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EM461 Prof. Eugênio Rosa

Tópicos aula #24

1. Tipos de bombas.

2. Modelo ideal para uma bomba centrífuga.

3. Curvas características de bombas e ventiladores.

Capítulo 10

Turbo-Máquinas


Tipos de bombasBomba de deslocamento positivo

• Bomba de pistão

• Bomba peristaltica

• Bomba de engrenagem

• Bomba com dois lóbulos rotativos

• Bomba de parafuso

Jet pumps

Turbo Máquinas

• Fluxo - axial (hélice)

• Fluxo - radial (rotor radial)

• Fluxo misto (rotor misto radial/hélice)

Este capítulo aborda o estudo de turbo máquinas apenas.

Veja no apêndice I características das bombas de deslocamento positivo e a Jet Pump.


Turbo-máquinas, o foco desta disciplina

1a Uso de bomba centrífuga que se tem conhecimento, Demour - 1730

Veja análise da máquina de Deamur no apêndice da aula #12, cap. 4


Classificação das Turbo-máquinas entre aquelas que recebem ou realizam trabalho

Máquinas que recebem trabalho:

bombas, sopradores, compressores

Máquinas que realizam trabalho :

turbinas hidráulicas, a vapor e a gás.

Bombas centrífugas para líquidos e gases

Três tipos de turbinas para líquidos


Classificação das turbo máquinas quanto ao tipo de rotor

Turbomáquinas:• Escoamento radial (Centrifuga)

• Escoamento axial

• Escoamento misto

RadialAxial Mixed


Bombas com rotor radial ou centrífugas• Possuem grande aplicação, larga faixa de vazões e altura de elevações. • O aumento do diâmetro rotor ou da rotação aumenta a pressão

Sucção,perpendicular

ao plano Pás do rotor

Carcaça

Voluta, expansão do fluidorecupera pressão

Descarga

descarga


Tipos de rotores radiais

Rotor fechado. Possui alta eficiência mas trabalha com

líquidos sem sólidos

Rotor aberto. Possui baixa eficiência mas pode operar com partículas sólidas sem

entupimento.


Máquinas com rotor axial

Características:

• Possuem baixa pressão ( menor que 12 mCA);

• Capazes de movimentar gandes volumes;

• Podem operar com líquidos ou gases;

• Também conhecidas máquinas de fluxo axial;


Compressor e palhetas do rotor da turbina para uma instalação industrial a gás

Detalhes do acento do compressor e da turbina

Detalhes do compressor de gás

e câmera de combustão ao

fundo.


Rotores com características mistas entre radial e axial

Possuem características intermediárias entre os rotores radial e axial.

Ventilador com pás mistas

Compressor com pás mistas

Turbo-compressor automotivo

Compressão do ar admissão motor

Gases exaustão aciona turbina que por sua vez aciona o compressor


Análise teórica de um rotor radial

Teoria de Euler: modelo idealizado de uma bomba centrífuga.

Teoria baseada em análise de V.C. visto no capítulo 4.

Parte 2 da aula


Princípio do momento angular (conteúdo da aula #13)

V.C. empregado e

referencial inercial.

1 – índice relativo a entrada

2 – índice relativo a descarga

V – velocidade fluido absoluta (ref. inercial)

U – velocidade absoluta rotor, U = r

Vn – vel. abs. do fluido normal ao rotorVt – vel. abs. do fluido tang. ao rotor

Hipóteses:

• Escoamento sem viscosidade;

• Torque no rotor desprezível devido às forças de

superfície e de campo (viscosidade , pressão e g)

• Regime permanente, d/dt = 0

eixo r

S.C.

T Vr n V dA

O momento angular reduz para

xyz r eixo

S.C.

V n V dA Tr


Equações de Euler para rotores

• Velocidade angular do rotor: U = r;• Vt vem do triângulo vel. da entrada e de saída (é mais complexa);

Conteúdo visto em V.C., aula #12, exemplo 3

• Hipóteses para modelo de Euler:• Escoamento uniforme na admissão e descarga do rotor;• Na entrada a vel. é normal, não há vel. tangencial, Vt1 = 0. As eqs.

possibilitam Vt1 = 0 porém, Euler estima a máx. potência possível.

A partir da altura de elevação ‘idealizada’ , H = U2.Vt2/g, será deduzida a curva teórica da bomba: H = C1 - C2Q

Potência:

Altura :

Torque eixo

V ref. inercial estacionário


1 – índice relativo a entrada2 – índice relativo a descargar – raio do rotorb – altura da pá do rotorA – área do rotor ao fluxo (veja definição)

r2

b2

2 2 2A 2 r b Descarga - transversal ao

fluxo no rotor

1 1 1A 2 r b Entrada – área transversal

ao fluxo no rotor

Se a vazão Q que atravessa

o rotor é conhecida então a

velocidade normal é: n,2 n,1

2 1

Q QV e V

A A

Definição da área na direção radial que define a vazão que sai do rotor


Diagrama de velocidades no rotor

Vn – vel. abs. do fluido normal ao rotorVt – vel. abs. do fluido tang. ao rotor - ângulo da pá em relação à tangente do rotor - ângulo entre V e Vn (não representado fig.)

1 – índice relativo a entrada2 – índice relativo a descargaV – velocidade fluido abs. (ref. inercial) U – vel. abs rotor, U = rW – vel. relativa à pá (tangente a pá)

Velocidade absoluta do fluido V é a soma vetorial da velocidade relativa do fluido com a pá, W, e velocidade absoluta do rotor, U.

W é medida de um referencial que gira com o rotor mas V é medida de um referencial inercial!

Hipótese: W é sempre tangente à pá, veja W1 e W2 na figura!

V W U

pá virada p/ tráz, 2 < 90o


Diagramas de velocidade no rotor (ent. e saída)Vn – vel. abs. do fluido normal ao rotorVt – vel. abs. do fluido tang. ao rotorW – vel. relativa fluido com a pá (tangencia a pá) - ângulo da pá em relação à tangente do rotor - ângulo entre V e Vn

1 – índice relativo a entrada2 – índice relativo a descargaV – velocidade abs. (ref. inercial) U – vel. abs. rotor, U = r

V = W+U.

Componentes da velocidade entrada do

rotor com Vt1 0

11

1W

1V

1U

Vn1

Componentes da velocidade na saída do

rotor

2W

Vn2

2V

2U

22

Ex. c/ pá virada para trás, 2 < 90o

Objetivo: determinar Vt2?

Do triângulo vel. saída:

n,2 2i V W Sen

2 n,2W V Sen

t,2 2 2ii V U W Cos

t,2 2 n,2V U V Cot


2

2 2 2

2 2

U U cotH Q

g D b g

Substituindo Vt,2 na altura idealizada H = U2.Vt2/g (slide 14) chega-se que H é linear com Q.

Modelo de Euler para rotor radial

A curva H = C1-C2.Q baseia-se num fluido sem viscosidade. É pressuposto que:i. Torque no rotor desprezível devido às forças de pressão e de campoii. Escoamento uniforme na admissão e descarga;iii. Na admissão (entrada) Vt = 0

As hipóteses empregadas são fortes. A viscosidade do fluido faz com que haja perdas irreversíveis no rotor, correntes secundárias, escoamento não uniforme e mesmo choques porque a velocidade não tangencia as pás na entrada e saída.

Os resultados do modelo Euler aproxima-se do ponto de eficiência máxima da turbomáquina real.

Os resultados do modelo Euler representam um limite superior do desempenho.

t 2 2 2 2 t 2 2 2 2V U W cos V U Q A cot Pode-se expressar Vt,2 em função de Q:

Mod. Euler Hmáx = U22/g & Q=0

Qmáx = U2..D2.b2.g.tg2 & H=0


Exemplo 1 – Um rotor centrífugo ‘ideal’ possui :

Velocidade rotor a N = 575 rpm e o fluido é água.

i. Calcule a altura ideal H e a potência se Q = 5 m3s.

ii. Calcule a altura considerando rotação na entrada e Q = 5 m3/s.

iii. Determine ângulo 1 de entrada da pá para que a componente da velocidade

tangencial seja nula se Q =8m3s.

Entrada Saída

Raio, r (mm) 400 1200

Espessura, b (mm) 120 80

Ângulo pá, (graus) 40o 60o

Resp.: (i) Hideal = 497,0 m C.A. e P = 23,9 MW(ii) Com rotação entrada, H = 486.3 m e P = 24.4 MW(iii) 1 = 47,75º Link: exel 10-13

Triângulo vel. entrada

1

1

1W

1V

1U

Vn1

ex-10-13 aula 1.xlsx


Curva idealizada carga (m) x vazão

Pá curvada p/

frente, 2 > 90o

Se > 90o; cot < 0

2

2 2

2

U UH Q

g D bg

cot

Pá curvada p/

tráz, 2 < 90o

2

2 2

2

U UH Q

g D bg

cotSe < 90o; cot > 0

2

2U

Hg

Se = 90o; cot = 0

2

2 2 2

2 2

U U cotH Q

g D b g


Inconsistências da curva idealizada

Pá curvada p/ frente, 2 > 90º:São instáveis pq H aumenta com

Q e faz com que a potência de

bombeamento sempre aumenta

Pá radial 2 = 90o

Exibe H constante para qualquer

vazão Q. Isto não ocorre com

bombas reais!

Pá curvada para traz, 2 < 90o :

Mostra que N diminui e Q

aumenta. Esta é uma

configuração estável, a potência

de acionamento é finita: P = gHQ


Qual rotor possui pás curvadas para trás, < 90º?

Rotação sentido horário

Considere o rotor aberto nas figuras. Determine o sentido de rotação(horário ou anti-horário) para que < 90o (estável). Lembre que a Wtangencia a pá!

W2

Rotação sentido anti-horário

W2>90o

<90o

Resposta: sentido anti-horário resulta em < 90o.

Veja link sobre: Harzadous of reverse pump rotation

Pás curvadas para frente. Pás curvadas para trás.

https://oaktrust.library.tamu.edu/bitstream/handle/1969.1/162591/Hazards of Reverse Pump Rotation.pdf?sequence=1&isAllowed=y


Rotor ‘ideal’ x realEscoamento real não segue teoria ideal p/ rotor devido a:• Nos lados das pás a pressão é diferente, há também ação da viscosidade. Combinadas, estes dois fatores causam torques resistivos não previstos na teoria.

• Escoamento na entrada e na saída não é uniforme nem tangente às pás, de fato há choques.

• Operação fora da vazão de projeto pode levar ao descolamento do escoamento no canal formado entre as pás dissipando parte da energia e diminuindo a eficiência.

• Os canais formados entre as pás do rotor com a rotação criam correntes secundárias que também dissipam energia em calor e reduzem a eficiência da bomba.

• A combinação destes fenômenos induzem uma perda dentro do rotor reduz significativamente a eficiência da bomba.

A curva ideal aproxima-se da real próx. ponto de eficiência máx.

idealH

Qreal

Descriminação das perdas entre o ideal e o real


Performance de curvas de bomba reais: HxQ, , e potência

Parte 3


Bombas, compressores, sopradores

Turbinas hidráulicas

Conteúdo visto em V.C. –eq. energia, aula #13

Potência transferida p/ fluido:

f f bW gH Q

Eficiência da bomba:

f bfb

eixo

gH QW

W T

Potência extraída do fluido:

f f tW gH Q

Eficiência da turbina:

eixo

t

f f t

W T

W gH Q

Conteúdo visto em cap.8. –aula #19

2 2

b

ent sai

0

P Pw V VH z z

g g 2g g 2g

2 2

t

ent sai

0

P Pw V VH z z

g g 2g g 2g

Altura elevação bomba

Altura elevação turbina


Exemplo 2 - Dados de testes com uma bomba operada a 1750 rpm e com um rotor de 14”de diâmetro são mostrados na tabela ao lado.

Determine as curvas HxQ, PotxQ e hxQ. Localize o ponto de melhor eficiência BEP e especifique a vazão e a altura de elevação.

Q H Pot

(gpm) (ft) (hp)

270 198 25

420 195 30

610 178 35

720 165 40

1000 123 45

Pergunta:

O que você deve fazer se receber uma tabela em unidades inglesas?

Resposta:

Converter em SI para realizar os cálculos.


Exemplo 2 - redução dados experimentais

Eficiência da bombaPotência transferida ao fluido.

Note que Q, H e Pot eixo são fornecidas nos dados experimentais, enquanto

que Pot transferida p/ o fluido e eficiência da bomba são calculadas como:

Q H Pot Mec Pot Hidr efic

(m3/s) (m) (KW) (KW) (%)

0.01703 60.4 19 10 54

0.02650 59.4 22 15 69

0.03848 54.3 26 20 78

0.04542 50.3 30 22 75

0.06308 37.5 34 23 69

calculadodados experimentais

f f bW gH Q f bf

b

eixo

gH QW

W T


Cu

rva

s

de

D

es

em

pe

nh

o,

pro

b.

10

-19

0

10

20

30

40

50

60

70

0.000 0.020 0.040 0.060 0.080

Vazão (m3/s)

Alt

ura

de

Ca

rga

H (

m)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0.000 0.020 0.040 0.060 0.080

Vazão (m3/s)

Po

ten

cia

Mecan

ica (

W)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0.000 0.010 0.020 0.030 0.040 0.050 0.060 0.070

Vazão (m3/s)

Efi

cie

nc

ia (

%)

BEP


Ajuste de curva HxQ: H = H0 – AQ2

A curva HxQ ideal é linear, mas devido as perdas a curva HxQ é melhor representada por uma curva do segundo grau: H = H0 - AQ2 onde H0

representa a altura de ‘shut-off’

• O gráfico mostra que H ~ Q2 e não linear como o modelo ideal de Euler.

• Mas é inconveniente que o eixo x seja Q2 pois o dado de campo é Q!

y = -6386.4x + 63.241R² = 0.9944

0

10

20

30

40

50

60

70

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005

Alt

ura

de e

lev

ação

H (

m)

[Vazão (m3/s)]^2

y = -6386.4x2 - 3E-12x + 63.241R² = 1

0

10

20

30

40

50

60

70

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

Alt

ura

deele

vação

H (

m)

Vazão (m3/s)

• Se eixo x representa Q há associação direta de Q com H, é mais prático!

Gráfico H x Q2

Gráfico H x Q• No ajuste H x Q o termo linear c.Q é

desprezível.

• Por essa razão: H = H0 - AQ2


Ajuste curva eficiência

A curva de eficiência começa em zero quando Q = 0 (shutoff), a medida que Q cresce atinge um máximo de eficiência e depois diminui a medida que Q aumenta.

O ponto de melhor eficiência PME ou Best Efficiency Point BEP é aquele onde a eficiência é máxima.

y = 421960x3 - 79322x

2 + 4415.3x

R2 = 0.9837

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0.000 0.010 0.020 0.030 0.040 0.050 0.060 0.070

Vazão (m3/s)

Efi

cie

ncia

(%

)

BEP


Ajuste da curva de potência Eixo, PxQ

Pot ≈ Q.H, mas H = H0 - AQ2, logo Pot ≈ H0.Q - AQ3, mas H0 >> A, portanto Pot ≈ H0.Q (linear)

y = 329.61x + 13.551R² = 0.9811

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08

Po

ten

cia

Mecan

ica (

W)

Vazão (m3/s)

Para Q = 0 encontra-se que a potência requerida é de 13 KW, esta

potência é toda dissipada na recirculação interna a bomba porque a

vazão é nula!


Carta de seleção e curva HxQ


Carta para seleção de bombas: com a vazão e altura

elevação do processo pode-se selecionar uma bomba

Considere o exemplo: Q = 1000 gpm e H = 120 ft.

A bomba selecionada é 6AE12


Co

mo

ob

ter

cu

rva

Hx

Q d

o c

atá

log

o? Rotor D = 10,25”; considere dois pontos: shutoff e BEP.

Shutoff: H0 = 115’ e BEP (H,Q) = (90’, 880 gpm)

Eq. H=H0 – AQ2 H0=110ft e A = (H0-HBEP)/Q2 = 2,58E-05 ft/gpm2

Verifique ajuste. Use o excel e compare contra curva do catálogo.

Eixo x – cada divisão = 20 gpm

Eixo

y –

cad

a d

ivis

ão

= 5

ft


Exercícios recomendados(1) Considere uma bomba centrífuga cuja geometria e condições de escoamento são:

Raio de entrada rotor - 2,5 cmRaio de saída rotor - 18 cmLargura de saída rotor - 1 cmVelocidade de projeto - 1800 rpmVazão de projeto - 30 m3/minPás curvadas para trás (ângulo saída pá) - 75o

Faixa de vazão requerida - 50% a 150% da de projeto

Admita comportamento ideal da bomba com 100% de eficiência. Determine a altura de carga de bloqueio.Calcule as velocidades absoluta e relativa de descarga, a altura de carga total e a potência teórica requeridana vazão de projeto. Resp.: H0 = 117 m; w2 = 45,8 m/s e v2 = 49,5 m/s

(2) Uma bomba centrífuga, projetada para bombear água a 1200 rpm, tem dimensões:

ENTRADA SAÍDARaio rotor (mm) 90 150Largura da pá, b (mm) 10 7,5Ângulo da pá (graus) 25 45

Determine a vazão para a qual a velocidade de entrada não possui componente tangencial. Trace o diagramade velocidades de saída e determine o ângulo absoluto do escoamento de saída (medido em relação à direçãonormal), para esta vazão. Determine a altura de carga desenvolvida pela bomba. Avalie a potência hidráulicafornecida pela bomba, se a sua eficiência for de 70%. Resp.: 29,8 L/s; H =28,1 m.


FIM


Apêndice I

Características das bombas de deslocamento positivo• Bomba de pistão

• Bomba peristaltica

• Bomba de engrenagem

• Bomba com dois lóbulos rotativos

• Bomba de parafuso

Características de Jet Pumps


Bomba com diafragma• Uma bomba de diafragma (também conhecida como bomba de membrana) é uma bomba de deslocamento positivo que usa uma combinação da ação recíproca de um diafragma de borracha, termoplástico ou teflon e válvulas adequadas em ambos os lados do diafragma (válvula de retenção, válvulas borboleta, válvulas de flap ou qualquer outra forma de válvulas de bloqueio) para bombear um fluido.• O movimento cíclico do diafragma faz com que o volume da camara seja enchido e descarregado a cada ciclo. • Produz baixas pressões ;• Pode trabalhar com líquido e gases;• Ver aplicações em: https://www.verderliquids.com/int/en/industries/chemical/

Vídeo 0,27’ coração artificial

https://www.verderliquids.com/int/en/industries/chemical/

https://www.youtube.com/watch?v=2E1km-qDkqc


Bomba Persitaltica

• O diâmetro da tubulação e a velocidade do rolo em relação à tubulação determinam a vazão.

• Fluido pode vazar no tubo em altas pressões.

• Tubo flexível pode falhar por fadiga e também por abrasão.

• O fluido só entra em contato com a tubulação. É uma vantagem para ambientes na área de alimentos e de saúde.

• Pode trabalhar com líquidos de baixa a alta viscosidade.

• A faixa operacional de vazão é baixa.


Bombas de engrenagens e lóbulosBomba de engrenagem• O fluido fica preso entre os dentes da

engrenagem e o alojamento. • A vazão volumétrica é diretamente

proporcional a rotação da bomba.• Trabalha com líquidos viscosos sem

sólidos em suspensão.

Bomba rotativa de dois lóbulos• Possui dois lóbulos em contra rotação que

deslocam um volume por cada rotação.

• Uma fração do volume deslocado recircula devido ao vazamento entre lóbulo e carcaça e também no contato entre lóbulos

• Por possuir a dois lóbulos apresenta vazão pulsátil.Trabalha com líquidos viscosos sem sólidos em suspensão.

Fluidoaprisionado

http://www.koboldusa.com/onlinecatalog/flow/zdm/zdm1.html

http://www.koboldusa.com/onlinecatalog/flow/zdm/zdm1.html


Bomba de parafuso (Arquimedes 280 AC)

Bomba de parafuso

• Pode operar com líquido (principalmente água) sem e com sólidos em suspensão. Também pode ser empregada para transporte de grãos na agricultura e sóliods na mineração.

Bomba com duplo parafuso

Mecânica de precisão capaz de bombear gás e líquido simultâneamente empregada na indústria do petróleo.

Link – Archim

Bornemann pump

Bomba para gás e líquido simultaneamente

https://www.youtube.com/watch?v=ULU_K9nFjLI

https://www.youtube.com/watch?v=EDVTIIOwWd8


Bomba de deslocamento positivo

O que acontece se na linha de descarga bloqueada?

Resp. : Como é uma bomba de deslocamento é necessário ter uma válvula de segurança, caso contrário pode quebrar a bomba ou romper o tubo, o mais fraco dos componentes.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 2 4 6 8 10

tota

l flo

w

rads

1st piston

2nd piston

3rd piston

3 pistons

Quando o pistão desloca p/ esquerda e direita a bomba faz

sucção e descarga!

Como é a vazão versus tempo para uma bomba de pistão?Resp.: é pulsátil. Se tiver mais de um pistão as oscilições de Q suavizam, veja figura

Grande mercado em injeção de diesel ou gasolina.


Detalhes mecânicos bomba deslocamento

São dispositivos mecânicos de precisão capazes de trabalhar em elevadas

pressões e dosar, com precisão, o volume injetado. Muito empregado em

indústria química, petróleo e automobilistica (bomba injetora Diesel)


Bomba deslocamento positivo

Qual o modelo de bomba de deslocamento com mais de 7,7 bilhões de usuários em 2018?

Quantos ciclos numa vida?

80 anos: 3,3 bilhoes de ciclos!


Bomba rotor misto de sangue para cirurgia


Jet PumpUm jato com alta velocidade transfere quantidade de movimento para o fluido que se quer bombear para vencer a resistência hidraulica.

• Vantagens

Sem partes móveis

Lida com sólidos facilmente

• Desvantagem

Ineficiente;

• Aplicação:

poço profundo de bombeamento

bombeamento de água misturada

com sólidos

• Teoria:

baseada em análise V.C. do cap. 4

Veja teoria de jet pump no cap4, aula#9,

exercício recomendado n.2


Apêndice II

Relações entre velocidades absolutas, V, relativas, W e tangenciais U e relações entre triângulos de velocidades


Diagramas de vel. e velocidades absolutas Vt e Vn

São conhecidos Q que cruza o rotor e a velocidade do rotor: U = r.

Objetivo: determinar Vt1 e Vt2 em função de Q e para calcular T, P e H.

1a etapa: expressar Vt em função de W e U a partir do triângulo de velocidades

Se Vt1 = 0 é necessário que: 1 1 1

U W cos

2 2 2

n 2 2 2 2 2

t 2 2 2 2 2 2

V W U

V V cos W sen

V V sen U W cos

1 1 1

n1 1 1 1 1

t1 1 1 1 1 1

V W U

V V cos W sen

V V sen U W cos

Componentes da velocidade na saída rotorComponentes da

velocidade na entrada rotor

1

1

1W

1V

1U

Vn12

WVn2

2V

2U

22

Vn – vel. abs. do fluido normal ao rotorVt – vel. abs. do fluido tang. ao rotor - ângulo da pá em relação à tangente do rotor - ângulo entre V e Vn

1 – índice relativo a entrada2 – índice relativo a descargaV – velocidade abs. (ref. inercial) U – vel. abs rotor, U = rW – vel. rel. fluido à pá (tangente a pá)


Definição da área na direção radial que define a vazão que sai do rotor

1 – índice relativo a entrada2 – índice relativo a descargar – raio do rotorb – altura da pá do rotorA – área do rotor ao fluxo (veja definição)

r2

b2

2 2 2A 2 r b

Área transversal ao

fluxo do rotor na

descarga.

1 1 1A 2 r b

Área transversal ao

fluxo do rotor na

entrada. (não

representada na figura)


vazão de entrada e saída do rotor

Expressar W em função de Q e do ângulo da pá 2.

A1 e A2 são as áreas de entrada e saída do rotor ao escoamento.

n1 1 1 1 1

1

1

1

1

QV V cos W sen

A

Q AW

sen

n 2 2 2 2 2

2

2

2

2

QV V cos W sen

A

Q AW

sen

Componentes da velocidade na saídaComponentes da

velocidade na entrada

1

1

1W

1V

1U

Vn1

2W

Vn2

2V

2U

22

Vn – vel. abs. do fluido normal ao rotorVt – vel. abs. do fluido tang. ao rotor - ângulo da pá em relação à tangente do rotor - ângulo entre V e Vn

1 – índice relativo a entrada2 – índice relativo a descargaV – velocidade abs. (ref. inercial) U – vel. abs rotor, U = rW – vel. rel. fluido à pá (tangente a pá)

(1) (2)


Apêndice III

Um modelo alternativo ao modelo de Euler


O desenvolvimento a seguir apresenta uma equação de Bernoulli para um rotor num escoamento ideal, veja Frank White, Fluid Mechanics.

A velocidade absoluta V possui as componentes tangencial e normal, Vt e Vn definidas no slide 38.

pá virada p/ tráz, 2 <

90o

W2

Aplicando a lei de cosenos nos triângulos de velocidade na entrada e na saída:

2 2 2V u W 2 u W cos (1)

Vt é tbém expresso pela relação

tW cos u V (2)

No slide 28 mostra que:

2 12 t 1 t

H u V u V g (3)

O produto u.Vt vem (2)2

tu V u u W cos (4)

O último termo (4) expresso por (1) dá

2 2 2

t

1u V V W u

2 (5)

Subs (5) em (3)

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1H V V u u W W 2g 0

(6)

Eq energia na saída-entrada rotor2 2

2 1

P V P VH 0

g 2g g 2g

(7)

Igualando (6) e (7)

2 22 2

2 12 2 1 1r rP W P W

Cg 2g 2g g 2g 2g

Lembrando que em (1) usualmente é zero


22 2

1 2 22 1W W rP P

Hg 2g 2g

2

1 2

1 2

2 2 2 2 2

C U g, máx H, Q = 0H C C Q onde

C U cot D b g

Se Vt1 = 0 é necessário que: 1 1 1 1 1 1

U W cos W U cos

2 22

2 12

1

r rWH

2g 2g 2g cos

Do triângulo velocidades: 2

2

2

Q AW

sen

2

1

22 2

2 1

1 2 2

2

r2 2

2 cos

2 2

r r 1 QH

2g 2g cos 2g A sen

1 QH r 0

2g A sen

Esta análise dá um H shutoff metade do modelo de Euler

Esta análise mostra que H cai com Q2, consistente com dado experimental

Esta análise não depende do ângulo da pá portanto sempre estável, contrário

do modelo de Euler.


FIM

capítulo 10 turbo-máquinasim250/site im250/sites interesse/em461 … · em461 prof. eugênio rosa...

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