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物理学AI　第８講

自習用テキスト解答（３章まで） http://www.ms.osakafu-u.ac.jp/~spweb/physmathAns1.pdf

前回の講義ファイル物理学AI　第８講

レポート解説第３章レポート提出者：６３名 　　　　　（内締切後： 2.5名）

第７講レポート提出者：６５名

物理学AI　第８講

太陽と半月の間の角は約87°（89.85°）。 太陽までの距離は何スタディオンか?

アリスタルコス

87°

レポート1解説物理学AI　第８講

レポート1解説

87° (89.85°)

題意より太陽・半月・観測者の間の関係は下図の通り。

2,000,000std. ÷ cos 87° ≒ 38,000,000std.

2,000,000std. ÷ cos 89.85° ≒ 760,000,000std.

アリスタルコスの求めた距離は

精度４桁の角度を使うと

物理学AI　第８講

　惑星の運動に関するケプラーの第３法則、すなわち公転周期Tと軌道長半径aの間に関係式T2 ∝ a3が成り立つことを、軌道が円の場合についての次元解析によって導け。 （ヒント）公転周期Tは万有引力定数Gと太陽質量mおよび軌道半径aによって決まる。万有引力定数の持つ次元はM-1L3T-2である。

レポート2解説物理学AI　第８講

T ∝ Gambac

Gの次元はM-1L3T-2だから左辺の次元 = T右辺の次元 = (M-1L3T-2)aMbLc

レポート2解説公転周期Tは万有引力定数Gと太陽質量mおよび軌道半径aによって決まる。

物理学AI　第８講

-a + b = 0, -2a = 1, 3a + c = 0両辺の各ベキを比べると

したがって∴ a = -1/2, b = 1/2, c = 3/2

レポート2解説

T ∝ G-1/2m1/2a3/2　　　　　 T 2 ∝ a3

物理学AI　第８講

x1(t)、x2(t) を同次式の解、非同次式の一つの特解はF(t)/cなので、非同次式の一般解は

２階線形非同次微分方程式 解の性質

物理学AI　第８講

+ b + cx = F(t)dt2d2x

dtdx

F(t)/c + A1 x1 + A2 x2

x1(t)、x2(t) を同次式の解、非同次式の一つの特解はF(y)/cなので、非同次式の一般解は

２階線形非同次微分方程式 解の性質

物理学AI　第８講

+ b + cx = F(y)dt2d2x

dtdx

F(y)/c + A1 x1 + A2 x2

①

②

②式を①式左辺各項に代入

cx = c A1 x1 + c A2 x2 + F(y)

dt2d2x = A1 + A2

b = b A1 + b A2dtdx

解の性質物理学AI　第８講

dt2d2x1

dt2d2x2

dtdx1

dtdx2

= A1( )

+ b + cx dt2d2x

dtdx

+= F(y)

②式を①式左辺に代入すると解の性質

物理学AI　第８講

+ b + cx1 dt2d2x1

dtdx1

A2( ) + F(y) + b + cx2 dt2d2x2

dtdx2

第６・７講 運動の法則　

～ニュートンの運動方程式～ ～日常的な力～

運動方程式を解く① ～次元・単位と次元解析～

物理学AI　第８講

ニュートンの第一法則慣性の法則 力　f = 0　

ならば　 加速度　a =

微分方程式で書けば

dt2d2x = 0

0

物理学AI　第８講

ニュートンの第一法則静止または等速度運動： 加速度　a = = 0

微分方程式の一般解は 　　　x(t) =

dt2d2x

C1 + C2t

物理学AI　第８講

ニュートンの第二法則運動の法則

物体の加速度は外力に比例し、質量に反比例する。

ma = m = f

ニュートンの運動方程式dt2d2x

物理学AI　第８講

ニュートンの第三法則作用・反作用の法則

２つの物体が互いに及ぼし合う力は、大きさが等しく方向は反対である。

f 12 = -f21

物理学AI　第８講

日常的な力①　～抗力～

mmg =

N =mg cos θ

F =mg sin θ

θma = mg sin θ

物理学AI　第８講

日常的な力②　～張力～M

m= mg

T

T

Ma = T ma = mg - T

(M + m) a = mg

物理学AI　第８講

日常的な力③　～摩擦力～

静止摩擦力 静止摩擦係数

動摩擦力 動摩擦係数

物理学AI　第８講

日常的な力④～空気抵抗～

直径数mm以下 F = -kv

直径数mm～数m F = -CρAv2

物理学AI　第８講

さまざまな運動　 第６講補足　～重力～ ～運動方程式を解く②～ 減衰運動・振動運動 （教科書§1.6~1.8）

物理学AI　第８講

ニュートンの第二法則物理学AI　第８講

重力の特徴

ニュートンの第二法則物理学AI　第８講

例：雨滴の落下運動雨滴は速度に比例した空気抵抗を受ける。上方向を正として運動方程式は

m = kv - mgdtdv

-km-1(v - mgk -1)変形すると dtdv =

物理学AI　第８講

例：雨滴の落下運動

であるから

u = v - mg k -1とすると

dtdu (v - mgk -1) = dt

dvdtd

= -km-1udtdu

u(t) = u(0)exp(-km-1t)したがって解は exp(x) = ex

= -xdtdx

=

物理学AI　第８講

例：雨滴の落下運動

v(t) = mg k -1 (1- exp(-km-1t))

u(t) = -mgk -1 exp(-km-1t)変数 v に戻すと

初期条件を v(0) = 0とすると

この関数は t → ∞ のときv(∞) = mg k -1 終端速度

物理学AI　第８講

v(t) = mgk -1 (1- exp(-km-1t))例：雨滴の落下運動

物理学AI　第８講

例：単振動

0 x-x

（調和振動）

f = kx f = -kxフックの法則ma = -kx

運動方程式

物理学AI　第８講

単振動の解

両辺をmで割ると ma = m = -kxdt2

d2x

= -km-1xdt2d2x

φ = k1/2m-1/2t とすると = -xdφ2

d2x

物理学AI　第８講

特性方程式は

x(t) = i(C1 - C2) sin φ 　　　+ (C1 +C2) cos φ

単振動の解λ2 = -1

x(t) = C1eiφ +C2e-iφ一般解は

sin、cos を使って書き直すと

物理学AI　第８講

２階微分すると元に戻って符号が変わるのだから、xの特解はsin φとcos φ。したがって一般解は

x(t) = Asin φ + Bcos φ = Asin k1/2m-1/2t + Bcos k1/2m-1/2t

単振動の別解物理学AI　第８講

x1(t)…xm(t) (m ≤ n)を特解とすると

線形同次微分方程式 dix∑ ai = 0dtii =0

n

∑ Aj xj j =1

m

も解。特に m=n の場合は一般解。 重ね合わせの法則

微分方程式の性質物理学AI　第８講

を満たす ψ を用いて三角関数を合成すると

x(t) = (A2 +B2)-1/2 sin (k1/2m-1/2t + ψ) = C sin (k1/2m-1/2t + ψ)

cos ψ = A/(A2 +B2)1/2 sin ψ = B/(A2 +B2)1/2

ここで単振動の解

物理学AI　第８講

x(t) = C sin (k1/2m-1/2t + ψ)

周期

初期位相

単振動の解物理学AI　第８講

k1/2m-1/2T = 2π周期Tは

T = 2π· m1/2k -1/2

T ∝ m1/2k -1/2

したがって

単振動の解物理学AI　第８講

次元解析の例

T ∝ makbAc

周期 Tを決めている物理量は 　　質量 m、バネ定数 k、振幅 A

バネ定数の次元はMT-2だから左辺の次元 = T右辺の次元 = Ma(MT-2)bLc

物理学AI　第８講

次元解析の例

a + b = 0, -2b = 1, c = 0両辺の各ベキを比べると

したがってT ∝ m1/2k -1/2

∴ a = 1/2, b = -1/2, c = 0

（正確には T = m1/2k -1/2 × 2π）

物理学AI　第８講

単振り子物理学AI　第８講

単振り子の解

θ が小さいとき、 sin θ をマクローリン展開の１次までで近似すると

ma = m = -mg·sin θdt2d2s

円周に沿った成分の運動方程式は

sin θ ≃ θ

物理学AI　第８講

単振り子の解単振り子の運動方程式は

m = -mgθ = -mgsL-1dt2d2s

したがって、単振り子はバネ定数 k = mgL-1 の単振動に対応する。

m = -kxdt2d2x

単振動の運動方程式は

物理学AI　第８講

単振り子の解 周期は T = 2π· m1/2k -1/2 = 2π· L1/2g -1/2

振り子の等時性

物理学AI　第８講

単振り子の解θ があまり小さくないときは？

m = -mg(θ - θ 3/6) = -mg(sL-1 - s3L-3/6)dt2

d2s

これは非線形微分方程式となって数学的に解くのが難しい。

sin θ ≃を使うと運動方程式は

θ - θ 3/6

物理学AI　第８講

レポート12012年5月21日には日本でも金

環食が起こった。 太陽の直径は何スタディオンか?

アリスタルコス

物理学AI　第８講

　単振り子の振れ角θ が大きくsin θ ≃ θと近似できないとき、振れ角が小さい場合に比べて振り子の周期はどうなるか定性的に議論せよ。

レポート2物理学AI　第８講

締切：　6月13日 提出先：B9棟108室前ポスト

レポート自習用テキスト第５章　問全問

最大10点

物理学AI　第８講

締切：　7月15日 提出先：B9棟108室前ポスト