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REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009

CAPÍTULO III

REDES EQUILIBRADAS

3.1. CONDICIONES DE EQUILIBRIO A CONSIDERAR..

3.1.1. EQUILIBRIO SENOIDAL IDEAL.

Surge la necesidad de discriminar los sistemas equilibrados estrictamente senoidales, ello

quiere decir, que tanto la fuente como la carga no contienen distorsión armónica muy

pronunciada, es decir podemos explicitar básicamente lo siguiente:

Que las tres fuerzas electromotrices generadas sólo dependen temporalmente de la

función seno o coseno fundamental más sus desfases respectivos, característica de un

sistema trifásico.

Que las cargas son lineales ó realmente tienen o poseen un % de THD permisible por

norma 5 – 7 %, según ANSI, CEI, que hacen que se considere a la carga como

equilibrado.

Aclarado tanto la fuente como la carga podemos concluir que un sistema se considera

equilibrado si:

El desfase entre f.e.m. y/o tensiones de Línea ó de Fase es de 120º. Conexión Estrella.

El desfase entre corrientes de Línea ó de Fase es de 120º. Conexión Triángulo.

La relación entre Tensiones de Línea y Tensiones de Fase es √3. Conexión Estrella.

La relación entre Corrientes de Línea y Corrientes de Fase es √3. Conexión Triángulo.

1


Las Impedancias de las tres fases de la carga son iguales, tanto en magnitud como en

fase.

La diferencia de potencial entre el Neutro fuente y Neutro carga, es igual a cero.

Conexión Estrella.

Las Tensiones de línea son iguales en magnitud y desfasados entre sí, 120º.

Las Tensiones de fase son iguales en magnitud y desfasados entre sí, 120º.

Las Corrientes de línea son iguales en magnitud y desfasados entre sí, 120º.

Las Corrientes de fase son iguales en magnitud y desfasados entre sí, 120º.

La corriente en el neutro es igual a cero.

La suma fasorial de corrientes de línea, es igual a cero.

La suma fasorial de corrientes de fase, es igual a cero.

La suma fasorial de Tensiones de línea, es igual a cero.

La suma fasorial de Tensiones de fase, es igual a cero.

La suma de dos fasores es igual en magnitud a ellas pero no en fase.

La diferencia de dos fasores, es igual a √3 la magnitud de ellas, pero, no se encuentran

en fase.

Ver figura RE - 01:

2


Figura RE – 01 MÁQUINA SÍNCRONA - ALTERNADOR

3


Las fuerzas electromotrices trifásicas equilibradas de fase y generadas por la máquina síncrona

de la Fig. RE – 01, en Voltios, pueden escribirse en forma senoidal, como:

e10 (t) = √2 E10 cos (wt)

e20 (t) = √2 E20 cos ( wt - 2π3)

e30 (t) = √2 E30 cos ( wt - 4π3)

4


Consideraremos: e10 (t) = e1 (t) ; E10 = E1 , para las tres fases, esto quiere decir, que podemos

escribir con el subíndice ‘cero’ ó prescindir de él, para el caso de tensiones de fase. Conexión

estrella.

Donde: │E1│ = │E2│ = │E3│ = │E│ ( Condición de equilibrio ), luego:

Donde las fases son 1, 2 y 3, pudiendo ser A, B y C ó R, S y T ó U, V y W, etc.

En forma fasorial ó en forma compleja puede escribirse las mismas fuerzas electromotrices

equilibradas como sigue:

5


Las fuerzas electromotrices de línea, en Voltios será:

eAB (t) = √2 EAB cos (wt + π6)

eBC (t) = √2 EBC cos ( wt - π2)

eCA (t) = √2 ECA cos ( wt + 5π6)

Donde: │EAB│ = │EBC│ = │ECA│ = │E│ ( Condición de equilibrio de la tensión de fase),

luego:

eAB (t) = √2 E cos (wt + π6)

eBC (t) = √2 E cos ( wt - π2)

6


eCA (t) = √2 E cos ( wt + 5π6)

En forma compleja:

EAB = E /30º

EBC = E /-90º = E /270º

ECA = E /-210º = E /150º

Las corrientes de línea equilibradas suministradas por el generador ó máquina síncrona, a una

carga, cuya impedancia con desfase ‘φ’, serán:

i1 (t) = √2 I1 cos (wt - φ)

7


i2 (t) = √2 I2 cos ( wt - 2π3 - φ )

i3 (t) = √2 I3 cos ( wt - 4π3 - φ )

Donde: ‘φ’ – Desfase provocado por la impedancia de la carga trifásica.

│I1│ = │I2│ = │I3│ = │I│ ( Condición de equilibrio ), luego:

i1 (t) = √2 I cos (wt - φ)

i2 (t) = √2 I cos ( wt - 2π3 - φ )

i3 (t) = √2 I I3 cos ( wt - 4π3 - φ )

En forma fasorial:

8


IA = I /-φº

IB = I /-120º-φ = I /240º-φ

IC = I /-240º-φ = I /120º-φ

Las dos formas de representación son para la secuencia positiva.

Las tensiones de línea o de fase equilibradas, en la carga, al igual que las corrientes, pueden

escribirse de la misma forma, en función del tiempo y en forma compleja. Ahora tomaremos

otra nomenclatura para las fases de la conexión estrella equilibrada:

9


Las tensiones de fase:

vA (t) = √2 VA cos (wt)

vB (t) = √2 VB cos ( wt - 2π3)

vC (t) = √2 VC cos ( wt - 4π3)

Donde: │VA│ = │VB│ = │VC│ = │V│ ( Condición de equilibrio de la tensión de fase),

luego:

vA (t) = √2 V cos (wt)

vB (t) = √2 V cos ( wt – 2π3)

10


vC (t) = √2 V cos ( wt – 4π3)

En forma compleja:

VA = V /0º

VB = V /-120º = V /240º

VC = V /-240º = V /120º

Las tensiones de línea:

vAB (t) = √2 VAB cos (wt + π6)

11


vBC (t) = √2 VBC cos ( wt - π2)

vCA (t) = √2 VCA cos ( wt + 5π6)

Donde: │VAB│ = │VBC│ = │VCA│ = │V│ ( Condición de equilibrio de la tensión de fase),

luego:

vAB (t) = √2 V cos (wt + π6)

vBC (t) = √2 V cos ( wt - π2)

vCA (t) = √2 V cos ( wt + 5π6)

En forma compleja:

12


VAB = V /30º

VBC = V /-90º = V /270º

VCA = V /-210º = V /150º

Para las corrientes de línea equilibradas en conexión estrella, en función del tiempo y en forma

compleja será:

iA (t) = √2 IA cos (wt -φ)

iB (t) = √2 IB cos ( wt – 2π3 - φ )

iC (t) = √2 IC cos ( wt – 4π3 - φ )

13


Donde: ‘φ’ - Desfase provocado por la impedancia de la carga trifásica.

│IA│ = │IB│ = │IC│ = │I│ ( Condición de equilibrio de la corriente de línea ),

luego:

iA (t) = √2 I cos (wt -φ)

iB (t) = √2 I cos ( wt – 2π3 - φ )

iC (t) = √2 I cos ( wt – 4π3 - φ )

En forma fasorial:

IA = I / φ º

IB = I /-120º-φº = I /240º-φº

14


IC = I /-240º - φ º = I /120º- φ º

Para las corrientes de fase equilibradas en conexión triángulo, en función del tiempo y en forma

compleja será:

iAB (t) = √2 IAB cos (wt -φ)

iBC (t) = √2 IBC cos ( wt – 2π3 –φ)

iCA (t) = √2 ICA cos ( wt – 4π3 –φ)

15


Donde: ‘φ’ - Desfase provocado por la impedancia trifásica equilibrada.

│IAB│ = │IBC│ = │ICA│ = │I│ ( Condición de equilibrio de la corriente se fase),

luego:

iAB (t) = √2 I cos (wt -φ)

iBC (t) = √2 I cos ( wt – 2π3 –φ)

iCA (t) = √2 I cos ( wt – 4π3 –φ)

En forma fasorial:

IAB = I /-φº

IBC = I /-120º = I /240º

16


ICA = I /-240º = I /120º

Las corrientes de línea equilibradas en conexión estrella, en función del tiempo y en forma

compleja será:

iA (t) = √2 IA cos (wt – φ – 30º )

iB (t) = √2 IB cos ( wt – 2π3 – φ – 30º)

iC (t) = √2 IC cos ( wt – 4π3 – φ – 30º)

Donde: │IA│ = │IB│ = │IC│ = │I│ ( Condición de equilibrio de la corriente de línea ),

iA (t) = √2 I cos (wt – φ – 30º )

17


iB (t) = √2 I cos ( wt – 2π3 – φ – 30º)

iC (t) = √2 I cos ( wt – 4π3 – φ – 30º)

En forma fasorial:

IA = I /- φ - 30º

IB = I /-120º - φº - 30º = I /240º - φº- 30º

IC = I /-240º - φº - 301º = I /120º - φº- 30º


18


vAB (t) = √2 VAB cos (wt + π3)

vBC (t) = √2 VBC cos ( wt - π2)

vCA (t) = √2 VCA cos ( wt + 5π6)

Donde: │VAB│ = │VBC│ = │VCA│ = │V│ ( Condición de equilibrio de la tensión de fase),

luego:

vAB (t) = √2 V cos (wt + π3)

vBC (t) = √2 V cos ( wt - π2)

19


vCA (t) = √2 V cos ( wt + 5π6)

En forma compleja:

VAB = V /30º

VBC = V /-90º = V /270º

VCA = V /-210º = V /150º

3.1.2. CARACTERÍSTICAS TRIFÁSICAS EQUILIBRADAS CONEXIONES

ESTRELLA - TRIÁNGULO.

3.1.2.1. TENSIÓN SIMPLE o de FASE.

Es la tensión ó diferencia de potencial que existe en cada una de las ramas

monofásicas de una carga trifásica conectada en estrella ó triángulo. En los

20


siguientes circuitos la tensión de fase se encuentra remarcado con un rectángulo.

Suponer que: │Z1 │ = │Z2 │ = │Z3 │

En los que podemos sacar muchas conclusiones importantes, por ejemplo:

21


Si │VRS │ = │VRN │ y se trata de una misma carga, entonces, la carga

demanda de la red una potencia distinta en una y otra conexión, esta será

proporcional a la tensión aplicada en bornes de la fase y la corriente que

circulará debido a esta aplicación, será mayor en aquella conexión, dónde la

tensión es también mayor en tres veces. Considere la diferencia de potencial por

fase. ( √3 ).

3.1.2.2. TENSIÓN DE LÍNEA ó COMPUESTA.

Es la tensión ó diferencia de potencial que existe entre dos conductores de línea o entre dos terminales de fase, correspondientes a cargas trifásicas equilibradas conectadas en estrella ó triángulo.

En los siguientes circuitos la tensión de línea se encuentra remarcado con un rectángulo.

Suponer que: │Z1 │ = │Z2 │ = │Z3 │

22


3.1.2.3. CORRIENTES ó INTENSIDAD DE FASE.

Es la corriente o intensidad de corriente que circula por cada una de las ramas

monofásicas de una carga trifásica equilibrada conectada en estrella ó triángulo. En los

siguientes circuitos la corriente de fase se encuentra remarcado con un rectángulo.

Suponer que: │Z1 │ = │Z2 │ = │Z3 │.

23


Acá, también podemos sacar algunas conclusiones importantes, por ejemplo:

4. Si │IRS │ = │IR │ y se trata de una misma carga, entonces, la carga demanda

de la red la misma potencia en una y otra conexión, esta será proporcional a la

tensión aplicada en bornes de la fase y la corriente que circulará debido a esta

aplicación, las tensiones en este caso son iguales en bornes de la carga

monofásica, fase, éste caso, corresponden a un motor trifásico de tensiones

380/220 ; Y/∆.

3.1.2.4. CORRIENTE ó INTENSIDAD DE LÍNEA:

24


Es la corriente o intensidad de corriente que circula por cada uno de los conductores de

línea de una carga trifásica equilibrada conectada en estrella ó triángulo. En los

siguientes circuitos la corriente de línea se encuentra remarcado con un rectángulo.

Suponer que: │Z1 │ = │Z2 │ = │Z3 │.

En estos circuitos también podemos concluir lo siguiente:

25


4. Si │IRY │ = │IR∆ │ , entonces, las tensiones de fase en una y otra conexión,

difieren en √3 , es decir, en la conexión estrella se tiene mayor tensión que en la

conexión triángulo.

3.1.3. CONCLUSIÓN CONEXIONES ESTRELLA TRIÁNGULO

• Las corrientes de fase y de línea coinciden en un sistema conectado en estrella,

independiente de la secuencia de fases ó tipo de carga.

• La tensión compuesta ó de línea y la tensión simple ó de fase, coinciden en un sistema

conectado en triángulo, independiente de la secuencia de fases ó tipo de carga.

26


3.1.4. TRANSFORMACIÓN ESTRELLA - TRIÁNGULO .

Aplicando una fuerza electromotriz a los terminales A y B, luego entre B y C y finalmente entre C y A, de ambas conexiones, la impedancia equivalente a partir de estos dos terminales debe ser la misma en una y otra conexión:

A y B:

ZAB ││ ( ZCA + ZBC ) = ZA + ZB

ZAB ZCA+ZAB ZBC ZAB +ZBC+ZCA = ZA + ZB (1)

27


B y C:

ZBC ││ ( ZCA + ZAB ) = ZB + ZC

ZBC ZCA+ZAB ZBC ZAB +ZBC+ZCA = ZB + ZC (2)

C y A:

ZCA ││ ( ZAB + ZBC ) = ZC + ZA

ZAB ZCA+ZCA ZBC ZAB +ZBC+ZCA = ZC + ZA (3)

Ecuaciones (1) - (2) + (3):

ZA + ZB – ( ZB + ZC ) + ZC + ZA = ZAB ZCA+ZAB ZBC ZAB +ZBC+ZCA - ZBC ZCA+ZAB ZBC ZAB +ZBC+ZCA +

28


ZAB ZCA+ZCA ZBC ZAB +ZBC+ZCA

2 ZA = ZAB ZCA+ZAB ZBC + ZAB ZCA + ZCA ZBC- ZBC ZCA - ZAB ZBC ZAB +ZBC+ZCA

2 ZA = ZAB ZCA+ ZAB ZCA ZAB +ZBC+ZCA

2 ZA = 2 ZAB ZCAZAB +ZBC+ZCA

ZA = ZAB ZCAZAB +ZBC+ZCA (a)

Siguiendo los mismos pasos, tenemos:

29


ZB = ZAB ZBCZAB +ZBC+ZCA (b)

ZC = ZBC ZCAZAB +ZBC+ZCA (c)

Considerando la condición de equilibrio en cargas trifásicas, las ecuaciones (a), (b) y (c) quedan::

ZAB =ZBC= ZCA = Z∆

ZA =ZB= ZC = ZY

ZA = Z∆ Z∆Z∆ +Z∆+Z∆ = ZB = ZC

30


ZY = Z∆3 ( I )

La impedancia, por fase ,de una conexión estrella, es igual a la impedancia, por fase, de una conexión triángulo dividido por 3.

3.1.5. TRANSFORMACIÓN TRIÁNGULO ESTRELLA.

Apelaremos a las leyes de Voltajes y de Corrientes de Kirchhoff, para encontrar esta relación:

Los circuitos equivalentes ‘π’ y ‘T’ de la conexión triángulo y estrella, respectivamente, serán:

31


‘π’ ‘ T ’

Aplicando fuentes de corriente a ambos circuitos:

Aplicando Leyes de Corrientes de Kirchhoff al circuito ‘π’, y Voltajes de Kirchhoff al circuito

‘T’, luego:

32


Circuito ‘π’:

IA = VAZCA + VA-VBZAB (4)

IB = VBZBC + VB-VAZAB (5)

1ZCA+1ZAB │ - 1ZAB- 1ZAB ǀ 1 ZBC+1ZAB VAVB = IAIB (6)

Y V = I (7)

Circuito ‘T’:

33


VA = IA ( ZA + ZC ) + IB ZC

VB = IB ( ZB + ZC ) + IA ZC

ZA+ ZC ZCZC ZB+ ZC IAIB = VAVB (8)

Z I = V (9)

Y = ( Z-1 )

( Z-1 ) = ZB+ ZC - ZC- ZC ZA+ ZC

Si llamamos ∆Z, al determinante de la matriz de impedancias, entonces son válidas las siguientes relaciones:

34


Y11 = Z22∆Z Y12 = - Z12∆Z

Y11 = - Z21∆Z Y22 = Z11∆ZSu determinante:

∆Z = ( ZB + ZC ) ( ZA + ZC ) - ZC2∆Z = ZB ZA + ZB ZC + ZC ZA

Reemplazando en las ecuaciones propuestas, líneas arriba:

1ZCA+1ZAB = Z22∆Z = ZB + ZC∆Z (A) - 1ZAB = -

Z12∆Z = - ZC∆Z (B)

35


- 1ZAB = - Z21∆Z = - ZC∆Z (C) 1 ZBC+1ZAB = Z11∆Z = ZA + ZC∆Z (D)

Luego, de ecuación (B):

- 1ZAB = - ZC∆Z ; ZAB = ZBZA+ ZBZC+ ZCZAZC (E)

De ecuación (A):

1ZCA+1ZAB = ZB + ZC∆Z = ZB∆Z + ZC∆Z = ZB∆Z +

1ZAB

36


1ZCA = ZB∆Z ; ZCA = ZBZA+ ZBZC+ ZCZAZB (F)

De ecuación (D):

1 ZBC+1ZAB = ZA∆Z + ZC∆Z = ZB∆Z + 1ZAB

1ZBC = ZA∆Z ; ZBC = ZBZA+ ZBZC+ ZCZAZA (G)

Considerando la condición de equilibrio en cargas trifásicas:

ZAB =ZBC= ZCA = Z∆

37


ZA =ZB= ZC = ZY

Luego:

De ecuaciones (E), (F) y (G)

Z∆ = ZYZY+ ZYZY+ ZYZYZY

Z∆ = 3 ZY ( II )

3.1.6. REDUCCIÓN AL CIRCUITO EQUIVALENTE MONOFÁSICO.

La aplicación mayor de esta equivalencia radica en transformar los circuitos conectados en triángulo, en circuitos conectados en estrella y ella representar por su equivalente monofásico, análisis de una fase, suficiente como para determinar las otras dos fases con sólo aprovechar los parámetros equilibrados y en ellos los desfases de 120º y bajo los siguientes criterios:

38


Donde:

CONEXIÓN TRIÁNGULO CONEXIÓN ESTRELLA

EA EA√3 │-30

EB EB√3 │-30

EC EC√3 │-30

ZS ZS3

39


A continuación aplicaremos la ley de Óhm, para el análisis de una carga trifásica en conexión

triángulo, y su relación con la transformación en conexión estrella, sea el siguiente circuito:

Encontraremos la corriente de línea en magnitud, para ello es necesario aclarar:

IR = IS = IT, en magnitud y desfasados 120º, corriente de línea. IL

IRS = IST = ITR, en magnitud y desfasados 120º, corriente de fase. IF

VRS = VST = VTR = VL = VF = V

40


Aplicando cualquier método, la corriente de línea en la conexión triángulo, debe ser

proporcional a: IL = √3 IF

Si aplicamos la Ley de Óhm a la fase RS:

IF∆ = VL∆Z Amperios ( Corriente de fase ), IL∆ = √3 VL∆Z Amperios (Corriente de

línea)

Si analizamos el problema en conexión estrella:

Encontraremos la corriente de línea en magnitud, para ello es necesario aclarar:

IR = IS = IT= IL = IF , en magnitud y desfasados 120º

41


VRS = VST = VTR= VL, en magnitud y desfasados 120º, Tensión de Línea.

VRN = VSN = VTN = VF , Tensión de Fase

Si aplicamos la Ley de Óhm a la fase RS, de la conexión triángulo:

IF∆ = VL∆ZSi aplicamos la Ley de Óhm a la fase RN, de la conexión estrella:

ILY = IF = VFYZ = VL∆√3 Z3 = 3√3 ( VL∆Z ) = √3 IF∆ = IL∆

ILY = IL∆

42


Lo que confirma la transformación Y-∆, bajo las condiciones anteriormente descritas, para la

tensión e impedancia de la conexión estrella a partir de la conexión triángulo).

3.1.7. CONEXIÓN ESTRELLA – ESTRELLA. (FUENTE-CARGA).

A partir de la conexión estrella podemos seguir analizándolo como fuente y como carga en

estrella, en el que se puede ver claramente la existencia de tres circuitos independientes con

neutro de retorno común para cada circuito, como se puede ver a continuación.

Aplicando Voltajes de Kirchhoff, a cada malla de cada fase:

Considerando las impedancias de carga iguales: ZA = ZB = ZC = ZC

43


EA = ( ZS + ZL + ZC ) IA + ( IA + IB + IC ) ZN

EB = ( ZS + ZL + ZC ) IB + ( IA + IB + IC ) ZN

EC = ( ZS + ZL + ZC ) IC + ( IA + IB + IC ) ZN

Reduciendo este sistema de ecuaciones:

EA + EB + EC = ( ZS + ZL + ZC ) ( IA + IB + IC ) + 3 ( IA + IB + IC ) ZN

EA + EB + EC = ( ZS + ZL + ZC + 3 ZN ) ( IA + IB + IC )

La suma de las tres fuerzas electromotrices, la suma de las tres corrientes, es igual a cero, por

ser en magnitud iguales y desfasados 120º entre sí:

44


EA + EB + EC = E│0º + E│-120º + E│-240º

EA + EB + EC = 0

IA + IB + IC = I│-φº + I│-120º-φº + I│-240º-φº

IA + IB + IC = IN = 0

Corriente en el Neutro igual a cero, ello quiere decir que la caída de tensión ó diferencia de

potencial entre los neutros Carga y Fuente, es igual a cero. Electricamente, quiere decir, que el

Neutro Fuente se encuentra al mismo potencial que el Neutro Carga, independiente de la

magnitud de la impedancia del neutro sea éste cortocircuito (pequeña impedancia del neutro) ó

circuito abierto (impedancia apreciable del neutro).

Luego:

EA + EB + EC = ( ZS + ZL + ZC + 3 ZN ) ( IA + IB + IC )

45


0 = ( ZS + ZL + ZC + 3 ZN ) ( IA + IB + IC ) = ( ZS + ZL + ZC + 3 ZN ) x 0

3 ZN ( IA + IB + IC ) = 0

Luego podemos escribir las ecuaciones de voltaje de Kirchhoff para cada circuito

independiente, en base a los esquemas siguientes por fase:

46


EA = ( ZS + ZL + ZC ) IA + IA ZN (RCE-01)

EB = ( ZS + ZL + ZC ) IB + IB ZN (RCE-002)

EC = ( ZS + ZL + ZC ) IC + IC ZN (RCE-003)

A los términos:

IA ZN = IB ZN = IC ZN = VN N’

Reemplazando en RCE-001-002 y 003

47


EA = ( ZS + ZL + ZC ) IA + VN N’ (RCE-004)

EB = ( ZS + ZL + ZC ) IB + VN N’ (RCE-005)

EC = ( ZS + ZL + ZC ) IC + VN N’ (RCE-006)

Sumando miembro a miembro:

EA + EB + EC = ( ZS + ZL + ZC ) ( IA + IB + IC ) + 3 VN N’

EA + EB + EC = 0 ; IA + IB + IC = 0

0 = ( ZS + ZL + ZC ) 0 + 3 VN N’

48


3 VN N’ = 0 ; VN N’ = 0 ; ZN = 0

Reemplazando en las ecuaciones RCE- 004-005 y 006:

EA = ( ZS + ZL + ZC ) IA

EB = ( ZS + ZL + ZC ) IB

EC = ( ZS + ZL + ZC ) IC

Las corrientes por fase:

IA = EAZS+ ZL +ZC Amperios

Es suficiente encontrar esta corriente, porque a partir de ella se puede encontrar las otras:

IB = EBZS+ ZL +ZC Amperios = IA│-120º Amperios

49


IC = ECZS+ ZL +ZC Amperios = IA│120º Amperios

El siguiente circuito, nos muestra, el equivalente monofásico y el tratamiento de cada uno de

los componentes de la fuente y la carga:

3.1.8. CONEXIÓN TRIÁNGULO – TRIÁNGULO. (FUENTE-CARGA).

50


Considerando las impedancias de carga iguales: ZAB = ZBC = ZCA = ZC

La corriente de línea sale del Nodo A de la fuente y llega al Nodo A’ de la carga, y según la ley

de corrientes de kirchoff, podemos escribir:

IA = IBA - IAC = IAB - ICA (RCE-007)

Ver diagrama fasorial de corrientes para la fuente y para la carga, en secuencia negativa:

51


Del diagrama fasorial podemos escribir:

IAC = IBA │-120º (RCE-008)

ICA = IAB │-120º (RCE-009)

RCE-008 y 009 en RCE-007:

IA = IBA - IBA │-120º = IAB - IAB │-120º

52


IA = IBA ( 1 - │-120º ) = IAB ( 1 - │-120º )

IBA = IAB (a)

Para las otras fases se procede de la misma forma:

IB = ICB - IBA = IBC - IAB (RCE-010)

De los diagramas fasoriales:

IBA = ICB │-120º (RCE-011)

IAB = IBC │-120º (RCE-012)

RCE-011 y 012 en RCE-010:

53


IB = ICB - ICB │-120º = IBC - IBC │-120º

IB = ICB ( 1 - │-120º ) = IBC ( 1 - │-120º )

ICB = IBC (b)

De la misma forma para la fase ‘C’:

IAC = ICA (c)

En función a las ecuaciones (a), (b) y (c), podemos puntualizar o siguiente que las corrientes de

fase tanto de la fuente como de la carga en esta conexión se encuentran en serie, por lo que

podemos anticipar que se puede representar por tres circuitos independientes.

Sin embargo, sumando y restando fasores de corriente equilibrados de fase y de línea:

IA = √3 IAB │30º

54


IB = √3 IBC │30º = IA │120º = √3 IAB │30º │120º = √3 IAB │150º

IC = √3 ICA │30º = IA │-120º = √3 IAB │30º │-120º = √3 IAB │-90º

IA - IB = √3 IAB │30º - √3 IAB │150º = √3 IAB ( │30º - │150º )

IA - IB = 3 IAB ; IB - IC = 3 IBC ; IC - IA = 3 ICA (d)

En el siguiente circuito ver las tres mallas formadas en base a las ecuaciones descritas:

55


Malla Fase A: (ZAB = ZBC = ZCA = ZC )

IBA ZS + IA ZL + IAB ZC - IB ZL = EA

ICB ZS + IB ZL + IBC ZC - IC ZL = EB

IAC ZS + IC ZL + ICA ZC - IA ZL = EC

Reemplazando ecuaciones (a), (b), (c) y (d):

IAB ( ZS + ZC ) + ZL ( IA - IB ) = EA

56


IAB ( ZS + ZC ) + ZL 3 IAB = EA

IAB ( ZS + ZC + 3 ZL) = EA (e)

IBC ( ZS + ZC ) + ZL ( IB - IC ) = EB

IBC ( ZS + ZC ) + ZL 3 IBC = EB

IBC ( ZS + ZC + 3 ZL) = EB (f)

57


ICA ( ZS + ZC ) + ZL ( IC - IA ) = EC

ICA ( ZS + ZC ) + ZL 3 ICA = EC

ICA ( ZS + ZC + 3 ZL) = EC (f)

58


3.2. EQUILIBRIO NO SENOIDAL.

Es necesario definir el sistema de equilibrio no senoidal debido a la existencia de cargas no

lineales, sean estas trifásicas o monofásica, quienes desestabilizan el sistema trifásico. Las

distorsiones armónicas de corriente, provocan la distorsión de la onda de tensión al interactuar

con la impedancia no lineal del sistema, originando la reducción de la vida útil en los motores y

causando conexiones y desconexiones de relés electrónicos en estado normal, resonancia,

interferencia telefónica, sobrecalentamiento de transformadores, conductores, e incremento de

pérdidas técnicas, entre otros.

Para entender básicamente a los armónicos es necesario recordar la Serie de Fourier:

Una función que se repite cada ‘T’ segundos (periodo T), puede expresarse como una suma

infinita de senos y cosenos, tal cual se muestra a continuación:

F(t) = a0 + a1 cos wt + b1 sen wt + a2 cos 2wt + b2 sen 2wt + a3 cos 3wt + b3 sen 3wt + …..

….. + an cos nwt + bn sen nwt

Donde:

w - 2πf , frecuencia angular en rad/seg

a1 cos wt + b1 sen wt - Componente fundamental y tiene la misma frecuencia y el

mismo periodo ‘T’, que la función que deseamos descomponer en senos y cosenos

a2, a3, a4, ………, an - Componentes armónicos pares

b2, b3, b4, ………, bn - Componentes armónicos impares

Para ver más claramente, la importancia de tomar en cuenta las redes no senoidales y los

criterios de equilibrio hasta ahora apuntados, utilizaremos los registros de un analizador de

espectros, que en una determinada carga monofásica con cosφ = 1, desplegó los siguientes

componentes armónicos de la corriente:

59


ARMÓNICA MAGNITUD ARMÓNICA MAGNITUD1 1.00 9 0.1573 0.81 11 0.0245 0.606 13 0.0637 0.37 15 0.079

Realizaremos las conexiones trifásicas más comunes tomando en cuenta la tensión original de

las componentes:

3.2.1. CONEXIÓN ESTRELLA.

60


En cualquiera de los dos circuitos la corriente en el neutro será la suma de las corrientes de

fase, entonces:

La corriente de carga se convierte en este arreglo, en corriente de fase ó de línea y está por la

siguiente ecuación:

i(t) = cos wt + 0,81 cos 3wt + 0,606 cos 5wt + 0,37 cos 7wt + 0,157 cos 9wt + 0,024 cos

11wt + 0,063 cos 13wt + 0,079 cos 15wt

Los armónicos se clasifican de la siguiente manera:

1ra

Familia2da

Familia3ra

Familia

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

13 14 15

….. ….. …..

Sus fasores característicos giran:

La corriente en las tres fases será:

61


iA(t) = cos wt + 0,81 cos 3wt + 0,606 cos 5wt + 0,37 cos 7wt + 0,157 cos 9wt + 0,024 cos

11wt + 0,063 cos 13wt + 0,079 cos 15wt

iB(t) = cos (wt-120º) + 0,81 cos (3wt -120º) + 0,606 cos (5wt -120º) + 0,37 cos /7wt -120º) +

0,157 cos (9wt -120º) + 0,024 cos (11wt -120º) + 0,063 cos (13wt -120º) + 0,079 cos (15wt

-120º)

iC(t) = cos (wt+120º) + 0,81 cos (3wt + 120º) + 0,606 cos (5wt + 120º) + 0,37 cos (7wt +

120º) + 0,157 cos (9wt + 120º) + 0,024 cos (11wt + 120º) + 0,063 cos (13wt + 120º) + 0,079

cos (15wt + 120º)

Los componentes armónicos presentes en las tres corrientes equilibradas, serán:

• 1, 7, 13 - de la primera familia, que giran con secuencia positiva.

• 5, 11 - de la segunda familia, que giran con secuencia negativa.

• 3, 9, 15 - de la tercera familia, que se encuentran en fase.

En la suma de fasores, la primera y segunda familia se hacen cero, lo que no ocurre con la

tercera familia que se suman aritméticamente, ver ecuación resultante:

cos 3wt = cos (9wt ±120º) = cos (15wt ± 120º), se encuentran en fase

iN(t) = iA(t) + iB(t) + iC(t) =

iN = cos wt + cos (wt-120º) + cos (wt+120º) + 0,81 cos 3wt + 0,81 cos (3wt -120º) +

0,81 cos (3wt + 120º) + 0,606 cos 5wt + 0,606 cos (5wt -120º) + 0,606 cos (5wt + 120º)

+ 0,37 cos 7wt + 0,37 cos (7wt -120º) + 0,37 cos (7wt + 120º) + 0,157 cos 9wt + 0,157

cos (9wt -120º) + 0,157 cos (9wt + 120º) + 0,024 cos 11wt + 0,024 cos (11wt -120º) +

0,024 cos (11wt + 120º) + 0,063 cos 13wt + 0,063 cos (13wt -120º) + 0,063 cos (13wt +

120º) + 0,079 cos 15wt + 0,079 cos (15wt -120º) + 0,079 cos (15wt + 120º)

iN = 3 x 0,81 cos 3wt + 3 x 0,157 cos 9wt + 3 x 0,079 cos 15wt ≠ 0

62


Condición de equilibrio no cumplido correspondiente a un circuito trifásico equilibrado, con

contenido armónico.

3.2.2. CONEXIÓN TRIÁNGULO.

En cualquiera de los nodos A’, B’ y C’, convergen corrientes de fase y corrientes de línea, por

lo tanto las corrientes de línea será la composición fasorial de las corrientes de fase.

La corriente de carga se convierte en este arreglo, en corriente de fase y está por la siguiente

ecuación:

i(t) = cos wt + 0,81 cos 3wt + 0,606 cos 5wt + 0,37 cos 7wt + 0,157 cos 9wt + 0,024 cos

11wt + 0,063 cos 13wt + 0,079 cos 15wt

Los armónicos se clasifican de la siguiente manera:

1ra

Familia2da

Familia3ra

Familia

1 2 3

4 5 6

63


7 8 9

10 11 12

13 14 15

….. ….. …..

Sus diagramas fasoriales de corriente de fase:

cos 3wt = cos (9wt ±120º) = cos (15wt ± 120º), se encuentran en fase

La corriente de fase en las tres fases será:

iAB(t) = cos wt + 0,81 cos 3wt + 0,606 cos 5wt + 0,37 cos 7wt + 0,157 cos 9wt + 0,024 cos

11wt + 0,063 cos 13wt + 0,079 cos 15wt

iBC(t) = cos (wt-120º) + 0,81 cos (3wt -120º) + 0,606 cos (5wt -120º) + 0,37 cos /7wt -120º)

+ 0,157 cos (9wt -120º) + 0,024 cos (11wt -120º) + 0,063 cos (13wt -120º) + 0,079

cos (15wt -120º)

64


iCA(t) = cos (wt+120º) + 0,81 cos (3wt + 120º) + 0,606 cos (5wt + 120º) + 0,37 cos (7wt +

120º) + 0,157 cos (9wt + 120º) + 0,024 cos (11wt + 120º) + 0,063 cos (13wt + 120º)

+ 0,079 cos (15wt + 120º)

La corriente de línea en la fase ‘A’, será:

iA(t) = iAB(t) - iCA(t)

iA(t) = ( cos wt + 0,81 cos 3wt + 0,606 cos 5wt + 0,37 cos 7wt + 0,157 cos 9wt + 0,024 cos

11wt + 0,063 cos 13wt + 0,079 cos 15wt ) -

cos (wt+120º) + 0,81 cos (3wt + 120º) + 0,606 cos (5wt + 120º) + 0,37 cos (7wt +

120º) + 0,157 cos (9wt + 120º) + 0,024 cos (11wt + 120º) + 0,063 cos (13wt + 120º)

+ 0,079 cos (15wt + 120º)

iA(t) = cos wt - cos (wt+120º) + 0,81 cos 3wt - 0,81 cos (3wt + 120º) + 0,606 cos 5wt - 0,606

cos (5wt + 120º) + 0,37 cos 7wt - 0,37 cos (7wt + 120º) + 0,157 cos 9wt - 0,157 cos

(9wt + 120º) + 0,024 cos 11wt - 0,024 cos (11wt + 120º) + 0,063 cos 13wt - 0,063

cos (13wt + 120º) + 0,079 cos 15wt ) - 0,079 cos (15wt + 120º)

iA(t) = 3 cos (wt -30º) + 3 0,606 cos (wt +30º) + 3 0,37 cos (wt -30º) + 3 0,024 cos (wt

+30º)

iA(t) ≠ 3 iAB(t)

Condición de equilibrio no cumplido correspondiente a un circuito trifásico equilibrado, con

contenido armónico.

65


3.3. CONDICIONES NORMALES DE OPERACIÓN SEGÚN REGLAMENTO DE CALIDAD.

Es necesario tocar nuestro reglamento de Calidad del Servicio de Distribución, Capítulo II del

Marco Legal del Sector Eléctrico, para definir y redefinir la operabiblidad de un sistema

industrial trabajando actualmente en nuestro Sistema de Distribución y a ello proyectarnos con

nuestros conocimientos trifásicos equilibrados.

La Superintendencia de Electricidad, fiscalizará el cumplimiento de Calidad de Servicio,

mediante indicadores que se establecen en este reglamento, como son los siguientes parámetros

a controlar:

Calidad del producto técnico.

Calidad del servicio técnico.

Calidad del servicio comercial.

En la materia sólo analizaremos el primer parámetro, es decir:

3.3.1. CALIDAD DEL PRODUCTO TÉCNICO.

Este parámetro contempla las siguientes magnitudes:

Niveles de Tensión

Desequilibrio de fases

Perturbaciones; oscilaciones rápidas de tensión y distorsión armónica

Interferencias en sistemas de comunicación

3.3.2. NIVELES DE TENSIÓN.

Se considera que el Distribuidor no cumple con el nivel de tensión, cuando durante un 3% ó

más del tiempo de medición efectuado en un periodo de 24 horas, el servicio lo suministra

incumpliendo los límites de tensión admisibles explicitados a continuación:

Efectuar el registro mensual de las tensiones de barra de salida, de todos los suministros

en Alta Tensión.

66


Efectuar mensualmente el registro de tensión en las barra de salida, del 2 % de los

suministros en Media Tensión, no pudiendo resultar esta cantidad menor a 3 barras. La

selección de Consumidores a los cuales se efectuarán las mediciones podrá ser realizada

por la superintendencia, en función de una base de datos con las características y

ubicación física de los mismos que el distribuidor remitirá en forma semestral a la

superintendencia.

Efectuar mensualmente el registro de tensión en las barra de Baja Tensión (BT) , del

0.15 % de los centros de transformación MT/BT del distribuidor, no pudiendo resultar

esta cantidad menor a 4 centros de transformación. La selección semestral de los centros

de transformación MT/BT, sobre los cuales se efectuarán las mediciones podrá ser

definida por la Superintendencia, en función de una base de datos con las características

y ubicación física de los mismos que el Distribuidor pondrá a disposición de la

Superintendencia.

Conjuntamente con el registro de tensión, deberá registrar la potencia entregada, de

forma tal que permita la determinación de la energía suministrada en condiciones de

tensión deficiente. El periodo de medición en todos los casos no podrá ser inferior a 7

días continuos.

Se adoptan los siguientes niveles de tensión de referencia, para las redes de distribución

secundaria:

380/220 Voltios, Redes Trifásicas, 4 Hilos

220/110 Voltios, Redes Monofásicas, 2 ó 3 Hilos

Se podrán considerar otras tensiones nominales más comúnmente utilizadas por el

Distribuidor en obras de refuerzo y ampliación del sistema eléctrico ya existente, con la

debida justificación técnica y económica.

A continuación se definen los rangos de tensión secundaria considerados admisibles, tomando

en cuenta rangos favorables y tolerables. Estos rangos no incluyen sub-tensiones o

sobretensiones momentáneas, ocasionadas por efecto de maniobra o alteraciones bruscas.

Se entiende por tensión secundaria al valor eficaz de la tensión en el punto de la red del

Distribuidor donde se deriva la acometida del Consumidor.

67


El rango favorable de tensión secundaria, es el rango de tensión como de operación normal.

El rango tolerable de tensión secundaria, es el rango de tensión reconocido como de operación

aceptable pero no enteramente deseable.

Este rango incluye tensiones por encima y por debajo del rango favorable, las cuales resultan de

situaciones de emergencia, su frecuencia y duración estarán limitadas a un máximo de 96 horas

continuas con una frecuencia no mayor a 4 veces al año.

Las variaciones de tensión admitidas durante la etapa de transición, con respecto alvalor de la

tensión nominal se indican a continuación:

a) Cuando el suministro es realizado en Alta o Media Tensión, la tensión de suministro en

el punto de entrega de la energía se fija en +5% (más cinco por ciento) y -10% (menos

diez por ciento)

b) Cuando el suministro es realizado en Baja tensión, los límites de variación de tensión

serán:

Tensión Nominal VOLTIOS

Tensión Secundaria VOLTIOSMáxima Mínima

110 118 99220 235 198380 406 342

Estos límites implican una variación de tensión del orden de +7% y -10%.

3.3.3. ETAPA DE RÉGIMEN.

Las variaciones porcentuales de tensión, admitidas en esta etapa, y medidas en los puntos de

suministro, con respecto al valor nominal, son las siguientes:

a) Cuando el suministro es realizado en Alta o Media Tensión, la tensión de suministro en

el punto de entrega de la energía se fija en:

Favorable + 5% -7.5 %

Tolerable + 5% -10.0%

Cuando el suministro es realizado en Baja Tensión, los límites de variación de tensión serán:

68


TensiónNominal

VOLTIOS

Tensión Secundaria VOLTIOS

Rango Favorable Rango Tolerable

Máxima Mínima Máxima Mínima

110 115 102 118 99220 229 203 235 198380 396 351 406 342

Estos rangos implican una variación porcentual de tensión del orden de +4% y -7.5% en

condiciones normales y del +7% y -10% en condiciones de emergencia o contingencia.

3.3.3.1. DESEQUILIBRIO DE FASES.

Tanto para la etapa de transición como para la etapa de régimen, el Distribuidor efectuará

mensualmente el registro de carga en las barras de salida de todas las subestaciones AT/MT y

en los nodos de compra de energía.

En los registros de carga debe observarse que la relación de la carga en una fase no sea mayor

al 10 % de la carga en cualquier otra fase.

3.3.3.2. PERTURBACIONES E INTERFERENCIAS.

Los aspectos que se controlarán son las oscilaciones rápidas de tensión, las distorsiones

armónicas y el nivel de interferencias en sistemas de comunicación.

Durante la etapa de prueba el Distribuidor bajo tuición de la superintendencia, en base a las

normas internacionales e internas de empresas similares, propondrá los parámetros para la

cuantificación de los perturbaciones e interferencias señaladas. En la etapa de transición

procederá a su cuantificación y a establecer las metodologías de medición y registro. Los

valores definitivos serán aprobados por la Superintendencia, debiendo aplicarse en la etapa de

régimen.

El Distribuidor deberá:

a) Proponer a la Superintendencia los límites de emisión (niveles máximo de perturbación e

interferencias) que un dispositivo puede generar o inyectar en el sistema de distribución; y

b) Controlar a los Consumidores no regulados, a través de límites de emisión fijados por

contrato.

69


Para Distribuidores con menos de 10.000 Consumidores y en sistemas aislados, la

Superintendencia en función a las características propias de este sistema, podrá definir para la

etapa de régimen valores de emisión específicos.

Ejemplo1:

Un sistema trifásico simétrico tres hilos, alimenta una carga equilibrada, formada por tres

impedancias conectadas en estrella, quienes consumen 24 KW de la alimentación. Cuánto

demandarán si se conectan 6 impedancias en conexión triángulo, si:

Cada fase está formada por dos impedancias conectadas en serie.

Cada fase está formada por dos impedancias conectadas en paralelo.

Solución:

Considerando la alimentación simétrica y la carga equilibrada, aplicaremos la ley de Óhm, para

resolver este circuito, básicamente:

VF= VL3 V

70


IL= VFZ A

VF= IL Z V

La impedancia por fase, se encuentra sometida a la tensión de fase, por quién circula una

corriente, que juntamente a la tensión es capaz de disipar una potencia de 8 KW. Por lo tanto es

importante la tensión y la corriente, más la primera.

Por lo que es suficiente saber cuál la tensión a la que trabaja cada impedancia en cualquier

arreglo y compararla con la conexión original.

Cada fase formada por dos impedancias conectadas en serie.

El circuito será el siguiente:

La tensión a la que es sometida cada impedancia:

71


V∆S = VL2 (1)

La tensión a la es sometida cada impedancia en la conexión original:

VYO = VF (2)

De (1):

V∆S = VL2 = 3 VF2 = 3 VYO2 = 0,866 VF

La potencia activa en esta conexión será:

PTS = No de Impedancias * 0,866 * 8 = 82 * 0,866

PTS = 55,42 KW

Cada fase está formada or dos impedancias conectadas en paralelo.

El circuito es el siguiente:

72


La tensión a la que es sometida cada impedancia:

V∆P = VL (3)

La tensión a la es sometida cada impedancia en la conexión original:

VYO = VF (4)

De (3):

V∆P = VL = 3 VF = 30 VYO

La potencia activa en esta conexión será:

73


PTS = No de Impedancias * 3 * 8 = 82 * 3

PTS = 110,85 KW

Ejemplo2:

La figura muestra el esquema de una instalación trifásica equilibrada. Se dispone de un

transformador de 50 kVA, conexión Dy1, relación compuesta 15000/440 V y con impedancia

de cortocircuito 0.06 + 0.08j p.u. El primario del transformador se conecta a un generador de 60

kVA y 15000 V. El secundario del transformador alimenta una carga equilibrada en estrella de

5∠0º Ω/fase a través de una línea de impedancia de 1.8 + j 1,5 Ω/fase.

Se pide determinar:

Las lecturas de los voltímetros V y V’, si el generador está funcionando a una tensión un 4,5%

por encima de su tensión nominal.

El índice de carga del generador, desprecie las pérdidas del transformador.

SOLUCIÓN

74


La tensión del generador por encima de su nominal:

5% 15000 = 675 V

VG = 15000 + 675 = 15675 V ( Barra 1 )

La relación de transformación del transformador reductor:

RT = 15000440 = 34

La tensión de alimentación en Barra 2 ó voltímetro V:

V2 = 1567534 = 461 V

El circuito equivalente a partir de la Barra 2 hacia la carga:

Circuito con la impedancia equivalente línea-carga:

75



VAB = 461 0°׀ V

VBC = 461 0° 12 - ׀ V

VCA = 461 0° 12 ׀ V

VAN = 4613 30° -׀ 266 = 30° - 0°׀ V

VBN = 4613 150° -׀ 266 = 30° - 120° -׀ V

VCN = 4613 90 ׀ 266 = 30° - 120°׀ ° V

La impedancia de línea:

Z = 1,8 + j 1,5 = 2,34 39,8°׀ Ω

La impedancia equivalente:

Z = 6,8 + j 1,5 = 6,93 12,43°׀

Las corrientes de línea:

76


IA = VANZ = 266<-30°6,93<12,43° = 38,38 42,43° -׀ A

IB = VBNZ = 266<-150°6,93<12,43° = 38,38 162,43° -׀ A

IA = VANZ = 266<90°6,93<12,43° = 38,38 77,57°׀ A

Tensión en la Barra 3 ó voltímetro V’:

∆VR = IA R = 38,38 42,43° -׀ 191,9 = 5 * 42,43° -׀ V

∆VR = 191,9 42,43° -׀ V

∆VS = 191,9 162,43° -׀ V

∆VT = 191,9 77,57°׀ V

Caída de tensión en la impedancia de línea:

∆VRL = IA ZL = 38,38 2,62° -׀ 89,8 = 39,8°׀ 2,34 * 42,43° -׀ V

∆VRL = 89,8 2,62° -׀ V

∆VSL = 89,8 2,62° 12 -׀ V

∆VTL = 89,8 117,38°׀ V

La potencia que suministra el transformador:

ST = 3 * VL *IL = 3 * 461 * 38,38

ST = 30,6 KVA

Es la misma potencia del generador, considerando las pérdidas cero:

77


SG = 30,6 KVA

El índice de carga:

a % = 30,660 * 100 = 51 %

78

capÍtulo iii redes equilibradas 3.1. … redes...norma 5 – 7 %, según ansi, cei, que hacen que...

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