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CAPÍTULO 2: EL TENSOR DE TENSIONES

Área: mecánica de medios continuos y teoría de estructuras / Universidad de Málaga

Elasticidad y resistencia de materiales. Curso 2008/2009

CAPÍTULO 2:EL TENSOR DE TENSIONESCAPCAPÍÍTULO 2:TULO 2:EL TENSOR DE TENSIONESEL TENSOR DE TENSIONES

1. Introducción.

2. Componentes intrínsecas del vector tensión.

3. El tensor de tensiones.

4. Ecuaciones de equilibrio interno.

5. Reciprocidad de las tensiones tangenciales.

6. Lema de Cauchy.

7. Cambio de sistemas de referencia.

8. Tensiones y direcciones principales.

9. Representación gráfica del tensor de tensiones. Círculos de Möhr

10. Tensiones tangenciales máximas.

11. Tensiones octaédricas.

12. Tensor esférico y tensor desviador.

13. Tensión plana





1.1. IntroducciIntroduccióón.n.





6. Lema de Cauchy.







13. Tensión plana




uuuu

P(xP(xP(xP(x))))

PPPP2

PPPP1PPPPi

PPPPn

Ω

Γ





1. Introducción.

2.2. Componentes intrComponentes intríínsecas del vector tensinsecas del vector tensióón.n.




6. Lema de Cauchy.







13. Tensión plana




π

nnnn

nnnn

π




π

TTTT

TTTT

π

σσσσττττ

σσσσ

ττττ

∆S

nnnn

nnnnS

TENSION TANGENCIAL:

Cambio de forma22nσστ −=

TENSION NORMAL:

Cambio de volumen

nn

rr ⋅= σσ





1. Introducción.


3.3. El tensor de tensiones.El tensor de tensiones.



6. Lema de Cauchy.







13. Tensión plana




z

xy

P

π

TTTT

TTTT

π

σσσσ ττττ

σσσσττττ

∆S

nnnn

nnnnS P



Elasticidad y resistencia de materiales. Curso 2008/2009z

xy

P z

xy

P

z

xy

P




TTTTx

TTTTxTTTTy

TTTTy

TTTTz

TTTTz




TTTTx

TTTTy

TTTTz




[ ] )z,y,x()z,y,x()z,y,x( ijσ==σ σ

( ))z,y,x()z,y,x()z,y,x()z,y,x( zyxij TTT=σ

σσσσσσσσσ

=σ)z,y,x()z,y,x()z,y,x(

)z,y,x()z,y,x()z,y,x(

)z,y,x()z,y,x()z,y,x(

)z,y,x(

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

TTTTx

TTTTy

TTTTz

xxσ

zxσ

yxσ

zzσ

yzσ

xzσ

yyσ

zyσ

xyσ

Las tensiones tangenciales se notan como τ

Por lo que puede escribirse:

Que es la expresión habitual del tensor.

[ ]

=

zyzxz

zyyxy

zxyxx

στττστττσ

σr





1. Introducción.



4.4. Ecuaciones de equilibrio interno.Ecuaciones de equilibrio interno.

5.5. Reciprocidad de las tensiones tangenciales.Reciprocidad de las tensiones tangenciales.

6.6. Lema de Lema de CauchyCauchy..







13. Tensión plana




equilibrio de un sólido rígido:

∑∑∑∑∑∑

===

===

;0;0;0

;0;0;0

ozoyox

zyx

MMM

FFF

equilibrio de un sólido elástico:

1.- equilibrio en el contorno (lema de Cauchy)

2.- equilibrio interno

ηηηη

TTTTTz

Tyl n

m

Tx

xxσxyσ

xzσ

zxσzyσ

zzσ

yxσ

yyσ

yzσ

dSxdSydSz

dS

x

y

z

LEMA DE CAUCHY

“en los puntos del contorno es necesario que las tensiones estén en equilibrio con la fuerza que actúa por

unidad de superficie”




z

y

x

dxdy

dz

dSz

dSydSx

dS

sea P el vector fuerza que actúa por unidad de superficie en un punto del contorno, cuyas

componentes son PX, PY, PZ

la condición de equilibrio en el contorno implica que:

donde es la matriz de tensiones y es el vector normal a la superficie de contorno

uPrtr

⋅= σσt u

r

lo que, escrito en modo matricial, es:

ecuación que constituye el lema de Cauchy

⋅

=

n

m

l

P

P

P

zyzxz

zyyxy

zxyxx

z

y

x

στττστττσ




considerando un volumen diferencial del interior del sólido, de lados (dx, dy, dz) orientado en las direcciones coordenadas Oxyz, su condición

de equilibrio es que la suma de fuerzas y momentos sea cero.

sea un sólido sometido a un sistema de fuerzas de volúmen, por ejemplo,

un campo gravitatorio o electromagnético

xxσxyσ

xzσ

zxσzyσzzσ

yxσyyσ

yzσ

dxdydz

considerando las tensiones sobre las caras del cubo se obtiene esta figura

EQUILIBRIO INTERNO




dxxxy

xy ∂σ∂

+σ

dxxxz

xz ∂σ∂+σ

dxxxx

xx ∂σ∂+σ

xxσxyσ

xzσ

zxσzyσzzσ

yxσyyσ

yzσ

dxdydz

las tensiones de una cara trasera no son iguales y opuestas a las de la cara delantera correspondiente, como en el caso de un

punto (porque esas tensiones son en realidad las resultantes de todas las que actúan sobre

la cara).

la variación de esas tensiones de caras opuestas puede expresarse así:

dxx

dxx

xyxy

xxyydxx

xxx

xxdxx

δδτ

τττ

δδσσσσσ

+∆+=

+=∆+=

→∆+

→∆+

0)(

0

lim

lim




dyyyy

yy ∂σ∂

+σ

dyyyz

yz ∂σ∂

+σ

dyyyx

yx ∂σ∂

+σ

dxxxy

xy ∂σ∂

+σ

dxxxz

xz ∂σ∂+σ

dxxxx

xx ∂σ∂+σ

xxσxyσ

zxσzyσzzσ

yxσyyσ

yzσ

dxdydz

xzσ

aplicando equilibrio en el sólido se obtienen las ecuaciones de equilibrio:

0;0

0;0

0;0

=+++⇒=

=+++⇒=

=+++⇒=

∑

∑

∑

zyzxzz

z

yzyxyy

y

xzxyxx

x

Vyxz

F

Vzxy

F

Vzyx

F

δδτ

δδτ

δδσ

δδτ

δδτ

δδσ

δδτ

δδτ

δδσ




FFFFv

XXXXYYYY

ZZZZ

dzzzx

zx ∂σ∂+σ

dzzzz

zz ∂σ∂+σ

dzzzy

zy ∂σ∂

+σ

dyyyy

yy ∂σ∂

+σ

dyyyz

yz ∂σ∂

+σ

dyyyx

yx ∂σ∂

+σ

dxxxy

xy ∂σ∂

+σ

dxxxz

xz ∂σ∂+σ

dxxxx

xx ∂σ∂+σ

xxσxyσ

zxσzyσzzσ

yxσyyσ

yzσ

xzσ

dxdydz




pero el sumatorio de momentos también ha de ser cero, es decir:

∑∑∑ === ;0;0;0 ozoyox MMM

con lo que el tensor de tensores puede escribirse de modo simétrico:

[ ]

=

zyzxz

yzyxy

xzxyx

στττστττσ

σryxxy ττ =

y, como los diferenciales a partir de segundo orden son despreciables:

ESTO ES LA RECIPROCIDAD DE LAS TENSIONES TANGENCIALES

como las tensiones normales no producen momentos (su línea de acción pasa por el centro del cubo), los momentos se deben solamente a las tensiones tangenciales.

por ejemplo, para que el momento en el eje Z sea cero ha de cumplirse:

dxdydzdxdydz yxxy ττ =





1. Introducción.





6. Lema de Cauchy.

7.7. Cambio de sistemas de referencia.Cambio de sistemas de referencia.

8.8. Tensiones y direcciones principales.Tensiones y direcciones principales.





13. Tensión plana




para pasar de OXYZ a OX’Y’Z’ hay que multiplicar por la MATRIZ DE PASO:

cuyos vectores columna son los vectores unitarios que definen elsistema OX’Y’Z’ expresadas sus componentes en el sistema OXYZ

[ ] '

n

m

l

;'

n

n

l

;'

n

m

l

siendo

nnn

mmm

lll

P

3

3

3

2

2

2

1

1

1

321

321

321

kjirrr

=

=

=

=

los avanzados conocimientos en álgebra del alumno sin duda le habrán permitido, a estas alturas, recordar que para transformar un vector u, expresado en los ejes OXYZ, a los ejes OX’Y’Z’, ha de premultiplicarse

por la matiz inversa a la de paso:

[ ] uP'u T rr ⋅=

De este modo se ha transformado el tensor de tensiones de un sistema a otro premultiplicandoy postmultiplicando por la matriz de paso o su

traspuesta

lo cual es extensivo a cualquier otro vector; por ejemplo

al vector tensión σ. Teniendo en cuenta el lema de Cauchy, en ambos sistemas de referencia, y

considerando que puede escribirse:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]PP'

P'PT

T

⋅⋅=

⋅⋅=

σσσσrr

rr

[ ] nrrr ⋅= σσ




TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES

Ya se ha visto que el vector tensión asociado a un plano tiene una componente normal y otra tangencial (las

componentes intrínsecas).

A continuación se intentará encontrar un plano en el que el vector tensión sólo tenga componente normal, o sea, que

se pueda obtener multiplicando la normal por un escalar σ.

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) 0nInInn =⋅⋅−⇒⋅⋅=⋅⇒⋅=rrrrrr σσσσσσ

El desarrollo de esta expresión es una ecuación polinómicade grado 3 conocida como ecuación característica:

De cuya resolución se obtienen tres valores, los autovalores del tensor, que corresponden a los vectores tensión que sólo tienen componente normal. Son las tensiones principales σI,σII, σIII; se

admite por convenio que σI > σII > σIII.

0III 322

13 =−⋅+⋅− σσσ

El tensor de tensiones EN EJES PRINCIPALES es aquél en el que sus componentes son los vectores tensión asociados a los ejes coordenados cuando esos ejes coinciden con los cuando esos ejes coinciden con los ejes principalesejes principales. En ese caso los vectores tensión sólo tienen componente normal, de modo que el tensor de

tensiones toma esta forma (ver figura):

[ ]

=

III

II

I

00

00

00

σσ

σσr

I

II

III

IσIIσ

IIIσ





1. Introducción.





6. Lema de Cauchy.







13. Tensión plana




Esta figura de la izquierda representa un estado tensional biaxial; viene dado por unas tensiones normales y tangenciales, situdas en unos ejes que formarán un determinado ángulo con los ejes de

coordenadas Oxy. Pero es bastante confusa.

Pero esta otra forma es mucho más útil y sencilla de manejar. Es el círculo de Möhr; una representación gráfica plana de dos ejes:

Uno para las tensiones normales (σ).

Y otro para las tensiones tangenciales (τ).

Sobre el eje σ estarán las tensiones principales σI y σII

con la condición, ya comentada, de que σI > σII. El punto de tensión máxima es ortogonal al eje anterior y

su valor es:

2maxIII σστ −=

El análisis geométrico del círculo permite determinar,

por ejemplo, el ángulo α que las componentes de un estado tensional forman con los ejes coordenados:

2CE

DEtg2

yx

xy

σστ

α −==

Mediante el mismo tipo de análisis geométrico pueden determinarse las tensiones normales y tangencial.




De modo que pueden calcularse, de modo simple e

intuitivo, las tensiones σx σy y τxy en función de las

tensiones principales σI y σII y el ángulo α que éstas forman con los ejes X e Y.

o mediante simples relaciones trigonométricas:

Lo que se ha representado con anterioridad para los planos contenidos en los ejes coordenados OX, OY es válido también para planos contenidos en los OX , OZ y OY, OZ; de modo que pueden dibujarse otras dos circunferencias sobre los dos ejes ortogonales que representan las tensiones normales y tangenciales. Es el

Círculo de Möhr en estado triaxial (“circunferencias de Mohr).

σσσσ

ττττ

σσσσΙΙΙΙΙΙΙΙσσσσΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ σσσσΙΙΙΙ

1.- ejes de tensiones normales y tangenciales

2.- circulo entre tensiones principales σI - σII, σII – σIII, σI - σIII

σσσσ

ττττ

σσσσΙΙΙΙΙΙΙΙσσσσΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ σσσσΙΙΙΙ 3.- lugar geométrico del extremo de cualquier vector tensión asociado a una normal

cualquiera (zona sombreada).




τ

σσIσIII σIIOI OII OIII

τ

σ

αγ

τ

σIσIII σIIOI OII OIIIστ

σβ

αγ

β

σ

τ

σIσIII σIIOI OII OIII





1. Introducción.





6. Lema de Cauchy.




10.10. Tensiones tangenciales mTensiones tangenciales mááximas.ximas.



13. Tensión plana




Un análisis, no demasiado exaustivo, de las circunferencias de Möhr permite determinar de modo casi inmediato las tensiones tangenciales máximas (no olvidar que, al fin y al cabo, es un

método gráfico de cálculo)

τ

σσIσIII σIIOI OII OIII

2;

2;

2III

IIIIIII

IIIIIII

I

σστσστσστ −=−=−=

Son, obviamente, los radios de cada una de ellas:

Menos inmediata es la determinación de los ángulos que forman estas tensiones con os ejes coordenados; sus

valores son:

Para τ1; α = 90º; β = 45º; γ = 45º

Para τ2; α = 45º; β = 90º; γ = 45º

Para τ3; α = 45º; β = 45º; γ = 90º

τ

σβαγ

βσ

τ

σIσIII σIIOI OII OIII

En realidad sólo es inmediata la determinación de los ángulos de 90º, ya que al estar el punto en un círculo normal al planocorrespondiente forma 90º con uno de los ejes, Los de 45º de obtienen de cada círculo en el que los ángulos reales vienen ultiplicados por dos (ver círculo de Möhr en estado plano). Más información en el libro de Ortiz Berrocal





1. Introducción.





6. Lema de Cauchy.





11.11. Tensiones octaTensiones octaéédricas.dricas.


13. Tensión plana




I

II

III

Son las coomponentes intrínsecas del vector tensión asociado a un plano cuyo vector unitario forma ángulos iguales con los tres ejes

principales.

Los ocho planos ABC análogos al del triedro de la figurade la derecha componen el octaedro de la figura inferior, de ahí el nombre de las tensiones.

Si los cosenos directores del vector unitario asociado al plano ABC son l, m,

n, se verifica que:

De modo que los ocho vectores unitarios son:

Cuyas componentes intrínsecas son:

Y los vectores tensión (o sea, las tensiones octaédricas) asociados a esos planos son:

Nótese que el tensor de

tensiones estáen ejes

principales





1. Introducción.





6. Lema de Cauchy.






12.12. Tensor esfTensor esféérico y tensor desviador.rico y tensor desviador.

13.13. TensiTensióón planan plana




Una de las funciones de las tensiones ontaédricas es la descomposición del tensor de tensiones en el tensor esférico y el

tensor desviador.

Todo tensor de tensiones puede descomponerse en un tensor esférico y un tensor desviador de acuerdo a la siguiente expresión:

Que se obtiene sumando y restando al tensor el módulo de la tension normal octaédrica por la matriz unidad, y en la que:

El tensor esférico será útil en el estudio del cámbio de volúmen de un sólido sometido a un determinado estado de solicitaciones.

El tensor desviador será útil en el estudio del cámbio de forma de un sólido sometido a un

determinado estado de solicitaciones.




TENSION PLANA

Es un caso especial que aparece en sólidos en los que una dimensión es muuucho menos que las otras dos.

Su estudio pormenorizado es objeto de la elasticidad plana, ahora se verán un par de nociones básicas.

Como las cargas que actuan según el eje OZ son nulas, lo son también las tensiones según ese eje, de modo que el tensor de tensiones tiene términos nulos, con lo que puede reducirse a

uno de dos por dos términos.

La construcción del círculo de Möhr en tensión plana es análoga a la que se vió para un estado biaxial, al principio del

apartado correspondiente.

Los sólidos planos se definen por un plano medio perpendicular a la sección menor y tanto las cargas como las restricciones al

desplazamiento actúan en ese plano medio.

¡ojo! Sería el caso del tablero de una mesa pero con las cargas y coacciones en los cantos, no en la base.

⇒

yxy

xyx

yxy

xyx

σττσ

σττσ

000

0

0

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