CATEDRA 03

METODOS NUMERICOS

Ingeniería Civil

ING.�CRISTIAN�CASTRO�P.

Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil

Departamento académico de ingeniería de minas y civil

Capitulo III

Aproximación Numérica y Errores

ING.�CRISTIAN�CASTRO�P.

DEFINICIONES

COMPUTACION NUMERICA

Significa “Calcular con Números”

APROXIMACIÓN NUMÉRICA Y ERRORES

Aproximación numérica

Modelo matemáticoMODELO

•Simbólico•Icónico•Analítico/Matemático•Simulación

Representación de la realidad

Errores

Errores humanos

• Lectura

• Transmisión

• Transcripción

• Programación

Errores inherentes

Errores de redondeo

• Truncado 1.666• Simétrico 1.667

Errores por truncamiento

Serie de Taylor

Propagación de errores• Gráficas de proceso

Aritmética de la computadora

Números enteros

Números reales

APROXIMACIÓN NUMÉRICA YERRORES

Aproximaciones y errores deredondeo

Dos errores más comunes en computación numérica:

Errores de redondeo:

se deben a que la computadora sólo puede presentarcantidades con un número finito de dígitos

Errores de truncamiento:representan la diferencia entre una formulaciónmatemática exacta de un problema y la aproximacióndada por un método numérico

Cifras significativas

• El concepto de cifra significativa se ha desarrolladopara designar formalmente la confiabilidad de un valornumérico

• Las cifras significativas de un número son aquellasque pueden ser usadas en forma confiable

Aproximaciones y errores deredondeo

Implicaciones de las cifras significativas en los métodos numéricos

1. Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados• Se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los

resultados• Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas

2. Ciertas cantidades representan números específicos, , e, √7, pero nose pueden expresar exactamente con un número finito de dígitosEjemplo, = 3.141592653589793238462643… hasta el infinito

• En las computadoras tales números jamás se podrán representar en formaexacta

• A la omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error deredondeo

Aproximaciones y errores deredondeo

Exactitud y precisiónEXACTITUD: se refiere a qué tan cercano está un valor calculado o medido

del valor verdadero

PRECISIÓN: se refiere a qué tan cercano está un valor individual calculado omedido con respecto a otros

INEXACTITUD: o sesgo, se define como un alejamiento sistemático de laverdad

IMPRECISIÓN: o incertidumbre, se refiere a la magnitud del esparcimiento delos valores

Exactitud y precisiónLos métodos numéricos deberser:

• Lo suficientemente exactoso sin sesgo para quecumplan con los requisitosde un problema particularde ingeniería

• Lo suficientemente precisospara el diseño en ingeniería

Aumenta la exactitud

Aum

enta

la p

reci

sión

Definiciones de error• Los errores numéricos se generan con el uso de

aproximaciones para representar las operaciones ycantidades matemáticas

• Estos incluyen:

• Errores de redondeo: se producen cuando los númerostienen un limite de cifras significativas que se usanpara representar números exactos

• Errores de truncamiento: que resultan de representaraproximadamente un procedimiento matemáticoexacto

• Error verdadero

Un defecto de esta definición es que no toma en cuenta el orden de magnitud del valor que se esta probando

• Error relativo porcentual

• Error aproximado

• Los signos de las ecuaciones pueden ser positivos o negativos

• No importa el signo, sino que su valor absoluto sea menor que una tolerancia prefijada s

ónaproximaci - aderovalor verdtE

%100aderovalor verd

tt

E

%100aproximadovalor aproximadoError

a %100actualón Aproximaci

anteriorón Aproximaci - actualón Aproximacia

sa

Definiciones de error

• Estos errores pueden ser relacionados con el número decifras significativas en la aproximación

• Puede tenerse la seguridad de que el resultado escorrecto en al menos n cifras significativas, si

• De esta forma se debe especificar el valor del erroresperado

%105.0 2 ns

Definiciones de error

Representación de punto flotante y errores de redondeo

1. Hay un rango limitado para representar cantidades• Hay números grandes positivos y negativos que no pueden ser

representados (overflow)• No pueden representarse números muy pequeños (underflow)

2. Hay sólo un número finito de cantidades que puede serrepresentado dentro de un rango

• El grado de precisión es limitado• Para aquellos que no pueden ser representados exactamente, la

aproximación real se puede lograr: cortando o redondeando

3. El intervalo entre números aumenta tanto como los númeroscrecen en magnitud

• El error cuantificable más grande ocurrirá para aquellos valores quecaigan justo debajo del limite superior de la primera serie deintervalos igualmente espaciados

• IEEE Standard for double precision numbers

• Round-off: eps = 2-52

• Underflow: realmin = 2-1022

• Overflow: realmax = (2-eps) ·21023

Floating point numbers in Matlab

s e f1 2 12 13 64

Error Absoluto

Error Relativo

Corrección

xxa ~

0~

xx

xxr

axx ~

TEORÍA DE ERRORES

Ejemplo

2105.0005.0003.0

0244.0123.0003.0

003.012.0~12.0~123.0

x

xxxx

ar

a

Decimales Correctos

t

xx105.0 excede no

~ enerror el si correctos decimales t tiene~

Definiciones• Número de cifras decimales:

cantidad de cifras luego del punto o coma decimal

• Número de dígitos:cantidad de cifras a la derecha del primer númerodistinto de cero

• Ejemplo0.00147 (3 dígitos – 5 decimales)

• Notación de punto flotante

11.010 mZqma q

210147.0

Ejemplo• ERROR absoluto Nro de decimales correctos

• ERROR relativo Nro de cifras significativas correctas

45 105.0106.0

001240.0,001228.0000006.0001234.0

a

xx

23 105.01086.4001234.0000006.0 r

4D

2S

Redondeo• Si la cifra en primer lugar a descartar es menor

que 5, dejar la última cifra como está.

• Si la cifra en primer lugar a descartar es mayorque 5,sumarle 1 a la última cifra.

• Si la cifra en primer lugar a descartar es igual a5, es indistinto

)0008.0(415.14142.1)0002.0(414.14142.1

Cómo se almacenan los números reales en las computadoras?

Números binarios

iafraccionar parte

22

11

entera parte

01

11

1

2...22

2...22

kk

nn

nn

bbb

bbbbX

Ejemplo

binariacion representa

2

binariaexpansión

2112

01.101

21201202141525.5

Problemas numéricos?Overflow / Underflow:

• Comunicación: sistema decimal• Almacenamiento: sistema binario• Set de números: set infinito• Rangos limitados: Los dispositivos digitales usan

una cadena de bits (palabra)para almacenar un número

Se guarda un bit para el signo de la mantisa, y otropara el signo del exponente

Aritmética de punto flotante

Palabra de longitud finitaExponente: overflow/underflowFracción: errores de redondeo

El conjunto de números reales es infinito. Entonces,No es posible representar TODOS los números con unasola palabra.

110.0 1321 fxxxxffx e

• Overflow: • mensaje de error (infinito)• Si la corrida continúa, se propaga el error

• Underflow:• El numero tiende a cero• La corrida continúa

Limitaciones típicasPrecisión Tamaño

de palabra

Número de cifras signifi-cativas

Rango del exponente

Simple 32 bits 7 10-38- 1038

Doble 64 bits 15 10-307- 10307

Quad 128 bits

Epsilon machine• Es característico de la aritmética de cada máquina

en cuestión• Depende del tamaño de palabra, la base, tipo de

redondeo• Valores típicos:

Precisión Computadora Calculadora

Simple 10-8 10-10

Doble 10-16 10-12

Ejemplo

302

30230

2

2

2

2

30

22

1010

1110

,max

110

c

bassb

sasc

babac

Comparación entre errores de redondeo y de truncado

• Si se suman números positivos con redondeo, loserrores de redondeo serán positivos o negativosal azar y tenderán a cancelarse

• Si se suman números positivos con truncado, loserrores de truncado siempre van en la mismadirección y se refuerzan entre sí.

• Se prefiere ARITMETICA CON REDONDEO

2.152302.052312.5231

4.038564.038564.3856

8.013742.013758.1374

Redondeo Truncado

Análisis de error en punto flotante

1

1

1 1

6.10(3.52 0.116) /1.01

Cálculo exacto

y 6.10(3.636)/1.01 22.1796/1.01 21.960.352 10

0.0116 10------------------

0.3636 10 0.364 10

y

1

1

2 2

21 2

1

6.10(3.52 0.116) /1.01

Cálculo exacto

y 6.10(3.636)/1.01 22.1796/1.01 21.96

0.364 10

0.61 10------------------

0.22204 10 0.222 10

0.222 10 2.198 10 0.220 10 ( )0.101 10

y

X

fl y

ERRORES EN LAS MEDIDAS FÍSICASClasificación:

• Errores sistemáticos defectos intrínsecos

• Errores accidentales causas fortuitas, tratamiento estadístico

Valor verdadero

Valor verdadero

Las distintas medidas de una magnitud afectadas sólo por erroresaccidentales se distribuyen en torno al “valor verdadero” de unaforma estadísticamente predecible.

Cuando los errores en las medidas son accidentales, la mejoraproximación al valor verdadero es la media aritmética de losvalores obtenidos.

DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA o NORMAL

Medidas

Número de veces que

se presenta una medida

Media

N

iiN x

Nxxx

Nx

121

1)...(1

Media aritmética de N medidas

N

ii xx

N 1

2)(1

Error estándar

La mayoría de las medidas se concentran alrededor de la media, las medidas más alejadas y extremas son

menos frecuentes

Uso de diferencias al cuadrado en los estimadores estadísticos para evitar cancelaciones

DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA

2

2

2exp

21

xxy

68.27%2 95.45%3 99.73%

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

-5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

-5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0

N

xxN

ii

1

2)(

DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-4.0 -2.0 0.0 2.0 4.0x

= 0.5

= 1.0

68.27%

Si la distribución es gaussiana, la mejor estimación del valor verdadero es la media aritmética

CUALIDADES DE LOS APARATOS DE MEDIDA

RESOLUCIÓN: Es la mínima división de la escala delaparato

SENSIBILIDAD: Es el número de divisiones de la escalaque recorre el indicador del aparato cuando lamagnitud a medir varía en una unidad.

Ejemplos: 1 mm en una regla milimetrada; 0.01 A en cierto amperímetro

Ejemplos.: 1 mm –1 en la regla milimetrada. 100 A–1 en el amperímetro.

Umbral de sensibilidad: variación mínima de la magnitud que no es apreciada por elaparato (evidentemente es menor que la resolución)

CUALIDADES DE LOS APARATOS DE MEDIDA

FIDELIDAD: Es la cualidad del aparato de dar elmismo resultado siempre que se mide la mismamagnitud física en las mismas condicionesexperimentales y distintas condicionesambientales del aparato (temperatura, tensión dealimentación, ...).

PRECISIÓN: Es la característica que nos indicaglobalmente el error debido al umbral desensibilidad y la falta de fidelidad del aparato.

Se expresa ordinariamente como un tanto por ciento delfondo de escala (F.E.). Por ejemplo: un amperímetro deprecisión 2% del F.E.

PRECISIÓN: es la característica que máscompletamente indica el error de la medidadebido intrínsicamente al aparato, es decir, que nopuede rebajarse salvo que midamos con unaparato más precisoHay otros errores que afectan circunstancialmente a un aparato,pero que pueden corregirse mediante calibrado, es decir,ajustándolos para que den medidas correctas o corrigiendo susescalas tras una confrontación con un patrón o un aparato máspreciso. Debido a esta circunstancia, es necesario definir otracualidad.

EXACTITUD: Es la cualidad de un aparato queindica que es preciso y está bien calibrado. Sóloun aparato exacto permite medidas exactas,pero la exactitud está siempre limitada por laprecisión del aparato.

PRECISIÓN y EXACTITUD

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

• El número de cifras significativas deuna medida es el número de dígitosfiables que dicha medida contiene.

scxt 3333333333.3

10310

5

6

?

7 mV

• Los ceros a la izquierda no son significativosindican la colocación del punto decimal; así,0.000345 tiene TRES cifras significativas.

• Los ceros a la derecha y después del puntodecimal si son significativos; como ejemplo,3.4120 tiene CINCO cifras significativas.

• En números enteros terminados en ceros,éstos pueden ser significativos o no; debedistinguirse si sólo sirven para localizar elpunto decimal o son parte de la medida.

El resultado de uncálculo no puede sermás exacto que lacantidad menos exactaque interviene en elmismo.

Glosario• Exactitud (accuracy): error absoluto o relativo

de una determinada cantidad.

• Precisión: es la exactitud con que se realizan lasoperaciones aritméticas básicas (medida por elepsilon machine)

• Si se efectúa una única operación =>precisión=exactitud

• Si se efectúan muchas operaciones =>precisión>>>> exactitud del resultado final

bxA

*

Estabilidad• Algoritmo: método computacional bien definido para resolver

una dada clase de problemas.

• Condicionamiento: mide con cuánta exactitud es posibleresolver un problema empleando una dada precisión enpunto flotante, independientemente del algoritmo que seemplea.

• Estabilidad: mide cuan bien un algoritmo resuelve unproblema tratando de lograr la máxima exactitud asequible,la cual está definida por el condicionamiento del problema.

• Los algoritmos que brindan respuestas innecesariamenteinexactos se denominan inestables.

• Un proceso numérico es inestable si errores pequeños quesurgen en una etapa del proceso se magnifican en etapaposteriores, degradando la exactitud del resultado final

ERRORES EN MEDIDAS DIRECTASLas medidas directas son las realizadas midiendo una magnitudfísica por medio de un instrumento y un procedimiento de medida.

Las medidas indirectas son las que se obtienen a través de lamedida directa de otra u otras magnitudes relacionadas con ellamediante una fórmula conocida.

Error en una medida directa:

En cada medida directa x se comete el error Dx que impone laresolución del aparato.

Por ejemplo: midiendo una longitud de 22 mm con una regla milimetrada,cometemos un error de 1 mm. Esto debe expresarse como (221) mm.

Este es el error absoluto de cada medida. La medida se expresacomo x x

Criterio general para expresar el error absoluto:

Ya que el error representa la incertidumbre en el conocimiento dela medida, en general debe expresarse con UNA sola cifrasignificativa.

ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS

• Error absoluto: sensibilidad

• Error relativo: precisión

Determinación del error absoluto:comparamos el error debido a la sensibilidadcon el error cuadrático medio. Se toma la mayorde ambas cantidades. Se expresa con una solacifra significativa, salvo si esta es 1, en cuyocaso se admiten dos cifras significativas.

x xx

Determinación del error relativo:cociente entre el error absoluto y el valor aceptado.Se expresa en tanto por uno o tanto por ciento.

ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS

• Error del aparato • Serie de medidas: Error cuadrático medio

N

iix

Nxx

Nx

121

1...)(1

)1(

)(1

2

NN

xxx

N

iiN

x Resolución

Cuando sólo se presentan errores accidentales elmejor valor representativo del valor verdadero esel valor medio

s 104 3

s 105 3 RMSx

Medida resultante de un conjunto de medidas directas

ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS

Valor aceptado: media aritmética

N

iiN x

Nxxx

Nx

121

1)...(1

Error absoluto de la serie: la mayor de las dos cantidades siguientes:

* El error estándar de los datos

N

ii xx

N 1

2)(1

* El valor cuadrático medio de los errores (RMS) 222

21 ...1

NRMS xxxN

x

x1 x1

x2 x2

x3 x3

… …

xN xN

(Ti-T)2

4,00E-04

4,93E-32

4,00E-04

1,00E-04

4,93E-32

1,00E-04

Ti2

1,00E-04

1,00E-04

1,00E-04

1,00E-04

1,00E-04

1,00E-04

Ti (s)

1,92

1,94

1,96

1,95

1,94

1,93

Ti

0,01

0,01

0,01

0,01

0,01

0,01

Ejemplo: medida del periodo de un péndulo simple

s 94.1T

s 005.0940.1 T

El error absoluto del conjunto será la mayor de las dos cantidades

),( RMSxMAXx

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS• La medida indirecta de una magnitud x se determina a través de

la medida de otras con las que mantiene una relación funcional),...,( 21 Nxxxxx

Ley de propagación del error de Gauss

22

22

2

11

...

NN

xxxx

xxx

xxx

La ley de propagación de Gauss nos da el valor medio del errorabsoluto de la magnitud medida en forma indirecta a partir de loserrores absolutos x1, x2,…Ejemplo: cálculo de la energía cinética de un cuerpo de masa M = (2.140.04) kg que se mueve con una velocidad constante v = (4.50.1) m/s.

J 6675.2121 2 MvEc

22

vv

EcMMEcEc 2

22

2vMvMv

J 088.11.05.414.204.0

25.4 2

22

(Sin ajustar decimales)

Expresamos el error con 2 cifras significativas al ser la primera un 1 J 1.1 cE

Ajustamos el resultado al mismo orden decimal que el error: J 1.17.21 cE

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTASValor máximo del error en medidas indirectasSi supusiéramos que de todas las variables que intervienen en la magnitudx sólo una de ellas, xi, influye en el error x por haber sido todas las demásmedidas sin error alguno, la ley de propagación del error nos daría:

ii

ii

xxxx

xxx

2

Pero realmente no hay ninguna variable que sea medida sin error, por loque podemos considerar que el error máximo en la medida indirecta será lasuma de una serie de términos de error individual de la forma expresada enla ecuación anterior:

NN

xxxx

xxx

xxx

...22

11

Salvo que se indique expresamente lo contrario, debe preferirse expresar losresultados de las medidas acompañados de su error máximo, dado por laecuación inmediata anterior en lugar del error medio dado por la fórmula deGauss.

El anterior ejemplo de la energía cinética, si se usa el error máximo, da como resultado(compruébese)

J 5.17.21 cE

• La función consta exclusivamente de productos y/o cocientes

nN

ba xxxx ...21

Derivadas parciales 11 x

xaxx

22 xxb

xx

NN xxn

xx

Error máximo (expresado como error relativo, es decir, comocociente entre el error y la magnitud)

N

Nxxn

xxb

xxa

xx

...

2

2

1

1

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS

Caso particular que se presenta con frecuencia:

Ejemplo: error cometido en el cálculo de una fuerza centrípeta

RvMF

2 R

Rvv

MM

FF

2

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTASCálculo del error en la media empleando la ley de propagación de GaussConsideramos x1, x2,... xN (las N medidas realizadas deuna magnitud, cada una afectada de un errorindividual x1, x2,...xN), como medidas directas apartir de las cuales se obtendrá la media comomedida indirecta, siendo la relación funcional entreellas

N

iix

Nx

1

1

Valor medio del error:

22

2

2

1 Δ1Δ1Δ1Δ

Nx

N...x

Nx

Nx 22

22

1 ΔΔΔ1Nx...xx

N

N

xN

x...xxN

RMSN ΔΔΔΔ1 222

21

Valor máximo del error:

NN

xxxx

xxx

xxx

...22

11

NxxxN

...121

Nx

xx i

i

Obsérvese que

22

22

2

11

...

NN

xxxx

xxx

xxx

EJEMPLO 1: Medida de una longitud

Sensibilidad:

Error cuadrático medio:

101.0 mm101622777.3 2L

mm107610149.4 2L

mm)05.064.635( LL

Media aritmética:

mm6400.635L

L (mm)635.7 635.9635.8 635.5635.5 635.4635.6 635.7635.6 635.7

Valor aceptado:

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS• Magnitud x que se determina a través de la med

ida de otras con las que mantiene una relación funcional

),...,( 21 Nxxxxx Ley de propagación del error de Gauss

22

22

2

11

...

N

Nx

xxx

xxx

xxx

• La ley de propagación de Gauss nos da el valor medio del error absoluto de la magnitud medida en forma indirecta

El error máximo cometido se puede determinar sumando los valores absolutos de los errores individuales

Ejemplo 2. Valor promedio del error

• Determinación de la focal de una lente por el método de Bessel.

LdLf

4'

22

d

Imagen

Posición 1

Posición 2

L

Objeto

Ejemplo 2 (cont.)

22

2

222

2441'''

d

LdL

Ldd

dfL

Lff

LdLf

4'

22

L (cm) d (cm) f’ (cm) f’ (cm)100 79.0 9.40 0.1190.0 68.9 9.31 0.1180.0 58.7 9.23 0.1170.0 47.7 9.37 0.1060.0 36.8 9.36 0.0955.0 31.1 9.35 0.0850.0 25.1 9.35 0.0845.0 18.2 9.41 0.07

VALOR MÁXIMO ERROR (INDIRECTAS)

• Si supusiéramos que cada variable xi es la única que influye en el error

ii

ii

xxxx

xxx

2

El error máximo en la medida indirecta será lasuma de los términos de error individual

NN

Máximo xxxx

xxx

xxx

...2

21

1

CASO PARTICULAR 1: productos• La función consta exclusivamente de productos

y/o cocientesnN

ba xxxx ...21

Derivadas parciales

11 xxa

xx

22 xxb

xx

NN xxn

xx

Error máximo (expresado como error relativo)

N

Nxxn

xxb

xxa

xx ...

2

2

1

1

CASO PARTICULAR 1: productos

• Fórmula de los logaritmos neperianos

NxLnnxLnbxLnaxLn ...21

N

Nx

dxnx

dxbx

dxax

dx ...2

2

1

1

N

Nxxn

xxb

xxa

xx ...

2

2

1

1

CASO PARTICULAR 2: error en la media

• Cálculo del error en la media empleando la leyde propagación de Gauss.

Consideramos x1, x2,... xN (las N medidas realizadas deuna magnitud, cada una afectada con error individualx1, x2,...xN), como medidas directas a partir de lascuales se obtendrá la media como medida indirecta,siendo la relación funcional entre ellas

N

iix

Nx

1

1

CASO PARTICULAR 2: error en la media

• Propagación de Gauss: valor medio del error

22

2

2

11...11

NxN

xN

xN

x

222

21 ...1

NxxxN

N

xN

xxxN

RMSN

222

21 ...1

xRMS Root Mean Square

CASO PARTICULAR 2: error en la media

• Propagación de Gauss: valor máximo del error

N

Nx

xxx

xxx

xxx ...2

21

1máx

NxxxN

...121

Error máximo: igual al promedio de los errores

Propagación de errores: SumasEn la suma, las cotas para el error absoluto están dadas por lasuma de las cotas para los errores absolutos de los operandos.

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x x x x xx x x x xx x x x x xx x x x x x

x x x x

Propagación de errores: RestasEn la resta, las cotas para el error absoluto están dadas por lasuma de las cotas para los errores absolutos de los operandos.

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x x x x xx x x x x

x x xx x x x x x

x x x x

Propagación de errores: Productos y CocientesEn la multiplicación y la división, las cotas para loserrores relativos están dadas por la suma de las cotaspara los errores relativos en los operandos.

2121

1r1r

:si ledespreciab2121

212121

1

2121221121

2

1

1)1)(1(1

)1)(1()1()1(~~~

)1(~~

rrrrr

rrrrrrrrrrrr

rrxxrxrxxxp

rxxrxxx

xxr

p

p

p

rp p

Cocientes

2121

21

22

21

2

21

2

1

1

2

1

2

1

2

1

1 si 1

)1(111

)1()1(

)1()1(

~~~

rrrrrrrr

rrrrr

rrr

rrr

rr

xx

xxc

c

c

c

c

rc c

La propiedad asociativa NO se cumple para la adición en punto flotante

3S) :(exactitud 100000123.0))((1000000000123.0

1000004711325.0- 1045674711448.0

1045674711448.0

1000004711325.0 1045670000123.0

101234567.0))((0))(())((

104711325.0101234567.07S :Precisión

4

4

4

4

4

)(

4

4

0

40

cbaflfl

acbflaflcbcbaflflcbflafl

bcba

bafl

Resolución de ecuaciones cuadráticas

acxx

abx

xx

acbxx

bacb

aacbbx

21

21

211,2

5

5

5

22

2

2

2

2,1

x

S) 4 de más (conservar 0.09092 : verdaderaraíz

01102

110110x

numerador elen n Cancelació10961209.0

10040000.0 - 10001210.0

120964121001.1.4)110(401110

4

:ntediscrimina elen Error 2

4

Ejemplo de inestabilidad numérica

311 10 xxxi

11 34

313

kkk xxx

k

kx

31

Resultado exacto:

Generar la sucesión:

11

111

~34~

313~

~~

nnn

nnn

nnn

xxx

xxxx

111

11

111

111

34

313~

34

313

34

313

34

313~

34

313~

nnnn

nnn

nnnnn

nnnnn

xx

xxx

xxx

xxx

Fórmula general para propagación del error

h

xxxfxfxf

xfxxxfxxxfxf

~)~()~()(

...)~()~(21)~()~()~()(

iónamplificacevaluaciónla enerror

2

Fórmula general para propagación del error

xxxfxfxf

xfxxxfxxxfxf

~)~()~()(

...)~()~(21)~()~()~()( 2

ix

n

i i

ix

n

i i

iiiT

n

xxyy

xxyy

xxxxxxx

)~(1

)~(1

)0(21

~]~~~[~

Condicionamiento de un problema• Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los

datos provocan grandes cambios en los resultados

( ) ( ) ( )( ) ( )

f x f x f x x xf x f x x

( )( )

f x xK

f x

Errores en la evaluación de funciones

K

xarcsen

xxarcsenx

xxf

xfxK

xarcsenxf

2

11)(

)()(

2

Condicionamiento

raíz? nueva la está dónde

:sPerturbemo. de simple raíz es

de vecindadlaen funciones dos y Sean

gfF

frrgf

X

Y

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

0mS

0

bS

N

ii

N

ii yxbaN

11

N

iii mxbyS

1

2)(

CRITERIO: Minimizar S

Ajuste lineal

N

iii

N

ii

N

ii yxxbxa

11

2

1

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

),( ii yx

ii mxby

mxby

X

Y

Sistema de ecuaciones a resolver

22 xNx

xyNyxm 22

2

xNxxyxyxb

Nx

x

N

yy

222

xy m

22

2

xxNNm

22

22

xxNxb

DESVIACIONES (ERRORES EN LOS DATOS)

Coeficiente de correlación

2222 11 y

Nyx

Nx

Nyxxy

r

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

1r 1r

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 200 400 600 800 1000 1200

X

Y

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOSEjemplo: ajuste lineal de datos x, y

x x y y

134 10 5 2

178 10 6 2

317 10 12 2

440 10 16 2

523 10 19 2

589 10 21 2

694 10 25 2

759 10 28 2

934 10 34 2

1115 10 41 2

5683 100 207 20

xy x^2 y^2

670,0 17956,0 25,0

1068,0 31684,0 36,0

3804,0 100489,0 144,0

7040,0 193600,0 256,0

9937,0 273529,0 361,0

12369,0 346921,0 441,0

17350,0 481636,0 625,0

21252,0 576081,0 784,0

31756,0 872356,0 1156,0

45715,0 1243225,0 1681,0

150961 4137477 5509

r = 0,99961

* Ordenada en el origen

* Pendiente

* Barras de error

mxby

22 xNx

xyNyxm 22

2

xNxxyxyxb

22

2

xxNNm

22

22

xxNxb

2222 11 y

Nyx

Nx

Nyxxy

r

m = 0,037

m = 0,002

b = -0,2

b = 1,4

Hay que incluir las unidades

correspondientes en cada caso!

Nx

x

Ny

y 222

xy m

0,0E+00

5,0E-04

1,0E-03

1,5E-03

2,0E-03

2,5E-03

3,0E-03

3,5E-03

4,0E-03

0 20 40 60 80

x

1/y

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOSEjemplo 2: ajuste de datos x, 1/y (linealización)

mxby

1

2)/1()/1(

yyy

yyy

x x y y

25 2 790 10

30 2 660 10

35 2 580 10

40 2 505 10

45 2 450 10

50 2 390 5

55 2 360 5

60 2 335 5

65 2 305 5

70 2 280 5

475 20 2,39E-02 3,91E-04 1,2399 24625 6,24E-05

r = 0,99915

* Ordenada en el origen

* Pendiente

* Barras de error

22 xNx

xyNyxm

22

2

xxNNm

22

2

xNxxyxyxb 22

22

xxNxb

2222 11 y

Nyx

Nx

Nyxxy

r

m = 0,000051

m = 0,000002

b = -0,00004

b = 0,00012Hay que incluir las unidades

correspondientes en cada caso!

x(1/y) x^2 (1/y)^2

0,0316 625 1,60E-06

0,0455 900 2,30E-06

0,0603 1225 2,97E-06

0,0792 1600 3,92E-06

0,1000 2025 4,94E-06

0,1282 2500 6,57E-06

0,1528 3025 7,72E-06

0,1791 3600 8,91E-06

0,2131 4225 1,07E-05

0,2500 4900 1,28E-05

1/y

1,27E-03

1,52E-03

1,72E-03

1,98E-03

2,22E-03

2,56E-03

2,78E-03

2,99E-03

3,28E-03

3,57E-03

(1/y)

1,60E-05

2,30E-05

2,97E-05

3,92E-05

4,94E-05

3,29E-05

3,86E-05

4,46E-05

5,37E-05

6,38E-05

Nx

x

Ny

y 222

xy m

ProblemaSe quiere medir la resistencia eléctrica de un conductor metálico, para lo cual se llevan a cabo medidas dediferencia de potencial entre sus extremos (voltaje V, unidad SI voltio) en función de la corriente quecircula por él (intensidad I, unidad SI amperio). Se espera que el conductor metálico obedezca la ley deOhm: V = IR, donde R es la resistencia eléctrica, que debe expresarse en ohmios (1 = 1 V/1 A). En latabla se presentan las medidas, con los voltajes medidos en mV y las intensidades en mA. Se acompañanlos errores correspondientes en las mismas unidades. Determine la resistencia eléctrica del conductor.

Para resolver el problema haremos un ajuste de mínimos cuadrados representado la intensidad decorriente en abscisas y el voltaje en ordenadas. Según la ley de Ohm, la pendiente de la recta obtenida hade ser igual a la resistencia eléctrica del conductor.

I (mA) I V (mV) V

x x y y

134 10 5 2

178 10 6 2

317 10 12 2

440 10 16 2

523 10 19 2

589 10 21 2

xy x^2 y^2

670 17956 25

1068 31684 36

3804 100489 144

7040 193600 256

9937 273529 361

12369 346921 441

2181 60 79 12 34888 964179 1263

m = 0,036 b = 0,1 mV

m = 0,005 b = 2,0 mV

0

5

10

15

20

25

0 100 200 300 400 500 600 700

I (mA)

V (m

V)

r = 0,99865

22 xNx

xyNyxm

22

2

xxNNm

22

2

xNxxyxyxb

22

22

xxNxb

Nx

x

Ny

y

222xy m

2222 11 y

Nyx

Nx

Nyxxy

r

Se ha usado un sistema que puede considerarse un péndulo simple con objeto de medir la aceleración de lagravedad. El procedimiento empleado consiste en medir el periodo de oscilación T para varias longitudesdiferentes L, y usar la relación entre el periodo, la longitud del péndulo y la aceleración de la gravedad:

Problema

Utilice el método de mínimos cuadrados, transformando convenientemente la ecuación anterior, para obtenerla aceleración de la gravedad de acuerdo con los datos presentados en la tabla. Las longitudes están medidascon 1 cm y los periodos con 0.02 s.

224

TgL

gLT 2

La transformación necesaria para resolver el problema es linealizar la ecuación del periodo del péndulo:Realizando un ajuste de L frente a T2 obtendremos una recta cuya pendiente es g/42, de la cual obtendremos un valor para g.Los errores cometidos en L son conocidos directamente; para determinar los errores en T2 aplicamos la

propagación de errores:

TTTT

TT

22

2T (s) T L (m) L

1,97 0,02 0,85 0,01

2,14 0,02 1,20 0,01

2,39 0,02 1,46 0,01

2,70 0,02 1,78 0,01

2,91 0,02 2,05 0,01

T2(s) (T2) L (m) L

x x y y

3,88 0,08 0,85 0,01

4,58 0,09 1,20 0,01

5,71 0,10 1,46 0,01

7,29 0,11 1,78 0,01

8,47 0,12 2,05 0,01

xy x^2 y^2

3,30 15,1 0,72

5,47 21,0 1,43

8,34 32,6 2,13

12,94 53,1 3,15

17,36 71,7 4,20

29,93 0,48 7,33 0,05 47,4 193,5 11,6

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0 2 4 6 8 10

T^2 ( s^2)

L(m

)

22 xNx

xyNyxm

22

2

xxNNm

Nx

x

Ny

y

222xy m

2222 11 yN

yxN

x

Nyxxy

r

22

2

xNxxyxyxb

22

22

xxNxb

m = 0,246 m/s2

m = 0,007 m/s2

b =-

0,008 m

b = 0,042 m

g = 9,7 m/s2

g = 0,3 m/s2

r = 0,98877

-5,0E+04

0,0E+00

5,0E+04

1,0E+05

1,5E+05

2,0E+05

2,5E+05

3,0E+05

0 200 400 600 800 1000 1200

1/V (1/m3)P

(Pa)

En un experimento sobre gases se toman los datos de presión P y volumen V registrados en la tabla T1.10 yque corresponden a una muestra n = (0.1000.001) moles de gas. Los errores en P y V están en las mismasunidades que las magnitudes respectivas. Suponiendo que la muestra cumple la ley de los gases ideales,realice un ajuste de mínimos cuadrados para determinar la temperatura absoluta T del gas.

Problema

nRTPV Ley de los gases ideales: Constante universal de los gases R = 8,314 J/K.mol

P (Pa) P V (m3) V

2,5E+05 5,0E+03 1,0E-03 5,0E-05

1,7E+05 5,0E+03 1,5E-03 5,0E-05

1,3E+05 5,0E+03 1,8E-03 5,0E-05

9,5E+04 1,0E+03 2,4E-03 5,0E-05

8,0E+04 1,0E+03 3,1E-03 5,0E-05

7,4E+04 1,0E+03 3,4E-03 5,0E-05

VnRTP A partir de la ecuación de los gases ideales vemos que

Por tanto, si representamos P en ordenadas frente a 1/V en abscisas, la pendiente de la recta resultante será proporcional a la temperatura absoluta m = nRT

Error en 1/V 2)/1()/1(

VVV

VVV

1/V(m-3) (1/V) P (Pa) P

x x y y

1,0E+03 5,0E+01 2,5E+05 5,0E+03

6,7E+02 2,2E+01 1,7E+05 5,0E+03

5,6E+02 1,5E+01 1,3E+05 5,0E+03

4,2E+02 8,7E+00 9,5E+04 1,0E+03

3,2E+02 5,2E+00 8,0E+04 1,0E+03

2,9E+02 4,3E+00 7,4E+04 1,0E+03

xy x^2 y^2

2,5E+08 1,0E+06 6,3E+10

1,1E+08 4,4E+05 2,9E+10

7,2E+07 3,1E+05 1,7E+10

4,0E+07 1,7E+05 9,0E+09

2,6E+07 1,0E+05 6,4E+09

2,2E+07 8,7E+04 5,5E+09

3,3E+03 1,1E+02 8,0E+05 1,8E+04 5,2E+08 2,1E+06 1,3E+11

m = 254 J

m = 9 J

b = -4,8E+03 Pa

b = 5,4E+03 Pa

r = 0,99711

22 xNx

xyNyxm

22

2

xxNNm

22

2

xNxxyxyxb

22

22

xxNxb

Nx

x

Ny

y

222xy m

2222 11 yN

yxN

x

Nyxxy

r

nRmT

2

1m

nnm

RT

T = 306 K

T = 11 K

Muchas Gracias