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Geologia Estrutural 27

CAP. 3 - ANLISE DO ESFORO 3.1- Introduo A deformao dos materiais produzida por ao de foras. As foras que atuam nas rochas da crosta so principalmente a ao da gravidade e movimentos relativos de grandes blocos de massas na crosta e no manto superior. A fora gravitacional proporcional massa e, no que concerne deformao, pode ser avaliada em termos do peso da coluna de rocha em um determinado ponto. As foras que atuam numa rocha produzem um conjunto de esforos (stress) e a quantidade de deformao medida pelas mudanas nas dimenses do corpo. Essas mudanas podem ser de forma, volume, ou ambos e vo constituir o que chamamos de deformao (strain), conforme j discutido no captulo anterior. 3.2 - Fora e Esforo Para que se entenda o conceito de esforo (stress), necessrio que se entenda o conceito de fora. A fora o produto da massa pela acelerao. um vetor, possuindo intensidade, direo e sentido. O vetor fora pode ser dividido em duas componentes e, por extenso desse princpio, qualquer sistema de foras pode ser representado por sua resultante. * Definio de esforo Na deformao das rochas no se considera qualquer acelerao do corpo, tratando o sistema como fechado, com as foras opostas se cancelando. Esforo um par de foras iguais e opostas agindo na unidade de rea de um corpo. Portanto, o esforo abrange a fora atuante e a reao oposta do material. A intensidade do esforo depende da intensidade da fora e do tamanho da rea de atuao. Esforo = Fora/ rea Unidades : sistema SI Fora = Newton, onde N= 1 Kg. m. s-2 Esforo = Pascal, onde Pa = 1 Nm-2

mais usado bar = 105 pascals = 0.1 MPa

Profs. M. Matta & F. Matos - DGL/UFPA


3.3- Stress normal e cisalhante Uma fora atuando numa superfcie pode ser dividida em um stress normal agindo perpendicularmente superfcie e um stress cisalhante atuante paralelamente superfcie. Por conveno: - stress normal (sigma) - stress cisalhante (tau) Em trs dimenses o stress cisalhante pode ser dividido em duas componentes com ngulos retos 1 e 2.

3.4- Stress em um ponto As foras atuantes em cada uma das faces de um cubo de referncia pode ser resolvida em trs componentes ortogonais, uma normal e duas paralelas face. Se a magnitude de cada uma das trs componentes for dividida pela rea da face do cubo obteremos a magnitude das trs componentes do stress. Usando-se as arestas como um sistema cartesiano e empregando o smbolo ij para denotar a componente do stress que atua na face perpendicular a Xi , e na direo de Xj , os vrios componentes do stress podem ser representados como mostrado abaixo e escrito na seguinte maneira: 11 12 13 ndices iguais stress normal 21 22 23 ndices diferentes stress cisalhante 31 32 33 A situao ilustrada na figura acima complicada pelas variaes nas magnitudes e direes das foras em cada face do cubo, portanto torna-se conveniente considerar o estado de stress em cada ponto. O stress em um ponto definido pela razo limite da fora pela rea quando a rea da face se aproxima de zero. Trs importantes consequncias so: - a distribuio das foras sobre cada face tende a uniformizar-se; - as foras nas faces opostas se aproximam em direo e magnitude;

- as foras capazes de exercer um torque resultante sobre o cubo tendem a se anular.



Isso significa que 12 = 21 ; 31 = 13, etc. Assim, quando o estado de stress em um ponto considerado, os componentes podem ser escritos assim: 11 21 13 21 22 32 13 32 33 Existem, portanto, 6 componentes independentes do stress em um ponto, em qualquer material: 3 componentes normais e 3 componentes cisalhantes. 3.5- Eixos Principais de Stress Em situao de stress homogneo possvel sempre o encontro de 3 planos mutuamente perpendiculares, nos quais o stress cisalhante nulo. So chamados planos principais de stress e os esforos normais eles so os eixos principais de stress. Convencionalmente so chamados de 1, 2, e 3, com 1 > 2 > 3 (maior, intermedirio e menor eixo de stress). 3.6- Elipside de Esforo a figura geomtrica construda a partir de trs eixos e dimenses diretamente proporcionais s intensidades dos 3 eixos principais de esforos (1, 2, e 3 ). O conhecimento do campo de esforos existentes nas rochas durante a deformao muito pequeno ainda na geologia estrutural. Isso , em parte, devido `as complexidades dos campos de esforos que atuam na deformao e falta de informao sobre as propriedades mecnicas das rochas. Um exemplo disso pode ser visto na figura 1.24 (Hobbs), ilustrando a orientao do stress num leito dobrado feita por computador, onde cada linha tracejada perpendicular 1 em cada ponto.

3.7- Classes de Esforos

Analisando a matriz do estado de esforo homogneo, pode-se estabelecer o seguinte:

11 21 13 p 0 0 11-p 21 13 21 22 32 + 0 p 0 = 21 22 -p 32 13 32 33 0 0 p 13 32 33 -p

p = ( 11 + 22 + 33)/3 ou p= ( 1 + 2 + 3)/3



Em trs dimenses, p representa o esforo mdio (mean stress) ou uma condio de presso hidrosttica. Os esforos normais, em diferentes direes, geralmente diferem do esforo mdio, e essa diferena conhecida como esforo desviatrio (deviatoric stress - ):

= - ( 1 + 2 + 3)/3 Esforo no desviatrio: a parte do esforo que consiste unicamente de:

esforo normal = p e esforo cisalhante = 0

3.8- A Envoltria de Mohr importante que se estabelea que, embora o esforo tenha muitas das caractersticas fsicas da fora associada ele, o conceito de esforo tem sempre a associao fsica com a rea de atuao. Portanto, o valor do esforo no varia somente com a orientao e a intensidade da fora atuante, mas varia tambm quando ocorre mudanas na orientao e tamanho da rea. A Figura 1.2, na pgina seguinte, (Hobbs, ,et al., 1976), mostra sees de cubos, onde uma fora de intensidade F age perpendicularmente face do cubo de rea A (Fig. 1.2a). Cortando o cubo existe um plano P, cuja normal forma um ngulo com F.



Qual ser a componente normal e cisalhante da fora sobre o plano P e como elas diferem em intensidade da componente normal e cisalhante do esforo sobre o plano P ? Da figura 1.2a, tira-se: Fn = Fcos Fs = Fsen (3.1) Da figura 1.2b, tem-se que o esforo () na face do cubo tem intensidade F/A, onde a rea do Plano P : AP = A/cos (3.2) ento: Fn = Fcos = Acos = APcos2 e (3.3) Fs = Fsen = Asen = APsencos



Portanto, as intensidades das componentes normal e cisalhante do esforo sobre o plano P so: N = FN / AP = cos2 = F/A cos2 e (3.4) S = FS / AP = /2sen 2 = F/A sen cos A maneira como as intensidades de FN e N , e as de Fs e S variam com est mostrado na Fig. 1.2c e 1.2d, respectivamente. A comparao entre as equaes 3.1 e 3.4 mostra que os esforos no podem ser entendidos como se fossem foras, e que as mudanas nas reas de atuao tambm devem ser levadas em considerao. Onde os esforos principais so 1 e 2 , as equaes 7.4 se transformam em: N = (1 + 2) + (1 - 2)cos2 (3.5) S = ( 2 - 1) sen2 Outras expresses podem tambm ser deduzidas quando se considera a situao tridimensional, com 1 , 2 e 3 (Jaeger, 1969, pp. 5-20).

As equaes 3.5 levam construo do diagrama de Mohr, muito utilizado em experimentos de ruptura. (Figs. 2.16 Nicolas e 1.3 Hobbs ).

Fig. 2.16 (Nicolas) Diagrama de Mohr, mostrando somente o mais significante crculo (1 , 3 ).

O diagrama de Mohr representa o esforo normal (N ) no eixo das abcissas e o esforo cisalhante (S ) no eixo das ordenadas. O crculo do diagrama de Mohr pode



ser desenhado de vrias maneiras, com as coordenadas de seu centro variando em funo da simbologia que se utiliza para representar os diversos esforos. A Figura 1.3 (Hobbs) representa o diagrama de Mohr para esforos principais 1 e 2. Neste exemplo, o dimetro do crculo = 1 - 2 e o centro tem coordenadas [(1 +2)/2 , 0].

Figura 1.3 (Hobbs). Representao do Diagrama de Mohr. Podem ser encontradas as coordenadas, em termos de (N - S ) , para qualquer ponto do crculo, onde os valores de N e S so dados pela equao 3.5 e 2 o ngulo entre o eixo N e a linha PQ, sendo Q o centro do crculo e P o ponto considerado. O diagrama de Mohr permite se determinar os esforos normal e cisalhante que atuam sobre um plano qualquer, onde os esforos principais so 1 e 2 , ou encontrar 1 , 2 e , conhecendo-se N e S em dois planos ortogonais. Utilizando o diagrama de Mohr, possvel se calcular o esforo cisalhante correspondente ao ponto de ruptura de um material isotrpico, sob crescentes valores de presso confinante.



Uma curva de ruptura experimental pode ser definida, medindo a resistncia mxima do material sob diferentes estados de presso confinante. Esta linha chamada de envoltria de Mohr e representa os valores mximos de esforos cisalhantes suportados pr um material antes da ruptura (Fig. 3.4, Nicolas). A envoltria definida pelo chamado critrio de Coulomb, que se expressa por: C = C + C , onde C : resistncia do material C : cte, depende da coeso interna do material C : esforo normal exercido no momento da ruptura : coeficiente de frico interna Na Figura 3.4, C representa o valor mximo de esforo cisalhante que o material suportar sem se romper e representa a inclinao da curva de ruptura e chamado de ngulo de frico interna e tambm o complemento de 2 no diagrama de Mohr.

Figura 3.4 (Nicolas) . Condies crticas para ruptura mostradas pelo diagrama de Mohr.



3.9- Campo de esforos (stress field) Para cada ponto de um corpo rochoso existe um estado de esforo correspondente. As matrizes deste estado de esforo, conjuntamente e em determinado instante, so denominadas de campo de esforos. O mais simples estado de esforo que existe o de campo de esforo homogneo. Na natureza no acontece bem assim:

primeiro - as body forces (foras do prprio corpo) introduzem gradientes nos esforos ponto a ponto;

segundo - as diferenas mecnicas que as rochas apresentam

(cristais, leitos, descontinuidades, etc.) geram um campo no homogneo.

Normalmente o campo de esforo definido por uma srie de trajetrias. 3.10- Histria do esforo Trs tipos de histrias podem ser atribudas ao esforo: steady state, contnuo e descontnuo. steady state: situao na qual todos os componentes do tensor esforo so constantes em relao ao tempo. Ex: situaes de temperaturas suficientemente altas ou taxas de deformao (strain rate) suficientemente baixas para que os processos de recristalizao continuamente reconstituam a microestrutura de uma rocha. Nessas situaes as mudanas microestruturais so eliminadas pela recristalizao to rapidamente quanto as mesmas so introduzidas pela deformao. Isso evita que haja mudanas nas propriedades do material com o tempo e a deformao pode prosseguir indefinitivamente com a aplicao de um esforo constante. Esforo contnuo : associado mudanas graduais em um ou mais componentes do esforo. a situao mais comum na Geologia. Ex: dobras, foliaes, juntas, etc. Esforo descontnuo: associado mudanas abruptas nas condies do esforo. Caso dos terremotos.


CAP. 3 - ANLISE DO ESFORO Fig. 2.16 (Nicolas) Diagrama de Mohr, mostrando somente o mais significante

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