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Resistncia dos Materiais IIUniversidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
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Captulo 5Flambagem
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Resistncia dos Materiais IIUniversidade Federal de Pelotas
Centro de EngenhariasResistncia dos Materiais II
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5.1 Experincias para entender a flambagem
1) Pegue uma rgua escolar de plstico e pressione-aentre dois pontos bem prximos, um a cincocentmetros do outro. Voc est simulando umaestrutura em compresso simples. Agora,pressione dois pontos distantes 15cm um do outro.Algo comea a aparecer nessa nova posio, visivelmente mais fcil criar condies para abarra comear a encurvar. A barra est comeandoa sofrer o fenmeno da flambagem. Faa agoracom pontos distantes a 30cm. Force a rgua at aruptura. A rgua se quebra, pois o plstico ummaterial frgil.
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2) Pise em cima de uma lata vazia de refrigerante. Voc notar que a lata,sem se quebrar, amassa. No quebrou porque, ao contrrio do plsticoque frgil, o alumnio dctil e se deforma bastante antes de perdersua unidade.
Peas comprimidas de grande altura podem flambar, fato que reduzido sensivelmente se a altura for pequena.
Quanto maior for a espessura da pea comprimida, menor a tendnciaa flambar.
Quanto mais flexvel for o material(menor E), mais fcil a ocorrncia daflambagem.
Deve-se a Leonhard Euler (1744) a primeira formulao de umaquantificao do limite que se pode colocar uma pea comprimida,para que ela no flambe.
Concluses
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5.2 Carga crtica frmula de Euler para coluna ideal com apoios de pinos
Elementos estruturais compridos e esbeltos, sujeitos auma fora de compresso axial so denominadoscolunas.Uma coluna ideal uma coluna perfeitamente retaantes da carga. A carga aplicada no centroide daseo transversal.A deflexo lateral que ocorre denominadaflambagem.A carga axial mxima que uma coluna pode suportarquando est na iminncia de sofrer flambagem denominada carga crtica, Pcr.
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Essa equao diferencial linear homognea de segunda
ordem com coeficientes constantes de soluo geral :
Condies de contorno: y=0 em x=0, C2=0 e y=0 em x=L:
2
2
d yEI M Pydx
1 2 cos
P Py C sen x C x
EI EI
2
20
d y Py
dx EI
10
PC sen L
EI
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O menor valor de P obtido com n=1, de modo que a carga crtica :
1
1
0
0 0
0
PC sen L
EI
C y
Psen L
EI
PL n
EI
2 2
2 1,2,3....
n EIP n
L
2
2cr
EIP
L
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Pcr carga crtica ou carga axial
cr tenso crtica
E mdulo de elasticidade para o material
I menor momento de inrcia para a rea da seo
transversal
L comprimento da coluna sem apoio
i menor raio de girao da coluna
=L/i ndice de esbeltez medida da flexibilidade
da coluna
2
2
2
2
/
cr
cr
EIP
L
E
L i
Ii
A
2 2
2
2
2
( )
/
cr
cr
E AiP
L
P E
A L i
-
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Grfico Tenso crtica x
2
2
cr
P E
A
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A coluna sofrer flambagem em torno do eixo
principal da seo transversal que tenha o menor
momento de inrcia (o eixo menos resistente).
Na coluna da figura ao lado, sofrer flambagem em
torno do eixo a-a e no do eixo b-b.
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1)Um tubo de ao A-36 com 7,2m de
comprimento e a seo transversal
mostrada ao lado deve ser usado como
uma coluna presa por pinos na
extremidade. Determine a carga axial
admissvel mxima que a coluna pode
sofrer flambagem. Resposta:
Exerccio de fixao
200
250e
E GPa
MPa
Pcrit=228,2kN
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2)Uma coluna de ao A-36 tem 4m de
comprimento e est presa por pinos
em ambas as extremidades. Se a rea
da seo transversal tiver as dimenses
mostradas na figura, determine a carga
crtica. Resposta:
Exerccio de fixao
200
250e
E GPa
MPa
Pcrit=22,7kN
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O elemento estrutural A-36 W200 X 46
de ao mostrado na figura ao lado deve
ser usado como uma coluna acoplada
por pinos. Determine a maior carga
axial que ele pode suportar antes de
comear a sofrer flambagem ou antes
que o ao escoe.
Exemplo 1-
2 6 4 6 45890 mm , 45,5 10 mm , 15,3 10 mm
250 , 200
x y
e
A I I
MPa E GPa
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Ocorrer flambagem em torno do eixo yy (menor):
Quando totalmente carregada, a tenso de compresso mdia na coluna :
Visto que a tenso ultrapassa a tenso de escoamento,
Resposta:
2 3 2 6 42 32 2
(200 10 / ) 15,3 10 mm1887,6 10 1887,6
(4000 )crN mmEI
P N kNL mm
3
2 2
1887,6 10320,5 320,5
5890 mm mmcr
cr
P N NMPa
A
3
2 2250 1472,5 10 1472,5
mm 5890
N PP N kN
mm
1472,5P kN
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A frmula de Euler foi deduzida para uma coluna com extremidades
acopladas por pinos ou livres para girar. Todavia, muitas vezes as colunas
podem ser apoiadas de outro modo.
Le denominado comprimento efetivo da coluna.
Um coeficiente dimensional K, fator de comprimento efetivo, usado para
calcular Le.
KLLe
5.3- Colunas com vrios tipos de apoios
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Portanto, temos,
2 2
2 2
/cr cr
e e
EI EP
L L i
=Le/i ndice de esbeltez efetivo
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3)Determinar a carga crtica se a coluna for engastada na base e presa
por pinos no topo.
Resposta:
Exerccio de fixao
Pcrit=46,4kN
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4) O elemento estrutural W200x100 feito de
ao A36 e usado como uma coluna de 7,5m
de comprimento. Podemos considerar que a
base dessa coluna est engastada e que o topo
est preso por um pino. Determine a maior
fora axial P que pode ser aplicada sem
provocar flambagem. Considere:
Exerccio de fixao-
E = 200GPaIx = 113(10
6)mm4
Iy = 36,6(106)mm4
e=250MPaA=12700mm2 Resposta: Pcrit=2621,2kN
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5.4 A frmula da secante
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Essa equao tem soluo geral :
Condies de contorno: y=0 em x=0, C2=e e y=0 em x=L:
2
2( )
d yEI M P e ydx
1 2 cos
P Py C sen x C x e
EI EI
2
2
d y P Py e
dx EI EI
1
[1 cos ]P
e LEI
CP
sen LEI
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Usando identidades trigonomtricas:
Deflexo mxima: (x=L/2)
1 2
P LC e tg
EI
cos 12
P L P Py e tg sen x x
EI EI EI
sec 12mx
P Ly e
EI
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mx
P Mc
A I
21 sec
2e
mx
LP ec P
A i i EA
sec 12
sec 12
mx
mx
M Py
P Ly e
EI
P LM Pe
EI
sec 12
mx
P P L cPe
A EI I
mx tenso elstica mxima na coluna
P carga vertical aplicada a coluna
e excentricidade da carga P
c distncia do eixo neutro at a fibra
externa da coluna onde ocorre a tenso de
compresso mxima
A rea da seo transversal da coluna
Le comprimento no apoiado da coluna no
plano de flexo.
E mdulo de elasticidade para o material
i raio de girao
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Grficos Ao A-36
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5) A coluna W8x48 de ao estrutural A-36 est
engastada na base e presa por pino no topo. Se
for submetida carga excntrica de 75kip,
determine se ela falha por escoamento. A
coluna est escorada de modo a no sofrer
flambagem em torno de y-y. Considere:
Exerccio de fixao-
E = 29(103)ksie = 36ksiResposta: no falha
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6) Um elemento estrutural W10x15 de ao A-36 usado como uma
coluna engastada. Determine a carga excntrica mxima P que pode
ser aplicada de modo que a coluna no sofra flambagem ou
escoamento. Considere:
Exerccio de fixao-
E = 29(103)ksie = 36ksid=9,99in
P=36,8kN
A = 4,41in2
Ix = 68,9in4
Iy = 2,89in4
ix=3,95inResposta:
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7) A coluna de alumnio tem a seo transversal mostrada abaixo. Se
estiver engastada na base e livre no topo, determine a fora mxima
que pode ser aplicada em A sem provocar flambagem ou escoamento.
Considere:
Exerccio de fixao-
E = 70 GPae = 95MPaResposta: P=23,6kN