capítulo 6 tópicos avançados em controle pid · capítulo 6 tópicos avançados em controle pid...
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16/06/2016
Capítulo 6Tópicos avançados em
controle PID
Tópicos avançados em controle PID
Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
Controlador realimentado:
� Processa a diferença entre o valor desejado ou de referência (setpoint) e o valor medido da
variável de interesse no processo (aquela que se deseja controlar).
� Envia um sinal adequado ao elemento final de controle de forma a manter o sinal controlado
em seu valor de referência.
Estrutura típica de um sistema de controle
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Tópicos avançados em controle PID
Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
� Variável controlada (saída): c(t) em %TO
� Variável de referência (entrada): r(t) em %TO
� Sinal de erro: e(t) = r(t) – c(t) em %TO
� Sinal de controle (manipulada): m(t) = f(e(t)) em %CO
c(t)
r(t) e(t) m(t)
Tópicos avançados em controle PID
Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
Em termos de desvios X(t): x(t)xxtXtx de inicial permanente regime em valor o é onde )()( +=
� Variável controlada (saída): ctctCctCtc −=⇒+= )()( )()(
� Valor de referência (entrada): rtrtRrtRtr −=⇒+= )()( )()(
� Sinal de erro: )()( 0)()( tetEtEte =⇒+=
No domínio de Laplace: )()()( sCsRsE −=
Controlador
Detetor de erro
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Tópicos avançados em controle PID
Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
Controladores de ação direta e ação reversa. Exemplos:
Para SP constante, se T(t) aumenta, a válvula
deve diminuir seu deslocamento (fechar uma
certa quantidade)
Ação reversa
Controle de
temperatura
(trocador de calor)
Para SP constante, se h(t) aumenta, a válvula
deve aumentar seu deslocamento (abrir uma
certa quantidade)
Ação direta
Controle de
nível em um
tanque
Tópicos avançados em controle PID
Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
Controlador realimentado – PID (Proporcional-Integral-Derivativo)
Controlador Proporcional (P): )()( teKmtm c+=
%CO (bias), opolarizaçã
%TO
%CO r,controlado do ganho
onde,
=
=
m
Kc
� Kc > 0: controlador de ação reversa
� Kc < 0: controlador com ação direta
Ação reversa
Ação direta
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Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
Erro do sistema em regime permanente:
E(s)
)()()()(1
1)( sR
sHsGsGsE
pc+=
)(lim)( 0 ssEte st →∞→=
Para r(t) um degrau em t = 0s de amplitude A:s
AsR =)(
)()()(1lim)( 0
sHsGsG
Ate
pc
st +=⇒ →∞→
Para Gc(s) = Kc ,)()(1
lim)( 0sHsGK
Ate
pc
st += →∞→
Então o erro em regime permanente será nulo apenas se Gp(s)H(s) possuir pelo menos um polo em
s = 0 (sistema de tipo maior que 0). Se isso não ocorrer o erro será não nulo, mas menor à medida
que Kc aumenta. Em certas circunstâncias esse aumento de Kc pode levar á instabilidade.
C(s)
Tópicos avançados em controle PID
Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
No caso do controle de nível, sendo o processo do tipo 0 (sem polo na origem do plano complexo),
haverá erro em regime permanente para um setpoint constante. Esse erro é menor, quanto maior o
Kc. O aumento de Kc diminui o amortecimento do sistema, tornando a resposta transitória mais
oscilatória.
Controle de nível� O erro em regime permanente não pode
ser nulo devido unicamente aocontrolador
� O controlador PI possui um parâmetro aser sintonizados: Kc.
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Controlador Proporcional-Integral (PI):
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Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
∫++=t
tI
cc de
KteKmtm
0
)()()( λλτ
minutos)ou (segundos reset"" de ou tempo integral tempo
onde,
=Iτ
0
∫++=t
I
cc d
KKtm
0)1()1(%50)( λ
τ
tK
KtmI
cc
τ++= %50)(
cII Kτmτt 2%50)( em +=→=
Tópicos avançados em controle PID
Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
Erro do sistema em regime permanente:
)()()()(1
1)( sR
sHsGsGsE
pc+= )(lim)( 0 ssEte st →∞→
=⇒
s
s
Ks
sK
sK
sE
sMsG
sEs
KsM
Ic
I
Ic
I
cc
I
c
τ
τ
τ
τ
τ
111
1)(
)()(
)(1
1)(
Laplace de domínio no desvios, de termosEm
+
=+
=
+==⇒
+=
E(s) M(s)
Um polo em s = 0
Pelo menos tipo 1
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Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
Para r(t) um degrau em t = 0s de amplitude A:s
AsR =)(
)()(
1
1
lim)( 0
sHsGs
s
K
Ate
pI
c
st
τ+
+
=⇒ →∞→ 0)( =⇒∞→t
te
Controle de nível
� Erro nulo em regime permanente
� O controlador PI possui dois parâmetrosa serem sintonizados: Kc e τI.
� A ação integral pode diminuir oamortecimento, causando maisoscilações transitórias.
� Em torno de 85% dos controladores sãodesse tipo.
Erro nulo
Controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID):
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Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
dt
tdeKde
KteKmtm Dc
t
tI
cc
)()()()(
0
τλλτ
+++= ∫
minutos)ou (segundos derivativo tempo
onde,
=Dτ
O termo derivativo tenta “antever” (“antecipar”) o comportamento do erro.
O quanto de “antecipação” é ajustado pelo parâmetro τD.
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Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
No caso do trocador de
calor� Temperatura Ti(t) cai, logo T(t) cai abaixo do set point, assim o
erro cresce.
� Em t = ta o erro ainda e pequeno, então em m(t) os termos
devido à ação proporcional e à ação integral ainda sãopequenos, mas o erro varia a alta taxa de crescimento, assim aação derivativa gera um sinal m(t) positivo que faz com que osistema se oponha à queda de Ti(t) rapidamente.
� Em t = tb o erro faz com o que os termos proporcional e
integral sejam positivos, mas a ação derivativa já gera umacomponente negativa, já antevendo que o erro está caindo eque o sinal m(t) pode ser reduzido.
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Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
� O controlador PID é recomendado para controle de processos lentos (processos térmicos, por
ex.), ou seja, com grandes constantes de tempo.
� Nesses processos lentos as malhas de realimentação são relativamente livres de ruídos mais
rápidos.
� Não é adequado para sistemas de controle de fluxo e pressão de líquidos, devido aos ruídos.
� Sinais de ruídos que variam a altas taxas causam valores excessivos na saída do termo
derivativo, comprometendo o desempenho do sistema.
Ruído sobreposto ao sinal de vazão que a princípio deveria ser
constante.
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Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
dt
tdeKde
KteKmtm Dc
t
tI
cc
)()()()(
0
τλλτ
+++= ∫
s
ss
KsG
s
ssKs
sK
sE
sMsG
sEss
KsM
ID
cc
I
IDIcD
I
cc
D
I
c
ττ
τ
ττττ
τ
ττ
1
)(
111
)(
)()(
)(1
1)(
Laplace de domínio no desvios, de termosEm
2
2
++
=⇒
++=
++==⇒
++=
Função de transferência não causal (polinômio do numerador com ordem maior que a do denominador) → Não pode ser construído na prática. Seria o caso IDEAL.
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Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
Para tornar o PID causal o termo derivativo é implementado de forma ligeiramente diferente.
+++==
1
11
)(
)()(
s
s
sK
sE
sMsG
D
D
I
ccατ
τ
τ
� O termo derivativo foi multiplicado por1
1
+sDατ
� Isso corresponde a uma função de transferência de primeira ordem com constante de tempo
ατD.
� A constante de tempo ατD é feita bem menor que a constante τD, pois α é escolhido na faixa de
0,05 a 0,2. Assim o filtro não irá comprometer a ação derivativa.
Filtro linear com ganho estático unitário
� A modificação no termo derivativo foi feita de forma que o termo não amplifique excessivamente
ruídos de alta frequência.
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Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
Gc(s) poder ser rearranjada da seguinte forma
( )
+
+
++==
ss
sK
sE
sMsG
ID
Dcc
τατ
τα 1
1
11
)(
)()(
� O primeiro termo entre colchetes é um compensador de avanço de fase.
� O controlador PID é um compensador de avanço em paralelo com um integrador.
Gc(s) também poder ser rearranjada da seguinte forma
+′
+′
′+′==
1
111
)(
)()(
s
s
sK
sE
sMsG
D
D
I
Ccτα
τ
τ
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Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
� Esse é um tipo bem comum de implementação do controlador PID.
� Corresponde a um compensador de avanço de fase em cascata (série) com um controlador PI.
� Também chamado controlador “rate-before-reset” e algebricamente pode ser mostrado que
−+=′
I
Dcc KK
τ
τ25,05,0
−+=′
I
DII
τ
τττ 25,05,0
I
D
DD
τ
τ
ττ
−+
=′
25,05,0
É o controlador PID real
� O controlador PID possui três parâmetros: Kc, τI e τD.
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Controlador Proporcional-Derivativo (PD):dt
tdeKteKmtm Dcc
)()()( τ++=
( )sKsE
sMsG Dcc τ+== 1
)(
)()(
A função de transferência ideal é
Já a função de transferência real que pode ser implementada é
( )
+
++==
1
11
)(
)()(
s
sK
sE
sMsG
D
Dcc
ατ
τα
� Seu uso é indicado para melhorar o amortecimento do sistema, ou seja, diminuir o sobrepasso e
o tempo de acomodação na resposta transitória.
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Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
Modificações no controlador PID e comentários adicionais
dt
tdeKde
KteKmtm Dc
t
tI
cc
)()()()(
0
τλλτ
+++= ∫
Na equação que caracteriza o controlador PID temos como parâmetros: Kc, τI e τD
Outra possibilidade seria trabalhar com parâmetros: Kc, KI e KD
dt
tdeKdeKteKmtm D
t
tIc
)()()()(
0
+++= ∫ λλ
DcD
I
cI
KK
KK
τ
τ
=
=Onde
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Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
Seja uma situação onde ocorra uma alteração rápida da entrada de referência (set point)
� Ocorre um degrau no erro e(t).
� Devido à ação derivativa ocorre uma variação abrupta
no sinal de saída do controlador.
� Essa variação não é necessária e pode ser prejudicial.
� Para corrigir esse problema o termo derivativo é
alterado para o negativo da derivada de c(t).
dt
tdcKde
KteKmtm Dc
t
tI
cc
)()()()(
0
τλλτ
−++= ∫
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dt
tdcKde
KteKmtm Dc
t
tI
cc
)()()()(
0
τλλτ
−++= ∫
Para o caso de um set point constante
[ ]
dt
tdc
dt
tde
dt
tdc
dt
tdr
dt
tctrd
dt
tde
)()(
)()()()()(
−=⇒
−=−
=
� Após a variação do set point não ocorre variação abrupta do sinal m(t).
� Logo após, as derivadas se tornam as mesmas.
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dt
tdcKde
KteKmtm Dc
t
tI
cc
)()()()(
0
τλλτ
−++= ∫
−
+= )()(
11)( ssCsE
sKsM D
I
c ττ
+−
+= )(
1)(
11)( sC
s
ssE
sKsM
D
D
I
cατ
τ
τ
+′
+′−
′+′= )(
1
1)(
11)( sC
s
ssR
sKsM
D
D
I
cτα
τ
τ
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Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
Essa modificação é denominada derivative-on-process variable. Em diagramas de blocos temos:
+−
+= )(
1)(
11)( sC
s
ssE
sKsM
D
D
I
cατ
τ
τ
+′
+′−
′+′= )(
1
1)(
11)( sC
s
ssR
sKsM
D
D
I
cτα
τ
τ
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Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
� Para ganho proporcional alto o termo Kce(t) = Kc[r(t)-c(t)] pode causar um desvio abrupto em
m(t) e isso pode não ser adequado (“chute proporcional”).
� Pode-se fazer a seguinte alteração
dt
tdcKde
KtcKmtm Dc
t
tI
cc
)()()()(
0
τλλτ
−++= ∫
� Apesar das várias alterações os controladores respondem da mesma forma aos distúrbios.
� Uma outra estrutura usa o quadrado do erro como termo do controlador
+++= ∫ dt
tdedeteteKmtm D
t
tI
c
)()(
1)()()(
0
τλλτ
� Para um erro pequeno uma ação corretiva pode não ser necessária.
� Apenas para erros maiores se observará uma ação corretiva mais intensa no sentido de
diminuir o erro.
� Nessa técnica é difícil sintonizar o controlador (é uma ação não linear)
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Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
Outras possibilidades de PIDs (quando implementados em computadores):
Controlador com zona morta
� Se c(t) estiver em uma faixa adequada (±1%, ±2%, ou algo semelhante) em torno do set
point, o controlador não atua.
� Nesse caso assume-se que essas pequenas variações são devidas apenas a ruídos.
Controlador com varredura
� No caso de controle manual de m(t) para ajustar a saída do processo, se não for alterado o
set point, no momento do retorno à operação automática, ocorrerá um salto no erro.
� Com a varredura o controlador atualiza o set point, acompanhando a saída do processo,
sob comando manual.
� No retorno ao controle automático o set point já estará atualizado em relação à saída
ajustada pelo operador, não ocorrendo variação abrupta do sinal de erro.
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O windup e sua prevenção
Tópicos avançados em controle PID
Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
Corresponde a um problema associado ao termo integral, ou seja, aos controladores PI e PID.
Seja o processo trocador de calor
� Seja uma queda apreciável em Ti(t).
� O controlador tentará abrir mais a válvula para não deixar T(t)
cair.
� O controlador aumentará sua saída até que a válvula esteja
completamente aberta e não possa mais variar.
� A partir daí o controlador nada mais pode fazer.
� Como ainda existe um erro o controlador continua integrando.
� Normalmente os controladores são ajustados para poderem
variar m(t) além da faixa de 0 a 100%. (-15 a 115% ou -7 a
107%, por ex.)
� A saturação é causada pela ação integral (windup).
Tópicos avançados em controle PID
Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
� Se Ti(t) volta ao valor usual, T(t) sobe, pois a válvula está
completamente aberta.
� T(t) alcançará o set point, mas continuará crescendo, pois
será necessário m(t) cair de 107% a 100% para que o
controlador volte novamente a poder atuar sobre a válvula.
� Só quando m(t) alcançar 100% a válvula poderá ser fechada
e diminuir a troca de calor e consequentemente haver uma
queda de T(t) .
� A prevenção ao windup é obtida ao se cancelar a integração
quando da saturação do atuador, não ao limitar a saída do
controlador.
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Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
� Mesmo limitando a saída do controlador a ação integral faz
alguma variável interna crescer bastante.
Uma das várias formas de evitar o windup quando a saída do controlador satura:
)(1
1)( sEs
KsMI
c
+=
τ
Seja o controlador PI
)()()( sMsEKsM Ic += )()( onde sEs
KsM
I
cI
τ= )()(ou sEKssM cII =τ
)()()( sMsMsEK Ic −= )(1
1)( sM
ssM
I
I+
=τ
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)()()( sMsEKsM Ic +=
)(1
1)( sM
ssM
I
I+
=τ
MI(s) será sempre limitado, pois M(s) é limitado. Se m(t) assumir um valor constante mI(t) também
assumirá um valor constante em regime permanente. Se m(t) assumir o valor 100%, mI(t) também
alcançará 100%, o mesmo vale para o limite inferior 0%.
Ganho estático unitário
Assim que e(t) se torna negativo 100% )(100)( <+= teKtm c
O controlador sairá de sua limitação e fechará a válvula assim que c(t) passar pelo set point.
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Tópicos avançados em controle PID
Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
Em condição normal de operação:
Como em regime permanente MI(s)=M(s) e como M(s) = MI(s) + KcE(s), a única solução coerente
implica em E(s) = 0.
→ A ação integral e sua função de anular o erro em regime permanente para uma entrada referência constante
é verificada.
Tópicos avançados em controle PID
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No mercado se encontra uma ampla variedade de equipamentos de controle que implementam a
estratégia PID. Tem-se controladores analógicos, mas atualmente dominam os equipamentos
digitais.
16/06/2016
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Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
Compensação de tempo morto (Preditor de Smith)
)()( sFsX =
Tempo morto – Seja o sistema abaixo
G(s)X(s) Y(s)
onde x(t) = f(t) e y(t) = f(t-T). Então
)()( sFesYsT−=
sTsT
esF
sFe
sX
sY −−
==)(
)(
)(
)(
sTesG
−=)(
Atraso no sinal por T segundos. Função
tempo morto.
Também chamado de atraso de transporte.
Tópicos avançados em controle PID
Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
Sistema dinâmico com tempo morto, Gp(s)e-sT, onde
Gp(s) é uma função de transferência de um sistema linear.
Para um processo Gp(s), dado abaixo, com realimentação negativa unitária, podemos determinar a
função de transferência de malha fechada (Gmf(s)).
1)(
+=
s
KsGp
τ
+
+
+=+
=⇒
11
1
)(1
)()(
sK
K
K
sG
sGsG
p
p
mf τ
Polo real negativo. Sistema estável para qualquer valor de
K > - 1.
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Já para o sistema de primeira ordem com tempo morto T, Gp(s)e-sT
sTsT
p es
KesG
−−
+=
1)(
τ
sT
sT
sT
p
sT
p
mfKes
Ke
esG
esGsG
−
−
−
−
++=
+=⇒
1)(1
)()(
τ
O dizer sobre a estabilidade?
Existem algumas aproximações para a exponencial:
( ) ( )...
!3!21 :Taylor
32
+−+−=− sTsTsTe
sT
2/1
2/1 :Padê
sT
sTe sT
+
−=−
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Para a série de Taylor com T pequeno tal que sT << 1, podemos usar os dois primeiros termos
sTesT −≅−
1 :Taylor
Substituindo em Gmf(s),
101
/0
−>⇒>+
<⇒>−
KK
TKKT ττ
Para estabilidade, segundo Routh-Hurwitz os coeficientes no demominador devem ser positivos
( )( ) ( ) )1(11
1)(
KsKT
Ke
sTKs
sTKsG
sT
mf++−
=−++
−=
−
ττ
TK /1 τ<<−⇒� Com tempo morto mesmo um sistema de 1ª ordem
pode ser instável para K positivo.� Independente da aproximação usada, para K grande
o sistema em malha fechada pode se tornar instável.
16/06/2016
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Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
A questão é que uma vez sabendo-se como controlar Gp(s), usando por exemplo um controlador
PID, como controlar Gp(s)e-sT ?
Uma possível solução seria o Preditor de Smith.
)(sGp
Gc(s) adequado a Gp(s)
)(sGc
)(sGp
)(sGc )(sH
sTe
−
Gc(s) não adequado a Gp(s) com tempo morto
Assumamos que não há acesso a esse sinal
Tópicos avançados em controle PID
Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
)(sGp)(sGc)(sH)(sR )(sC
Perturbação
)(sB
Se tivéssemos acesso a esse sinal poderíamos adotar e esquema de controle
O sistema se comportaria de forma adequada, mas haveria apenas o atraso inerente ao processo.
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Tópicos avançados em controle PID
Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
)(sGp)(sGc
)(sR )(sC
Perturbação
)(sB
)(sE′
)(sH
)(sGpm )(sHm
)(sBm
)(sE
Se tivermos um modelo do processo Gp(s) dado por Gpm(s) e um modelo do atraso dado por Hm(s), poderíamos usar um
valor estimado Bm(s) para realizar a realimentação.
Poderíamos adotar o seguinte esquema de controle
Primeira abordagem do problema
Observe que E’(s) dá uma indicação do erro de modelagem
Tópicos avançados em controle PID
Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
Seja o sistema em malha fechada Gmf(s)
)()(1
)()()(
sGsG
sGsGsG
pc
pc
mf+
=
Gostaríamos de encontrar um controlador G’c(s) tal que G’mf(s) fosse dado por Gmf(s)H(s) onde H(s)=e-sT.
)()()()()(1
)()()()( sHsG
sHsGsG
sHsGsGsG mf
pc
pc
mf =′+
′=′
)()()(1
)()(
)()()(1
)()()(sH
sGsG
sGsG
sHsGsG
sHsGsG
pc
pc
pc
pc
+=
′+
′
Resolvendo para G’c(s)
( ))(1)()(1
)()(
sHsGsG
sGsG
pc
cc
−+=′
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Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
)(sGp)(sGc
)(sR )(sC)(sB
)(sE′
)(sH
)(sGpm )(sHm
)(sBm
)(sE
Perturbação
Poderíamos usar E’(s) para criar uma outra malha de realimentação, conforme dado a seguir.
Tópicos avançados em controle PID
Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
)(sGp)(sGc
)(sR )(sC
)(sB
)(sGpm
Perturbação
)(sH
)(sHm)(sBm
Por manipulação de blocos teremos o seguinte diagrama equivalente
( ))(1)()(1
)()(
Como
sHsGsG
sGsG
pc
cc
−+=′
)(sGc′
( ))(1)()(1
)()(
sHsGsG
sGsG
mpmc
cc
−+=′
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Algoritmos e formas modificadas do controlador PID
Então tem-se que o sistema anterior é equivalente ao dado a seguir
)(sGp)(sGc
)(sR )(sC)(sH
Perturbação
Isso para uma perfeita modelagem do processo e seu correspondente tempo morto.