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MatemáticaSeminario de Ingreso 2020
Ing. SAAVEDRA, Raúl COORDINADOR ÁREA MATEMÁTICA
UTN – FACULTAD REGIONAL TUCUMÁN
ÍN D I C E
SÍMBOLOS y ALFABETO GRIEGO Pág. I
UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS Pág. 1
Conjuntos. Definición. Operaciones.
Números Naturales y Enteros. Propiedades.
Números Racionales. Propiedades.
Números Irracionales. Propiedades. Notación científica.
Números Reales. Estructura algebraica.
Números complejos. Estructura algebraica.
UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Pág. 19
Clasificación de las expresiones algebraicas.
Polinomios. Valor numérico. Cero de un Polinomio.
Operaciones entre polinomios.
Regla de Ruffini y Teorema del Resto.
Teorema del Factor y Teorema Fundamental del Álgebra.
Factoreo.
Expresiones algebraicas fraccionarias. Operaciones y Simplificación.
UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA Pág. 35
Figuras planas. Conceptos básicos.
Polígonos. Conceptos y clasificación.
Calculo del perímetro y el área de un polígono.
Ángulos. Conceptos y clasificación. Sistemas de medición.
Triángulos. Clasificación y propiedades. Mediatriz, bisectriz, altura y mediana.
Cuadriláteros. Clasificación y propiedades.
Circunferencia. Conceptos generales. Tangentes y secantes.
Perímetro, área y longitud de los triángulos, cuadriláteros y circunferencia.
Cuerpos geométricos. Clasificación. Calculo del volumen.
Razones trigonométricas.
Resolución de Triángulos Rectángulos.
Circunferencia trigonométrica.
Relación entre ángulos de distintos cuadrantes.
Triángulos Oblicuángulos. Teoremas del Seno y del Coseno.
UNIDAD 4: ECUACIONES Pág. 53
Ecuación. Conceptos generales. Clasificación.
Ecuaciones lineales. Conceptos generales. Aplicaciones.
Ecuaciones cuadráticas. Conceptos generales.
Distintas formas de resolver y expresar a la ecuación cuadrática.
Naturaleza de las raíces. El discriminante.
Aplicaciones de la ecuación cuadrática.
Ecuaciones racionales. Conceptos generales.
Ecuaciones Irracionales. Conceptos generales.
Inecuaciones. Conceptos generales. Resolución de inecuaciones lineales,
fraccionarias y con valor absoluto. Aplicaciones.
UNIDAD 5: FUNCIONES Pág. 75
Función. Conceptos Generales.
Dominio, rango y grafica de las funciones.
Clasificacion de las funciones.
Funciones polinomicas. Clasificacion.
Función Afín.
Distintas formas de expresar la ecuación de la recta.
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Función Cuadrática. Conceptos generales.
Función Racional Fraccionaria. Función Irracional. Conceptos generales.
BIBLIOGRAFÍA Pág. 102
Matemática
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT I
Símbolos Matemáticos
Alfabeto Griego alfa beta gamma delta
épsilon lambda mu rho
pi sigma psi omega
= igual a ∧ y
≠ no es igual a ∨ o, en sentido inclusivo
≅ aproximado a ∨ o, en sentido exclusivo
< menor que implica (condición necesaria)
≮ no es menor que Implica doblemente (condición necesaria y
suficiente)
> mayor que ∴ Por lo tanto; en consecuencia
≯ no es mayor que / Tal que
≤ menor o igual que ∃ Existe
≥ mayor o igual que ∀ Para todo
± mas o menos ∈ Pertenece
∞ Infinito ⊆ Incluido en
∝ proporcional a ⊂ Incluido estrictamente en
// paralelo a ⊇ Incluye a
⊥ perpendicular a ⊃ Incluye estrictamente a
∡ ángulo ∪ Unión o junta
⊾ ángulo recto ∩ Intersección o reunión
Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 1
INTRODUCCIÓN
Cuando nos comunicamos en nuestra vida cotidiana y utilizamos el término “conjunto”,
seguramente nos estamos refiriendo a un grupo de objetos de alguna naturaleza determinada.
En matemática esta expresión no está para nada alejada de lo que entiendes por un conjunto, la
diferencia radica en que los conjuntos que trataremos son aquellos que están formados por
números. Los números son elementos fundamentales en el estudio de la matemática, ya que gracias
a ellos se pueden precisar o determinar exactamente respuestas a algunas de las preguntas del ser
humano, es por esto que es tan importante analizarlos, trabajarlos y lo que haremos en esta unidad,
agruparlos. Conjuntos
Ideas, Conceptos y Definiciones
La idea de conjunto es muy intuitiva y en su definición más primaria podemos afirmar que
Un conjunto es una colección de objetos que llamaremos elementos Vamos a usar letras
mayúsculas para denotar conjuntos y letras minúsculas para denotar elementos. Así, A es
un conjunto y x un elemento.
La definición de conjunto no hace ningún tipo de alusión con respecto a los elementos del
conjunto. En particular, no determina si el conjunto tiene una cantidad finita de elementos,
infinita, si los elementos guardan alguna relación entre sí (es decir, si son clasificables), etc.
Notación de Conjuntos
A los conjuntos los denotaremos entre llaves, así, por
ejemplo, el conjunto
A = {1, 2, , , }
es un conjunto cuyos elementos parecen no guardar
relación alguna.
En cambio, el conjunto
B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...}
es el conjunto de números naturales pares.
Cuando los elementos que componen un conjunto guardan una cierta relación entre sí,
podremos describir a un conjunto por comprensión.
De esta manera, el conjunto B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} puede ser descripto como
B = {x, tal que x es un natural par}
Cuando un conjunto está dado por la totalidad de sus elementos, se dice que el conjunto
está definido por extensión.
Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 2
Cuando lo que define al conjunto es la cualidad de sus elementos decimos que el conjunto
está definido por comprensión.
En lo que sigue veremos relaciones entre elementos y conjuntos y entre conjuntos. Es
necesario que nos vayamos familiarizando con la notación conjustista, ya que toda la
matemática moderna está basada en estas ideas.
Aplica lo aprendido
Escribir por compresión los siguientes conjuntos:
a) A = {2, 4, 8, 16, 32, ...} b) B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}
Pertenencia e Inclusión
Cuando un elemento x cualesquiera está dentro de un conjunto A decimos que
x pertenece a A y lo denotamos
𝒙 ∈ 𝑨
Cuando dados dos conjuntos, A y B en el que todos los elementos de A están también en
B decimos que A esta incluido en B y se denota
𝑨 ⊂ 𝑩
En términos simbólicos, decimos
𝑨 ⊂ 𝑩 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝑨 → 𝒙 ∈ 𝑩
Como los conjuntos pueden contener elementos de naturaleza arbitraria, nada impide
que un conjunto tenga por elementos a otros conjuntos. Veamos el ejemplo siguiente. Sea
B el conjunto
𝐵 = {{1, 2}; {𝑎, 𝑏, 𝑐}; 1; 2}
Notemos que algunas relciones de pertenencia e inclusión son:
1 ∈ 𝐵
2 ∈ 𝐵
{1, 2} ∈ 𝐵
{1, 2} ⊂ 𝐵
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∉ 𝐵
{𝑎, 𝑏, 𝑐} ∈ 𝐵
Denotamos como 𝝓 al conjunto que no tiene elemento. Y lo denominamos conjunto
vacío.
Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 3
Unión e Intersección de Conjuntos
La unión e intersección entre conjunto son operaciones:
Esto significa que, a cada par de conjuntos, A y B unir A con B da como resultado un
nuevo conjunto que se obtiene a partir de ambos. Lo mismo ocurre con la intersección.
Unión
Dados dos conjuntos, A y B definimos como unión de A y B al conjunto denotado por A [ B
y es el conjunto formado por todos los elementos de A y los elementos de B, sin repeticiones.
Claro que existe una manera más formal de escribirla, pero escribámosla después de un
ejemplo.
Consideremos A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 5, 7}. Entonces
A B = {1, 2, 3, 4, 5, 7}
notemos que el 3 que pertenece a los dos conjuntos no lo repetimos.
Esto significa que los elementos que componen A B son aquellos que están en A o están
en B.
La definición es, entonces,
𝒙 ∈ 𝑨 ∪ 𝑩 ↔ 𝒙 ∈ 𝑨 𝒐 𝒙 ∈ 𝑩
Intersección
La intersección de dos conjuntos es el conjunto que obtiene con los elementos que son
comunes a ambos conjuntos. Esto es, si A y B son conjuntos, la intersección entre A y B, la
denotamos A B y se define a través de
𝒙 ∈ 𝑨 ∩ 𝑩 ↔ 𝒙 ∈ 𝑨 𝒚 𝒙 ∈ 𝑩
El diagrama de Venn mostrado en la figura ilustra la unión e
intersección de dos conjuntos.
En lo que sigue nos abocaremos a estudiar conjuntos numéricos, es decir, conjuntos cuyos
elementos son números.
Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 4
NÚMEROS NATURALES
Los números naturales son los que comúnmente usamos
para contar, se representan por el símbolo N. Sus elementos
son:
N = {1, 2, 3, 4, . . .1}
Este conjunto es “cerrado” para la suma y la multiplicación, es
decir: para todo par de números en N, su suma y su multiplicación
también es un número natural.
Este conjunto NO es “cerrado” para la resta y la división, ya que:
para todo par de números en N, su resta y división NO es
necesariamente un número natural.
Los números naturales están ordenados.
Se los representa en la recta numérica.
Si al conjunto de los números naturales le
agregamos el 0 (cero), obtenemos el conjunto
de los Números Cardinales; este se representa
por el símbolo N0, y sus elementos son:
N0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . .1} = N {0}
NÚMEROS ENTEROS
Es el conjunto formado por los números naturales, sus inversos aditivos, y el neutro aditivo.
𝑍 = {−∞, … , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … . +∞}
= 𝑍 ∩ {0} ∩ 𝑁
= 𝑍 ∩ 𝑁
Los números naturales tambien sirven para ordenar. Por ejemplo, decimos martes es el segundo dia de la semana; 5 es el quinto número natural, etc.
Observa que …
1 + 5 = 6 N
4 x 7 = 28 N
2 – 2 = 0 N
3 – 8 = – 5 N
Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 5
A diferencia de los números Naturales, este conjunto si es
“cerrado” para la suma, la resta y la multiplicación; es decir:
para todo par de números enteros, su suma, multiplicación
y diferencia es siempre un número entero.
Este conjunto no es cerrado para la división, ya que una
división entre dos números enteros no es necesariamente
otro número entero.
Ejemplos:
– 2 Z implica – (– 2 ) = 2 Z
3, – 7 Z implica 3 + (– 7 ) = – 4 Z
3, – 7 Z implica 3 – (– 7 ) = 10 Z
3, – 7 Z implica 3 x (– 7 ) = – 21 Z
Su representación gráfica es,
Ejemplo: Ayer amaneció con una temperatura de 3 °C bajo cero; hoy la temperatura
aumento 5 °C. ¿Cuál es la temperatura de hoy?
Solución
Piensa …
¿Cuántos enteros existen entre 3 y 11?, ¿y entre – 4 y 5?
¿Qué podrías afirmar sobre la cantidad de enteros que existen entre dos
enteros dados?
¿Cuántos enteros hay entre dos cualesquiera?
Se dice que un número a tiene inverso aditivo, si existe un b tal que: a + b = 0 b es también conocido como − a.
Para cualquier número x existe un único que cumple que: x + (ese único) = x a ese número lo conocemos como neutro aditivo, (o también conocido como 0).
Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 6
NÚMEROS RACIONALES
Al conjunto de los números racionales lo representamos por:
/ , , 0p
p q qq
Q Z
Se cumple que, para cada par de números racionales, la suma, resta, multiplicación y
división (excepto por cero), es siempre un número de Q, a este tipo de conjuntos se les
conoce como CUERPO.
Piensa …
¿Existe un número racional que sea menor o igual que todos los demás?,
y ¿mayor o igual que todos los demás?
¿Qué podrías afirmar sobre la cantidad de racionales que existen entre
dos de ellos?
¿Cuántos racionales hay entre dos cualesquiera?
Los números racionales pueden expresarse de diferentes formas.
Ejemplo: expresa de diferentes formas el número cinco cuartos.
Solución
5 5 15 1251,25 1,250...
4 4 12 100DECIMAL
FRACCIONARIA
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
Sean a, b Z con b 0, si dividimos a en b,
entonces existen q y r también enteros tales
que:
a = b . q + r
El resto de dividir dos números enteros puede ser
distinto de cero.
Ejemplo: divide 7 en 2.
7 2
1 3
7 2.3 1
.
a b
r q
a b q r
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD
Si el resto de la división es, r = 0
resulta a = b . q
se dice entonces que, b divide a, o que a
es múltiplo de b, o que a es divisible por b.
Observa que…
8 4
0 2 8 4 . 2 0
de modo que 4 divide a 8, o también, 8 es
divisible por 4.
Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 7
Forma DECIMAL
Toda fracción tiene su representación como número decimal, para obtenerlo basta dividir
el numerador con el denominador.
Ejemplo: 9
2,25 :4
2 2 5,N decimal
Parte Parte
Entera Decimal
Un número Q puede tener tres tipos diferentes de expresiones decimales:
Decimal finita: 0,4; 0,324; 84,0021
Decimal periódica pura: 0,555. . . = 0, 5⏜ 7,202020. . . = 7, 20
Decimal periódica mixta: 0,1555. . . = 0,1 5⏜ − 5,251313. . . = −5,25 13
°
Forma FRACCIONARIA
Vimos que todo número racional puede escribirse como una expresión decimal cuya parte
decimal puede tener un número finito o infinito de cifras periódicas, puras o mixtas.
Ahora, es posible convertir ese decimal en fracción. Para ello usaremos la siguiente regla:
anota el n° hasta donde se produce la periodicidad las cifras no periódicas de la expresión
tantos 9 como cifras periódicas y tantos 0 como cifras no periódicasN
Ejemplo: pasar a fracción los siguientes decimales, 𝑎) 6,3333. . . 𝑏) 23,3 5⏜ 𝑐) 0,03 51
Solución
Aplicamos la regla de conversión para dar respuesta a lo solicitado.
𝑎) 6,3333. . . = 6, 3⏜ =63 − 6
9=
57
9=
19
3
𝑏) 23,3 5⏜ =2335 − 233
90=
2102
90=
1051
45
𝑐) 0,03 51 =351 − 3
9900=
348
9900=
29
825
Parte No Periódica
Parte Periódica
Parte Entera
Parte Decimal
Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 8
NÚMEROS IRRACIONALES
Es el conjunto de todos los números que no pertenecen al mundo de los racionales, es decir
no se pueden escribir como fracción ya que tienen infinitos decimales sin ninguna relación.
Una forma de enunciar sus elementos es:
/a a I Q
Algunos elementos de este conjunto son: , , 2e , etc . . .
NÚMEROS REALES
Es el conjunto que resulta de la unión de todos los conjuntos que hemos visto, pero como
te habrás dado cuenta, en los números racionales están ya incluidos los naturales y los
enteros, entonces podemos decir que:
𝑹 = 𝑸 ∪ 𝑰
Ver diagrama de Venn del conjunto de los números R.
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ℝ = ℚ ∪ 𝕀
Observa que . . .
Entre el conjunto de los números racionales y el de los irracionales no existe
ningún elemento en común. Además, NO es un cuerpo, ya que sus elementos
al sumarse, restarse, multiplicarse, o dividirse dan por resultado un número
racional, como, por ejemplo; 21
2 , y 1 no es un número irracional.
N Z Q I
R
Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 9
El conjunto de los números reales también puede representarse sobre una recta. A cada
número real le corresponde un único punto de la recta, y cada punto de la recta
representa un único número real. A esta recta la llamamos recta real.
No siempre somos capaces de representar exactamente un número real, sin embargo,
siempre es posible obtener una representación aproximada de él a partir de su expresión
decimal.
Ejemplo: representa los siguientes números reales
71,5 6 3
2 en la recta real.
Propiedades
Al combinar los números reales utilizando las operaciones de suma y multiplicación,
tenemos:
PROPIEDAD EJEMPLO
a b b a 7 + 3 = 3 + 7
. .a b b a 4 . 5 = 5 . 4
( ) ( )a b c a b c (3 + 5) + 6 = 3 + (5 + 6)
( . ). .( . )a b c a b c (8 . 2) . 3 = 8 . (2 . 3)
.( )a b c ab ac ( ).b c a ab ac
2 . (1 + 4) = 2 . 1 + 2 . 4 (1 + 4) . 2 = 2 . 1 + 2 . 4
( 1). a a (– 1) . 3 = – 3
( )a a – (– 5) = 5
( ). .( ) ( )a b a b ab (– 4). 3 = 4. (– 3) = – (4. 3)
( ).( )a b ab (– 2) . (– 8) = 2 . 8
( )a b a b – (7 + 3) = – 7 – 3
( )a b b a – (8 – 5) = 5 – 8
Observa que...
No existe un número real que sea
mayor o igual a todos los demás, ni
uno que sea menor o igual que todos
los demás.
Además, entre dos números reales
cualesquiera existen infinitos números
racionales, e infinitos números
irracionales.
-… -3 -2 -1 0 1 2 3 4…
73 1,5 6
2
Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 10
Orden operatorio
Cuando trabajes con ejercicios de operaciones combinadas, es decir ejercicios que
contengan sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias, etc, debes tener presente
que existen prioridades en el desarrollo de éstas, esto es, hay operaciones que deben
realizarse antes que otras para obtener el resultado correcto. Este orden es el siguiente:
1. Potencias (y raíces)
2. Multiplicaciones y divisiones
3. Sumas y restas.
La presencia de paréntesis dentro de algún ejercicio, nos indicará que debemos realizar
primero las operaciones que están dentro de él.
Ejemplo: 6 + 4 · (14 − 22 · 3) − 26 ÷ 2
Solución
Primero debemos resolver el paréntesis (la potencia, luego la
multiplicación y después la resta). Luego la multiplicación por 4 y
la división 26 ÷ 2. Posteriormente terminamos con las sumas y restas.
Entonces se vería algo así:
6 + 4 · (14 − 22 · 3) − 26 ÷ 2 = 6 + 4 · (14 − 4· 3) – 26 ÷ 2
= 6 + 4 · (14 − 12) – 26 ÷ 2
= 6 + 4 · (2) – 26 ÷ 2
= 6 + 8 – 26 ÷ 2
= 6 + 8 – 13
= 14 – 13
= 1
Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 11
INTERVALOS Hemos visto el conjunto de los números reales R, lo podemos representar en una recta
numérica. Por lo tanto, cada segmento de esta recta representa un subconjunto de R,
cada uno de estos subconjuntos se denomina Intervalo. Existen distintos tipos de intervalos.
Observa la siguiente tabla:
INTERVALO GRÁFICA
Intervalo abierto
(a, b) = { x R / a < x < b}
Intervalo cerrado
[a, b] = { x R / a x b}
Intervalos semiabiertos
(a, b] = { x R / a < x b}
[a, b) = { x R / a x < b}
Intervalos infinitos
[a, ) = { x R / x a}
(a, ) = { x R / x > a}
(- , a] = { x R / x a}
(- , a) = { x R / x < a}
(- , ) = R
0 a b
0 a b
0 a
0 a
0 a
0
0 a b
0 a b
0 a
Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 12
VALOR ABSOLUTO
Para cualquier número real a, el valor absoluto de a, denotado por |a|, es:
0
0
a si aa
a si a
Ejemplo:
a) |3| = 3 b) |- 3| = - (-3) = 3 c) |2 - | = - (2 - ) = - 2
Distancia entre puntos en la recta real
Si a y b son números reales, entonces la distancia entre los puntos a y b en la recta real es:
d(a, b) = |b – a|
Ejemplo: la distancia entre los números – 8 y 2 es:
D(-8, 2) = |- 8 – 2|= |-10|= 10
Gráficamente
POTENCIACIÓN
Definición
. . . ... .na a a a a a Z y n N
a: base n: exponente
Propiedades
Sean a, b R – {0} y n, m Z, entonces:
PROPIEDAD EJEMPLO
.m n m na a a 3 2 3 2 52 . 2 2 2
:m n m na a a 5 2 5 2 36 : 6 6 6
( . ) .n n na b a b 2 2 2(3 . 4) 3 . 4
( : ) :n n na b a b 3 3 3(3 : 2) 3 : 2
.nm m na a 23 3.2 62 2 2
0 1a 05 1
1a a 18 8
1nn
aa
22
14
4
0 2 - 8
10
Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 13
RADICACIÓN
Definición
n a b tal que bn = a
n Z a, b R
a: radicando n: índice de la raíz
La radicación de números entero no siempre es un entero.
Propiedades
Sean a, b R y n, m N, entonces:
PROPIEDAD EJEMPLO
. .n n na b a b 3 33 ( 8).27 8 . 27 ( 2).3 6
: :n n na b a b 4 4 4 381:16 81: 16
2
.m m nn a a 3 6729 729 3
mn m na a 4
3 4 33 3
1 1a
a
1 1
55
1nn
aa
22
1 13
93
mn mna a
23 234 4
Radicales semejantes
Dos radicales son semejantes cuando tienen igual índice y mismo radicando.
Signos de la radicación
i. N° positivo = N° positivo
ii. N° negativo = N° negativo
iii. N° positivo = N° positivo
iv. N° negativo =
impar
impar
par
par R
R
3
3
4
27 3
8 2
16 2
9
Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 14
Operaciones
a) Suma o resta: solo puede efectuarse cuando los
radicales son semejantes.
Ejemplo: 3 33 8 2 11 2a a a a a
b) Producto o cociente: primero hay que reducirlo a
índice común.
Ejemplo: 6 3 23.a b a b
c) Racionalización de denominador: se multiplica y
divide por una expresión adecuada, de manera
que permita suprimir los radicales del denominador.
Ejemplo:
1 1
.a b a b
a ba b a b a b
NOTACIÓN CIENTÍFICA
Esta notación es útil, sobre todo, para expresar números muy grandes o muy pequeños.
Definición
N = a, bcd… x 10n
a: parte entera (solo una cifra, entre 1 y 9)
bcd… : parte decimal
10n: potencia entera de base 10
Evita cometer el siguiente
error:
a b a b
Ejemplo:
?
?
?
¡ !
9 16 9 16
25 3 4
5 7
lo cual es INCORRECTO
Si n es positivo, entonces N es grande.
Si n es negativo, entonces N es chico.
Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 15
Operaciones
a) Para las sumas y restas hay que preparar los sumandos de modo que tengan todos
la misma potencia de base 10 y así poder sacar factor común.
Ejemplo: 9 12 9 9 95,83.10 6,932.10 5,83.10 6932.10 6937,83.10
b) Para productos y cocientes, se multiplican (dividen) las mantisas entre si y las
potencias de base 10 se suman (restan). Ejemplo:
Ejemplo: 4 7 117,25.10 2,20.10 15,95.10
PRODUCTOS NOTABLES
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 - 2ab + b2
CUBO DE UN BINOMIO
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
DIFERENCIA DE CUADRADOS
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 16
LOGARITMO DE UN NÚMERO REAL
Definición
nblog a = n b = a con a, b > 0 y b 1
a, es el argumento del logaritmo
b, es la base del logaritmo
n, valor del logaritmo.
Propiedades
Nombre En símbolos
Logaritmo de un producto b b blog (x .y) = log x + log y
Logaritmo de un cociente b b blog (x :y) = log x - log y
Logaritmo de una potencia
nb blog x = n . log x
Cambio de base. b
log xlog x = a > 0 y a 1
log ba
a
Logaritmo en base a de a. log a = 1a
Logaritmo de uno. log 1 = 0a
Si la base es el número neperiano “e”, entonces:
ln x = loge x logaritmo natural o neperiano
Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 17
Unidad imaginaria
2j = -1 j = -1
j0 = 1 j3 = - j j1 = j
j4 = 1 j2 = -1 j5 = j
vemos que cuando el exponente es 4,
n
En general, cuando n 4, hacemos:
44 4 . . 1.qn q r q r r r rj j j j j j j j
Ejemplo: calcula j69
n = 69 69 : 4 = 17
y sobra 1 r = 1 j69 = j1 = j
NÚMEROS COMPLEJOS
Definición
A los números complejos podemos escribirlos en su forma binómica como: Z = a + bj.
Siendo a y b números reales y “j” el operador imaginario. A este conjunto se los representa
con C.
Decimos también que “a” es la parte o componente real y “b” es la parte o componente
imaginaria.
Operaciones
OPERACIÓN EJEMPLO PASOS A SEGUIR
Suma
Z + Z 1 2
(1 2 ) (2 4 )1 2 (1 2) (2 4)
3 6
Z Z j j
j
j
Se agrupan las componentes reales e
imaginarias entre si y luego se realiza la suma.
Resta
Z - Z1 2
- (5 3 ) - (2 4 )1 2 (5 - 2) (3 - 4)
3
Z Z j j
j
j
Se agrupan las componentes reales e
imaginarias entre si y luego se realiza la resta.
Producto
Z . Z 1 2
. (2 3 ) . (1 4 )1 22 2 .1 2. 4 3.1 3.4
(2 - 12) (8 3)
-10 11
Z Z j j
j j j
j
j
Se realiza la multiplicación de los paréntesis
como de costumbre, es decir, término a
término. Al final agrupas componentes reales
por un lado e imaginarias por otro y efectúas las
operaciones de sumas o restas que hayan
quedado entre ellas.
Cociente
Z : Z1 2
22
2 3 1 - 2 1 2 1 2 1 - 2
2 4 3 6 , 1
21 2 2 4
2 6( 1)
1 4( 1)
8 1 -
5 5
:
2 65
j jZ Z
j j
j j jj
j j j
j
j
j
Multiplicamos y dividimos por el conjugado del
complejo divisor. Realizamos los productos en
numerador y denominador, tal como se explicó
anteriormente. Notarás que el denominador se
reduce a un número real (siempre). Distribuye
respecto al denominador común para visualizar
mejor las componentes del complejo.
Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 18
Propiedades
Sea Z = a + bj un número complejo
PROPIEDAD EN SÍMBOLOS EJEMPLO
Conjugado de Z. Z a bj 2 3 2 3Sea Z j Z j
Opuesto de Z. Z a bj 2 3 2 3Sea Z j Z j
Producto de un Z por su conjugado.
2 2.Z Z a b 2 22 3 . 2 3 4 9 13Sea Z j Z Z
Suma de un Z con su conjugado.
2Z Z a 2 3 2.2 4Sea Z j Z Z
Resta de un Z con su conjugado.
2Z Z bj 2 3 2.3 6Sea Z j Z Z j j
Módulo de Z 2 2Z a b 2 22 3 2 3 13Sea Z j Z
Dirección de Z b
arctga
3
2 3 56,32
Sea Z j arctg
Representación gráfica
El conjunto numérico visto en esta unidad, queda definitivamente en este orden:
Imaginarios
Irracionales
FraccionariosN° Complejos
Reales NaturalesRacionales
Enteros 0
Enteros Negativos
Eje Real
Eje Imaginario
Zde conjugado
bj - a Z
bj a Z
Zde opuesto
bj - a- Z-
| Z |
El módulo de un número
complejo es el módulo
del vector determinado
por el origen de
coordenadas y el punto
Z(a, b) llamado afijo del
complejo Z.
Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 19
EXPRESIONES ALGEBRAICAS. EL LENGUAJE ALGEBRAICO
El Álgebra es la rama de la Matemática que se basa en el empleo de números y letras para
representar relaciones aritméticas.
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Una expresión algebraica es la combinación de números y letras relacionados mediante
operaciones aritméticas para expresar una situación cualquiera o para generalizar propiedades
matemáticas.
Recuerda que…
Las expresiones algebraicas, o lenguaje algebraico, se utilizan para expresar
una situación cualquiera o para generalizar propiedades matemáticas.
En la siguiente tabla se recogen algunos ejemplos de traducción de expresiones en el lenguaje
verbal al algebraico:
Si mi edad es x
El doble de mi edad es 2 x
La edad que tendré dentro de 5 años será x + 5
Si el número de mi casa es y Los números de las casas que están a la
derecha y la izquierda de la mía son
y + 2
y - 2
Si tengo z docenas de huevos
La mitad del número de docenas de huevos
que tengo será z/2
El número de huevos que tengo será 12 z
Si mi hermano mayor tiene x
años y yo tengo y años de
edad
El cantidad de años que me lleva mi hermano
será x – y
Si tengo un cuadrado de lado L Su área vendrá dada por L2
Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 20
Ejemplo: Expresa algebraicamente el área de un rectángulo de lados a y b.
Solución
Planteamos la situación:
xÁrea = lado lado
A a b
Si a = 6 cm y b = 4 cm, el área es 6 × 4 = 24 cm2.
Observa que hemos generalizado la expresión del cálculo del área de un rectángulo mediante
letras. Cada letra representa un lado.
VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Valor numérico de una expresión algebraica es el
resultado que se obtiene cuando se sustituyen las letras de
la expresión por números.
Ejemplos:
1. Si x = 2, el valor numérico de 23 2 :x x es
23 2 2 2 12 4 8
2. Si el lado (L) de un cuadrado es 3 cm, su área será:
23 3 9A L L cm
3. Si x = – 2, el valor numérico de 222 : 2 2 2 . 4 8x es
CONCEPTOS BÁSICOS
Término
Es cada sumando, o cada parte, en una expresión algebraica, separada por + o −.
Nota. Expresiones algebraicas que constan de un solo término se llaman monomios, con dos términos se llaman binomios, etc.
Coeficiente
Cada término consta de: un factor numérico y un factor literal. El factor numérico de un término se denomina coeficiente numérico o simplemente coeficiente.
Términos semejantes Son los términos que tienen el mismo factor literal (se diferencian sólo en su coeficiente numérico).
Es lo que hizo en el ejemplo del
área del rectángulo, primero se
asignó valores a las letras (lados
del rectángulo) y finalmente se
realizó el producto entre ellas
para calcular el valor del área.
Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 21
Ejemplo: sea la expresión 5xy2 − 3xy + 2xy2 – 7
el coeficiente numérico del término 5xy2 es 5
los términos 5xy2 y 2xy2 son términos semejantes. (¿Porqué?)
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Entre las expresiones algebraicas podemos distinguir dos tipos: las RACIONALES y las IRRACIONALES.
Las expresiones algebraicas racionales son aquéllas en las que las operaciones que se realizan con
sus variables son sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y potenciación con exponente entero. A
su vez a estas expresiones las podemos subdividir en dos grupos:
1) racionales enteras o polinomios que son las que combinan sus variables con las siguientes
operaciones: suma, resta, multiplicación y potencia con exponente natural o cero.
2) las racionales no enteras o fraccionarias cuyas variables están afectadas por las mismas
operaciones que la anterior solo que el exponente de la potenciación puede ser un número
entero.
Las expresiones algebraicas irracionales son las que combinan sus variables con todas las
operaciones antes mencionadas además de potencias con exponente fraccionario o raíces.
Según las operaciones que afecten a las variables, las expresiones algebraicas se clasifican en:
Enteras Racionales
Fraccionarias
Irracionales
Expresiones Algebraicas
Ejemplos de expresiones algebraicas:
EXPRESIÓN ALGEBRAICA TIPO
4 3 23 2 5 8 1x x x x Racional entera (polinomio)
4 2
3
2 24 18
x x xxx
Racional fraccionaria
25 3 32 1x x x
Irracional
Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 22
POLINOMIOS
DEFINICIÓN
Es una expresión algebraica formada por sumas o restas de monomios no semejantes
llamados términos. Un polinomio en la variable x es una expresión de la forma:
P(x) = an.xn + an-1.xn-1 + …+a1.x + a0
Donde
n Z, n ≥ 0 se llama grado del polinomio (es el mayor de los grados de los monomios
que lo forman)
y se escribe n = gr P(x)
ai R se denominan coeficientes del polinomio
an 0 se denomina coeficiente principal y a0 se denomina término independiente
Los términos del polinomio están ordenados en potencias decrecientes.
El polinomio es completo cuando existen todos los términos.
TIPOS DE POLINOMIOS
Monomios: son los polinomios que tienen un solo término. Ejemplo: P(x) = 3x
Binomios: son los polinomios que tienen 2 términos. Ejemplo: P(x) = 2x2 – 5x
Trinomios: son los que tienen 3 términos. Ejemplo: P(x) = x3 – 3x2 + 1
Constantes: son los que tienen un solo término de grado cero, es de la forma 0( )P x a .
Ejemplo: P(x) = 8
Nulo: es el polinomio de la forma P(x) = 0.
Ejemplo: sea el polinomio P(x) = 2x3 + 4x – 5
Los valores 2, 4 y -5; son los
coeficientes del polinomio.
Los exponentes de las x, en este
caso, son los grados de los términos,
entonces para P(x) los grados son 3,
1 y 0 respectivamente.
El grado del polinomio, es el grado
del término de mayor grado, en
este caso es 3.
FORMAS POLINÓMICA SEGÚN EL GRADO
1. Forma general de un polinomio de 1er Grado
( ) 0P x ax b a
2. Forma general de un polinomio de 2do Grado
2( ) 0P x ax bx c a
3. Forma general de un polinomio de 3er Grado
3 2( ) 0P x ax bx cx d a
Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 23
El polinomio es ordenado, pero
incompleto, ya que falta el término de
grado 2.
VALOR NUMÉRICO DE P(x)
Es el resultado que se obtiene cuando se sustituyen las letras de la expresión por números.
Recuerda que en nuestro caso solo tendremos un tipo de letra porque trabajamos con una
sola variable.
Ejemplo: calcula el valor que toma P(x) = x4 – 2x3 + 5x – 1 cuando x = 1.
Solución
P(1) = (1)4 – 2(1)3 + 5(1) – 1
= 1 – 2.1 + 5.1 – 1
= 1 – 2 + 5 – 1
= 3
OPERACIONES ENTRE POLINOMIOS
SUMA
Ejemplo: sumar P(x) = 3x2 + 2x + 1 y Q(x) = 4x + 3
Solución
Se puede proceder de la siguiente forma:
(3x2 + 2x + 1) + (4x +3) = 3x2 + (2x + 4x) + (1 + 3)
= 3x2 + (2 + 4)x + (1 + 3)
= 3x2 + 6x + 4
RESTA O SUSTRACCIÓN
Ejemplo: Dados P(x) = 3x8 + x5 - 4x + 2 y
Q(x) = 2x8 - 2x5 + x3 - 2x + 4. Restar P(x) – Q(x).
Solución
Para realizar la resta, definimos el inverso aditivo de Q(x),
como:
– Q(x) = - 2x8 + 2x5 - x3 + 2x – 4
Entonces la diferencia entre P(x) y Q(x) nos quedaría:
P(x) +( - Q(x)) = (3x8 + x5 - 4x + 2) + (- 2x8 + 2x5 - x3 + 2x – 4)
= (3x8 - 2x8) + (x5 + 2x5) – x3 + (- 4x + 2x) + (2 – 4)
= x8 + 3x5 – x3 – 2x – 2
SUMA DE POLINOMIOS
Al sumar dos polinomios en x,
obtenemos un polinomio en el
cual el coeficiente de cada
potencia de x es la suma de los
coeficientes de términos
semejantes.
RESTA DE POLINOMIOS
Una vez que se determina el
polinomio inverso aditivo
(también llamado polinomio
opuesto), la resta se efectúa
como la suma de polinomios.
Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 24
PRODUCTO O MULTIPLICACIÓN
Ejemplo: efectúa el producto entre P(x) = 3x2 +2x - 5 y
Q(x) = 2x3 - 6x + 5
Solución
P(x) . Q(x) = (3x2 + 2x - 5) . (2x3 - 6x + 5)
= 6x5 – 18x3 + 15x2 + 4x4 - 12x2 +10x - 10x3 + 30x - 25
= 6x5 + 4x4 – 28x3 + 3x2 + 40x - 25
COCIENTE O DIVISIÓN
Ejemplo: divide P(x) = 3x5 + 2x4 - 5x2 + 2 en Q(x) = 1 + x2 – 2x
Solución
Como el polinomio dividendo P(x) es incompleto,
entonces primero lo completamos; P(x) = 3x5 + 2x4 +
0x3 - 5x2 + 0x + 2
Luego, ordenamos el divisor Q(x) en potencias
decrecientes, resultando: Q(x) = x2 – 2x + 1
Ahora, efectuamos la división P(x) en Q(x)
5 4 3 2 2
5 4 3 3 2
4 3 2
4 3 2
3 2
3 2
2
2
3 2 0 5 0 2 2 1
3 6 3 3 8 13 13
8 3 5
8 16 8
13 13 0
13 26 13
13 13 2
13 26 13
13 11
x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x
Siendo: C(x) = 3x3 + 8x2 + 13x + 13 y R(x) = 13x - 11
Recuerda que debe cumplirse que: P(x) = Q(x).C(x) + R(x)
Hagamos entonces:
Q(x).C(x) = (x2 – 2x +1).(3x3 + 8x2 + 13x + 13)
= 3x5 + 8x4 + 13x3 + 13x2 – 6x4 –16x3 –26x2 –26x + 3x3 + 8x2 +13x + 13
= 3x5 + 2x4 – 5x2 – 13x + 13
PRODUCTO DE POLINOMIOS
Es el polinomio que resulta de
aplicar la propiedad
distributiva (del producto
respecto de la suma) y sumar.
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Por analogía con la división
entera de números, la
división de polinomios se
define así:
Dados dos polinomios P(x) y
Q(x), donde el grado de P(x)
es mayor o igual que el
grado de Q(x), se trata de
determinar otros dos
polinomios C(x) y R(x) tales
que:
P(x) = Q(x).C(x) + R(x)
con la condición de que
Q(x) 0.
IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS
Dos polinomios son iguales
cuando tienen el mismo
grado y los coeficientes de los
términos semejantes son
iguales.
Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 25
A este resultado le sumamos R(x):
Q(x).C(x) + R(x) = (3x5 + 2x4 – 5x2 – 13x + 13) + (13x – 11)
= 3x5 + 2x4 – 5x2 + 2
Por lo tanto se cumple que: P(x) = (x2 – 2x +1).(3x3 + 8x2 + 13x + 13) + (13x – 11)
Cuando el resto del cociente entre dos números da cero decimos que el numerador es
divisible por el denominador, extendiendo esta definición para polinomios decimos que:
El cociente entre dos polinomios es EXACTO si el resto es cero.
O sea P(x) es divisible por Q(x) solo si P(x) = C(x). Q(x)
REGLA DE RUFFINI
Cuando queremos dividir un polinomio por un binomio de la forma (x – a) donde a es una
constante, podemos usar la regla de Ruffini.
Su algoritmo es el siguiente:
Tomemos por ejemplo un P(x) = bx3 + cx2 + dx + e, al que queremos dividirlo por (x - a).
Aplicamos la regla de Ruffini y hacemos:
1) Completamos y ordenamos en potencias decrecientes al P(x) (si no lo estuviera)
2) Armamos una estructura con solo los coeficientes del P(x). (línea 1)
3) En línea 2, colocamos “a”.
4) En línea 3, inicialmente colocamos “b”.
5) Multiplicamos “b” por “a” y colocamos en línea 2, en la columna de “c”.
6) Sumamos “c” con “b.a” para obtener U (línea 3).
7) Multiplicamos “U” por “a” y colocamos en línea 2, en la columna de “d”.
8) Sumamos “d” con “U.a” para obtener V (línea 3).
9) Multiplicamos “V” por “a” y colocamos en línea 2, en la columna de “e”.
10) Finalmente, sumamos “e” con “V.a” para obtener W (línea 3).
11) Los valores b, U, V son los coeficientes del polinomio C(x) y W es el resto de la división.
Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 26
3 2( ) ( )
. . .
.
1
2
3
. .
P x bx cx dx e y Q x x a
b c d e
a b a U a
línea
línea
líne
V a
b U V W
U c b a V d U
a
a W e V a
C(x) = bx2 + Ux + V C(x) tiene un grado menor que P(x)
R(x) = W
Ejemplo: Dividir x3 – 8x + 5 por x – 3
Entonces, el dividendo ordenado y completo es: P(x) = x3 + 0x2 - 8x + 5
El divisor: Q(x) = x – 3 donde a = 3
1 0 8 5
3 3 9 3
1 3 1 8
Los valores obtenidos con este procedimiento son los coeficientes de los términos del
polinomio cociente (que es un grado menor que P(x)): C(x) = x2 + 3x + 1
y el resto será: R(x) = 8
CERO DE UN POLINOMIO
Llamamos cero de un polinomio P(x), a un valor de la variable x para el cual P(x) = 0.
Sea el polinomio P(x), se dice que “a” es cero de )x(P ( ) 0P a
Ejemplo: Sea P(x) = 3x3 – 6x2 + 5x – 2, investiga si x = 1 es un cero de P(x).
Entonces, P(1) = 3(1)3 – 6(1)2 + 5(1) – 2
= 3.1 – 6.1 + 5.1 – 2
= 3 – 6 + 5 – 2
= 0
Por lo tanto, x = 1 es cero de P(x).
Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 27
TEOREMA DEL RESTO
Al dividir P(x) en (x – b), el resto de la división es el valor numérico del polinomio P(x)
particularizado para x = b. Esto es: R = P (b)
Ejemplo: sea P(x) = x3 + 2x2 – 5, queremos determinar el resto de dividir a P(x) por (x + 1).
Aplicando el teorema del resto:
P(– 1) = (– 1)3 + 2(– 1)2 – 5
= – 1 + 2 . 1 – 5
= – 1 + 2 – 5
= – 4 por lo tanto, el resto de la división es – 4.
Verifiquemos este resultado aplicando la regla de Ruffini:
1 2 0 5
1 1 1 1
1 1 1 4
TEOREMA DEL FACTOR
Un polinomio P(x) tiene un factor (x – a) si y solo si P(a) = 0. Es decir, a es un cero de P(x).
Si a es un cero de P(x), entonces P(x) es DIVISIBLE por (x – a).
Si un factor aparece “m” veces, entonces “a” es un cero de multiplicidad m.
Observación
Si (x – a) es un factor de P(x), entonces existe un polinomio C(x)
tal que
P(x) = (x – a) . C(x)
Ejemplo: El P(x) = 3x3 – 6x2 + 5x – 2 tiene un cero en x = 1. Expresa a P(x) como producto de
factores.
Aplicamos Ruffini para determinar al polinomio C(x) que multiplique al polinomio (x – 1)
dado.
2
3 6 5 2
1 3 3 2
3 3 2 0 ( ) 3 3 2C x x x
Por último, el P(x) factoreado es: P(x) = (x – 1) (3x2 – 3x + 2)
resto
Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 28
EXTENSIÓN DEL TEOREMA DEL RESTO
El resto de la división de P(x) en el binomio (ax + b) es: b
R Pa
.
Ejemplo: Halla el cociente y el resto de dividir P(x) = 6x4 + x3 – 19x2 + 14x -15 en (2x – 3)
Solución
Podemos hacerlo por dos formas:
1) hacemos: 2x – 3 = 0 32
x
Luego, el resto será:
4 3 23 3 3 3 3
6. 19. 14. 152 2 2 2 2
81 27 96. 19. 21 15
16 8 4243 27 171
68 8 43
P
2) Por Ruffini
32
3 2
6 1 19 14 15
9 15 6 12
6 10 4 8 3 3
'( ) 6 10 4 8
R
C x x x x
El cociente de la división será: '( )
( )2
C xC x
Es decir: 3 2( ) 3 5 2 4 3C x x x x y R
Según su necesidad, ud elegirá la forma de resolver más conveniente. La
2° brinda más información y también más trabajo.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
Un polinomio de grado n positivo tiene exactamente n raíces, considerando las reales y las
complejas.
Una consecuencia de este teorema es que un polinomio de grado n tiene como máximo
n raíces reales. En los polinomios con coeficientes reales, las raíces complejas vienen
siempre de a pares, de allí que un polinomio con coeficientes reales de grado impar
siempre tiene por lo menos un cero real.
Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 29
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Factorear un polinomio es transformarlo en un producto de expresiones algebraicas.
Factor común.
Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es
igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por
ese factor.
Ejemplo: factorizar P(x) = 6x2y2 - 3x2y + 9xy
Primero sacamos como factor común de cada término a 3xy, entonces,
P(x) = 6x2y2 - 3x2y + 9xy = 3xy. (2xy – x + 3)
Factor común por grupos.
Algunas veces, aunque los términos de un polinomio no tengan un factor común
monomial, es posible agrupar términos de tal manera que cada grupo tenga un factor
común.
Ejemplo: factorizar P(x) = 3x – 2ab + nx – 2bx + an + 3a Agrupamos así: P(x) = (3x + nx – 2bx) + (– 2ab + an + 3a)
P(x) = x (3 + n – 2b) + a (– 2b + n + 3)
P(x) = (x + a) (3 + n – 2b)
Trinomio cuadrado perfecto.
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus términos son
cuadrados de algún valor y el otro término es el doble producto de las bases de esos
cuadrados.
Ejemplo: P(x) = 25 x2 + 10xy2 + y4 es un trinomio cuadrado perfecto ya que:
25 x2 = (5x)2 y4 = (y2)2 10xy2 = 2 . (5.x).(y2)
Entonces el factoreo del trinomio dado es: P(x) = 25x2 + 10xy2 + y4 = (5x + y2)2
Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
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Cuatrinomio cubo perfecto. Todo cuatrinomio de la forma: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Ejemplo: P(x) = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 es un cuatrinomio cubo perfecto porque:
x3 = (x)3 6x2y = 3(x)22y
8y3 = (2y)3 12xy3 = 3(x)(2y)2
El polinomio queda factoreado de la siguiente manera:
P(x) = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 = (x + 2y)3
Suma de potencias de igual grado.
En general, la suma de dos potencias de igual grado de exponente impar, es igual al
producto de la suma de las bases por el cociente que resulta de dividir la primera suma
por la segunda.
Ejemplo: (x3 + a3) = (x + a).(x2 – ax + a2)
Diferencia de potencias de igual grado.
a) Cuando el exponente es par
Sea por ejemplo, factorear la siguiente expresion: x6 – a6
Puede factorearse de la siguientes formas:
i) Haciendo figurar la suma de las bases:
6 6 5 4 2 3 3 2 4 5
6 6 5 4 2 3 3 2 4 5
: ( )
( )( )
x y x y x yx y x y x y x y
x y x y x yx y x y x y x y
ii) Haciendo figurar la diferencia de las bases:
6 6 5 4 2 3 3 2 4 5
6 6 5 4 2 3 3 2 4 5
: ( )
( )( )
x y x y x yx y x y x y x y
x y x y x yx y x y x y x y
iii) Por último
6 6 3 3 3 3( )( )x y x y x y
b) Cuando el exponente es impar
En general, la diferencia de dos potencias de igual grado de exponente impar, es
igual al producto de la diferencia de las bases por el cociente que resulta de dividir
la primera diferencia por la segunda.
Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 31
Ejemplo:
Sea por ejemplo, factorear la siguiente expresión: x5 – a5
5 5
5 5 4 3 2 2 3 4
5 5 4 3 2 2 3 4
:
( ): ( )
:
( ) ( )( )
x a es divisible por x a y el cociente exacto es
x a x a x ax a x a x a
Por consiguiente
x a x a x ax a x a x a
Diferencia de cuadrados
Toda diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de las
bases de dichos cuadrados.
Ejemplo: 2 2( )( )a b a b a b
Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 32
EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS Expresión algebraica racional no entera o fraccionaria son aquellas expresadas como
cociente de polinomios ( )( )
P xQ x
, siempre que el polinomio denominador no sea un polinomio
constante (ni nulo) o aquéllas en que las variables son bases de potencias de exponente
negativo.
Ejemplos de expresiones fraccionarias son:
3 12 2
7 9 2 6 32
4 4 9 3 1
x yx x
u x y y
Ya que el denominador no puede ser cero las variables de los polinomios denominadores
no pueden tomar los valores que son ceros. Como una expresión racional es un cociente
entre números reales, las propiedades de fracciones también se cumplen en los casos de
las expresiones algebraicas fraccionarias.
OPERACIONES
Producto
Para efectuarlo, usamos la siguiente propiedad de fracciones:
( ) ( ) ( ). ( )( ) ( ) ( ). ( )
( )( ) ( )
( )
P x R x P x R xQ x S x Q x S x
P xsi R x S x entonces podemos simplificar y nos queda
Q x
Ejemplo:
2 2
2 2
5 4 12 9 5 (2 3)(2 3)(2 3) (2 1)( 5)4 9 2 11 5
( 5)
x x x x xx x x xx x x
x
(2 3)(2 3)x x
(2 3)(2 3)x x (2 1)( 5)x x 3
52
2 3 3 1(2 3)(2 1) 2 2
para x y
xpara x y
x x
Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 33
Cociente
Para efectuarlo, usamos la siguiente propiedad de fracciones: ( ) ( ) ( ). ( )( ) ( ) ( ). ( )
P x R x P x S xQ x S x Q x R x
Ejemplo:
3 2 4 2 3 2 3 2 4
4 3 2 4 2 4 3 2 4
3 2 3 2 2 4
2 2 4 4 3
2 3 2 3
45 75 3 .5 228 8 2 .7 ( 3).5
2 .3 .5
2 .( 3).5 7
6 (2 .3.5 )
a b a b a b c dc d c d c d a b
a b c d
a bc d
bd a bc d
2 2 3 2 335 (2 .3.5 )ac a bc d
2
635
bdac
Suma y Resta
Se resuelven aplicando las propiedades de las fracciones ya mencionadas cuando vimos los conjuntos numéricos.
( ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( )( ) ( ) ( ). ( )
P x R x P x S x P x Q xQ x S x Q x S x
Ejemplo: efectúa 2 2
5 4 23 64 4 4 xx x x
Primero, debemos encontrar el mínimo común múltiplo del denominador.
Este será: mcm = 3 (x + 2)2 (x – 2)
2
2 2
2
2
2
2
2
2
5 4 2 5.3( 2) 4.3( 2) 2.( 2)( 2)( 2) 3( 2)( 2) 3( 2) ( 2)
15( 2) 12( 2) 2.( 4 4)
3( 2) ( 2)
15 30 12 24 2 8 8
3( 2) ( 2)
2 19 2
3( 2) ( 2)
x x xx x xx x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
Si una fracción tiene otra fracción en el numerador o denominador, o en ambos se llama fracción
compuesta, y si no, se denomina fracción simple.
Los métodos que se usan para SIMPLIFICAR expresiones fraccionarias compuestas son los mismos
que se usan en números fraccionarios. La multiplicación del numerador y denominador por el
MCD (mínimo común denominador) es el método más sencillo.
Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 34
Ejemplo: dada la expresión, llevarla a su forma mas simple o reducida
1 22 1
1 11 2
x xx x
x x
Vemos que se trata de una fracción compuesta. Sacamos MCD en el denominador y en
el numerador.
( 1)( 1) ( 2)( 2)1 2
( 2)( 1)2 11 1 ( 2) ( 1)
1 2 ( 1)( 2)
( 1)( 1) ( 2)( 2)
( 2)
x x x xx xx xx x
x xx x x x
x x x x
x
( 1)x
( 1)x
( 2)x
2 2
2 2
( 2) ( 1)
( 2 1) ( 4 4)2 1
2 1 4 4( 1)
2 3( 1)
2 3
x x
x x x xx x
x x x x
x
x
Matemática UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 35
Figuras Planas
La geometría plana estudia las figuras planas que tienen únicamente dos dimensiones:
largo y ancho.
Para comprender la geometría plana de manera más clara, es indispensable, comenzar
por la definición de conceptos elementales hasta llegar a nociones más complejas.
CONCEPTOS BÁSICOS
Para el estudio de la geometría, necesitamos conocer el concepto
intuitivo de punto, recta y plano. Estos son términos no definidos que
proveen el inicio de la geometría.
Punto: es el objeto fundamental en geometría, el punto representa
solo posición y no tiene dimensión, es decir, largo, ancho y altura nulos. Se representan por
letras mayúsculas.
Recta: tiene solo longitud, no tiene ancho ni altura ni grosor. Es un conjunto infinito de
puntos que se extienden en una dimensión en ambas direcciones. Una recta se puede
representar por:
Semirrecta: la definimos como la porción de una recta que tiene principio, pero no tiene
fin.
Segmento de recta: es una porción de la recta con principio y con fin, es decir sabemos
dónde empieza y donde termina por ende lo podemos medir.
Plano: tiene ancho y largo, sin altura ni grosor. Un plano es una superficie en dos
dimensiones, se puede pensar como un conjunto de puntos infinitos en dos dimensiones.
Matemática UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 36
POLÍGONO
Un polígono es una figura plana cerrada que está formada por tres o más segmentos de
recta que se unen en sus puntos extremos. Los segmentos de recta que forman un polígono
solo se intersectan en sus puntos extremos.
CLASIFICACIÓN
Según el número de lados o ángulos triángulo, cuadrilátero, pentágono, etc.
Polígono Polígono Regular: lados y ángulos iguales.
Según la igualdad de sus lados y ángulos Polígono Irregular: al menos un lado o un
ángulo es distinto.
PARTES DE UN POLÍGONO
Lados: son los segmentos que lo limitan.
Ángulos interiores: los que forman dos lados contiguos.
Vértices: los puntos donde coinciden dos lados.
Diagonales: las rectas que unen dos vértices que no sean consecutivos.
Ángulo central: es el formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los
extremos de un lado.
Apotema: es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es
perpendicular a dicho lado.
La cantidad de diagonales de un polígono se calcula como: 3
2
n nNd
n: número
de lados
Matemática UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 37
PERÍMETRO DE UN POLÍGONO: Es la suma de las longitudes de los lados de un polígono
ÁREA DE UN POLÍGONO: Es la medida de la región o superficie encerrada por un polígono.
PERÍMETROS Y ÁREAS DE LOS POLÍGONOS
Nombre Dibujo Perímetro Área
Triángulo
P = Suma de los lados
P =b c d
b . a2
A =
p p-b p-c p-dA =
p = semiperímetro
Cuadrado
P =4a 2A =a
Rectángulo
2 P = b a A =a . b
Rombo
P =4a D . d2
A =
Paralelogramo
2 P = b c A =a . b
Trapecio
P =B b c d B b .a
2A =
Trapezoide
P =a b c d A = Suma de las áreas de los dos
triángulos
Polígono regular
P .a2
A =
Matemática UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 38
ÁNGULOS
Es una figura formada por dos semirrectas que se interceptan en un punto. Las semirrectas
son los lados del ángulo y el punto de intersección es su vértice.
La amplitud del giro de un ángulo se puede medir, y la unidad que se utiliza para expresarlo
se llama grado.
CLASIFIACIÓN SEGÚN SU MEDIDA
Nulo (0°)
Agudo (< 90°)
Recto (90°)
Obtuso (> 90°)
Llano (180°)
Giro completo (360°)
Cóncavo (> 180°)
Negativo (< 0°)
SEGÚN SU CARACTERÍSTICA
Ángulos complementarios
+ = 90°
Ángulos suplementarios
+ = 180°
SEGÚN SU POSICIÓN
Ángulos consecutivos
Lado común VB
Ángulos opuestos por el vértice
=
Matemática UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 39
LA MEDIDA DE LOS ÁNGULOS
Existen dos sistemas generalmente usados para medir los ángulos.
SISTEMA SEXAGESIMAL: en éste la unidad es el grado, el cual es igual al ángulo central que
subtiende un arco cuya longitud es igual a 1/360 de la longitud de la circunferencia. El
grado se subdivide en 60 minutos y el minuto en 60 segundos.
En este sistema, un ángulo cualquiera se especifica
colocando el valor del ángulo y agregando “ ° “ .
Por ejemplo: = 48°; = 14° 25’ 47’’.
En las calculadoras, cuando queremos trabajar en grados
sexagesimales debemos elegir el modo adecuado que,
normalmente se denota por DEG.
SISTEMA CIRCULAR: en este sistema la unidad es el radián. Para trabajar con las
calculadoras, debemos elegir el modo adecuado que, normalmente se denota por RAD.
Radian: Se llama así al ángulo central que abarca un arco de circunferencia cuya longitud
es igual al radio de la misma.
𝒓 = 𝑪𝑨
𝑨𝑩 = 𝑪𝑨
⇒ 𝜶 = 𝟏𝒓𝒂𝒅𝒊á𝒏 → 𝜶 =𝑨𝑩
𝑪𝑨
En este sistema, un ángulo cualquiera se especifica
colocando el valor del ángulo y agregando (o no) la
leyenda rad. Por ejemplo: = 2 rad, o simplemente, = 2.
SISTEMA CENTESIMAL O GRADIANES
Es el resultado de dividir la circunferencia en 400 partes iguales.
En la calculadora lo identificamos como el modo Grad. Grad se puede prestar a confusión
porque el usuario de la calculadora puede pensar que la palabra Grad es por los “grados
sexagesimales”, pero no es así. No vamos a entrar a detallar mucho este sistema métrico,
puesto que la verdad es que los gradianes no se suelen utilizar en la actualidad salvo en
algunos aspectos de la topografía.
EQUIVALENCIA ENTRE SISTEMAS
𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅 𝟏° =𝝅
𝟏𝟖𝟎𝒓𝒂𝒅 ≃ 𝟎, 𝟎𝟏𝟕𝟓𝒓𝒂𝒅 𝟏𝒓𝒂𝒅 =
𝟏𝟖𝟎°𝝅
≃ 𝟓𝟕, 𝟐𝟗°
Matemática UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 40
TRIÁNGULOS
Un triángulo es una superficie plana delimitada por tres segmentos de recta.
Los elementos del triángulo son: tres vértices, tres lados y tres ángulos. La suma de la medida
de los tres ángulos internos es 180°. A cada ángulo interno del triángulo le corresponde un
ángulo exterior. La medida de cada ángulo exterior es igual a la suma de la medida de los
dos ángulos interiores no adyacentes. La suma de la medida de los tres ángulos exteriores
es 360°.
Clasificación
SEGÚN SUS LADOS
Triángulo equilátero: tiene tres lados iguales y
sus ángulos internos miden 60°.
Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales; los
ángulos que se oponen a estos también son
iguales.
Triángulo escaleno: todos sus lados son
distintos al igual que todos sus ángulos
internos.
SEGÚN SUS ÁNGULOS
Triángulo Rectángulo: tiene un ángulo interior
recto (90°). A los dos lados que conforman el
ángulo recto se les denomina catetos y al otro
lado hipotenusa.
Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es
obtuso (mayor de 90°); los otros dos son
agudos (menor de 90°).
Triángulo acutángulo: sus ángulos interiores
son agudos; el triángulo equilátero es un caso
particular de triángulo acutángulo.
Matemática UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 41
Propiedades de los triángulos
Triángulos Equilátero Isósceles Escaleno
Acutángulo
Rectángulo
Obtusángulo
Podemos ver en el esquema las clasificaciones comentadas en el apartado anterior.
Hagamos una interpretación del mismo. Veamos:
Los triángulos acutángulos pueden ser:
Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, este
triángulo es simétrico respecto de su altura.
Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y diferentes.
Los triángulos rectángulos pueden ser:
Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada
uno), dos lados iguales, naturalmente los lados iguales son los catetos, y el diferente es
la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto hasta la
hipotenusa.
Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son
diferentes.
Los triángulos obtusángulos son:
Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los
que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos.
Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.
Matemática UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 42
CUADRILÁTEROS
Definición y clasificación de cuadriláteros
Cuadrilátero. Es cualquier polígono de cuatro lados. Los cuadriláteros se clasifican en:
Paralelogramo: Es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.
Trapecio: Cuadrilátero que tiene dos, y solamente dos, lados opuestos paralelos. En
particular un trapecio cuyos lados NO paralelos son iguales recibe el nombre de
trapecio isósceles.
Trapezoide: Cuadrilátero que no tiene lados opuestos paralelos.
PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS
PARALELOGRAMOS
Tienen dos pares de lados paralelos
Los ángulos opuestos son iguales y los
consecutivos son suplementarios.
Los lados opuestos son iguales y
paralelos.
Las diagonales determinan el punto
medio de las figuras.
TRAPECIOS
Tienen solo un par de lados paralelos
Tienen un par de lados paralelos
llamados bases.
Los ángulos opuestos de los lados no
paralelos son suplementarios.
TRAPEZOIDE
No tienen lados paralelos
No tienen lados paralelos.
En el caso de los romboides, los lados
consecutivos son iguales y las
diagonales se cortan en un punto
medio.
paralelogramo cuadrado
rombo rectángulo
escaleno
isósceles recto
romboide trapezoide
Matemática UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 43
Perímetro y área de paralelogramos
Perímetro: se define de la misma forma que en cualquier otra figura plana: es la suma de
las longitudes de cada uno de sus lados. Para facilitar su cálculo siempre será bueno que
recuerdes sus propiedades.
Área: se define como el producto de la base por la altura. La base puede ser cualquiera
de sus lados y la altura será el segmento trazado en forma perpendicular desde el lado
opuesto a la base.
CIRCUNFERENCIA
Circunferencia. Lugar geométrico de todos los puntos en un mismo plano cuya distancia a
un punto fijo se mantiene constante. El punto fijo recibe el nombre de radio.
Círculo. Conjunto de puntos encerrados por la circunferencia.
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
Cuerda. Segmento de recta que une dos puntos
de la circunferencia (DE).
Diámetro. Roda cuerda que pasa por el centro
de la circunferencia (DA). Es la mayor cuerda.
Radio. Segmento que une el centro de la
circunferencia con cualquiera de sus puntos (CB).
Arco. Porción de la circunferencia (AB).
Longitud de arco. Está determinado por:
L r . con en radianes.
Matemática UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 44
TANGENTES Y SECANTES A UNA CIRCUNFERENCIA
Existen dos rectas especiales de la circunferencia: Las rectas tangente y secante a una
circunferencia.
La secante a una circunferencia es cualquier
recta que la corta en dos puntos.
La tangente a una circunferencia es cualquier
recta que la toca en un punto y sólo uno.
Teoremas relativos a las tangentes
Teorema 1. Toda tangente a una circunferencia es
perpendicular al radio que pasa por el punto de
contacto.
Teorema 2. Una recta es tangente a una
circunferencia si es perpendicular a un radio en su
extremo externo.
Teorema 3. Si una recta es perpendicular a la
tangente en el punto de tangencia, entonces pasa
por el centro de la circunferencia.
Teorema 4. La recta que une el centro
de una circunferencia con un punto
exterior es bisectriz del ángulo que
forman las tangentes trazadas desde
ese punto a la circunferencia.
Matemática UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 45
LONGITUD Y ÁREA DE FIGURAS CIRCULARES
Nombre Dibujo Longitud Área
Circunferencia
2L R
Arco
L R
en radianes
Círculo
2A R
Sector circular
2
2 2R Long Arco R
A
en radianes
.
Corona circular
2 2A R r
Matemática UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 46
Cuerpos Geométricos Los cuerpos geométricos son figuras geométricas de tres dimensiones (largo, ancho y alto),
que ocupan un lugar en el espacio y en consecuencia tienen un
volumen.
CLASIFICACIÓN
POLIEDROS: Prismas y pirámides
Los prismas y pirámides son cuerpos geométricos cuyas caras son polígonos.
Los prismas tienen dos caras paralelas e iguales, llamadas bases, y el resto de sus caras son
paralelogramos. Las pirámides tienen base y el resto de las caras son triángulos.
CUERPOS REDONDOS
Los cuerpos redondos son cuerpos que tienen superficies curvas.
cara basal
vértice
arista cara lateral
cara basal
CUERPOS GEOMÉTRICOS
Poliedros
Todas sus caras son
Cuerpos Redondos
Tienen al menos una cara
Matemática UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 47
ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
Figura Esquema Área Volumen
Cilindro
Lateral
2Total lateral
A 2 r h
A 2 r h 2 r
2V hr
Esfera
2A 4 r
34V
3r
Cono
2Total LateralA r + r g
2
V3r h
Cubo
2A 6
,
a
a lado de la cara cuadrada
3V a
Prisma
A 2perímetro base h área base V área base h
Pirámide
.A
2perímetro base ap lat
área base
V3
área base h
Matemática UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 48
TRIGONOMETRÍA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Consideremos el triángulo ACB rectángulo, la notación de sus partes se realiza de la
siguiente manera:
Los ángulos con letras mayúsculas
Los lados con letras minúsculas correspondientes al lado opuesto.
Uno de los objetivos de la trigonometría es mostrar la dependencia existente entre los lados
y los ángulos de dicho triángulo y para este objeto se emplean las razones trigonométricas,
las que definimos a continuación:
cateto opuesto hipotenusasen A cosec
hipotenusa cateto opuestoa c
Ac a
cateto adyacente hipotenusacos A sec
hipotenusa cateto adyacenteb c
Ac b
cateto opuesto cateto adyacentetg A cotg
cateto adyacente cateto opuestoa b
Ab a
VALORES DE LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Cuando un ángulo hace un recorrido de un giro completo, sus relaciones trigonométricas
van tomando valores diferentes.
1 1 1 cos 1sen A tg A
Matemática UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 49
TEOREMA DE PITÁGORAS
El teorema de Pitágoras señala que una relación entre los
lados del triángulo rectángulo: el cuadrado de la hipotenusa
es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
2 2 2c a b
ÁNGULO DE DEPRESIÓN – ELEVACIÓN
Los conceptos de ángulos de depresión y de elevación son muy utilizados para resolver
problemas de la vida cotidiana y que involucran triángulos rectángulos.
SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Razón
trigonométrica
1°
cuadrante
2°
cuadrante
3°
cuadrante
4°
cuadrante
seno
cosecante + + - - coseno
secante + - - + tangente
cotangente + - + -
Matemática UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 50
VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL PRIMER CUADRANTE
0° 30° 45° 60° 90°
seno 0 12 2
2 3
2 1
coseno 1 32
22
12 0
tangente 0 33
1 3
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Identidad trigonométrica es una igualdad algebraica entre razones de un mismo ángulo
que se verifica para cualquier valor que se atribuya a dicho ángulo.
FÓRMULAS DE LOS RECÍPROCOS
1sen x
cosec x
1cos x
sec x
1tg x
cotg x
1cosec x
sen x
1sec x
cos x
xtg xcotg
1
FÓRMULAS DEL COCIENTE
sen x
= tg x cos x
cos x
cotgxsen x
FÓRMULAS DE LOS CUADRADOS O PITAGÓRICAS
2 2sen x cos x 1 2 2sec x 1 tg x 2 2cosec x 1 cotg x
TEOREMA DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS
sen x y = sen x cos y cos x sen y
cos x y = cos x cos y sen x sen y tg x tg y
tg x y = 1 tg x tg y
Matemática UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 51
RAZONES DE LOS ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Recordemos que dos ángulos son complementarios cuando suman 90°.
90 90A B B A
sen = cos B = cos 90
cos = sen B = sen 90
A A
A A
RAZONES DE LOS ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Sean dos ángulos A y B suplementarios (que suman 180°) sus razones trigonométricas seno
y coseno serán:
180 180A B B A
sen = sen B = sen 180
cos = cos B = cos 180
A A
A A
Matemática UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 52
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Suma ángulos interiores: 180°
TEOREMA DEL SENO
a b c
sen sen β senγ
TEOREMA DEL COSENO
dados lados los entre ocomprendid ángulo
triángulo del lados dos
Datos
2 2 2 a b c 2 b. c. cos
cos c. a. 2 2c 2a2b
cos b. a. 2 2b 2a2c
Área del triángulo
Fórmula de Herón
A p. (p - a) . (p - b) . (p - c)
2
c b ap
La fórmula de Herón, descubierta
por Herón de Alejandría, relaciona
el área de un triángulo en términos de
las longitudes de sus lados a, b y c.
Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 53
Una ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas. A esas expresiones se les
llama miembros de la ecuación. El miembro del lado izquierdo de la igualdad se le llama
primer miembro, mientras que el que se encuentra en el lado derecho se llama segundo
miembro.
Segundo miembro
Primermiembro
3 5 8x x
Ejemplos: 3 2 4 1x x 2 5 2z 3
2 4x
CLASIFICACIÓN
Hay dos tipos de ecuaciones con las que comúnmente se trabaja, uno son las llamadas
ecuaciones identidades y ecuaciones condicionales.
2 2 2
Con solo asignar valores a "a" y "b" y efectuar las operac
Identidades son aquellas que resultan válidas para todos los valores
posibles de las letras que contienen.
Ejemplo: 2a b a ab b
Ecuaciones
iones
en cada miembro, se obtinene el mismo resultado; estamos ante
una identidad.
Condicionales son aquellas que están condicionadas
Sin utilizar ningún método de solución, podemos deducir qu
a algún(os) valor(es)
es decir, la igualdad se cumple sólo para ciertos valores de
la variable.
Ejemplo: 2 1x e el
único valor que satisface la igualdad es x = 1, por lo tanto, la
ecuación es condicional.
Importante
Una Identidad es una igualdad algebraica, esto es, una igualdad en la que aparecen
números y letras que siempre se cumple, sean cuales sean los valores de las incógnitas.
Una ecuación es una igualdad algebraica que es cierta para algunos valores de las
incógnitas y falsa para otros.
Por tanto, la diferencia entre identidad y ecuación es que la identidad siempre es cierta,
mientras que la ecuación no.
Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 54
TIPOS DE ECUACIONES
SEGÚN SUS SOLUCIONES
Atendiendo al número de soluciones que puede tener una ecuación, pueden darse los
siguientes tipos:
Que no tenga solución: por ejemplo, x + 2 = x + 3. Como puedes observar, es evidente
que no hay ningún valor que sumado a 2 de lo mismo que sumado a 3.
Que tenga una o varias soluciones: por ejemplo, x + 2 = 3. Solo tiene una solución que
es x = 1, ya que es el único número que sumado a 2 nos da 3.
Que tenga infinitas soluciones: en este caso hay que distinguir varios tipos,
Entre identidades: cualquier valor de las incógnitas es solución, por ejemplo:
2x + 2 = 2 (x + 1)
Que no sea una identidad: por ejemplo, x + y = 5. Existen infinitos pares de números
que suman 5. En estos casos se dice que la ecuación es indeterminada.
Otros tipos de ecuaciones: tales como las trigonométricas que pueden tener
infinitas soluciones y no son ecuaciones indeterminadas.
SEGÚN SUS EXPRESIONES
Ecuaciones algebraicas
Polinómica: son aquellas en las que cada uno de sus miembros están formados
por monomios o polinomios; por ejemplo: x2 – x – 1 = 3x – 1.
Si el grado es 1, se dice que es una ecuación de primer grado.
Por ejemplo: 4x – 5 = 3x
Si el grado es 2, se dice que es una ecuación de segundo grado.
Por ejemplo: x2 – 1 = 3x
Racionales: cuando aparece el cociente de polinomios, por ejemplo: 1 41
xx x
Irracionales: cuando las incógnitas forman parte de alguna raíz, por ejemplo:
1 3x x
Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 55
Ecuaciones trascendentes
Exponenciales: cuando las incógnitas forman parte de algún exponente,
ejemplo: 2x = 8
Logarítmicas: son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada
por un logaritmo, por ejemplo: log 2x = 5
Trigonométricas: son aquellas en las que aparecen una o más relaciones
trigonométricas. En estas, la incógnita es el ángulo común de las relaciones
trigonométricas.
Por ejemplo: 3 sen x = 1
Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 56
ECUACIONES LINEALES
DEFINICIÓN
Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las expresiones con
una incógnita de la forma:
0 , 0ax b a
Siendo a, b números reales.
En la ecuación lineal encontramos dos términos:
Término independiente
Término lineal
0ax b
Las siguientes son ejemplos de ecuaciones lineales:
a) 2 1 3 2x x b) 1 0x c) 1
15
x d) 2 3x y
** cuidado, si bien la ecuación del apartado d) es lineal, tiene dos incógnitas. En
esta parte, nosotros vamos a estudiar las que tienen sola una incógnita.
¿CÓMO SE RESUELVE LA ECUACIÓN LINEAL?
Primero diremos que este tipo de ecuaciones solo tiene una solución.
Para resolver las ecuaciones de este tipo debemos acomodar del lado izquierdo de la
igualdad a los términos en x y del otro lado, los términos independientes. Teniendo en
cuenta:
Si un término esta de un lado de la igualdad, sumando o restando, pasa al otro lado
de la igualdad efectuando la operación contraria.
Cada lado de la igualdad debe quedar reducido a un solo término.
Si un número está multiplicando de un lado de la igualdad, pasa hacia el otro
dividiendo a todos los términos de ese lado y conservando su signo.
Si un número está dividiendo de un lado de la igualdad pasa hacia el otro
multiplicando a todos los términos de ese lado y conservando su signo.
El resultado de una ecuación debe expresarse de la forma más simplificada
posible.
Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 57
Ejemplo: resuelve la siguiente ecuación, 5x – 8 = x + 2
Solución
Pasamos del lado izquierdo los términos en x
y las constantes del otro: 5 2 8x x
Efectuamos las operaciones indicadas 4 10x
Por último, para despejar x vemos que
4 está multiplicando, entonces pasa
Dividiendo al otro lado de la igualdad 10 54 2
x
La solución se puede comprobar reemplazando el valor encontrado en la ecuación
original.
Ejemplo: resuelve, 3 3 1 4 9 5 0x x
Solución
Realizamos las operaciones previas 9 3 36 20 0x x
Términos en x por un lado y constantes por el otro 9 20 3 36x x
Realizando los cálculos en cada lado 11 33x
Finalmente, despejamos x 33
311
x
Verificación
3 3 3 1 4 9 5 3 0
3 9 1 4 9 15 0
3 8 4 6 0
24 24 0
0 0 se verifica
Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 58
Ejemplo: resuelve, 5 1
13 4
x x
Solución
Realizamos la suma fraccionaria 4 5 3 1
112
x x
Reescribimos la igualdad de manera adecuada 4 5 3 1 1. 12x x
Realizamos las operaciones previas 4 20 3 3 12x x
Términos en x por un lado y constantes por el otro 4 3 12 20 3x x
Realizando los cálculos en cada lado 7 29x
Finalmente, despejamos x 297
x
Verificación
29 295 1
7 7 13 4
29 35 29 77 7 13 4
6 361
21 28168 756
1588
1 1 se verifica
Aplicaciones
En esta parte haremos uso de las ecuaciones lineales para modelar y resolver situaciones
problemáticas de distintas áreas. Para resolver podemos seguir las siguientes pautas:
Lo principal, hacer una lectura de la situación problemática y
entender lo que sucede y se solicita
Hacer una traducción de lo expresado verbalmente al lenguaje
simbólico
Formular un modelo matemático a través de la ecuación
correspondiente
Resolver la ecuación y aplicar criterio para formular la respuesta.
Verificar resultado
Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 59
Ejemplo: En la utilería de un club se guardan en cajones las
pelotas de distintos deportes. Si juntamos las pelotas de cinco
cajones con dos pelotas sueltas, tenemos el mismo número de
pelotas que si juntamos tres cajones con 20 pelotas sueltas. a)
plantea la ecuación que modela la situación; b) ¿cuántas
pelotas se guardan en cada cajón?.
Solución
1) Determinamos cuántas incógnitas (datos a determinar) tiene el problema.
Observamos que es una sola incógnita, el número de pelotas que hay en cada
cajón. Por tanto:
x = nº de pelotas en cada cajón
2) La condición que nos dan nos dice que el número de pelotas de cinco cajones con
dos de ellas sueltas es igual al número de pelotas de tres cajones con 20 de ellas
sueltas, y su traducción al lenguaje algebraico será la ecuación que modela nuestra
situación problemática:
5x + 2 = 3x + 20
3) Ahora, resolvemos la ecuación planteada: 5x - 3x = 20 – 2 2x = 18 x = 9
Por tanto, la solución es: hay 9 pelotas en cada cajón.
4) Finalmente, verificamos el resultado encontrado:
5· 9 + 2 = 3· 9 + 20 45 + 2 = 27 + 20 47 = 47 (correcto)
Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 60
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Una ecuación de segundo grado con una incógnita se expresa de la siguiente forma:
2 0 , 0ax bx c a
Siendo a, b, c números reales.
En la ecuación cuadrática encontramos tres términos:
Término lineal
2
Término Término cuadrático independiente
0ax b x c
Las siguientes son ejemplos de ecuaciones cuadráticas:
22 0x
2 1 0x
2 10
5x x
2 12 3 0
2x x
SOLUCIONES o RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA
Las soluciones o raíces de la ecuación cuadrática la podemos calcular con la aplicación
de la Fórmula de Bhaskara.
2
1,2
2 2
1 2
42
4 42 2
b b acx
a
b b ac b b acx x
a a
Ejemplo: resuelve la ecuación cuadrática 23 4 1 0x x
Se observa que: 3 4 1a b c .
Aplicando Bhaskara:
2 1
1,2
2
4 2 14 4 4.3.1 4 4 6 3
2.3 6 4 21
6
xx
x
Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 61
NATURALEZA DE LAS RAÍCES
De acuerdo a la fórmula de Bhaskara, es posible que las raíces sean números reales, pero
también podrían complejos. Para saber esa característica de las raíces analizamos
radicando de la expresión de Bhaskara, al cual se lo denomina discriminante.
DISCRIMINANTE
El discriminante de la ecuación cuadrática: 2 0ax bx c es el número:
= b2 − 4ac
Se presentan tres situaciones a analizar:
i. > 0, las dos raíces son números reales distintos.
ii. = 0, las dos raíces son reales e iguales
iii. < 0, las dos raíces son números complejos.
Ejemplo: analiza el discriminante de la ecuación del ejemplo anterior.
Solución
El discriminante será: 2 24 4 4.3.1 16 12 4b ac
Por lo tanto: 4 0 con este resultado aseguramos que las raíces de la ecuación
serán reales y distintas. Además, no necesitamos resolver la
ecuación para saber esta característica.
COMPLETAR CUADRADOS (otra forma de resolver la ecuación cuadrática)
Veamos el método directamente con un ejemplo.
Ejemplo: Sea la ecuación 23 4 1 0x x , resuelve aplicando el método completar
cuadrado.
Solución
23 4 1 0x x
2 4 13 0
3 3x x
Al coeficiente del término lineal, 43
, lo dividimos en dos y a ese resultado lo elevamos al
cuadrado, es decir: 2
4: 2
3
. A este último lo sumamos y restamos en la ecuación (para
no alterar la igualdad).
Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 62
Quedando:
2 22 4 4 4 1
: 2 : 2 03 3 3 3
x x
2 4 4 4 10
3 9 9 3x x
22 1
03 9
x
22 13 9
x
aplicando raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad, tenemos
22 13 3
x
recuerda que: 2x x
2 13 3
x al quitar las barras de valor absoluto queda:
2 13 3
x tenemos dos soluciones
1 2
2 1 2 13 3 3 3
11
3
x x
x x
Ahora hagamos el camino inverso.
Conocidas las raíces de la ecuación, queremos reconstruirla. Entonces sean las raíces x1 y
x2, podemos escribir la ecuación cuadrática en forma factorizada:
1 2 0a x x x x
Para visualizar mejor, veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo: reconstruye la ecuación cuadrática conocidas sus raíces x1 = 2 y x2 = -1. El
coeficiente del término principal vale 3.
Solución
2 2
3 2 1 0
3 2 0 3 3 6 0
x x
x x x x
Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 63
RELACIÓN ENTRE RAÍCES Y COEFICIENTES
Sea la ecuación 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 , 𝑎 ≠ 0 y sean 𝑥 𝑦 𝑥 , 𝑠𝑢𝑠 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠. Entonces:
𝑥 + 𝑥 = −𝑏
𝑎
𝑥 . 𝑥 =𝑐
𝑎
Ejemplo: reconstruye la ecuación cuadrática conocidas sus raíces x1 = 2 y x2 = – 1. El
coeficiente del término principal vale 3.
Solución
𝑥 + 𝑥 = −𝑏
𝑎
𝑥 . 𝑥 =𝑐
𝑎
2 − 1 = −
𝑏
𝑎
2 . (−1) =𝑐
𝑎
→ 1 = −
𝑏
3 𝑏 = −3
−2 =𝑐
3 𝑐 = −6
Luego, la ecuación será:
𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟔 = 𝟎
Hasta ahora hemos mostrado la ecuación cuadrática completa, es decir, que tiene todos
sus términos. Pero, puede suceder que este en forma incompleta.
FORMAS INCOMPLETAS DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA
2 0 , 0 0ax c a y b
Ejemplo: resuelve la ecuación 22 4 0x
Solución
2 21 22 4 2 2 2 2x x x x x
2 0 , 0 0ax bx a y c
Ejemplo: resuelve la ecuación 22 4 0x x
Solución
1 2
2 2 0 2 0 2 0
0 2
x x x x
x x
2 0 , 0 , 0 , 0ax a b c
Ejemplo: resuelve la ecuación 22 0x
Solución
21 20 0x x x
Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 64
Veamos ahora un ejercicio de aplicación.
Ejemplo: halla dos números naturales consecutivos cuyo producto sea igual al cociente
entre el cuadrado del mayor y 1110
.
Solución
Sean estos números: x y x + 1.
Luego: 21. 1
1110
xx x
22
2 2
2 12
1,2
2
11 10 1
11 11 10 20 10
9 1110
9 ( 9) 4.1.( 10) 9 121 29 10 02.1 2 9 11
12
x x x
x x x x
xx x x
x
los números deben ser naturales, por tanto, x = 10.
Con ello, los números buscados son: 10 y 11.
Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 65
APLICACIÓN
Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 de ancho está rodeado por un camino de
ancho uniforme. a) realiza un esquema de la situación: b) halla el ancho de dicho camino
si se sabe que su área es de 540 m2.
Solución
a)
a = 34 m b = 50 m
el camino que rodea al jardín es de ancho uniforme y
mide e.
b) El área del camino uniforme podemos determinarla de la siguiente manera:
Área camino uniforme = área rectángulo más externo – área del jardín
mino uniforme 2 2caA b e a e ab
2mino uniforme
2
2
2 2 4
4 2
4 168
caA ab be ae e ab
e a b e
e e
Pero resulta que: Área camino uniforme = 540 m2
Entonces: 24 168 540e e
2
2
4 168 540 0
42 135 0
e e
e e
2 1
1,2
2
42 483
42 (42) 4.1.(135) 42 2304 22.1 2 42 48
452
ee
e
** Como el ancho del camino es una longitud, la solución será que el espesor es de 3 m.
a
b
e
Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 66
ECUACIONES RACIONALES
Son aquellas que tienen la forma ( )
0 ( ) 0( )
P xQ x
Q x .
En donde P y Q son polinomios en la variable x.
Las raíces de estas ecuaciones serán los valores de “x” que anulan el polinomio P y no a Q.
Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones racionales
a) 1 2
01 1x x
Para resolver debo excluir x = – 1 y x = 1; porque son valores que anulan los
denominadores de las fracciones. Recuerda, para nosotros la división por cero no
está definida. Entonces:
1 20 1
1 11. 1 2 1
01 1
1 2 20
1 1
xx x
x x
x x
x xx x
3 1 0 1
3 1
13
x por ser x
x
x
b) 2
1 20
1x x x
Debemos excluir: x = 0 y x = 1; son los valores que anulan los denominadores.
1 20 0 , 1
1 1
20
1
x xx x x
xx x
2 0
2
x
x
Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 67
ECUACIONES IRRACIONALES
Las ecuaciones irracionales, o ecuaciones con radicales, son aquellas que tienen la
incógnita bajo el signo radical.
Las siguientes son ecuaciones irracionales: 3 1 2x x 29 2 2x x
Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones irracionales.
a) 8 2x
Elevamos al cuadrado ambos miembros 2 28 2x
Simplificamos exponente 2 y 8 4x
Resultado de la ecuación 12x
Verificamos el resultado
(12) 8 2
4 2 2 2 se verifica
b) 3 3 1x x
Acomodamos y elevamos al cuadrado 2 2
3 1 3x x
Desarrollamos las operaciones dadas 23 1 6 9x x x
Ordenando un poco 2 9 8 0x x
Resolvemos la ecuación cuadrática 1 28 1x x
Verificamos los resultados 12x
8 3 3(8) 1 8
3 25 8 8 8
Para x
se verifica
1 3 3(1) 1 1
3 4 1 5 1
Para x
no se verifica
Finalmente, la solución de la ecuación es: x = 8.
c) 22 6 9 0x x
2 22 9 2 6x x
2 29 4 24 36x x x
23 24 45 0x x
21 28 15 0 5 3x x x x
Ambos resultados verifican la ecuación de origen, por tanto, son soluciones de la misma.
Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 68
INECUACIONES
Dentro del mundo de la resolución de problemas te encontrarás en ocasiones en que la
incógnita que deseas encontrar no tiene tantas restricciones que la hacen ser única para
satisfacer alguna ecuación, existen casos en que la solución puede ser el conjunto
completo de los números positivos, por ejemplo, o todos los números mayores que 3, que
por cierto en ambos casos la cantidad de soluciones son infinitas.
Inecuación
Es una desigualdad en donde algunos términos contienen no solo un
coeficiente numérico sino también una letra (variable o incógnita).
En álgebra, algunos problemas originan inecuaciones en lugar de ecuaciones.
En las inecuaciones no se usa el signo “=”, sino, se usa los signos de desigualdad: >, <, o
.
Al resolver una inecuación, encontramos un conjunto solución.
Aquí tenemos un ejemplo de una inecuación:
4x + 7 ≤ 19
Sólo algunos valores de x satisfacen esa inecuación, por ejemplo:
x = 2 ⇒ 15 ≤ 19
x = 3 ⇒ 19 ≤ 19
Pero sí, por ejemplo, x = 5, la desigualdad no se cumple:
x = 5 ⇒ 27 ≤ 19
Comprueben ustedes que si x = 4 tampoco se cumple que 4x + 7 ≤ 19.
Resolver una inecuación quiere decir determinar todos los valores de la variable que hacen
que la desigualdad sea verdadera. Al contrario que en una ecuación, una inecuación por
lo general tiene infinitas soluciones, las cuales forman un intervalo o una unión de intervalos
en la recta de los números reales. La ilustración que sigue muestra cómo una inecuación
difiere de su ecuación correspondiente:
La ecuación 4x + 7 = 19, tiene como solución x = 3 y la gráfica correspondiente
Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 69
La inecuación 4x + 7 19, tiene soluciones tales que x 3
Su grafica será:
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES
Antes de comenzar a resolver, veamos algunos axiomas.
1) Tricotomía
Sean a, b R, entre ellos solo cumplen una y solo una de las siguientes afirmaciones:
a > b a = b a > b
2) Transitividad
Sean a, b y c R, tales que a < b < c entonces siempre a < c.
3) Adición
Sean a, b y c R, tales que a < b entonces siempre a + c < b + c.
4) Multiplicación
Sean a, b y c R, tales que a < b y c > 0 entonces siempre
a . c < b . c
Observa que…
Del último axioma se deduce entonces que si a < b y c < 0, entonces
a . c > b . c.
En otras palabras, multiplicar una desigualdad por un número negativo
cambiará la dirección de la desigualdad.
Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 70
INECUACIONES LINEALES Ejemplo: Resuelve las siguientes inecuaciones lineales: a) 5 7 12x por el axioma 3, sumamos – 7 en ambos miembros
5 7 7 12 7x
5 5x por el axioma 4, multiplicamos por 15
en ambos miembros
1 15 . 5 .
5 5x por el axioma 4, multiplicamos por
15
en ambos miembros
1x solución de la inecuación , 1S
Gráficamente, la solución será:
b) 3 2 7x por el axioma 3, sumamos – 3 en ambos miembros
3 2 3 7 3x
2 4x por el axioma 4, multiplicamos por 12
en ambos miembros
1 12 . 4 .
2 2x
al multiplicar por un valor negativo, se invierte el signo de
desigualdad
2x solución de la inecuación es: 2,S
Gráficamente, la solución será:
-2 0
0 1
Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 71
INECUACIONES FRACCIONARIAS
Ejemplo: Resuelve las siguientes inecuaciones fraccionarias
a) 1
2x
x
por el axioma 3, sumamos – 2 en ambos miembros
12 2 2
xx
efectuamos las operaciones indicadas
10
xx
por el axioma 4, multiplicamos por – 1 ambos miembros
10
xx
vemos que el cociente entre dos números debe ser negativo,
entonces, deben tener signos contrarios; por ello se presentan
dos posibilidades de solución.
1° posibilidad:
1 0 0
1
x x
x
indica que se realizara “intersección” entre dos intervalos;
De aquí saldrá una solución parcial S1.
1 1, , 0 1, 0S
Gráficamente:
2° posibilidad:
1 0 0
1
x x
x
De aquí saldrá una solución parcial S2.
2 , 1 0,S
Gráficamente:
Finalmente, la solución será: 1 2 1, 0 1, 0S S S
– 1 0
– 1 0
– 1 0
Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 72
b) 9
3x por el axioma 4, multiplicamos por x; teniendo en cuenta que x
puede ser (+) o (-) pero nunca cero. Se presentan 2 posibilidades:
1° posibilidad:
0 9 3
3
Si x x
x
De aquí saldrá una solución parcial S1.
1 0, , 3 0, 3S
Gráficamente:
2° posibilidad:
0 9 3
3
Si x x
x
De aquí saldrá una solución parcial S2.
2 , 0 3,S
Gráficamente:
Finalmente, la solución será: 1 2 0, 3 0, 3S S S
0 3
0 3
0 3
Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 73
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
En general, para resolver inecuaciones con valor absoluto usamos la siguiente tabla:
CASO MODELO SOLUCIÓN
1 |a| < b – b < a < b
2 |a| b – b a b
3 |a| > b a < – b o a > b
4 |a| b a – b o a b
Ejemplo: Resuelve la siguientes las inecuaciones con valor absoluto
a) 2 2 2x sumamos 2 en ambos miembros
2 2 2 2 2x realizamos las operaciones
2 4x aplicamos en ambos miembros
2 2x se observa, |x| = 2x
2x usamos el caso 2 de la tabla
2 2x solución de la inecuación dad. 2, 2S
Gráficamente:
b) 4 1x usamos el caso 3 de la tabla
1 4 4 1x o x resolvemos como si fueran dos inecuaciones
“o” indica unión entre dos intervalos
5 3x o x solución de la inecuación dad. , 3 5,S
Gráficamente:
– 2 2
3 5
Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 74
APLICACIONES
Ejemplo: Lorena tiene 20 años menos que Andrea. Si las edades de ambas, suman menos
de 86 años. ¿Cuál es la máxima edad que podría tener Lorena?
Solución
Edad de Andrea: A = x Edad de Lorena: L = x – 20
El planteo sería: 86A L
20 86
2 106
53
x x
x
x
Por lo tanto, las edades de Andrea y Lorena serían menores que 53 y 33 años.
Por ello, la máxima edad que podría tener Lorena es 32 años.
Matemática UNIDAD 5: FUNCIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 75
FUNCIÓN
Es una relación entre dos conjuntos, llamados dominio y rango, de tal manera que a cada
elemento del dominio le corresponda a lo más, un elemento del rango.
Puedes imaginar a una función como una máquina que transforma números. Nosotros le
damos un número (Entrada) y esta máquina nos devuelve otro número único (Salida).
Fórmulas, grafica cartesiana, enunciado coloquial y tablas con explicación son
lenguajes diferentes para expresar y estudiar una función. Cada una tiene sus
ventajas y limitaciones. Lo ideal sería obtener las cuatro formas, pero no siempre
es fácil, ni siquiera posible.
Por ejemplo un electrocardiograma muestra la grafica de la variacion del ritmo cardiaco
en el tiempo.
Es posible traducir esta gráfica a una tabla, pero no a una fórmula o expresión.
Matemática UNIDAD 5: FUNCIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 76
NOTACIÓN FUNCIONAL
Cuando se refiere a una función f, X se refiere al dominio de la función, Y se refiere al
rango, x ∈ X es un elemento del dominio, f(x) es la imagen que le corresponde al valor x
mediante la función f.
El siguiente diagrama puede ayudarte a entender mejor el concepto de función:
Diremos que “y” es la imagen de “x” a través de la función “f”. En símbolos: y f x
DOMINIO
Es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente “x”.
En símbolos: Dom f.
RANGO
Es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente “y”, es decir
es el conjunto de las imágenes y = f(x). En símbolos: Rgo f.
Una forma representar una función es mediante una en un sistema de ejes coordenados
cartesianos.
Eje de Abscisas: es el eje en donde se representa la variable
independiente. También se lo llama eje X o eje Horizontal.
Eje de Ordenadas: es el eje en donde se representa la
variable dependiente. También se lo llama eje Y o eje
Vertical.
Matemática UNIDAD 5: FUNCIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 77
Por ejemplo, la representación de un punto P (x0, y0) en un sistema de ejes coordenados
indica que: la coordenada x0 se ubica sobre el eje de abscisas y la y0 sobre el eje de
ordenadas, la posición de P queda determinada por las estas coordenadas, como muestra
la gráfica.
Para identificar una función debemos verificar que se cumple la condición que dice: para
cada valor del dominio le corresponde a lo más un valor del rango.
Si no se cumple esta condición, entonces se trata de una relación que no es una función.
Veremos una forma sencilla de verificarlo en el siguiente ejemplo.
Ejemplo: Las siguientes son relaciones que no son funciones.
• x2 + y2 = 4, porque cuando graficamos esta relación,
obtenemos una circunferencia. Si “x” es elemento del
dominio, y “y” es elemento del rango, no se cumple que
para todo elemento del dominio haya a lo más un
elemento del rango.
En este caso, para un valor que le damos a x0 la relación
nos devuelve dos: y0 y (− y0 ).
• y2 = x, porque cuando graficamos obtenemos una
parábola horizontal:
Ahora, para x =3, obtenemos dos valores, 3 y 3 .
Para diferenciar una función de una relación que no es función frecuentemente utilizamos
el criterio de la recta vertical.
Matemática UNIDAD 5: FUNCIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 78
CRITERIO DE LA RECTA VERTICAL
Si al dibujar una recta vertical sobre la gráfica de una relación, ésta puede ser cortada en
dos puntos, entonces, la relación no es una función.
En el ejemplo anterior, al dibujar una recta vertical es posible cortar las gráficas dadas en
dos de sus puntos. Esto nos indica que la gráfica corresponde a una relación que no es una
función. Porque si fuera una función, para cada valor de x debería existir a lo más un solo
valor de y.
Recuerda que…
No todas las relaciones son funciones, pero por definición, todas
las funciones son relaciones.
Entonces, cuando desees verificar si una relación es o no una
función, la graficaremos y le aplicaremos el criterio de la recta
vertical.
Ejemplo: Las siguientes expresiones son funciones.
a) ( )f x x b) 2( ) 1f x x x
c) 2 2 3
( )4
x xf x
x
d) ( ) 3f x x
e) 2
( )4
f xx
f) 25( ) log 1f x x
g) 3( ) xf x e h) ( ) 2f x sen x
Las funciones se aplican muy frecuentemente en nuestra vida cotidiana.
Por ejemplo, cuando vas a enviar un paquete a través del correo, el importe del envío
depende del peso del paquete. En términos matemáticos decimos que el importe está en
función del peso del paquete. Si I es el importe que debemos pagar por un paquete de
peso p, entonces, I = f (p).
Matemática UNIDAD 5: FUNCIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 79
VALOR NUMÉRICO DE UNA FUNCIÓN
Para evaluar el valor que toma la función para un valor x de su dominio, simplemente se
sustituye el valor de x donde aparece la variable en la expresión de la función, luego se
realizan todos los cálculos que quedan indicados por la función. El resultado que obtengas
es el valor que toma la función en ese punto.
Ejemplo: la función f (x) = 3x evaluada en x = 2 es 32 = 9. Observa que solamente basta
sustituir 3 en lugar de x. Realizamos los cálculos y el resultado obtenido es el valor que tiene
la función en ese punto.
INTERSECCIÓN CON EL EJE X – RAÍZ DE UNA FUNCIÓN
La raíz de una función y = f(x) es un valor x0 que hace que f(x0) = 0. La raíz de la función
también se conoce como «cero» de la función.
INTERSECCIÓN CON EL EJE Y
Es el valor que se obtiene de “y” cuando x = 0, siempre que x = 0 pertenezca al dominio de
la función. En símbolos: f(0) = cte.
Matemática UNIDAD 5: FUNCIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 80
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
FUNCIÓN ALGEBRAICA
Las funciones algebraicas son las funciones que pueden obtenerse a partir de operaciones
algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, raíz) entre polinomios.
lg
Polinómicas
Funciones A ebraicas Racionales
Irracionales
Ejemplo: las siguientes son funciones algebraicas
a) ( )f x x b) 2( ) 1f x x x
c) 2 2 3
( )4
x xf x
x
d) ( ) 3f x x
e) 2
( )4
f xx
f) 3( ) 5 6f x x x
FUNCIÓN TRASCENDENTE
Las funciones trascendentes son las funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas
y las trigonométricas inversas.
Trigonométricas
Funciones Trascendentes Logarítmicas
Exponenciales
Ejemplo: las siguientes son funciones trascendentes
a) ( ) log 2f x x b) ( )f x senx
c) 2( ) xf x e d) ( ) lnf x x e
Matemática UNIDAD 5: FUNCIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 81
FUNCIÓN POLINÓMICA
Una función es polinomial si se puede escribir de la forma:
y = an xn + an−1 xn−1 +··· + a2 x2 + a1 x + a0
donde los coeficientes an, an−1, etc., son números reales y los exponentes n,
n − 1, etc., son números enteros no negativos.
El coeficiente an es el coeficiente principal y n es el grado de la función.
Ejemplo: las siguientes son funciones polinomiales.
Función polinomial Grado Coeficiente principal
y mx b 1 m
2
22x
y x 2 12
3 2 5y x x x 3 1
115 3y x 11 requiere desarrollo
Dominio
Para cualquier función polinomial, el dominio siempre será el conjunto de los números
reales. (Dom f = R)
Rango
No podemos decir lo mismo del rango de las funciones polinomiales. Ya que, por lo general,
el rango de una función polinomial será un subconjunto de los reales. (Rgo f R)
Matemática UNIDAD 5: FUNCIONES
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LA FUNCIÓN DE PRIMER GRADO
FUNCIÓN AFÍN
Es la función polinomial de primer grado, tiene la forma:
y = a0 + a1 x , a0 0
La gráfica de la función afín es una recta.
ECUACIÓN EXPLÍCITA DE A RECTA
Cuando definimos la ecuación de 1° grado utilizamos la forma: a x + b =0 ,a 0
Si la convertimos en función obtenemos: y = m x + b
De acuerdo a la definición de función polinomial de primer grado, tenemos que:
a0 = b a1 = m
por la tanto, la expresión:
Término independiente
Término lineal
y mx b
Se conoce como ecuación explícita de la recta.
Siendo “b” es la ordenada al origen y “m” es la pendiente de la recta.
ORDENADA AL ORIGEN
Es el valor donde la recta corta al eje Y. se la determina haciendo: f(0) = b.
PENDIENTE DE UNA RECTA
Es el cociente entre la variación de la variable
dependiente (y) y la variación de la variable
independiente (x) de cualquier punto de la misma.
2 1
2 1
variación en yvariación en x
y y ym
x x x
La pendiente m de la recta nos dice cuánto
debemos subir (en la dirección del eje Y) por cada
unidad que avancemos hacia la derecha (en la
dirección del eje X). En otras palabras, la pendiente
es una razón de cambio.
Matemática UNIDAD 5: FUNCIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 83
La interpretación geométrica de la pendiente, es que, es la inclinación o dirección de la
recta.
El valor de la pendiente determina que una función afín sea CRECIENTE, CONSTANTE o
DECRECIENTE.
A las funciones afines que pasan por el origen de coordenadas (0, 0), se las llama
FUNCIONES LINEALES.
Ejemplo: David necesita comprar pintura para pintar su casa. El litro de pintura le cuesta
$125. Escribe una función que le ayude a calcular el importe “y” al comprar “x” litros de
pintura.
Explica cómo debemos interpretar la pendiente de esta función.
Solución
Sabemos que cada litro cuesta $125.
Si compra “x” litros, el importe “y” será de 125· x pesos.
La función es, entonces: y =125· x
En esta función b = 0, y m =125, el precio de cada litro de pintura.
La interpretación de la pendiente, es que: nos indica el precio unitario de pintura, “Un litro
de pintura cuesta $125”.
m > 0 m < 0 m = 0
Matemática UNIDAD 5: FUNCIONES
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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN AFÍN
Para graficar una función afín, consideramos la ecuación explicita de la recta, y mx b
primero marcamos la ordenada al origen (b) y a partir de ella representamos la pendiente
de la recta (m).
Ejemplo: traza la gráfica de la recta, 1
23
y x
Procedemos de la manera indicada.
1) Ubicamos la ordenada al origen, en este caso b = 2.
2) A partir de esta, trazamos la pendiente. En nuestro caso, esta vale 13
; entonces, desde
la posición de b, me desplazo 3 unidades (variación en X) y de allí me elevo una unidad
(variación en Y). Como la pendiente de la recta es positiva, me elevo una unidad; de
lo contrario, si esta fuera negativa, hubiera descendido una unidad.
Matemática UNIDAD 5: FUNCIONES
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RECTAS PARALELAS
Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales.
𝑟 ∥ 𝑟 ⇔ 𝑚 = 𝑚
Ejemplo: halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 1) y es paralela a y = 5x +
1.
Solución
La ecuación de la recta buscada será: y = m x + b
Como esta es paralela a la recta dada, deberán
tener igual pendiente, entonces: m = 5
Como la recta pasa por el punto (2, 1), las
coordenadas de este verifican la ecuación de la
recta:
1 5 . 2 9b b
Finalmente, la recta buscada será: 𝒚 = 𝟓𝒙 − 𝟗
RECTAS PERPENDICULARES
Dos rectas son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es – 1.
1 2 1 2. 1r r m m
Ejemplo: halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (– 1, 3) y es perpendicular a
y = – 2x + 4.
Solución
La ecuación de la recta buscada será: y = m x + b
Como esta es perpendicular a la recta dada, su
pendiente será: 1
. ( 2) 12
m m
Como la recta pasa por el punto (– 1, 3), las coordenadas
de este verifican la ecuación de la recta:
1 73 . ( 1)
2 2b b
Finalmente, la recta buscada será: 𝒚 =𝟏
𝟐𝒙 +
𝟕
𝟐
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Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 86
OTRAS FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA o FORMA
IMPLÍCITA
0Ax By C
La pendiente de la recta está dada
por
Am
B
ECUACIÓN CANÓNICA o SEGMENTARIA
1x ya b
Los denominadores “a” y “b”
representan a la abscisa y a la
ordenada al origen.
ECUACIÓN PUNTO – PENDIENTE
1 1y y a x x
Es necesario conocer la pendiente
de la recta y un punto de paso de la
misma, P(x1, y1).
ECUACIÓN QUE PASA POR DOS PUNTOS
2 11 1
2 1
y yy y x x
x x
En esta tenemos dos puntos de paso
de la recta, P1(x1, y1) y P2(x2, y2), se
toma a cualquiera de ellos como
punto de paso; la pendiente se
calcula como
2 1
2 1
y yx x
Ejemplo: Sea la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (– 1, 3). Exprésala en sus distintas
formas.
Solución
a) Recta que pasa por dos puntos: 2 11 1
2 1
y yy y x x
x x
3 2 1 1 1 1 52 1 2 1 2
1 1 2 2 2 2 2y x y x y x y x
b) Forma general de la recta o implícita
Partiendo de: 1 52 2
y x 5
2 5 02
xy x y
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c) Forma canónica o segmentaria
Partiendo de: 1 52 2
y x 5 2 2 5 2
152 2 5 5 2 2 5 52
x x x yy y
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Tiene la siguiente estructura:
ax by c
dx ey f
Cada ecuación representa una recta, resolver el sistema implica encontrar la intersección
de ambas rectas (conjunto solución).
CLASIFICACIÓN
determinados: tienen única solución
compatibles
indeterminados: tienen infinitas solucionesSistemas de Ecuaciones Lineales
incompatibles: no tienen solución
RESOLUCIÓN GRÁFICA
Sistema determinado Sistema indeterminado Sistema incompatible
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Ejemplo: resuelve gráficamente el siguiente sistema 1
2 3 12
x y
x y
Solución
Graficando las rectas encontramos que
el sistema tiene solución porque existe
una intersección entre las rectas que
conforman el sistema.
En este caso, la solución es:
x0 = 3 y0 = 4
que corresponden a las coordenadas
del punto P, el sistema es compatible
determinado (única solución).
RESOLUCIÓN ANALÍTICA
Para resolver analíticamente un sistema de ecuaciones lineales existen varios métodos. La
utilización de uno u otro dependerá de cómo está planteado el sistema original.
Método de sustitución
Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones, y luego
reemplazarla en la otra ecuación.
Ejemplo: resuelve el sistema 1
2 3 12
x y
x y
Solución
1 1
2 3 12 2
1 : 1
2 : 2 3 1 12
5 3 12
5 15 3
x y
x y
de y x
en x x
x
x x
Luego, y será:
1 : 3 1 2en y y
** Resultado que se verifica con lo obtenido gráficamente en el ejemplo anterior.
Matemática UNIDAD 5: FUNCIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 89
Método de igualación
Se debe despejar en ambas ecuaciones la misma variable y luego igualar las
ecuaciones obtenidas.
Ejemplo: resuelve el sistema 1
2 3 12
x y
x y
Solución
1 1
2 3 12 2
1 : 1 3
12 22 : y
3igualanado las ecuaciones obtenidas (para y):
12 21
33 3 12 2
5 15 3
x y
x y
de y x
xen
xx
x x
x x
Luego, y será:
3 : 3 1 2en y y
Método de reducción por sumas o restas
Se igualan los coeficientes de una de las incógnitas en ambas ecuaciones
multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndose un sistema
equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones.
Ejemplo: resuelve el sistema 1
2 3 12
x y
x y
Solución
1 1
2 3 12 2
vamos a igualar los coeficientes de x en ambas ecuaciones
1 " 2 " y 2 "por 1" :
2 2 2
2 3 12
:
5 10 2
x y
x y
multiplico la por la
x y
x y
Ahora sumamos las ecuaciones miembro a miembro
y y
Luego, x la obtenemos reemplazando en cualquiera de (1) o (2): x = 3
Matemática UNIDAD 5: FUNCIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 90
Método del determinante
Se calcula el determinante del sistema, luego se arman y calculan los determinantes
de las variables:
. . Determinante del sistemaax by c a b
a e d bdx ey f d e
. .c b
c e f bf exx
. .a c
a f d cd fyy
compatible - indeterminado: infinitas soluciones
= 0
incompatible: sin solución
0 compatible - determinado única solución
Ejemplo: resuelve el sistema 1
2 3 12
x y
x y
Solución
1 11 . 3 2.1 3 2 5
2 3
Como 0, el sistema tiene solución única.
1 1
12 3 3 12 153
5 5 5x
x
1 1
12 22 12 102
5 5 5y
y
Por lo tanto: x = 3 y = 2
Matemática UNIDAD 5: FUNCIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 91
LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
En la unidad 3 estudiamos las ecuaciones cuadráticas. Ahora vamos a estudiar la función
cuadrática, pero considerándola como un caso particular de la función polinomial.
FUNCIÓN CUADRÁTICA
La función polinomial de grado dos:
y = a2 x2 + a1 x + a0 ,a2 0
a esta expresión también se la conoce como función cuadrática.
Su representación gráfica es una PARÁBOLA.
Cuando definimos la ecuación cuadrática utilizamos la forma: a x2 + b x + c =0 , a 0
Si la convertimos en función obtenemos: y = a x2 + b x + c
De acuerdo a la definición de función polinomial de segundo grado, tenemos que:
a0 = c a1 = b a2 =a
por la tanto, la expresión:
Término Lineal
2
Término Términocuadrática independiente
y a x b x c
Se conoce como ecuación general de la parábola.
Los nombres de cada término son importantes, porque la mayor parte de las explicaciones
está basada en estos términos y conceptos.
En matemática, como en cualquier otro lenguaje, las reglas y los nombres de cada una de
sus partes es muy importante.
Ejemplo: Indica el término cuadrático, lineal e independiente de cada una de las
siguientes funciones cuadráticas.
Función Término
2y a x b x c cuadrático lineal independiente
22y x 22 x 0 0
2 15 12
2y x x 25 x 12 x 1
2
2
1005x
y x 2
5x
x 100
2 3 5y x x 23 x x 10
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Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 92
FORMA INCOMPLETA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
1) Funciones de la forma: 2y a x
2) Funciones de la forma: 2y x c
RAÍCES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Son válidos los criterios usados en la Unidad 2 para determinar los ceros de un polinomio, es
decir, la función cuadrática (de grados dos) tiene a lo sumo dos raíces.
Las raíces se determinan resolviendo la ecuación de 2° grado asociada a f(x), esto es f(x) =
0, entonces:
2 0 ec. de 2° gradoax bx c
Para hallar sus soluciones, aplicamos la fórmula de Bhaskara:
2 2 2
1,2 1 24 4 4
2 2 2b b ac b b ac b b ac
x x xa a a
La interpretación geométrica de las raíces de la función cuadrática,
es la intersección de la gráfica de f con el eje X.
0 la parábola es "cóncava hacia arriba"
0 la parábola es "cóncava hacia abajo"
0 1 la parábola se "ensancha"
1 la parábola se "contrae"
a
a
a
a
0 la parábola se desplaza hacia arriba
0 la parábola se desplaza hacia abajo
c
c
Matemática UNIDAD 5: FUNCIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 93
POSICIONES RELATIVAS RESPECTO DEL EJE DE LAS ABSCISAS (EJE X)
Es importante saber la naturaleza de las raíces porque ello nos dirá si la gráfica de la función
cuadrática intersecta o no al eje X. Para ello, basta analizar un parámetro de la fórmula de
Bhaskara, el discriminante.
DISCRIMINANTE
El discriminante de la ecuación cuadrática: 2 0ax bx c es el
número:
= b2 − 4ac
Esto nos origina tres casos para las raíces de una ecuación cuadrática:
i. > 0, las dos raíces son números reales distintos.
ii. = 0, las dos raíces son reales e iguales
iii. < 0, las dos raíces son números complejos.
Veamos gráficamente la interpretación de lo expresado:
El discriminante nos ayuda a conocer la naturaleza de las raíces de una ecuación
cuadrática sin necesidad de resolverla. Basta con conocer el signo del discriminante para
conocer el tipo de raíces que tiene la ecuación cuadrática que estamos estudiando.
DOMINIO
Como la función es polinómica o polinomial, entonces, su dominio es el conjunto de los
reales: Dom f = R
Hay intersección con el eje X.
1 2x x ambas reales.
Hay intersección con el eje X.
1 2x x ambas reales.
No hay intersección con el eje X.
2 1x x son complejas conjugadas.
Matemática UNIDAD 5: FUNCIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 94
RANGO
El rango de la función cuadrática resultara ser un subconjunto del conjunto de los números
reales. El mismo dependerá de si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
Veamos:
Cóncava hacia arriba (a > 0): ,Rgo f k
Cóncava hacia abajo (a < 0): ,Rgo f k
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Para realizar la gráfica de la función cuadrática (parábola) 2( )f x ax bx c , debemos
calcular los elementos relevantes de la parábola y luego representarlos. Estos son:
a) Raíces (o ceros)
Son los puntos de intersección de la gráfica con el eje X, vale decir cuando f(x) = 0.
2 0 ec. de 2° gradoax bx c
Para hallar sus soluciones, aplicamos la fórmula de Bhaskara:
2 2 2
1,2 1 24 4 4
2 2 2b b ac b b ac b b ac
x x xa a a
b) Vértice de la parábola
El vértice de la parábola es un punto que representa el máximo o mínimo valor que toma
la función cuadrática según sea cóncava hacia abajo o hacia arriba (a > 0 o a < 0).
Se representa como: ,V h k
La coordenada h se calcula: 2b
ha
La coordenada k: 2k f h a h b h c
c) Ordenada al origen
Este parámetro representa la intersección con el eje Y, corresponde al valor de “c”.
Lo determinamos haciendo: f(0) = c.
Matemática UNIDAD 5: FUNCIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 95
Ejemplo: representa gráficamente la función 2( ) 2 3f x x x , luego indica concavidad,
dominio y rango de f.
Solución
Observamos que: a = 1 b = 2 c = – 3
Las raíces serán:
12
1,2
2
2 41
22 2 4 1 3 2 4 12 2 42 1 2 2
2 43
2
x
x
x
Las coordenadas del vértice sean:
La coordenada h se calcula: 2
12.1
h
La coordenada k: 21 1 2 1 3 1 2 3 4k f
Por lo tanto, el vértice será: 1, 4V
La ordenada al origen será: 0 3f
Finalmente, la gráfica de f será:
La parábola es “cóncava hacia arriba” ya que a > 0 (a = 1).
Dominio: Dom f R
Rango: 4,Rgo f
Matemática UNIDAD 5: FUNCIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 96
FORMA CANÓNICA DE LA PARÁBOLA
Hasta ahora hemos trabajado con la forma general de la parábola (función cuadrática).
Recordemos su expresión:
2 0y ax bx c a
La forma canónica se la obtiene luego de completar cuadrado en la expresión anterior.
Obteniendo:
2
2 2
2 4
y ax bx c
b ba x c
a a
Expresamos h y k como: 2
2 4b b
h k ca a
Finalmente,
2y a x h k Ecuación Canónica de la Parábola
FORMA FACTORIZADA DE LA PARÁBOLA
Partiendo de la forma general de la parábola (función cuadrática):
2 0y ax bx c a
y conocidas sus raíces 1 2x y x , la expresión de la forma factorizada de la parábola será:
1 2y a x x x x Ecuación Factorizada de la Parábola
Ejemplo: Sea la función cuadrática 23 2 1y x x , determina las formas canónica y
factorizada de la parábola.
Solución
Las raíces son:
12
1,2
2
2 4 16 32 2 4 1 3 2 4 12 2 4
2 3 6 62 4
16
x
x
x
Las coordenadas del vértice sean:
La coordenada h se calcula: 2 1
2. 3 3h
Matemática UNIDAD 5: FUNCIONES
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La coordenada k: 2
1 1 1 1 2 43 2 1 1
3 3 3 3 3 3k f
Por lo tanto, el vértice será: 1 4
,3 3
V
Finalmente:
Forma factorizada: 13 1
3y x x
Forma canónica: 2
1 43
3 3y x
** USA GEOGEBRA Y VERIFICA TUS RESULTADOS **
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Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 98
MÁXIMOS – MÍNIMOS – CRECIMIENTO y DECRECIMIENTO
Veamos directamente un ejemplo de aplicación para aclarar estos conceptos.
Ejemplo: una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 24
m/s. La altura (h, en metros) alcanzada por la pelota en función del tiempo (t, en segundos)
está dada por la expresión:
2( ) 3 24h t t t
Realizando la gráfica, y analizando la trayectoria que describe la pelota, podemos concluir:
el dominio más adecuado para la función,
según la interpretación del problema, es el
conjunto de los reales positivos, es decir: Dom
h = [0, 8].
En este caso, el tiempo pertenece al dominio,
por eso que más allá de los 8 s no tiene sentido
analizar a la pelota.
La altura máxima alcanzada es de 48 m.
Alcanza la altura máxima a los 4 s de haber
sido lanzada.
El intervalo de tiempo en el cual la pelota asciende (desde que es lanzada hasta el
momento en que alcanza su altura máxima) es (0, 4); intervalo de crecimiento.
El intervalo de tiempo en el cual pelota desciende (desde que alcanza la altura máxima
hasta que vuelve a tocar el suelo) es (4, 8); intervalo de decrecimiento.
En general, dada una función cuadrática 2 0y ax bx c a
Se verifica que:
1) Si a > 0, la función:
Alcanza un mínimo en el vértice de la
parábola
Decrece en el intervalo (– , h)
Crece en el intervalo (h, )
Matemática UNIDAD 5: FUNCIONES
Seminario de Ingreso 2020 – UTN – FRT 99
2) Si a < 0, la función:
Alcanza un máximo en el vértice de la
parábola
Crece en el intervalo (– , h)
Decrece en el intervalo (h, )
Ejemplo: Encuentra dos números tales que su suma sea 10 y su producto sea máximo.
Solución
Si consideramos solamente números enteros, tenemos un número infinito de pares de
números que suman 10.
Por ejemplo, 12 y − 2 son uno de esos pares.
Si x es uno de los dos números, el otro será 10 − x, porque al sumarlos obtenemos 10:
x + (10 − x) = 10
El problema exige que el producto de los dos números sea máximo.
Para esto, vamos a definir la función: f(x) = x (10 − x) = 10 x − x2
Ahora el problema se convierte en encontrar el vértice de esta función cuadrática, porque
en él está el valor de x que hace que f tenga su máximo valor. O sea, vamos a calcular las
coordenadas h y k del vértice. Veamos:
, : 1 10 0
105 (5) 25
2.( 1)
Se observa en f que a b c
h k f
Por lo tanto: si x = 5, entonces, 10 − x también vale 5.
Así que los dos números que sumados dan 10 y dan producto máximo son 5 y 5.
Matemática UNIDAD 5: FUNCIONES
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FUNCIONES RACIONALES FRACCIONARIAS
Este tipo de función responde a la forma ( )
( )( )
P xf x
Q x , donde P y Q son polinomios.
DOMINIO
El dominio de una función racional es el conjunto de números reales excepto aquellos
valores de x que anula el denominador.
INTERSECCIÓN CON EL EJE Y
La cual existe si x = 0 pertenece al dominio de la función. Cumplido lo anterior, la
intersección con el eje Y sería el punto (0, f(0)).
INTERSECCIÓN CON EL EJE X (raíces o ceros de la función)
Se obtienen haciendo f(x) = 0. Son los valores de x que pertenecen al dominio de f y que
anulan la función, es decir al polinomio numerador.
Ejemplo: Para las siguientes funciones, determina dominio e intersección con los ejes.
a) 3
( )2
xf x
x
2Dom f R
Intersección con el eje Y
La condición es que x = 0 pertenezca al dominio de f. Vemos que es así, por lo tanto:
0 3 3(0)
0 2 2f
30,
2P
Intersección con el eje X
La condición es que y = 0, luego:
30 , 2
23 0 3
xx
xx x
3, 0Q
Gráficamente
Calculo de las asíntotas
Asíntota vertical (AV): son los valores de x que hacen cero al denominador, pero “no” al numerador (simultáneamente). En nuestro ejercicio, es x = 2. Decimos entonces: la recta x = 2 es asíntota vertical.
Asíntota horizontal (AH): Sea 𝑓(𝑥) =⋯
⋯ una
función racionale fraccionaria. Entonces si: grado(Pnum) < grado(Pden): la recta y = 0 es AH grado(Pnum) = grado(Pden): la recta 𝒚 =
𝒂𝟎
𝒃𝟎 es AH
En nuestro caso, y = 1 es asíntota horizontal. grado(Pnum) > grado(Pden): no hay AH
Matemática UNIDAD 5: FUNCIONES
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b) 2
5( )
9
xf x
x
2 29 0 9 3 3, 3x x x Dom f R
Intersección con el eje Y
La condición es que x = 0 pertenezca al dominio de f. Vemos que es así, por lo tanto:
2
0 5 5(0)
9(0) 9f
50,
9P
Intersección con el eje X
La condición es que y = 0, luego:
2
50 , 3
95 0
5
xx
xx
x
5, 0Q
c) 3
4
8( )
1
xf x
x
Dom f R ** es así ya que el denominador no se anula nunca.
Intersección con el eje Y
La condición es que x = 0 pertenezca al dominio de f. Vemos que es así, por lo tanto:
3
4
(0) 8(0) 2
(0) 1f
0, 8P
Intersección con el eje X
La condición es que y = 0, luego:
3
4
3
3
80
18 0
8 2
x
xx
x x
2, 0Q
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Matemática BIBLIOGRAFÍA
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B I B L I O G R A F Í A
SISTEMA DE INGRESO A LA UNIVERSIDAD UTN – FRT. Argentina 2014
CURSO INTRODUCTORIO – MATEMÁTICAS UTN – FRT. Argentina 1999
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MATEMÁTICA 7 – 8 – 9 EGB (3º ciclo) Editorial A – Z
EL LIBRO DE LA MATEMÁTICA 7 EGB 3 – Editorial Estrada. Argentina
ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA Sullivan, M. Pearson – Prentice Hall. 7° Edición. México 2006
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Frank Ayres Jr. - Serie de Compendios Schaum -
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CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA Swokowski, E.- Grupo Editorial Iberoamericana.