carte de contrôle

Cartes

2014/2015

Cartes de contrôle aux mesures

1: Une introduction à la maîtrise statistique des processus

Deux objets ne sont jamais rigoureusement identiques. Quelles que soient les techniques utilisées pour fabriquer ces objets, si précis soient les outils, il existe une variabilité dans tout processus de production.

L'objectif de tout industriel est que cette variabilité naturelle demeure dans des bornes acceptables. C'est une préoccupation majeure dans l'amélioration de la qualité industrielle.Un des outils utilisés pour tendre vers cette qualité est la Maîtrise Statistique des Processus (MSP).

Si vous produisez un certain type d'objets, et si vous souhaitez conserver vos clients pour pérenniser votre entreprise, vous devez vous assurer que les lots que vous leur livrez sont conformes à ce qui a été convenu entre vous, le plus souvent par contrat.Tout industriel sérieux effectue des contrôles sur les lots produits pour en vérifier la qualité, qu'il en soit le producteur ou bien qu'il les réceptionne. Diverses techniques statistiques liées aux prélèvements d'échantillons sont alors utilisées pour éviter, dans la plus part des cas, de vérifier un à un tous les objets contenus dans un lot. Ce contrôle d'échantillons prélevés dans des lots est indispensable si les contrôles à effectuer détruisent l'objet fabriqué, comme lors d'une analyse de la dose de composant actif contenue dans un comprimé. Il existe cependant des cas où l'on préfère vérifier tous les objets ; il est par exemple souhaitable que les freins d'une voiture fonctionnent et un contrôle du freinage sur un échantillon dans la production d'un lot d'automobiles ne garantie pas que tous les véhicules freinent correctement...

Lorsqu'un lot est contrôlé, il est conforme ou il ne l'est pas. S'il est conforme, on le livre (fournisseur) ou on l'accepte (client). S'il n'est pas conforme, on peut le détruire, en vérifier un à un tous les éléments et ne détruire que ceux qui ne sont pas conformes, etc. Toutes les solutions pour traiter les lots non conformes sont onéreuses. Si le lot n'est pas conforme, le mal est fait. La MSP se fixe pour objectif d'éviter de produire des lots non conformes en surveillant la production et en intervenant dès que des anomalies sont constatées. 1.1 Processus sous contrôleOn dit que le processus de production est sous contrôle, est maîtrisé, lorsque les caractéristiques du produit fabriqué varient peu dans le temps, d'un produit à l'autre et sont conformes à ce que l'on désire obtenir. Dans ce cas, il n'existe pas de cause précise faisant varier les caractéristiques du produit. La variabilité n'est due qu'aux limitations techniques du procédé de fabrication, à des causes aléatoires. Pour savoir si le processus est sous contrôle, on prélève régulièrement de petits échantillons.Si la caractéristique contrôlée est une mesure (poids, taille, concentration, etc), le processus est sous contrôle lorsque la moyenne (l'espérance) dans chaque échantillon de cette caractéristique est égale à une valeur cible μ0 fixée et lorsque l'écart-type dans chaque échantillon est égal à un écart-type naturel 0

1.2 Processus hors contrôle

Un processus hors contrôle, non maîtrisé, est le contraire d'un processus sous contrôle. Le processus est hors contrôle quand il existe une variabilité trop importante ou des caractéristiques non conformes à celles souhaitées. Il peut exister plusieurs causes, dites : causes spéciales, ou encore : causes assignables, à ce dysfonctionnement. Un changement d'équipe, de technicien sur une machine, le dérèglement d'une machine, une panne, des conditions climatiques particulières, etc., peuvent être à l'origine d'un processus hors contrôle. Dans les cas les plus graves, il faut revoir entièrement un processus de fabrication inadapté aux objectifs fixés.

Tests sur les causes assignables selon la norme ISO 8258 (1991)

1.3 La MSPLa Maîtrise Statistique des Processus à pour but de mettre en place des outils statistiques de surveillance des processus de fabrication. L'outil de base de la MSP que nous étudierons est la carte de contrôle. Elle est constituée de tests statistiques paramétriques de conformité.

2. Les cartes de contrôle aux mesures de Shewhart

Le caractère étudié est une mesure (poids, concentration d'un composant chimique, cote, etc.) L'objectif d'une carte de contrôle aux mesures est de détecter la présence de causes assignables de dérèglement du processus de production. Le fondement théorique de conception des cartes de contrôle est que le caractère numérique étudié est réparti dans la population, dans l'ensemble de la production, suivant une loi normale.

2.1 Cartes de contrôle d'étude initiale

Ces cartes sont destinées à la mise sous contrôle du processus. Ces cartes de contrôle sont aussi appelées : cartes de contrôle de phase I, ou encore : cartes de contrôle pour la maîtrise. Leurs paramètres sont déterminés à l'aide de mesures effectuées sur une vingtaine d'échantillons de petite taille.Pour les valeurs des différents coefficients nécessaires aux calculs, on se reportera au tableau des coefficients le l'annexe.

2.1.1 Cartes (Xbar;R)

On adopte le point de vue probabiliste des variables aléatoires. Pour m échantillons prélevés, on note X1;X2; ……..;Xm les m variables aléatoires qui associent à chaque échantillon, la moyenne dans l'échantillon du caractère étudié. On définit alors la variable aléatoire, moyenne des moyennes des échantillons :

m est un estimateur sans biais de la moyenne du caractère dans l'ensemble de la production (population).Un estimateur plus inattendu, que nous n'avons pas encore utilisé est l'estimateur de l'écart type du caractère dans la production. Cet estimateur utilise la variable aléatoire R définie par:

où chaque variable aléatoire Ri associe à chaque échantillon, son étendue. On a alors :

où d2 est un coefficient dépendant de la taille n des échantillons.

Carte de contrôle de la moyenne : carte X bar

La carte de contrôle de la moyenne, ou carte Xbar, est constituée d'une ligne centrale correspondant à la valeur LC = m^, et de deux lignes de contrôle correspondant respectivement aux limites supérieures (LSC) et inférieures de contrôle (LIC). Figurent aussi parfois deux lignes supplémentaires : les limites de surveillance.Dans toute carte de contrôle de Shewhart de phase I, les limites de contrôle ont un écart à la moyenne m ^ égal à 3/racine(n) , pour des échantillons de taille n. On a donc :

Pour obtenir les valeurs de A2, il suffit de se reporter à la table donnée en annexe.Construction de la carte :On prélève (effectivement) m échantillons de taille n. On a alors une réalisation des différentes variables aléatoires présentées ci-dessus.On calcule, avec les règles indiquées, les différentes valeurs prises par ces variables aléatoires.On trace sur la carte de contrôle la ligne centrale et les lignes de contrôle.On porte sur la carte, pour i = 1; ……;m, les points Mi de coordonnées (i; xi), où xi désignela moyenne du caractère étudié dans l'échantillon numéro i.

Règle de décision :

si tous les points Mi sont situés entre les linges de contrôle, le processus est déclarémaîtrisé ; si des points Mi sont situés en dehors des limites de contrôle, le processus est déclarénon maîtrisé.

Si le processus est déclaré non maîtrisé, il est bon de comprendre dans quelles circonstances les échantillons ont été prélevés pour tenter de cerner si le processus est globalement inadapté ou s'il existe des causes spéciales à la variabilité excessive des moyennes.

Exemple: Dans une laiterie, un nouveau processus de production de plaquettes de 250 g de beurre est mis en service. On a prélevé vingt échantillons de quatre plaquettes chacun et on a pesé chaque plaquette avec une balance de précision.

Exemple 1

191715131197531

255

254

253

252

251

250

249

248

247

246

Echantillon

Moyenne d

e l'

éch

anti

llon

__X=250,15

LCS=254,348

LCI =245,952

Carte X barre

golden<-read.table("C:/Users/Hamid CHAKIR/Desktop/fermeté.txt",header=T) attach(golden) edit(golden)fermete<- qcc.groups(fermete, nb)t<-qcc(fermete,type="xbar",nsigmas=3,plot=FALSE)t<-qcc(fermete,type=« xbar",nsigmas=3,plot=TRUE)

carte<-qcc(y,type=« xbar",nsigmas=3,plot=FALSE)process.capability(t, spec.limits=c(76,94), target=85)diameter <- qcc.groups(diameter, sample)

Commandes pour tracer les cartes (Xbar, R) et (Xbar,S) avec le logiciel R

q <- ewma(t, lambda=0.2, nsigmas=3, plot = TRUE)

Carte de contrôle de l'étendue : carte ROn souhaite ici visualiser, mettre en évidence, les variations de l'étendue. La conceptionde la carte de Shewhart de l'étendue, pour la phase I, utilise des coefficients : d3, dépendant de la taille n des échantillons. Pour cette carte on a :

Construction de la carte :On prélève (effectivement) m échantillons de taille n. On a alors une réalisation des différentes variables aléatoires présentées ci-dessus. On calcule, avec les règles indiquées, les différentes valeurs prises par ces variables aléatoires.Il peut arriver que le calcul, à l'aide de d2 et d3, de la limite inférieure de contrôle donne un résultat négatif. Dans ce cas, la limite de contrôle utilisée pour la carte est 0. Il est bien sûr souhaitable que l'étendu soit aussi proche de la valeur 0 que possible, ce qui traduit une variabilité faible du caractère numérique étudié.On trace sur la carte de contrôle la ligne centrale et les lignes de contrôle.On porte sur la carte, pour i = 1; …..;m, les points Mi de coordonnées (i; ri), où ri désignel'étendue du caractère étudié dans l'échantillon numéro i.

Règle de décision :- si tous les points Mi sont situés entre les linges de contrôle, le processus est déclarémaîtrisé ; - si des points Mi sont situés en dehors des limites de contrôle, le processus est déclaré non maîtrisé.

191715131197531

14

12

10

8

6

4

2

0

Echantillon

Etendue é

chantillo

n

_R=5,76

LCS=13,15

LCI =0

2

Carte R

2.1.2 Cartes (Xbar;S)

Pour m échantillons prélevés, on note X1;X2; …. ;Xm les m variables aléatoires qui associent à chaque échantillon, la moyenne dans l'échantillon du caractère étudié. On définit les m variables aléatoires S1; S2; …..; Sm qui à chaque échantillon associent l'écart type de l'échantillon. Attention ! L'écart type est ici celui déjà utilisé en estimation, c'est l'estimateur ponctuel de l'écart type de la population. On définit alors la variable aléatoire, moyenne des moyennes des échantillons :

^ m est un estimateur sans biais de la moyenne du caractère dans l'ensemble de la production (population).On choisit comme estimateur sans biais de l'écart type, la variable aléatoire définie par :

Exemple 2 Dans l'exemple 1, une première série de mesures a été effectuée. On renouvellele prélèvement d'échantillons. Les nouvelles mesures sont reportées ci-dessous. Le calcul des écarts types est réalisé à l'aide de la formule :

Exemple 2

La construction de la carte X et les règle de décision sont identiques à celles de la carte X décrites pour les cartes (X;R).

Carte de contrôle de l'écart type : carte S

Cette carte est destinée à visualiser les variations de l'écart type des mesures. Elle utilise les paramètres suivants :

Pour déterminer les valeurs de B3 et B4, on consultera la table des valeurs de B3 etB4, en fonction de la taille n des échantillons. La construction de la carte S est similaire à la construction de la carte R. Exercice : Construire la carte S.Lorsque les cartes de contrôle de phase I font apparaître un processus maîtrisé, leurs paramètres peuvent être utilisés pour des cartes de phase II lors de la surveillance de la production en temps réel.

2.2 Cartes de contrôle aux valeurs standardCes cartes de contrôle sont également appelées : cartes de contrôle de phase

II. Elles sont utilisées pour le suivi du processus en temps réel. Les valeurs standard de ces cartes sont établis au préalable et constituent des valeurs cibles. On note m0 la valeur cible de la moyenne, et s0 la valeur cible de l'écart type. Ici, LC, LSC et LIC ne sont plus des variables aléatoires, mais des valeurs numériques fixées suivant des règles bien précises.Les cartes de Shewhart sont caractérisées par des limites de contrôle situées à trois écarts type de part et d'autre la tendance centrale.Les bases probabilistes de ces cartes sont dues au fait que l'on considère que la variable aléatoire associée aux mesures suit la loi normale N(m0; s0). Pour les cartes de Shewhart, la probabilité de fausse alerte (risque de première espèce) est approximativement égale à 0,0027.

Carte X de ShewhartLes paramètres de cette carte sont :

(Voir l'annexe pour les valeurs de A en fonction de la taille n des échantillons)

Carte R de ShewhartLes paramètres de la carte de contrôle de l'étendue sont : LC = d2s0 LSC = d2s0 +3 d3s0 LIC = d2s0 -3 d3s0

la LIC étant fixée à 0 en cas de résultat négatif.

On pose D5 = sup {d2 - 3d3 , 0} et D6 = d2 + 3d3. Les paramètres s'écrivent alors :

LC = d2s0 LSC = D6s0 LIC = D5s0 (Voir l'annexe pour les valeurs de D5 et D6 en fonction de la taille n des échantillons)La construction et la règle de décision sont identiques à celles d'une carte de phase I.

Carte S de ShewhartLes paramètres sont :

la LIC étant fixée à 0 en cas de résultat négatif.

On pose:

Les paramètres s'écrivent alors :LC = c4s0 LSC = B6s0 LIC = B5s0

(Voir l'annexe pour les valeurs de D5 et D6 en fonction de la taille n des échantillons)

2.3 Tableau récapitulatif pour les cartes de contrôle aux mesures de Shewhart

Estimation de sn d2 d3 c42 1,128 0,853 0,79793 1,693 0,888 0,88624 2,059 0,880 0,92135 2,326 0,864 0,94006 2,534 0,848 0,95157 2,704 0,833 0,95948 2,847 0,820 0,96509 2,970 0,808 0,9693

10 3,078 0,797 0,972711 3,173 0,787 0,975412 3,258 0,778 0,977613 3,336 0,770 0,979414 3,407 0,762 0,981015 3,472 0,755 0,9823

Coefficients d2;d3 et c4

Carte X bar R(phase I) Carte X bar S(phase I) Carte X bar R(phase II) Carte S (phaseII)n A2 D3 D4 A3 B3 B4 A D5 D6 B5 B62 1,881 0 3,269 2,659 0 3,266 2,121 0 3,687 0 2,6063 1,023 0 2,574 1,954 0 2,568 1,732 0 4,357 0 2,2764 0,729 0 2,282 1,628 0 2,266 1,500 0 4,699 0 2,0885 0,577 0 2,114 1,427 0 2,089 1,342 0 4,918 0 1,9646 0,483 0 2,004 1,287 0,030 1,970 1,225 0 5,078 0,029 1,8747 0,419 0,076 1,924 1,182 0,118 1,882 1,134 0,205 5,203 0,113 1,8068 0,373 0,136 1,864 1,099 0,185 1,815 1,061 0,387 5,307 0,178 1,7529 0,337 0,184 1,816 1,032 0,239 1,761 1,000 0,546 5,394 0,232 1,707

10 0,308 0,223 1,777 0,975 0,284 1,716 0,949 0,687 5,469 0,277 1,66911 0,285 0,256 1,744 0,927 0,322 1,678 0,905 0,812 5,534 0,314 1,63712 0,266 0,284 1,716 0,886 0,354 1,646 0,866 0,924 5,592 0,346 1,60913 0,249 0,308 1,692 0,850 0,381 1,619 0,832 1,026 5,646 0,374 1,58514 0,235 0,329 1,671 0,817 0,407 1,593 0,802 1,121 5,693 0,399 1,56315 0,223 0,348 1,652 0,789 0,428 1,572 0,775 1,207 5,737 0,420 1,544

2.4 Annexe : coefficients des cartes de Shewhart

Tab. 1 Coefficients des cartes de Shewhart en fonction de la taille n des échantillons

4 Carte de contrôle aux médianes et étenduesLa carte de contrôle aux médianes présente aussi des possibilités intéressantes. La médiane est la valeur telle qu’il y a autant de valeurs d’un côté que de l’autre Le symbole représentant la médiane est . Le rang de la valeur médiane se calcule en appliquant :rang = (n+1)/2

Exemple : soit 5 valeurs (11, 12, 13, 16, 16) arrangées dans l’ordre croissant, la médiane est la valeur telle qu’il y ait 2 valeurs de part et d’autre, c’est donc 13dans ce cas (rang = (5+1)/2 = 3ème valeur).

Avantage de la carte des médianesCette carte ne nécessite aucun calcul, contrairement aux cartes aux moyennes. Ainsi, dans le cas de cartes de contrôle tenues manuellement, cela peut être très intéressant. De plus, le fait de reporter les valeurs individuelles et de repérer la médiane permet à l’opérateur de bien dissocier les deux aspects du pilotage des procédés :l’action sur les produits (bon/ pas bon) fondée sur les valeurs mesurées;l’action sur le procédé (réglage) fondée sur la médiane.

Inconvénient de la carte aux médianesBien que plus facile d’utilisation que la carte des moyennes, elle ne donne pas une aussi bonne finesse d’analyse que cette dernière. Son efficacité est donc un peu moins bonne. Toutefois, compte tenu de sa facilité de mise en œuvre, nous conseillons d’utiliser cette carte au lieu de la carte de contrôle des moyennes dans le cas d’un suivi manuel.Calcul des limites:les limites se calculent de la même façon qu’une carte aux moyennes ; seul le coefficient A2 est remplacé par le coefficient

n 2 3 4 5 6 7 8 9

1.88 1.19 0.79 0.69 0.55 0.51 0.43 0.41

Coefficients pour la carte aux médianes

Exercice d’application: Un contrôle est effectué toute les 30 minutes sur trois contenants pour vérifier le volume en ml d’une boisson gazeuse. On veut mettre en œuvre une carte de contrôle pour la valeur médiane de chaque sous-groupe ainsi que l’étendue.

N° X1 X2 X31 744 753 7512 754 757 7513 744 751 7494 744 744 7515 749 754 7576 752 751 7507 750 748 7518 757 747 7539 749 748 752

10 741 746 74911 749 748 74312 750 752 74713 755 747 75114 749 755 75415 745 745 74016 757 755 75217 747 751 75818 743 748 75119 747 751 75320 749 749 75021 757 750 75822 755 747 75323 753 748 75424 756 754 74925 743 748 74826 751 748 75327 750 756 74228 750 747 752

Exemple 4

5 Carte de contrôle pour mesures individuelles

Il arrive que, pour certains procédés industriels, on ne peut former de sous-groupes (test destructif, viscosité d’un mélange, poids d’un moule servant à la pâtisserie,…. ) et que l’on doive se contenter d’une seule donnée (n=1). On ne peut alors mettre en œuvre les cartes Xbar et R. Une carte de contrôle qui est alors appropriée est la carte X, accompagnée d’une carte de l’étendue mobile entre deux valeurs successives.

Détermination de l’étendue mobile REM

On enregistre les valeurs individuelles X; on détermine par la suite l’étendue mobile (on retient la valeur absolue) entre deux valeurs successives:

Ainsi pour une série de k données, on obtient(k-1) étendues mobiles, dont la moyenne est:

est la ligne centrale pour la carte de l’étendue mobile et sert également à obtenir une estimation de l’écart type:

Puisque l’étendue est calculée avec 2 données (n=2).

Calcul des limites de contrôle

Les limites de contrôle pour la carte REM sont:

Les limites de contrôle pour la carte X sont habituellement basées sur un écart de ± 3

Exercice: Dans un procédé industriel continu de fabrication de pâtisserie, on veut contrôler le poids du moule (comportant une quarantaine de cavités dans lesquelles est déposée une pâte crue). La vitesse de la ligne de production ne permet pas de peser plus d’un moule lors de l’échantillonnage du procédé (qui est effectué environ aux 15 minutes).Une cinquante de données ont été obtenues et on veut établir une carte X et une carte d’étendue mobile REM.

Poids X (g) Poids X (g) Poids X (g) Poids X (g) Poids X (g)567 564 564 563 567565 561 568 562 566566 561 565 567 569564 563 563 565 563568 565 566 566 563564 563 568 569 560568 566 562 565 566565 565 563 562 565563 564 564 567 567561 570 564 569 564

Exemple 5

6 Les Cartes EWMA et CUSUM

Nous avons abordé dans les parties précédentes, les cartes de contrôle basées sur le principe de Shewhart. Cependant, l’efficacité dans la détection d’un décentrage des cartes, basée sur la moyenne d’un sous-groupe, peut être largement améliorée en utilisant d’autres cartes de contrôle: les cartes EWMA (Exponentially weighted Moving Average) ou les cartes Cusum (Cumulative Sum).

Les cartes de contrôle EWMA commencent à être utilisées dans les entreprises car elles sont - pour les faibles dérives – beaucoup plus performantes que les cartes de contrôle de Shewhart de type Xbar/R. L’interprétation d’une carte EWMA est assez facile pour l’opérateur, elles remplace efficacement les cartes de Shewhart.

Les cartes CUSUM sont encore plus performantes que les carte EWMA, mais cette performance se paye par une plus grande complexité dans la mise en œuvre et dans l’interprétation des cartes. Nous réservons donc leur application aux cas délicats.

6-1 Les Cartes EWMA

EWMA représente les initiales de Exponentially weighted Moving Average qui peut se traduire par moyenne mobile à pondération exponentielle. Ces cartes sont très adaptées dans les cas suivants: détection de petits écarts par rapport à la cible; suivi des valeurs individuelles.

6-1-1 Principe de la Carte EWMAConsidérons la carte de contrôle de Shewhart aux valeurs individuelles. Dans cet exemple, la moyenne historique est de 10 et l’écart type de 1.

Exemple 6

La carte aux valeurs individuelles ne détecte pas le décentrage obtenu à partir de la 10ème valeur. La raison de cette non-détection est que l’on tient pas compte de l’historique dans la détermination d’un point hors contrôle.

Dans la carte EWMA, pour chaque point, on va tenir compte de l’historique des valeurs mesurées. Pour chaque échantillon, on calcule une moyenne pondérée par un coefficient λ telle que:

-λ ≤ 1 une constante (on prend souvent λ = 0.2)-M0 valeur initiale = cible

Par exemple (M0 = 10):-Pour le point 1: M1=0.2*9.60+0.8*10=9.84-Pour le point 2: M2=0.2*9.22+0.8*9.84=9.72-………

On détectera la présence d’une cause spéciale lorsque Mi franchira une limite supérieure ou inférieure de contrôle.

6-1-2 Calcul des limites: Comme dans tous les cas précédents, on fixe généralement les limites de contrôle à ±3 . D’une manière générale, on peut fixer les limites à L afin d’optimiser le risque α.

Prenons le cas d’un suivi d’une moyenne calculée sur n mesures. Le cas où on suit des valeurs individuelles est un cas particulier avec n=1.

On montre que si les moyennes Xi sont distribuées de façon aléatoire avec comme écart type , l’écart type de la répartition des Mi est alors de :

Avec i le numéro de l’échantillon. Les limites sont alors égales à:

Les limites dépendent donc du N° de l’échantillon, mais convergent très vite vers une droite. Lorsque i augmente, le terme tend vers 1.

Les limites deviennent donc:

Ces limites sont deux droites qui dépendent du coefficient λ, de la taille des échantillons n et bien sûr de l’écart type . Souvent , on prend L=3.

q <- ewma(X, n,cible,ecart type,lambda=0.2, nsigmas=3, plot = TRUE)

La valeur indiquée sur la carte donne l’estimation de la valeur du procédé. Dans notre cas, la carte EWMA a détecté un décentrage de 1 (ce qui n’était pas le cas pour la carte de contrôle de Shewhart aux valeurs individuelles). Le franchissement des limites indique la présence d’une cause spéciale.

Interprétation

Exemple avec n > 1

N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

X129,

727,

320,

923,

423,

626,

425,

829,

026,

517,

326,

122,

721,

322,

622,

922,

026,

619,

524,

022,

719,

213,

815,

822,

323,

8

X224,

227,

723,

228,

528,

326,

024,

725,

123,

027,

224,

220,

319,

824,

224,

720,

630,

521,

316,

817,

918,

413,

122,

017,

717,

5

X323,

826,

521,

425,

923,

222,

223,

124,

626,

126,

324,

323,

225,

122,

818,

926,

621,

325,

518,

621,

419,

921,

824,

421,

718,

0

Prenons le cas d’un suivi de procédé de dépôt catalytique. On suit l’épaisseur de dépôt à partir d’un prélèvement de trois pièces par lot. La caractéristique est suivie par deux types de carte (Xbar, R phase 1 et EWMA) sur la moyenne de ces trois valeurs. Le tableau suivant donne le relevé observé :

Sachant que la cible =25; l’écart type historique 3.1 et le coefficient λ = 0.2; tracer les deux types de cartes de contrôle et conclure.

Exemple 7

Conclusion : Sur cet exemple également, on note l'efficacité de la détection avec la carte EWMA (détection au point 19) par rapport à la carte traditionnelle de Shewhart (détection tardive au point 22).

6-2 Les Cartes CUSUM

CUSUM vient de l’anglais Cummulative Sums que l’on peut traduire par sommes cumulées.

6-2-1 Principe

Le principe de la carte de contrôle CUSUM est de sommer le cumul des écart par rapport à la valeur cible. Si le procédé s’éloigne de cette valeur cible, le cumul des écarts va croître et dépasser une limite H qui permettra de détecter ce décentrage.Pour détecter le décentrage pour une suite d’échantillons, on forme la suite des sommes cumulées suivantes:

La première somme S Hi sert à détecter un décalage du côté positif de la moyenne, S Li du côté négatif

Le signal hors contrôle est détecté chaque fois qu’une des deux sommes excède une valeur limite, notée H calculée à partir de la relation H=h*x h est choisi entre 4 et 5 en fonction de l’efficacité souhaitée de la carte de contrôle. Avec h=4 on augmente le risque alpha (fausse alarme). Avec h=5 on augmente le risque (détection tardive).

La valeur k est souvent choisie comme étant la moitié du décalage de la moyenne que l’on souhaite détecter. K est généralement fixé à 0.5 pour détecter un décentrage de 1 écart type

6-2-2 Exemples d’applicationEx1:CUSUM sur valeurs individuelles: Pour illustrer le principe d’une carte CUSUM, nous allons nous appuyer sur l’exemple 6 que nous avons traité avec une carte EWMA (mesure de diamètre )Conditions de la carte CUSUM La cible = 10 L’écart type =1 La taille de l’échantillon =1 L’écart que l’on veut détecter est de 1 écart type, on prendra donc k = 0.5 On souhaite augmenter le risque donc les limites seront fixées avec h =5

Evaluation de la capabilité d’un procédé

Définition: La capabilité d’un procédé est la variation que présente un procédé lorsque celui-ci est affecté uniquement par les causes communes, toutes les causes spéciales pouvant affecter le procédé ayant été éliminées. Elle correspond à la meilleure performance du procédé lorsque celui-ci est maîtrisé statistiquement.

Détermination de capabilité d’un procédé stable : On peut évaluer la performance d’un procédé en déterminant la capabilité d’un procédé stable et ceci de deux façons:1) En calculant la proportion d’unités de production non conformes aux

spécifications (spécifications : correspondent aux valeurs maximale Ts et minimale Ti que doivent respecter les mesures individuelles de la grandeur mesurable).

2) En calculant un indice de capabilité ou indice d’aptitude du procédé.L’évaluation de la capabilité suppose les conditions d’application suivantes: que la fabrication s’effectue à un rythme régulier et que les cartes de

contrôle indique que la caractéristique de qualité est maîtrisée statistiquement;

que la caractéristique de qualité est une grandeur mesurable et qu’elle est distribuée selon une loi normale.

Estimation de la proportion de non conforme

Pour déterminer la proportion de pièces non-conformes, on doit suivre les 5 étapes suivantes:

1. Estimer l’écart-type à l’aide de la carte R ou à l’aide de la carte s (selon le cas)

2. Estimer la moyenne globale de la distribution de la caractéristique de qualité. 3. Déterminer la proportion d’unités conformes en unité d’écart-type.

4. Déterminer la proportion d’unités conformes à l’aide des valeurs de la table de la loi normale centrée réduite. , cette proportion correspond à la probabilité d’observer une valeur entre z et 0 soit P(z1<Z<0)=P1 et la probabilité d’observer une valeur entre 0 et z2 soit P(0<Z<z2)=P2. La probabilité qu’une valeur soit entre z1 et z2 est égale à (P1+P2).

5. Déterminer la proportion d’unités non-conformes à l’aide de la formule suivante :

Exercice d’application:

Indice de capabilité

Pour évaluer la Capabilité du procédé, il faut obtenir une estimation de l’écart-type de la caractéristique de qualité :

L’indice de capabilité du procédé (Cp ) est le rapport entre l’intervalle de tolérance et la dispersion globale du procédé de fabrication.

La comparaison des valeurs d (étendues de variations) et Tol (intervalle de Tolérances)

En traçant d et Tol sur un même graphique, cela nous conduit à envisager trois cas :Le cas 1:La tolérance est supérieure à la variation

Il doit donc être possible de ne produire que très peu d’éléments de sortie non conformes. Remarquons que dans ce cas le rapport Tol/d est supérieur à 1

Le cas 2:La tolérance est égale à la variation

Il doit donc être possible de ne produire que très peu d’éléments de sortie non conformes, mais il n’y a aucune marge de manœuvre. Remarquons que dans ce cas le rapport Tol/ d est égal à 1.

Le cas 3: La tolérance est inférieure à la variation

Il y a donc production d’éléments de sortie non conformes en nombre non négligeable. Remarquons que dans ce cas le rapport Tol/d est inférieur à 1.

Le rapport Tol/d est appelé Cp (Capabilité) ou IAP (Indice d’Aptitude du Processus).

Les différents indices utilisés

Le mot indice est une traduction possible de l’anglais index. La lettre C indique une capabilité (court terme) et la lettre P indique une performance (long terme). Le long terme intègre les causes assignables (ou spéciales) et aléatoires (ou communes). Le court terme n’intègre que les causes aléatoires (ou communes).L’indice normaliséLe seul indice normalisé Iso est IAP (Indice d’Aptitude du Processus), ou Cp dans la norme Iso 8258.Les indices définis par le QS-9000

R/d2 est l’estimation de l’écart type à partir de la moyenne des étendues d’échantillons.

1- Cp

2- Pp

3-Cpk

4- Ppk

● Luan Jaupi quantifie la capabilité d’un processus à l’aide du Cp et parle de performance pour le Cpk. Pp et Ppk ne sont pas mentionnés.● Sans l’imposer, la démarche « six sigma »[L.Jaupi propose de déterminer Cp et Cpk puis de tolérer, à terme, un déréglage de 1,5 sigma. Dans ce cas, Pp et Ppk sont inutiles. Le coefficient 1,5 appliqué à l’écart type peut être discuté à partir de l’efficacité de la carte de contrôle.

Remarques● Dans le QS-9000, la différence entre capabilité et performance provient de la manière d’estimer l’écart type. L’écart type estimé à partir de la moyenne des étendues d’échantillons de faible effectif (5 par exemple) quantifie généralement une variabilitéà court terme, le temps de fabriquer 5 pièces. À l’opposé, l’écart type estimé avec sigma n – 1 prend en compte la variabilité totale du processus sur une longue durée, le temps de prélèvementpériodique de 25 échantillons. On parlera dans ce dernier cas de long terme.

Qualification du procédé selon l’indice Cpk

Effet sur les indices de capabilité d’un décentrage du procédé

Relation entre Cp et Cpk

Remarques sur les indices de capabilité

Exercice d’application:

Dureté d'une pièce mécaniqueUne entreprise fabrique une pièce mécanique dont la dureté est la caractéristique principale. Cette caractéristique dépend de la composition des matières premières, de leur mélange, de la température, de la pression du moulage... L'entreprise veut contrôler le procédé de fabrication a l'aide de cartes de contrôle pour la dureté moyenne des pièces et l‘étendue de la dureté pour chaque échantillonnage. Le mode de contrôle consiste à prélever 5 pièces du procédé de fabrication et ceci a chaque demi-heure et de mesurer sur chaque pièce la dureté. Vingt échantillons ont été prélevés.

Dureté

N° ECH. X1 X2 X3 X4 X51 80 86 88 83 822 85 83 81 82 833 87 87 87 88 824 84 85 84 85 875 87 84 89 83 876 85 81 78 80 867 85 89 84 82 848 84 85 85 88 879 78 87 82 82 87

10 86 84 83 84 8511 82 88 85 81 8812 79 84 81 79 8713 85 85 82 85 8514 85 84 88 86 8315 88 83 80 85 8816 89 83 85 84 8517 83 90 87 86 8418 84 84 82 86 8319 81 82 85 87 8720 84 86 85 85 87

Dans l'entreprise Rockwell, on teste la dureté des pièces dont les spécifications sont [76; 94]. On accepte l'hypothèse gaussienne et la stabilité de la loi, on obtient:

pour n= 5 :1) Proposer une estimation de 2) Calculer l'indice de capabilité Cp.3) Calculer le Cpk.

Exercice : Proportion de non conformesUne machine fabrique des pièces qui doivent respecter les spécifications suivantes : 78±12. Pour 28 échantillons consécutifs de taille n = 4, on a obtenu:

On suppose que le procédé est stable.1. Estimer l‘écart type de la caractéristique de qualité.2. Quelle est la proportion de pièces non conformes par défaut ? Par excès ?3. Dans une fabrication de 50 000 pièces, combien de pièces seront vraisemblablementconformes aux spécifications ?

Cartes de contrôle aux attributs

Les cartes de contrôle aux mesures rendent compte de l'évolution d'un caractère numérique : une mesure, durant le processus de production. Les cartes de contrôle aux attributs sont destinées à surveiller la qualité de la production de façon plus grossière : conformité ou non conformité, nombre de défauts.Toutes les cartes de contrôle aux attributs sont des cartes de Shewhart, cartes caractérisées par des limites de contrôle situées à trois écarts types de part et d'autre de la ligne centrale.1 La carte pLa carte p permet de suivre la proportion de produits non conformes. Soit X la variable aléatoire qui à une unité produite associe la valeur 1 si l'unité est non conforme et la valeur 0 si l'unité est conforme. La proportion p d'unités non conformes dans l'ensemble de la production correspond à la probabilité pour que X prenne la valeur 1. X suit la loi de Bernoulli B(p).Lorsqu'un échantillon de n unités est tiré dans l'ensemble de la production, on sait que la

variable aléatoire qui à un tel échantillon associe le nombre d'unités non conformes

dans l'échantillon suit :

la loi hypergéométrique H (N; pN; n), N étant le nombre d'unités de toute la production, lorsque le tirage de l'échantillon est un tirage sans remise ; la loi binomiale B (n; p) lorsque le tirage de l'échantillon est un tirage avec remise, ou considéré comme tel si la taille de l'échantillon est inférieure à 10% de la taille de la population. Pour une carte p, nous nous placerons dans le second cas. Alors, la variable

aléatoire qui a chaque échantillon de taille n associe la proportion

d'unités non conformes dans cet échantillon a pour moyenne : p, et pour écart type :

La construction d'une carte p n'a de sens que si l'on prélève des échantillons de quelques centaines d'unités.1.1 Carte p de phase IILa proportion théorique d'unités non conformes étant p, les limites de la carte p de Shewhart sont, pour un échantillon de taille ni :

On remplace systématiquement LIC par 0 si le calcul de LIC donne un résultat négatif. On remarquera que les limites de contrôles varient en fonction de la taille de l'échantillon. Pour éviter cette variation, on considère que les échantillons ayant une taille comprise entre 0.75 nbar et 1.25 nbar comme égale à nbar (nbar= taille moyenne des échantillons) .Pour chaque échantillon prélevé de ni unités, on calcule la proportion de non conforme :

pi = Di /ni

Di : nombre de pièces non conformes dans l’échantillon i de ni unités

Sur la carte de contrôle, on porte la ligne centrale, les limites de contrôle et les points Mi de coordonnées (i; pi). Si tous les points Mi sont situés entre les limites de contrôle, le processus est déclaré maîtrisé ; dans le cas contraire, le processus est déclaré non maîtrisé.

1.1 Carte p de phase I

Comme pour toute carte de phase I, les paramètres de la carte doivent être estimés à l'aide d'une vingtaine d'échantillons. On calcule :

où Di est le nombre d'unités non conformes dans l'échantillon i de ni unités, pour chacun des m échantillons prélevés. Ainsi, le nombre p bar est égal à la proportion d'unités non conformes dans les m échantillons prélevés.Les paramètres de la carte p de phase I sont alors :

Exemple 1: Carte p d'étude initiale.

Exemples: Carte par attributs

2 La carte npLa carte p permet le suivi de la proportion d'unités non conformes ; la carte np permet, elle, le suivi du nombre d'unités non conformes. Cette carte est une carte de Shewhart : les limites de contrôle sont situées à trois écarts types. Pour cette carte, les échantillons doivent tous être de même taille. Comme pour la carte p, la carte np nécessite de prélever des échantillons de grande taille (quelques centaines d'objets).Le nombre d'unités non conforme est np. C'est le produit de la taille des échantillons : n,avec la proportion d'unités non conformes : p.

2.1 Carte np de phase IIOn suppose que le nombre théorique d'unités non conformes dans les échantillons de n unités est : np. On pose q = 1 - p. Les paramètres de la carte de phase II sont alors :

Si la valeur LIC calculée ci-dessus est négative, elle est remplacée par 0 pour la construction de la carte. Sur la carte de contrôle, on porte la ligne centrale, les limites de contrôle et les points Mi de coordonnées (i; ni), ni étant le nombre d'unités non conformes dans l'échantillon i. Si tous les points Mi sont situés entre les limites de contrôle, le processus est déclaré maîtrisé ; dans le cas contraire, le processus est déclaré non maîtrisé.

2.2 Carte np de phase ILe nombre théorique d'unités non conformes dans les échantillons de taille n est inconnu.On choisit alors d'estimer p par la proportion d'unités non conformes dans l'ensemble des m échantillons de taille n prélevés. En notant ni le nombre d'unités non conformes dans l'échantillon i, la proportion p moyenne d'unités non conformes est calculée de la manière suivante :

On note . Les paramètres de la carte np sont alors :

La carte se construit comme la carte de phase II, et les règles de décision sont identiques.

Exemple 2: Carte np Le tableau ci-contre donne le nombre d'unités non conformes dans vingt échantillons de 250 unités.Tracer la carte np de phase I et déterminer si le processus est maîtrisé.


3 La carte cLa carte c est la carte utilisée pour le suivi du nombre de non conformités, de défauts, parunité de contrôle. Cette carte est assez basique puisque l'on ne distingue pas les défauts et que l'on considère qu'ils ont tous la même importance. En principe, on estime que la variable aléatoire C qui associe à chaque unité de contrôle le nombre de non conformités par unité de contrôle, suit une loi de Poisson. On rappelle qu'alors la moyenne et la variance de C sont égales. La carte c est une carte de Shewhart.

3.1 Carte c de phase IISoit c le nombre moyen de non conformité par unité de contrôle. Ce nombre c est le paramètre de la loi de Poisson suivie par la variable aléatoire C. Les paramètre de la carte cde phase II sont :

On prélève un certain nombre d'unités de contrôle. Ces unités de contrôles sont des échantillons tous de même taille. Si le calcul de LIC donne un résultat négatif, ce résultat est remplacé par 0. Sur la carte de contrôle, on porte la ligne centrale, les limites de contrôle et les points Mi de coordonnées (i; ci), ci étant le nombre de défauts de l'unité de contrôle i. Si tous les points Mi sont situés entre les limites de contrôle, le processus est déclaré maîtrisé ; dans le cas contraire, le processus est déclaré non maîtrisé.

3.2 Carte c de phase IComme pour toute carte de phase I, il n'y a pas de valeur cible. On calcule donc une estimation du nombre de défauts par unité sur un échantillon d'au moins une vingtaine d'unités de contrôle. On pose:

les nombres ci étant les nombres respectifs de défauts des m unités de contrôle. Les paramètres de la carte sont alors :

La construction de la carte et les règles de décision sont identiques à celles de la carte de phase II.

Exemple 3: Carte CSupposez que vous travailliez pour un fabricant de toile de lin. Un morceau de tissu de 100 mètres carrés peut comporter un certain nombre de tâches avant d'être rejeté. Pour contrôler la qualité, vous souhaitez déceler le nombre de tâches par 100 mètres carrés sur une période de quelques jours, pour vérifier que votre procédé est fiable. Les résultats obtenus sur 40 unités sont les suivants:

Taches Taches Taches Taches2 4 3 44 3 2 21 5 4 31 2 3 64 1 2 45 1 3 02 2 5 11 3 1 22 2 4 34 4 3 1

Tracer la carte C et déterminer si le processus est maîtrisé.


Interprétation des résultatsComme les points tombent au hasard, à l'intérieur des limites de contrôle à 3s, vous pouvez conclure que le procédé est fiable et maîtrisé.

4 La carte uLa carte u est semblable à la carte c. Dans la carte u on ne suit pas le nombre de nonconformités par unité de contrôle, mais le taux de non conformités par unité de contrôle. Les unités de contrôle : les échantillons d'unités de production, peuvent être de taille variable, mais dans ce cas, les limites de contrôle dépendent, pour chaque unité de contrôle, de la taille de l'unité de contrôle.4.1 Carte u de phase IIOn suppose que le taux de défauts par unités de contrôle est u. Les limites de la carte u sont alors :

où ni est la taille de l'unité de contrôle i. Si le calcul de LIC donne un résultat négatif, onpose LIC = 0. On prélève un certain nombre d'unités de contrôle. Ces unités de contrôles sont des échantillons dont la taille peut varier. Sur la carte de contrôle, on porte la ligne centrale, les limites de contrôle et les points Mi de coordonnées (i; ui), ui = ci/ni étant le taux de défauts de l'unité de contrôle i. Si tous les points Mi sont situés entre les limites de contrôle, le processus est déclaré maîtrisé ; dans le cas contraire, le processus est déclaré non maîtrisé.

4.2 Carte u de phase IOn remplace u par :

où les valeurs ci sont les nombres de défauts respectifs des m unités de contrôle de tailles respectives ni. La valeur u bar est une estimation du taux de défaut par unité de contrôle. Pour que le résultat de ce calcul ait du sens, il faut prélever un nombre important d'unités de production. Les paramètres de cette carte sont :

La construction de la carte et les règles de décision sont identiques à celle de la carte de phase II.

Exemple 4: Carte UUne entreprise de livraison de pizzas à domicile a réalisée une enquête sur les livraisonsdu mois d'octobre. Les données recueillies au cours de cette enquête sont présentées dans le tableau ci-dessous.

À l'aide des paramètres d'une carte de contrôle u de phase I, indiquez si le processus de livraison est sous contrôle.


Interprétation des résultatsComme les points tombent au hasard, à l'intérieur des limites de contrôle à 3s, vous pouvez conclure que le procédé est fiable et maîtrisé.

Exemple 4’: Carte U En tant que responsable de production d'une usine de jouets, vous voulez surveiller le nombre de défauts par unité (ou lot) de vos voitures électriques. Vous contrôlez 20 unités et créez une carte U pour examiner le nombre de défauts de chacune de ces unités de jouets. Vous voulez que la carte U comporte des limites de contrôle droites. Vous définissez donc la taille de sous-groupe à 102 éléments (nombre moyen de jouets par unité). À l'aide des paramètres d'une carte de contrôle u de phase I, indiquez si le nombre de défauts est sous contrôle.

Défauts Ni9 110

11 1012 985 105

15 11013 1008 987 995 1002 1004 1024 982 995 1055 1042 1003 1032 1001 986 102


Interprétation des résultatsLes unités 5 et 6 sont au-dessus de la ligne représentant la limite de contrôle supérieure, ce qui indique que des causes spéciales ont pu affecter le nombre de défauts dans ces unités. Vous devez rechercher les causes spéciales qui ont pu influencer le nombre inhabituel de voitures électriques défectueuses dans ces unités.

5 Carte DLa carte D dite aussi carte de contrôle des démérites est un raffinement de la carte c. Dans le cadre d'une carte D, les défauts sont classés par type, en fonction de leur gravité. À chaque classe de défaut est associé un poids : la valeur du démérite, d'autant plus important que le défaut est majeur.Notons C1;C2;………;Ck les classes de défauts et w1;w2; …..;wk leurs poids respectifs.On fixe le nombre n d'unités élémentaires dans chaque unité de contrôle (la taille deséchantillons).

5.1 Carte D de phase IIPour chaque nombre n d'unités élémentaires dans les échantillons, on fixe l'indice démérite D par :

où ci est le nombre moyen de défauts de classe Ci dans les échantillons de taille n. Notons quesi n = 1, alors ci est le nombre de défauts de classe Ci par unité produite.Les paramètres de la carte D sont :

Si LIC < 0, on pose LIC = 0. On prélève m unités de contrôle (m échantillons de taille n).On calcule, pour chaque unité de contrôle, son nombre démérite :

où cij est le nombre de défauts de classe i dans l'unité de contrôle j. On trace sur la carte D la ligne centrale et les limites de contrôle. On porte sur cette carte les points Mj de coordonnées (j;Dj), j allant de 1 à m. La règle de décision est identique à celle des autres cartes de contrôle.

5.2 Carte D de phase IOn prélève m unités de contrôle (m ≥ 20). On calcule le nombre démérite :

de chaque unité de contrôle (cij est le nombre de défauts de classe i dans l'unité de contrôle j). On pose alors :

étant ici le nombre moyen, par unité de contrôle dans les m unités de contrôle prélevées, de défauts de classe Ci.Les paramètres de la carte sont :

La construction de la carte et la règle de décision sont identiques à celles d'une carte de phase II.

Exemple 5: Carte D

On applique le barème suivant pour les valeurs du démérite : w1 = 55, pour les non-conformités critiques (classe C1), liés à la sécurité des utilisateurs du produit ou pouvant entraîner la destruction de ces produits ; w2 = 15, pour les non-conformités majeures (classe C2) pouvant entraîner un défaut de fonctionnement du produit, une impossibilité de montage, une gêne sensible pour l'utilisateur ; w3 = 5, pour les non-conformités mineures (classe C3) entraînant un défaut critiqué par quelques clients, une gêne au montage ; w4 = 3, pour les non-conformités anodines (classe C4) entraînant une imperfection généralement admise par les utilisateurs.

carte de contrôle

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