cara mengerjakan soal modulo

7/26/2019 Cara Mengerjakan Soal Modulo

1/9

Cara mengerjakan soal-soal tentang modulo

Saran dan komentar dipersilakan. Silakan share tanpa perlu minta ijin.

----------------------------------------------------------------------------------------

Tentukan angka terakhir dari 2013^2013.

Tentukan sisa pembagian 2013^2012^2011 dibagi 123.

Dua soal di atas adalah contoh soal yang cocok menggunakan modulo. pa

itu modulo! "perasi modulo# beserta aritmatika modulus# adalah dua konsep

dasar dari teori bilangan.

Konsep 1: Operasi modulo dalam matematika

$ika aadalah bilangan bulat dan badalah bilangan asli %bulat positi&'# maka amod badalah sebuah bilangan bulat cdimana 0 c b-1# sehingga a-

cadalah kelipatan b. (ontohnya# ) mod 3 * 1# karena )-1 adalah kelipatan 3.

+erhatikan bah,a ) mod 3 * # karena /* 3# dan ) mod 3 * 2# karena )-

2 bukan kelipatan 3. isa dibayangkan bah,a a mod bitu sisa pembagian

dari adibagi b. Tapi hati-hati untuk nilai anegati& -) mod 3 * 2.

Teorema 1: Kumpulan sifat distributif mengenai modulo

$ika a, badalah bilangan bulat dan nadalah bilangan asli# maka

1. (a+b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n2. (ab) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n

3. (a^b) mod n = ((a mod n)^b) mod n# untuk bbilangan bulat nonnegati&

Latihan 1

1. Tentukan nilai dari )453210 mod 12.

2. Tentukan nilai dari %)531642 - 135)624' mod 20.

3. Tentukan angka terakhir dari 1 7 2 7 3 7 ... 7 2013. %sumsi 8mumnya#

9angka terakhir9 itu dalam basis 10. :alau diperbolehkan bertanya tentangsoal# coba tanyakan; kalau tidak# bekerja dengan basis 10. Dalam soal ini#

angka terakhir adalah dalam basis 10.


2/9

Konsep 3: n!ers modulo

$ika aadalah bilangan bulat dan nadalah bilangan asli# dan a, nsaling relati&

prima# maka terdapat sebuah nilai bsehingga ab = 1 mod n. =ilai bdisebut

in>ers dari amodulo n.

----------------------------------------------------------------------------------------

8mumnya# soal modulo tidak semudah ?atihan 1. da beberapa tambahan

konsep yang dipakai.

Konsep ": #uler$s totient fun%tion &'(

$ikanadalah bilangan asli# maka

(n)adalah banyak bilangan asli @

nyangrelati& prima dengan n. Aisalnya# B%12' * # karena di antara bilangan-

bilangan asli @ 12 %yaitu 1#2#3##5#4#)###10#11#12'# hanya ada empat buah

%1#5#)#11' yang saling relati& prima dengan 12. +erhatikan bah,a B%1' * 1#

bukan 0.

8ntuk selanjutnya# B akan disebut 9phi9.

Teorema 2: )enghitung phi&n( dari faktorisasi prima n

$ikap1, p2, ..., pkadalah seluruh &aktor prima dari n# makaphi(n) = n * (p1 -1)/p1 * (p2 - 1)/p2 * ... * (pk - 1)/pk. Aisalnya# karena &aktor-&aktor prima dari

12 adalah 2 dan 3# maka

phi%12'

* 12 6 %2-1'C2 6 %3-1'C3

* 12 6 1C2 6 2C3

*

yang sesuai dengan contoh pada :onsep 3.

Latihan 2

1. Tentukan nilai dari phi%4'.



3/9


. uktikan bah,a jikapadalah bilangan prima makaphi(p) = p-1. $ika ini

bisa dibuktikan tanpa menggunakan Teorema 2# berarti bagus# ini langkah

pertama membuktikan Teorema 2. Sisanya cari sendiri '

Teorema 3: #uler$s theorem

$ika aadalah bilangan bulat# nadalah bilangan asli# dan adan nsaling relati&

prima# maka a^phi(n) = 1 (mod n).

Digunakan bersama dengan a^(m+n) = a^m * a^nuntuk bilangan

bulata,m,napapun# kita dapat menggunakan ulerEs theorem untuk

menyelesaikan beberapa soal. (ontoh


*olusi

2013^2013 mod 10

* %2013 mod 10'^2013 mod 10 %dari Teorema 1.3'

* 3^2013 mod 10

+erhatikan bah,a phi%10' * 10 6 1C2 6 C5 * . Aaka# 2013^2013 mod 10

* 3^%2013 mod phi%10'' mod 10 %dari ulerEs theorem'

* 3^%2013 mod ' mod 10

* 3^1 mod 10

* 3 mod 10

* 3

Latihan 3

1. Tentukan angka terakhir dari 54)^0.

2. Tentukan nilai dari 2010^2010 mod 2011. %


4/9

x = b1 mod a1

x = b2 mod a2

...

x = bk mod ak

Selanjutnya# nilaix mod (a1*a2*...*ak)adalah unik.

(hinese Femainder Theorem %disingkat (FT' umumnya dipakai dimana

ulerEs theorem tidak dapat berjalan; saat adan ntidak relati& prima.

(ontoh


:ita tidak boleh langsung memasukkan ke ulerEs theorem.

*olusi salah

2012^2012 mod 10

* 2^2012 mod 10

:arena phi%10' * # maka 2012^2012 mod 10

* 2^%2012 mod ' mod 10

* 2^0 mod 10

* 1

:ita harus menggunakan cara lain. iasanya# kita pakai (FT dengan cara ini.

*olusi benar

erdasarkan (FT# kita dapat menentukan nilai darix mod 10 diberikanxmod

2 danx mod 5. 8ntukx * 2012^2012# kita dapat

2012^2012 mod 2

* %2012 mod 2'^2012 mod 2 %Teorema 1.3'* 0^2012 mod 2

* 0

:arena phi%5' * # maka

2012^2012 mod 5


5/9

* %2012 mod 5'^%2012 mod phi%5'' mod 5 %Teorema 1.3 dan ulerEs

theorem'

* 2^0 mod 5

* 1

Aaka kita cari sebuah nilaixsehinggax * 0 %mod 2' danx * 1 %mod 5'.

Didapat bah,a nilainya adalahx * 4 %mod 10'# sehingga 2012^2012 mod

10 * 4.

Latihan "

1. Tentukan angka terakhir dari 201^201.

2. Tentukan nilai dari 1000^1000 mod 2013.

3. Tentukan nilai dari 2013^2012^2011 mod 123.%sumsi a^b^cberartia^(b^c)# bukan (a^b)^c = a^(bc).'

. Tentukan angka terakhir dari 1^1 7 2^2 7 3^3 7 ... 7 2013^2013.

Selamat# sekarang nda sudah dapat mengerjakan soal-soal modulo yang

cukup umum

Teorema ,: Teorema ilson

$ikapbilangan prima# maka (p-1)! = -1 mod p.

Tentukan sisa pembagian %10'^%10' oleh 11.

*olusi

erdasarkan Teorema Gilson# karena 11 adalah bilangan prima# maka 10 *

-1 mod 11. Aaka kita mencari %-1'^%10' mod 11.

+erhatikan bah,a 10 genap; dia mengandung &aktor 2. erarti hasilnyaadalah %-1'^%genap' mod 11 * 1 mod 11.

Teorema .: )enentukan nilai /ang memenuhi C+T


6/9

da algoritma konstrukti& untuk menentukan nilaixdalam (FT selain

mencoba satu per satu# namun algoritmanya cukup sulit. :alau tertarik# di

ba,ah ini adalah algoritmanya.

Diberikan a1, a2bilangan yang saling relati& prima dan b1, b2bilangan bulat#kita akan menentukanxsehinggax = b1 mod a1danx = b2 mod a2.

+ertama# kita gunakan Htended uclidean lgorithm untuk menghitung

in>ers dari a1 mod a2dan in>ers dari a2 mod a1. nggap a1 > a2; kalau

tidak# ubah posisinya. isa dilihat di

GikipediahttpsCCen.,ikipedia.orgC,ikiCHtendedIuclideanIalgorithmJTable

Imethod

Siapkan sebuah tabel berisi kolom :# D# K# L.+ertama# tuliskan 0# a1# 1# 0 pada baris pertama.

Selanjutnya# tuliskan 0# a2# 0# 1 pada baris selanjutnya.

Sekarang# mulai dari baris ketiga. Aisalkan bilangan pada kolom D# K# L di

baris sebelumnya adalah d2, x2, y2# dan pada baris sebelumnya lagi

adalah d1, x1, y1. Aaka isi pada kolom : bilangan k = oo(d1/d2).

Selanjutnya# isi pada kolom D# K# L bilangan-bilangan d1 - k*d2#x1 - k*x2#y1

- k*y2.

?anjutkan terus sampai kolom D berisi angka 0. ers a1moduloa2#

dan d2adalah in>ers a2modulo a1.

(ontoh# untuk 1 dan 11

+ermulaan

: D K L

0 1 1 0

0 11 0 1

aris ketiga k * Moor%1C11' * 1. erarti kita tulis 1.
https://www.facebook.com/l.php?u=https%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FExtended_Euclidean_algorithm%23Table_method&h=7AQGar1vz&s=1https://www.facebook.com/l.php?u=https%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FExtended_Euclidean_algorithm%23Table_method&h=7AQGar1vz&s=1https://www.facebook.com/l.php?u=https%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FExtended_Euclidean_algorithm%23Table_method&h=7AQGar1vz&s=1https://www.facebook.com/l.php?u=https%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FExtended_Euclidean_algorithm%23Table_method&h=7AQGar1vz&s=1


7/9

: D K L

0 1 1 0

0 11 0 1

1

Selanjutnya# kita tulis 1 - 1611 * 3 pada D# 1 - 160 * 1 pada K# 0 - 161 * -1

pada L.

: D K L

0 1 1 0

0 11 0 1

1 3 1 -1

Selanjutnya lagi# k* Moor%11C3' * 3.: D K L

0 1 1 0

0 11 0 1

1 3 1 -1

3

D * 11 - 363 * 2# K * 0 - 361 * -3# L * 1 - 36%-1' *

: D K L0 1 1 0

0 11 0 1

1 3 1 -1

3 2 -3

:ita lanjutkan terus

: D K L

0 1 1 00 11 0 1

1 3 1 -1

3 2 -3

1 1 -5

2 0


8/9

:arena kita dapat D * 0# kita hapus baris yang terakhir ini.

: D K L

0 1 1 0

0 11 0 1

1 3 1 -1

3 2 -3

1 1 " -,

Aaka in>ers dari 1 mod 11 adalah %mod 11' dan in>ers dari 11 mod 1

adalah -5 %mod 1'. :ita cek ulang# memang 16 * 1 %mod 11' dan 116%-5'

* 1 %mod 1'.

Selanjutnya# setelah dapat nilai-nilai d1dan d2# kita langsung dapat nilaix =

b1*a2*d2 + b2*a1*d1 (mod (a1*a2)).

Aisalnya# dari lanjutan contoh di Teorema

x* 1 mod 5

x * 0 mod 2

%Selalu susun supaya modulo lebih besar di atas.'

:ita mulai dengan Htended uclidean lgorithm

: D K L

0 5 1 0

0 2 0 1

2 1 1 -2

2 0

erartix* 1626%-2' 7 06561 * - * 4 %mod 10'.


9/9

&a0b( b abshall e4ual a

"xamp#$ %. &/(-')i -1

*/ %-1' 6 %-3' 7 5N%-3'* 5

56 ,&-3(should be 2

cara mengerjakan soal modulo

Documents