cap´ıtulo 3: c´alculo integral · 2017. 10. 16. · m´etodos de integracion: funciones...

Capıtulo 3: Calculo integral

(Fundamentos Matematicos de la Biotecnologıa)

Departamento de MatematicasUniversidad de Murcia


Contenidos

La integral indefinidaPropiedades basicas de la integral indefinidaMetodos de integracion: por cambio de variableMetodos de integracion: por partesMetodos de integracion: funciones racionalesMetodos de integracion: funciones trigonometricas

La integral definidaArea de una regionLongitud de una curvaVolumen y area de un solido de revolucion

Integracion de funciones de dos variablesEl teorema de FubiniIntegrales dobles sobre dominios del plano


La integral indefinida


La integracion es el proceso inverso de la derivacion y consiste endeterminar una funcion a partir de su derivada.

Primitiva de una funcionUna primitiva de una funcion f (x) es otra funcion F (x) tal queF ′(x) = f (x).

Dos primitivas de una funcion solo difieren en una constante C :

Si F ′(x) = f (x) =⇒(F (x) + C

)′= f (x).

Notacion

Cualquier primitiva de una funcion f (x) se representa por

∫f (x) dx , y se

lee integral indefinida de f (x).



Propiedades basicas de la integral indefinida

Propiedades basicas e integrales inmediatas∫c dx = cx + C , siendo c una constante.∫c f (x) dx = c

∫f (x) dx .∫

[f (x)± g(x)] dx =

∫f (x) dx ±

∫g(x) dx .

Pero

∫[f (x)g(x)] dx 6=

∫f (x) dx

∫g(x) dx!∫

xn dx =xn+1

n + 1+ C .∫

1

xdx = ln |x |+ C .∫

ex dx = ex + C . . .



Metodos de integracion: por cambio de variable

Integracion por cambio de variable

Si F es una primitiva de f entonces∫f(g(x)

)g ′(x)dx = F

(g(x)

)+ C .

Estrategia de resolucion

Escoger una sustitucion u = g(x) adecuada.

Hallar du = g ′(x)dx .

Reescribir la integral en terminos de u.

Calcular la integral en terminos de u.

Deshacer el cambio de variable u = g(x).



Metodos de integracion: por partes

Integracion por partes

Si u y v son funciones de x , entonces∫u dv = uv −

∫v du.

Estrategia de resolucion

Elegir dv para que se ajuste a una formula de integracion conocida.El resto del integrando sera u.

O bien, elegir u para que su derivada sea una funcion mas simple. Elresto de integrando sera dv .



Metodos de integracion: funciones racionales

Integracion de funciones racionales

Para resolver la integral de una funcion racional (cociente de dospolinomios)

R(x) =P(x)

Q(x),

debe ser gr(P) < gr(Q).

Si gr(P) ≥ gr(Q), dividimos los polinomios y escribimos

P(x)

Q(x)= C (x) +

S(x)

Q(x), donde gr(S) < gr(Q).

Luego ∫P(x)

Q(x)dx =

∫C (x)dx︸︷︷︸+

∫S(x)

Q(x)dx︸︷︷︸ .

Inmediata La podemos resolver



Metodos de integracion: funciones racionales

Integracion de funciones racionales

1 Factorizar el denominador: Se hallan las raıces de Q(x), reales ocomplejas.

2 Descomponer en fracciones simples. Por cada factor (ax + b)k , ladescomposicion debe incluir

A1

ax + b+

A2

(ax + b)2+ · · ·+ Ak

(ax + b)k.

Raıces reales simples,

raıces reales multiples,

raıces complejas simples...

3 Integracion. La integral de la funcion racional es la suma de lasintegrales de todas sumas anteriores.



Metodos de integracion: funciones trigonometricas

Integracion de funciones trigonometricas

Se trata de calcular la integral de una integral que solo involucrasenos y cosenos.

Se resuelven por cambio de variable. Algunos casos particulares:

Si cos x esta elevado a una potencia impar, se hace t = sen x .∫sen2 x cos x dx =

1

3sen3 x .

Si sen x esta elevado a una potencia impar, se hace t = cos x .∫sen3 x cos2 x dx =

1

15(3 cos5 x − 5 cos3 x).

Si ambos cos x y sen x estan elevados a una potencia par, se hacet = tg x . ∫

sen2 x cos2 x dx =x

8− 1

32sen(4x).

En general, todas pueden resolverse con el cambio t = tg(x/2).


La integral definida


Supongamos que queremos calcular el area de la region delimitada por lagrafica de una funcion f (x), el eje X y las rectas x = a y x = b.

Area =

∫ b

a

f (x) dx





Si F (x) es una primitiva de f (x), la integral definida de f en [a, b] esF (b)− F (a), se escribe∫ b

a

f (x) dx = F (b)− F (a),

y mide el area de la region delimitada por la grafica de f , el eje X , y lasrectas x = a y x = b.

∫ b

a

f (x) dx = −∫ a

b

f (x) dx .∫ a

a

f (x) dx = 0.



Area de una region

Calculo de areas de regiones

1 Podemos calcular el area encerrada por una curva en un ciertointervalo.

2 Pero tambien podemos calcular el area encerrada por dos curvas:para ello hay que calcular sus puntos de corte y saber ((cual esta porencima)).

3 Pero ¡cuidado!, pues la curva podrıa cortar al eje X . En tal caso, elarea de la region que queda por debajo ((¡es negativa!)).

El area encerrada por lagrafica de la funcion y = x2,entre x = 0 y x = 2 es 8/3.



Area de una region





El area encerrada por lascurvas y = (x − 1)2 ey = x + 1 es 9/2.



Area de una region





El area encerrada por la curvay = sen(2x) entre x = 0 yx = π es 2.



Longitud de una curva

Aplicacion de la integral al calculo de longitudes...

La integral definida tambien permite calcular longitudes: la longitud de lacurva dada por la grafica de una funcion y = f (x) entre los valores x = ay x = b es

Lba(f ) =

∫ b

a

√1 + f ′(x)2 dx .



Volumen y area de un solido de revolucion

...y de volumenes y areas de solidos de revolucion

Si rotamos la curva alrededor del eje Y :

V = π

∫ d

c

g(y)2 dy ,

A = 2π

∫ d

c

|g(y)|√

1 + g ′(y)2 dy .



Volumen y area de un solido de revolucion

...y de volumenes y areas de solidos de revolucion

Si rotamos la curva alrededor del eje X :

V = π

∫ b

a

f (x)2 dx ,

A = 2π

∫ b

a

|f (x)|√

1 + f ′(x)2 dx .


Integracion de funciones de dos variables

El teorema de Fubini

Integrales dobles sobre rectangulosSea f (x , y) una funcion continua definida en el rectangulo

R ={(x , y) ∈ R2 : a 6 x 6 b, c 6 y 6 d

}.

Integral doble

Se define la integral doble de la funcion f (x , y) sobre el rectangulo Rcomo ∫∫

R

f (x , y) dx dy =

∫ d

c

(∫ b

a

f (x , y) dx

)dy .

Un resultado fundamental: EL teorema de Fubini∫∫R

f (x , y) dx dy =

∫ d

c

(∫ b

a

f (x , y) dx

)dy =

∫ b

a

(∫ d

c

f (x , y) dy

)dx .


Integracion de funciones de dos variables

Integrales dobles sobre dominios del plano

Integrales sobre dominios limitados por curvas

Calculamos la integral de una funcionF (x , y) en un recinto D, queesta limitado por dos curvas f (x) yg(x):

Para cada x ∈ (a, b) consideramoslos correspondientes puntos de lascurvas

(x , g(x)

)y(x , f (x)

).

Entonces, si f esta por encima de g :

∫∫D

F (x , y) dx dy =

∫ b

a

(∫ f (x)

g(x)

F (x , y) dy

)dx .

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