carta psicrometrica pg 278
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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA CONTENIDO DIDCTICO DEL CUSO: 211612 - TRANSFERENCIA DE MASA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA
PROGRAMA DE INGENIERA DE ALIMENTOS
211612 - TRANSFERENCIA DE MASA
VICTOR JAIRO FONSECA VIGOYA
(Autor)
NORMAN ANDRS SERRANO FORERO
Director de Curso
JOS CELESTINO MUTIS
Enero del 2012
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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO
El presente mdulo fue diseado en el ao 2009 por el Ing. Victor Jairo Fonseca
Vigoya, docente de la UNAD, y ubicado en la Sede Nacional Jos Celestino Mutis,
el Ing. Fonseca es Ingeniero Qumico y Master.
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INTRODUCCIN
La transferencia de masa es hoy da, una de las operaciones unitarias de mayor
aplicacin en la industria alimentaria.
El presente modulo pretende ser una gua para el estudio de las diferentes
operaciones unitarias en las que se da el intercambio de masa, para el
refinamiento y/o obtencin de diversos productos alimenticios.
El modulo de transferencia de masa esta diseado para que el estudiante pueda decantar
tanto lo aprendido en la tecnologa como durante la Ingeniera de Alimentos, en procesos
y operaciones unitarias del quehacer cotidiano de la Industria Alimentara, propendiendo
por una comprensin de todo lo relacionado con la Ciencia y la Tecnologa de los
alimentos.
Su objetivo fundamental est orientado hacia la identificacin, manejo y aplicacin de las
principales operaciones de transferencia de masa, algunas de ellas asociadas a la
transferencia de calor y de momentum, que se utilizan en procesamiento de alimentos
como herramienta bsica para ser aprovechada en cursos de las diferentes tecnologas
del plan de estudios, as como en la generacin de innovaciones tecnolgicas.
Al trmino del estudio y anlisis del curso de transferencia de masa, el estudiante
adquirir los conocimientos ms relevantes sobre los diferentes procesos para la
conservacin y el procesamiento industrial de alimentos, con el fin de obtener las
herramientas suficientes para que apliquen los conocimientos en los procesos de
transformacin de una o varias de las materias primas alimenticias producidas en las
diferentes regiones de Colombia, con proyeccin al diseo e implementacin, mejora o
actualizacin de procesos agroindustriales sostenibles.
Es por eso que el estudiante a travs del curso de transferencia de masa identificar
claramente las bases tericas de las diferentes operaciones bsicas de la Industria de
alimentos, definir de manera acertada el manejo y control de su tiempo de estudio
autodirigido para la profundizacin de los temas y su correcta aplicacin a nivel industrial.
El propsito del curso es lograr que el estudiante analice la informacin suministrada de
manera que al trmino de su estudio pueda responder a preguntas claves que medirn el
nivel de comprensin de situaciones reales evidenciadas en forma cotidiana en la
Industria Alimentaria.
Este material est compuesto tres unidades bsicas: En la primera Unidad se
desarrollan habilidades y competencias para la comprensin de los principios
fundamentales de transferencia de masa.
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En la segunda unidad se ensean las operaciones unitarias que implican transferencia
de masa, pero sin intercambio de energa, con ejercicios que muestran diferentes
aplicaciones a nivel industrial. Especficamente se aborda el tema de Operaciones de
Separacin para que el estudiante pueda analizar y evaluar su aplicacin en procesos
industriales que involucren operaciones con gases, lquidos y slidos.
En la tercera Unidad hace referencia a Operaciones Especiales en la Industria de
Alimentos, de aplicacin en situaciones muy puntuales y especficas que involucran
fenmenos de transporte de masa y de calor.
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INDICE DE CONTENIDO
Unidad 1. Principios de transferencia de masa
Captulo 1. Mecanismos de transferencia de masa
Leccin 1. Introduccin a la transferencia de masa
Leccin 2. Generalidades sobre transferencia de masa
Leccin 3. Difusin
Leccin 4. Difusin molecular
Leccin 5. Flujo neto molar
Captulo 2. Casos de difusin
Leccin 6. Aspectos generales sobre difusin de estado
Leccin 7. Difusin molecular en lquidos
Leccin 8. Difusin molecular en gases
Leccin 9. Difusin en slidos
Leccin 10. Casos especiales de difusin en fluidos
Captulo 3. Coeficientes de transferencia de masa
Leccin 11. Generalidades sobre coeficientes de transferencia de masa
Leccin 12. Transferencia en zona turbulenta
Leccin 13. Coeficientes locales
Leccin 14. Coeficientes especficos
Leccin 15. Transferencia entre fases inmiscibles
Unidad 2. Operaciones unitarias con transferencia de masa
Captulo 4. Separacin por contacto de equilibrio
Leccin 16. Equilibrio en estado estacionario
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Leccin 17. Balances de materia
Leccin 18. Balances en una etapa en flujos paralelos
Leccin 19. Balances en una etapa en contracorriente
Leccin 20. Clasificacin de las operaciones de separacin
Captulo 5. Extraccin por solventes
Leccin 21. Consideraciones generales de la extraccin
Leccin 22. Balance de materia: grfico y analtico
Leccin 23. Operaciones lquido-lquido
Leccin 24. Operaciones en una etapa
Leccin 25. Operaciones en mltiples etapas
Captulo 6. Lixiviacin y lavado
Leccin 26. Consideraciones generales de las operaciones slido-lquido
Leccin 27. Balance de materia: grfico y analtico
Leccin 28. Operaciones de lavado
Leccin 29. Lavado en una etapa
Leccin 30. Lavado en etapas mltiples
Unidad 3. Operaciones unitarias con transferencia simultnea de masa y
calor
Captulo 7. Evaporacin
Leccin 31. Aspectos termodinmicos
Leccin 32. Tipos de evaporadores
Leccin 33. El intercambiador de calor, el separador y el condensador
Leccin 34. Clculos en evaporadores
Leccin 35. Mtodos de alimentacin comunes en evaporadores de mltiples
efectos
Captulo 8. Deshidratacin
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Leccin 36. Conceptos bsicos
Leccin 37. Velocidad de secado, contenido crtico de humedad y tiempo total de
secado
Leccin 38. Secado con tasa constante y decreciente
Leccin 39. Clculos en operaciones de secado
Leccin 40. Balances de materiales y calor
Captulo 9. Destilacin y cristalizacin
Leccin 41. Equilibrio vapor-lquido
Leccin 42. Mtodos de destilacin
Leccin 43. Principios generales de cristalizacin
Leccin 44. Mecanismos de cristalizacin
Leccin 45. Equipos de cristalizacin
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UNIDAD 1
Nombre de la Unidad Principios de transferencia de masa
Denominacin de captulos
Captulo 1. Mecanismos de transferencia de masa,
Captulo 2. Casos de difusin y Captulo 3. Coeficientes
de transferencia de masa.
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CAPITULO 1: MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE MASA
Introduccin
El contenido del presente captulo abarca los conceptos fundamentales de la
difusin y transferencia de masa que se aplicarn de manera especfica en las
operaciones unitarias de secado y evaporacin en el presente mdulo y en las
operaciones de lixiviacin, lavado, cristalizacin y destilacin, que se estudiarn
en los siguientes captulos
El numeral 1 desarrolla separadamente los conceptos de difusin molecular en
lquidos, gases y slidos. Contempla adems dos casos especiales de difusin
que a menudo se presentan en la Industria de Alimentos.
El clculo de los coeficientes de transferencia de masa, se estudia en el numeral
1.3; en este se desarrolla el concepto de transferencia en donde intervienen tanto
la difusin molecular como la difusin turbulenta.
En el numeral 1.4 se aplican los conceptos estudiados anteriormente a la
transferencia de una sustancia a travs de dos fases inmiscibles. Aqu se
desarrolla un ejemplo muy prctico de mucha utilizacin en la industria.
El captulo termina con un estudio somero de la difusin del vapor de agua en el aire y se explica la utilizacin de la carta psicromtrica para el desarrollo de problemas, en donde intervienen la solubilidad del agua en el aire.
Como puede verse, este captulo se constituye en la introduccin preparatoria a
las operaciones unitarias especficas, que se estudiarn a continuacin.
Leccin 1: Introduccin a la transferencia de masa
La transferencia de masa, al igual que los conceptos de transferencia de calor y
transferencia de momento aplicada al flujo de fluidos, constituyen los pilares y
fundamentos de las ms importantes operaciones unitarias que se aplican en la
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industria de alimentos.
Leccin 2: Generalidades sobre transferencia de masa
Desde los albores del nacimiento de la Industria Qumica a mediados del siglo
pasado, se vio la necesidad de investigar y disear mtodos para separar los
compuestos de las mezclas, con el fin de obtener sustancias con alto ndice de
pureza.
Aprovechando la facultad que tienen muchas sustancias de ser solubles en
algunas y ser insolubles en otras, se pueden obtener muchas separaciones o
purificaciones.
Un ejemplo sencillo es la utilizacin de la propiedad que tiene el aire de disolver,
hasta cierto lmite, el agua que se encuentra presente en una sustancia slida.
Esta propiedad que se utiliza en las operaciones de secado es un caso tpico de
una transferencia de masa, en donde, las molculas de agua, en estado liquido,
migran desde el slido hasta la corriente de aire que las disuelve en estado
gaseoso.
Otro ejemplo muy conocido en nuestro medio es el proceso de purificacin del
alcohol a partir de un mosto fermentado al cual se le aplica calor y mediante el
contacto de las fases gaseosa y lquida. En varias etapas, se opera un proceso de
separacin de las molculas del alcohol, el cual se recupera en la parte superior
de una torre de destilacin. Esta operacin en donde opera una transferencia de
masa se denomina destilacin fraccionada.
En la Industria de Alimentos tambin se presentan multitud de casos en donde la
transferencia de masa es el principio de accin de algunas operaciones
especficas.
El estudio del presente captulo constituye la base terica fundamental para las
operaciones de secado, evaporacin, lixiviacin, lavado, cristalizacin y
destilacin.
El punto comn en el estudio de todas estas operaciones es el contacto directo
entre dos fases inmiscibles. Tenemos as las operaciones que involucran el
contacto de un gas con un lquido, como en el secado, la evaporacin y la
destilacin. La lixiviacin o extraccin por solventes es un caso tpico de operacin
con transferencia de masa entre un lquido y un slido. Dentro de esta categora
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tambin pueden clasificarse el lavado y la cristalizacin.
Leccin 3: Difusin
El concepto de difusin nos es muy familiar cuando estamos hablando de gases.
Al revisar las nociones fundamentales de fisicoqumica y termodinmica,
recordamos que las molculas de un gas se encuentran en continuo movimiento; y
que como fruto de ese movimiento se presentan permanentes choques y cambios
de direccin en la trayectoria de esas molculas.
Tambin recordamos que la actividad de las molculas de cualquier gas, se incre-
menta con el aumento de la temperatura. El estudio de todos esos fenmenos se
denomina Teora Cintica de los Gases, la cual explica el movimiento
espontneo de estos en su conjunto y en el mbito molecular o atmico, al igual
que describe la trayectoria de dicho movimiento.
La difusin puede considerarse como un fenmeno de desplazamiento que le
ocurre a una sustancia a travs de otra en una sola fase, o como el movimiento de
una o varias sustancias a travs de otras en una o varias fases.
A manera de ejemplo pensemos en la siguiente situacin: a una taza de caf le
han depositado muy suavemente en el fondo dos cubos de azcar. Al cabo de un
tiempo podemos comprobar que si probamos un poco del caf de la superficie
probablemente no percibamos el sabor azucarado.
De otra parte, si logramos tomar un poco del caf que se encuentra contiguo a los
cubos de azcar, inmediatamente notamos un ligero sabor dulce.
Si fuese posible mantener durante varios horas el sistema azcar-caf sin
interferencias externas y volviramos a realizar la misma prueba de la superficie y
del fondo de la taza, lo ms probable ser que en la superficie aun no percibamos
el sabor azucarado, mientras que en el fondo apenas podramos decir que el
sabor dulce, acaso se ha incrementado ligeramente.
Ahora bien, si con una cuchara agitamos el contenido de la taza cinco o seis
veces, podemos comprobar que la mezcla azcar-caf, es completamente
homognea y el sabor dulce se percibir igualmente en cualquier parte de la
mezcla.
En el ejemplo que acabamos de describir ocurren dos fenmenos bien distintos; el
primero se refiere al movimiento espontneo de las molculas de azcar a travs
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del caf. Dicho movimiento desde los puntos de mayor concentracin hasta los
puntos de menor concentracin se conoce como Difusin Molecular. Mediante
este proceso, la mezcla caf-azcar conseguir la homogeneidad despus de
mucho tiempo, quizs dure varios das antes de llegar a un estado de perfecto
equilibrio.
El otro fenmeno descrito, por la agitacin del contenido de la taza de caf
mediante el movimiento brusco de la cucharita, es un movimiento de mezcla en el
que grandes porciones del lquido son obligadas a ponerse en contacto ntimo con
otras porciones diferentes en donde se producen remolinos y otros tipos de
movimientos de conveccin bruscos que en trminos generales pueden ser
descritos, por el concepto de Turbulencia.
A la transferencia ocasionada por este fenmeno se le denomina Difusin
Turbulenta. En este segundo caso, la mezcla caf-azcar conseguir la
homogeneidad en pocos segundos.
Aunque la mezcla rpida descrita como Difusin Turbulenta se opone al concepto
de Difusin Molecular, siempre ser esta ltima la responsable de alcanzar la
homogenizacin o uniformidad de la mezcla.
En otras palabras: en toda difusin turbulenta se presenta difusin molecular a
escala microscpica; este fenmeno explica que en cada pequea partcula de
fluido exista una migracin espontnea de los componentes de la mezcla desde
los puntos de mayor concentracin hasta los de menor concentracin.
Leccin 4: Difusin molecular
Adolf Fick, mdico alemn, fue uno de los pioneros en el estudio de la difusin
molecular y estableci diversas relaciones conocidas como Leyes de Fick.
La ms importante de ellas, de donde se derivan muchas ms relaciones, es la
Primera Ley de Fick de la Difusin, que establece que en una solucin de dos o
ms componentes, el flujo molar relativo de cualquiera de los componentes es
directamente proporcional a la rata de cambio de la concentracin molar y al rea
perpendicular a la direccin del flujo molar.
Dado que el flujo molar relativo se presenta en todas las direcciones espaciales, la
expresin matemtica de la Ley de Fick deber relacionarse para cada una de las
direcciones longitudinales especficas.
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La ecuacin:
)()(x
CSD
dt
dnA
ABx
A
(1-1)
Representa matemticamente la Primera Ley de Fick en donde:
x
A
dt
dn)( : Flujo molar relativo del componente A en la direccin x, en moles
de A por unidad de tiempo (Moles/ ).
x
CA
: Rata de cambio en la concentracin molar del componente A en la
direccin x, dada en moles de A por volumen, por unidad de longitud (Moles
x L-3 / L, o bien, Moles x L-4).
S Area o superficie perpendicular a la direccin x, en unidades de
superficie (L2).
ABD Constante de proporcionalidad, llamada Coeficiente de Difusin o
Difusividad del componente A en el solvente B, en unidades de longitud al
cuadrado por unidad de tiempo (L2 / ).
NOTA: el signo negativo de la ecuacin 1-1 indica que el flujo molar relativo del
componente A tiene el sentido contrario al del incremento de la concentracin.
En una solucin de varios componentes, cada uno de ellos migrar en forma
espontnea a todos los sitios de menor concentracin; este hecho nos pone de
manifiesto los desplazamientos de todos los componentes en todas las
direcciones hasta alcanzar la uniformidad.
Consideramos que los desplazamientos de todos los componentes pueden
expresarse mediante un desplazamiento neto o promedio; de igual forma podemos
definir la velocidad molar media de un sistema en dilucin como la velocidad
resultante de la suma vectorial ponderada, de las velocidades promedio de cada
uno de los componentes del sistema.
El trmino (dnA / dt )x de la Primera Ley de Fick de la difusin, describe el flujo
molar del componente A referido a la velocidad molar media de todo el sistema, en
la direccin x. De all el nombre de: flujo molar relativo.
Para comprender mejor el fenmeno de difusinl, imaginemos un recipiente que
contenga dos compartimentos separados por un tabique que puede ser retirado
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en cualquier momento.
En el primer compartimiento se prepara una solucin lquida que contenga slo
dos componentes: A y B solubles entre s. De igual forma en el segundo
compartimiento se prepara otra solucin con los mismos componentes A y B, pero
de tal forma que la concentracin del componente A sea menor que la del primer
compartimiento.
FIGURA 1
Difusin molecular
Como las soluciones son mezclas binarias (tan slo dos componentes), entonces
se cumple que:
CA1 CA2
CB1 CB2 (1-2)
En donde:
CA1 = Concentracin del componente A en el compartimiento 1, en Moles
de A/Unidad de volumen (Moles/L3).
CA2 = Concentracin del componente A en el compartimiento 2.
CB1 = Concentracin del componente B en el compartimiento 1.
CB2 = Concentracin del componente B en el compartimiento 2.
Al retirar el tabique del recipiente, las dos soluciones se pondrn en contacto en S
(ver figura 1); inmediatamente comenzar un movimiento espontneo de las
molculas del componente A del primero al segundo compartimiento, y de igual
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forma, se observar el desplazamiento de molculas del componente B del
segundo compartimento al primero.
Con base en esta experiencia definimos los siguientes conceptos:
VA = Velocidad promedio lineal con que se desplazan las molculas de A a
travs de una superficie de contacto S, perpendicular a la direccin de la
velocidad. La unidades de V A son L / .
VB = Velocidad promedio lineal con que se desplazan las molculas de B a
A a travs de S, en L/ .
NOTA: VA y VB tienen la misma direccin (perpendicular a S) pero sus sentidos son
contrarios.
La velocidad molar media de todo el sistema (VM) se define como:
C
CVCVV BBAA
m
(1-3)
En donde:
VM= Velocidad molar media de todo el sistema en L/O
C = Concentracin molar total en Moles/L3
A su vez la concentracin molar total se calcula mediante la suma de las
concentraciones molares de los componentes:
C= CA + CB (1-4)
La velocidad molar media (VM) tendr la misma direccin que VA y VB
(perpendicular a S); el sentido de VM ser el resultante de la suma vectorial
ponderada de las velocidades de los componentes.
El anterior anlisis puede extrapolarse a una mezcla de muchos componentes. En
este caso A puede considerarse como un componente en solucin y B
representar entonces a los dems componentes.
De igual forma, para las ecuaciones 1-2, 1-3 y 1-4, los trminos sern:
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CA = Concentracin del componente A en la mezcla o solucin.
CB = Concentracin de todos los dems componentes sumados.
VA = Velocidad promedio del componente A.
VB = Velocidad promedio resultante de la suma vectorial ponderada de los dems
componentes.
EJEMPLO 1-1
Despus de algn tiempo de haber depositado varios cubos de azcar, en el fondo de una olla metlica cilndrica de 9 centmetros de dimetro y 12 centmetros de altura, llena de caf con leche, se observa que la concentracin de azcar vara segn la altura donde se tome la muestra. Se encontr que la concentracin sigue aproximadamente la ecuacin:
15.0205
1
zCA
, en donde:
z = Altura, medida desde el fondo de la olla, en cm.
CA= Concentracin del azcar en Moles/gramo por litro de solucin
(Moles / litro).
1. Determinar la concentracin de azcar en Moles-gramo, por centmetro cbico (Mol/ cm3) para el fondo de la olla y para intervalos de tres centmetros (3 cm) de altura sobre el fondo de la olla.
2. Determinar el flujo molar relativo en Moles - gramo por segundo con que se difunde el azcar, medido a ocho centmetros del fondo.
NOTA: Por mtodos experimentales se determin que el coeficiente de difusin o
difusividad del azcar en el caf con leche es de:
DAB = 4.8 x 10-6 cm2/s
Solucin:
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1. Para encontrar la concentracin de azcar en Moles/cm3, ser necesario
dividir por 1.000 la ecuacin propuesta:
)15.0205
1(
000.1
1
zCA
Desarrollando, tenemos:
z (cm) CA(Moles/cm3)
O 2.00 x 10-4
3 1.79 x 10-4
6 1.70 x 10-4
9 1.65 x 10-4
12 1.62 x 10-4
2. Para determinar el flujo molar relativo, acudimos a la Primera Ley de Fick,
para la direccin z:
(dnA / dt )z = -DAB x S ( CA / z )
, con:
15.0205
)1000/1(
zCA
La derivada parcial con respecto a z es:
2)205(
)5()1000/1(
z
x
dz
dC
z
CAA
, como el rea de difusin es:
S = (9)2 / 4 = 63.62 cm2
Se tiene:
(dnA / dt)z = -4.8 x l0-6 x 63.62 x (1/1000)[-5/(5z +20)2]
Desarrollando para z = 8 cm., tenemos:
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(dnA / dt)z = 4.24 x 10-10 (Moles / s)
Leccin 5: Flujo neto molar
Si queremos conocer el flujo molar de los componentes con respecto a un
observador fijo que se encuentra por fuera del sistema de difusin, definimos los
siguientes conceptos:
Sean A y B las densidades de A y B respectivamente, en unidades de masa, por
unidad de volumen (M/L3).
Sean MA y MB los pesos moleculares de A y B respectivamente, en unidades masa
por unidad molar (M/Moles).
Podremos entonces definir los flujos netos molares de los componentes de una
mezcla binaria, a travs de una superficie perpendicular (S), como las relaciones:
A
AA
AM
SvN
y
B
BB
BM
SvN
( 1-5 )
En donde:
NA y NB, son los flujos netos molares de los componentes A y B, con respecto a un
observador fijo. Las unidades de estos flujos netos molares son las mismas que
las del flujo molar relativo: Moles/
Si observamos dimensionalmente a la relacin A /MA, encontramos que tiene las
unidades de la concentracin CA (Moles/ L3). De igual forma podremos decir que
CB = B / MB. De acuerdo con lo anterior, la ecuacin 1- 5 puede transformarse en:
NA = vA CA S y, NB= vB CBS (1 - 6)
Efectuando las transformaciones y reemplazos convenientes a la ecuacin 1-3, de
la velocidad molar media (VM), encontramos que:
NA +NB = vM C S (1 - 7)
Relacionemos ahora los dos conceptos del flujo molar. El flujo neto molar de un
componente con respecto a un observador fijo deber ser el resultado de sumar el
flujo molar relativo (dn/dt), con las moles del componente que se encuentran
desplazndose a la velocidad molar (VM).
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En trminos matemticos, la relacin para el componente A, ser la siguiente:
NA = vM CA S + (dnA / dt) (1 - 8)
El trmino VMS puede despejarse de la ecuacin 3-7:
VMS = (NA+ NB)/C
De igual forma, de la ecuacin 1-1, reemplazando la equivalencia de dnA/dt para la
direccin x, tendremos:
NA = (NA+NB) CA / C - DAB S (CA / x) (1- 9)
y
NB = (NA+NB) CB / C - DBA S (CB / x)
Sumando las anteriores relaciones, se puede demostrar que para una
concentracin molar total constante (C = CA + CB = constante), los valores de los
coeficientes de difusin son iguales (DAB = DBA).
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CAPITULO 2: CASOS DE DIFUSIN
Introduccin
A continuacin estudiaremos los diferentes tipos de difusin al alcance de las
metas del presente modulo.
Leccin 6: Aspectos generales sobre difusin de estado
En el numeral anterior se estudi el comportamiento de la transferencia de masa
en situaciones relativamente simples. Se vio cules eran las condiciones de
difusin de un lquido en otro liquido, de un gas en otro gas y la difusin en
slidos.
Estos fenmenos de transferencia se refieren a situaciones simples en las que se
tena supuesto que una gran cantidad de condiciones del sistema de difusin
permanecen constantes.
Recordemos el desarrollo de la ecuacin 3-10. Mediante una integracin
matemtica de la primera ley de Fick, llegamos a la definicin del flujo neto molar
de un componente A en otro B, como:
BA
AA
BA
AAAB
BA
A
ANN
N
C
C
NN
N
C
C
x
CSD
NN
NN 12 /ln
Para llegar a esta expresin, se ha supuesto que los flujos netos molares NA y NB
permanecen constantes con el tiempo. De igual forma, la difusividad DAB ,la
concentracin C, el rea S y la distancia de transferencia x, son factores que
permanecen constantes con el tiempo.
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De otra parte las concentraciones entre los puntos de transferencia CA1 y CA2 se
han supuesto igualmente constantes con el tiempo.
Lo anterior es en realidad una situacin ideal, ya que es perfectamente lgico
pensar que cuando un fenmeno de difusin comienza a ocurrir las
concentraciones deban variar despus de transcurrido algn tiempo, puesto que lo
que est ocurriendo es una transferencia de masa de un punto a otro punto, y
mientras no exista una fuente que mantenga esa concentracin inicial (CA1) y
algn otro factor externo que haga que permanezca la concentracin final (CA2) lo
que ocurrir ser simplemente que las dos concentraciones tendern a igualarse
hasta llegar a su punto de homogenizacin.
Las anteriores consideraciones debern tambin aplicarse a las difusividades DAB
y las otras condiciones expuestas.
De igual forma podemos referirnos a la aplicacin de las ecuaciones 1-11, 1-1-
14,1-15 y dems ecuaciones que definen el fenmeno de difusin de una
sustancia a travs de otras en condiciones ideales.
Recordemos el ejemplo que describa los dos tipos de transferencia de masa en el
que dos cubos de azcar haban sido depositados suavemente en el fondo de una
taza de caf. Hasta el momento lo que hemos estudiado es el movimiento
espontneo de las molculas de una sustancia a travs de la otra. Este
movimiento que describe la migracin molecular desde los puntos de mayor
concentracin a los de menor concentracin se ha definido con el nombre de
difusin molecular.
El otro proceso en el que intervienen agitacin y desplazamientos mecnicos
bruscos al que se denomina como difusin turbulenta hasta el momento no ha
sido tomado en cuenta.
Con el fin de abordar estos temas que nos acercan a situaciones ms acordes con
los procesos reales en la industria de alimentos, es necesario precisar algunos
conceptos que se vern a continuacin.
Leccin 7: Difusin molecular en lquidos
Para el caso de lquidos en reposo o en flujo laminar, la ecuacin 3-9 describe
convenientemente el fenmeno de la difusin.
Si consideramos como valores constantes a los flujos netos molares (NA y Ns), la
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concentracin total (C), las difusividades (DAB Y DBA) y la superficie perpendicular
al flujo (S), la ecuacin 1-9 puede integrarse para la direccin x, dando por
resultado:
BA
AA
BA
AAAB
BA
A
ANN
N
C
C
NN
N
C
C
x
CSD
NN
NN 12 /ln
BA
BB
BA
BBAB
BA
B
BNN
N
C
C
NN
N
C
C
x
CSD
NN
NN 12 /ln (1-10)
En donde CA1 y CA2 son las concentraciones inicial y final del componente A a
travs de recorrido x. De igual forma para CB1 y CB2
Las relaciones CA /C y CB /C corresponden a las fracciones molares de los compo-
nentes A y B respectivamente. Para el caso de lquidos, se acostumbra
representar las fracciones molares con la letra x.
CA1 / C = XA1 CA2 /C = XA2
CB1 /C = XB1 CB2 /C = XB2
La ecuacin 1-10 fue desarrollada para concentracin total constante. Sin
embargo, en muchas mezclas o soluciones liquidas el valor de la concentracin
total (C) es variable.
Cuando este fenmeno sucede es preferible utilizar un valor promedio de la
concentracin total. Recordemos que la concentracin puede expresarse como C
= /M (densidad sobre peso molecular).
Con las anteriores consideraciones, la ecuacin 1-10 puede ser escrita, para una direccin cualquiera, z, as:
BA
A
A
BA
A
A
AB
BA
A
ANN
NX
NN
NXpromM
z
SD
NN
NN
12/ln/
BA
B
B
BA
B
B
AB
BA
B
BNN
N
XNN
NXpromM
z
SD
NN
NN
12/ln/
(1-11)
En donde:
-
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( /M)prom : Concentracin molar total promedio en Moles/L3
z: Distancia o longitud de transferencia, en L.
EJEMPLO 1- 2
En una fbrica de grasas y aceites se estn efectuando ensayos de laboratorio
sobre la velocidad de difusin del glicerol en solucin en diferentes mezclas de
cidos grasos. Durante el ensayo se coloc una pelcula de medio centmetro de
espesor de una mezcla estable de cidos grasos de igual composicin a la del
solvente del glicerol y despus de cierto tiempo, se midieron las concentraciones a
lado y lado de la pelcula; se encontr que el glicerol tena una concentracin del
15.5% en peso por debajo de la pelcula y de 4.8% por encima.
Utilizando los datos que a continuacin se suministran, determinar:
1. Flujo molar neto del glicerol a travs de la pelcula.
2. Flujo molar neto de la mezcla estable de cidos grasos en el glicerol
3. Velocidad molar media.
Se suministran los siguientes datos para A: glicerol y B: mezcla estable de cidos
grasos:
NA / NA +NB = 1,0018
DAB = 1,83 X 10-5 cm2 /seg
Glicerol (4.8%) = 0,868 gr / cm3 = 2
MA = 92,09
Glicerol ( 15,5%) = 0,912 gr / cm3 = 1
MB = 279,43
Mezcla cidos grasos = 0,848 gr/cm3
Superficie de intercambio : S = 16 cm2
Solucin :
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1. Para averiguar el flujo molar neto (N), aplicamos la ecuacin 1-11
BA
A
A
BA
A
A
AB
BA
A
ANN
NX
NN
NXpromM
z
SD
NN
NN
12/ln/
NA / NA , DAB , S y z son conocidos
Ser necesario calcular XA1 XA2 y (/M)prom
Para encontrar las fracciones molares, tendremos que recurrir a los porcentajes en
peso y los pesos moleculares:
moles de glicerol en solucin al 15.5%
XA1 = ----------------------------------------------------- entonces:
moles totales al 15.5%
0,155/92,09 1,6831 x 10-3
XA1 = ---------------------------------------------= ------------------------ = 0,3576
0,155/92,09 +(1 0,155) / 279.43 4,7071 x 10-3
moles de glicerol en solucin al 4.8%
XA2 = --------------------------------------------------- , entonces:
moles totales al 4.8%
0,048/92,09 5,2123 x 10-4
XA2 = ------------------------------------------ = ---------------------- = 0,1327
0,048/92,09 +(1 0,048) / 279,43 3,9282 x 10-3
Por su parte, el peso molecular de la solucin al 15.5% y al 4.8% puede ser
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evaluado como el inverso de los denominadores de las relaciones matemticas
XA1 y XA2, respectivamente.
1 g
M1 = ------------------------------ = 212,44 ---------
4,707 x 10-3 Mol g
1 g
M2 = ------------------------------ = 254,57 ----------------
3,9282 x 10-3 Mol g
0,912 Mol g
C1 = (1 / M1) = ------------------ = 4,2930 x 10-3 ------------
212,44 cm3
0,868 Mol g
C2= (2 / M2) = ----------------------- = 3,4097 x 10-3 ------------
254,57 cm3
(4,2930 + 3,4097) x 10-3 Mol g
( / M)prom = -------------------------------- = 3,8513 x 10-3 ---------
2 cm3
Aplicando la frmula
BA
A
A
BA
A
A
AB
BA
A
ANN
NX
NN
NXpromM
z
SD
NN
NN
12/ln/
Tenemos
-
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l.83 x 10-5 x 16
NA = 1,0018 ------------------- 3,8513 x l0-3 x ln [ ( 0,1327 1,0018) / ( 0,3576 1,0018 ) ]
0,5
NA = 6,77 x 10-7 Mol g/s
2. Flujo molar neto de la mezcla estable de cidos grasos en glicerol
NB = -0,0018 / 1.0018 NA; entonces:
NB = -1,22 x 10-9 Mol g/s
3. La velocidad molar media puede calcularse mediante la ecuacin 7.
NA +NB = vM C S
En donde
C = ( / M)prom despejando tenemos:
NA +NB
vM = -----------------
( / M)prom S
6,77x 10-7 + 1,22x 10-9
VM= ----------------------------- = 1,1 x l0-5 (cm/s)
3,8513 x 10-3 x 16
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Efecte un anlisis dimensional de los clculos de XA1 y XA2, y verifique la bondad
del procedimiento realizado.
Encuentre cules son las unidades del numerador y denominador indepen-
-
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dientemente.
Comente los resultados con sus compaeros. Si tiene alguna duda, consulte con
el tutor.
Leccin 8: Difusin molecular en gases
Para gases ideales se cumple la siguiente relacin:
P
P
C
CY AA
A 1-12
, en donde:
YA= Fraccin molar del gas componente A en la mezcla total de gases, en Moles
de A / Moles totales.
CA= Concentracin molar del componente gaseoso A, en Moles de A /L3
C= Concentracin molar total de todos los componentes gaseosos, en Moles
totales/L3
PA= Presin parcial del gas A, en unidades de presin.
P= Presin total de la mezcla de gases, en unidades de presin.
Cuando dos o ms gases se encuentran mezclados se cumple la ley de difusin que tiende a llevar la mezcla a su estado estable de homogeneidad. Esto implica que las molculas de cada uno de los componentes se desplazarn difusionalmente desde los puntos de mayor concentracin a los de menor concentracin.
A diferencia de la difusin en lquidos, la concentracin total de los gases
mezclados se mantiene constante. Esta a su vez, puede ser expresada en funcin
de otras variables, tales como presin y temperatura.
Recordemos la ley de los gases ideales:
PV = n RT
La concentracin total de una mezcla de gases est dada por el nmero total de
Moles (n) por unidad de volumen (V). De tal manera que si despejamos la relacin
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(n/V) de la ley de los gases ideales, encontramos la concentracin total (C), en
funcin de las otras variables:
RT
P
V
nC 1-13
En donde:
C = Concentracin total, en Moles/L3
n = Nmero de moles totales.
V = Volumen total, en L3
P = Presin en unidades de presin.
T = Temperatura, en grados absolutos.
R = Constante universal, en unidades consistentes.
Con la anterior consideracin, la ecuacin 10, puede transformarse, para el caso
de gases ideales, en la siguiente relacin:
NA DAB . P . S
NA = ------------ ---------------- ln [ ( YA2 - NA / ( NA + NB)) / (YA1 - NA / (NA + NB)] (1-14)
NA + NB x RT
En donde:
YA1 = Fraccin molar del componente A en el punto de mayor concentracin
YA2= Fraccin molar del componente A en el punto de menor concentracin.
La anterior ecuacin puede transformarse en trminos de presiones parciales, as:
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NA DAB . P . S
NA = ------------ -------------- ln [ ( PA2 -P NA / ( NA + NB)) / (PA1 -P NA / (NA + NB)] (1-15)
NA + NB x RT
En donde:
PA1: Presin parcial del componente A en el punto donde comienza la difusin.
PA2: Presin parcial del componente A en el punto donde termina la difusin.
P: Presin total del sistema.
Los valores de los coeficientes de difusin se determinan experimentalmente. En la tabla 11 al final de este captulo se encuentran algunos valores de dichos coeficientes para mezclas binarias de varios gases, extractados de The Chemical Engineers~ Handbook Perry & Ass..
EJEMPLO 1-3
Calcular el tiempo que tardan en difundirse 5 miligramos de amoniaco en el aire
que se encuentran en el interior de un tubo de 2 pulgadas de dimetro interno.
Los puntos de muestreo estn separados 12 centmetros medidos longitudi-
nalmente a travs del tubo.
Se encontraron los siguientes datos:
P= 1,617 atmsferas
(PNH3)1 =0,423 atmsferas
(PNH3)2 =0,1 07 atmsferas
T= 0OC
R= 82,06 cm3 atm / Mol g K
NOTA: Suponga que el aire no se difunde en el amoniaco.
SOLUCION: Utilicemos la ecuacin 1-15:
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NA NA
----------- = ------- = 1 dado que el aire (B) no se difunde
NA + NB NA
La ecuacin queda reducida a:
PPPPxRT
PSDN
AA
AB
A
!2/ln
En donde:
DAB = 0,198 cm2/s (de la tabla 11)
P = 1,6l7 atm
PA1 = 0,423 atm
PA2 = 0.107 atm
x = 12 cm
T= 273 K
R = 82,06 cm3 atm/Mol gK
2
S = ------------- pero D = 2 puIg. x 2,54 cm/puIg. = 5,08 cm
4
Entonces S = 20,27 cm2
-
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617,1423,0/617,1107,0ln27306,8212
27,20617,1198,0
xx
xxN
A
NA = 5,6683 X 10-6 Moles-gramo / s
El nmero de moles de amoniaco que existen en 5 miligramos es:
grMolxNA
9360,2109360,203,17
005,0 41
El tiempo que tardar la difusin ser: NA1 / NA1
2,9360 x 10-4
t= ----------------------------- =51,8 segundos
5,6683 x 10-6
Cuando no sea posible disponer de un dato experimental del coeficiente de difu-
sividad, este puede ser calculado mediante algunas relaciones de ecuaciones
empricas, tales como la ecuacin de Hirschfelder-Bird-Spotz:
W T3/2 (1/MA + 1/MB ) 1/2
DAB = ------------------------------------------
P (rAB )2 FC
Siendo:
W = (1,0 2,46 (1/MA + 1/MB ) 1/2 x104 (1-17)
En donde:
DAB = Coeficiente de difusin emprico
T = Temperatura absoluta en 0 Kelvin
-
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MA y MB = Pesos moleculares de los gases A y B
P = Presin absoluta en atmsferas
rAB = Separacin molecular en el momento de la colisin de una
molcula de gas A con otra del B, expresada en , Angstroms.
FC = Fuerza de colisin que depende de la relacin kT / AB, en donde
K = Constante de Boltzman = 1,38 x 10-6 ergios / K
AB = Energa de interaccin molecular, en ergios
los valores de rAB y AB pueden calcularse mediante las relaciones:
(ro)A + (ro)B AB
rAB = ----------------- -------- = [ (A / k) (B / k)] 1/2 (1-18)
2 k
(a) (b)
En donde:
(ro)A + (ro)B = Dimetros de colisin de las molculas de los gases Ay B respec-
tivamente, expresados en (angstroms)
(A / k) y (B / k) = Constante de fuerza de los gases A y B, en 0K
Los valores de los dimetros de colisin (r0) y las constantes de fuerza ( / k) se
han encontrado experimentalmente para algunos gases y pueden extractarse de la
tabla 13, al final del presente captulo.
Para gases, cuyos valores de r0 no se encuentren tabulados, podrn calcularse
mediante la relacin emprica:
r0 = 1,18 Vo1/3 (1-19)
En donde:
-
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r0 = Dimetro de colisin, en
Vo= Volumen molar del gas en el punto de ebullicin normal, expresado en
cm3/Mol-g. Para algunos gases estos valores se encuentran en la tabla 14.
El valor de Vo, puede calcularse tambin mediante la relacin:
M
Vo= -------------- (1-20)
o
En donde:
M= Peso molecular del gas, en gr/Mol-g
o= Densidad del gas en el punto de ebullicin normal, en g/cm3
El valor del volumen molar del gas puede tambin ser calculado como la suma de
los volmenes atmicos componentes de la molcula gaseosa. Los valores de los
volmenes atmicos se encuentran en la tabla 15, al final del captulo.
EJEMPLO 1-4
Calcular el dimetro de colisin (r0) y la densidad en el punto de ebullicin normal
(o) del lsobutano.
Solucin: La ecuacin 1-19 nos dice que r0= 1,18 Vo1/3
M
De la ecuacin 1-20 despejamos o = ---------
Vo
El valor de Vo puede calcularse a partir de los valores de los volmenes atmicos
de la tabla 14.
-
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lsobutano: C4H10
Vol. atmico C = 14,8 cm3/Atom g
Vol. atmico H = 3,7 cm3/Atom g
Vo = 4 x 14,8 + 10 x 3,7 = 96,2 cm3/Mol g
El peso molecular M se consigue sumando los pesos atmicos extractados de una
Tabla Peridica.
M = 4 x 12,011 + 10 x 1,008 = 58,12g/Mol g
Entonces: r0 = 1,18 x (96,2)1/3 = 5,4068
58,12
o = -------------- = 0,6042 g/cm3
96,2
El valor de la constante de fuerza ( / k), puede tambin calcularse mediante
relaciones empricas:
cT
k077,0
eT
k15,1
fT
k92,1
(1-21)
(a) (b) (c) En donde: Tc = Temperatura crtica, en K
Te = Punto normal de ebullicin, en K
Tf = Punto de fusin, en K
NOTA: si se dispone de las tres temperaturas, es conveniente calcular los tres
valores de / k y obtener un valor promedio (ver tabla 17).
-
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ADVERTENCIA:
En el clculo de problemas es siempre preferible tomar datos experimentales en
vez de utilizar frmulas empricas. Estas se utilizarn solamente cuando no exista
otra alternativa.
El valor de la funcin de colisin (Fc) que se utiliza en la ecuacin 1-16, puede
tomarse de los datos experimentales desarrollados por Hirschfelder, BRD y Spotz
que se encuentran en la tabla 16.
EJEMPLO 1-5
Calcular el coeficiente de difusin, o difusividad del diflor-diclorometano en Etano,
a 35 0C y 560 mm de Hg.
Solucin: En la tabla 12 nos damos cuenta que no existe un valor experimental
tabulado; debemos entonces recurrir a la ecuacin de Hirschfelder-Bird-Soptz.
T = 273.16 + 35 = 308.16 K
560
P = ------------- = 0.7368Atm 760
Con los pesos dados en la tabla peridica evaluamos los pesos moleculares:
Gas A: Diflordiclorometano: F2CCl2
Gas B: Etano: C2H6
Pesos atmicos:
F = 19.00
C =12.011
CI = 35.453
H = 1.008
-
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Entonces:
MA = 120.92
MB = 30.07
Clculo de rAB
De la tabla 15 extractamos los volmenes atmicos para el gas A:
(Vo)A = 2 x 8.7 + 14.8 + 2 x 21.6 = 75.4 cm3/Mol g
Aplicando la ecuacin 19: r0= 1.18 Vo1/3
(ro)A = 1.18 x (75.4)1/3 = 4.985
De la tabla 13: (r0)B = 4.418
Aplicando la ecuacin 18 (a):
0
7015,42
418,4985,4Ar
AB
Clculo de la AB / k:
Para el diflordiclorometano, tenemos:
De la tabla 17: Te = 273,16 - 29,2 = 243,96 K
Tf = 273,16 - 155 = 118,16 K
Aplicando la ecuacin 21 y promediando, tenemos:
A / k = (1,15 x 243,96 +1,92 x 118,16) / 2 = 253,71 K
De la tabla 13:
B / k =230 K
Aplicando la ecuacin 18 (b):
AB / k = (253,71 x 230) 1/2 =241,56 K
Entonces
-
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kT / AB = 308.16 / 241 .56 = 1.2757
De la grfica 80, leemos:
Fc = 0.65
Para el clculo de la difusividad (DAB), aplicamos las ecuaciones 1-16 y 1-17:
(1 / MA + 1 /MB)1/2 = (1 / 120.92 + 1 / 30.07) 1/2 = 0,2038
W = (1.0 - 2.46 x 0.2038) x10-4 = 4.987 x 10-5
4.987 x 10-5 x (308.16)3/2 x 0.2038
DAB = --------------------------------------------------------
0.7368 x (4.7015)2 x 0.65
Entonces: DAB = 5.19 x 10-3 cm2/s
Leccin 9: Difusin en slidos
El estudio de la difusin en slidos, es bastante complejo puesto que se presentan
mltiples situaciones y sera imposible tratar de abarcarlas todas.
Existen dos comportamientos ideales en la difusin en slidos: el primero de ellos
se refiere al fenmeno que describe a una sustancia que se difunde a travs de un
slido, formando una perfecta solucin entre la sustancia que se difunde y el
slido.
El segundo tipo de comportamiento ideal, se presenta en slidos porosos en
donde la difusin acta sobre los intersticios y canales internos sin afectar la
composicin misma del slido.
Se han desarrollado diversas relaciones matemticas para describir los dos
comportamientos ideales descritos anteriormente; sin embargo, en la gran mayora
de los casos reales de la industria de alimentos, las situaciones que se presentan,
-
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describen comportamientos mixtos en donde parte de la sustancia que se difunde,
se localiza en el slido, y otra parte migra a travs de la porosidad propia de los
slidos.
Encontrar relaciones matemticas que describan plenamente estos fenmenos
resulta ser una tarea cuyos resultados son muy difciles de obtener. No obstante la
aplicacin de las leyes de Fick de la difusin, con algunas consideraciones y
adecuaciones, puede llegar a una buena aproximacin en la descripcin real de
los fenmenos difusionales en slidos.
Consideremos el caso del proceso de secado de los quesos. El agua es uno de
los constituyentes propios de la leche y por consiguiente del queso. En el proceso
de secado, el suero (agua con constituyente), migra desde el interior del queso
hasta la superficie, atravesando espacios vacos (porosidades) y difundindose
tambin a travs de la parte slida, mostrando de esta forma un comportamiento
mixto. El agua se difunde desde la superficie del queso al aire, mediante un
proceso de evaporacin y el queso comenzar a mostrar cada vez una
consistencia ms slida y con menor cantidad de humedad.
Este proceso de evaporacin permitir un gradiente de concentracin del agua
que facilitar la difusin de este compuesto, del interior del queso a la superficie.
La aplicacin de relaciones matemticas nos lleva a la aplicacin de la primera ley
de Fick (ecuacin 1-1) en el que ya no diferenciaremos el flujo molar relativo
(dnA/dt) con el flujo neto molar (NA), puesto que en este caso ya no encontraremos
relaciones de difusin de un componente frente a otros, sino que se estudiar la
difusin de cada uno de los componentes que se difunden con respecto a un
slido inmvil.
La expresin general de difusin en slidos para una direccin cualquiera, x, es:
NA = - DAB S ( CA / x) (1-32)
Si los trminos NA DAB y S son constantes, la ecuacin 3-32 podr integrarse para
dar por resultado una relacin similar a la ecuacin 3-29:
NA= DAB S (CA1 / CA2) / x (1-33)
En donde:
NA = Flujo molar de la sustancia A que se difunde a travs de un slido B, en
Moles/
DAB = Difusividad del componente A a travs del slido B en L2/ t
CA1 = Concentracin molar del componente A medida en el punto donde comienza
-
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la difusin, en Moles/L3
CA2 = Concentracin molar del componente A medida en el punto donde termina
la difusin, en Moles/L3
S = Superficie perpendicular a la difusin de A, en L2.
x= Distancia, o longitud de difusin, en L.
A diferencia de los casos estudiados de difusin en fluidos, la difusin en slidos
presenta gran dificultad en determinar los coeficientes de difusin, o difusividades
(DAB) dada la completa heterogeneidad de las situaciones que se pueden dar.
En las industrias de alimentos que requieran de estudios sobre difusin en slidos,
usualmente se recurre al mtodo experimental para determinar valores de
difusividad especficos para cada caso, dependiendo de calidades de materia
prima y caractersticas del producto terminado.
EJEMPLO 1- 7
En una fbrica de quesos se desea determinar el tiempo de secado a que se
deben someter unos bloques cuadrados de queso de 18 cms. de lado, si se
desean retirar 150 gramos de agua de cada bloque.
Se puede considerar que durante el proceso de secado, se mantiene constante la
diferencia de concentraciones del agua entre el centro y la superficie del queso, en
un valor de 1.6 Mol g/ft.
Mediante experiencias previas de laboratorio se determin que la difusividad en
sentido horizontal es de:
(DAB) x = (DAB) y = 4.56 x 10-3 cm2/s
, mientras que la difusividad en sentido vertical es de:
(DAB) z = 3.96 x 10-3 cm2/s
El proceso de evaporacin y, por consiguiente el de difusin, se presenta por las
cinco caras del bloque que estn expuestas al aire; la cara inferior est en
contacto con la superficie de la mesa y por consiguiente, no ocurre evaporacin
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por esa cara.
Solucion: El proceso de difusin acta en las direcciones x, y, z. Por lo tanto, la
ecuacin 3-33 deber aplicarse tantas veces, como caras o superficies de difusin
existan:
NA = (NA)x + (NA)y + (NA)z
(NA)x = 2 (DAB)x Sx (CA1 - CA2) / x
(NA)y = 2 (DAB)y Sy (CA1 - CA2) / y
(NA)z = 2 (DAB)z Sz (CA1 - CA2) / z
En donde:
(DAB)x = (DAB)y = 4.56 x 10-3 cm2/s
(DAB)Z = 3.96 x 10-3 cm2/s
Sx= Sy = Sz = 18 x 18 = 324 cm2
(CA1 - CA2) = 1.6 ( Mol g / litro) x ( 1 / 1000 ) (litro / cm3) = 1.6 x 10-3 mol g / cm3
18
x = y = z = --------- = 9 cm
2
teniendo presente cuatro caras verticales ( 2 en x y 2 en y ) y dos caras
horizontales:
segcmxxxcm
cmrmoxxcmN
A
23
332
1096,3256,449
/lg106,1324
NA = 1 .5068 x 10-3 Mol g / s
Se requieren eliminar 150 / 18 = 8.3333 Mol g de agua. Entonces
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el tiempo de secado ser:
8.3333
t = ------------------- = 5.528 seg ======= 1 h 32 m 8 s
1.5068 x 10-3
Leccin 10: Casos especiales de difusin en fluidos
En el ejemplo No. 3 se present un clculo de difusin del amonaco en el aire,
que no se difunde y nos dimos cuenta que el clculo se simplificaba bastante.
Consideremos dos casos especiales de difusin en fluidos sobre mezclas o solu-
ciones binarias (de dos componentes):
El primero de los casos es el de un fluido que se difunde en otro que no lo hace.
En este caso la relacin NA / (NA+NB) se convierte en uno (1), puesto que el valor
de NB sera de (0) cero.
De lo anterior se deduce que para los lquidos las ecuaciones 10 y 11 quedan
reducidas a las siguientes: flujo molar en mezcla binario de los lquidos, cuando
uno de ellos no se difunde:
- Para concentracin molar total constante:
!2
/lnAA
AB
ACCCC
x
CSDN
(1-22)
- Para concentracin molar total variable:
!2
1/1ln/AAprom
AB
AxxM
z
SDN
(1- 23)
-
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NOTA: Las variables z y x que aparecen en las anteriores ecuaciones son
trminos equivalentes y tan slo indican una longitud de transferencia en una
direccin especfica (x z).
Para el caso de una mezcla binaria de gases, en el que tan slo uno de ellos se
difunde, las ecuaciones 1-14 y 1-15 se convierten en las siguientes:
- En funcin de las fracciones molares:
!2
1/1lnAA
AB
Avv
xRT
PSDN
(1-24)
- En funcin de las presiones parciales:
!2
/lnAA
AB
APPPP
xRT
PSDN
(1-25)
El segundo caso especial es el de mezclas binarias con difusin equimolar.
Cuando esta situacin se presenta, los flujos netos molares tienen la magnitud,
pero sentido contrario; segn lo anterior:
NB = NA y por consiguiente, el trmino:
NA / (NA + NB) se torna indeterminado
Las ecuaciones 10, 11, 14 y 15 no podrn aplicarse y tendremos que recurrir a la
relacin que dio origen a las anteriores ecuaciones.
Recordemos que la ecuacin 9 nos defina el flujo neto molar de una mezcla
binaria as:
NA= (NA + NB) CA / C - DAB S ( CA / x )
-
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En el caso de difusin equimolar, el primer trmino de la relacin anterior
desaparece, y por lo tanto, el flujo neto molar NA se hace igual al flujo molar
relativo (dnA/dt)X, definido por la primera ley de Fick en la ecuacin 1.
Tendremos entonces que:
NA= DAB S ( CA / x) (1-26)
En donde: NA = Flujo neto molar en difusin equimolar
DAB = Difusividad del componente A en B
S = Superficie perpendicular a la direccin del flujo
( CA / x) = Razn de cambio de la concentracin molar del componente A en la
direccin x.
Si consideramos nicamente la direccin x, la derivada parcial se convierte en
derivada corriente. Separando variables, tenemos:
2
1
2
1
CA
CA A
x
xAdCdxN (1-27)
Integrando la anterior ecuacin, obtenemos el siguiente resultado:
NA (x2 - x1) = - DAB S (CA2 - CA1) (1-28)
Si definimos a x = x2 - x1, la ecuacin anterior se transforma en:
NA = DAB S / x (CA1 - CA2) (1-29)
Esta ltima ecuacin es aplicable a mezclas binarias de lquidos, con difusin
equimolar.
Para adecuar esta ltima ecuacin al caso de mezclas binarias de gases,
recordemos las ecuaciones 1- 12 y 1-13:
A
AA yP
P
C
C
RT
P
V
nC
Efectuando las transformaciones pertinentes, llegamos a las siguientes
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expresiones:
- En funcin de las fracciones molares:
21 AA
AB
AYY
xRT
PSDN
(1-30)
- En funcin de las presiones parciales:
21 AA
AB
APP
xRT
SDN
(1-31)
EJEMPLO 1- 6
En un ducto de seccin cuadrada de 45 cm de lado y 90 cm de largo cuyos
extremos sellados se han introducido 112,280 g de monxido de carbono (CO) Y
131,857 g de oxgeno (02) a presin atmosfrica y 00C.
Determinar a qu distancia a lo largo del ducto se encuentran dos puntos de
muestreo que presentan fracciones molares del monxido de carbono de 0.65 y
0.46 respectivamente, si se sabe que el flujo neto molar del CO y deI 02 entre los
dos puntos de muestreo es de 6.35 x 10-4 Moles g/s
Solucin: Por tratarse de una mezcla binaria de gases con difusin equimolar
podremos aplicar la ecuacin 1-30.
DAB S P
NA = (YA1 - YA2)
RTx
En donde:
-
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NA= 6.35 x 10-4 Moles g/s
DAB= 0.185 cm2/s (de la tabla 11)
P= 1 atm
S= 45 x 45 = 2.025 cm2
R= 82.06 cm3 atm/Mol g K
T= 273.16 K
YA1 = = 0.65
YA2 = 0.46
x = Incgnita
Despejando x tendremos:
DAB S P
x = (YA1 - YA2)
RTNA
0.185 x 1 x 2.025
Ax = ------------------------------------------ (0.65 - 0.46) = 5 cm
6.35 x 10-4 x 82.06 x 273.16
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CAPITULO 3: COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE MASA
Introduccin
Leccin 11: Generalidades sobre coeficientes de transferencia de masa
En el numeral anterior se estudi el comportamiento de la transferencia de masa
en situaciones relativamente simples. Se vio cules eran las condiciones de
difusin de un liquido en otro liquido, de un gas en otro gas y la difusin en slidos.
Estos fenmenos de transferencia se refieren a situaciones simples en las que se
tenia supuesto que una gran cantidad de condiciones del sistema de difusin
permanecen constantes.
Recordemos el desarrollo de la ecuacin 3-10. Mediante una integracin
matemtica de la primera ley de Fick, llegamos a la definicin del flujo neto molar
de un componente A en otro B, como:
BA
AA
BA
AAAB
BA
A
ANN
N
C
C
NN
N
C
C
x
CSD
NN
NN 12 /ln
Para llegar a esta expresin, se ha supuesto que los flujos netos molares NA y NB
permanecen constantes con el tiempo. De igual forma, la difusividad DAB, la
concentracin C, el rea S y la distancia de transferencia x, son factores que
permanecen constantes con el tiempo.
De otra parte las concentraciones entre los puntos de transferencia CA1 y CA2 se
han supuesto igualmente constantes con el tiempo.
Lo anterior es en realidad una situacin ideal, ya que es perfectamente lgico
pensar que cuando un fenmeno de difusin comienza a ocurrir las
concentraciones deban variar despus de transcurrido algn tiempo, puesto que lo
que est ocurriendo es una transferencia de masa de un punto a otro punto, y
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mientras no exista una fuente que mantenga esa concentracin inicial (CA1) y
algn otro factor externo que haga que permanezca la concentracin final (CA2) lo
que ocurrir ser simplemente que las dos concentraciones tendern a igualarse
hasta llegar a su punto de homogenizacin.
Las anteriores consideraciones debern tambin aplicarse a las difusividades DAB
y las otras condiciones expuestas.
De igual forma podemos referirnos a la aplicacin de las ecuaciones 1-11, 1-1-
14,1-15 y dems ecuaciones que definen el fenmeno de difusin de una
sustancia a travs de otras en condiciones ideales.
Recordemos el ejemplo que describa los dos tipos de transferencia de masa en el
que dos cubos de azcar haban sido depositados suavemente en el fondo de una
taza de caf. Hasta el momento lo que hemos estudiado es el movimiento
espontneo de las molculas de una sustancia a travs de la otra. Este
movimiento que describe la migracin molecular desde los puntos de mayor
concentracin a los de menor concentracin se ha definido con el nombre de
difusin molecular.
El otro proceso en el que intervienen agitacin y desplazamientos mecnicos
bruscos denominado como difusin turbulenta hasta el momento no ha sido
tomado en cuenta.
Con el fin de abordar estos temas que nos acercan a situaciones ms acordes con
los procesos reales en la industria de alimentos, es necesario precisar algunos
conceptos que se vern a continuacin.
Leccin 12: Transferencia en zona turbulenta
En el estudio de fluidos se puede comprobar que las zonas donde existe una
plena turbulencia, la composicin del fluido es completamente homognea. Es
decir: no se presentan gradientes de concentracin entre dos o ms puntos
diferentes de la zona turbulenta.
De igual forma podemos afirmar que en las zonas de los gases en donde
prevalece la turbulencia, no existen diferencias en las presiones parciales de los
componentes y, por consiguiente, las fracciones molares tambin permanecen
constantes.
Sin embargo, las zonas de turbulencia de los fluidos tienden a amortiguarse
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cuando se aproximan a las paredes del recipiente que los confina o cuando se
aproximan a una superficie de contacto con otra sustancia que se encuentra en
otra fase.
Observemos, por ejemplo, lo que sucede cuando una corriente de aire se
desplaza por encima de una superficie de agua (ej: una laguna). Se puede
comprobar que el aire que est en contacto con el agua prcticamente est en
reposo. Unas micras por encima de la superficie del agua puede percibirse un flujo
laminar muy lento que aumenta rpidamente en la medida en que nos alejamos de
la superficie pasando por una zona de transicin y llegando finalmente a la zona
de turbulencia.
El fenmeno que nos interesa observar ahora es la transferencia de masa desde
la superficie del agua hasta la zona turbulenta del aire. Dependiendo de las
condiciones de humedad del aire, temperatura y presin atmosfrica reinante,
comenzar a evaporarse el agua presentndose la transferencia de masa a travs
de la zona de flujo laminar hasta la zona de turbulencia.
El movimiento migratorio de las molculas de agua cuando se desprenden de la
superficie y entran en la zona de flujo laminar, puede describirse como un
fenmeno de difusin molecular y sera vlido aplicar las ecuaciones de
transferencia ya estudiadas. Sin embargo, la descripcin del movimiento molecular
en la zona de transicin y en la zona turbulenta presenta caractersticas muy
diferentes, de tal forma que la difusividad (DAB), la concentracin total (C) y la
direccin de transferencia estn cambiando permanentemente.
Para una situacin como la descrita ser necesario redefinir las ecuaciones de
transferencia teniendo en cuenta las nuevas alteraciones.
Leccin 13: Coeficientes locales
La primera aproximacin que puede hacerse frente a fenmenos cambiantes de
concentracin, difusividad y direccin en los procesos de transferencia de masa,
es redefinir los anteriores trminos en uno nuevo que los agrupe.
As, para la ecuacin general de transferencia en una mezcla binaria definimos la
relacin:
DAB C / x = F
como un coeficiente local de transferencia, cuyas unidades sern Moles/L2.
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De esta forma la ecuacin 1-10 quedara transformada en:
BA
AA
BA
AA
BA
A
ANN
N
C
C
NN
N
C
CFS
NN
NN 12 /ln (1-34)
En donde:
NA= Flujo molar en la superficie interf acial
F= Coeficiente local de transferencia de masa
CA1 y CA2= Concentraciones del componente A al comienzo y final de la
trayectoria de transferencia
NOTA: para utilizar esta frmula, necesariamente alguno de los dos trminos de la
concentracin del componente A (CA1 o CA2) deber estar medido en la superficie
interfsica.
El valor del coeficinte local de transferencia de masa (F), depender de dnde se
defina el punto terminal de la transferencia y de las dems circunstancias
reinantes en el sistema de transferencia.
Al igual que en los casos estudiados en la numeral 1.2 del presente captulo, el
valor de la relacin NA / (NA + NB ) deber determinarse por mtodos no
difusionales, bien sean experimentales o tericos.
En la aplicacin prctica de la ecuacin 1-34, la relacin CA/C se reemplaza por la
fraccin molar XA para lquidos y yA para gases. De esta forma tendremos:
Flujo molar en la superficie interfsica para lquidos:
BA
A
A
BA
A
A
BA
A
ANN
NX
NN
NXFS
NN
NN
12/ln (1-35)
Flujo molar en la superficie interfsica para gases y vapores:
BA
A
A
BA
A
A
BA
A
ANN
NY
NN
NYFS
NN
NN
12/ln (1-36)
-
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EJEMPLO No. 1-8
Determinar el coeficiente local de transferencia de masa F en libras mol / hora
pie2, para el agua que contiene un jugo de mora, la cual se evapora al contacto
con una corriente de CO2; se conocen los siguientes datos:
La evaporacin del agua, por hora sobre la atmsfera de CO2 es de 7.56 x 10-4
libras por pie2, de superficie.
La presin parcial del agua en la superficie es de 0.018 atm y a 5 pulgadas de
altura es de 0.012 atm.
La presin total del sistema es de 1.12 atm.
La relacin de flujos molares entre el vapor de agua y el CO2 es de NA /(NA + NB) =
1.00067
Peso molecular del vapor de agua MA=18 lb/lb mol
Peso molecular del CO2 MB = 44 lb/lb mol
Solucin: Deberemos aplicar la ecuacin 1-36:
BA
A
A
BA
A
A
BA
A
ANN
NY
NN
NYFS
NN
NN
12/ln
En donde:
NA / NA + NB = 1.00067
S = 1.0 pie2 (base de clculo)
yA1 = PA1 / P = 0.018 / 1.12 = 0.01617
yA2 = PA2 / P = 0.012 / 1.12 = 0.0107
NA = 7.56 x 10-4 (lb/h) x 1 /18 (lb mol / lb) = 4.2 x 10-5 (lb mol / h)
Despejando F de la ecuacin 1-36, tenemos:
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4.2 x 10-5
F = -----------------------------------------------------------------------------------------
1.00067 x 1.0 x ln [[0.01 071 - 1.00067 / 0.01 607- 1.00067]
F = 7.73 x 10-3 lb mol / hpie2
Leccin 14: Coeficientes especficos
Con el fin de facilitar los regmenes de transferencia de masa se han llegado a
plantear ecuaciones mucho ms sencillas en las que intervienen un coeficiente
especfico de transferencia de masa, el rea de transferencia y la diferencia de
condiciones especficas en el punto inicial y final de dicha transferencia.
Se plantean entonces las ecuaciones para cada caso especfico:
- Transferencia de A a travs de B que no se difunde Para lquidos:
NA= KL S (CA1 - CA2) = K x S (xA1 - xA2) (1-37)
En donde:
NA = Flujo molar en superficie interfsica en Moles/
KL = Coeficientes especficos en funcin de concentraciones en Moles
transferidos/ t x rea x unidades de concentracin
S = Superficie interfsica, en L2
CA = Concentracin del componente A en Moles/L3
Kx = Coeficiente especfico en funcin de fracciones molares, lquidos, en moles
transferidos / t x Area x Fraccin molar
xA= Fraccin molar del componente A, en Moles de A/Moles totales
-
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Para gases:
NA= KG S (CA 1- CA2) = KPS (PA1-PA2) = KYS (YA1-YA2) (1-38)
En donde:
KG = Coeficiente especfico en funcin de las concentraciones, en moles transfe-
ndos/ t x rea x unidades de concentracin.
KP= Coeficiente especfico en funcin de las presiones parciales, en moles
transferidos / t x rea x unidades de presin.
KY = Coeficiente especfico en funcin de las fracciones molares gaseosas, en
moles transferidos / x rea x fraccin molar.
CA: Concentracin del componente A, en moles/L3.
PA: Presin parcial del componente A, en unidades de presin.
YA: Fraccin molar del componente A, en moles de A/moles totales.
- Transferencia equimolar de A a travs de B
De forma anloga a las ecuaciones anteriores, tambin puede definirse el rgimen
de flujo molar cuando se presenta transferencia equimolar con coeficientes
especficos en funcin de las diferentes variables:
Para lquidos:
NA= KL S (CA1 - CA2) = KxS (XA1 -XA2) (1-39)
Para gases:
NA= KG S (CA 1 - CA2) = KPS (PA1 -PA2) = KYS (YA1 -YA2) (1-40)
NOTA: Las unidades de KL , Kx , KG , KP , K son las mismas que sus
correspondientes anlogas: KL , Kx , KG , KP , KY .
Algunos cientficos han desarrollado diversas frmulas matemticas bastante com-
plejas, para determinar los coeficientes especficos en diferentes circunstancias.
Sin embargo, la exactitud de esos clculos depender en gran parte de muchas
variables cuya medicin puede resultar muy complicada.
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La verdadera utilidad de los coeficientes especficos radica en poderlos determinar
experimentalmente controlando una sola variable (concentracin, fraccin molar o
presin parcial).
Una vez definido el coeficiente especfico en forma experimental, se podrn
predecir nuevos regmenes de flujo molar para condiciones diferentes.
EJEMPLO No. 1-9
En el laboratorio de control de calidad de una fbrica de derivados lcteos se
efectuaron experiencias para analizar la prdida de humedad de la leche cuando
se someta a la accin de una corriente de aire con humedad y velocidad
controladas. Para un rea de interfase de 35 cm2 se efectuaron medidas de
prdidas de humedad de la leche contra tiempo, mientras que simultneamente se
tomaron medidas de la concentracin de agua en el aire en dos puntos fijos de
referencia a saber: la superficie de la interfase y 15cm por encima.
Del experimento se obtuvo la tabla de datos presentada adelante:
- Con los datos experimentales, encontrar el coeficiente de transferencia de masa
especfico promedio; para el vapor de agua que se difunde en el aire (KG) si se
sabe que el aire no se difunde.
- Determinar los coeficientes especficos en funcin de las presiones parciales (Kp)
y en funcin de fracciones molares (Ky). si se sabe que la presin total promedio
reinante es de 1.46 atmsferas y la temperatura es de 22 0C.
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Agua total
evaporada
Cono.
Agua
Mol gr / cm3
Interfase a 15 cm
(minutos) gr. CA1 CA2
0 0 2.140x 10-6 1.064x 10-6
1 2.20 2.140x10-6 1.093x10-6
2 4.34 2.142x10-6 1.099x10-6
3 6.47 2.145x10-6 1.102x10-6
4 8.60 2.146x10-6 1.125x10-6
5 10.69 2.146x10-6 1.131x10-6
6 12.76 2.146x10-6 1.146x10-6
7 14.81 2.147x10-6 1.147x10-6
8 16.85 2.147x10-6 1.147x10-6
9 18.90 2.147x 10-6 1.147x10-6
10 20.94 2.147x10-6 1.147x10-6
Solucin: - Se pide averiguar el valor de KG promedio para aplicar en la ecuacin
1-38
NA= KG S (CA 1 - CA2)
o bien:
NA = KG S CA
Con los datos experimentales se pueden tabular los diferentes NA = KGS CAprom
Por ejemplo, para el primer minuto de difusin se calcula as:
-
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(2.20 - 0)/18
NA = = 2.037 x 10-3 Mol g/s
(1- 0) x 60
CA inicial = (2.140 - 1.064) x 10-6 = 1.076 x 10 -6Mol g/cm3
CA final = (2.140 - 1.039) x 10-6 = 1.047 x 10 -6Mol g/cm3
CA prom. = (1.076 + 1.047) x 10-6 = 1.0615 x 10 -6Mol g/cm3
Procediendo de igual forma para los dems intervalos de tiempo se conform la
siguiente tabla:
Efectuando un promedio de los diez valores de K0 obtenidos, tenemos:
NA CA prom KG = NA /SCA prom
MoI g/s Mol g /cm3 Moles g/scm2 (Moles
g/cm3)
2.0370x10-3 1.0615x 10-6 54.83
1.9815x 10-3 1.0450x10-6 54.18
1.9722 x 10-3 1.0430 x 10-6 54.02
1.9722 x 10-3 1.0320 x 10-6 54.60
1.9352x10-3 1.0180x10-6 54.31
1.9167x10-3 1.0075x10-6 54.36
1.8981x10-3 1.0000x 10-6 54.23
1.8889 x 10-3 1.0000 x 10-6 53.97
1.8981x10-3 1.0000x10-6 54.23
1.8889 x 10-3 1.0000 x 10-6 53.97
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Moles g transferidos
KG Prom. = 54.27 ---------------------------------------------
s x cm2 x (Moles g/cm3)
Para calcular Kp y Ky es necesario recurrir a las ecuaciones 1-38, 1-12 y 1-13.
NA= KG S (CA 1- CA2) = KPS (PA1-PA2) = KYS (YA1-YA2)
o bien:
Gx= (CA 1 - CA2) = KP (PA1 -PA2) = KY (YA1 -YA2)
o bien:
KG CA = Kp PA = Ky YA
Sabemos tambin que:
AAA YP
P
C
C
De acuerdo con la ecuacin de estado:
n P
C = ------= ---------
V RT
En donde:
P: 1,46 atm
T: 22 + 273,16 = 295,16 K
R: 82.06 cm3 atm/mol g K
Entonces:
-
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1,46 Mol g
C = = 6,0279x10-5
82,06 x 295,16 cm3
Si se sabe que:
111
AAA YP
P
C
C 2
22A
AA YP
P
C
C
, entonces:
AAA Y
P
P
C
C
, osea que:
KG CA / C = Ky YA
, o bien:
KG YA CA = Ky YA
Despejando:
KY = KG C = 54,27 x 6,0279 x 10-5
Ky = 3,2713 x 10-3 Moles g transferidos / scm2 v (fraccin molar)
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KP Procediendo de forma anloga, tenemos:PA = Ky YA
o bien: KP ( PA / P) P = Ky YA o bien: KP YA = Ky YA
Despejando:
KP = Ky / P = 3.2713x 10-3 / 1.46
Entonces:
KP = 2,2406 x 10-3 Moles g transferidos / scm2 atm
Leccin 15: Transferencia entre fases inmiscibles
Hasta el momento nos hemos detenido a analizar el fenmeno difusional y de
transferencia en una sola fase.
Tal como habamos visto al comienzo del presente captulo, la transferencia de
masa adquiere una verdadera importancia industrial, cuando se logran purificar,
aislar y separar unos compuestos de otros o unas sustancias de otras.
Los sistemas de aislamiento y purificacin se consiguen mediante operaciones
unitarias especficas tales como: el secado y la evaporacin que se vern en el
presente mdulo, o bien, procesos de separacin por contacto de equilibrio,
lixiviacin, cristalizacin y destilacin que se vern en la asignatura operaciones
en la industria de alimentos II.
La mayora de las operaciones unitarias mencionadas tendrn que considerar la
transferencia de masa de una sustancia o compuesto a travs de dos fases
inmiscibles.
Consideremos el siguiente ejemplo clsico: el amoniaco (NH3) es una sustancia
que en condiciones normales, es bastante soluble en el agua y, por supuesto,
tambin en el aire.
Cuando en un recipiente cerrado se ponen en contacto una porcin de agua, otra
de aire y amoniaco, esta ltima sustancia se disolver tanto en el aire como en el
agua. Se presentar un fenmeno en el que el NH3 migrar del agua y pasando
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por la interfase se difundir luego en el aire. Simultneamente el amoniaco que se
encuentra en el aire migrar tambin a travs de la interfase desde el aire hasta el
agua. Esta situacin continuar hasta que se establezca un equilibrio dinmico
mediante el cual, el flujo molar del amoniaco desde el aire hasta el agua es igual al
flujo molar del NH3 desde el agua hasta el aire.
En el equilibrio, la concentracin del NH3 en el aire y en el agua lo mismo que las
fracciones molares permanecern constantes hasta que algn agente rompa el
equilibrio; por ejemplo, aumento de la temperatura, inyeccin de ms amonaco,
cambio en el rgimen de presin, etc.
En el equilibrio, la concentracin del NH3, en el agua es diferente a la
concentracin del NH3 en el aire. Igual consideracin podremos decir de las
fracciones molares.
Si bien es cierto que en una misma fase una sustancia se difunde naturalmente
desde un punto de mayor concentracin a otro de menor concentracin, a travs
de la interfase esto no siempre ocurre; la prueba de ello es que, para el ejemplo
del NH3 en el estado de equilibrio, la concentracin en la fase lquida es diferente
a la concentracin de la fase gaseosa.
La anterior consideracin pone en evidencia que la verdadera fuerza impulsora de
la difusin molecular no es la concentracin sino otro tipo de fuerza que se le ha
llamado potencial qumico. Lo que determina entonces la condicin de equilibrio
entre fases es la igualacin de los potenciales qumicos de cada una de las fases.
El potencial qumico depender entonces de muchos factores, tales como: la
concentracin, la presin, la temperatura y la energa de interaccin molecular.
Para condici