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EM 461 – Prof. Eugênio Rosa

Capítulo 7 - Aula #15

Análise Dimensional:

Teorema P Buckinghan

No livro texto veremos as seções 7.2 a 7.6 do

capítulo 7. A seção 7.1 será vista no curso II.


Aplicação Análise Dimensional

e Semelhança

Os problemas reais são solucionados extraindo-se informações dedados experimentais, simulações numéricas e modelos analíticos.Isto ocorre de forma iterativa entre os modelos físicos e os dadosexperimentais.

Análise Dimensional permite determinar de modo simples e diretoos parâmetros adimensionais que definem o problema a partir de umnúmero mínimo de testes (experimentais ou numéricos).

Conceito introduzido nesta aula: número adimensionais

Conceito utilizado nesta aula: consistência dimensional (aula#1)


F-18 Boeing F1 Ferrari 98/99Efeito do vento

em construções

Protótipo x Modelo

Quando a realização de um teste experimental em um

protótipo em tamanho real é muito dispendiosa pode-se,

pela semelhança, realizar testes em um modelo de

laboratório com um custo menor e inferir seus resultados

para o protótipo.


Medidas e Dimensões

Na natureza há ‘coisas’ que são contadas e outras que são medidas.

Por exemplo contamos: n. de moléculas (mols) e número de

revoluções. Elas são adimensionais.

Aquilo que medimos tipicamente possui dimensão:

Distância (L) – metro,

Tempo (T) – segundo,

Massa (M) – kilograma

Temperatura () – Kelvin


Definições dos padrões, medidas e medidas compostas

• A aula #1 apresentou os padrões de massa, comprimento e tempo.

• As medidas foram definidas na aula #1 como :

Ttt Mmm Lll***

sendo, por exemplo, l* a medida, l um multiplo ou sub-múltiplo do padrão L, no caso o metro! O mesmo se aplica para massa e tempo.

• As medidas compostas vem da combinação das grandezas M, L e T. Por exemplo a velocidade:

1*TLvv

• Bridgman (físico) propõe que qualquer quantidade física x* pode ser

expressa como um produto das dimensões primárias que ela envolve (M, L, T, , C) as duas últimas referem-se a temperatura e carga elétrica.

edcba*CMTLxx

A equação acima é conhecida como equação de Bridgman


Dimensões de algumas grandezas físicas

K = tensão/taxa def.

Potência Pot M L2 T-3


Natureza da análise dimensional

Exemplo: Arrasto numa esfera

Arrasto depende de 4 parâmetros: diâ. esfera (D); velocidade (V); densidade (); viscosidade ();

http://www.dd.chalmers.se/~f00anma/pictures/vel80.jpg



Determinação da força de arrasto numa esfera

Através de uma série com 10 medidas experimetais determine como

força de arrasto numa esfera varia em função dos parâmetros:

Diâmetro da esfera,

Velocidade da esfera,

Densidade do fluido

Viscosidade do fluido

• A combinação entre as quatro variáveis independents resultará

em: 10x10x10x10 or 104 testes!

• Se este fosse a único modo de conhecer a influência das

variáveis, D, V, e na força de arrasto em esferas seria muito

limitado!

• Mas existe uma outra maneira de se fazer isto…




Natureza da análise dimensional: arrastonuma esfera

Por meio da análise dimensional é possível agrupar a força de

arrasto e as variáveis independents em dois grupos adimensionais:

• Há somente uma variável adimensional independente (VD/) e outra variável adimensional dependente (F/ V2D2)

• Isto torna fácil montar um experimento para determiner a dependência de uma variável contra outra.

• Também facilita a apresentação de resultados na forma de gráficos!


Natureza da análise dimensional: arrasto numa esfera


Teorema dos P de Buckingham

Qualquer relação física entre variáveis dimensionais pode ser

formulada como uma relação entre variáveis adimensionais.

O Teorema dos P diz quantas variáveis adimensionais são

requeridas para um dado conjunto de variáveis dimensionais do

problema.

Antes de introduzir o teorema dos P vamos definir a matriz

dimensional do problema.


1. Matriz Dimensional do Problema

Ela é formada listando os expoentes (a,b,c,d, etc) das dimensões

primárias (M, L e T) de cada variável. Para o problema do arrasto na

esfera sólida temos:

D U F

M 0 1 1 0 1

L 1 -1 -3 1 1

T 0 -1 0 -1 -2

O propósito da matriz dimensional é checar a independência linear

das variáveis dimensionais em termos das dimensões primárias

escolhidas (M, L, T).

Isto é feito determinando-se o ‘rank’ da matriz.

O ‘rank’ é o determinante de todas possíveis submatrizes

quadradas começando-se pela maior até encontrar uma cujo

determinante é não nulo.


2. Rank, r da Matriz Dimensional

Se o determinante de todas possíveis sub-matrizes 3x3 for nulo

então verifica-se o determinante de todas possíveis sub-matrizes

2x2.

A ordem da sub-matriz cujo determinante for não-nulo define o

‘rank’ da matriz.

Exemplo do arrasto na esfera sólida, o ‘rank’ é r = 3

D U F

M 0 1 1 0 1

L 1 -1 -3 1 1

T 0 -1 0 -1 -2

D U F

M 0 1 1 0 1

L 1 -1 -3 1 1

T 0 -1 0 -1 -2

ou

Basta achar um determinante 3x3 não nulo que garante

que o rank da matriz é 3.


3. Teorema dos P’s (1914)

Num problema onde um parâmetro físico dimensional é dependente de outros n-1 parâmetros físicos dimensionais e independentes,

a dependência funcional pode ser expressa por meio de variáveis adimensionais P’s numa forma mais simples que contêm somente n – r variáveis (r é o ‘rank’):

Note que o número de variáveis independentes do problema reduz de n-1 para n-r.

n4321 q,...,q,q,qfq

rn4321 ,...,,,f PPPPP


4. Formando os P’s

Os parâmetros P’s são formados escolhendo-se uma base de

repetição. A base contém ‘r’ variáveis dimensionais do total de

‘n’ que contenha entre elas as ‘r’ dimensões. Cada grupo P é a

combinação da base com cada uma das outras (n – r) variáveis.

a b c d

1 1 2 3 4

base

a b c d

2 1 2 3 5

base

a b c d

n r 1 2 3 n

base

q q q q (exemplo para r 3)

q q q q

...

q q q q

P

P

P

• As potências a, b, c, d devem ser escolhidas de forma

que cada P seja um adimensional,


4. Formando a base

O número de variáveis da base é igual ao rank r (usualmente ele

coincide com o número de dimensões do problema)

As ‘r’ variáveis da base não podem ser linearmente dependentes

de forma que a sub-matriz dos seus expoentes dimensionais

tenha determinante não nulo.

Evitar variáveis que possam serem derivadas da outra por uma

produto de potências:

Combinação entre: comprimento, L, velocidade LT-1 e aceleração LT-2 é

linearmente dependente. Pode-se combiná-las de forma que o resultado

seja adimensional!

Combinação entre: comprimento, L, densidade ML-3 e velocidade LT-1 é

linearmente independente e pode formar uma base porque qualquer que

seja o produto entre elas nunca será adimensional!


Exemplo 1: força de arrasto numa esfera sólida

Passo 1:

Liste todos as variáveis dimensionais que definem o problema

No exemplo da esfera as variáveis são: F, V, D, , , e n = 5

n – é o número de variáveis independentes

Passo 2

Selecione um conjunto de dimensões primárias, por exemplo: MLT ou FLT

No exemplo da esfera escolhas MLT


Examplo 1 - continuação

Passo 3:

Monte a matriz dimensional

Passo 4:

Determine o rank da matriz, r = 3

Passo 5:

Determine o número de grupos adimensionais a serem formados 5 - 3 = 2

D U F

M 0 1 1 0 1

L 1 -1 -3 1 1

T 0 -1 0 -1 -2


Step 6:

O determine o número de variáveis da base: 3. Frequentemente ele é igual ao

rank da matriz.

Step 7:

Escolha as 3 variáveis da base de forma que elas sejam dimensionalmente

independents, isto é, não é possível formar um grupo adimensional a partir da

escolha a menos que o expoente seja zero (0)

As variáveis escolhida são(a.Db.Uc)

Observe que para qualquer escolha a, b, c diferente de zero não é capaz de forma

um grupo adimensional, portanto esta é uma base correta.

c

b

a

3 T

LL

L

M



Passo 8:

Formando os grupos adimensionais, Ps.

Use as variáveis da base e combine com as variáveis que restaram

a b c

1

base

a b c

2

base

D U

D U

FP

P



Passo 9:

Determine os valores dos expoentes a, b, c e d.

Se os grupos Ps são adimensionais, então os expoentes das dimensões M, L, T devem ser iguais a zero. Portanto a, b, c e d são determinados forçando osexpoentes de M, L e T serem iguais a zero.

2b0cba31onentexpL

2c0c2onentexpT

1a0a1onentexpM

1b0cba31onentexpL

1c0c1onentexpT

1a0a1onentexpM

a b c

1 2 2

base

a c

0 0 0 b

3 2

FD U F

U D

M L MLM L T L

L T T

P

a b c

2

base

a c

0 0 0 b

3

D UU D

M L MM L T L

L T LT

P



Passo 10:

A relação functional entre a força (coeficiente de arrasto) e as demais variáveis

(Reynolds) é mostrada abaixo:

2 2 2 212 4

F F U Df ou g

U D U D U D



Alguns adimensionais importantes emmecânica dos fluidos

• Número de Euler

ou coeficiente de pressão

• Número de Reynolds

• Número de Froude


Alguns adimensionais importantes em

mecânica dos fluidos

• Número de Cavitação

• Número de Mach

• Número de Weber


L G gLEo

L


Exemplo 2 – A tensão de cisalhamento na parede, w, em uma camada-

limite depende da distância a partir da borda de ataque do objeto, x, da

massa específica , da viscosidade do fluido e da velocidade da

corrente livre U. Obtenha o grupos adimensionais e expresse a relação

funcional entre eles.

w

2

Resp.:

Uxf

U


Diagrama de Moody e o fator de Atrito f


http://www2.umt.edu/Geology/faculty/hendrix/g100/shallow_deep_waves.jpg

Deep waves are characterized by the water to be at least half the wavelength

deep. As seen from the figure, half the wavelength beneath the surface of the

water and deeper, there is no movement of the water particles due to the wave.

12

D Ondas em águas profundas

Se o comprimento de onda, , for

menor que ½ da profundidade D,

o movimento da onda não chega

no leito oceânico.




Shallow waves are characterized by the depth of the water being at least 20 times smaller than the wavelength of the wave. This makes the orbits of the water particles to be essentially flat, especially at the bottom of the ocean. This way, it preserves most of its energy while traveling over a flat surface since the movement of the water is almost parallel to the surface and friction is very small.

D 20 Ondas em águas rasas


Exemplo 3 - Água rasa - A velocidade V, de uma onda de superfície

livre devido à gravidade é uma função do comprimento de onda, , da

profundidade, D, da massa específica e da aceleração da gravidade, g.

Use a análise dimensional para determinar a dependência funcional de

V em relação às outras variáveis. Expresse V na forma mais simples

possível.

2

Resposta :

Vf em agua rasa f 1

gD D D

portanto V gD


Tsunami Dec. 26th-2004 (acesse wiki)

• Profundidade média

do pacífico, 3000m

• Velocidade da onda:

V=(gD)^0,5

• V~650 km/h

• ou aprox. 7h30 para

viajar 5000km

Tsunami is characterized by shallow-water waves: the wavelength is

much greater than the water depth. The orbit of the particles are mostly

transverse, and the transverse velocity does not vary with depth.

http://en.wikipedia.org/wiki/2004_Indian_Ocean_earthquake_and_tsunami


Exemplo 4 - A potência P, requerida para acionar um ventilador depende:

i. da densidade do fluido, , ii. da vazão em volume, Q, iii. do diâmetro das pás, D, eiv. da velocidade angular w.

Use a análise dimensional para determinar a dependência de P em relação às outras variáveis.

2 33

P Qf

DD D

w w w


Filme

Como Surgem os Grupos Adimensionais: Re, Fr, etc• Numa primeira abordagem o aluno pode imaginar que o arranjo que

formam os grupos adimensionais são arbitrários.

• Note que uma combinação linear de grupos adimensionais também é

um adimensional. Porém todos os grupos adimensionais possuem

significado físico. Re, Fr, Ca, Ma, We etc

• Eles aparecem naturalmente na forma adimensional das equações de

transporte (forma diferencial), veja Cap. 7, sec. 7.1 do livro texto. Este

tópico será visto no curso 2.

• Quando é garantido a similaridade então está também garantido que

os coeficientes das Eq. de transporte são os mesmos: protótipo e

modelo.

• Será realizado um exemplo de adimensionalização de uma EDO para

desenvolver este conceito.

Water_Rocket_using_Jet_Foaming___very_good.wmv


Um foguete com massa inicial M0 descarrega um fluxo de

massa m em regime permanente com velocidade Vj

relativa ao foguete. Despreze a resistência do ar.

i) determine a expressão para aceleração do foguete.

ii) encontre uma expressão para a velocidade do foguete.

Foi visto não cap 4 que a aceleração

do foguete :

e que a velocidade foguete é:

jmV M m t gdU

dt M m t

.

j

1U V Ln g t; M m

1 t

Vj, m

Como surgem os grupos adimensionais?

Para conhecer os possíveis valores que U pode ter em

função de Vj, M, t e m seriam necessárias várias curvas.

j

.

1U V Ln g t;

1 t

onde M m

Solução p/ U


.j

j.

mVdU 1 g U V Ln g t; M m

dt 1 tM m t

Grupos adimensionais: a aceleração

*

* *

.

.

j

d 1 t onde M m razão de tempos

d 1 gM V m raz

U

ão de

t*

t t forças

A aceleração adimensional usa as escalas de velocidade, Vj, e de tempo, . Os adimensionais de U e t são: U* = U/Vj e t* = t/

• Note que a C.I. é U*(0) = 0 e que K é um grupo adimensional!

• Modelos que possuem a mesma C.I. e o mesmo K = Mg/Vjm possuem a mesma solução! Não é necessário resolver novamente a EDO.

* *1Ln 0 t*<1 U K t * t* 0 U 0

t * para

1

A solução da eq. é:

• Como surgem os grupos admensionais Das equações diferenciais que governa o fenômeno.

• Em em561 vamos ver a eq. Navier-Stokes de onde originam os adimensionais vistos no início da aula.


Curvas adimensionais para o foguete de água!

No eixo y, U* = U/Vj

No eixo x, t* = t/ ou t* = t.m/M

O parâmetro K é constante para cada curva, sendo K = gM/Vjm.

A massa do foguete é M = Mw + Mf e o foguete tem propulsão até a água acabar, logo tmax = (Mw/m).

A máxima velocidade que o foguete atinge é para t = tmax ou:

w.

.

w f

M

m* * * wmax max max max

w fmM M

Mt t t t

M M

Pode ser concluido que:

i. t* máx corresponde a porcentagem de água na massa total.

ii. Quanto menor for K maior será a velocidade máxima.


Exercício 1 - A potência P, necessária para acionar uma hélice operando no ar depende das seguintes variáveis:

i. velocidade da corrente livre, V, ii. diâmetro da hélice, D, iii. velocidade angular, w, iv. viscosidade do fluido, , v. densidade do fluido, , e vi. velocidade do som no fluido, c.

Quantos grupos adimensionais são necessários para caracterizar esta situação?

Obtenha os grupos adimensionais.

2

5 3

Resp. :

P V D Df , ,

D D c

w w

w w


Sobre a base de repetiçãoExemplo 1 – arrasto esfera a.Db.Uc

Exemplo 2 – placa plana a.xb.Uc

Exemplo 3 – água rasa a.Db.Vc

Exemplo 4 – soprador de ar a.Db.wc

Exercício 1 – hélice a.Db. wc

Note que as bases tem uma variável com massa, outra com comprimento e outra com velocidade ou tempo.

Por que escolhemos estas bases Elas resultam nos grupos Re, Ma, Fr, etc.

E se eu escolher outra base Irá surgir um grupo adimensional que pode ser expresso por grupos adimensionais conhecidos!

Refaça o exemplo 1 com a base a.Db.Uc . Haverão dois grupos adimensionais: F/UD e UD/. O 2º grupo é o Re mas o primeiro não é identificado com nenhum grupo adimensional por isso vc nunca vai encontrar uma tabela de coeficiente de arrasto com este grupo!

Mas o grupo F/UD pode ser expresso por outros grupos adimensionais:

D D2 2

F F UDC .Re C .Re g Re

UD U D

Está disponível CD = f(Re) mas não temos disponível CD.Re = g(Re). Não está errado mas vc não encontra dados para comparar!


Exercício 2 – Aplique o a análise dimensional no foguete de águae ar comprimido para encontrar os grupos adimensionais quegovernam o deslocamento do foguete. Considere:

**

* *

.

j

dU 1 1 U Ln K t * 0 t*<1

1 t *dt 1 t

onde gM V m

1. Variáveis: U = f(Vj, M, m, g, t), n = 6

2. Dimensões básicas: (M, L, T)

3. Rank da matriz, r = 3

4. No. Grupos Ps = n – r = 3

5. No. variáveis de repetição = rank = 3

6. Variáveis de repetição: Vj, m e M

1 2 3

j j

1 2 3

U m M; t e g

V M V m

U*; t * e K

P P P

P P P

Compare os grupos Ps contra os adimensionais da EDO


Exercícios recomendados(1) The torque T required to turn the cone-plate

viscometer on the radius R, rotation rate w, fluid

viscosity and cone angle . Rewrite this relation in

dimensionless form. How does the relation simplify it

if it is known that T is proportional to ?

(2)

(3)

(4)

(5)

Problema (1)

nosecone

draft tube

adustableblades

guide vanes

drive shaft

Problema (3)

sea floor

incidentwave

floating buoy

Problema (4) Problema (5)


Exercícios recomendados (Aula 15)

(1) Resp:𝑇

𝜇ΩR3= 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝜃 ; 𝑇 ∝ 𝜃, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜

𝑇

𝜇ΩR3 𝜃= 𝑐𝑡𝑒

(2) Resp: h =ML2

ΘT3L2; St =

ℎ

𝜌𝑉𝐶𝑝

(3) Resp: 𝑀 =𝜌ΩD2

𝑄

i ) Fator 4 de torque para D = 2ii) Fator 2 de torque para Ω = 2

4) Resp: 𝑓 = 𝐷𝛾

𝑚; Para m/2 -> f=1,414 ou seja, f aumenta 41,4 %

5) Resp: Π1 = Ω𝐿

𝑔; Π2=

h

L;


FIM

capítulo 7 - aula #15 análise dimensional: teorema pbuckinghanim250/site im250/sites... · em 461...

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