá



èá åßváé cìåôñ. = (c2η − v2)1/2. ÊëáóéêÞ óõvÝðåéá áõôoý åßváé üôé ãvùñßæovôáò

ôo cìåôñ. ìðoñoýìå vá âñoýìå ôo v ôo oðoßo ÷áñáêôçñßæåé ôçv ó÷åôéêÞ êßvçóç ôçòñÜâäoõ ùò ðñoò ôo ìÝóo äéÜäoóçò ôoõ Þ÷oõ.

Åóôù ôþñá üôé ç ðçãÞ åêðÝìðåé êýìáôá óõ÷vüôçôáò νπ (ν-ðçãÞò). Ôá ðõêvþìáôáôoõ Þ÷oõ áðÝ÷oõv êáôÜ λo = cη/νπ , êáé Ýváò áêßvçôoò ðáñáôçñçôÞò èá ìåôñÜåé

óõ÷vüôçôá νµ (ν-ìÝôñçóçò), νµ = cη/λo = νπ .

Åóôù üôé o ðáñáôçñçôÞò êévåßôáé ìå ôá÷ýôçôá v ðñoò ôçv ðçãÞ. Óå ÷ñüvo t èá äéávýåé

áðüóôáóç v t êáé èá ìåôñÜåé áýîçóç ôçò óõ÷vüôçôáò êáôÜ vt/λo. ÅðoìÝvùò

νµετρ = νπ +v

λo

= νπ (1 +v

cπ) (1.3)

Ãéá áðoìáêñõvüìåvo ðáñáôçñçôÞ Ý÷oõìå

νµετρ = νπ(1− v

cη) (1.4)

Eóôù üôé ôþñá üôé êévåßôáé ç ðçãÞ ìå ôá÷ýôçôá v êáé o ðáñáôçñçôÞò åßváé áêßvçôoò.

ÊáôÜ ôç äéÜñêåéá ìéáò ðåñéüäoõ ç ðçãÞ êévåßôáé êáôÜ áðüóôáóç v/νπ = (v/cη)λo.

ÅðoìÝvùò o áñéèìüò ôùv ðõêvùìÜôùv óå ÷ñüvo t èá åßváé

cη t

λ′=

cη t

λo (1− vcη

)(1.5)

Áñá ç ìåôñoõìÝvç óõ÷vüôçôá èá åßváé

νµ =νπ

1− vcη

(1.6)

Ãéá áðoìáêñõvüìåvç ðçãÞ Ý÷oõìå

νµ =νπ

1 + vcη

(1.7)

Áðü ôo ávÜðôõãìá 11−x

= 1 + x+ x2 + ..., ãéá x< 1, Ý÷oõìå áðü ôçv (1.6)

νµ = νπ(1 +v

cη+v2

c2η+ ...) (1.8)

Ðáñáôçñoýìå óõãêñßvovôáò ôéò (1.3) êáé (1.8) üôé ìðoñoýìå ìåôñþvôáò ôç óõ÷vüôçôá

ìå áêñßâåéá ôçò ôÜîçò v2/c2η vá äéá÷ùñßóoõìå ôéò ðåñéðôþóåéò êévoýìåvçò ðçãÞò áðüêévoýìåvo ðáñáôçñçôÞ. Ôo êñßóéìo óçìåßo åäþ åßváé üôé ç åîáêñßâùóç áõôÞò ôçò

äéáöoñoðoßçóçò âáóßæåôáé óôo äåäoìÝvo üôé ç êßvçóç ãßvåôáé óå ó÷Ýóç ðñoò ôo ìÝóo

äéÜäoóçò ôoõ êõìáôéêoý öáévoìÝvoõ ôoõ Þ÷oõ. Ôo öáévüìåvo Dobbler ãéá ôo öùò

õðÜñ÷åé, äåv åñìçvåýåôáé üìùò êëáóéêÜ. Ôo ðñüâëçìá, üðùò èá äoýìå, åßváé áõôü ôo

"ìÝóo äéÜäoóçò" ôoõ öùôüò, o ëåãüìåvoò "áéèÝñáò".


1.2. TO ÐÑÏÂËÇÌÁ ÌÅ ÔÇV ÔÁ×ÕÔÇÔÁ ÔOÕ ÖÙÔÏÓ

1.2 To Ðñüâëçìá ìå ôçv Ôá÷ýôçôá ôoõ Öùôüò

1.2.1 Ç éäéáéôåñüôçôá ôoõ Çëåêôñoìáãvçôéóìoý

Ïé åîéóþóåéò Maxwell óôo êåvü åßváé

~∇ · ~E = 0 , ~∇× ~E = − ∂~B

∂t

~∇ · ~B = 0 , ~∇× ~B = −µ0ǫ0∂ ~E

∂t(1.9)

Aðü ôç äéávõóìáôéêÞ ôáõôüôçôá ~∇ × (~∇ × ~A) = ~∇(~∇ · ~A) − ~∇2 ~A ðáßñvoõìå

~∇× (~∇× ~E) = ∂∂t~∇× ~B Þ ~∇(~∇ · ~E) − ~∇2 ~E = − ∂

∂t[µ0ε0

∂ ~E∂t

] ïðüôå

~∇2 ~E − 1

c2∂2 ~E

∂t2= 0 (1.10)

üðoõ

c = (µ0ε0)−1/2 (1.11)

H (1.10) åßváé ìßá åîßóùóç êýìáôoò ìå ôá÷ýôçôá äéÜäoóçò c. Ôo Üìåóo êëáóéêü

åñþôçìá ðoõ ôßèåôáé åäþ ðçãÜæåé áðü ôçv óýãêñéóç ðñoò ôá êëáóéêÜ åëáóôéêÜ

êýìáôá (êýìáôá Þ÷oõ) óå êÜðoéo åëáóôéêü ìÝóo. Ãéá vá Ý÷oõìå äéÜäoóç ôùv

çëåêôñoìáãvçôéêþv êõìÜôùv óôo êåvü èá ðñÝðåé áõôü ôo êåvü vá åßváé ãåìÜôo ìå

Ývá ìÝóo ìå éäéáßôåñåò éäéüôçôåò. ÄçëáäÞ áö’åvüò vá Ý÷åé êáôÜëëçëåò åëáóôéêÝò

óôáèåñÝò ãéá vá ãßvåôáé äéÜäoóç ìå ôçv ôá÷ýôçôá c êáé áö’ åôÝñoõ vá åßváé ôüóo

áñáéü ðoõ vá ìçv åìðoäßæåé êávÝvá õëéêü óþìá óôçv åëåýèåñç êßvçóÞ ôoõ. Áõôü ôo

õëéêü ovoìÜóôçêå "áéèÝñáò". Ç öéëoëoãßá ãýñù áðü ôçv ýðáñîç Þ ìç åvüò ôÝôoéoõ

õëéêoý åßváé åêôåvÞò óôç âéâëéoãñáößá ðñév ôov Einstein. ÂÝâáéá o åvôoðéóìüò ôoõ

ìå óõvÞèç ðåéñÜìáôá äåv ìðoñoýóå vá ãßvåé ãéáôß åî’oñéóìoý êávÝvá õëéêü óþìáäåv Ýðñåðå vá ávôéëáìâÜvåôáé ôçv ýðáñîç ôoõ. ÅðoìÝvùò ôo ìüvo ðoõ Ýìåvååßváé vá ìåôñçèåß ç ó÷åôéêÞ êßvçóç ôùv óùìÜôùv ùò ðñoò ôov áéèÝñá. Ïðùòåßäáìå óôçv ðåñßðôùóç ôoõ Þ÷oõ ôo öáévüìåvo Dobbler ìåôñoýìåvo ìå áêñßâåéá ôçò

ôÜîçò v2/c2η ìðoñåß vá äüóåé êñéôÞñéá ãéá ìéÜ ôÝôoéá êßvçóç. Ãéá ôo öùò üìùò ôÝôoéåòôÜîåéò v2/c2 ðñoöávþò åßváé ðÝñá áðü êÜèå ìåôñçôéêÞ äõváôüôçôá (ôoõëÜ÷éóôov ìåôéò óõóêåõÝò ôçò áñ÷Þò ôoõ 20ïõ áéþvá).ÅðoìÝvùò Ýìåvå vá ìåôñçèåß ç ìåôáâoëÞ

ôçò ôá÷ýôçôáò ôoõ öùôüò óå êévoýìåvá óõóôÞìáôá áváöoñáò :

cµ = c ± v (1.12)

üðùò ðåñéìÝvåé êávåßò êëáóéêÜ áðü ôç óýãêñéóç ìå ôov Þ÷o:

cµετρ = cη + v (1.13)



Ðñoôoý áváöåñèoýìå óôéò ðñoóðÜèåéåò áõôÝò èá ðñÝðåé vá ôovßóoõìå ôo åîÞò âáóéêü

óçìåßo ãéá ôçv êõìáôéêÞ åîßóùóç (1.10). Ç åîßóùóç áõôÞ ðåñéÝ÷åé ìßá óôáèåñÜ,

ôçv c, ìå öõóéêÝò äéáóôÜóåéò. Áõôü óçìáßvåé üôé Ý÷oõìå ìßá êáèoñéóìÝvç êëßìáêá,

êëßìáêá ôá÷õôÞôùv, ðoõ åßváé áðüëõôç. ÄçëáäÞ ìðoñoýìå vá ðoýìå: "ðoëý ìåãÜëåò

Þ ðoëý ìéêñÝò ôá÷ýôçôåò óå ó÷Ýóç ðñoò ôo c". Ávôßèåôá óå êáìßá åîßóùóç ôçò

ÊëáóéêÞò Ìç÷ávéêÞò äåv õðÜñ÷åé êÜðoéá óôáèåñÜ ðoõ vá êáèoñßæåé ôçv êëßìáêá.

Óôçv åîßóùóç:

md2x

dt2= −∂V

∂x(1.14)

äåv õðÜñ÷åé êÜðoéá óôáèåñÜ ðoõ vá êáèoñßæåé ôçv ôá÷ýôçôá áðüëõôá, (åêôüò áðü ôo

m åäþ ðoõ êáèoñßæåé ôçv êëßìáêá ôùv åvåñãåéþv êé áõôü áðü ôç ó÷åôéêéóôéêÞ ó÷Ýóç

E = mc2, ðoõ äåv åßváé âÝâáéá êëáóéêÞ ó÷Ýóç). Ãéá êÜèå åîßóùóç ôçò ÊëáóéêÞòÌç÷ávéêÞò ðoõ öáßvåôáé üôé õðÜñ÷oõv êÜðoéåò óôáèåñÝò áõôÝò åßváé ðÜvôá äoóìÝvåò

óå ó÷Ýóç ìå ôéò éäéüôçôåò ôoõ ìÝóoõ óôo oðoßo äéáëáìâÜvåé ÷þñá ôo öáévüìåvo ðoõ

ðåñéãñÜöåé ç åîßóùóç. ÔÝôoéo ðáñÜäåéãìá åßváé ç êõìáôéêÞ åîßóùóç ôoõ Þ÷oõ üðoõ

ç ôá÷ýôçôá êáèoñßæåôáé áðü ôéò öõóéêÝò åëáóôéêÝò éäéüôçôåò ôoõ ìÝóoõ. Åñ÷üìáóôå

ðÜëé ëoéðüv óôo åñþôçìá: Ôé åßváé áõôü ðoõ äßvåé ôçv ôéìÞ ôoõ c óôçv ôá÷ýôçôá ôoõ

öùôüò;

ÁóêçóçNá äåé÷èåß üôé ç êõìáôéêÞ åîßóùóç äåv åßváé áváëëoßùôç êÜôù áðü ôoõò

ìåôáó÷çìáôéóìoýò ôoõ Ãáëéëáßoõ.

1.2.2 ÐåéñÜìáôá ìÝôñçóçò ôçò ôá÷ýôçôáò ôoõ öùôüò

Ôo 1983 óôo Ãåvéêü ÓõvÝäñéo ÌÝôñùv êáé Óôáèìþv õéoèåôÞèçêå Ývá vÝo ðñüôõðo ãéá

ôov oñéóìü ôoõ ìÝôñoõ : Åvá ìÝôño åßváé ç áðüóôáóç ðoõ äéávýåé ôo öùò óôoêåvü óå ÷ñüvo 1/299792458 sec. Ôo ãåãovüò áõôü ávôéêáôoðôñßæåé ôçv ðáñáäo÷Þüôé ç ôéìÞ:

c = 299792458m/sec (1.15)

åßváé ç ðëÝov áêñéâÞò ìÝôñçóç ãéá ôçv ôá÷ýôçôá ôoõ öùôüò. Ç âáèýôåñç üìùò

óçìáóßá ôoõ åßváé üôé äå÷üìáóôå ôçv ðáãêoóìéüôçôá êáé óôáèåñüôçôá ôçò ôá÷ýôçôáò

ôoõ öùôüò óáv êÜôé åvôåëþò èåìåëéáêü.

Ðñév âÝâáéá öèÜóoõìå óôçv áêñßâåéá áõôÞ, Ýãéváv ðoëëÜ ðåéñÜìáôá ãéá ôçv

ìÝôñçóç ôoõ c. Ïëåò áõôÝò oé ìåôñÞóåéò âáóßóôçêáv óå êëáóéêoýò óõëëoãéóìoýò,

äçëáäÞ óôçv éó÷ý ôùv ìåôáó÷çìáôéóìþv ôoõ Ãáëéëáßoõ. Ç ðáëáéüôåñç ìÝôñçóç

Ýãévå áðü ôov Roemer (1675) üðoõ ðáñáôÞñçóå üôé oé åêëåßøåéò ôçò Ioýò, äoñõöüñoõôoõ Äßá, ðáñáôçñoýìåvåò ìå äéáöoñÜ 6 ìçvþv åß÷áv ìßá êáèõóôÝñçóç 22 min. Áõôü

ôo áðÝäoóå óôçv êáèõóôÝñçóç ôoõ öùôüò vá äéávýóåé ôçv ôño÷éÜ ôçò Ãçò ãýñù áðü

ôov Çëéo êáé Ýôóé åêôßìçóå üôé c = 2.83× 1011/22 = 2.14× 108m/s.O Bradley (1725) ðáñáôÞñçóå üôé õðÜñ÷åé ìßá öáévoìÝvç åðo÷éáêÞ ìåôáâoëÞ


1.2. TO ÐÑÏÂËÇÌÁ ÌÅ ÔÇV ÔÁ×ÕÔÇÔÁ ÔOÕ ÖÙÔÏÓ

Ó÷Þìá 1.2: To Ðåßñáìá ôùí Michelson-Morley

ôçò èÝóçò ôùv Üóôñùv. Ïé öáévüìåvåò ôño÷éÝò åßváé ìéêñÝò åëëåßøåéò Þ êýêëoé

ìå ãùvéáêÞ äéÜìåôño ôçò ôÜîçò ôùv 40’’. Áõôü ëÝãåôáé ðáñÜëáîç ôùv Üóôñùvêáé oöåßëåôáé óôçv ðåðåñáóìÝvç ôá÷ýôçôá ôoõ öùôüò êáé ôçv êßvçóç ôçò Ãçò ìå

ôá÷ýôçôá vγ . Å÷oõìå:

tanα =vγ

c(1.16)

üðoõ á = 40’’/2. Ìå vγ = 3 × 104m/s ðáßñvoõìå c = 3.1 × 108m/s. ÓÞìåñáõðÜñ÷oõv ðoëëÝò áêñéâåßò ôå÷véêÝò vá ìåôñçèåß ôo c óôo åñãáóôÞñéo. (Áváö.: Âéâëßo

Ìç÷ávéêÞò Berkeley).

1.2.3 Ôo Ðåßñáìá ôùv Michelson - Morley

Åßäáìå ðéü ðÜvù üôé o Çëåêôñoìáãvçôéóìüò äåv åßváé óõìâéâáóôüò ìå ôç Ó÷åôéêüôçôá

ôoõ Ãáëéëáßoõ. ÕðÞñ÷áv ôñßá åváëëáêôéêÜ åväå÷üìåvá

á) Ç Áñ÷Þ ôçò Ó÷åôéêüôçôáò éó÷ýåé ãéá ôç Ìç÷ávéêÞ, áëëÜ äåv éó÷ýåé ãéá

ôov Çëåêôñoìáãvçôéóìü. Áõôü óçìáßvåé üôé ãéá ôov Ç.Ì. èá ðñÝðåé vá õðÜñ÷åé

ðñoôéìçôáßo óýóôçìá áváöoñÜò, äçëáäÞ o áéèÝñáò.

â) Ç Áñ÷Þ ôçò Ó÷åôéêüôçôáò éó÷ýåé êáé ãéá ôç Ìç÷ávéêÞ êáé ãéá ôov Ç.Ì. áëëÜ

oé åîéóþóåéò Maxwell äåv åßváé óùóôÝò.

ã) Ç Áñ÷Þ ôçò Ó÷åôéêüôçôáò éó÷ýåé êáé ãéá ôç Ìç÷ávéêÞ êáé ãéá ôov Ç.Ì. áëëÜ

oé Íüìoé ôçò Ìç÷ávéêÞò äåv éó÷ýoõv õðü ôç ìoñöÞ ðoõ Ýäùóå o Íåýôùv.

Äåv õðÜñ÷åé êávÝvá ðåßñáìá ðoõ vá äåß÷våé ôçv ìç éó÷ý ôùv åîéóþóåùv Maxwell.

Ôo ðåßñáìá Michelson-Morley Ýäåéîå üôé äåv õðÜñ÷åé ó÷åôéêÞ êßvçóç ùò ðñoò êÜðoéo

áéèÝñá. ÅðoìÝvùò ç ìüvç åðéëoãÞ åßváé ôo åväå÷üìåvo ã). Ôo ðùò ðñÝðåé vá áëëÜîoõv

oé Íüìoé ôçò Ìç÷ávéêÞò áðoôåëåß ôo ðëáßóéo ôçò ÅéäéêÞò Èåùñßáò ôçò Ó÷åôéêüôçôáò.

Ôo ðåßñáìá ôùv Michelson-Morley Ý÷åé ùò åîÞò: ÌéÜ äÝóìç öùôüò áðü ôo L

äéáóðÜôáé óå äýo áðü ôo ðëáêßäéo Ñ ðoõ åßváé êáôÜ ôo Þìéóõ åðáñãõñùìÝvo. Ïé äýo

äÝóìåò áváêëþvôáé óôá êÜôoðôñá S1 êáé S2 êáé óõãêåvôñþvovôáé óôo ôçëåóêüðéo



Ó÷Þìá 1.3: ¢îïíáò ôçò óõêåõÞò êÜèåôïò ðñïò ôçí êßíçóç ôçò ÃÞò

F üðoõ äçìéoõñãoýv êñoóóoýò óõìâoëÞò.

Åóôù üôé ç óõóêåõÞ êévåßôáé êáôÜ ôç äéåýèõvóç S1P ìå ôá÷ýôçôá v óå ó÷Ýóç

ðñoò ôov õðoèåôéêü áéèÝñá. Óýìöùvá ôþñá ìå ôçv ÊëáóéêÞ ÖõóéêÞ ôo öùò êáôÜ ôéò

äéåõèývóåéò PS1 êáé S1P èá Ý÷åé ôá÷ýôçôåò ávôßóôoé÷á c-v êáé c+v. Áñá o ÷ñüvoòäéáäñoìÞò áõôÞò ôçò äÝóìçò èá åßváé:

tl = l1

[

1

c − v+

1

c + v

]

=2 l1

c (1 − β2)(1.17)

üðoõ β = v/c. ÊáôÜ ôç äéáäñoìÞ PS2P ôo öùò èá êÜvåé ôo äñüìo ôoõ Ó÷Þìáôoò 1.3,ëüãù ôçò êßvçóçò ôçò óõóêåõÞò êáôÜ ä. Å÷oõìå

δ

(δ2 + l22)1/2

=v

c(1.18)

Ïðüôå ðáßñvoõìå δ = β l2/(1− β2)1/2. EðoìÝvùò o ÷ñüvoò äéáäñoìÞò åßváé:

t2 =2 (δ2 + l22)

1/2

c=

2 l2c (1 − β2)1/2

(1.19)

Ç äéáöoñÜ ôoõ "oðôéêoý äñüìoõ" åßváé:

∆ = c (t1 − t2) =2

(1 − β2)1/2

[

l1(1 − β2)1/2

− l2

]

(1.20)

ÐåñéóôñÝöovôáò ôçv óõóêåõÞ êáôÜ 90o Ý÷oõìå åváëëáãÞ ôùv ñüëùv ôùv l1 êáé l2êáé ðáßñvoõìå:

∆′

= c (t′

1 − t′

2) =2

(1 − β2)1/2

[

l2(1 − β2)1/2

− l1

]

(1.21)

Áv Ä åßváé äéÜöoño ôoõ Ä’ ðåñéìÝvoõìå ìåôáôüðéóç ôçò óõìâoëÞò êáôÜ áñéèìü

êñoóóþv ßóo ìå:

n =∆ − ∆

′

λ≈ −

[

l1 + l2λ

]

β2 (1.22)


1.3. ÏÉ ÁÑ×ÅÓ ÔÇÓ ÅÉÄÉÊÇÓ ÈÅÙÑÉÁÓ

ÔÇÓ Ó×ÅÔÉÊÏÔÇÔÁÓ

Óôo ðåßñáìá äåv ðáñáôçñÞèçêå êáìßá ôÝôoéá ìåôåôüðéóç. Áñá ç Ãç äåv êévåßôáé óå

ó÷Ýóç ìå ôov áéèÝñá. Ôo åväå÷üìåvo vá ôov ðáñáóýñåé ìáæß óôçv êßvçóÞ ôçò ãýñù

áðü ôov Çëéo äåv åßváé áðoäåêôü ãéáôß ôüôå äåv èá ðáñáôçñoýóáìå ôo öáévüìåvo

ôçò ðáñÜëáîçò. Áñá äåí õðÜñ÷åé áéèÝñáò.

1.3 Ïé Áñ÷Ýò ôçò ÅéäéêÞò Èåùñßáò

ôçò Ó÷åôéêüôçôáò

1.3.1 Oé ÁñxÝò ôoõ Einstein êáé ôo Ðñüâëçìá ôçò

Ôáõôo÷ñovéêüôçôáò Äýo Ãåãovüôùv

Ïðùò áváöÝñáìå êáé ðéü ðÜvù ç ëýóç ðoõ ðñoóÝöåñå o Einstein óôo ðñüâëçìá ôçò

ôá÷ýôçôáò ôoõ öùôüò Þôáv ôåëéêÞ: ÄÝ÷ôçêå ôçv ávåîáñôçóßá ôçò ôá÷ýôçôáòôoõ öùôüò áðü ôçv êßvçóç ôùv áäñávåéáêþv óõóôçìÜôùv óáv Áñ÷Þ ôçòÖõóéêÞò ìå éó÷ý óå üëá ôá öáévüìåvá, çëåêôñoìáãvçôéêÜ êáé ìç÷ávéêÜ.ÁõôÞ ç áñ÷Þ êáé ç Áñ÷Þ ôçò Ó÷åôéêüôçôáò ôùv êévÞóåùv ôoõ Ãáëéëáßoõ

åßváé oé äýo Áñ÷Ýò ôçò ÅéäéêÞò Èåùñßáò ôçò Ó÷åôéêüôçôáò. Ïëo ôo

oéêoäüìçìá óôçñßæåôáé ó’áõôÝò. Áìåóç óõvÝðåéá üìùò åßváé ôo ãåãovüò ôçò ávÜãêçò

ávôéêáôÜóôáóçò ôùv êëáóéêþv éäéoôÞôùv ðoõ äéáéóèçôéêÜ (ìå ôçv êëáóéêÞ ìáò

åìðåéñßá) äå÷üìáóôå üôé Ý÷oõv oé Ývvoéåò ôoõ ÷ñüvoõ êáé ôoõ ÷þñoõ. Ôo ðñoöávÝò

ðáñÜäoîo Ýñ÷åôáé Üìåóá áv ôá óöáéñéêÜ êýìáôá ðoõ åêðÝìðovôáé áðü ìßá ðçãÞ

ôá ðáñáôçñÞóoõìå áðü äýo äéáöoñåôéêÜ óõóôÞìáôá áváöoñÜò. Áv ç ðçãÞ åßváé

áêßvçôç óôçv áñ÷Þ ôùv áîüvùv åvüò óõóôÞìáôoò áváöoñÜò Ó êáé ôç ÷ñovéêÞ óôéãìÞ

t=0 åêðÝìðåé Ývá óöáéñéêü êýìá, ôüôå Ýváò ðáñáôçñçôÞò áêßvçôoò ùò ðñoò ôo Ó

èá ðáñáôçñÞóåé ãéá êÜèå t ìßá óöáéñéêÞ åðéöÜvåéá. Åóôù êévoýìåvo óå ó÷Ýóç

ðñoò ôo Ó áäñávåéáêü óýóôçìá Ó’. Áv ç áñ÷Þ ôoõ Ï’ óõìðßðôåé ãéá t’=0 ìå ôo O

ôüôå o ðáñáôçñçôÞò áõôüò, åöüóov ç ôá÷ýôçôá ôoõ öùôüò êáé ãé’áõôüv åßváé c, èá

ðáñáôçñåß ðÜëé óöáéñéêü êýìá ãéá êÜèå t’. Áv õðÜñ÷åé Ýváò áðüëõôoò ÷ñüvoò óå

ó÷Ýóç ðñoò ôov oðoßo oé äýo ðáñáôçñçôÝò êáôáãñÜöoõv ôo öáévüìåvo ôçò äéÜäoóçò

ôoõ óöáéñéêoý êýìáôoò ôüôå ç óôáèåñüôçôá ôoõ c äåv ìðoñåß vá äüóåé êáé ãéá ôoõò

äýo óöáéñéêÜ êýìáôá. ÅðoìÝvùò åöüóov ôá êýìáôá ðñÝðåé vá åßváé êáé ãéá ôoõò äýo

óöáéñéêÜ èá ðñÝðåé vá ìçv õðÜñ÷åé áðüëõôoò ÷ñüvoò áëëÜ ìüvov ó÷åôéêüò ùò ðñoò

êÜèå áäñávåéáêü óýóôçìá.

Áñá ôßèåôáé ôo åñþôçìá ôçò ôáõôo÷ñovéêüôçôáò äýo ãåãovüôùv êáé ôoõôñüðoõ êáèoñéóìoý ôçò. Åöüóov ç óôáèåñüôçôá ôoõ c åßváé ç áéôßá ôoõ

ðñoâëÞìáôoò, åðüìåvo åßváé vá ÷ñçóéìoðoéÞóoõìå áõôÞ ôçv óôáèåñüôçôá ãéá ôov

oñéóìü ôçò ôáõôo÷ñovéêüôçôáò.

Åóôù óå Ývá áäñávåéáêü óýóôçìá äýo óçìåßá x1 êáé x2. Ïñßæoõìå äýo ÷ñovéêÝò

óôéãìÝò t1 êáé t2 óáv ôáõôü÷ñovåò áv öùôåévü êýìá ðoõ åìðÝìðåôáé áðü ôo ìÝóo



Ó÷Þìá 1.4: Óýãêñéóç êáèÝôùí ìçêþí

ìåôáîý ôùí x1 êáé x2 öôÜvåé óôá x1 êáé x2 ôéò óôéãìÝò t1 êáé t2.Áðü ôov oñéóìü áõôü óõvÜãåôáé üôé ç ôáõôo÷ñovéêüôçôá äýo ãåãovüôùv ðoõ

ëáìâÜvoõv ÷þñá óå äýo äéáöoñåôéêÜ óçìåßá, Ý÷åé vüçìá ìüvo ãéá óõãêåêñéìÝvo

óýóôçìá áváöoñÜò. Óôçv ðåñßðôùóç ôoõ óöáéñéêoý êýìáôoò óôo óýóôçìá Ó, ç

Üöéîç ôoõ óôá äåäoìÝvá óçìåßá ôçò óöáßñáò ôoõ Ó äßvåé Ývá óývoëo ôáõôü÷ñovùv

ãåãovüôùv. Ãéá ôo óýóôçìá Ó’ ôá ãåãovüôá áõôÜ äåv ìðoñåß vá åßváé ôáõôü÷ñová.

Áñá äýo ôáõôü÷ñová ãåãovüôá óå Ývá óýóôçìá áváöoñÜò äåv åßváé ôáõôü÷ñová óå

Üëëo óýóôçìá ìå ó÷åôéêÞ ôá÷ýôçôá ùò ðñoò ôo ðñþôo. Áv ëoéðüv Ývá ãåãovüò óôo

Ó ðåñéãñÜöåôáé áðü ôçv ôåôñÜäá (t,x,y,z) êáé óôo Ó’ áðü ôçv ôåôñÜäá (t’,x’,y’,z’) èá

ðñÝðåé vá õðÜñ÷åé Ýváò ìáôáó÷çìáôéóìüò ìåôáîý ôùv äýo. Áõôüò ðñÝðåé vá åßváéãñáììéêüò Ýôóé þóôå üëá ôá óçìåßá ôoõ ÷þñoõ êáé ÷ñüvoõ vá åßváé éóoäýváìá.Åðßóçò ðñÝðåé vá åßváé ávôéóôñÝøéìoò ãéá vá ìçv õðÜñ÷åé ðñoôéìçôáßo óýóôçìááváöoñÜò. Áõôüò o ìáôáó÷çìáôéóìüò ðñÝðåé vá Ý÷åé ôçv éäéüôçôá vá äßvåé óöáéñéêÜ

êýìáôá öùôüò êáé ãéá ôá äýo óõóôÞìáôá Ó êáé Ó’. Ì’áõôÝò ôéò ðñoõðoèÝóåéò ìðoñåß

êávåßò vá âñåé áõôüv ôo ìåôáó÷çìáôéóìü, ðoõ ëÝãåôáéÌåôáó÷çìáôéóìüò Lorentz.Ðéü êÜôù èá äåßîoõìå ðùò âñßóêåôáé o ìáôáó÷çìáôéóìüò Lorentz áëëÜ ðñþôá

èá áêoëoõèÞóoõìå ôçv ávÜëõóç ôoõ Einstein. O Einstein ìå âÜóç ôéò Áñ÷Ýò ôçò

Ó÷åôéêüôçôáò êáé ôoõ oñéóìoý ðoõ Ýäùóå ãéá ôçv ôáõôo÷ñovéêüôçôá äéåñåývçóå

ôéò åðéðôþóåéò óôéò ìåôñÞóåéò ìçêþv êáé ÷ñüvùv. ÏõóéáóôéêÜ áváêÜëõøå ôov

ìåôáó÷çìáôéóìü Lorentz áðü ôéò óõvÝðåéÝò ôoõ.

1.3.2 ÓõvÝðåéåò óôç ÌÝôñçóç ôoõ xñüvoõ êáé ôoõ xþñoõ

Óýãêñéóç ÐáñáëëÞëùv Ìåôñçôéêþv ÑÜâäùv ÊáèÝôùv ðñoò ôç Äéåýèõvóçôçò ÓxåôéêÞò Êßvçóçò

Åóôù üôé oé äýo ñÜâäoé ÏÑ êáé Ï’Ñ’ Ý÷oõv ôo ßäéo ìÞêoò ùò ðñoò ôo óýóôçìá

áváöoñÜò Ó’ êáé Ó. Ôo åñþôçìá åäþ åßváé áv Ýváò ðáñáôçñçôÞò óôo Ó ìåôñÜåé ôçv

Ï’Ñ’ óáv ßóç ìå ôçv ÏÑ êáé ávôßóôoé÷á áv Ýváò ðáñáôçñçôÞò ôoõ Ó’ ìåôñÜåé ôçv ÏÑ

óáv ßóç ìå ôçv Ï’Ñ’. Ãéá vá ìåôñÞóåé o ðáñáôçñçôÞò óôo Ó ôçv ñÜâäo Ï’Ñ’ ðñÝðåé vá




Ó÷Þìá 1.5: Óýãêñéóç ùñïëïãßùí

ôçv óõãêñßvåé ìå ôç äéêÞ ôoõ ñÜâäo Ýôóé þóôå ç óýìðôùóç ôùv Üêñùv Ï’, Ï êáé Ñ’, Ñ

vá åßváé ãé’áõôüv ôáõôü÷ñovç. Ïìoéá êáé ãéá ôov ðáñáôçñçôÞ ôoõ Ó’. Åóôù üôé Ì’Ì

ðáñÜëëçëç ðñoò ôçv Ï’Ï êáé ôç óôéãìÞ ðoõ ôo Ì’ óõìðßðôåé ìå ôo Ì åêðÝìðovôáé

öùôåévÜ óÞìáôá áðü ôá Ï’ êáé Ñ’. Ãéá ôo óýóôçìá Ó’ ôá ãåãovüôá ôçò ôáýôéóçò

ôùv óçìåßùv Ï’ êáé Ñ’ ìå ôov Üîová y åßváé ôáõôü÷ñová. ÅðåéäÞ êáôÜ ôç ó÷åôéêÞ

êßvçóç oé áðoóôÜóåéò Ï’Ì êáé Ñ’Ì ðáñáìÝvoõv ßäéåò, èá Ý÷oõìå üôé ôá ãåãovüôá

áõôÜ èá åßváé ôáõôü÷ñová êáé ãéá ôo óýóôçìá Ó. Ïìoéá ç ôáýôéóç ôùv óçìåßùv Ï

êáé Ñ ìå ôov Üîová y’ åßváé ôáõôü÷ñová ãåãovüôá êáé ãéá ôá äýo óõóôÞìáôá. Áñá

ìðoñoýìå vá óõãêñßvoõìå ôéò äýo ñÜâäoõò. Åôóé êáé oé äýo ðáñáôçñçôÝò èá âñoõv

åßôå OP ≤ O′P ′ åßôå O′P ′ ≤ OP . ÅðåéäÞ ôá óõóôÞìáôá åßváé éóoäýváìá ðñÝðåé váóõìðåñÜvoõìå ÏÑ = Ï’Ñ’. Áv âñßóêáìå ávéóüôçôá ôüôå Ývá áðü ôá óõóôÞìáôá èá

åß÷å ðñoôéìçôáßá êßvçóç ãéáôß ó÷åôéêÜ ì’áõôü èá åß÷áìå ôçv óõãêåêñéìÝvç öoñÜ ôçò

ávéóüôçôáò.

Óýãêñéóç Ñõèìþv Ñoëoãéþv

Ãéá vá óõãêñßvoõìå ñõèìoýò ñoëoãéþv äýo óõóôçìÜôùv Ó êáé Ó’ ðñÝðåé váöÝñoõìå ôá ñoëüãéá óôo ßäéo óçìåßo ôoõ ÷þñoõ. ÄéáöoñåôéêÜ èá ðñÝðåé váìåóoëáâÞóåé áðoóôoëÞ öùôåévþv ìçvõìÜôùv ðoõ èá åðçñåÜóoõv ôçv ôáõôo÷ñovéêüôçôá.

Áõôü üìùò óçìáßvåé üôé ãéá vá ãßvåé óýãêñéóç èá ðñÝðåé vá Ý÷oõìå äýo óõãêåêñéìÝvá

ñoëüãéá óôo Ó ìå ôá oðoßá èá Ýñèåé äéáäo÷éêÜ óå óýìðôùóç ôo ñoëüé ôoõ Ó’. ÐñÝðåé

vá óõãêñßvoõìå ôç ÷ñovéêÞ äéÜñêåéá êÜðoéoõ öáévoìÝvoõ óôá äýo óõóôÞìáôá. Ôo

öáévüìåvo ðoõ åðéëÝãåôáé åßváé ávÜêëáóç áêôßvùv öùôüò óå êÜôoðôñá. Ãéá ôo

óýóôçìá Ó’ Ý÷oõìå: ∆t′

= 2 z0/c. ÃéÜ ôo óýóôçìá Ó Ý÷oõìå:

∆t =2

c

[

z20 +

(

v∆t

2

)2]1/2

(1.23)



Ó÷Þìá 1.6: Óýãêñéóç ìçêþí ðáñáëëÞëùí ðñïò ôçí ó÷åôéêÞ êßíçóç

Þ

∆t =2 z0

c· 1

(1 − β2)1/2(1.24)

EðåéäÞ zo = z′o Ý÷oõìå

∆t =∆t

′

(1 − β2)1/2(1.25)

O ÷ñüvoò Ät’ åßváé o ÷ñüvoò ìåôáîý äýo ãåãovüôùv ðoõ óõìâáßvoõv óôo Ó’ óôo

ßäéo óçìåßo, äçëáäÞ ç åêðoìðÞ êáé ç ëÞøç ôùv áêôßvùv. Ï ÷ñüvoò áõôüò ëÝãåôáéßäéo ÷ñovéêü äéÜóôçìá (proper time interval). Ï ðáñáôçñçôÞò Ó ðáñáôçñåß

ôá ãåãovüôá áõôÜ óå äéáöoñåôéêÜ óçìåßá êáé o ÷ñüvoò ðoõ ìåóoëáâåß Ät åßváé

ìåãáëýôåñoò ôoõ Ät’. Áõôü ëÝãåôáé ÷ñovéêÞ äéáóôoëÞ.

Óýãêñéóç Ìçêþv ÐáñáëëÞëùv ðñoò ôç Äéåýèõvóç Êßvçóçò

Åóôù ñÜâäoò ìÞêoõò xo, óôo óýóôçìá Ó’. Óôo óýóôçìá Ó ôo ìÞêoò xo èáávôéóôoé÷åß óôçv áðüóôáóç ìåôáîý ôùv Üêñùv ôçò ñÜâäoõ ðoõ ìåôñþvôáéôáõôü÷ñová ìå ôçv Ývvoéá ôçò ôáõôo÷ñovéêüôçôáò ôoõ Einstein. Ç ìÝôñçóç ôùv

ìçêþv ãßvåôáé ìå ôç ÷ñÞóç öùôåévþv áêôßvùv, åöüóov ç ôá÷ýôçôá ôoõ öùôüò åßváé

ôo ìüvo áváëëoßùôo ðoõ Ý÷oõìå. Åóôù üôé öùôåévÞ áêôßvá åêðÝìðåôáé áðü ôo S’. Ôá

äýo ãåãovüôá åêìðoìðÞò êáé ëÞøçò óôo S’ åßváé óôo ßäéo óçìåßo ôoõ óõóôÞìáôoòÓ’, Üñá o ÷ñüvoò Ät’ ðoõ ìåóoëáâåß åßváé ßäéo-÷ñüvoò. Èá Ý÷oõìå:

∆t′

=2x

′

o

c(1.26)

Óôo óýóôçìá Ó ç ávÜêëáóç èá ãßvåé óôç èÝóç Ì åvþ ç ðçãÞ èá åßváé óôo S1 êáé

ç ëÞøç èá ãßvåé óôç èÝóç S2. To ìÞêoò ðoõ èá ðáñáôçñçèåß áðü ôo Ó èá åßváé ôo

xo ðoõ èá ðñÝðåé vá åßváé xo = SoMo = S1M . Ëüãù ôçò ó÷åôéêÞò êßvçóçò èáÝ÷oõìå:

S0M = x0 +(v

c

)

· S0M (1.27)




Ó÷Þìá 1.7: Óýãêñéóç óõã÷ñïíéóìïý ùñïëïãßùí

Þ

S0M =x0

1 − β(1.28)

êáé

M S2 = x0 −(v

c

)

·M S2 (1.29)

Þ

M S2 =x0

1 + β(1.30)

Ï áðáéôoýìåvoò ÷ñüvoò óôo Ó åßváé:

∆t =S0M + M S2

c=

2x0

c (1 − β2(1.31)

O Ät äåv åßváé éäéo÷ñüvoò ãéáôß ìåôñÜôáé óå äýo äéáöoñåôéêÜ óçìåßá ôoõ Ó.

×ñçóéìoðoéþvôáò ôþñá ôéò ó÷Ýóåéò (1.25) êáé (1.26) ðáßñvoõìå:

x0 = x′

o

√

1 − β2 (1.32)

Aõôü ëÝãåôáé óõóôoëÞ ôoõ ÷þñoõ.

Óõãñovéóìüò ôùv Ñoëoãéþv

Åóôù äýo ñoëüãéá óõã÷ñovéóìÝvá óôo Ó’. Åváò ðáñáôçñçôÞò óôo Ó ãéá vá óõãêñßvåéôá äýo áõôÜ ñoëüãéá èá ðñÝðåé äéáäo÷éêÜ vá Ýñèåé óå óýìðôùóç ìå ôá äýo ñoëüãéá

óôéò ávôßóôoé÷åò èÝóåéò ôoõò. Ï ðáñáôçñçôÞò ôoõ Ó èá âñåß ìßá äéáöoñÜ ÷ñüvoõ

t1 − to êáé áõôÞ ç äéáöoñÜ åßváé éäéo÷ñüvoò ãé’ áõôüv ãéáôß åßváé óôo ßäéo óçìåßoôoõ Ó. ÁõôÞ ç äéáöoñÜ óôo Ó’ èá åßváé ëüãù ôçò (1.25):

t′

1 − t′

0 =t1 − t0√1− β2

(1.33)



Ãéá ôov ðáñáôçñçôÞ óôo Ó èá Ý÷oõìå åðßóçò äéáóôoëÞ ôùv ÷ñovéêþv äéáóôçìÜôùvãéá êÜèå ñoëüé ôoõ Ó’ áëëÜ åðåéäÞ ôá ñoëüãéá ôoõ Ó’ åßváé óå äéáöoñåôéêÝò èÝóåéò,oé äéáöoñÝò ôùv åväåßîåùv äåv åßváé éäéo÷ñüvoò êáé åðoìÝvùò èá ðñÝðåé váõðÜñ÷åé ìßá äéáöoñÜ ä Ýôóé þóôå:

t1 − t0 =t′

1 − t′

o + δ√

1 − β2(1.34)

Ðáñáôçñoýìå åäþ üôé åðåéäÞ ç ó÷åôéêÞ êßvçóç åßváé óõììåôñéêÞ ðñÝðåé êáéoé äýo ðáñáôçñçôÝò vá ìåôñÜvå äéáóôoëÞ ÷ñüvoõ. Åôóé o áðoóõãñovéóìüòêáôÜ ä öáßvåôáé óáv Üìåóç óõvÝðåéá. Å÷oõìå ôþñá:

t′

1 − t′

0 =x

′

o

v, t1 − t0 =

x0

v(1.35)

êáé xo = x′o · (1− β2)1/2 oðüôå ðáßñvoõìå:

δ = −x′

0 β2

v(1.36)

Ç óçìáóßá ôoõ áñvçôéêoý óçìåßoõ åßváé üôé o ðáñáôçñçôÞò ôoõ Ó èá âëÝðåé üôé ôoäåýôåño ñoëüé ðñoðoñåýåôáé (äåß÷våé ðåñéóóüôåñç þñá) áðü ôo ðñþôo.ÓõìðÝñáóìá:Ïé Üìåóåò óõvÝðåéåò ôùv Áñ÷þv ôçò Ó÷åôéêüôçôáò åßváé åðoìÝvùò ôÝóóåñåéò

äéáðéóôþóåéò ãéá ôéò ÷ùño÷ñovéêÝò ìåôñÞóåéò:

(i) ÊÜèåôá ðñoò ôç äéåýèõvóç ôçò ó÷åôéêÞò êßvçóçò ôá äéáóôÞìáôá ðáñáìÝvoõv

áváëëoßùôá.

(ii) Áv äýo ãåãovüôá óõìâáßvoõv óôov ßäéo ôüðo óå Ývá óýóôçìá ç äéáöoñÜ ôùv

÷ñüvùv ôoõò Äô, ðoõ ëÝãåôáé éäéo÷ñüvoò, óõväÝåôáé ìå ôo ÷ñüvo ðoõ ìåôñÜôáé óå

êévoýìåvo óýóôçìá áváöoñÜò ìå ôç ó÷Ýóç:

∆t =∆τ

√

1 − β2(1.37)

(iii) Áv Ývá ìÞêoò ÄL åßváé éäéoìÞêoò, óå Ývá óýóôçìá áváöoñÜò, äçëáäÞ Ý÷åé

ìåôñçèåß ìå ôáõôo÷ñovéêüôçôá, óå ó÷Ýóç ìå Ývá êévoýìåvo óýóôçìá áváöoñÜò èá

Ý÷åé ìÞêoò:

∆x = ∆L√

1 − β2 (1.38)

(iv) Äýo ñoëüãéá, óýã÷ñová êáé áðÝ÷ovôá êáôÜ ÄL óå Ývá óýóôçìá áváöoñÜò,

öáßvovôáé óå Üëëo óýóôçìá êévoýìåvo vá åßváé áóýã÷ñová êáôÜ:

δ = −∆Lv

c2(1.39)


ÊåöÜëáéï 2

Ï ÌÅÔÁÓXÇÌÁÔIÓÌÏÓLORENTZ ÊÁI ÏI ÓÕÍÅÐÅIÅÓÓÔÏÕÓ NOMOYÓ ÔÇÓÌÇ×ÁÍIÊÇÓ

2.1 Ï Ìåôáó÷çìáôéóìüò Lorentz

2.1.1 Aìåóç Áðüäåéîç ìå ÂÜóç ôéò ÓõvÝðåéåò

Åóôù äýo áäñávåéáêÜ óõóôÞìáôá áváöoñÜò Ó êáé Ó’ ìå ðáñÜëëçëoõò Üîovåò, ìå

ôo Ó’ êévoýìåvo ðñoò ôç èåôéêÞ öoñÜ ôoõ Üîová ôùv x ìå ôá÷ýôçôá v. Åóôù üôé

ôç óôéãìÞ ôçò óýìðôùóçò ôùv Ï êáé Ï’ äýo ñoëüãéá óôéò ávôßóôoé÷åò áñ÷Ýò ôùv

óõóôçìÜôùv åßváé óõã÷ñovéóìÝvá êáé äåßvoõv t=0, t’=0. Ôo óçìåßo Á (äçëáäÞ

ôo ãåãovüò Á) Ý÷åé óõvôåôáãìÝvåò (x,y,z,t) êáé (x’,y’,z’,t’) ávôßóôoé÷á. Ãéá Ýváv

ðáñáôçñçôÞ óôo Ó Ý÷oõìå ÏÏ’=vt áëëÜ ç óõvôåôáãìÝvç ÏÂ = x’ èá Ý÷åé óõóôáëåß

êáé èá åßváé x′(1− β2)1/2. EðoìÝvùò èá Ý÷oõìå OB = x = vt + x′ · (1 − β2)1/2,

oðüôå:

x′

=x − v t√

1 − β2(2.1)

Åðßóçò ãéá ôov ðáñáôçñçôÞ ôoõ Ó ôá ñoëüãéá óôo Ó’ ðoõ âñßóêovôáé óôo Ï’ êáé Â

èá öáßvovôáé áðoóõã÷ñovéóìÝvá êáôÜ:

∆t′

=x

′

v

c2(2.2)

21

ÊÅÖÁËÁÉÏ 2. Ï ÌÅÔÁÓXÇÌÁÔIÓÌÏÓ LORENTZ.

Ó÷Þìá 2.1: ÓõíôåôáãìÝíåò åíüò ãåãïíüôïò óå äýï ÁäñáíåéáêÜ ÓõóôÞìáôá

Ãéá ôo Ó ç Ýväåéîç ôoõ ñoëoãéoý óôo Â èá åßváé t’+ Ät’ êáé o ÷ñüvoò áõôüò èá

öáßvåôáé äéáóôáëÞò óôo Ó, äçëáäÞ:

t =t′

+ x′ v

c2√

1 − β2(2.3)

Þ

t′

=t − x v

c2√

1 − β2(2.4)

üðoõ ávôéêáôáóôÞóáìå ôo x’ áðü ôçv (2.1). ÈÝôovôáò γ = (1 − β2)−1/2 Ý÷oõìå ôo

ìåôáó÷çìáôéóìü Lorentz:

x′

= γ (x − v t) (2.5)

y′

= y (2.6)

z′

= z (2.7)

t′

= γ (t − xv

c2) (2.8)

Áóêçóç 2.1Ná äåé÷èåß üôé ç Ýêöñáóç F (x, y, z, t) = x2 + y2 + x2 − c2t2 ðáñáìÝvåé

áváëëoßùôç êÜôù áðü ôoõò ìåôáó÷çìáôéóìoýò Lorentz, äçëáäÞ: F (x, y, z, t) =F (x′, y′, z′, t′)Áóêçóç 2.2Íá âñåèåß o ìáôáó÷çìáôéóìüò Lorentz áðü ôçv áðáßôçóç ç ìoñöÞ F(x,y,z,t) ôçò

Áóêçóçò 2.1 vá ðáñáìÝvåé áváëëoßùôç êáé ìå ôéò õðoèÝóåéò üôé ðñÝðåé vá åßváé

ãñáììéêüò êáé ávôéóôñÝøéìoò.


2.1. Ï ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÓ LORENTZ

2.1.2 Ç ÃåvéêÞ ÌoñöÞ ôoõ Ìåôáó÷çìáôéóìoý Lorentz

Áv óôçv Áóêçóç 2.1 äåv êÜvoõìå ôçv áðëoðoßçóç ôçò êßvçóçò êáôÜ ôov Üîová ôùv

x, ç áðÜvôçóç äßvåé ôo Ìåôáó÷çìáôéóìü Lorentz ãéá ó÷åôéêÞ êßvçóç êáôÜ ôõ÷oýóá

äéåýèõvóç. Ç áðüäåéîç ãßvåôáé üìùò êáé Üìåóá. Åóôù v ôo Üvõóìá ôçò ó÷åôéêÞò

ôá÷ýôçôáò. Ãéá ôá ávýóìáôá èÝóçò ~r êáé ~r′ Ý÷oõìå áváëýovôáò êáôÜ ôçv ðáñÜëëçëçêáé êÜèåôç ðñoò ôo v äéåýèõvóç:

~r = ~r + ~r⊥ , ~r′

= ~r′

+ ~r′

⊥(2.9)

üðoõ

~r′

=~r

′ · ~vv2

~v , ~r′

⊥= ~r

′ − ~r′ · ~vv2

~v (2.10)

Ãvùñßæoõìå üìùò üôé:

r⊥ = r′

⊥, r = γ (r

′

+ v t′

) (2.11)

t = γ (t′

+r′

v

c2) = γ (t

′

+~r

′ · ~vc2

) (2.12)

EðoìÝvùò Ý÷oõìå:

~r = ~r + ~r⊥ (2.13)

= γ (~r′

+ ~v t′

+ ~r′

⊥(2.14)

= γ

(

~r′ · ~vv2

~v + ~v t′

)

+ ~r′ − ~r

′ · ~vv2

~v (2.15)

= ~r′

+ ~v

[

~r′ · ~vv2

(γ − 1) + γ t′

]

(2.16)

ÈÝôovôáò â = v/c ðáßñvoõìå ôåëéêÜ:

~r = ~r′

+ ~β

[

γ − 1

β2(~r

′ · ~β) + γ c t′

]

(2.17)

êáé åðåéäÞ β2 = (γ2 − 1)/γ2

~r = ~r′

+ ~β γ

[

γ

γ + 1~β · ~r′ + c t

′

]

(2.18)

c t = γ [c t′

+ ~β · ~r′ ] (2.19)

ÐáñáôÞñçóç



Õðü ìoñöÞ ðévÜêùv Ý÷oõìå:

xyzct

=

γ 0 0 +βγ0 1 0 00 0 1 0

+βγ 0 0 γ

·

x′

y′

z′

c t′

(2.20)

Åóôù äýo äéáäo÷éêoß ìåôáó÷çìáôéóìoß Lorentz:

Σ′′ → Σ

′ → Σ (2.21)

Å÷oõìå:

xyzc t

=

γ 2 0 0 β2γ2

0 1 0 00 0 1 0

β2γ2 0 0 γ2

·

γ1 0 0 β1γ1

0 1 0 00 0 1 0

β1γ1 0 0 γ1

·

x′′

y′′

z′′

c t′′

(2.22)

=

γ 2γ 1 +β 2β 1γ 2γ 1 0 0 γ 2β 1γ 1 +β 2γ 2γ 1

0 1 0 00 0 1 0

β 2γ 2γ 1 +γ 2β 1γ 1 0 0 β 2γ 2β 1γ 1 +γ 2γ 1

·

x′′

y′′

z′′

c′′t

(2.23)

=

γ 0 0 βγ0 1 0 00 0 1 0

βγ 0 0 βγ

·

x′′

y′′

z′′

c′′t

(2.24)

oðüôå ðñÝðåé vá Ý÷oõìå: γ = γ2γ1 (1 + β2β1) êáé βγ = γ2γ1 (β1 + β2)Ávôéêáèéóôþvôáò ôçv ðñþôç óôç äåýôåñç ðáßñvoõìå

β γ2 γ1 (1 + β2β1) = γ2γ1 (β1 + β2)Þ

β =β 1 + β 2

1+ β 1β 2

(2.25)

v =v 1 + v 2

1 + v 1v 2

c2

(2.26)

2.2 Eðéðôþóåéò óôoõò Íüìoõò ôçò Ìç÷ávéêÞò

2.2.1 Måôáó÷çìáôéóìüò Ôá÷õôÞôùv

Eóôù v ó÷åôéêÞ ôá÷ýôçôá ôùv äýo óõóôçìÜôùv. Ãéá ôçv ôá÷ýôçôá åvüò óçìåßoõ

Ý÷oõìå ãéá ôá äýo óõóôÞìáôá ávôßóôoé÷á ux = dx/dt , u′

x = dx′/dt′ ê.ë.ð. üðoõx′ = γ(x − vt) , t′ = γ(t − βx/c). Ðáßñvoõìå:


2.2. EÐÉÐÔÙÓÅÉÓ ÓÔOÕÓ ÍÏÌOÕÓ ÔÇÓ ÌÇ×ÁVÉÊÇÓ

u′

x =dx

′

dt′=

dx′

dt· dtdt′

(2.27)

u′

y =dy

′

dt′=

dy′

dt· dtdt′

(2.28)

u′

z =dz

′

dt′=

dz′

dt· dtdt′

(2.29)

Å÷oõìå:

dtdt′

= ddt′

[γ(t′ + β x′

c)] = γ [1 +

βux′

c]

dx′

dt= d

dt[γ(x − vt)] = γ(ux − v)

dy′

dt= dy

dt= uy

dz′

dt= dz

dt= uz

Ðáßñvoõìå

ux′ = γ(ux − v)γ(1 +βux′

c)

Þ

ux′ =ux − v

1 − ux vc2

(2.30)

Åôóé Ý÷oõìå

dtdt′

= γ[1 + βc· (ux − v)

(1 −ux v

c2)]

Þdt

dt′=

1

γ· 1

1 − ux vc2

(2.31)

Áñá

uy′ =1

γ· 1

1 − ux vc2

uy (2.32)

uz′ =1

γ· 1

1 − ux vc2

uz (2.33)

ÐáñáôÞñçóç 1.Ëývovôáò ôçv (2.30) ùò ðñoò ux ðáßñvoõìå:

ux =ux′ + v

1 +ux′ v

c2

(2.34)



ç oðoßá ôáõôßæåôáé ìå ôçv (2.26). ÄçëáäÞ ç (2.34) äßvåé äýo äéáäo÷éêoýò

ìåôáó÷çìáôéóìoýò Lorentz áðü ôo áñ÷éêü óýóôçìá Ó óôo áäñávåéáêü óýóôçìá ôoõ

êévoõìÝvoõ óçìåßoõ.

ÐáñáôÞñçóç 2.Óôçv êëáóéêÞ öõóéêÞ ç öoñÜ "ñoÞò" ôoõ ÷ñüvoõ óõväÝåôáé ìå ôçv áýîçóç ôçò

åvôñoðßáò óå Ývá êëåéóôü óýóôçìá. Åðßóçò áv t = t2 − t1 åßváé o ÷ñüvoò ðoõìåóoëÜâçóå ìåôáîý äýo ãåãovüôùv ìå ó÷Ýóç áéôßoõ êáé áðoôåëÝóìáôoò Ý÷oõìå Ät

> 0. Ïé äýo áõôÝò éäéüôçôåò ôoõ ÷ñüvoõ èá ðñÝðåé vá ðáñáìÝvoõv áváëëoßùôåò ùò

ðñoò ôoõò ìåôáó÷çìáôéóìoýò Lorentz. Áõôü óçìáßvåé üôé èá ðñÝðåé vá Ý÷oõìå ðÜvôá:

dt

dt′≥ 0 (2.35)

äçëáäÞ

u ≤ c (2.36)

ãéá êÜèå äéÜäoóç ðoõ óõväÝåôáé ìå "öáévüìåvo áéôßoõ-áéôéáôoý".ÐáñáôÞñçóç 3.Áðü ôçv (2.34) âëÝðoõìå üôé ç óývèåóç ôáxõôÞôùv Ýxåé ôçv éäéüôçôá vá ìçv

ìðoñåß vá îåðåñáóôåß ç ôá÷ýôçôá ôoõ öùôüò ìå óývèåóç êévÞóåùv. Áv Ý÷oõìå

u′x = 0 ðáßñvoõìå:

ux =c + v

1 + c vc2

= c (2.37)

2.2.2 H Aváãêáéüôçôá Ãåvßêåõóçò ôùv Íüìùv ôoõ Íåýôùvá

Ç ÌåôáâoëÞ ôçò ÌÜæáò

ÐáñáôÞñçóçÓôçv ÊëáóéêÞ Ìç÷ávéêÞ Ý÷oõìå ôéò èÝóåéò, ôo ÷ñüvo, ôéò ôá÷ýôçôåò, ôéò oñìÝò, ôéò

ìÜæåò, ôéò åðéôá÷ývóåéò, ôéò äõvÜìåéò êáé ôoõò Íüìoõò ôoõ Íåýôùvá ðoõ óõväÝoõv ôéò

ðoóüôçôåò áõôÝò. Ãéá vá ãåvéêåõôoývå oé vüìoé ôoõ Íåýôùvá åßôå óôçv Ó÷åôéêüôçôá

åßôå óôçv Êâávôoìç÷ávéêÞ ðñÝðåé vá îåêáèáñéóôåß ðñþôá ç éåñáñ÷éêüôçôá êáé o

ñüëoò ôùv ðáñáðÜvù ðoóoôÞôùv. Áõôü éó÷ýåé ü÷é ìüvo ãéá ôçv ÊëáóéêÞ Ìç÷ávéêÞ

áëëÜ êáé ãéá êÜèå ÖõóéêÞ Èåùñßá.

Å÷oõìå êáô’áñ÷Þv ôéò âáóéêÝò ìåôáâëçôÝò ðoõ êáèoñßæoõv ðëÞñùò ôçvêáôÜóôáóç åvüò öõóéêoý óõóôÞìáôoò üðùò oé èÝóåéò x, y, z êáé o ÷ñüvoò t.

ÌåôÜ Ý÷oõìå ôéò êévçìáôéêÝò ðoóüôçôåò üðùò ôá÷ýôçôåò êáé åðéôá÷ývóåéò êáéôïõò êávüvåò óývèåóçò ôùv ðoõ áðoôåëoýv ôçv êévçìáôéêÞ ôçò èåùñßáò. ÔÝëoòÝ÷oõìå ôoõò vüìoõò ôçò ÷ñovéêÞò åîÝëéîçò ôùv êévçìáôéêþv ðoóoôÞôùv üðùò åßíáéoé vüìoé ôoõ Íåýôùvá. Ç áðáßôçóç ãéá ôçv áðëoýóôåñç äõváôÞ äéáôýðùóç êáé ãéá

ðáãêoóìéüôçôá áõôþv ôùv vüìùv óõvåðÜãåôáé áö’åvüò ôçv ýðáñîç ÷áñáêôçñéóôéêþv

ðáñáìÝôñùv ôùv öõóéêþv óõóôçìÜôùv, üðùò ìÜæá, ðõêvüôçôá öoñôßoõ ê.ë.ð. êáé



áö’åôÝñoõ áváêÜëõøç åéäéêþv ó÷Ýóåùv ðoõ óõväÝoõv ôéò êévçìáôéêÝò ðoóüôçôåò

êáé áõôÝò ôéò ðáñáìÝôñoõò. ÁõôÝò oé åéäéêÝò ó÷Ýóåéò åßváé oé äéÜöoñåò ìoñöÝò

äõvÜìåùv. Ãéá ðáñÜäåéãìá óôov vüìo ôoõ Coulomb Ý÷oõìå ôá åîÞò:

ÕðÜñ÷åé ìßá ðáñÜìåôñoò m êáé ìßá ðáñÜìåôñoò q ðoõ ÷áñáêôçñßæoõv ôá öõóéêÜ

óõóôÞìáôá Ýôóé þóôå ãéá ôçv êévçìáôéêÞ ðoóüôçôá d2~r/dt2 üðoõ ~r ç ó÷åôéêÞáðüóôáóç ìåôáîý äýo ôÝôoéùv óùìÜôùv vá éó÷ýåé

m1d2~r

dt2= − k

q1 q2r2

r (2.38)

üðoõ k åßíáé ìßá ðáãêüóìéá óôáèåñÜ, êáé ôo óþìá 2 èåùñåßôáé áêßvçôo.

Ç (2.38) Ý÷åé ôç ìoñöÞ:

m1d2~r

dt2= F (q , ~r) (2.39)

ç oðoßá ìáò ëÝåé üôé ãéá Ývá öõóéêü óþìá ðoõ Ý÷åé ôéò ðáñáìÝôñoõò m1 , q1 ôoãévüìåvo m1d

2~r/dt2 äßvåôáé ðÜvôá áðü ôçv ßäéá óõvÜñôçóç F (q1, ~r). Ôo "ðÜvôá"óçìáßvåé vüìoò äçëáäÞ o vüìoò ôoõ Íåýôùvá êáé ôo "ßäéá óõvÜñôçóç" óçìáßvåéýðáñîç ÷áñáêôçñéóôéêþv ôÝôoéùv óõváñôÞóåùv óôç öýóç ðoõ ôéò ovoìÜæoõìå

äõvÜìåéò (åäþ ç äýváìç Coulomb).

Tþñá ç ìåôÜâáóç áðü ôçv (2.38) óôçv (2.39) Ýãévå ìå ôo "êñýøéìo" ôoõ äåõôÝñoõ

óùìáôßoõ. Óôéò ðåñéðôþóåéò ôçò ôñéâÞò ôo êñýøéìo ôùv Üëëùv óùìáôßùv åßváé

ðéü äñáóôéêü. Ç ávôßóôñoöç ðoñåßá, äçëáäÞ ç áðoêÜëõøç ôùv ðçãþv ôçò äñÜóçò

ðÜvù óå Ývá öõóéêü óýóôçìá, óÞìåñá Ý÷åé öôÜóåé óå êÜðoéo äåäoìÝvo üñéo. ÓÞìåñá

ãvùñßæoõìå üôé õðÜñ÷oõv ìüvo ôÝóóåñá åßäç èåìåëéáêþv äõvÜìåùv: oé éó÷õñÝò,oé çëåêôñoìáãvçôéêÝò, oé áóèåvåßò êáé oé âáñõôéêÝò. Ç ìoñöÞ áõôþv ôùv

äõvÜìåùv êáé ç åvùðoßçóç ôùv, üðùò Ýãévå óôçv ðåñßðôùóç ôùv çëåêôñéêþv

êáé ìáãvçôéêþv óå çëåêôñoìáãvçôéêÝò, áðoôåëåß ávôéêåßìåvo Ývôovçò åñåõvçôéêÞò

äñáóôçñéüôçôáò.

Ôo ðñüâëçìá üìùò ãéá ìáò åäþ äåv åßváé ç ìoñöÞ ôùv èåìåëéáêþv äõvÜìåùv

áëëÜ áõôÞ êáè’áõôÞ ç äéáôÞñçóç ôùv ó÷Ýóåùv Þ vüìùv üðùò ç (2.39) óôçv

ðåñßðôùóç ôçò Ó÷åôéêüôçôáò. ÐåñéìÝvoõìå äñáóôéêÞ áëëáãÞ áõôÞò ôçò äéáôýðùóçò

ãéáôß êáé oé èåìåëéáêÝò ðoóüôçôåò x,y,z,t êáé oé êévçìáôéêÝò ðoóüôçôåò d~r/dtÝ÷oõv ìç êëáóéêoýò ìåôáó÷çìáôéóìoýò. Ôo èåìåëéáêü åñþôçìá åßváé ðùò ðñÝðåé

vá äéáôõðùèoýv oé äõváìéêoß vüìoé Ýôóé þóôå vá Ý÷oõv áváëëoßùôo ÷áñáêôÞñá,

äçëáäÞ vá éó÷ýoõv êÜôù áðü ôéò ßäéåò öõóéêÝò ðñoûðoèÝóåéò óå üëá ôá áäñávåéáêÜ

óõóôÞìáôá.

Ôo ðñüâëçìá ðoõ ôßèåôáé Üìåóá åßváé vá âñoýìå ôov ôñüðo ìå ôov oðoßo

ìåôáó÷çìáôßæåôáé ç oñìÞ. Ãéá vá ôo ðåôý÷oõìå áõôü èá áðáéôÞóoõìå ôov vüìo

äéáôÞñçóçò ôçò oñìÞò vá éó÷ýåé óå üëá ôá áäñávåéáêÜ óõóôÞìáôá.

Åóôù ôo (voçôéêü) ðåßñáìá ôçò åëáóôéêÞò êñoýóçò äýo ôåëåßùv ëåßùv óöáéñþv.

Åóôù ç óöáßñá á êévåßôáé óôo óýóôçìá Ó ðñoò ôo èåôéêü Üîová y ìå ôá÷ýôçôá u

êáé ç â óôo óýóôçìá Ó’ ðñoò ôov áñvçôéêü Üîová y’ ìå ôá÷ýôçôá -u Ýôóé þóôå, ìå



Ó÷Þìá 2.2: Êñïýóç äýï ëåßùí óöáéñþí

äåäoìÝvç ôç ó÷åôéêÞ ôá÷ýôçôá v vá ãßvåé ç êñoýóç óå êÜðoéá óôéãìÞ. Åóôù Vα êáé

Vβ oé äýo ôá÷ýôçôåò óôo Ó êáé V′

α êáé V′

β óôo Ó’. Èá Ý÷oõìå:

Vαx = 0 V′

αx = −v (2.40)

Vαy = u V′

αy = u

(

1 − v2

c2

)1/2

(2.41)

Vβx = v V′

βx = 0 (2.42)

Vβy = −u(

1 − v2

c2

)1/2

V′

βy = −u (2.43)

(2.44)

ÅðåéäÞ oé óöáßñåò åßváé ëåßåò äåv ðñÝðåé vá Ý÷oõìå áëëáãÞ ôçò ôá÷ýôçôáò êáôÜ

ôov Üîová ôùv x. ÈÝëoõìå üìùò o vüìoò ôçò äéáôÞñçóçò ôçò oëéêÞò oñìÞò vá åßváé

áváëëoßùôoò êáé åðåéäÞ oé ôá÷ýôçôåò ìåôáó÷çìáôßæovôáé ðñÝðåé vá õðoèÝóoõìå üôé

ç oñìÞ oñßæåôáé ãåvéêÜ óáv ôo ãévüìåvo êÜðoéáò óõvÜñôçóçò ôçò oëéêÞò ôá÷ýôçôáò

åðß ôçv óõvéóôþóá ôçò ôá÷ýôçôáò, äçëáäÞ:

pi = φ(ïëéêÞ ôá÷ýôçôá) ui = f(u, v) ui (2.45)

ìå ôçv óõvèÞêç:

limv→0

f(u, v) = mo (2.46)

Ýôóé þóôå vá êáôáëÞãoõìå óôov êëáóéêü oñéóìü.

Åöáñìüæovôáò ôþñá ôç äéáôÞñçóç ôçò oñìÞò ãéá ôoõò Üîovåò x êáé y ðáßñvoõìå



(üðoõ u óçìáßvåé ôá÷ýôçôá ìåôÜ ôçv êñoýóç):

φ(u) · 0 + φ

[√

v2 + u2

(

1 − v2

c2

)

]

· v

= φ(u) · 0 + φ

[√

v2 + u2

(

1 − v2

c2

)

]

· v (2.47)

êáé

φ(u) · u − φ

[√

v2 + u2

(

1 − v2

c2

)

]

· u ·√

1− v 2

c2

= φ(u) · u − φ

[√

v2 + u2

(

1 − v2

c2

)

]

· u ·√

1− v 2

c2(2.48)

Ç (2.46) ìáò äßvåé u = ±u, áëëÜ ãéá vá óõìðßðôåé ìå ôçv ÊëáóéêÞ Ìç÷ávéêÞðáßñvoõìå u = −u. Ïðüôå ç (2.47) äßvåé:

−u ·{

φ (−u)−φ[√

v 2 +(−u ) 2 .

(

1− v 2

c 2

)

]

.

√

1− v 2

c 2

}

= u ·{

φ (u)−φ[√

v 2 + u 2 .

(

1− v 2

c 2

)

]

.

√

1− v 2

c 2

}

(2.49)

Áñá ðñÝðåé vá Ý÷oõìå:

φ

[√

v 2 + u 2 .

(

1− v 2

c 2

)

]

=φ (u)

√

1− v 2

c 2

(2.50)

Ãéá u → 0 ðáßñvoõìå:

φ (v) =φ (0)

√

1− v 2

c 2

=m o

√

1− v 2

c 2

(2.51)

Áñá Ýxoõìå ôç ìåôáâoëÞ ôçò ìÜæáò:

m(v) =m o

√

1− v 2

c 2

(2.52)



Ôo ðñüâëçìá ôçò Äýváìçò

Ï vüìoò ôoõ Íåýôùvá äßvåé:

~F =d

dt

m o~u(

1− u 2

c 2

) 1/2=

m o(

1− u 2

c 2

) 1/2

d~u

dt+

m o u~u

c 2(

1− u 2

c 2

) 3/2

du

dt(2.53)

Ç (2.52) ëÝåé üôé ç äýváìç äåv åßváé ðëÝov óõããñáììéêÞ ðñoò ôçv åðéôÜ÷õvóç

d~u/dt áëëÜ Ý÷åé êáé ìßá óõvéóôþóá ðñoò ôç äéåýèõvóç ôçò ôá÷ýôçôáò ~u ðoõ èáìðoñoýóå vá åñìçvåõôåß óáv äéÜêñéóç óå äéáìÞêç êáé åãêÜñóéá áäñávåéáêÞ ìÜæá.

Áõôü äåv åßváé üìùò ðñüâëçìá. Ôo åñþôçìá ðoõ ôßèåôáé åßváé ðùò ìåôáó÷çìáôßæåôáé

ç äýváìç Ýôóé þóôå oé óõvèÞêåò éóoññoðßáò Þ ç ìoñöÞ êßvçóçò vá åßváé áváëëoßùôç

êÜôù áðü ôoõò ìåôáó÷çìáôéóìoýò Lorentz. O áðëoýóôåñoò ôñüðoò vá âñoýìå Ýváv

ôÝôoéo ìåôáó÷çìáôéóìü åßváé êáé o ðéü ãåvéêüò. ÄçëáäÞ vá åêöñÜóoõìå ôov Íüìo

ôoõ Íåýôùvá êáôÜ Ývá ôñüðo ðoõ vá åßváé ávåîÜñôçôoò áðü óõãêåêñéìÝvo óýóôçìá

áváöoñÜò. Áõôü ëÝãåôáé óõváëëoßùôoò ôñüðoò äéáôýðùóçò ôùv öõóéêþvvüìùv.

2.2.3 Ç Ývvoéá ôçò Óõváëëoßùôçò Äéáôýðùóçò ôùv Íüìùv

ôçò ÖõóéêÞò

Åóôù ìßá äýváìç F ðoõ ðáñÜãåé êÜðoéo Ýñão W(C) ìåôáêévþvôáò ôo óçìåßo

åöáñìoãÞò ôçò ðÜvù óå ìßá êáìðýëç C. ÅðéëÝãovôáò êÜðoéo óýóôçìá óõvôåôáãìÝvùv

Ý÷oõìå:

W (C) =

∫

C

[Fx dsx + Fy dsy + Fz dsz ] =

∫

C

~F · d~s (2.54)

Eóôù Fz = 0 êáé üôé ç êáìðýëç êåßôáé óôo åðßðåäo xy. Áv óôñßøoõìå ôoóýóôçìá áváöoñÜò êáôÜ ãùvßá È èá Ý÷oõìå:

(

F ′

x

F ′

y

)

=

(

cosθ sinθ−sinθ cosθ

)

·(

F x

F y

)

(2.55)

êáé üìoéá ãéá ôo Üvõóìá (ds′x, ds′

y). Ðáßñvoõìå üìùò:

~F ′·d ~s′ = ~F ·d~s (2.56)

oðüôå

W = W ′ (2.57)

Ïé óõvéóôþóåò ôçò äýváìçò êáé ôoõ äñüìoõ åîáñôþvôáé áðü ôo äåäoìÝvo óýóôçìá

áváöoñÜò ðoõ ìðoñåß vá êñýâåé ôo ðñáãìáôéêü öáévüìåvo. Áv ãéá ðáñÜäåéãìá ç

(2.53) Þôáv:



W (C) =

∫

C

F x ds x (2.58)

óå Ývá Üëëo óýóôçìá áváöoñÜò èá ãévüôáv:

W (C) =

∫

C′

( F ′x ds

′x + F ′

y ds′y ) (2.59)

Ávôßèåôá ç Ýêöñáóç (2.53) åßváé ç ßäéá óå üëá ôá óõóôÞìáôá ðoõ äéáöÝñoõv êáôÜ

ìßá óôñoöÞ ôùv áîüvùv. Ç (2.53) åßváé áváëëoßùôç äéáôýðùóç ôoõ oñéóìoý ôoõÝñãoõ äýváìçò, Áváëëoßùôç êÜôù áðü ôoõò ìåôáóçìáôéóìoýò ôùv óôñoöþv.Åôóé ðñÝðåé vá äéáôõðþóoõìå ôoõò Íüìoõò ôçò ÖõóéêÞò, óáv áváëëoßùôåò åêöñÜóåéò

êÜôù áðü ôoõò Ìåôáó÷çìáôéóìoýò Lorentz. Ãéá vá ãßvåé áõôü ðñÝðåé vá äþóoõìå

ìéÜ ãåùìåôñéêÞ åñìçvåßá ôùv Ìåôáó÷çìáôéóìþv. Èá äoýìå üôé åßváé óôñoöÝò óå

Ývá ÷þño ôåóóÜñùv äéáóôÜóåùv, ôo ÷þño Minkowski. Èá ðñÝðåé oé åêöñÜóåéò ôùv

Íüìùv vá åßváé åóùôåñéêÜ ãévüìåvá óôo ÷þño Minkowski Ýôóé þóôå vá ðáñáìÝvoõv

áváëëoßùôåò üðùò ç (2.53).


ÊåöÜëáéï 3

Ï ×ÙÑÏÓ MINKOWSKI.ÔÅÔÑÁÄIÁÍÕÓÌÁÔÁ ÊÁIÔÁÍÕÓÔÅÓ

3.1 Ç ÃåùìåôñéêÞ åéêüvá ôoõ Ìåôáó÷çìáôéóìoý

Lorentz

3.1.1 ÓôñoöÝò óôo ÷þño

Eóôù oñèoãþvéo óýóôçìá óõvôåôáãìÝvùv óôo ÷þño R3. Ìßá óôñoöÞ êáôÜ ãùvßá È

ãýñù áðü ôov Üîová z äßvåôáé ìå ôov ðßváêá:

U(θ ) =

cosθ sinθ 0−sinθ cosθ 0

0 0 1

(3.1)

äçëáäÞ~r′ = U(θ )~r (3.2)

Å÷oõìå ôéò éäéüôçôåò:

U(θ 1 +θ 2 ) = U(θ 1 )·U(θ 2 ) (3.3)

U(−θ ) = U −1 (θ ) (3.4)

U(0) = I = ìïíáäéáßïò ðßíáêáò (3.5)

AõôÝò oé éäéüôçôåò êÜvoõv ôo óývoëo ôùv ðévÜêùv U(è) ìßá ÏìÜäá. Ìßá

óôñoöÞ ãýñù áðü Ýváv ôõ÷áßo Üîová äßvåôáé ìå Ývá ãévüìåvo ôñéþv ðévÜêùv ôçò

33

ÊÅÖÁËÁÉÏ 3. Ï ×ÙÑÏÓ MINKOWSKI.

ìoñöÞò (3.1) áëëÜ ìå äéáöoñåôéêÝò èÝóåéò ôùv 0 êáé 1. Åóôù ôþñá ôñåéò óõváñôÞóåéò

A1(~r) , A2(~r) , A3(~r). Áv êÜvoõìå ìßá óôñoöÞ óôo óýóôçìá óõvôåôáãìÝvùvêáôÜ ãùvßá è, oðüôå ~r′ = U(θ)~r èá Ý÷oõìå óôo vÝo óýóôçìá ôéò óõváñôÞóåéòA′

1(~r′) , A′

2(~r′) , A′

3(~r′). Áv éó÷ýåé üôé

A′

i (~r ) =∑

j

U ij (θ ) A j (U(−θ ) ~r ) (3.6)

äçëáäÞ áv óôo vÝo óýóôçìá áváöoñÜò oé óõváñôÞóåéò åßváé ãñáììéêüò óõväéáóìüò

ôùv ôéìþv ôùv óõváñôÞóåùv óôo ðáëéü óýóôçìá áváöoñÜò ìå óõvôåëåóôÝò ßäéoõò ìå

ôoõò óõvôåëåóôÝò ðoõ óõväÝoõv ôá ~r′ êáé ~r ôüôå ëÝìå üôé áõôÝò oé óõváñôÞóåéò åßváéoé ôñåéò óõvéóôþóåò ìéáò äéávõóìáôéêÞò óõvÜñôçóçò.Áv ìßá óõvÜñôçóç F (~r) Ý÷åé ôçv éäéüôçôá:

~F ′ (~r ) = ~F (U(−θ ) ~r (3.7)

ôüôå ç F (~r) ëÝãåôáé âáèìùôÞ óõvÜñôçóç.

Åóôù ôþñá äýo äéávõóìáôéêÝò óõváñôÞóåéò A(~r) , B(~r) . Áðü áõôÝò ìðoñoýìå

vá öôéÜîoõìå ôç âáèìùôÞ ðoóüôçôá ~A · ~B êáé ôçv äéáíõóìáôéêÞ ~A× ~B .ÁóêçóçNá áðoäåéèåß üôé ç ~A · ~B åßváé âáèìùôÞ êáé ç ~A× ~B äéávõóìáôéêÞ.

ÐáñáôÞñçóçÁv ávôéóôñÝøoõìå ôoõò Üîovåò, äçëáäÞ áv ~r → −~r, ôüôå Ý÷oõìå ~A(−~r) =

− ~A(~r) ãéá êÜèå äéávõóìáôéêÞ ðoóüôçôá. Áv óõìâåß vá Ý÷oõìå:

~B (−~r ) = ~B (~r ) (3.8)

ôüôå ôo ~B(~r) ëÝãåôáé øåõäoÜvõóìá.Ïìoéá áv ãéá ôç âáèìùôÞ óõvÜñôçóç F (~r) éó÷ýåé

F (−~r ) = −F (~r ) (3.9)

ôüôå áõôÞ ëÝãåôáé øåõäoâáèìùôÞ. Ðñoöávþò ç óõvÜñôçóç ~A× ~B üôáv ~A , ~Båßváé äéávõóìáôéêÝò, åßváé øåõäoávõóìáôéêÞ.

Åóôù ôþñá ~A êáé ~B äéávõóìáôéêÝò óõváñôÞóåéò, êáé oé 5 ãñáììéêoß óõväéáóìoß

C1 =A x B y + A y B x

2

C 2 =A y B z + A z B y

2

C 3 =A z B x + A x B z

2C 4 = A x B x − A y B y

C 5 = 2· A z B z − A x B x − A y B y (3.10)


3.1. Ç ÃÅÙÌÅÔÑÉÊÇ ÅÉÊÏVÁ ÔOÕ ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌOÕ LORENTZ

Ìå ìåñéêÝò ðñÜîåéò äéáðéóôþvoõìå üôé oé óõváñôÞóåéò Ci(~r) óôo vÝo óýóôçìááváöoñÜò åßváé ãñáììéêüò óõväéáóìüò ôùv óõváñôÞóåùv óôo ðáëéü óýóôçìá. ÁõôÝò

oé ðÝvôå ðoóüôçôåò áðoôåëoýv ôéò óõvéóôþóåò åvüò ôávõóôÞ ôÜîçò 5 (5th-order).KÜvoõìå åäþ ôçv åîÞò âáóéêÞ ðáñáôÞñçóç:

Ï oñéóìüò ôoõ âáèìùôoý, äéávõóìáôéêoý, ôávõóôéêoý ìåãÝèoõò, ê.ë.ð.ãßvåôáé ìå âÜóç óõãêåêñéìÝvo ìåôáó÷çìáôéóìü, äçëáäÞ ìå âÜóç óõãêåêñéìÝvçoìÜäá ìåôáó÷çìáôéóìþv. Ïðùò èá äoýìå oé ìåôáó÷çìáôéóìoß Lorentz áðoôåëoývoìÜäá ìåôáó÷çìáôéóìþv ôçv ÏìÜäá Lorentz. ÅðoìÝvùò óå ó÷Ýóç ìå ôçv oìÜäáLorentz èá Ý÷oõìå vÝoõò oñéóìoýò âáèìùôþv, äéávõóìáôéêþv, ôávõóôéêþv, ê.ë.ð.ìåãåèþv.

Åßäáìå ðéü ðÜvù üôé ôo Ýñão äýváìçò:

W (C) =

∫

C

~F ·d~s (3.11)

åßváé ìßá áváëëoßùôç ðoóüôçôá óôéò óôñoöÝò. ÄçëáäÞ åßváé Ývá âáèìùôüìÝãåèoò. Áõôü ôo êÜvåé ávåîÜñôçôo áðü óõãêåêñéìÝvç åðéëoãÞ óõóôÞìáôoò

óõvôåôáãìÝvùv.

Åvá Üëëo ðáñÜäåéãìá åßváé ôo äõváìéêü áëëçëåðßäñáóçò åvüò äéðüëoõ (äéðoëéêÞò

ñoðÞò) ì ìå ôo ìáãvçôéêü ðåäßo. Å÷oõìå

V µ = k~µ· ~B (3.12)

Áv Ô åßváé ç êévçôéêÞ åvÝñãåéá ôoõ äéðüëoõ ôüôå ç oëéêÞ åvÝñãåéá ôoõ:

E = T + k~µ· ~B (3.13)

åßváé Ývá âáèìùôü ìÝãåèoò êÜôù áðü ôéò óôñoöÝò. Èá äoýìå ðéü êÜôù üôé

ç åvÝñãåéá äåv åßváé âáèìùôÞ ðoóüôçôá êÜôù áðü ôçv oìÜäá Lorentz.Ïé åêöñÜóåéò (3.11,3.12,3.13) áðoôåëoýv áváëëoßùôåò äéáôõðþóåéò (ãéá ôéò óôñoöÝò)

âáóéêþv ìç÷ávéêþv ðoóoôÞôùv. Ìáò ÷ñåéÜæovôáé åðoìÝvùò áváëëoßùôåò ðoóüôçôåò

ôùv öõóéêþv ðoóoôÞôùv óôçv Ó÷åôéêüôçôá.

ÐáñáôÞñçóçÁv ãvùñßæoõìå (Þ áðáéôoýìå) ç ðoóüôçôá ~A · ~B vá åßváé âáèìùôÞ, üðoõ ôo ~A

åßváé äéávõóìáôéêÞ ðoóüôçôá, ôüôå ðñÝðåé ôo ~B vá åßváé äéávõóìáôéêÞ ðoóüôçôá.

Áõôü èá ôo ÷ñçóéìoðoéÞóoõìå ãéá vá êáôáóêåõÜóoõìå ôéò ávôßóôoé÷åò äéávõóìáôéêÝò

ðoóüôçôåò óôç Ó÷åôéêüôçôá.

3.1.2 O ×þñoò Minkowski

Åóôù o äéávõóìáôéêüò ÷þñoò R4 ìå óôoé÷åßá xµ = (x0, x1, x2, x3). Áv oñßóoõìå ãéáêÜèå Üvõóìá xǫR4 Ývá ìÝôño

‖ xµ ‖ 2 = ( x 0 ) 2 +( x 1 ) 2 +( x 2 ) 2 +( x 3 ) 2(3.14)



êáé åóùôåñéêü ãévüìåvo:

(x·y) = x 0 y 0 + x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 (3.15)

Ï R4 ãßvåôáé o Åõêëåßäåéoò ÷þñoò E4. Ðáñáôçñoýìå üôé ôo åóùôåñéêü ãévüìåvo

(3.15) åßváé áváëëoßùôo êÜôù áðü ôçv ÏìÜäá ôùv Óôñoöþv ãéá ôÝóóåñåéòäéáóôÜóåéò. Ï Ìinkowski ðÞñå ôo ÷þño R4 êáé Ýêávå ôçv ôáýôéóç ôoõ xo ìå ôo

ct êáé ôùí x1 , x2 , x3 ìå ôéò óõvôåôáãìÝvåò ÷þñoõ x,y,z. ÐáñáôÞñçóå ôüôå üôé ç

ðoóüôçôá:

(ct ) 2 − x 2 − y 2 − z 2 = ( x o ) 2 −(~r ) 2(3.16)

åßváé áváëëoßùôç êÜôù áðü ôoõò ìåôáó÷çìáôéóìoýò Lorentz. Åôóé

oäçãÞèçêå o Minkowski óôov oñéóìü ôoõ ìÝôñoõ êáé ôoõ åóùôåñéêoý ãévoìÝvoõ

ìå ôéò ó÷Ýóåéò:

‖x ‖ 2 ≡( x 0 ) 2 −( x 1 ) 2 −( x 2 ) 2 −( x 3 ) 2(3.17)

(x·y) ≡ x o y o −~x·~y (3.18)

Ìå ôov ôñüðo áõôüv o ìáôáó÷çìáôéóìüò Lorentz áöÞvåé ôo ìÝôño êáé ôo ãévüìåvo

ôùv ávõóìÜôùv áváëëoßùôo. Åßváé äçëáäÞ óáv Ývá vÝo åßäoò óôñoöÞò. Ï ÷þñoò R4

ìå ôoõò oñéóìoýò (3.17, 3.18) ëÝãåôáé ÷þñoò Minkowski M4.

Ôo üôé oé ìåôáó÷çìáôéóìoß Lorentz ìoéÜæoõv ìå óôñoöÞ ìðoñoýìå vá ôo äoýìå ìå

ôo åîÞò ôÝ÷váóìá:

Eóôù ôo óôoé÷åéþäåò ìÞêoò óôov M4

ds 2 = c 2 dt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2 (3.19)

Áv ãñÜøoõìå:

X o = ix o , dS = ids (3.20)

ôüôå Ý÷oõìå

dS 2 = dX o + dx 2 + dy 2 + dz 2 (3.21)

ðoõ ìoéÜæåé ìå ôo óôoé÷åéþäåò ìÞêoò óôov Åõêëåßäåéo þño E4. ÂÝâáéá åäþ ç

óõvôåôáãìÝvç Xo åßváé öávôáóôéêÞ. Óôo åðßðåäo (Xo, x1) Ý÷oõìå ôçv óôñoöÞ

x′1

= x 1 cosθ + X o sinθ (3.22)

X ′ o= − x 1 sinθ + X o cosθ (3.23)

Ðáñáôçñoýìå üôé áðü ôéò ó÷Ýóåéò:

cosθ =e iθ + e −iθ

2(3.24)


3.1. Ç ÃÅÙÌÅÔÑÉÊÇ ÅÉÊÏVÁ ÔOÕ ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌOÕ LORENTZ

Ó÷Þìá 3.1: ÓôñïöÞ ìå öáíôáóôéêÞ ãùíßá è

sinθ =e iθ − e −iθ

2i(3.25)

ìå ôçv ávôéêáôÜóôáóç è = iö ðáßñvoõìå:

cos (iθ ) =e −φ + eφ

2=coshφ (3.26)

sin (iθ ) =e −φ − eφ

2i= isinhφ (3.27)

oðüôå áðü ôéò (3.22,3.23) ðáßñvoõìå

x′ = xcoshφ −ctsinhφ (3.28)

ct′ = −xsinhφ +ctcoshφ (3.29)

oé oðoßåò äßvoõv ôo ìåôáó÷çìáôéóìü Lorentz áv êÜvoõìå ôçv ôáõôoðoßçóç:

tanhφ =v

c= β (3.30)

sinhφ =β

√

1−β 2, coshφ =

1√

1−β 2(3.31)

ÄçëáäÞ oé ìåôáó÷çìáôéóìoß Lorentz åßváé óôñoöÝò ìå öávôáóôéêÞ ãùvßá óôov

R4 ìå öávôáóôéêÞ ôåôÜñôç óõvôåôáãìÝvç. Ðáñáôçñoýìå üôé áðü ôéò ( 3.26, 3.27)

ðáßñvoõìå

tanh (φ 1 +φ 2 ) =tanhφ 1 +tanhφ 2

1+tanhφ 1 +tanhφ 2

(3.32)



Ó÷Þìá 3.2: ÃåùìåôñéêÞ åéêüíá ôïõ Ìåôáó÷çìáôéóìüý Lorentz óôïí ÷þñï Minkowski

Þ

β =β 1 +β 2

1+β 1β 2

(3.33)

ÄçëáäÞ ç óývèåóç ôùv ìåôáó÷çìáôéóìþv Lorentz åßváé áðëþò o êávüváò

óývèåóçò ôùv õðåñâoëéêþv åöáðôoìÝvùv.

Ìå ôéò ðñáãìáôéêÝò óõvôåôáãìÝvåò (xo, x1, x2, x3) = (xo, ~r) o ìáôáó÷çìáôéóìüòLorentz äåv ìoéÜæåé ìå óôñoöÞ üðùò öáßvåôáé êáé óôo Ó÷Þìá 3.2.

Ðáñáôçñoýìå áðü ôo Ó÷Þìá 3.2 üôé ôá ãåãovüôá O = (xo = 0, x1 = 0) êáéA′ = (x′o = 0, x′1 = OA′) åßváé ôáõôü÷ñová óôo óýóôçìá Ó’ áëëÜ äåv åßváéôáõôü÷ñová óôo Ó. ÐÝñá áðü áõôÞv ôçv Üìåóç ðáñáôÞñçóç, ìðoñoýìå vá âãÜëoõìå

êáé ôéò Üëëåò êévçìáôéêÝò óõvÝðåéåò ôçò Ó÷åôéêüôçôáò, áñêåß vá ãßvåé oñèÞ ÷ñÞóç

ôçò Ývvoéáò ìÝôñçóçò ìçêþv êáé ÷ñüvùv óôo äéÜãñáììá ôoõ Ó÷Þìáôoò 3.2.

Å÷oõìå üôé

( x 0 ) 2 −( x 1 ) 2 −( x 2 ) 2 −( x 3 ) 2 = óôáèåñü (3.34)

H éäéüôçôá áõôÞ ìáò äßvåé ôç äõváôüôçôá vá êáëýøoõìå ôo äéÜãñáììá ôùv

ãåãovüôùv óôo åðßðåäo (xo, x1) ìå Ývá ðëÝãìá õðåñâoëþv (xo)2 − (x1)2 = óôáèåñü,

Ýôóé þóôå ç óýãêñéóç ìçêþv êáé ÷ñüvùv vá ãßvåôáé Üìåóá.

ÁóêçóçÍá áðoäåé÷èoýv oé óõvÝðåéåò ÷ùñéêÞò óõóôoëÞò êáé ÷ñovéêÞò äéáóôoëÞò ÷ñçóéìoðoéþvôáò

ôo äéÜãñáììá (xo, x1) êáé ôçv oéêoãÝvåéá õðåñâoëþv (xo)2 − (x1)2 = óôáèåñü.

ÐáñáôÞñçóçÓôo äéÜãñáììá (x0, x1) ç ãñáììÞ x0 = x1 Þ ct = x1 åßváé ç "ôño÷éÜ" ôùv

ãåãovüôùv ôçò äéÜäoóçò ôoõ öùôüò óôo êåvü. ÊÜèå Üëëo óþìá ìå ìç-ìçäåvéêÞ ìÜæá

èá êévåßôáé ìå ôá÷ýôçôá v ≤ c Üñá áv vt = x1 ôüôå åðåéäÞ x0 = ct , Ý÷ïõìå Þ

( x 0 ) 2 −( x 1 ) 2 > 0 (3.35)


3.2. ÔÅÔÑÁÄÉÁVÕÓÌÁÔÁ ÊÁÉ ÌÇ×ÁVÉÊÅÓ ÐOÓÏÔÇÔÅÓ

Ó÷Þìá 3.3: Êþíïò öùôüò êáé Áéôéüôçôá

ãéá êÜèå õëéêü óçìåßo. Ç (3.35) äßvåé äýo ðåñéo÷Ýò óôo äéÜãñáììá (xo, x1) ìÝóá

óôéò oðoßåò èá õðÜñ÷oõv oé "ôño÷éÝò" ôùv ãåãovüôùv ðoõ ðáñéóôÜvoõv ôçv éóôoñßá

õëéêþv óçìåßùv. Ç ðåñéo÷Þ ç óõìðëçñùìáôéêÞ ôùv äýo áõôþv ðåñéo÷þv Ý÷åé ôçv

éäéüôçôá (x0)2 − (x1)2 ≤ 0 Þct< x 1 (3.36)

ÄçëáäÞ ãåãovüôá ðoõ âñßóêovôáé óôçv ðåñéo÷Þ áõôÞ äåv ìðoñoýv váåðéêoévùvÞóoõv ìå êávÝvá óÞìá öõóéêü. Èá ìðoñoýóáv vá åðéêoévùvÞóoõvìüvo ìå õðåñöùôåévÜ óÞìáôá áv ôÝôoéá õðÞñ÷áv óôç öýóç. Óôo äéÜãñáììá (xo, x1, x2)Ý÷oõìå ôov äéðëü êþvo

( x 0 ) 2 −( x 1 ) 2 −( x 2 ) 2 = 0 (3.37)

üðoõ o êëÜäoò xo ≥ 0 ðåñéÝ÷åé ôá ìÝëëovôá ãåãovüôá êáé o êëÜäoò x0 ≤ 0 ôáðáñåëèüvôá ãåãovüôá óå ó÷Ýóç ðñoò ôçv áñ÷Þ ôùv óõvôåôáãìÝvùv.

3.2 Ôåôñáäéávýóìáôá êáé Ìç÷ávéêÝò Ðoóüôçôåò

3.2.1 Tåôñáäéávýóìáôá êáé ÂáèìùôÜ ÌåãÝèç

Eóôù o ìáôáó÷çìáôéóìüò Lorentz

Λµν =

γ −βγ 0 0−βγ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

(3.38)

Av èåóðßóoõìå ôçv óýìâáóç Einstein üôé äýo äåßêôåò Åëëçvéêoß åðáváëáìâávüìåvoéóå ìßá ó÷Ýóç, üðoõ o Ýváò åßváé åðÜvù êáé o Üëëoò êÜôù óçìáßvåé Üèñoéóç,äçëáäÞ:

Aµ Bµ ≡4∑

k=1

A k B k (3.39)



ôüôå o ìáôáó÷çìáôéóìüò Lorentz ôùv èÝóåùv åßváé:

x′µ = Λµν x

ν (3.40)

Áv ôþñá Ý÷oõìå ôÝóóåñåéò óõváñôÞóåéò Aµ = (A0, A1, A2, A3) Ýôóé þóôå óôovÝo óýóôçìá óõvôåôáãìÝvùv (x′o, ~r′) vá óõväÝåôáé ìå ôéò ðáëáéÝò ìå ôç ó÷Ýóç:

Aµ′

(x) =Λµν A

ν (Λ −1x) (3.41)

ôüôå áðoôåëoýv Ývá ôåôñáäéÜvõóìá êÜôù áðü ôoõò ìåôáóçìáôéóìoýò Lorentz.

Ðñoöávþò ç ðoóüôçôá:

A·B = A 0 B 0 − ~A· ~B (3.42)

åßváé áváëëüéùôç êÜôù áðü ôoõò Lorentz êáß åðoìÝvùò åßváé Ývá âáèìùôü

ìÝãåèoò ãéá ôoõò Lorentz.

ÁóêçóçNá äåé÷èåß üôé A ·B = A′ ·B′, oðoõ Aµ = (Ao, ~A) , Bµ = (Bo, ~B).Oñßæoõìå ôov ðßváêá:

gµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(3.43)

Ï ávôßóôñoöoò ôoõ gµν Ý÷åé ôá ßäéá óôoé÷åßá. Ãéá Ývá äéÜvõóìá Aµ = (Ao, ~A)oñßæoõìå ôo äéÜvõóìá:

Aµ = gµν Aν (3.44)

E÷oõìå Aµ = (0,− ~A) . Åðßóçò Ý÷oõìå Aµ = gµνAν . Ìå ôç âoÞèåéá ôoõ gµν ôo

åóùôåñéêü ãévüìåvo ãñÜöåôáé:

A·B = gµν Aµ Bν (3.45)

3.2.2 Tåôñáôá÷ýôçôá êáé ÔåôñáoñìÞ

Óôov Åõêëåßäåéo þño E3 Ý÷oõìå üôé ç äéávõóìáôéêÞ éäéüôçôá ìéáò ðoóüôçôáò äåv

áëëÜæåé áv ôçv ðoëëáðëáóéÜóoõìå Þ ôç äéáéñÝóoõìå ìå Ývá âáèìùôü. Ð.÷.

w =~w

( ~w . ~w ) 1/2(3.46)

Óôo M4 Ý÷oõìå üôé ç ðoóüóçôá:

ds 2 = ( dx o ) 2 −(dx ) 2 −(dy ) 2 −(dz ) 2

= c 2 (dt ) 2 − (d~r ) 2(3.47)



åßváé âáèìùôü ìÝãåèoò. Åôóé ç ðoóüôçôá

uµ =dxµ

ds(3.48)

èá åßváé ôåôñáäéÜvõóìá. Å÷oõìå:

ds = cdt

√

1− 1

c 2·(

d~r

dt

) 2

= cdt

√

1− ~u 2

c 2

Áñá:

uµ =

1√

1− u 2

c 2

,~u

c√

1− u 2

c 2

(3.49)

Ôo ôåôñáäéÜvõóìá uµ ëÝãåôáé ôåôñáôá÷ýôçôá êáé ìåôáó÷çìáôßæåôáé:

u′µ

=Λµν u

ν (3.50)

Ðáñáôçñoýìå üôé ôo uµ åßváé áäéÜóôáôo ìÝãåèoò. Áv ôo ðoëëáðëáóéÜóoõìå ìå

ôçv ðoóüôçôá moc2 ðáßñvoõìå Ývá ôåôñáäéÜvõóìá ìå äéáóôÜóåéò åvÝñãåéáò:

pµ = m o uµ c 2 =

(

m o c2

√

1−β 2,m o~u c√

1−β 2

)

ðoõ ìåôáóxçìáôßæåôáé ðÜëé ìå ôç ó÷Ýóç:

p′µ

=Λµν p

ν (3.51)

Ãéá ôçv óõvéóôþóá:

p o =m o c

2

√

1− u 2

c 2

(3.52)

Ý÷oõìå

dp o

dt= +2 m o

(

~u · d~udt

)

1

2

1(

1− u 2

c 2

) 3/2(3.53)

E÷oõìå üìùò üôé:



~u · ddt

~u√

1− u 2

c 2

=1

(

1− u 2

c 2

) ~u ·

d~u

dt

√

1− u 2

c 2+

~u

c 2

√

1− u 2

c 2

(

~u · d~udt

)

=1

c 2(

1− u 2

c 2

) 3/2~u .

[

c 2 d~u

dt− c 2 d~u

dt

(

u 2

c 2

)

+~u

(

~u · ~udt

) ]

=1

(

1− u 2

c 2

) 3/2~u· d~u

dt

Áñá:

dp o

dt=~u· d

dt

m o~u√

1− u 2

c 2

(3.54)

Å÷oõìå üìùò:

~p =m0~u

√

1 − β2(3.55)

Áñádp o

dt=~u · d~p

dt(3.56)

ÁëëÜ åðßóçò ãéá ôç äýváìç Ý÷oõìå êëáóéêÜ:

~F =d~p

dt(3.57)

oðüôå:

~F ·~u =~u· d~pdt

(3.58)

Ç ðoóüôçôá ~F ·~u ðáñéóôÜvåé ôo Ýñão äýváìçò êáé éóoýôáé ìå ôov ñõèìü ìåôáâoëÞòôçò êévçôéêÞò åvÝñãåéáò:

dT

dt= ~F ·~u =~u· d~p

dt(3.59)

Áñá:dp o

dt=dT

dt(3.60)

êáé åðoìÝvùò:

p o = T+ óôáèåñü (3.61)



Ãéá u = 0 ðáßñvoõìå po = moc2 = 0 + óôáèåñü. Áñá:

p o = m o c2 +T (3.62)

Åôóé oñßæoõìå ôçv po óáv ôçv oëéêÞ åvÝñãåéá E. ÄçëáäÞ:

E = po =moc

2

√

1 − u2

c2

= moc2 +

mou2

2+

3mou4

8c2+ .... (3.63)

Ç ó÷Ýóç (3.66) åßváé ç ãvùóôÞ ó÷Ýóç Einstein:

E = mc 2 (3.64)

Áðü ôçv ôåôñáoñìÞ ëoéðüv Ý÷oõìå:

pµ = ( E o , c~p ) (3.65)

êáé ðáßñvoõìå ôoõò ìåôáó÷çìáôéóìoýò Lorentz:

cp′

x =γ ( cp x −β E ) (3.66)

cp′

y = cp y , cp′

z = cp z (3.67)

E ′ =γ (E−β cp x ) (3.68)

3.2.3 Ç Äýváìç Minkowski

Áðü ôo ôåôñáäéÜvõóìá èÝóçò xµ ðÞñáìå ôçv ôåôñáôá÷ýôçôá uµ = dxµ/ds ðoõ åßváéðÜëé ôåôñáäéÜvõóìá åöüóov ôo ds åßváé âáèìùôü. Åôóé áðü ôçv oñìÞ pµ ðáßñvoõìå

ôo ôåôñáäéÜvõóìá:

Kµ =dpµ

ds(3.69)

ôo oðoßo ovoìÜæåôáé äýváìç Minkowski. Å÷oõìå:

Kµ =d

ds( mc 2 , c~p )

=

1√

1− u 2

c 2

d

dt(mc) ,

1√

1− u 2

c 2

d~p

dt

(3.70)

Åßváé üìùò

~F =d~p

dt(3.71)



êáßd

dt(mc) =

d

cdt(m c 2 ) =

d

dt(E)

1

c=

~F ·~uc

(3.72)

Ïðüôå Ý÷oõìå:

Kµ =

~F ·~uc

√

1− u 2

c 2

,~F

√

1− u 2

c 2

=( γ

c~F ·~u ,γ ~F

)

Ðáñáôçñoýìå üôé ç ~u åßváé ç ôá÷ýôçôá ôoõ õëéêoý óçìåßoõ óôo oðoßo áóêåßôáé çäýváìç. Ç ôá÷ýôçôá áõôÞ åßváé óå ó÷Ýóç ðñoò êÜðoéo óýóôçìá áváöoñÜò Ó’. Áv Ó

åßváé ôo óýóôçìá áváöoñÜò ðoõ áêoëoõèåß ôo óùìÜôéo, èá Ý÷oõìå óôo óýóôçìá áõôü

ãéá ôçv ôá÷ýôçôá ôoõ óùìáôßoõ u = 0 êáé Kµ = (0, ~F ). Ãéá ôo óýóôçìá Ó’ èáÝ÷oõìå

Kµ′

=Λµν (u) Kν (3.73)

oðüôå ðáßñvoõìå:

γβ F′

x

γ F′

x

γ F′

y

γ F′

z

=

γ βγ 0 0βγ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

·

0F x

F y

F z

(3.74)

Þ

γ F′

x =γ F x ,γ F′

y = F y ,γ F z′ = F z (3.75)

Áñá

F′

x = F x (3.76)

F′

y = F y

√

1− u 2

c 2(3.77)

F′

z = F z

√

1− u 2

c 2(3.78)

Ðáñáôçñoýìå üôé ç Ýêöñáóç ôoõ Λµν ðñÝðåé vá åßváé ôÝôoéá ðoõ ávôéóôoé÷åß óôçv

óõvéóôþóá êáôÜ ôç äéåýèõvóç ôçò oðoßáò ãßvåôáé ç êßvçóç.

Ðáñáôçñoýìå ôÝëïò üôé ç ó÷Ýóç (3.74) åßváé éäéáßôåñá ÷ñÞóéìç ãéáôß ìðoñoýìå vá

äoýìå ôçv åìöÜvéóç äõvÜìåùv ðoõ ðçãÜæoõv áðü ôçv êßvçóç åvüò óþìáôoò üðùò

ãéá ðáñÜäåéãìá óôov çëåêôñoìáãvçôéóìü, üðùò èá áíáëõèåß ðéü êÜôù.


ÊåöÜëáéï 4

ÓÕÍÁËËÏIÙÔÇ ÄIÁÔÕÐÙÓÇÔÙÍ ÖÕÓIÊÙÍ ÍÏÌÙÍ.ÅÖÁÑÌÏÃÇ ÓÔÇÍ ÌÇ×ÁÍIÊÇ,ÇËÅÊÔÑÏÌÁÃÍÇÔIÓÌÏ ÊÁIÊÂÁÍÔÏÌÇ×ÁÍIÊÇ

4.1 Mç÷ávéêÞ

4.1.1 ÃåvéêÜ

O Nüìoò ôoõ Íåýôùvá åßváé:

Kµ =dpµ

ds(4.1)

Ðáßñvovôáò ôo åóùôåñéêü ôåôñáãévüìåvo ìå ôçv ôåôñáoñìÞ uµ Ý÷oõìå

u ·K = u · (dp/ds) , Þgµν u

µ Kν = gµν uµ dp

ν

ds(4.2)

Þ

u o F o −~u· ~F = u o dpo

ds−~u· d~p

ds(4.3)

Ç ó÷Ýóç (4.3) éó÷ýåé ãéá êÜèå áäñávåéáêü óýóôçìá. ÏðoéáäÞðoôå óõvÝðåéá ôoõ

Íüìoõ ôoõ Íåýôùvá Ý÷oõìå óå êÜðoéo óýóôçìá áváöoñÜò ìðoñåß áìÝóùò vá âñåèåß

ðùò ãßvåôáé ávôéëçðôÞ áðü oðoéoäÞðoôå Üëëo óýóôçìá.

Ðéü ãåvéêÜ ìðoñåß êávåßò vá äéáôõðþóåé êáôÜ Ývá óõváëëoßùôo ôñüðo üëç ôçv

ÁváëõôéêÞ Ìç÷ávéêÞ, ôçv Ñåõóôoìç÷ávéêÞ êáé ôçv ÓôáôéóôéêÞ Ìç÷ávéêÞ. Åäþ èá

äoýìå ìüvo åöáñìoãÝò óôçv êñoýóç óùìáôßùv.

45

ÊÅÖÁËÁÉÏ 4. ÓÕÍÁËËÏIÙÔÇ ÄIÁÔÕÐÙÓÇ ÔÙÍ ÖÕÓIÊÙÍ ÍÏÌÙÍ.

4.1.2 ÅöáñìoãÝò óôçv Êñoýóç Óùìáôßùv

Ãéá ôçv ôåôñáôá÷ýôçôá êáé ôçv ôåôñáoñìÞ Ý÷oõìå:

uµ = (γ ,γ~u

c) , pµ = ( E , c~p ) (4.4)

Ãéá ôo ìÝôño ôoõ uµ ðáßñvoõìå:

gµν uµ uν =γ 2 −γ 2 u

2

c 2= 1 (4.5)

äçëáäÞ:

u·u = 1 (4.6)

Ðáñáôçñoýìå üôé ôo ìÝôño ôçò ôåôñáôá÷ýôçôáò åßváé óôáèåñü ãéá êÜèå ôñéôá÷ýôçôá

~u. Ãéá ôçv ôåôñáoñìÞ pµ Ý÷oõìå:

gµν pµ pν = E 2 − c 2 p 2 (4.7)

ÁëëÜ pµ = moc2uµ oðüôå

p·p = ( m o c2 ) 2 u·u = ( m o c

2 ) 2(4.8)

Áñá

( m o c2 ) 2 = E 2 − c 2 p 2 (4.9)

Þ

E 2 = ( m o c2 ) 2 + c 2 p 2 (4.10)

Ðñüâëçìá ÊñoýóçòÅóôù óùìÜôéá a êáé b óõãêñoýovôáé êáé äßvoõv ôá ðñoúüvôá c1, c2, ..., ck , äçëáäÞ:

a+ b→ c 1 + c 2 +... + c k (4.11)

Ç äéáôÞñçóç oñìÞò êáé åvÝñãåéáò äéáôõðþvovôáé óáv äéáôÞñçóç ôçò ôåôñáoñìÞò,

äçëáäÞ:

pµa + pµ

b = pµc 1

+ pµc 2

+... + pµc k

(4.12)

Þ

E a + E b = E c 1+ E c 2

+... + E c k(4.13)

~p a +~p b =~p c 1+~p c 2

+... +~p c k(4.14)

Ðáñáôçñoýìå åäþ ôo åîÞò:

Evá ðåßñáìá óêÝäáóçò (êñoýóçò) óùìáôßùv ãßvåôáé êáé ðáñáôçñåßôáé (ìåôñÜôáé)

óôo Óýóôçìá ôoõ Åñãáóôçñßoõ (Ó.Å.) üðoõ Ýxoõìå üôé Ývá áðü ôá áñ÷éêÜ óùìÜôéá


4.1. MÇ×ÁVÉÊÇ

åßváé o óôü÷oò, ðoõ èåùñåßôáé áêßvçôoò. Åóôù ôo b o óôü÷oò. Ôüôå ãéá ôo Ó.Å. èá

Ý÷oõìå:

~p b = 0 (4.15)

Ïé êévçìáôéêÝò ðoóüôçôåò üìùò ðoõ èá ìåôñÞóoõìå óôo åñãáóôÞñéo ð.÷. åvÝñãåéåò,

oñìÝò êáé ãùvßåò óêÝäáóçò ôùv ðñoúüvôùv èá ðåñéÝ÷oõv üñoõò ðoõ èá åîáñôþvôáé

áðü ôçv åvÝñãåéá ôoõ a (äçëáäÞ ôçv ôá÷ýôçôá) áëëÜ oé ó÷Ýóåéò áõôþv ôùv ðoóoôÞôùv

èá ðåñéÝ÷oõv êáé ôçv ðëçñoöoñßá ôçò êßvçóçò ôoõ êÝvôñoõ ìÜæáò ôùv óùìáôßùv

a êáé b. Áv ìå Ývá ôÝôoéo ðåßñáìá ìáò åväéáöÝñåé vá áváëýóoõìå ôéò äõvÜìåéò

ðoõ áóêoývôáé ìåôáîý ôùv a êáé b, ôá áðoôåëÝóìáôá ôùv ìåôñÞóåùv ðñÝðåé vá

óõãêñéèoýv ìå ìßá èåùñßá áëëçëåðéäñÜóåùv ðoõ åv ãÝvåé äéáôõðþvåôáé ávåîÜñôçôá

áðü ôçv åêÜóôoôå ôá÷ýôçôá ôoõ êÝvôñoõ ìÜæáò. Áñá ç èåùñßá ìáò ðñÝðåé vá

äéáôõðùèåß óå Ývá åéäéêü óýóôçìá áváöoñÜò, ôoÓýóôçìáÊÝvôñoõÌÜæáò (Ó.Ê.Ì.)ãéá ôo oðoßo åî’oñéóìoý Ý÷oõìå:

~p′ a + ~p′ b = 0 (4.16)

Ôüôå üìùò Üìåóá ôßèåôáé ôo ðñüâëçìá ìåôáó÷çìáôéóìoý ôùv êévçìáôéêþv äåäoìÝvùv

áðü ôo Ývá óýóôçìá óôo Üëëo. Áõôü ìðoñåß vá ãßvåé ìå ôç ÷ñÞóç ôoõ ìåôáó÷çìáôéóìoý

Lorentz. Åßváé üìùò üðùò èá äoýìå ðéü åýêoëo vá äéáôõðþóoõìå ôéò ðoóüôçôåò

áõôÝò áváëëoßùôá oðüôå Ý÷oõìå áìÝóùò ôçv åðéèõìçôÞ óõó÷Ýôçóç.Åóôù ãéá ðáñÜäåéãìá ç óêÝäáóç:

a+ b→ c+ d (4.17)

Ïñßæoõìå ôá âáèìùôÜ ìåãÝèç:

s = ( p a + p b )·( p a + p b ) (4.18)

t = ( p a − p c )·( p a − p c ) (4.19)

u = ( p a − p d )·( p a − p d ) (4.20)

Å÷oõìå èÝôovôáò c=1:

s = (Ea + Eb)2 − (~p a +~p b )·(~p a +~p b )

= E2a + E2

b + 2EaEb − ~p 2a −~p 2

b −2~p a .~p b

= m 2a + m 2

b +2 E a E b −2~p a·~p b (4.21)

Ðáßñvoõìå ðáñüìoéåò åêöñÜóåéò ãéá ôá t êáé u. Áðoäåéêvýåôáé ìå ëßãåò ðñÜîåéò üôé

éó÷ýåé ðÜvôá ç ó÷Ýóç:

s+ t+ u = m 2a + m 2

b + m 2c + m 2

d (4.22)



Ó÷Þìá 4.1: ÓêÝäáóç äýï óùìáôßùí : a) Óýóôçìá Åñãáóôçñßïõ, b) Óýóôçìá ÊÝíôñïõ

ÌÜæáò

ÁóêçóçÍá äåé÷èåß ç (4.22).

Áðü ôçv (4.22) óõìðåñáßvoõìå üôé Ý÷oõìå ãéá ôo åéäéêü ðñüâëçìá ôçò êñoýóçò

a + b → c + d üôé õðÜñ÷oõv ìüvo äýo ávåîÜñôçôåò áváëëoßùôåò ðoóüôçôåò. Ãéáôá äýo óõóôÞìáôá Ý÷oõìå ôéò ïñìÝò ôùí áíôéäñþíôùí êáé óêåäáæïìÝíùí üðùò óôï

Ó÷Þìá 4.1 á) êáé â). ÃñÜöovôáò ôá s,t,u óôá äýo óõóôÞìáôá áváöoñÜò êáé ìåôÜ áðü

ìåñéêÝò ðñÜîåéò ðáßñvoõìå:

cos (θ(åñã.) ) = F (s , t , u , m a , m b , m c , m d )·cos (θ(ê.ì.) ) (4.23)

ÁóêçóçÍá âñåèåß ç F.

(âë. âéâëßo I. ÂÝñãáäoò, Ç.Ôñéávôáöõëëüðoõëoò, Óôoéxåéþäç ÓùìÜôéá, ó. 182).

Ðáñáäåßãìáôá

1. ÅëáóôéêÞ ÓêÝäáóç (á)

Eóôù ç åëáóôéêÞ êñoýóç a + b→ c + d. Å÷oõìå

p a + p b = p′

a + p′

b (4.24)


4.1. MÇ×ÁVÉÊÇ

êáé

s = ( p a + p b ) 2(4.25)

Óôo óýóôçìá Ê.Ì. Ý÷oõìå:

~p ∗

a +~p ∗

b = 0 (4.26)

~p ∗′

a +~p ∗′

b = 0 (4.27)

oðüôå:

s = ( E ∗

a + E ∗

b ) 2 −( p ∗

a + p ∗

b ) 2 = ( E ∗

a + E ∗

b ) 2(4.28)

Å÷oõìå åðoìÝvùò:

E ∗

a + E ∗

b = s 1/2 = [( p a + p b )·( p a + p b ) ] 1/2

= [ E 2a + E 2

b +2 E a E b −~p 2a −~p 2

b −2~p a .~p b ] 1/2

= [ m 2a + m 2

b +2 m a E b ] 1/2 (4.29)

åðåéäÞ pb = 0 , Eb = mb. Ç äéáèÝóéìç åvÝñãåéá óôo Ó.Ê.Ì. åßváé

E ∗

a + E ∗

b = s 1/2 (4.30)

Ãéá ôçv êévçôéêÞ åvÝñãåéá Ý÷oõìå K = E − moc2. Ðáßñíïõìå

K∗ = äéáèÝóéìç êévçôéêÞ åvÝñãåéá óôo Ó.Ê.Ì.

= E ∗

a + E ∗

b − m a − m b

= ( m 2a + m 2

b +2 m b E a)1/2 − m a − m b

= [ m 2a + m 2

b +2 m b (K+ m a ) ] 1/2 − m a − m b (4.31)

Åóôù a = b = çëåêôñüvéo êáé K me = 0.5GeV . Ðáßñvoõìå

K ∗ ≈ (2 m e K ) 1/2Þ K =

K ∗2

2 m e

(4.32)

Áv áðáéôÞóïõìå K∗ = 2GeV ðñÝðåé vá åðéôá÷ývoõìå ôá çëåêôñüvéá Ýôóé þóôå K

= 4000GeV.

2. Óõãêñoõüìåvåò äÝóìåò ðñùôovßùv-çëåêôñovßùv

Åóôù Ep = 820GeV , Ee = 30GeV . Å÷oõìå:

( E ∗

p + E ∗

e ) 2 = s = ( E p + E e ) 2 −(~p p +~p e ) 2

= E 2p + E 2

e +2 E p E a −~p 2p −~p 2

e −2~p p .~p e

= 4 E p E e (4.33)



üðoõ Ep ≈ |pp| , Ea ≈ |pe| , pp · pe = −|pp||pe| = −EpEe.

Ïðüôå ðáßñvoõìå:

E ∗ = E ∗

p + E ∗

e = 2( E p E e ) 1/2 = 310GeV (4.34)

Ïôáv ôo ðñùôüvéo åßváé áêßvçôo Ý÷oõìå

E ∗ = [( E e + m p ) 2 −~p 2e ] 1/2

= [ E 2e + m 2

p +2 E e m p −~p 2e ] 1/2

(4.35)

≈ [ m p ( m p +2 E e ) ] 1/2 ≈ (2 m p E a1/2 (4.36)

Åôóé ÷ñåéáæüìáóôå ãéá ôçv ßäéá åvÝñãåéá:

Ee = E∗2/2mp = 5.3× 104GeV . Ãéá áêßvçôo çëåêôñüvéo ðáßñvoõìåEp = E∗2/2me = 9.5× 107GeV .

3. Èåþñçìá

Åóôù ç óêÝäáóç a + b→ c + d. ÕðÜñ÷oõv ìüvo äýo áváëëoßùôåò ðoóüôçôåò ðoõìðoñoýv áv êáôáóêåõáóôoýv áðü ôéò ôåôñáoñìÝò pµ

i .

AðüäåéîçÅ÷oõìå 16 äõváôÜ ãévüìåvá pi · pj . Ió÷ýoõv oé ôÝóóåñåéò óõvèÞêåò p

2i = m2

i , Üñá

Ý÷oõìå 12 æåýãç êáé ëüãù ôçò óõììåôñßáò pi · pj = pj · pi ìÝvoõv 6. Å÷oõìå üìùò

êáé ôéò ôÝóóåñåéò åîéóþóåéò äéáôÞñçóçò pµa + pµ

b = pµc + pµ

d êáé Ýôóé ìÝvoõv ìüvo

äýo ávåîÜñôçôåò áváëëoßùôåò ðoóüôçôåò, ðoõ üðùò åßäáìå ðéü ðÜvù åßváé oé (s,t) Þ

(s,u) Þ (t,u):

s = ( p a + p b ) 2 , t = ( p a − p c ) 2 , u = ( p a − p d ) 2(4.37)

üðïõ éó÷ýåé

s+ t+ u =∑

i

m 2i (4.38)

4. ÅëáóôéêÞ ÓêÝäáóç (â)

Åóôù ç åëáóôéêÞ óêÝäáóç a + b → c + b , |p ∗ | = |p ∗′ |. Å÷oõìå óôov oñéóìüôoõ t, a = c , oðüôå ðáßñvoõìå:

t = ( E ∗

a − E ∗

c ) 2 −(~p ∗ −~p ∗′

) 2

= m 2a + m 2

c −2 E ∗

a E∗

c +2|~p ∗ ||~p ∗′ |cos (θ ∗ )

= 2 m 2a −2 E 2

a +2~p ∗2cos (θ ∗ )

= −2~p ∗2 +2~p ∗2cos (θ ∗ ) (4.39)

Þ

cos (θ ∗ ) = 1+t

2 p∗ 2(4.40)


4.1. MÇ×ÁVÉÊÇ

5. Áóêçóç

Åóôù ç óêÝäáóç π− + p → n + γ , üðoõ mπ = 139.5MeV , mp =938.3MeV , mn = 939.6MeV , mγ = 0.Av Kπ = 0 vá âñåèåß ç Kn . (Áð. 8.872 ÌeV).

6. Êáôþöëéo ÅvÝñãåéáò ãéá ðáñáãùãÞ óùìáôßùv

Åóôù ç óêÝäáóç a + b→ c1 + c2 + ... + ck . Óôo óýóôçìá åñãáóôçñßoõ Ý÷oõìå:

~p a = ~p ,~p b = 0 , E a = ( m 2a +~p 2 ) 1/2 , E b = m b (4.41)

ÈÝôovôáò E = Ea + Eb Ý÷oõìå:

s = E 2 −~p 2 = E 2a + E 2

b +2 E a E b −~p 2

= m 2a + m 2

b +2 m b ( m 2a +~p 2 ) 1/2

(4.42)

Óôo Óýóôçìá ÊÝvôñoõ ÌÜæáò Ý÷oõìå:

~p ∗ =~p ∗

a +~p ∗

b = 0 , E ∗ = E c 1

∗ + E c 2

∗ +... + E c k

∗ (4.43)

Ïñßæoõìå Êáôþöëéo ÅvÝñãåéáò ôçv ôéìÞ ôoõ Å*:

E ∗

κατ =k∑

i

m i (4.44)

Å÷oõìå ãéá ôo êáôþöëéo åvÝñãåéáò:

m2a +m2

b + 2mb(m2a + p2)1/2 = E∗2 = (

k∑

i=1

mi)2 (4.45)

Ãéá ôçv êévçôéêÞ åvÝñãåéá Ta : Ta + ma + Ea = (m2a + p2)1/2, oðüôå:

m 2a + m 2

b +2 m b ( T a + m a ) = (∑

i

m i ) 2(4.46)

Þ

T a = − QM

2 m b

(4.47)

üðoõ

Q = m a + m b −k∑

i=1

m i , M = m a + m b +k∑

i=1

mi (4.48)

ÅöáñìoãÞ(á) p + p → p + p + πo , mp = 938MeV , mπ = 135MeV : Ðáßñíïõìå

Tp = 290MeV .(â) p + p→ p + p + p + p : Ðáßñíïõå Tp = 5.64GeV .



7. ÄéÜóðáóç Óùìáôßoõ

Åóôù ç äéÜóðáóç π+ → µ+ + ν , mπ = 140MeV , mµ = 105MeV , mν = 0.ÈÝëoõìå vá âñoýìå ôéò oñìÝò êáé ôéò êévçôéêÝò åvÝñãåéåò ôùv ðñoúüvôùv, ãéá áêßíçôï

π.µ← π → νüðïõ pπ = (mπ, 0) , pµ = (Eµ, p) , pν = (Eν ,−p).Å÷oõìå Eµ + Eν = mπ , Eν = |p| , oðüôå

( m 2µ +~p 2 ) 2 +|~p | = mπ , |~p | =

m 2π − m 2

µ

2 mπ

(4.49)

Eµ = mπ −|~p | =m 2

π + m 2µ

2 mπ

(4.50)

T µ = Eµ − mµ =( mπ − mµ ) 2

2 mπ

= 4 MeV (4.51)

|~pµ | = |~pν | = Eν = 30MeV (4.52)

8. Eýñåóç ÌÜæáò Óùìáôßoõ

Åóôù ç ávôßäñáóç p + p→ p + p+ XÈÝëoõìå vá âñoýìå ðoéÜ ìåãÝèç ðñÝðåé vá ìåôñçèoýv ãéá vá õðoëoãßæåôáé ç ìÜæá

ôoõ óùìáôßoõ X. Å÷oõìå

pX = p1 + p2 − (p3 + p4)

= (Eo, po) + (mp, 0) − (E3, p3)− (E4, p4)

= (Eo +mp − E3 − E4 , po − p3 − p4)

m2X = p2

X = (Eo + mp − E3 − E4)2 − (p0 − p3 − p4)

2. (4.53)

Ôá ìåãÝèç ðoõ ðñÝðåé vá ìåôñçèoýv åßváé

Eo , E3 , E4 , po , p3 , po , p4.

4.2 Hëåêôñoìáãíçôéóìüò

4.2.1 ÃåvéêÜ

ÏÇëåêôñoìáãvçôéóìüò Ý÷åé ìéÜ éäéáßôåñç ó÷Ýóç ìå ôçv ÅéäéêÞ Èåùñßá Ó÷åôéêüôçôáò.

IóôoñéêÜ o ðñoâëçìáôéóìüò ãýñù áðü ôo åñþôçìá ôçò ýðáñîçò Þ ü÷é åvüò áðüëõôoõ

óõóôÞìáôoò áváöoñÜò ôÝèçêå ãéÜ ôá öáévüìåvá ðoõ áöoñoýóáv ôéò çëåêôñoìáãvçôéêÝò

áëëçëåðéäñÜóåéò êáé ôç äéÜäoóç ôoõ öùôüò. Åßváé ÷áñáêôçñéóôéêü üôé oé ôßôëoé ôùv


4.2. HËÅÊÔÑOÌÁÃÍÇÔÉÓÌÏÓ

Ó÷Þìá 4.2: ÇëåêôñåãåñôéêÞ Äýíáìç áðï ôçí êßíçóç ìåôáëëéêÞò ñÜâäïõ

ðñþôùv åñãáóéþv ôoõ Lorentz êáé ôoõ Einstein åßváé:

H.A.Lorentz: "Electromagnetic phenomena in a system moving with anyvelocity less than that of light", Proceedings of the Academy of Sciences ofAmsterdam 6, 1904.

A.Einstein: "On the Electrodynamics of Moving Bodies", Annalen derPhysik 17, 1905.Óôçv åñãáóßá áõôÞ ôoõ Einstein ðáñoõóéÜæåôáé ç èåùñßá Ó÷åôéêüôçôáò óáv ìüvç

äõváôÞ åîÞãçóç ôùv Çëåêôñoìáãvçôéêþv öáévoìÝvùv. Ôo åväéáöÝñov åßváé üôé

o Ç.Ì. üðùò åß÷å äéáôõðùèåß áðü ôov Maxwell ìå ôéò åîéóþóåéò ôoõ åßváé Þäç

Ó÷åôéêéóôéêÞ Èåùñßá. ÄçëáäÞ ìåôÜ ôçv åéóáãùãÞ ôçò èåùñßáò Ó÷åôéêüôçôáò äåv÷ñåéÜóôçêå vá áëëÜîåé Þ vá ãåvéêåõôåß ôßðoôá, óå ávôßèåóç ìå üôé Ýãévå ìå ôçv

ÊëáóéêÞ Ìç÷ávéêÞ. Áõôü âÝâáéá üóov áöoñÜ ôç äoìÞ ôçò èåùñßáò, äçëáäÞ ôç ìoñöÞ

êáé ôéò éäéüôçôåò ôùv åîéóþóåùv Maxwell. Áõôü ðoõ ðñoóöÝñåé ç Ó÷åôéêüôçôá óôov

Çëåêôñoìáãvçôéóìü åßváé áö’åvüò ç ávÜäåéîç vÝùv öáévoìÝvùv ðoõ åêäçëþvovôáé

óå õøçëÝò ôá÷ýôçôåò êáé óõvÜãovôáé åýêoëá áðü ôoõò ìåôáó÷çìáôéóìoýò ôùv

ðåäßùv, êáé áö’åôÝñoõ ç åõêoëßá ðoõ óõvåðÜãåôáé ãéá ôçv äéáôýðùóç ôùv äéáöüñùv

ðñáêôéêþv ðñoâëçìÜôùv ç åõ÷Ýñåéá ÷ñÞóçò ôùv óõììåôáâëçôþv åêöñÜóåùv. Ðñév

ðño÷ùñÞóoõìå èá ðñÝðåé vá äéáóáöçvßóoõìå ôo ôé óçìáßvåé üôé o Ç.Ì. åßváé ìßá

Èåùñßá Ó÷åôéêéóôéêÞ. Ìßá èåùñßá åßváé Ó÷åôéêéóôéêÞ áv oé åîéóþóåéò ðoõôçv ðåñéãñÜöoõv åßváé ávåîÜñôçôåò áðü ôo óýóôçìá áváöoñÜò. Ãéá ôovÇ.Ì. ôÝôoéåò åîéóþóåéò åßváé oé åîéóþóåéò Maxwell. ÁõôÝò ðåñéãñÜöoõv ôçv

áëëçëåðßäñáóç ôùv Ç.Ì. ðåäßùv ìå ôçv ýëç ç oðoßá ðñÝðåé vá áêoëoõèåß ôçv

Ó÷åôéêéóôéêÞ Ìç÷ávéêÞ. Áv èåùñÞóoõìå ôéò åîéóþóåéò Maxwell óôov êåvü ÷þño

êáé áðáëåßøoõìå ôo Ývá áðü ôá äýo ðåäßá äéáäo÷éêÜ âãÜæoõìå üðùò åßäáìå ôçv

êõìáôéêÞ åîßóùóç ãéá ôo ~E êáé ôo ~B ðoõ åßváé ó÷åôéêéóôéêÜ áváëëoßùôç åîßóùóç.

ÅðoìÝvùò ç åîßóùóç ðoõ ðåñéãñÜöåé ôç äéÜäoóç ôoõ öùôüò åßváé ó÷åôéêéóôéêÞ.

ÄçëáäÞ ìåëåôþvôáò ôç äéÜäoóç ôoõ öùôüò äåv ìðoñoýìå vá óõvÜãoõìå ôßðoôá

ãéá ôçv áðüëõôç êßvçóç åvüò óõóôÞìáôoò (Ðåßñáìá Michelson-Morley). Áv ôþñá

èåùñÞóoõìå ôçv ýðáñîç ýëçò óå áëëçëåðßäñáóç ìå ôá Ç.Ì. ðåäßá èá ðñÝðåé vá

Ý÷oõìå áváëëoßùôåò ôéò åîéóþóåéò Maxwell ìå ìç oìoãåvÞ üño. ÐåéñáìáôéêÜ

(Ó÷Þìá 4.2) áv ðÜñoõìå ìßá Üðåéñç ñÜâäo ìå äýo åðáöÝò êáé Ývá âoëôüìåôño êáé Ýôóé

þóôå vá êévåßôáé ç ñÜâäoò êáôÜ ôov ÜîovÜ ôçò óå ó÷Ýóç ðñoò ôéò åðáöÝò èá âñoýìå



ìßá çëåêôñåãåñôéêÞ äýváìç ðoõ åßváé ç ßäéá ìå ôçv ðåñßðôùóç ðoõ ç ñÜâäoò áêévçôåß

êáé êévoývôáé oé åðáöÝò. Áõôü óçìáßvåé üôé oýôå ìå Ývá ôÝôoéo ðåßñáìá ìðoñoýìå vá

âñoýìå áðüëõôç êßvçóç. ÅðoìÝvùò o Çëåêôñoìáãvçôéóìüò ÷ùñßò ìåôáâoëÞ óôç äoìÞ

ôoõ ðñÝðåé vá äéáôõðùèåß êáôÜ óõváëëoßùôo ôñüðo ãéá vá åêöñÜóåé ôçv åããåvÞ ôoõ

ó÷åôéêéóôéêÞ äoìÞ.

4.2.2 Ï Ìåôáó÷çìáôéóìüò ôùv Ðåäßùv

Ï Åinstein óôçv ðñþôç ôoõ åñãáóßá áöoý âñÞêå ôo ìåôáó÷çìáôéóìü Lorentz êáé

ôov ÷ñçóéìoðoßçóå ãéá vá ãåvéêåýóåé ôéò êévçìáôéêÝò êáé äõváìéêÝò ðoóüôçôåò ôçò

Ìç÷ávéêÞò Ýöôáóå óôov Çëåêôñoìáãvçôéóìü. Åâáëå ôçv áðáßôçóç oé åîéóþóåéò

Maxwell óôov êåvü ÷þño vá ðáñáìÝvoõv áváëëoßùôåò êÜôù áðü ôo ìåôáó÷çìáôéóìü

Lorentz. Eóôù óôo óýóôçìá Ó oé åîéóþóåéò Maxwell:

~∇· ~E = 0 , ~∇· ~B = 0 (4.54)

~∇ × ~E = −∂~B

∂ t, ∇ × ~B =µ0ε0

∂ ~E

∂ t(4.55)

Áv áðáéôÞóoõìå óôo óýóôçìá Ó’ oé åîéóþóåéò Maxwell vá Ý÷oõv ôçv ßäéá ìoñöÞ:

~∇′· ~E ′ = 0 , ~∇′· ~B′ = 0 (4.56)

~∇′ × ~E ′ = −∂~B′

∂ t′, ~∇′ × ~B′ =µ0ε0

∂ ~E ′

∂ t′(4.57)

üðoõ Ñ = (x, y, z) , Ñ’= (x’, y’, z’), âñÞóêïõìå ðùò óõväÝovôáé ôá ðåäßá ~E ′ , ~B′ ìå ôá~E , ~B . Å÷oõìå ìå ëßãåò ðñÜîåéò

~E′

= ~E , ~B′

= ~B (4.58)

~E′

⊥= γ ( ~E⊥ +~v × ~B⊥

~B′

⊥= γ

(

~B⊥ −~v × ~B⊥

c 2

)

(4.59)

üðoõ óçìáßvåé ðáñÜëëçëç ðñoò ôç ó÷åôéêÞ êßvçóç êáé ⊥ êÜèåôç óõvéóôþóá. ÐéüêÜôù èá äoýìå åöáñìoãÝò ôùv ó÷Ýóåùv (4.58,4.59). Ãéá ôçv áëëçëåðßäñáóç üìùò ìå

ôçv ýëç èá ðñÝðåé vá êáôáöýãoõìå óôçv Óõváëëoßùôç äéáôýðùóç.



4.2.3 Óõváëëoßùôç Äéáôýðùóç ôoõ Çëåêôñoìáãvçôéóìoý

Óôov Ç.Ì. oñßæoõìå ôá äõváìéêÜ ö êáé Á Ýôóé þóôå:

~B = ~∇ × ~A , ~E = −~∇φ −∂~A

∂ t(4.60)

Áðü ôéò åîéóþóåéò Maxwell êáé ÷ñçóéìoðoéþvôáò ôçv óõvèÞêç Lorentz ôoõ Çëåêôñoìáãvçôéóìoý:

~∇ · ~A +∂φ

c2∂t= 0 (4.61)

ðáßñvoõìå ôéò åîéóþóåéò:

[

~∇ 2 −µ0ε0∂ 2

∂ t 2

]

~A = −µ0~j (4.62)

[

~∇ 2 −µ0ε0∂ 2

∂ t 2

]

φ = − ρ

ε0

(4.63)

üðoõ ~j êáé ñ ôo ñåýìá êáé ç ðõêvüôçôá öoñôßoõ ávôßóôoé÷á. Ðáñáôçñoýìå üôé ôáðåäßá ~E , ~B äåv áëëÜæoõv áv êÜvoõìå ôo ìåôáó÷çìáôéóìü:

~A → ~A′ = ~A −~∇χ

φ → φ′ = φ +∂χ

∂ t(4.64)

üðoõ ÷ ôõ÷áßá óõvÜñôçóç ôoõ ~r êáé t. Ï ìåôáó÷çìáôéóìüò (4.64) ëÝãåôáéÌåôáó÷çìáôéóìüòGauge, êáé óôçv Êâávôoìç÷ávéêÞ ðáßæåé èåìåëéáêü ñüëo.Ãéá vá äéáôõðþóoõìå óõváëëoßùôá ôéò åîéóþóåéò Maxwell èá ðñÝðåé vá oñßóoõìå

êáôÜëëçëá ôåôñáäéávýóìáôá ãéá ôéò ðoóüôçôåò ~j , ñ, ~A, ö. Ôo ñåýìá åßváé ðõêvüôçôáöoñôßoõ åðß ôá÷ýôçôá. Áv uµ = dxµ/ds åßváé ç ôåôñáôá÷ýôçôá oñßæoõìå:

jµ =ρ0dxµ

ds(4.65)

üðoõ ρ0 ç ðõêvüôçôá öoñôßoõ ãéá óýóôçìá áváöoñÜò ðoõ ôo öoñôßo åßváé áêßvçôo.

Å÷oõìå

jµ = (ρ ,ρ~u

c) (4.66)

üðoõ

ρ =ρ0

√

1− u 2

c 2

(4.67)



Ðáñáôçñoýìå åäþ üôé áðü ôçv ó÷Ýóç (4.67) Ý÷oõìå áìÝóùò ôo Áváëëoßùôo ôçòðoóüôçôáò öoñôßoõ:

ρ dV =ρ0

√

1− u 2

c 2

dxdydz

=ρ0 . dx o

√

1− u 2

c 2 · dy o· dz o√

1− u 2

c 2

= ρ0 dV 0 (4.68)

ÃñÜöovôáò óõìâoëéêÜ:

� = ~∇ 2 −µ0ε0∂ 2

∂ t 2(4.69)

Ý÷oõìå:

� (c ~A ) = − ρ~u

cε o

(4.70)

� φ = − ρ

ε0

(4.71)

Åôóé áv oñßóoõìå ôo ôåôñáäéÜvõóìá:

Aµ = (φ , c ~A ) (4.72)

ðáßñvoõìå:

� Aµ = jµ (4.73)

ÁõôÞ ç åîßóùóç ðåñéãñÜöåé êáôÜ Ývá óõváëëoßùôo ôñüðo ôéò åîéóþóåéò Maxwell,

äçëáäÞ ôçv áëëçëåðßäñáóç ìå ôçv ýëç êáé ôç äéÜäoóç ôùv Ç.Ì. äõváìéêþv.

Ìðoñoýìå üìùò vá êÜvoõìå êáé ôçv óõváëëoßùôç äéáôýðùóç ôoõ Ç.Ì. ìå âÜóç

ôá ðåäßá. Ïñßæoõìå ôo ôåôñáäéÜvõóìá:

Aµ = gµν Aν = (φ ,−c ~A ) (4.74)

êáé ôov ôávõóôÞ äåýôåñçò ôÜîçò:

F µν =∂µ Aν −∂ν Aµ (4.75)

üðoõ ∂µ = ∂/∂xµ . Âñßóêoõìå ìå âÜóç ôá ~E êáé ~B :

F µν =

0 − E x − E y − E z

E x 0 − cB z cB y

E y cB z 0 − cB x

E z − cB y cB x 0

(4.76)



üðoõ Fµν = gµρgνσFρσ . Ôüôå oé åîéóþóåéò

~∇· ~E =ρ

ε0

, ~∇ × ~B =µ0ε0∂ ~E

∂ t(4.77)

ãßvovôáé∂ F µν

∂ xµ=j ν

ε0

(4.78)

Ïé åîéóþóåéò:

~∇· ~B = 0 , ~∇ × ~E = −∂~B

∂ t(4.79)

ãßvovôáé:∂ F µ ν

∂ x ρ+∂ F νρ

∂ xµ+∂ F ρµ

∂ x ν= 0 (4.80)

H ôávõóôéêÞ öýóç ôoõ Fµν ìáò äßvåé áìÝóùò ôo ìåôáó÷çìáôéóìü ôoõ:

F µν = ΛµρΛ

νσF

ρσ (4.81)

ÃñÜöovôáò ôçv (4.81) ãéá ôá ávôßóôoé÷á ðåäßá áváêáëýðôoõìå ôéò åîéóþóåéò ðoõ

âñÞêå o Einstein, ôéò (4.58,4.59).

ÁóêçóçÍá áðoäåéèoýv oé (4.58,4.59) áðü ôçv (4.81).

TÝëoò ðñÝðåé vá ãñÜøoõìå êáôÜ óõváëëoßùôo ôñüðo ôçv áëëçëåðßäñáóç ôçò

ýëçò ìå ôá Ç.Ì. ðåäßá, äçëáäÞ vá ãåvéêåýóoõìå (óõváëëoßùôá) ôç äýváìç Lorentz:

~F =ρ ( ~E +~u × ~B ) (4.82)

Ïñßæoõìå ôo ôåôñáäéÜvõóìá:

fµ = F µν j ν (4.83)

üðoõ:

jν = gνσjσ = (ρ,−ρ~u

c) (4.84)

Ðáßñvoõìå:

f i = F iν j ν = F io j o + F i1 j 1 + F i2 j 2 + F i3 j 3 (4.85)

ãéÜ i=1,2,3

Áñá

f x = f 1

= F 10 j o + F 11 j 1 + F 12 j 2 + F 13 j 3

= E xρ +0·(−ρ u x

c) + (− cB z )(−ρ u y

c)+ cB y (−ρ u z

c)

= ρ [ E x +(~u × ~B ) x ] (4.86)



êáé ãåvéêüôåñá~f =ρ [ ~E +~u × ~B ] (4.87)

êáé

f o =~u·~fc

(4.88)

Áñá ôo ôåôñáäéÜvõóìá

fµ =

(

~u·~fc

, ~f

)

(4.89)

üðoõ ç f åßváé ç äýváìç Lorentz ávÜ ìovÜäá üãêoõ. Ãéá ôçv oëéêÞ äýváìç óåüãêo äV Ý÷oõìå:

~F =~fδ V =δ q[ ~E +~u × ~B ] (4.90)

Áðü ôo ìåôáó÷çìáôéóìü ôùv ~E êáé ~B ðáßñvoõìå:

~F ′ = ~F ~F ′

⊥= ~F⊥

√

1 − u2

c2(4.91)

ðoõ åßváé ßäéoò ìåôáó÷çìáôéóìüò ìå áõôüv ôçò ìç÷ávéêÞò äýváìçò (3.80,3.81,3.82).

Ç óõììåôáâëçôÞ åîßóùóç ôoõ Íåýôùvá ãéá ôçv áëëçëåðßäñáóç öoñôßoõ ìå ôo

Ç.Ì. ðåäßo åßváé:

m o c2 du

µ

ds= qF µν u ν (4.92)

4.2.4 ÓõvÝðåéåò - ÅöáñìoãÝò

1. ÌÜæá êáé ìåôáó÷çìáôéóìïß ôùí ðåäßùí

Ï Åinstein óôçv ðñþôç ôoõ åñãáóßá, Ý÷ovôáò âñåé ôoõò ìåôáó÷çìáôéóìoýò ôùv ðåäßùv

èÝëçóå vá äåé ôéò åðéðôþóåéò óôçv êßvçóç åvüò çëåêôñovßoõ êÜôù áðü ôçv åðßäñáóç

ôoõ Çëåêôñoìáãvçôéóìoý. ÈÝôovôáò ôçv áðáßôçóç üôé oé åîéóþóåéò êßvçóçò ðñÝðåé

vá åßváé ôçò ßäéáò ìoñöÞò óå üëá ôá óõóôÞìáôá êáôÝëçîå óôçv ó÷Ýóç:

m =m o

√

1− v 2

c 2

(4.93)

êáôÜ Ývá Ýììåóo ôñüðo âÝâáéá.

2. ÅìöÜíéóåé äéðïëéêþí ñïðþí

Ôo ôåôñáäéÜvõóìá ñåýìáôoò üðùò ôo oñßóáìå åßváé:

jµ = (ρ ,~j

c) (4.94)



Ó÷Þìá 4.3: ÅìöÜíçóç çëåêôñéêÞò äéðïëéêçò ñïðÞò óå êéíïýìåíï âñüã÷ï ñåýìáôïò

üðoõ ~j = ρ~v. Ìå Ývá ìåôáó÷çìáôéóìü Lorentz Ý÷oõìå:

jµ = Λµνj

ν (4.95)

Þ

ρ′ =γ[

ρ −( v

c 2

)

j x

]

(4.96)

j′x = γ(jx − vρ) (4.97)

Ç äåýôåñç åîßóùóç, åêôüò áðü ôov ó÷åôéêéóôéêü óõvôåëåóôÞ ã, åßváé ðñoöávÞò ãéáôß

ëÝåé üôé Ývá ñåýìá jx èá ðñÝðåé vá áëëÜæåé óå Üëëo óýóôçìá áváöoñÜò êáôÜ ôoñåýìá ñv ðoõ ðñoÝñ÷åôáé áðü ôçv ó÷åôéêÞ êßvçóç ôçò ðõêvüôçôáò öoñôßoõ ñ.

Ç ðñþôç åîßóùóç åßváé ðéü ðåñßåñãç. Áv õðoèÝóoõìå üôé óå Ývá óýóôçìá

áváöoñÜò Ý÷oõìå ìüvo ñåýìáôá, äçëáäÞ ñ = 0 , óå êÜèå Üëëo óýóôçìá èá åìöávßæovôáé

êáé ðõêvüôçôåò öoñôßoõ. ÌéÜ åväéáöÝñoõóá óõvÝðåéá åßváé ç åìöÜvéóç çëåêôñéêÞòäéðoëéêÞò ñoðÞò óå Ývá âñüã÷o ñåýìáôoò. Å÷oõìå óå ðñoóÝããéóç üñùv (v/c)2

ôéò ôéìÝò öoñôßoõ

q ≈ Jvα

c 2, q = − Jvα

c 2(4.98)

ãéá ôéò ðáñÜëëçëåò ðñoò ôov Üîová x ðëåõñÝò ôoõ âñüã÷oõ. Áñá ðáßñvoõìå ìßá

äéðoëéêÞ ñoðÞ:

| ~P | =β |q| =( v

c 2

)

(αβ )J =( v

c 2

)

| ~m | (4.99)

üðoõ m = áâJ = SJ , åßváé ç ìáãvçôéêÞ ñoðÞ ôoõ âñüã÷oõ.

3. Ìåôáó÷çìáôéóìüò ÇëåêôñéêÞò êáé ÌáãíçôéêÞò Ðüëùóçò

Áðü ôéò åîéóþóåéò ôoõ Ç.Ì. Ý÷oõìå üôé ç çëåêôñéêÞ ðüëùóç ~P êáé ç ìáãvçôéêÞ

ðüëùóç ~Måßváé ávÜëoãåò ôùv ðåäßùv ~E êáé ~B ávôßóôoé÷á. Áõôü éó÷ýåé áêñéâþò

ãéá oìoãåvÞ õëéêÜ. Ãåvéêþôåñá åßváé ãñáììéêüò óõväéáóìüò ôùv óõvéóôùóþv.



Áõôü óçìáßvåé üôé oé ðoëþóåéò ~P êáé ~M èá ìåôáó÷çìáôßæovôáé üðùò ôá ~E êáé~B . Åôóé Ý÷oõìå:

~P ′ = ~P , ~M ′ = ~M (4.100)

~P ′⊥ =γ

[

~P⊥ −~v × ~M⊥

c 2

]

(4.101)

~M⊥ = γ[ ~M⊥ + ~v × ~P⊥] (4.102)

Ðéü êÜôù èá äoýìå åöáñìoãÝò ôÝôoéùv ó÷Ýóåùv.

4. Äõíáìéêü Lienard-Wieckert

Ç óõváëëoßùôç äéáôýðùóç ôùv åîéóþóåùv âoçèÜåé vá âñoýìå ôç ãåvéêÞ ëýóç åvüò

ðñoâëÞìáôoò áðü ìéÜ åéäéêÞ ëýóç ðoõ éó÷ýåé óå óõãêåêñéìÝvo óýóôçìá áváöoñÜò.

Ôo ôåôñáäéÜvõóìá Aµ ôo oñßóáìå Aµ = (φ, ~A). Åóôù óå Ývá óýóôçìá áváöoñÜòêÜðoéo áêßvçôo öoñôßo. Áõôü èá äçìéoõñãåß ìüvo äõváìéêü Coulomb êáé èá Ý÷oõìå:

Aµo =

(

e

4πε0 r o

, ~0

)

(4.103)

üðoõ ~0 = (0, 0, 0). Åóôù ôþñá ôo ôåôñáäéÜvõóìá ôá÷ýôçôáò uµ = (γ, γ~u/c) êáéôçò èÝóçò rµ = (ct, ~r). Ç ðoóüôçôá u · r åßváé áváëëoßùôç. Å÷oõìå:

u·r = γ

(

ct−~u·~rc

)

(4.104)

Ãéá ôo óýóôçìá áváöoñÜò ôoõ öoñôßoõ Ý÷oõìå:

uµ = (1 , ~0 ) , rµ = ( ct o , ~r o ) (4.105)

ÁëëÜ o ÷ñüvoò t0 ávôéóôoé÷åß óôo ÷ñüvo ðoõ ÷ñåéÜæåôáé ç åðßäñáóç óôçv áñ÷Þ ôùváîüvùv vá ìåôáäoèåß óôo ~r0, äçëáäÞ r0 = ct0. Ðáßñvoõìå Ýôóé

u·r = r o (4.106)

Ðáñáôçñoýìå üôé ôo ôåôñáäéÜvõóìá

Aµ =e

4πε0

· uµ

u·r (4.107)

óôo óýóôçìá áváöoñÜò ôoõ öoñôßoõ äßvåé ôçv (4.103) ÅðoìÝvùò èá ðñÝðåé ç (4.107) vá

ðåñéãñÜöåé ôo Ç.Ì. ðåäßo óå oðoéoäÞðoôå óýóôçìá áváöoñÜò. Ðáßñvoõìå èÝôovôáò

ct = r:

Aµ =e

4πε0

·(

1

s,~u

cs

)

(4.108)


4.3. ÊÂÁÍÔOÌÇ×ÁÍÉÊÇ

üðoõ

s = r− ~r·~uc

(4.109)

Ôo äõváìéêü (4.108) ëÝãåôáé äõváìéêü Lienard-Wieckert êáé ìðoñåß vá âãåéêëáóéêÜ áðü ôç ëýóç ôùv åîéóþóåùv ôoõ Ç.Ì..

4.3 Êâáíôoìç÷áíéêÞ

4.3.1 Mç Ó÷åôéêéóôéêÞ Êâávôoìç÷ávéêÞ

Óôá ìáèÞìáôá áõôÜ ôçò Ó÷åôéêüôçôáò äåv åßváé äõváôüv vá áó÷oëçèoýìå ìå ôçv

ávÜëõóç ôoõ ðñoâëÞìáôoò ôçò êâÜvôùóçò åvüò êëáóéêoý óõóôÞìáôoò. Åvá ôÝôoéo

åñþôçìá áðáéôåß äéåîoäéêÞ ìåëÝôç êáé óõæÞôçóç ðoëëþv õðoèÝóåùv. Åßváé Ývá èÝìá

ðoõ äåv Ý÷åé êëåßóåé êáé ßóùò üóo ðåñvÜ o êáéñüò êáé ç ÅðéóôÞìç áváêáëýðôåé vÝåò

üøåéò (Þ áðüøåéò) ôçò ðñáãìáôéêüôçôáò, üðùò ç Êoóìoëoãßá, ç ÊâávôéêÞ Âáñýôçôá,

oé ÌåëávÝò ÏðÝò, ôá Ìç-ÃñáììéêÜ ÓõóôÞìáôá ê.ë.ð. ôo Åñþôçìá ôçò ÊâÜvôùóçò

vá ãßvåôáé ðéü äýóêoëo vá áðávôçèåß.

Åäþ åìÜò èá ìáò áðáó÷oëÞóåé ôo Ðñüâëçìá Ãåvßêåõóçò ôçò åîßóùóçò Schrodinger

Ýôóé þóôå vá Ý÷oõìå ìßá åîßóùóç ðoõ vá äéáôõðþvåé ôçv óõvèÞêç êâÜvôùóçò êáôÜÝvá óõváëëoßùôo ôñüðo. ÄçëáäÞ ç ìoñöÞ ôçò åîßóùóçò vá åßváé ávåîÜñôçôçáðü ôo óýóôçìá áváöoñÜò.Ãéá vá ôo êÜvoõìå áõôü èá âáóéóôoýìå óôçv ðéü áðëÞ äéáôýðùóç ôoõ ðñoâëÞìáôoò

ôçò êâÜvôùóçò, ó’ áõôÞ ðoõ èåùñåß ôçv êâÜvôùóç óáv Ývá êávüvá ávôéóôoé÷ßáòìåôáîý ôùv âáóéêþv ìåôáâëçôþv åvüò êëáóéêoý óõóôÞìáôoò êáé êÜðoéùv åéäéêþv

ôåëåóôþv óå Ýváv ÷þño Hilbert. Áõôoß oé êávüvåò ávôéóôoé÷ßáò äéáôõðþvovôáé óáv

Áîéþìáôá Ýôóé þóôå vá ìðoñåß êávåßò åðáãùãéêÜ vá êÜvåé ávÜëõóç üëçò ôçòèåùñßáò. Ôá Áîéþìáôá áõôÜ õðoèÝôoõìå üôé åßváé ãvùóôÜ óôov áváãvþóôç. Äßvoõìå

üìùò Ýìöáóç óå êÜðoéá óçìåßá ðoõ ìáò ÷ñåéÜæovôáé ãéá ôçv Ó÷åôéêéóôéêÞ Ãåvßêåõóç.

Å÷oõìå ôá åîÞò:

Åóôù Ývá êëáóéêü öõóéêü óýóôçìá ðoõ ÷áñáêôçñßæåôáé áðü ôéò ãåvéêåõìÝvåò

ìåôáâëçôÝò èÝóçò êáé oñìÞò qi, pi i = 1,....,n. êáé H(qi, pi) ç óõvÜñôçóç Hamilton.O êávüváò ávôéóôoé÷ßáò (êâÜvôùóç) ìáò ëÝåé üôé õðÜñ÷åé Ýváò ÷þñoò Hilbert(äéávõóìáôéêüò ÷þñoò ìå Üðåéñç äéÜóôáóç êáé åóùôåñéêü ãévüìåvo) Ýôóé þóôå ãéá

êÜèå öõóéêÞ êáôÜóôáóç ôoõ óõóôÞìáôoò vá õðÜñåé ìßá óõvÜñôçóç (óôoé÷åßo ôoõ

÷þñoõ Hilbert) ψ(qi, pi) êáé ôåëåóôÝò Qi, Pi ðoõ ávôéóôoé÷oýv óôá qi, pi Ýôóé þóôå ç

Hamiltonian H vá ãßvåé Ýváò ôåëåóôÞò H(Qi, Pi).Óôçv ëåãüìåvç ÁváðáñÜóôáóç Schrodinger Ý÷oõìå ôçv ávôéóôoé÷ßá:

q k→ Q k : Q kψ (q) = q kψ (q) (4.110)

p k→ P k : P kψ (q) =~

i

∂

∂ q k

ψ (q) (4.111)



Ç ÷ñovéêÞ åîÝëéîç ôçò êáôÜóôáóçò ðåñéãñÜöåôáé áðü ôçv åîßóùóç Schrodinger:

i~∂ψ

∂ t= Hψ (4.112)

Ãéá vá oäçãåß ç êâÜvôùóç óå ÖõóéêÞ Èåùñßá ðñÝðåé vá Ý÷oõìå êáé Ývá êávüváåñìçvåßáò ôùv ëýóåùv ôçò (4.112). Ï êávüváò áõôüò ëÝåé üôé ç ðoóüôçôá ρ =|ψ(qi, t)|2 äßvåé ôçv ðõêvüôçôá ðéèávüôçôáò vá âñåèåß ôo óýóôçìá óôçv êáôÜóôáóçðoõ ÷áñáêôçñßæåôáé áðü ôéò óõvôåôáãìÝvåò (qi, t). Ïñßæovôáò ôo ñåýìá:

~j =

(

~

2im

)

[

ψ ∗~∇ψ −ψ~∇ψ ∗

]

(4.113)

ðáßñvoõìå ôçv åîßóùóç ôçò óõvÝ÷åéáò:

∂ρ

∂ t+~∇·~j = 0 (4.114)

ðoõ åßváé éóoäýváìç ìå ôç äéáôÞñçóç ôçò oëéêÞò ðéèávüôçôáò vá âñoýìå ôo óýóôçìá

óå êÜðoéá èÝóç êáé oñìÞ óôo ÷ñüvo t. ÄçëáäÞ:

d

dt

∫

|ψ | 2 dv = 0 (4.115)

Èá äoýìå üôé óôéò ðñoóðÜèåéåò Ó÷åôéêéóôéêÞò ãåvßêåõóçò ôçò åîßóùóçò Schrodinger

äåv êáôoñèþèçêå vá âñåèåß ìßá óõìâéâáóôÞ äéáôýðùóç ôçò ðõêvüôçôáò ðéèávüôçôáò

ðoõ vá éêávoðoéåß ôéò óõvèÞêåò (4.114) (Þ 4.115). Áõôü oäÞãçóå óôçv åãêáôÜëçøç

ôçò ðñoóðÜèåéáò äéáôýðùóçò ôçò ó÷åôéêéóôéêÞò êâÜvôùóçò ìå âÜóç åîéóþóåéò ðoõ

ðåñéãñÜöoõv Ývá ìováäéêü óùìÜôéo. Ç äéÝîoäoò äüèçêå ìå ôçv åéóáãùãÞ ôçò

ÊâávôéêÞò Èåùñßáò Ðåäßùv üðoõ ðëÝov oé âáóéêÝò ðoóüôçôåò åßváé ôá ðåäßáðoõ Ý÷oõv ôçv åããåvÞ äõváôüôçôá vá äçìéoõñãÞóoõv Þ vá áöávßóoõv oðoéoäÞðoôå

áñéèìü óùìáôßùv.

Ðáñ’üëo áõôÜ üìùò oé ó÷åôéêéóôéêÝò åîéóþóåéò ðoõ áváêáëõöôÞêávå üðùò ç

åîßóùóç Klein-Gordon êáé ç åîßóùóç Dirac Ýäùóáv áñêåôÝò ìáèçìáôéêÝò äõváôüôçôåò

vá âñoýìå ôá ß÷vç ìéáò vÝáò öõóéêÞò ðñáãìáôéêüôçôáò üðùò ç ýðáñîç ôçò ávôéýëçò,

ôo spin ê.ë.ð.

4.3.2 H Eîßóùóç Klein-Gordon

Åóôù Ývá åëåýèåño óùìÜôéo ðoõ ðåñéãñÜöåôáé ìå ôçv Hamiltonian:

H =~p 2

2m(4.116)



Må ôov êávüvá ávôéóôoéßáò (4.110,4.111) ðáßñvoõìå ôçv åîßóùóç:

i~∂

∂ tψ (q , t) = − ~

2

2m~∇ 2ψ (q , t) (4.117)

Ç åîßóùóç áõôÞ åßváé ðñoöávþò ìç ó÷åôéêéóôéêÞ ãéáôß o ÷ñüvoò t êáé o ÷þñoò

x õðåéóÝñ÷ovôáé ìÝóù ôùv ðáñáãùãÞóåùv ìå äéáöoñåôéêÝò äõvÜìåéò. ÅîÜëëoõ

ãvùñßæoõìå üôé ç åvÝñãåéá Å óôçv oðoßá ávôéóôoé÷åß ç Hamiltonian H äåv åßváé

ó÷åôéêéóôéêÜ áváëëoßùôç ðoóüôçôá, áëëÜ áðoôåëåß ìüvo ôç ìçäåvéêÞ óõvéóôþóá

ôçò ôåôñáoñìÞò pµ = (E, p) . AëëÜ ôo êõñéþôåño ç (4.116) äåv åßváé êáv

ç Ýêöñáóç ôçò åvÝñãåéáò åvüò óùìáôßoõ ó÷åôéêéóôéêÜ. Óôçv Ó÷åôéêüôçôá Ý÷oõìå

E2 = m2c4 + p2c2. Åôóé åýëoão åßváé vá oñßóoõìå ôçv Hamiltonian:

H =

√

~p 2 c 2 + m 2 c 4 (4.118)

O êávüváò ôþñá èá ìáò äþóåé:

i~∂

∂ tψ =

√

−~ 2 c 2~∇ 2 + m 2 c 2 ψ (4.119)

H åîßóùóç (4.119) ìáèçìáôéêÜ åßváé ðoëý äýóêoëo vá ëõèåß Þ áêüìá êáé vá oñéóôåß

óáv ôåëåóôÞò ôo äåîéü ìÝëoò ôçò üðoõ ðñÝðåé vá oñßóoõìå ôo ñéæéêü êÜðoéoõ

äéáöoñéêoý ôåëåóôÞ. Åôóé ðñoôÜèçêå vá ÷ñçóéìoðoéçèåß ç Hamiltonian H õðü ôç

ìoñöÞ:

H 2 =~p 2 c 2 + m 2 c 4 (4.120)

oðüôå ðáßñvoõìå ôç ëåãüìåvç åîßóùóç Klein-Gordon:

[

�+( mc

~

) 2]

ψ = 0 (4.121)

üðoõ:

� =∑

i

∂ 2

∂ x 2i

− 1

c 2

∂ 2

∂ t 2(4.122)

H åîßóùóç áõôÞ åßváé ó÷åôéêéóôéêÞ, äçëáäÞ ðáñáìÝvåé áváëëoßùôç êÜôù áðü ôo

ìåôáó÷çìáôéóìü Lorentz. ÐñÝðåé üìùò vá äþóoõìå ôç öõóéêÞ åñìçvåßá ôoõ ø.

ÄçëáäÞ ðñÝðåé vá oñßóoõìå ðõêvüôçôá ðéèávüôçôáò ñ êáé ñåýìáôoò ~j Ýôóé þóôå váéó÷ýåé ç åîßóùóç ôçò óõvÝ÷åéáò. Áõôü åðéôõã÷Üvåôáé ìå ôoõò oñéóìoýò:

ρ =

(

i~

2 mc 2

)[

ψ ∗∂ψ

∂ t−ψ∂ψ

∗

∂ t

]

(4.123)

~j =

(

~

2im

)

[

ψ ∗ (~∇ψ )−ψ (~∇ψ ∗ )]

(4.124)



Äõóôõþò üìùò ç (4.123) äåv åßváé êáôÜëëçëoò oñéóìüò ðõêvüôçôáò ðéèávüôçôáò

ãéáôß ìðoñåß vá ðÜñåé êáé áñvçôéêÝò ôéìÝò. Áõôü èá ìðoñoýóå vá ôo ðåñéìÝvåé êávåßò

ãéáôß åããåvþò ç Hamiltonian (4.120) ìðoñåß vá äþóåé "áñvçôéêÝò åvÝñãåéåò":

H = −√

~p 2 c 2 + m 2 c 4 (4.125)

TÝôoéåò åvÝñãåéåò öõóéêÜ åßváé áðáñÜäåêôåò. Åôóé åãêáôáëÞöèçêå ç åîßóùóç Klein-

Gordon. ×ñçóéìoðoéÞèçêå üìùò üôáv äéáðéóôþèçêå ìÝóù ôçò ÊâávôéêÞò Èåùñßáò

Ðåäßùv üôé ìðoñåß êávåßò vá åñìçvåýóåé êáôÜ Ývá áõôoóõìâéâáóôü ôñüðo ôéòáñvçôéêÝò åvÝñãåéåò ôçò ýëçò óáv èåôéêÝò åvÝñãåéåò ôçò ávôéýëçò.

4.3.3 Ç Åîßóùóç Dirac

H ýðáñîç ôoõ åväå÷oìÝvoõ ôùv ëýóåùv ôçò åîßóùóçò Klein-Gordon ìå áñvçôéêÞ

åvÝñãåéá oöåßëåôáé óôo ãåãovüò üôé ç åîßóùóç åßváé ôåôñáãùvéêÞ ùò ðñoò ôo ÷ñüvo

êáé ôo ÷þño. Ï Dirac óêÝöôçêå üôé ìðoñåß êávåßò vá ãñÜøåé ìßá åîßóùóç ó÷åôéêéóôéêÞ

ü÷é ìå ôo vá åéóÜãåé ôo ÷ñüvo ôåôñáãùvéêÜ áëëÜ ìå ôo vá åéóÜãåé ôo ÷þño óôçv

ðñþôç äýváìç. Åãñáøå ëoéðüv ôçv åîßóùóç:

i~θΨ

θ t=

(

~ c

i

)[

α 1∂ψ

∂ x 1+α 2

∂ψ

∂ x 2+α 3

∂ψ

∂ x 3

]

+β mc 2ψ

= Hψ (4.126)

Ôá α1 , α2 , α3 äåv ìðoñåß vá åßváé óôáèåñÝò áñéèìçôéêÝò ðoóüôçôåò ãéáôß ç (4.126)

äåv èá Þôáv êáv áváëëoßùôç ùò ðñoò ôéò óôñoöÝò. Åðßóçò ôo ø äåv ìðoñåß vá

åßváé áñéèìçôéêÞ óõvÜñôçóç ãéáôß äåv ìðoñoýìå vá êáôáóêåõÜóoõìå ìéÜ åîßóùóç

óõvÝ÷åéáò. Åôóé o Dirac õðÝèåóå üôé ôo ø åßváé ðßváêáò óôÞëçò

ψ =

ψ 1

ψ 2

.

.

.ψ N

(4.127)

êáé ôá αi , β åßváé ðßváêåò N × N . Tþñá ðñÝðåé vá éó÷ýåé ç ó÷åôéêéóôéêÞ ó÷ÝóçE2 = p2c2 + m2c4. Aõôü óçìáßvåé üôé ç êÜèå óõvéóôþóá ψk ðñÝðåé vá éêávoðoéåß

ôçv Klein- Gordon:

−~2∂

2ψ k

∂ t 2= [−~

2 c 2∇ 2 + m 2 c 4 ]ψ k (4.128)



Áðü ôçv (4.126) ãéá vá ìðoñoýìå vá ðÜñoõìå ôçv (4.128 ðñÝðåß vá åðéâÜëëoõìå

êÜðoéåò óõvèÞêåò óôá αi , β . Ðáßñvoõìå:

α iα k +α kα i = 2δ ik (4.129)

α iβ +βα i = 0 (4.130)

α 2i =β 2 = 1 (4.131)

Aðü ôéò (4.130) êáé (4.131) ðáßñvoõìå:

α i = −βα iβ , β = −α iβα i (4.132)

Áðü ôçv éäéüôçôá ôoõ ß÷voõò (Trace) ðßváêá:

Tr(AB) = Tr(BA) (4.133)

ðáßñvoõìå:

Tr(α i ) = − T r(βα iβ ) = − T r(α iβ2 ) =− T r( a i ) = 0 (4.134)

Êáé üìoéá:

Tr(β ) = 0 (4.135)

Aðü ôéò ó÷Ýóåéò (4.131) Ý÷oõìå üôé oé éäéoôéìÝò ôùv ðévÜêùv αi êáé β ðñÝðåé vá åßváé±1. Ôo ß÷voò üìùò (Trace) åvüò ðßváêá åßváé ôo Üèñoéóìá ôùv éäéoôéìþv ôoõ, oðüôåèá ðñÝðåé oé éäéoôéìÝò ôùv +1 êáé -1 vá õðÜñ÷oõv êáôÜ æåýãç. ÄçëáäÞ èá ðñÝðåé ôo

Í vá åßváé Üñôéo. Ãéá Í = 2 ðáßñvoõìå ôoõò ðßváêåò Pauli:

σ 1 =

(

0 11 0

)

, σ 2 =

(

0 −ii 0

)

, σ 3 =

(

1 00 −1

)

(4.136)

oé oðoßoé åßváé ìüvo ôñåéò ðoõ éêávoðoéoýv ôéò ó÷Ýóåéò ávôéìåôÜèåóçò. Áñá

ðáßñvoõìå óáv ðñþôç ìç ôåôñéìÝvç ðåñßðôùóç ôo Í = 4. ÈÝôoõìå:

α i =

(

0 σ i

σ i 0

)

, β =

(

1 2 00 1 2

)

, 1 2 =

(

1 00 1

)

(4.137)

Ãéá ðáñÜäåéãìá Ý÷oõìå:

α 1 =

0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0

(4.138)

Ïñßæovôáò ôo:

ψ + = (ψ 1∗ , ψ 2∗ , ψ 3∗ , ψ 4∗ ) (4.139)



êáé

ρ =ψ +ψ = |ψ 1 | 2 +|ψ 2 | 2 +|ψ 3 | 2 +|ψ 4 | 2 (4.140)

j k = cψ +α kψ (4.141)

ðáßñvoõìå ôçv åîßóùóç ôçò óõvÝ÷åéáò.

Eóôù ôþñá Ývá åëåýèåño áêßvçôo çëåêôñüvéo. Èá Ý÷oõìå:

i~∂ψ

∂ t=β mc 2ψ (4.142)

ðoõ Ý÷åé ôÝóóåñåéò ëýóåéò:

ψ 1 = exp (− imc 2

h)

1000

, ψ 2 = exp (− imc 2

h)

0100

(4.143)

ψ 3 = exp (+imc 2

h)

0010

, ψ 4 = exp (+ imc 2

h)

0001

(4.144)

ÁìÝóùò öáßvåôáé üôé ôo ðñüâëçìá ôùv áñvçôéêþv åvåñãåéþv åìöávßæåôáé êáé óôçv

åîßóùóç Dirac. Ïé ëýóåéò ψ3 , ψ4 Ý÷oõí áñvçôéêÞ åvÝñãåéá. Ï Dirac ôo åñìÞvåõóå ìå

ôo vá åéóÜãåé ôç ëåãüìåvç èåùñßá ôùv oðþv êáé Ýôóé oäçãÞèçêå óôo vá ðñoâëÝøåéôçv ýðáñîç ôçò ávôéýëçò, äçëáäÞ åv ðñoêåéìÝvù ôá ðoæéôñüvéá. Ôo âáóéêü üìùòóôéò ëýóåéò (4.143,4.144) åßváé üôé ðåñéãñÜöoõv Ývá vÝo âáèìü åëåõèåñßáò áõôüvôoõ spin. ÐñÜãìáôé oé ψ1 , ψ2 äßvoõv ôéò êáôáóôÜóåéò çëåêôñovßùv ìå ðñïâïëÞ spin

+1/2 êáé -1/2 ¯ êáé ávôßóôoéá oé ψ3 , ψ4 ãéá ôá ðoæéôñüvéá. ÂÝâáéá ãéá vá öôÜóåé

êávåßò óôçv åñìçvåßá áõôÞ ðñÝðåé vá âñåé ôo ìç ó÷åôéêéóôéêü üñéo ôçò åîßóùóçò

Dirac. Ó’ áõôü ôo üñéo Ý÷oõìå ôçv åîßóùóç Pauli ðoõ ðñoôÜèçêå ãéá ôçv ðåñéãñáöÞ

ôoõ spin.

Åöáñìüæovôáò ôçv åîßóùóç Dirac ãéá ôo Üôoìo ôoõ õäñoãüvoõ ìðoñoýìå vá

âñoýìå äéoñèþóåéò óôo öÜóìá ôoõ, ðoõ äåv åßváé äõváôüv vá âñåèoýv óôá ðëáßóéá

ôçò ìç-ó÷åôéêéóôéêÞò ÊâávôoìçávéêÞò.

Ôåëåéþvovôáò èá ðñÝðåé vá ëåxèåß üôé ç åîßóùóç Dirac åßváé ðñÜãìáôé óõváëëoßùôç

êÜôù áðü ôoõò ìåôáóxçìáôéóìoýò Lorentz, êÜôé ðoõ xñåéÜæåôáé ëåðôoìåñÞ áðüäåéîç.

Ç óõììåôáâëçôÞ Ýêöñáóç ôçò åîßóùóçò åßváé:

i~ [γo ∂

∂ x o+γ 1 ∂

∂ x 1+γ 2 ∂

∂ x 2+γ 3 ∂

∂ x 3]ψ −mcψ = 0 (4.145)

üðoõ

γo =β , γ k =βα k , k = 1 , 2 , 3 (4.146)



γµγν +γνγµ =2 gµν I 4 (4.147)

üðoõ

I 4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

(4.148)


c:/documents and settings/user/desktop/rel …Ðåñéå÷üìåíá 0.1 Ðñüëoãoò 5 1...

Documents