capÍtulo 7 transformación de una variable …...introducción a la probabilidad, los procesos...

Introducción a la Probabilidad, los Procesos Estocásticos y la Estadística en Ingeniería

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CAPÍTULO 7Transformación de Una Variable Aleatoria

Contenido del Capítulo

7.1) INTRODUCCIÓN.

7.2) TRANSFORMACIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.

7.3) TRANSFORMACIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA.

7.4) TRANSFORMACIONES ESPECIALES.

7.5) VALOR ESPERADO DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLEALEATORIA.

7.6) PROBLEMAS PROPUESTOS.


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7.1) INTRODUCCIÓN.

Existen muchos fenómenos físicos que no responden directamente a los modelosprobabilísticos desarrollados en los Capítulos 5 y 6 y que pueden ser interpretadosmediante el análisis de la respuesta de un sistema que está sujeto a estímulos. En esesentido, este Capítulo busca desarrollar las herramientas para analizar lascaracterísticas aleatorias de la respuesta de un sistema que está excitado por unavariable aleatoria.

Como ejemplos de este análisis se podrían mencionar, entre muchas aplicaciones, larespuesta de un cierto circuito eléctrico ante una señal de excitación aleatoria, laresistencia de un circuito donde uno de los elementos tiene un valor aleatorio y ladistancia a la que caerá un proyectil disparado con un ángulo aleatorio.

La Figura 7.1 muestra en forma esquemática el problema general que será estudiadoen este Capítulo. Allí se destaca el sistema como una caja negra el cual es excitadopor una variable aleatoria X lo que provoca una respuesta Y. El comportamiento deY es aleatorio ya que es una función de la variable X. La regla que relaciona lasvariables X e Y es la función Y = g(X). Conocida la función g y las característicasaleatorias de la variable X se podrá determinar las características aleatorias de lavariable Y.

X Y = g(X)Sistema

fX(x) fY(y) = ?

Figura 7.1: Transformación de una Variable Aleatoria.

A lo largo del Capítulo se mantendrá la notación para las variables y el sistemaexpuestas en la Figura 7.1. Se analizará en secciones separadas lo concerniente atransformación de variables aleatorias discretas y transformación de variablesaleatorias continuas. Existen algunas transformaciones que recibirán un tratamientoespecial debido a que su comportamiento se escapa del caso general. Por último, sepresentará lo concerniente al cálculo de valores esperados de una función de unavariable aleatoria.


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7.2) TRANSFORMACIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.

Para el análisis de la transformación de una variable aleatoria discreta se debe partirdel hecho de conocer la función de densidad de probabilidades fX(x) o la función deprobabilidad pX(n) de la variable discreta X. Por otro lado, se considerarán doscasos para la función g(x), en el primero de ellos se analizan funciones biyectivas yen el segundo funciones sobreyectivas en general.

Teorema 7.2.1: Sea X una variable aleatoria discreta con función de densidad deprobabilidades fX(x) o función de probabilidad pX(n) conocidas y sea Y = g(X) otravariable aleatoria tal que la función g(x) es biyectiva, entonces la función deprobabilidad de Y, pY(k) viene dada por

∈

=−

caso otrocualquier en ,0 si )),((

)(1

YXY

Dkkgpkp

y la función de densidad de probabilidades fY(y) viene dada por

∈−

=−

caso otrocualquier en ,0 ),())((

)(1

YXY

Dksikykgpyf

δ

♦♦

Ejemplo 7.1: Demuestre el Teorema 7.2.1.

Para demostrar el Teorema 7.2.1 se debe tomar en cuenta el hecho de que la funcióng(x) es biyectiva, es decir, cada valor posible de la variable Y es imagen de un únicovalor de la variable X. Por lo tanto, la ecuación g(x) = k tiene una solución únicade la forma x = g-1(k). La Figura 7.2 muestra los dos tipos de relación general detipo biyectivo entre las variables X e Y. Allí se destaca que g(x) puede ser omonótona creciente o monótona decreciente.

A partir de esto, para conocer pY(k) se debe calcular P{Y = k} pero se debe recordarque Y = g(X), por tanto, g(X) = k.. Al resolver esta ecuación se tiene una soluciónúnica de la forma X = g-1(k), por lo que la probabilidad buscada será igual a laprobabilidad del evento de la forma X = g-1(k), que es conocida. Esto se resume enla ecuación siguiente

∈======

=−−

caso otrocualquier en ,0 si )),(()}({})({}{

)(11

YXY

DkkgpkgXPkXgPkYPkp


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Para conocer la función de densidad de probabilidades de Y se debe recordar laEcuación 3.4 que se escribe a continuación

∈−=

=caso otrocualquier en ,0

),(){)( Y

Y

DksikykYPyf

δ

De aquí sigue que

∈−

=−

caso otrocualquier en ,0 ),())((

)(1

YXY

Dksikykgpyf

δ

♦♦

Y Y

X X

Figura 7.2: Transformaciones Biyectivas (MonótonaCreciente y Monótona Decreciente).

Ejemplo 7.2: Sea X una variable aleatoria Uniforme Discreta con n = 4. Sea Y unafunción de la variable X tal que Y = 2X + 3. Hallar la función de probabilidad de Y.

La función de probabilidad de X será

=

=casos otrosen ,0

4,3,2,1 para ,41

)(m

mp X . La función

g(x) es una función monótona creciente, por lo que a los valores {1,2,3,4} lecorresponden como imágenes los valores {5,7,9,11}, respectivamente. Entonces, lafunción de probabilidad de Y será

=

=casos otrosen ,0

11,9,7,5 para ,41

)(k

kpY

♦♦


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Ejemplo 7.3: Sea X una variable aleatoria Binomial con n = 4 y p = 0.4. Sea Y unafunción de la variable X tal que Y = X2. Hallar la función de probabilidad de Y.

La función de probabilidad de X será

( )

=

=

−

casos otrosen ,0

4,3,2,1,0 para ,6.04.04

)(4 m

mmpmm

X .

Al analizar la función g(x) se puede notar que no es una función biyectiva para todovalor de x, pero en el intervalo de valores posibles de la variable X sí se comportacomo una función monótona creciente, por lo que a los valores {0,1,2,3,4} lecorresponden como imágenes los valores {0,1,4,9,16}, respectivamente. Entonces,la función de probabilidad de Y será

( )

=

=

−

casos otrosen ,0

16,9,4,1,0 para ,6.04.04

)(4 m

mmpmm

Y

♦♦

Teorema 7.2.2: Sea X una variable aleatoria discreta con función de densidad deprobabilidades fX(x) o función de probabilidad pX(n) conocidas y sea Y = g(X) otravariable aleatoria tal que la función g(x) no es biyectiva, entonces la función deprobabilidad de Y, pY(k) viene dada por

∈=

= ∑=

−

caso otrocualquier en ,0

si ,))(()( 1

1Y

N

iiX

Y

Dkkgxpkp

y la función de densidad de probabilidades fY(y) viene dada por

∈−

=

= ∑=

−


),())(()( 1

1Y

N

iiX

Y

Dksikykgxpyf

δ

♦♦


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Para demostrar el Teorema 7.2.2 se debe tomar en cuenta el hecho de que la funcióng(x) no es biyectiva, es decir, cada valor posible de la variable Y es imagen de almenos un valor de la variable X. Por lo tanto, la ecuación g(x) = k tiene Nsoluciones de la forma xi = g-1(k) con i = 1,2,...,N. La Figura 7.3 muestra unafunción no biyectiva genérica entre las variables X e Y. Allí se destaca que g(x)tiene trazos de función monótona creciente y de función monótona decreciente quese alternan. En el intervalo (0, y1) existen tres valores de x para cada valor de y. Enel intervalo (y1, y2) existen cinco valores de x para cada valor de y. En el intervalo(y2, y3) existen tres valores de x para cada valor de y.

A partir de esto, para conocer pY(k) se debe calcular P{Y = k} pero se debe recordarque Y = g(X), por tanto, g(X) = k.. Al resolver esta ecuación se tienen N solucionesposibles de la forma Xi = g-1(k) para i = 1,2, ...,N, por lo que la probabilidad buscadaserá igual a la suma de las probabilidades de los eventos de la forma Xi = g-1(k), queson conocidas. Esto se resume en la ecuación siguiente

∈=======

= ∑∑=

−

=

−


si ,))(()}({})({}{)( 1

1

1

1Y

N

iiX

N

ii

Y

DkkgxpkgXPkXgPkYPkp

Para conocer la función de densidad de probabilidades de Y se debe recordar laEcuación 3.4 que se escribe a continuación

∈−=

=caso otrocualquier en ,0

),(){)( Y

Y

DksikykYPyf

δ

De aquí sigue que

∈−

=

= ∑=

−


),())(()( 1

1Y

N

iiX

Y

Dksikykgxpyf

δ

♦♦


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Yy3

y2

y1

X

Figura 7.3: Transformación Sobreyectiva.

Ejemplo 7.5: Sea X una variable aleatoria que toma los valores {-2, -1, 0, 1, 2}con probabilidades iguales a 0.2. Sea Y una función de la variable X tal que Y = X2.Hallar la función de probabilidad de Y.

Al analizar la función g(x) se puede notar que no es una función biyectiva, por loque a los valores {-2,-1,0,1,2} le corresponden como imágenes los valores {0,1,4},según la relación mostrada en la Figura 7.4. Allí se puede ver claramente que y = 4,por ejemplo, es la imagen de dos valores (-2, 2) en el eje x. Entonces, la función deprobabilidad de Y será

===

=

casos otrosen ,04 ,4.01 ,4.00 ,2.0

)(mmm

mpY

♦♦

Y

4

1

-2 -1 0 1 2 X

Figura 7.4: Función Y = X2 para el Ejemplo 7.5.


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Ejemplo 7.6: Sea X una variable aleatoria que toma los valores {-2, -1, 0, 1, 2}con probabilidades iguales a 0.2. Sea Y una función de la variable X tal que Y = |X|.Hallar la función de probabilidad de Y.

Al analizar la función g(x) se puede notar que no es una función biyectiva, por loque a los valores {-2,-1,0,1,2} le corresponden como imágenes los valores {0,1,2},según la relación mostrada en la Figura 7.5. Allí se puede ver claramente que y = 1,por ejemplo, es la imagen de dos valores (-1, 1) en el eje x. Entonces, la función deprobabilidad de Y será

===

=

casos otrosen ,02 ,4.01 ,4.00 ,2.0

)(mmm

mpY

♦♦

Y

2

1

-2 -1 0 1 2 X

Figura 7.5: Función Y = |X| para el Ejemplo 7.6.


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7.3) TRANSFORMACIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA.

Para el análisis de la transformación de una variable aleatoria continua se debe partirdel hecho de conocer la función de distribución de probabilidades FX(x) o la funciónde densidad de probabilidades fX(x). Por otro lado, se considerarán dos casos para lafunción g(x), en el primero de ellos se analizan funciones biyectivas y en el segundofunciones sobreyectivas en general.

Teorema 7.3.1: Sea X una variable aleatoria continua con función de distribuciónde probabilidades FX(x) y sea Y = g(X) otra variable aleatoria tal que la funcióng(x) es monótona creciente, entonces la función de distribución de probabilidadesde Y, FY(y) viene dada por

))(()( 1 ygFyF XY−=

♦♦


La Ecuación 3.1 define la función que se desea conocer, es decir, FY(y) = P{Y ≤ y}.Para ello se debe recordar que Y = g(X), entonces

})({}{)( yXgPyYPyFY ≤=≤=

La Figura 7.6 muestra una función g(x) monótona creciente genérica donde sedestaca el evento del tipo {Y ≤ y} (semirecta vertical en negritas) y su eventoequivalente en términos de la variable X. Este evento equivalente en términos de lavariable X es el evento {X ≤ g-1(y)} (semirecta horizontal en negritas). Nótese quelas imágenes inversas de los puntos en {Y ≤ y} caen en {X ≤ g-1(y)}. Luego,

))(()}({})({}{)( 11 ygFygXPyXgPyYPyF XY−− =≤=≤=≤=

♦♦

Y

Función monótonay creciente

{Y ≤ y}

x = g-1(y) X

{X ≤ g-1(y)}

Figura 7.6: Eventos Equivalentes para una funcióng(x) monótona creciente.


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Ejemplo 7.8: Sea X una variable aleatoria Uniforme Continua en el intervalo (0, 1).Sea Y una función de la variable X tal que Y = 2X + 3. Hallar la función dedistribución de probabilidades de Y.

La función de distribución de probabilidades de la variable X es (Ver Ecuación 6.2)

≥<≤

<=

1 si ,110 si ,

0 si ,0)(

xxx

xxFX

Al analizar la función g(x) se puede ver claramente que es una función monótona

creciente donde 2

3)(1 −==− yxyg , por lo que al aplicar el Teorema 7.3.1, se

consigue lo siguiente,

≥

<≤−

<

=

≥−

<−

≤−

<−

== −

5 si ,1

53 si ,2

33 si ,0

12

3 si ,1

12

30 si ,2

3

02

3 si ,0

))(()( 1

y

yyy

y

yy

y

ygFyF XY

La Figura 7.7 muestra la función de distribución de Y de donde se puede concluirque Y también es uniforme continua pero en el intervalo (3, 5).

♦♦

FY(y)

1

3 5 y

Figura 7.7: Función de Distribución Acumulativa deProbabilidades de Y en el Ejemplo 7.8.


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Ejemplo 7.9: Sea X una variable aleatoria Uniforme Continua en el intervalo (0, 1).Sea Y una función de la variable X tal que Y = lnX. Hallar la función dedistribución de probabilidades de Y.


≥<≤

<=

1 si ,110 si ,

0 si ,0)(

xxx

xxFX

Al analizar la función g(x) se puede ver claramente que es una función monótonacreciente donde yexyg ==− )(1 , por lo que al aplicar el Teorema 7.3.1, se consiguelo siguiente,

≥<

=

≥

<≤

<

== −

0 si ,1 0 si ,

1 si ,1

10 si ,0 si ,0

))(()(y

y

yy

y

1

yye

eee

eygFyF XY

La Figura 7.8 muestra la función de distribución de Y.♦♦

FY(y)

1

ey

y



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Teorema 7.3.2: Sea X una variable aleatoria continua con función de distribuciónde probabilidades FX(x) y sea Y = g(X) otra variable aleatoria tal que la funcióng(x) es monótona decreciente, entonces la función de distribución deprobabilidades de Y, FY(y) viene dada por

))((1)( 1 ygFyF XY−−=

♦♦

Ejemplo 7.10:Demuestre el Teorema 7.3.2.

La Ecuación 3.1 define la función que se desea conocer, es decir, FY(y) = P{Y ≤ y}.Para ello se debe recordar que Y = g(X), entonces

})({}{)( yXgPyYPyFY ≤=≤=

La Figura 7.9 muestra una función g(x) monótona decreciente genérica donde sedestaca el evento del tipo {Y ≤ y} (semirecta vertical en negritas) y su eventoequivalente en términos de la variable X. Este evento equivalente en términos de lavariable X es el evento {X ≥ g-1(y)} (semirecta horizontal en negritas). Nótese quelas imágenes inversas de los puntos en {Y ≤ y} caen en {X ≥ g-1(y)}. Luego,

))((1)}({})({}{)( 11 ygFygXPyXgPyYPyF XY−− −=≥=≤=≤=

♦♦

Y

Función monótonay decreciente

{Y ≤ y}

x = g-1(y) X

{X ≥ g-1(y)}

Figura 7.9: Eventos Equivalentes para una funcióng(x) monótona decreciente.


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Ejemplo 7.11:Sea X una variable aleatoria Uniforme Continua en el intervalo (0, 1).Sea Y una función de la variable X tal que Y = -2lnX. Hallar la función dedistribución de probabilidades de Y.


≥<≤

<=

1 si ,110 si ,

0 si ,0)(

xxx

xxFX

Al analizar la función g(x) se puede ver claramente que es una función monótona

decreciente donde 21 )(y

exyg−− == , por lo que al aplicar el Teorema 7.3.2, se

consigue lo siguiente,

≥−

<=

≥

<≤

<

−=−= −

0 si ,1

0 si ,0

1 si ,1

10 si ,

0 si ,0

1))((1)(2y

-

2y

-

2y

-2y

-

2y

-

1

ye

y

e

ee

e

ygFyF XY

La Figura 7.10 muestra la función de distribución de Y. Al comparar esta funcióncon la Figura 6.5, por ejemplo, se puede concluir que Y es una variable aleatoriaExponencial con parámetro 1/2.

♦♦

FY(y)

1

21y

e−

−

y



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Teorema 7.3.3: Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad deprobabilidades fX(x) y sea Y = g(X) otra variable aleatoria tal que la función g(x) esbiyectiva, entonces la función de densidad de probabilidades de Y, fY(y) viene dadapor

))(('))((

)(1

1

yggygf

yf XY −

−

=

♦♦


Para demostrar el Teorema 7.3.3 se debe partir de los resultados encontrados en losTeoremas 7.3.1 y 7.3.2 en vista de que estos teoremas requieren que la función g(x)sea o monótona creciente o monótona decreciente, respectivamente, y para elTeorema 7.3.3 se requiere que g(x) sea biyectiva, lo que incluye los postulados delos Teoremas 7.3.1 y 7.3.2.

Del Teorema 7.3.1 se puede decir que ))(()( 1 ygFyF XY−= , mientras que del

Teorema 7.3.2 se puede escribir que ))((1)( 1 ygFyF XY−−= . En ambos casos, la

función de densidad de probabilidades de Y es la derivada de la correspondientefunción de distribución de probabilidades. Entonces

( )

−==

−

−

edecrecient monótona es g(x) si ,))((1

creciente monótona es g(x) si )),(()()(

1

1

ygFdyd

ygFdyd

yFdydyf

X

X

YY

Al tomar la derivada respecto de y, y considerar la derivada interna involucrada sellega a

−=−

==

−−−

−−−

edecrecient monótona es g(x) si ,))(()())((

creciente monótona es g(x) si ,))(()())(()(

111

111

dydxygfyg

dydygf

dydxygfyg

dydygf

yfXX

XX

Y

El signo menos que aparece en la ecuación anterior no debe sorprender al lector yaque permite cumplir la Propiedad 3.5.2.1 (la función de densidad es una función no

negativa) al compensar el signo negativo de dydx por ser g(x) decreciente.

Escribiendo esta expresión en forma compacta se llega al resultado, es decir


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))(('))(())((

))(()(1

111

yggygf

dxdy

ygfdydxygfyf XX

XY −

−−− ===

♦♦

Ejemplo 7.13:Para las variables definidas en el Ejemplo 7.8 calcular la función dedensidad de probabilidades de Y a partir del Teorema 7.3.3 y comparar con elresultado obtenido de derivar la función de distribución de Y respecto de y.

Al derivar FY(y) se obtiene

≥

<≤

<

=

≥

<≤−

<

==

5 si ,0

53 si ,21

3 si ,0

5 si ,1

53 si ,2

33 si ,0

)()(

y

y

y

y

yyy

dydyF

dydyf YY

Al aplicar el Teorema 7.3.3 se obtiene

≥<≤

<=

≥−

<−

≤

<−

==−

−

5 si ,0 53 si ,2/1

3 si ,0

12

3 si ,0

12

30 si ,1

02

3 si ,0

21

))(('))((

)(1

1

yy

y

y

y

y

yggygf

yf XY

De los resultados obtenidos por las dos vías planteadas se verifica que la variable Yes Uniforme Continua en el intervalo (3, 5). La Figura 7.11 muestra la función dedensidad de probabilidades de Y.

♦♦

fY(y)

1/2

3 5 y

Figura 7.11: Función de Densidad de Probabilidadesde Y en el Ejemplo 7.13.


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Ejemplo 7.14:Para las variables definidas en el Ejemplo 7.11 calcular la función dedensidad de probabilidades de Y a partir del Teorema 7.3.3 y comparar con elresultado obtenido de derivar la función de distribución de Y respecto de y.

Al derivar FY(y) se obtiene

≥

<=

≥−

<== −− 0 si ,

21

0 si ,0

0 si ,1

0 si ,0 )()(

22 ye

y

ye

y

dydyF

dydyf yyYY

Para aplicar el Teorema 7.3.3 hay que calcular la derivada de g(x) y evaluarla en elpunto g-1(y), es decir

( ) 222ln2)(222

y

exexex

ex

xdxdxg

dxd

yyy −=−=−=−−−

===

Luego

≥

<

=

≥

<≤

<

==−

−

0 si ,2

0 si ,0

1 si ,0

10 si ,1

0 si ,0

2

))(('))((

)( 2y

-

2y

-

2y

-

2y

-

2y

-

1

1

ye

y

e

e

e

eyggygf

yf XY

De los resultados obtenidos por las dos vías planteadas se verifica que la variable Yes Exponencial con parámetro 1/2. La Figura 7.12 muestra la función de densidadde probabilidades de Y.

♦♦

fY(y)

1/2

)(21 2 yue

y−

y

Figura 7.11: Función de Densidad de Probabilidadesde Y en el Ejemplo 7.13.


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Cuando la función g(x) no es biyectiva se tiene el caso de que existen varios valoresde x que satisfacen la ecuación y = g(x) por lo que es necesario tomar en cuentacada uno de estos valores en el cálculo de las características aleatorias de Y.

La Figura 7.12 presenta una función genérica no biyectiva que permite plantear lasdemostraciones de los Teoremas 7.3.4 y 7.3.5, a continuación.

Y

yB

y

yA

xA x1 x2 x3 xB X

Figura 7.12: Transformación Sobreyectiva.

Teorema 7.3.4: Sea X una variable aleatoria continua con función de distribuciónde probabilidades FX(x) y sea Y = g(X) otra variable aleatoria tal que la funcióng(x) no es biyectiva, entonces la función de distribución de probabilidades de Y,FY(y) viene dada por

)(.....)()( donde ,)())('sgn()( 211

N

N

iiXiY xgxgxgyxFxgyF =====∑

=

La función signo (sgn(x)) se define como sigue

<−≥

=0 ,10 ,1

)sgn(xsixsi

x

♦♦


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Para demostrar el Teorema 7.3.4 se debe analizar la función y = g(x) para distintosvalores de y desde –∞ y hasta ∞. En este análisis hay que poner especial interés enconjuntos del tipo {Y ≤ y} para poder conseguir el conjunto de las imágenesinversas en el eje x. Este conjunto puede estar formado por la unión de variosconjuntos de valores en x y no necesariamente por un solo conjunto.

El método de análisis que se presenta en este Ejemplo se denomina Método deAnálisis Incremental (MAI) y es aplicable a cualquier problema donde se deseecalcular la función de distribución de una variable Y a partir de conocer la funciónde distribución de x y la relación Y = g(x), para cualquier función g(x).

MAI revisa conjuntos del tipo {Y ≤ y} para valores de y desde –∞ y hasta ∞. Encada caso, el objetivo es conseguir el conjunto de imágenes inversas en el eje X(evento equivalente) para que, al calcular la probabilidad de ocurrencia de estoseventos equivalentes, se pueda expresar FY(y) en términos de FX(x).

Lo primero que se debe establecer es el conjunto de intervalos a considerar para locual hay que graficar la función g(x). Para la explicación del método se considerarála Figura 7.12; allí se puede ver que en el intervalo (–∞, yA) la relación es monótonacreciente, en (yA, yB) existen varias raíces y en (yB, ∞) nuevamente la relación esmonótona creciente. En consecuencia, estos serán los intervalos de análisis paraaplicar el MAI.

Primer intervalo: (valores de y menores que yA) La función y = g(x) es monótonacreciente por lo que la función de distribución de probabilidades de Y se obtiene apartir del Teorema 7.3.1, es decir

>≤

=≤=≤=−

A

AXY yy

yyygFyXgPyYPyF

si ?, si )),((

})({}{)(1

Antes de pasar al siguiente intervalo se debe conocer el valor de la función dedistribución de Y en el extremo superior del intervalo, en este caso en yA, es decir

)())(()( 1AXAXAY xFygFyF == −

Segundo intervalo: (valores de y entre yA y yB) La función y = g(x) no es biyectivapor lo que para calcular la función de distribución de probabilidades de Y seprocede como sigue

( ) ( ){ } { } { }yYyPyYPyYyyYPyYPyF AAAAY ≤<+≤=≤<∪≤=≤= }{)(


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El primero de los dos sumandos es, precisamente, el valor de la función dedistribución de Y en el extremo superior del intervalo anterior, es decir, FX(xA).Para calcular el segundo sumando se debe conocer el evento equivalente entérminos de la variable X, esto es (intervalos destacados en negritas en la Figura7.12)

{ } { } { }321 xXxxXxyYy AA ≤<∪≤<=≤<

donde los valores de x1, x2 y x3 son tales que se debe cumplir que

)()()( 321 xgxgxgy ===

Al calcular probabilidades de estos eventos se consigue que

{ } { } { } )()()()( 231321 xFxFxFxFxXxPxXxPyYyP XXAXXAA −+−=≤<+≤<=≤<

Por lo que se concluye que, en este segundo intervalo, la función de distribuciónacumulativa de probabilidades de Y será

)()()()( 231 xFxFxFyF XXXY −+=

Antes de pasar al siguiente intervalo se debe conocer el valor de la función dedistribución de Y en el extremo superior del intervalo, en este caso en yB, es decir

)())(()( 1BXBXBY xFygFyF == −

Tercer intervalo: (valores de y mayores que yB) La función y = g(x) es monótonacreciente por lo que la función de distribución de probabilidades de Y se obtiene apartir del Teorema 7.3.1, es decir

>

≤<−+≤

=−

−

BX

BAXXX

AX

Y

yyygFyyyxFxFxF

yyygFyF

si )),((

si ),()()( si )),((

)(1

231

1

En esta expresión se puede ver que el signo de cada término depende del valor de lapendiente de la función g(x) en cada caso. Esto demuestra el Teorema 7.3.4.

♦♦


Página 7-20 18/11/03

Como resumen del Método de Análisis Incremental (MAI) utilizado en el ejemploanterior se pueden destacar los pasos siguientes:

Paso 0: MAI revisa conjuntos del tipo {Y ≤ y} para valores de y desde –∞ y hasta∞. En cada caso, el objetivo es conseguir el conjunto de imágenes inversasen el eje X (evento equivalente) para que, al calcular la probabilidad deocurrencia de estos eventos equivalentes, se pueda expresar FY(y) entérminos de FX(x).

Paso 1: Realizar una gráfica de la función Y = g(X) para definir los intervalos deinterés a lo largo del eje Y. Estos intervalos se corresponden, por ejemplo,con las distintas partes en una función definida por partes o con regionescon raíces distintas.

Paso General i: Para valores de y en el intervalo actual i, expresar el conjunto deltipo {Y ≤ y} de esta manera: ( ) ( ) ( )yYyyYyY ii ≤<∪≤=≤ −− 11 ,donde yi–1 es el extremo superior del intervalo anterior (i – 1).Entonces, al aplicar probabilidades a la ecuación anterior el valor deFY(y) queda expresado en términos del valor de FY(yi-1), yaconocido, y la probabilidad del intervalo incremental ( )yYyi ≤<−1 ,a determinar. Para determinar el evento equivalente de esteintervalo incremental, en términos de eventos en el eje X, se debenconseguir los valores xj tales que )(...)()( 21 Nxgxgxgy ==== ypoder escribir

{ } { } { } { }NNii xXxxXxxXxyYy ≤<∪≤<∪≤<=≤< −−− 132111 ...

Al calcular probabilidades y sustituir en el valor actual de FY(y)queda lo siguiente

)()()....()()()()( 13111 −−− −++−+= NYiNYYiYYiYY yFyFyFyFyFyFyF

Lo que se puede escribir como la expresión del Teorema 7.3.4:

)(.....)()( donde ,)())('sgn()( 211

N

N


=

Para finalizar, se evalúa FY(y) en yi, extremo superior del intervaloactual i, se incrementa i en 1 y se vuelve a repetir este Paso Generalhasta que se hayan revisado todos los intervalos definidos en elPaso 1.


Página 7-21 18/11/03

Ejemplo 7.16:Sea X una variable aleatoria uniformemente distribuida en elintervalo (-1, 1). Sea Y una función de X tal que Y = X2. Calcular la función dedistribución de probabilidades de Y.

La función de distribución de X será

≥

<≤+

−<

=

1 si ,1

11- si ,2

11 si ,0

)(

x

xxx

xFX

Al analizar la Figura 7.13 se puede ver que para valores de y menores que cero noexiste solución mientras que para y mayor que cero existen dos soluciones a laecuación y = g(x) por lo que se puede aplicar el Teorema 3.3.4.

≥−−

<==∑

= 0 si ),()(

0 si ,0 )())('sgn()(

1 yyFyF

yxFxgyF

XX

N

iiXiY

Al sustituir, se llega al resultado deseado el cual se muestra en la Figura 7.14.

>

≤<

≤

=

>

≤<+−

−+

≤

=

1 si ,1 10 si ,

0 si ,0

1 si ,1

10 si ,2

12

1

0 si ,0

)(y

yy

y

y

yyy

y

yFY

♦♦

Y

1

y

-1 - y 0 y 1 X

Figura 7.13: Función Y = X2 para el Ejemplo 7.16.


Página 7-22 18/11/03

FY(y)

1

y

1 Y

Figura 7.14: Función de Distribución de Y resultanteen el Ejemplo 7.16.

Ejemplo 7.17:Sea X una variable aleatoria uniformemente distribuida en el

intervalo (-1, 1). Sea Y una función de X tal que 2

1X

Y = . Calcular la función de

distribución de probabilidades de Y.

La función de distribución de X será

≥

<≤+

−<

=

1 si ,1

11- si ,2

11 si ,0

)(

x

xxx

xFX

Al analizar la Figura 7.15 se puede ver que para valores de y menores que cero noexiste solución mientras que para y mayor que cero existen dos soluciones a laecuación y = g(x) por lo que se puede aplicar el Teorema 3.3.4.

≥

−+

−

<

==∑= 0 si ,111

0 si ,0

)())('sgn()(1 y

yF

yF

y

xFxgyFXX

N

iiXiY

Al sustituir, se llega al resultado deseado el cual se muestra en la Figura 7.16.


Página 7-23 18/11/03

≥−

<=

≥

+−

+

+

−

<

= 1 si ,11

1 si ,0

1 si ,2

11

2

11

1

1 si ,0

)( yy

y

yyy

y

yFY

♦♦

Y

2

1X

y

y1

− 0y

1 X

Figura 7.15: Función 2

1X

Y = para el Ejemplo 7.17.

FY(y)

1

y1

1 Y

Figura 7.16: Función de Distribución de Y resultanteen el Ejemplo 7.17.


Página 7-24 18/11/03

Teorema 7.3.5: Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad deprobabilidades fX(x) y sea Y = g(X) otra variable aleatoria tal que la función g(x) noes biyectiva, entonces la función de densidad de probabilidades de Y, fY(y) vienedada por

)(.....)()( donde ,)(')(

)( 211

N

N

i i

iXY xgxgxgy

xgxf

yf =====∑=

♦♦


Para demostrar el Teorema 7.3.5 se debe partir del resultado del Teorema 7.3.4.

)(.....)()( donde ,)())('sgn()( 211

N

N


=

Derivando esta expresión con respecto de y se obtiene la función de densidad deprobabilidades de y. La función sgn(x) será absorbida por la definición de módulotal y como se hizo en el Ejemplo 7.12 para demostrar el Teorema 7.3.3.

♦♦

Ejemplo 7.19:Sea X una variable aleatoria uniformemente distribuida en elintervalo (-1, 1). Sea Y una función de X tal que Y = X2. Calcular la función dedensidad de probabilidades de Y.

En el Ejemplo 7.16 se llegó a la conclusión que la función de distribución de Y era

>

≤<

≤

=

1 si ,1 10 si ,

0 si ,0

)(y

yy

y

yFY

Derivando esta expresión se obtiene la función de densidad de y.

>

≤<

≤

=

>

≤<

≤

==

1 si ,0

10 si ,2

10 si ,0

1 si ,1

10 si ,

0 si ,0

)()(

y

yy

y

yyy

y

dydyF

dydyf YY


Página 7-25 18/11/03

Al analizar la Figura 7.13 se puede ver que para valores de y menores que cero noexiste solución mientras que para y mayor que cero existen dos soluciones a laecuación y = g(x) por lo que se puede aplicar directamente el Teorema 3.3.5. Paraello se debe conocer la función de densidad de x, es decir,

>

≤<

−≤

=

1 si ,0

11- si ,21

1 si ,0

)(

x

x

x

xf X

Y la derivada de g(x), evaluada en la raíz correspondiente, será

( ) YXXdxdxg

dxdYXXY

yxyxyx

22)( entonces , 22 ±===±=⇒=±=

±=±=

Al aplicar el Teorema 7.3.5.

>

<<

<

=

>

<<+

<

==∑=

1 si ,0

10 si ,2

10 si ,0

1 si ,0

10 si ,21

21

0 si ,0

21

)(')(

)(2

1

y

yy

y

y

y

y

yxgxf

yfi i

iXY

La Figura 7.17 muestra el resultado obtenido.♦♦

fY(y)

y21

1/2

1 Y

Figura 7.17: Función de Densidad de Y resultante en elEjemplo 7.19.


Página 7-26 18/11/03

Ejemplo 7.20:Sea X una variable aleatoria normal estándar. Sea Y una función deX tal que Y = X2. Calcular la función de densidad de probabilidades de Y.

La función de densidad de probabilidades de X es

2

2

21)(

x

X exf−

=π

Al analizar la Figura 7.13 se puede ver que para valores de y menores que cero noexiste solución mientras que para y mayor que cero existen dos soluciones a laecuación y = g(x) por lo que se puede aplicar directamente el Teorema 3.3.5. Paraello se debe conocer la derivada de g(x), evaluada en la raíz correspondiente, esdecir

( ) YXXdxdxg

dxdYXXY

yxyxyx

22)( entonces , 22 ±===±=⇒=±=

±=±=


)(21

)(')(

)( 22

1yue

yxgxf

yfy

i i

iXY

−

=

==∑π

Esta función de densidad se corresponde con el modelo Chi-Cuadrado con un gradode libertad.

♦♦

Ejemplo 7.21:Sea X una variable aleatoria uniformemente distribuida en (-π, π).Sea Y una función de X tal que Y = C tan(X). Calcular la función de densidad deprobabilidades de Y.

La función de densidad de probabilidades de X es

>

≤<

−≤

=

π

πππ

π

x

x

x

xf X

si ,0

- si ,21

si ,0

)(


Página 7-27 18/11/03

Al analizar la Figura 7.18 se puede ver que para todo valor de y existen infinitassoluciones a la ecuación y = g(x) por lo que se puede aplicar directamente elTeorema 3.3.5. Para ello se debe conocer la derivada de g(x), evaluada en cada unade las raíces, es decir

( )C

yCXCXtanCdxdxg

dxd

iCyarctanXXtanCY

Cyarctanx

Cyarctanx

Cyarctanx

i

222 )(sec)( )(

entonces

,....2 ,1 ,0 para ,)(

+===

±±=

=⇒=

=

=

=


∑∑∞

−∞=

∞

−∞= +==

iiX

i i

iXY xf

yCC

xgxf

yf )()(')(

)( 22

Para resolver la sumatoria anterior se debe considerar que los posibles valores xi

deben estar en el intervalo (-π, π). Esto simplifica la expresión ya que sólo existen

dos raíces en ese intervalo y, en ambas, el valor de la función de densidad es π21

por lo que, en definitiva, la función de densidad de Y será

2222 21

21)(

yC

C

yCCyfY +

=

+

+= π

ππ

Esta función de densidad se corresponde con una variable aleatoria Cauchy conparámetro C.

♦♦


Página 7-28 18/11/03

Y

y

-π x0 x1 π x2 Y

Figura 7.18: Función )( XtanCY = para el Ejemplo 7.21.

7.4) TRANSFORMACIONES ESPECIALES.

Bajo el nombre de Transformaciones Especiales se van a presentar algunasfunciones g(x) que tienen un comportamiento muy particular y no respondenestrictamente a ninguno de los casos analizados en las Secciones anteriores.

En la Figura 7.19 se muestra un ejemplo de una relación entre dos variables en lacual la característica principal es la presencia de pendientes horizontales y/overticales, lo cual es propio de funciones que presentan discontinuidades con saltosfinitos, bien sea en la función g(x), en la función g-1(x), o en ambas.

Y = g(X)

1

X

-1

Figura 7.19: Función )sgn(XY = .


Página 7-29 18/11/03

La forma de enfrentar este tipo de problema es mediante el uso del Método deAnálisis Incremental (MAI) descrito en el Ejemplo 7.15.

Ejemplo 7.22:Analizar la relación presentada en la Figura 7.19 mediante MAI.

MAI se utiliza para conocer la función de distribución de Y = g(X) en términos dela función de distribución de X. Al analizar la Figura 7.19 se pueden destacar tresintervalos de valores de y para ser analizados, estos son (-∞, -1), (-1, 1) y (1, ∞).Adicionalmente, se debe prestar especial atención a la presencia de pendienteshorizontales en y = ±1 y de una pendiente vertical en x = 0.

Primer Intervalo: (-∞, -1), Al analizar el evento del tipo {Y ≤ y} se nota que por noexistir un conjunto de imágenes inversas el evento equivalente es el eventoimposible; esto se cumple siempre y cuando y < -1. En el caso y = -1, se nota que elconjunto de imágenes inversas es {X < 0}, por lo que se puede escribir que

−>−=

−<

=

−>−=<−<

=≤= −

1 si ?, 1 si ),0(

1 si ,0

1 si ?, 1 si },0{

1 si ,0 }{)(

yyF

y

yyXP

yyYPyF XY

donde )0( −XF es el valor de la función de distribución de X evaluada en el punto

anterior a x = 0; si X es una variable aleatoria continua en cero entonces se cumpleque )0()0( XX FF =− . Si este valor es distinto de cero se puede notar la presencia deuna discontinuidad en la función de distribución de Y para el punto y = -1.

Segundo Intervalo: (-1, 1), Al analizar el evento del tipo {Y ≤ y} se puede escribir

1cualquier para }0{}1{ pero}1{)1(}1{}1{}{

queda adesprobabilidcalcular al tanto,lopor }1{}1{}{

<==≤<−≤<−+−=≤<−+−≤=≤

≤<−∪−≤=≤

yXPyYPyYPFyYPYPyYP

yYYyY

Y

Si X es una variable continua se tiene que P{X = 0} = 0 y se puede escribir que

≥<≤

−<

= −

1 si ?, 11- si ),0(

1 si ,0 )(

yyF

yyF XY


Página 7-30 18/11/03

Al analizar el valor de FY(y) en y = 1, se puede notar que

)0(1)0(}0{)1(}1{}1{}1{queda adesprobabilidcalcular al tanto,lopor

}1{}1{}1{

XXY FFXPFYPYPYP

YYY

−+=>+==+<=≤

=∪<=≤

−−

Si X es una variable aleatoria continua en cero se cumple que )0()0( XX FF =− , porlo que FY(1) = 1.

Tercer Intervalo: (1, ∞), Ya que FY(1) = 1, termina el análisis por lo que se concluyeque la función de distribución de Y es

≥<≤

−<

= −

1 si ,1 11- si ),0(

1 si ,0 )(

yyF

yyF XY

La Figura 7.20 muestra una función de distribución de X genérica y lacorrespondiente función de distribución para Y = sgn(X). Allí se destaca en líneaoscura la función de distribución de Y. Para conocer la función de densidad de Y sederiva la correspondiente función de distribución. Es importante notar que en FY(y)existen discontinuidades con saltos finitos por lo que, al derivar, se generanfunciones impulsivas en esos puntos de discontinuidad. La función de densidad deY será entonces

( )

>=−−<<

=+

<

=

1 si ,0 1 si 101

11- si ,0 1 si 10

1 si ,0

)(

yy),(y)(F

y-y),(y)(F

-y

yf

X

-X

Y

δ

δ

En la Figura 7.21 se muestra una función de densidad de X genérica y lacorrespondiente función de densidad para Y = sgn(X). Allí se destaca en líneas másoscuras la función de densidad de Y. Esta función signo permite transformar unavariable continua en una variable discreta.

♦♦


Página 7-31 18/11/03

1

FY(y) (1 – FX(0)) FX(x)

FX(0)

-1 1 X

Figura 7.20: Comparación de las Funciones de Distribución deProbabilidades de X (Genérica) y de )sgn(XY = .

fY(y) (1 – FX(0))δ(y-1) fX(x)

FX(0)δ(y+1)

-1 1 X

Figura 7.21: Comparación de las Funciones de Densidad deProbabilidades de X (Genérica) y de )sgn(XY = .


Esta relación es la respuesta de un sistema que permite ver a la salida la señal queestá a la entrada, siempre que sea positiva, cuando la entrada es negativa la señal desalida es cero. Esta característica le confiere al sistema el nombre de rectificador demedia onda.

Al analizar la Figura 7.22 se pueden destacar dos intervalos de valores de y para seranalizados, estos son (-∞, 0) y (0, ∞). Adicionalmente, se debe prestar especialatención a la presencia de una pendiente horizontal en y = 0.


Página 7-32 18/11/03

Y = g(X)

1

1 X

Figura 7.22: Función Y = g(X) para el Ejemplo 7.23.

Primer Intervalo: (-∞, 0), Al analizar el evento del tipo {Y ≤ y} se nota que por noexistir un conjunto de imágenes inversas el evento equivalente es el eventoimposible; esto se cumple siempre y cuando y < 0. En el caso y = 0, se nota que elconjunto de imágenes inversas es {X ≤ 0}, por lo que se puede escribir que

>=<

=

>=≤<

=≤=0 si ?, 0 si ),0(0 si ,0

0 si ?, 0 si },0{

0 si ,0 }{)(

yyFy

yyXP

yyYPyF XY

donde )0(XF es el valor de la función de distribución de X evaluada en x = -1; sieste valor es distinto de cero se puede notar la presencia de una discontinuidad en lafunción de distribución de Y para el punto y = 0.

Segundo Intervalo: (0, ∞), En este intervalo se cumple que Y = X por lo que sepuede escribir )()( xFyF XY = . Entonces, se puede escribir que

≥<

=0 si ),(0 si ,0

)(yyFy

yFX

Y

La Figura 7.23 muestra una función de distribución de X genérica y lacorrespondiente función de distribución para Y. Allí se destaca en línea oscura lafunción de distribución de Y. Para conocer la función de densidad de Y se deriva lacorrespondiente función de distribución. Es importante notar que en FY(y) existendiscontinuidades con saltos finitos por lo que, al derivar, se generan funcionesimpulsivas en esos puntos de discontinuidad. La función de densidad de Y seráentonces


Página 7-33 18/11/03

>=<

=0 si ),( 0 si 0

0 si ,0 )(

yyfy(y),)(F

yyf

X

XY δ

En la Figura 7.24 se muestra una función de densidad de X genérica y lacorrespondiente función de densidad para Y. Allí se destaca en líneas más oscuras lafunción de densidad de Y.

♦♦

1

FX(x) FY(y)

FX(0)

X

Figura 7.23: Comparación de las Funciones de Distribución deProbabilidades de X (Genérica) y de Y para el Ejemplo 7.23.

fX(x) fY(y)FX(0)δ(y)

X

Figura 7.24: Comparación de las Funciones de Densidad deProbabilidades de X (Genérica) y de Y para el Ejemplo 7.23.


Página 7-34 18/11/03


Esta relación es la respuesta de un sistema que permite ver a la salida una señalsiempre positiva. Para ello si la entrada es positiva, la salida es igual a la entradapero si es negativa, la señal de salida es igual a ala entrada cambiada de signo. Estacaracterística le confiere al sistema el nombre de rectificador de onda completa.

Al analizar la Figura 7.25 se pueden destacar dos intervalos de valores de y para seranalizados, estos son (-∞, 0) y (0, ∞). Esta función se utilizó en el Ejemplo 7.6 perosin aprovechar su carácter de función sobreyectiva. Para este ejemplo se consideraráuna variable aleatoria genérica, como en los anteriores, para comparar el resultadocon el ejemplo anterior.

Y = g(X)

1

-1 1 X


Primer Intervalo: (-∞, 0), Al analizar el evento del tipo {Y ≤ y} se nota que por noexistir un conjunto de imágenes inversas el evento equivalente es el eventoimposible; esto se cumple siempre y cuando y < 0. En el caso y = 0, se nota que elconjunto de imágenes inversas es {X = 0}, por lo que se puede escribir que

>≤

=

>==<

=≤=0 si ?, 0 si ,0

0 si ?, 0 si },0{

0 si ,0 }{)(

yy

yyXP

yyYPyFY

Segundo Intervalo: (0, ∞), Al analizar el evento del tipo {Y ≤ y} se puede escribir

raíces dosexisten que cuentaen tomar debe se }0{hallar para,0)0( pero

}0{)0(}0{}0{}{queda adesprobabilidcalcular al tanto,lopor

}0{}0{}{

yYPF

yYPFyYPYPyYP

yYYyY

Y

Y

≤<=

≤<+=≤<+≤=≤

≤<∪≤=≤


Página 7-35 18/11/03

Entonces, se puede escribir que

definitivaen que, lopor )()(}0{

ia,consecuencen )0()()()0(}0{}0{}0{

yFyFyYP

FyFyFFyXPXyPyYP

XX

XXXX

−−=≤<

−+−−=≤<+≤<−=≤<

≥−−<

=0 si ),()(

0 si ,0 )(

yyFyFy

yFXX

Y

La Figura 7.26 muestra una función de distribución de X genérica y lacorrespondiente función de distribución para Y. Allí se destaca en línea oscura lafunción de distribución de Y. Para conocer la función de densidad de Y se deriva lacorrespondiente función de distribución consiguiendo

≥−+<

=0 si ),()(

0 si ,0 )(

yyfyfy

yfXX

Y

En la Figura 7.27 se muestra una función de densidad de X genérica y lacorrespondiente función de densidad para Y. Allí se destaca en líneas más oscuras lafunción de densidad de Y. Es interesante observar que en la Figura 7.27 no aparecenfunciones impulsivas en la función de densidad de Y.

♦♦

1

FX(x) FY(y)

X



Página 7-36 18/11/03

fX(x) fY(y)

X


Y = g(X)

1

-11 X

-1



Esta relación es la respuesta de un sistema que permite ver a la salida la señal queestá a la entrada, siempre que esté en el intervalo (-1, 1); cuando la entrada se salede ese intervalo la señal de salida queda limitada y no puede salir del intervalo encuestión. Esta característica le confiere al sistema el nombre de limitador.

Al analizar la Figura 7.28 se pueden destacar tres intervalos de valores de y para seranalizados, estos son (-∞, -1), (-1, 1) y (1, ∞). Adicionalmente, se debe prestarespecial atención a la presencia de pendientes horizontales en y = ±1.

Primer Intervalo: (-∞, -1), Al analizar el evento del tipo {Y ≤ y} se nota que por noexistir un conjunto de imágenes inversas el evento equivalente es el eventoimposible; esto se cumple siempre y cuando y < -1. En el caso y = -1, se nota que elconjunto de imágenes inversas es {X ≤ -1}, por lo que se puede escribir que


Página 7-37 18/11/03

−>−=−−<

=

−>−=−≤

−<=≤=

1 si ?, 1 si ),1(1 si ,0

1 si ?,

1 si },1{1 si ,0

}{)(yyFy

yyXP

yyYPyF XY

donde )1(−XF es el valor de la función de distribución de X evaluada en x = -1; sieste valor es distinto de cero se puede notar la presencia de una discontinuidad en lafunción de distribución de Y para el punto y = -1.

Segundo Intervalo: (-1, 1), En este intervalo se cumple que Y = X por lo que sepuede escribir )()( xFyF XY = . Entonces, hasta este segundo intervalo se puedeescribir que

≥<≤

−<=

1 si ?, 11- si ),(

1 si ,0 )(

yyyF

yyF XY

Al analizar el valor de FY(y) en y = 1, se puede notar que

)1(1)1(}1{)1(}1{}1{}1{queda adesprobabilidcalcular al tanto,lopor

}1{}1{}1{

XXY FFXPFYPYPYP

YYY

−+=>+==+<=≤

=∪<=≤

−−

Si X es una variable aleatoria continua en uno se cumple que )1()1( XX FF =− , porlo que FY(1) = 1. Este hecho arroja un resultado interesante para la función dedistribución de Y: se genera una discontinuidad con salto finito en y = 1 debido aque, en general, )1()1( YY FF ≠− .

Tercer Intervalo: (1, ∞), Ya que FY(1) = 1, termina el análisis por lo que se concluyeque la función de distribución de Y es

≥<≤

−<=

1 si ,1 11- si ),(

1 si ,0 )(

yyyF

yyF XY

La Figura 7.29 muestra una función de distribución de X genérica y lacorrespondiente función de distribución para Y. Allí se destaca en línea oscura lafunción de distribución de Y. Para conocer la función de densidad de Y se deriva lacorrespondiente función de distribución. Es importante notar que en FY(y) existendiscontinuidades con saltos finitos por lo que, al derivar, se generan funcionesimpulsivas en esos puntos de discontinuidad. La función de densidad de Y seráentonces


Página 7-38 18/11/03

( )

>=−−<<

=+−<

=

1 si ,0 1 si 111

11- si ),( 1 si 11

1 si ,0

)(

yy),(y)(F

yyf-y),(y)(F

-y

yf

X

X

X

Y

δ

δ

En la Figura 7.30 se muestra una función de densidad de X genérica y lacorrespondiente función de densidad para Y. Allí se destaca en líneas más oscuras lafunción de densidad de Y.

♦♦

1

FY(y) FX(1) FX(x)

FX(-1)

-1 1 X


fY(y) fX(x)(1 – FX(1))δ(y-1)

FX(-1)δ(y+1)

-1 1 X



Página 7-39 18/11/03

El análisis de los problemas anteriores permite enunciar dos Teoremas que seránaplicables para aquellas relaciones Y = g(X) que presentan pendientes horizontalesy/o verticales.

Teorema 7.4.1: Sea X una variable aleatoria con función de distribución deprobabilidades FX(x) y sea Y = g(X) otra variable aleatoria tal que la relación entreellas presenta discontinuidades con saltos finitos, bien sea en la función g(x), en lafunción g-1(x), o en ambas. Entonces, la gráfica de la función de distribución deprobabilidades de Y presentará una pendiente vertical correspondiente a cadapendiente horizontal que tenga g(X) y una pendiente horizontal correspondiente acada pendiente vertical que tenga g(X).

♦♦


Para demostrar el Teorema 7.4.1 se deben conseguir los eventos equivalentescorrespondientes tanto a pendientes horizontales como a pendientes verticales queestén presentes en la relación Y = g(X).

En el caso de pendientes horizontales (ver Figura 7.31), a un valor constante en eleje Y ( y = K ) le corresponde como imagen inversa un conjunto de valores de X deltipo {x1 < X < x2}, donde x1 y x2 serán los extremos del intervalo correspondiente.Esto hace que esos eventos sean equivalentes por lo que sus probabilidades soniguales, es decir

0)()(}{}{ 1221 ≠−=<<== xFxFxXxPKYP XX

El que esta probabilidad sea distinta de cero obliga a una discontinuidad con saltofinito igual a P{Y = K} en el punto y = K. Esta discontinuidad se ve en la gráfica deFY(y) como una pendiente vertical.

En el caso de pendientes verticales (ver Figura 7.32), a algún conjunto de valoresde Y del tipo {y1 < Y < y2} le corresponde como imagen inversa un valor constanteen el eje X (X = C). Entonces estos eventos serán equivalentes por lo que susprobabilidades son iguales, es decir

0}{}{ 21 ===<< CXPyYyP

El que esta probabilidad sea cero obliga a que en la gráfica de la función dedistribución de Y no se incrementa la función a lo largo del intervalo (y1, y2), lo queocasiona la presencia de la pendiente horizontal en ese intervalo.

♦♦


Página 7-40 18/11/03

Y = g(X)

K

x1 x2 X

Figura 7.31: Relación Y = g(X) con una Pendiente Horizontal.

Y = g(X)

y2

y1

C X

Figura 7.32: Relación Y = g(X) con una Pendiente Vertical.

Y = g(X)

3

2

-1 0 1 2 X

Figura 7.33: Relación Y = g(X) para el Ejemplo 7.27.


Página 7-41 18/11/03

Ejemplo 7.27:Para la relación Y = g(X) mostrada en la Figura 7.33 deducir laspendientes verticales y horizontales presentes en la función de distribución de Yutilizando el Teorema 7.4.1.

Al analizar la relación Y = g(X) de la Figura 7.33 se puede observar que estánpresentes las pendientes verticales y horizontales que se resumen en la Tablas 7.1 y7.2, respectivamente.

Pendientes Verticales Conjunto Relacionado en el eje YX = 0 1 < Y < 2X = 1 2 < Y < 3

Tabla 7.1: Pendientes Verticales Presentes en la RelaciónY = g(X) para el Ejemplo 7.27.

Pendientes Horizontales Conjunto Relacionado en el eje XY = 0 -1 < X < 0Y = 2 0 < X < 1Y = 3 1 < X < 2

Tabla 7.2: Pendientes Horizontales Presentes en laRelación Y = g(X) para el Ejemplo 7.27.

Al aplicar el Teorema 7.4.1 se puede decir que la función FY(y) tiene dos pendienteshorizontales y tres pendientes verticales que se destacan la las Tablas 7.3 y 7.4.

Pendientes Verticales Probabilidad del Valor DiscretoY = 0 FX(0) - FX(-1)Y = 2 FX(1) - FX(0)Y = 3 FX(2) - FX(1)

Tabla 7.3: Pendientes Verticales Presentes en la FunciónFY(y) para el Ejemplo 7.27.

Pendientes Horizontales Conjunto Relacionado en el eje YFY(y) = FX(0) 1 < y < 2FY(y) = FX(1) 2 < y < 3

Tabla 7.4: Pendientes Horizontales Presentes en laFunción FY(y) para el Ejemplo 7.27.

♦♦


Página 7-42 18/11/03

Y = g(X)4

3

2

1

-1 0 1 X

Figura 7.34: Relación Y = g(X) para el Ejemplo 7.28.

Ejemplo 7.28:Para la relación Y = g(X) mostrada en la Figura 7.34 deducir laspendientes verticales y horizontales presentes en la función de distribución de Yutilizando el Teorema 7.4.1.

Al analizar la relación Y = g(X) de la Figura 7.34 se puede observar que estánpresentes las pendientes verticales y horizontales que se resumen en la Tablas 7.5 y7.6, respectivamente.

Pendientes Verticales Conjunto Relacionado en el eje YX = -1 3 < Y < 4X = 0 2 < Y < 3X = 1 1 < Y < 2

Tabla 7.5: Pendientes Verticales Presentes en la RelaciónY = g(X) para el Ejemplo 7.28.

Pendientes Horizontales Conjunto Relacionado en el eje XY = 1 X > 1Y = 2 0 < X < 1Y = 3 -1 < X < 0Y = 4 X < -1

Tabla 7.6: Pendientes Horizontales Presentes en laRelación Y = g(X) para el Ejemplo 7.28.


Página 7-43 18/11/03

Al aplicar el Teorema 7.4.1 se puede decir que la función FY(y) tiene tres pendienteshorizontales y tres pendientes verticales que se destacan la las Tablas 7.7 y 7.8.

Pendientes Verticales Probabilidad del Valor DiscretoY = 1 1 – FX(1)Y = 2 FX(1) – FX(0)Y = 3 FX(0) – FX(-1)Y = 4 FX(-1)

Tabla 7.7: Pendientes Verticales Presentes en la FunciónFY(y) para el Ejemplo 7.28.

Pendientes Horizontales Conjunto Relacionado en el eje YFY(y) = 1 - FX(1) 1 < y < 2FY(y) = 1 - FX(0) 2 < y < 3FY(y) = 1 - FX(-1) 3 < y < 4

Tabla 7.8: Pendientes Horizontales Presentes en laFunción FY(y) para el Ejemplo 7.28.

En vista de que no hay valores de Y inferiores a 1 ni superiores a 4, existen dospendientes horizontales adicionales, a consecuencia de la definición de función dedistribución.

♦♦

Teorema 7.4.2: Sea X una variable aleatoria con función de densidad deprobabilidades fX(x) y sea Y = g(X) otra variable aleatoria tal que la relación entreellas presenta discontinuidades con saltos finitos, bien sea en la función g(x), en lafunción g-1(x), o en ambas. Entonces, la gráfica de la función de densidad deprobabilidades de Y presentará una función impulsiva correspondiente a cadapendiente horizontal que tenga g(X) e intervalos con un valor de cerocorrespondientes a cada pendiente vertical que tenga g(X).

♦♦


Para demostrar el Teorema 7.4.2 se deben conseguir los eventos equivalentescorrespondientes tanto a pendientes horizontales como a pendientes verticales queestén presentes en la relación Y = g(X).

En el caso de pendientes horizontales (ver Figura 7.31), a un valor constante en eleje Y ( y = K ) le corresponde como imagen inversa un conjunto de valores de X deltipo {x1 < X < x2}, donde x1 y x2 serán los extremos del intervalo correspondiente.


Página 7-44 18/11/03

Esto hace que esos eventos sean equivalentes por lo que sus probabilidades soniguales, es decir

0)()(}{}{ 1221 ≠−=<<== xFxFxXxPKYP XX

El que esta probabilidad sea distinta de cero obliga a un área concentrada en elpunto y = K lo cual se manifiesta como un impulso de altura P{Y = K} en la gráficade la función de densidad de Y.

En el caso de pendientes verticales (ver Figura 7.32), a algún conjunto de valoresde Y del tipo {y1 < Y < y2} le corresponde como imagen inversa un valor constanteen el eje X (X = C). Entonces estos eventos serán equivalentes por lo que susprobabilidades son iguales, es decir

0}{}{ 21 ===<< CXPyYyP

El que esta probabilidad sea cero obliga a que en la gráfica de la función dedensidad de Y el valor de la función a lo largo del intervalo (y1, y2) es cero.

♦♦

Ejemplo 7.30:Para la relación Y = g(X) mostrada en la Figura 7.33 deducir lasfunciones impulsivas y los intervalos de valor cero presentes en la función dedensidad de Y utilizando el Teorema 7.4.2.

La pendientes horizontales y verticales presentes en la Figura 7.33 se muestran enlas Tablas 7.1 y 7.2 del Ejemplo 7.27. En la Tabla 7.9 se presentan, en la últimacolumna, los intervalos para los cuales la función de densidad de Y vale cero comoconsecuencia de aplicar el Teorema 7.4.2.

PendientesVerticales

Conjunto Relacionadoen el eje Y

Intervalos de ValorCero en fY(y)

X = 0 1 < Y < 2 1 < Y < 2X = 1 2 < Y < 3 2 < Y < 3

Tabla 7.9: Pendientes Verticales Presentes en la Relación Y = g(X)de la Figura 7.33 y los Correspondientes Intervalos deValor Cero en fY(y).


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En la Tabla 7.10 se presentan los impulsos y sus amplitudes que estarán presentesen la función de densidad de Y como consecuencia de aplicar el Teorema 7.4.2.

Pendientes Horizontales Impulsos en fY(y)Y = 0 (FX(0) - FX(-1))δ(y)Y = 2 (FX(1) - FX(0))δ(y-2)Y = 3 (FX(2) - FX(1))δ(y-3)

Tabla 7.10: Pendientes Horizontales Presentes en la RelaciónY = g(X) de la Figura 7.33 e Impulsos en fY(y).

♦♦

Ejemplo 7.31:Para la relación Y = g(X) mostrada en la Figura 7.34 deducir lasfunciones impulsivas y los intervalos de valor cero presentes en la función dedensidad de Y utilizando el Teorema 7.4.2.

La pendientes horizontales y verticales presentes en la Figura 7.34 se muestran enlas Tablas 7.5 y 7.6 del Ejemplo 7.28. En la Tabla 7.11 se presentan, en la últimacolumna, los intervalos para los cuales la función de densidad de Y vale cero comoconsecuencia de aplicar el Teorema 7.4.2.

PendientesVerticales

Conjunto Relacionadoen el eje Y

Intervalos de ValorCero en fY(y)

X = -1 3 < Y < 4 3 < Y < 4X = 0 2 < Y < 3 2 < Y < 3X = 1 1 < Y < 2 1 < Y < 2

Tabla 7.11: Pendientes Verticales Presentes en la Relación Y = g(X)de la Figura 7.34 y los Correspondientes Intervalos deValor Cero en fY(y).

En la Tabla 7.12 se presentan los impulsos y sus amplitudes que estarán presentesen la función de densidad de Y como consecuencia de aplicar el Teorema 7.4.2.

Pendientes Horizontales Impulsos en fY(y)Y = 1 (1 – FX(1))δ(y-1)Y = 2 (FX(1) – FX(0))δ(y-2)Y = 3 (FX(0) – FX(-1))δ(y-3)Y = 4 (FX(-1))δ(y-4)

Tabla 7.12: Pendientes Horizontales Presentes en la RelaciónY = g(X) de la Figura 7.34 e Impulsos en fY(y).

♦♦


Página 7-46 18/11/03

7.5) VALOR ESPERADO DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLEALEATORIA.

Para conocer el valor esperado de Y = g(X) se puede utilizar la Ecuación 4.1 o laEcuación 4.3, que se reproducen a continuación.

∫∞

∞−

= dyyyfYE Y )()( (ec.7.1)

∫∞

∞−

== dxxfxgXgEYE X )()())(()( (ec.7.2)

Como puede observar el lector mediante las dos ecuaciones anteriores se llega alresultado deseado. En las Secciones anteriores de este Capítulo se han enunciadovarios teoremas que permiten conocer la función de densidad de Y en términos de lafunción de densidad de X y de la relación Y = g(X), pero la Ecuación 7.2 indica queno es necesario conocer la función de densidad de Y para calcular su valor esperado.

Ejemplo 7.32:Calcular el valor esperado de la variable Y del Ejemplo 7.2.

En el Ejemplo 7.2 se llegó al resultado siguiente en referencia a la función deprobabilidad de Y

=

=casos otrosen ,0

11,9,7,5 para ,41

)(k

kpY

Entonces, el valor esperado de Y será

( ) 84

321197541)( ==+++=YE

Este valor se pudo obtener a partir de la relación Y = 2X + 3 y de la función deprobabilidad de X, como sigue

84

32122

)14(4241432

41)32(

41)(

4

1

4

1==

+

+=

+=+= ∑∑

==

xii

iiYE

Particularmente, en este ejemplo se pueden aprovechar algunas de las propiedadesdel concepto de valor esperado para obtener el resultado deseado

832523)(2)32()( =+=+=+= xXEXEYE

♦♦


Página 7-47 18/11/03


En el Ejemplo 7.5 se llegó al resultado siguiente en referencia a la función deprobabilidad de Y

===

=

casos otrosen ,04 ,4.01 ,4.00 ,2.0

)(mmm

mpY


244.014.002.0)( =++= xxxYE

Este valor se pudo obtener a partir de la relación Y = X2 y de la función deprobabilidad de X, como sigue

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2102.0210122.0)( 22222 ==+++−+−= xYE♦♦


En el Ejemplo 7.13 se llegó al resultado siguiente en referencia a la función dedensidad de probabilidades de Y

≥<≤

<=

5 si ,0 53 si ,2/1

3 si ,0 )(

yy

yyfY


44

92542

)(5

3

25

3

=−

=== ∫ydyyYE

Este valor se pudo obtener a partir de la relación Y = 2X + 3 y de la función dedensidad de probabilidades de X, como sigue

( ) ( ) 431332)(1

0

21

0

=+=+=+= ∫ xxdxxYE


Página 7-48 18/11/03

Particularmente, en este ejemplo se pueden aprovechar algunas de las propiedadesdel concepto de valor esperado para obtener el resultado deseado

432123)(2)32()( =+=+=+= xXEXEYE

♦♦



>

<<

<

=

1 si ,0

10 si ,2

10 si ,0

)(

y

yy

y

yfY


31

322)(

1

0

32

1

0

1

0

==== ∫∫ydy

ydy

yyYE

Este valor se pudo obtener a partir de la relación Y = X2 y de la función dedensidad de probabilidades de X, como sigue

31

61

61

62)(

1

1

31

1

2

=

−−===

−−∫

xdxxYE

♦♦



22)(yC

CyfY += π


Página 7-49 18/11/03


( )[ ] 0ln2

)( 2222 =+=

+=

∞

∞−

∞

∞−∫ yCCdy

yCyCYE

ππ

Este valor se pudo obtener a partir de la relación Y = C tanX y de la función dedensidad de probabilidades de X, como sigue

( )[ ] 0cosln22

)( =−==−−

∫π

π

π

π ππxCdxCtanxYE

Particularmente, en este ejemplo se pueden aprovechar la característica de funciónpar de la función de densidad de probabilidades de Y y la Propiedad 4.2.2.1 delconcepto de valor esperado para obtener el resultado deseado, E(Y) = 0.

♦♦



( )

>=−−<<

=+

<

=

1 si ,0 1 si 101

11- si ,0 1 si 10

1 si ,0

)(

yy),(y)(F

y-y),(y)(F

-y

yf

X

-X

Y

δ

δ


( ) )0(21))0(1()0()1())0(1()1()0()( XXXXX FFFdyyFyFyYE −=−+−=−−++= −∞

∞−

−∫ δδ

Este valor se pudo obtener a partir de la relación Y = sgn(X) y de la función dedensidad de probabilidades de X, como sigue

)0(21))0(1()0()()()()sgn()(0

0

XXXXXX FFFdxxfdxxfdxxfxYE −=−+−=+−== ∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

♦♦


Página 7-50 18/11/03



( )

>=−−<<

=+

<

=

1 si ,0 1 si 101

11- si ,0 1 si 10

1 si ,0

)(

yy),(y)(F

y-y),(y)(F

-y

yf

X

-X

Y

δ

δ


( ) )0(21))0(1()0()1())0(1()1()0()( XXXXX FFFdyyFyFyYE −=−+−=−−++= −∞

∞−

−∫ δδ

Este valor se pudo obtener a partir de la relación Y = sgn(X) y de la función dedensidad de probabilidades de X, como sigue

)0(21))0(1()0()()()()sgn()(0

0

XXXXXX FFFdxxfdxxfdxxfxYE −=−+−=+−== ∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

♦♦

Ejemplo 7.38:Sea X una variable aleatoria normal estándar que se encuentra a laentrada de tres posibles sistemas. En el sistema A la salida es igual a la entrada. Elsistema B es un rectificador de media onda mientras que el sistema C es unrectificador de onda completa. Hallar el valor esperado de la variable de salida encada uno de los sistemas descritos.

En el sistema A el valor esperado de Y es igual al de X, por lo que

0)()( == XEYE A

El sistema B fue analizado en el Ejemplo 7.23 consiguiendo que la función dedensidad de Y era igual a


Página 7-51 18/11/03

>

=

<

=

>=<

=

−0 si ,

21

0 si 21

0 si ,0

0 si ),( 0 si 0

0 si ,0 )(

2

2

ye

y(y),

y

yyfy(y),)(F

yyf

yX

XY

π

δδ

Entonces, el valor esperado de la salida del sistema B será

ππδ

21

2)(

21)(

0

20

0

2

=+= ∫∫∞

−

+

+

−

dyeydyyyYEy

B

El sistema C fue analizado en el Ejemplo 7.24 consiguiendo que la función dedensidad de Y era igual a

≥

<

=

≥−+<

= −0 si , 2

0 si ,0

0 si ),()(0 si ,0

)(2

2

ye

y

yyfyfy

yf y

XXY

π

Entonces, el valor esperado de la salida del sistema C será

ππ22)(

0

2

2

== ∫∞

−dyyeYE

y

C

♦♦

Ejemplo 7.39:Sea X una variable aleatoria normal estándar a la entrada de unsistema limitador en el intervalo (-1, 1). Calcular el valor esperado de la variable desalida de este sistema.

En el Ejemplo 7.25 se analizó un sistema limitador en el intervalo (-1, 1) y seconsiguió que la función de densidad de probabilidades de la salida del sistema es

( )

>=−

<<

=+<

=

>=−−<<

=+−<

=−

1 si ,0 1 si 115866.0

11- si ,21

1 si 115866.01 si ,0

1 si ,0 1 si 111

11- si ),( 1 si 11

1 si ,0

)( 2

2

yy),(y

ye

-y),(y-y

yy),(y)(F

yyf-y),(y)(F

-y

yfy

X

X

X

Y

δπ

δ

δ

δ

capÍtulo 7 transformación de una variable …...introducción a la probabilidad, los procesos...

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