capÍtulo xii – anÁlise de pilares em balanÇo · foram analisados pilares com o índice de...
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CAPÍTULO XII – ANÁLISE DE PILARES EM BALANÇO
Análise de Pilares em Balanço
XII - 1
12. Análise de Pilares em Balanço
12.1. Geração de exemplos de pilares para análise
Para finalizar este trabalho serão gerados exemplos de pilares em balanço e
biapoiados para comparação dos métodos de cálculo utilizando “integração
numérica com desacoplamento das solicitações de flexão e rigidez secante” e
“integração numérica considerando a flexão oblíqua composta sem desacoplamento,
com as curvaturas obtidas das superfícies do diagrama momento-curvatura”. Os
pilares biapoiados são analisados no capítulo 13.
O objetivo é comprovar a possibilidade de se calcular os efeitos de segunda ordem
em pilares solicitados à flexão oblíqua composta como se se tratasse de duas
flexões normais compostas independentes, ou seja, considerando os efeitos das
duas flexões desacoplados. Depois de encontrados os efeitos de 1ª e 2ª ordem em
cada direção independentemente deve-se considerar a ação conjunta de NSd,
MSxd,total e MSyd,total para verificar a condição de segurança de norma no Estado Limite
Último em cada seção do pilar, por exemplo, através de ábacos νd - µxd - µyd.
A finalidade de se fazer assim é que para a flexão normal composta já existem
ábacos de iteração que fornecem para determinadas distribuições de armadura em
seções retangulares, as rigidezes em função da força normal solicitante e da taxa
mecânica de armadura. Para flexão oblíqua não. Ainda, para o cálculo dos efeitos de
2ª ordem com a utilização de computadores o tempo de processamento na flexão
normal composta é muito menor. Se esse desacoplamento pode ser feito se ganha
em praticidade.
Os milhares de exemplos processados pelo programa de computador desenvolvido
ao longo deste trabalho, permitem uma análise e conclusão segura de que se pode
proceder ao desacoplamento com segurança e sem prejudicar demasiadamente a
economia.
Foram gerados exemplos de pilares em balanço com a sistemática indicada abaixo.
Os pilares de seção retangular têm dimensões da seção transversal hx e hy com hx ≥
hy.
À dimensão hy foi atribuído o valor 19 cm.
À dimensão hx atribuiu-se valores que variam de um mínimo a um máximo sendo
Análise de Pilares em Balanço
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hx,mín = 25 cm
hx,máx = 5.hy
e ∆hx = (hx,máx - hx,mín) / 3 (12.1)
O comprimento de flambagem (Le) e o próprio comprimento (L) do pilar são
calculados pelo programa em função do índice de esbeltez (λ), que é fornecido como
dado, por:
46,3
. ye
hL
λ= (12.2)
L = 0,5.Le (12.3)
Foram analisados pilares com o índice de esbeltez assumindo os valores 65, 75, 90
e 115.
A distribuição da armadura dentro da seção transversal foi considerada composta de
4 barras associadas aos vértices, nx barras distribuídas nas faces de comprimento hx
e ny barras distribuídas nas faces de comprimento hy. A quantidade mínima
associada a um lado é definida pelo programa de modo a respeitar um espaçamento
máximo de centro a centro de barras de 40 cm. A quantidade máxima é definida pelo
programa de modo a respeitar um espaçamento mínimo entre faces de barras de 2,5
cm. Além das quantidades mínima e máxima foi considerada uma quantidade média
entre a mínima e a máxima.
Foram considerados cobrimentos da armadura de 2,5 cm e 3,5 cm.
As forças normais consideradas são funções da força normal resistente no Estado
Limite Último (E.L.U.) do pilar em compressão centrada, dada por:
NRd = 0,85.fcd.Ac + σs,2%o.As (12.4)
As forças normais consideradas para pilares com índice de esbeltez 65, 75 e 90 são:
NSd,min = 0,4.NRd
NSd,méd = 0,6.NRd
NSd,máx = 0,8.NRd (12.5)
Para pilares com índice de esbeltez igual 115 foram consideradas
NSd,min = 0,1.NRd
NSd,máx = 0,3.NRd (12.6)
Quando o índice de esbeltez é maior que 90, considera-se o fator de fluência ϕeq =
1,5, com o diagrama tensão deformação do concreto deslocado do fator (1+ ϕeq)
conforme explicado no capítulo 3 item 3.4.4.
Análise de Pilares em Balanço
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A inclinação do eixo de solicitação θ, é considerada variando de θmín = 15° à θmáx =
75° com incrementos ∆θ = 15°.
Para cada força normal solicitante , NSd, e inclinação, θ, considerados, o programa
calcula os momentos resistentes (MRxd e MRyd) do estado limite último. As
solicitações de flexão são consideradas para a seção da base do pilar em balanço
com três níveis de solicitação, NS = 0,2; 0,5 e 0,8, assim, se tem para cada direção
principal de inércia
MBd,min = 0,2. MRd
MBd,méd = 0,5. MRd
MBd,máx = 0,8. MRd (12.7)
As cargas no topo do pilar são:
Força normal: NSd
Momentos aplicados: MTxd e MTyd
Forças horizontais: HTxd e HTyd
Os momentos aplicados no topo assumem os valores:
MTd,min = 0
MTd,méd = 0,5.MBd
MTd,máx = 1,0.MBd (12.8)
As forças horizontais no topo são
L
MMH TdBd
T
−= (12.9)
Resumindo, fez-se:
λ = 65, 75, 90 e 115
hx = 25 a 5.hy com ∆hx= (5.hy -25) / 3
nx = nx,mín a nx,máx com ∆nx = (nx,máx – nx,mín) / 2
ny = ny,mín a ny,máx com ∆ny = (ny,máx – ny,mín) / 2
c = 2,5 e 3,5 (cobrimento da armadura)
NSd = 0,4.Nud a 0,8.Nud com ∆NSd = 0,2.Nud se λ ≤ 90
NSd = 0,1.Nud a 0,3.Nud com ∆NSd = 0,2.Nud se λ > 90
θ = 15° a 75° com ∆θ = 15°
Nível de solicitação: [NS]= 0,2 a 0,8 com ∆[NS] = 0,3
MSBxd = [NS].Muxd
MSByd = [NS].Muyd
Análise de Pilares em Balanço
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MSTxd = 0 a +1,0.MSBxd com ∆MSTxd = 0,5. MSBxd
MSTyd = 0 a +1,0.MSByd com ∆MSTyd = 0,5. MSByd
.....
Novo MSTyd
Novo MSTxd
Novo Nível de solicitação [NS]
Novo θ
Novo NSd
Novo cobrimento
Novo ny
Novo nx
Novo hx
Novo λ
Um pilar em balanço é mostrado na figura 12.1, onde estão representadas as
cargas, os diagramas de momentos fletores solicitantes de 1ª ordem e a
discretização do pilar para a integração numérica.
Figura 12.1 – Pilar em balanço. MBxd e MByd são as reações momentos na base. MTxd e MTyd são momentos aplicados no topo. HTxd e HTyd são forças horizontais aplicadas no topo
X
Y
MBxd MByd
MTyd MTxd
L
Nd
MBxd MByd
MTxd MTyd
zi X
Y
HTxd HTyd
X
Y
L
zi
Base =1
2
3
4
5
6
Topo =7
a) Carregamento b) Diagramas de momentos fletores c) Discretização do pilar
Análise de Pilares em Balanço
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Dada uma força normal Nd e a inclinação do eixo de solicitação θ, o programa
calcula os correspondentes momentos resistentes do E.L.U. MRxd e MRyd.
Dado um nível de solicitação (NS) são calculados os momentos de 1ª ordem a
serem considerados na base do pilar:
MBxd = NS.MRxd
MByd = NS.MRyd (12.10)
Dadas as relações (MT/MB)x e (MT/MB)y, são calculados os momentos solicitantes de
1ª ordem no topo do pilar:
MTxd = (MT/MB)x.MBxd
MTyd = (MT/MB)y.MByd (12.11)
e as forças horizontais
L
MMH TxdBxd
Txd
−=
L
MMH TydByd
Tyd
−= (12.12)
Os momentos solicitantes de 1ª ordem em uma seção qualquer de ordenada zi são
dados por:
MSxd,i = MTxd + HTxd.(L – zi)
MSyd,i = MTyd + HTyd.(L – zi) (12.13)
A inclinação θ dada é valida somente para a seção da base do pilar. Ao longo da
altura ela varia com as diferentes relações (MT/MB)x e (MT/MB)y, já que as duas
relações muitas vezes têm valores diferentes.
Dada a força normal Nd, para cada par de momentos solicitantes MSxd,i e MSyd,i são
calculadas as curvaturas, 1/rx e 1/ry, correspondentes.
No processo com rigidez secante essas curvaturas são calculadas por:
xx
iSxd
x EIM
r sec,
,
)(1
=
yy
iSyd
y EI
M
r sec,
,
)(1
= (12.14)
No segundo processo, as curvaturas são determinadas para cada seção através das
relações momento-curvatura como foi exposto no item 8.2. Esse segundo processo,
mais preciso que o primeiro, requer uma quantidade de trabalho muito maior.
Análise de Pilares em Balanço
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Embora esse trabalho de cálculo seja feito pelo computador, o tempo de
processamento é muito maior.
12.2. Processos utilizados para o cálculo dos esforços solicitantes totais
Os resultados que o programa fornece para análise são referentes às solicitações
totais (1ª ordem + 2ª ordem) na seção mais solicitada.
Cada pilar é resolvido por dois processos de determinação dos efeitos de 2ª ordem,
quais sejam:
a) Processo com desacoplamento (índice d)
O primeiro processo considera a integração numérica como meio de se obter os
efeitos de 2ª ordem (deslocamentos e momentos fletores). As curvaturas em cada
seção são obtidas com a consideração da rigidez secante, constante para todas as
seções e todas as iterações. A rigidez secante é determinada para a flexão normal
composta em cada direção independentemente.
( ) );(33
sec,f
Rxd
f
Sdxxx
MNfEI
γγ=
( ) );(33
sec,f
Ryd
f
Sdyyy
MNfEI
γγ= (12.15)
Essa consideração das rigidezes secantes determinadas independentemente para
cada direção principal de inércia foi chamada de “desacoplamento das flexões”. As
curvaturas então, são obtidas dividindo-se o momento fletor solicitante minorados
pelo fa tor γf3 = 1,1,em cada seção, pela rigidez secante. Ou seja:
xx
f
iSxd
ix EI
M
r sec,
3
,
, )(1 γ
=
yy
f
iSyd
iy EI
M
r sec,
3
,
, )(1 γ
=
(12.16)
A rotação em cada seção é obtida integrando-se as curvaturas desde a seção da
base do pilar até a seção em consideração.
Análise de Pilares em Balanço
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O deslocamento em cada seção é obtido integrando-se as rotações desde a seção
da base do pilar até a seção em consideração.
Para os pilares biapoiados, depois de realizadas as duas integrações, são feitas
correções nas rotações e deslocamentos para restabelecer as condições de
contorno originais. Ou seja, foi dada uma rotação na linha elástica do pilar de modo
a anular o deslocamento da seção do topo.
As integrações das curvaturas e das rotações são feitas independentemente em
cada direção principal de inércia (“x” e “y”) como se se tratasse de duas flexões
normais compostas. Ao final, se analisa a condição de segurança de norma no
Estado Limite Último do pilar para a flexão oblíqua composta considerando atuando
simultaneamente as solicitações NSd, MSxd e MSyd.
Os efeitos de segunda ordem são calculados considerando os valores das
solicitações divididos por γf3 = 1,1 e a tensão máxima no concreto igual a σc,máx =
1,1.fcd em lugar do tradicional σc,máx = 0,85.fcd. Isto é, os deslocamentos e momentos
de 2ª ordem são calculados para as solicitações de primeira ordem:
3
*
f
Sdd
NN
γ= (12.17)
e 3
*1
f
Sxdxd
MM
γ= (12.18)
para a flexão normal composta na direção x e
3
*
f
Sdd
NN
γ= (12.19)
e 3
*1
f
Sydyd
MM
γ= (12.20)
para a flexão normal composta na direção y.
Ao final cada seção tem sua segurança analisada no estado limite último para a
solicitação de flexão oblíqua composta dada por:
*3. dfd NN γ= (12.21)
*3, . xdffinalxd MM γ= (12.22)
Análise de Pilares em Balanço
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e *3, . ydffinalyd MM γ= (12.23)
A segurança do pilar é analisada pela relação entre o momento total solicitante em
determinada seção
( ) ( )2,
2,, finalydfinalxdfinalSd MMM += (12.24)
pelo momento resistente do estado limite último
( ) ( )22RydRxdRd MMM += (12.25)
este último também determinado para a força normal Nd=NSd.
A condição de segurança do pilar é:
0,1, ≤
dRd
finalSd
M
M (12.26)
O índice “d” foi colocado na expressão (12.26) para fazer referência ao
desacoplamento das flexões
b) Processo com acoplamento das flexões (índice a)
O segundo processo considera também a integração numérica como meio de se
obter os efeitos de 2ª ordem (deslocamentos e momentos fletores). As curvaturas
em cada seção são obtidas com a consideração simultânea das duas flexões
(direções x e y) e portanto, considerando sempre a solicitação de flexão oblíqua
composta sem o desacoplamento feito no primeiro processo. Neste caso as
curvaturas na direção x foram influenciadas pela solicitação de flexão atuante na
direção y e vice-versa. Ou seja:
),,(1
333 f
yd
f
xd
f
dx
x
MMNf
r γγγ=
(12.27)
),,(1
333 f
yd
f
xd
f
dy
y
MMNf
r γγγ=
(12.28)
A diferença entre os dois processos está justamente na determinação dessas
curvaturas em cada seção.
Análise de Pilares em Balanço
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A rotação em cada seção é obtida integrando-se as curvaturas desde a seção da
base do pilar até a seção em consideração, como no processo com
desacoplamento.
O deslocamento em cada seção é obtido integrando-se as rotações desde a seção
da base do pilar até a seção em consideração, como no processo com
desacoplamento.
Para os pilares biapoiados são feitas as mesmas correções citadas no processo com
desacoplamento.
As integrações das curvaturas e das rotações são feitas independentemente em
cada direção principal de inércia (“x” e “y”) como se se tratasse de duas flexões
normais compostas.
Ao final, cada seção tem sua segurança analisada no estado limite último para a
solicitação de flexão oblíqua composta dada por:
Sddfd NNN == *3.γ (12.29)
*3, . xdffinalxd MM γ= (12.30)
e *3, . ydffinalyd MM γ= (12.31)
A segurança do pilar foi analisada pela relação entre o momento total solicitante em
determinada seção
( ) ( )2,
2,, finalydfinalxdfinalSd MMM += (12.32)
pelo momento resistente do estado limite último
( ) ( )22RydRxdRd MMM += (12.33)
este último também determinado para a força normal Nd=NSd e mesma inclinação do
eixo de solicitação θ. Essa inclinação θ define a proporção entre as flexões nas
direções x e y e é dado por
=
finalyd
finalxd
M
Mtgarc
,
,.θ (12.34)
A condição de segurança do pila r é:
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0,1, ≤
aRd
finalSd
M
M (12.35)
O índice “a” foi colocado na expressão (12.35) para fazer referência ao processo
com acoplamento das flexões.
É de se destacar que o processo com acoplamento das flexões, é mais exato. O
outro é uma aproximação.
O processo com desacoplamento só merece confiança quanto à segurança se
fornecer um coeficiente de segurança maior ou igual ao processo com acoplamento.
Para cada processo de cálculo são obtidas as relações:
aprocessodRd
Sd
totalresistenteMomentototaltesoliciMomento
MM
−
−−−−
=
tan (12.36)
bprocessoaRd
Sd
totalresistenteMomentototaltessoliciMomento
MM
−
−−−−
=
tan (12.37)
onde
22SydSxdSd MMM += (12.38)
22RydRxdRd MMM += (12.39)
Para o processo com desacoplamento a condição de segurança é dada por:
0,1<
dRd
Sd
MM
(12.40)
Para o processo com acoplamento a condição de segurança é dada por:
0,1<
aRd
Sd
MM
(12.41)
O objetivo deste trabalho resultará da análise dos resultados dos milhares de pilares
resolvidos e analisados tendo em vista o gráfico da figura 12.3.
Além dos valores de (MSd/MRd)d e (MSd/MRd)a o programa forneceu a região do gráfico
da figura 12.3 onde está o ponto P, de coordenadas:
≡
dRd
Sd
aRd
SdM
MM
MP ; (12.42)
12.3. Argumentação para a análise dos resultados
12.3.1 Condição de segurança para uma seção transversal de pilar
Análise de Pilares em Balanço
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Na figura 12.2 está representado esquematicamente um diagrama Nd-Mxd-Myd. Ali
estão indicados os módulos dos momentos: M1d = OA = solicitante de 1ª ordem,
Mtotal,d = OB = solicitante total (1ª ordem + 2ª ordem) e MRd = OC = momento
resistente do estado limite último.
Figura 12.2: Diagrama Nd-Mxd-My d esquemático.
OA = módulo do momento solicitante de 1ª ordem de cálculo. OB = módulo do momento solicitante total de cálculo (1ª
ordem + 2ª ordem). OC = módulo do momento resistente de cálculo no E.L.U.
A segurança de uma seção solicitada conforme a figura 12.2 é qua lificada pela
relação dos segmentos OC e OB. Isto é:
OBOC
MM
osolicitaçãdaSegurançaSd
Rd ==..
Quanto mais o ponto B se aproxima da curva do estado limite último menor é a
segurança da seção.
12.3.2 Interpretação do gráfico da figura 12.3:
Os resultados, obtidos para todos os pilares-exemplo através de cada processo, são
analisados por meio de gráficos relacionando as relações
Rd
totalSdM
M , do
processo com desacoplamento e do processo com acoplamento , conforme a figura
12.3. São determinadas as coordenadas dos pontos
≡
dRd
Sd
aRd
SdM
MM
MP ;
Mxd
Myd
O MRxx
MRyy
A
B
C Curva do Estado Limite Último
θ
Análise de Pilares em Balanço
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para cada pilar. Com essas coordenadas identifica-se em que região do gráfico da
figura 12.3 o ponto P se localiza.
Figura 12.3 – Gráfico (MSd/Mud)d – (MSd/Mud)a
Região A1: Nessa região estão os pontos P dos pilares para os quais a segurança
indicada pelo processo sem desacoplamento, mais exato, é menor que
a indicada pelo processo com desacoplamento. Entretanto, os dois
processos indicam que o pilar tem segurança, ou seja
aRd
totalSd
dRd
totalSd
MM
MM
≤
,,
0,1, ≤
dRd
totalSd
M
M → MSd,total ≤ MRd → segurança maior que a real
0,1, ≤
aRd
totalSd
M
M → MSd,total ≤ MRd → segurança real
Portanto, neste caso, é indiferente a utilização do “processo com
desacoplamento” ou do “processo com acoplamento”. Com qualquer um
se chega à mesma conclusão quanto à segurança do pilar, ou seja, com
ambos de atende as condições de segurança das normas. Entretanto, a
segurança indicada pelo processo com desacoplamento é exagerada,
maior que a indicada pelo processo com acoplamento das flexões (real).
Esta região é desaconselhada mas possível.
1,0
1,0
aud
SdM
M
A1
A2
C D
B
0
dud
SdM
M
Reta s
Análise de Pilares em Balanço
XII - 13
Região A2: Nessa região estão os pontos P dos pilares para os quais a segurança
indicada pelo processo com acoplamento, mais exato, é maior que a
indicada pelo processo com desacoplamento. Entretanto, os dois
processos indicam que o pilar tem segurança, ou seja
aRd
ftotalSd
dRd
totalSd
MM
MM
≥
,,
0,1, ≤
dRd
totalSd
M
M → MSd,total ≤ MRd → segurança
0,1, ≤
aRd
totalSd
M
M → MSd,total ≤ MRd → segurança
Portanto, neste caso também é indiferente a utilização do “processo com
desacoplamento” ou do “processo com acoplamento”. Com qualquer um
se chega à mesma conclusão quanto ao pilar ter segurança de norma.
Esta é a região mais desejada para se obter resultados, já que, aqui
existe uma folga de segurança em relação ao processo mais exato. O
pilar tem mais segurança que o processo com desacoplamento indica.
Região B: Nessa região estão os pontos P dos pilares para os quais se tem MSd,final
> MRd pelo “processo sem desacoplamento”, mais exato, enquanto que,
pelo “processo com desacoplamento”, menos exato, se tem MSd,final < MRd
dud
totalSd
aud
totalSd
M
M
M
M
≥
,,
0,1, >
aRd
finalSd
M
M → MSd,total > MRd → falta de segurança
0,1, ≤
dRd
finalSd
M
M → MSd,total ≤ MRd → segurança aparente mas não real
Neste caso a utilização do processo com desacoplamento daria uma
conclusão errônea de segurança para o pilar, o que seria perigoso.
Esta é uma região indesejável para se obter resultados nesta análise.
Análise de Pilares em Balanço
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Região C: Nessa região estão os pontos P dos pilares para os quais se tem MSd,final >
MRd pelo “processo com desacoplamento”, menos exato, enquanto que,
pelo “processo sem desacoplamento”, mais exato, se tem MSd,final < MRd
dRd
finalSd
aRd
finalSd
M
M
M
M
<
,,
0,1, <
aRd
finalSd
M
M → MSd,final < MRd → segurança
0,1, >
dRd
finalSd
M
M → MSd,final > MRd → insegurança
Neste caso a utilização do processo com desacoplamento daria uma
falsa conclusão de falta de segurança para o pilar. Levaria a descartar um
projeto de pilar que pelo processo mais exato poderia ser aproveitado.
Mas isso ficaria a favor da segurança embora contra a economia.
Esta é uma região preferível em relação à região B. Já que aqui o pilar
teria mais segurança que a indicada pelo cálculo.
Região D: Nessa região estão os pontos P dos pilares para os quais se tem MSd,total >
MRd pelos dois processos.
dRd
totalSd
aRd
totalSd
M
M
M
M
<
,, ou
dRd
totalSd
aRd
totalSd
M
M
M
M
>
,,
0,1, >
aRd
finalSd
M
M → MSd,total > MRd → falta de segurança
0,1, >
dRd
finalSd
M
M → MSd,total > MRd → falta de segurança
Neste caso é indiferente a utilização de um ou outro processo, já que, os
dois dariam a mesma informação de que o projeto do pilar deve ser
rejeitado.
Análise de Pilares em Balanço
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A região mais desejada para se obter resultados nesta análise é a região A2. Em
segundo lugar a região C.
A mais indesejada é a região B.
Os resultados obtidos na região D podem ser descartados para uma análise
estatística dos resultados obtidos, já que. é indiferente o emprego de um ou outro
processo.
12.4. Resultados obtidos do processamento
Foram resolvidos 215.740 pilares pelos dois processos descritos no item anterior. As
quantidades de resultados encontrados em cada região do gráfico da figura 12.3
foram: Tabela 12.1: Quantidades de resultados encontrados em cada região do gráfico da figura 12.2.
λ = 65 λ = 75 λ = 90 λ = 115 λ = 115b Totais
Região A1 ------- ------- ------- ------- -------
Região A2 66.322 25.232 13.057 11.902 6.112 122.625 (56,84%)
Região B ------- ------- ------- ------- ------- -------
Região C 1.740 775 22.044 2.733 1.754 29.046 (13,46%)
Região D 3.218 18.948 25.511 15.378 1.014 64.069 (29,70%)
Totais 71.280 44.955 60.612 30.013 8.880 215.740
Observa-se o expressivo número de casos na região A2. O excessivo número de
resultados encontrados na região D se deve ao fato de se ter considerado em muitos
casos a força normal solicitante ou o momento de 1ª ordem, muito altos. Mesmo
assim, da análise dos demais resultados, observa-se o expressivo número de casos
na região A2, que fornece uma conclusão a favor da segurança. É de se destacar na
análise a ausência de resultados nas regiões A1 e B.
12.5. Ilustração de algumas situações envolvidas na análise
São mostrados a seguir alguns exemplos de situações envolvidas na análise feita.
Destaca-se que, como foi mostrado acima, o “Nível de Solicitação” se refere à
relação MBd/MRd,ELU para a seção da base do pilar, onde MBd é o momento solicitante
de primeira ordem e MRd,ELU é o momento resistente do E.L.U. da seção para
determinada força normal e determinada inclinação do eixo de solicitação. A
Análise de Pilares em Balanço
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inclinação θ, do eixo de solicitação, relaciona a proporção entre as flexões nas
direções x e y.
O exemplo 1 ilustra a seqüência utilizada para a obtenção dos resultados
quantificados na tabela 12.1.
Exemplo 1:
Determinação dos efeitos de segunda ordem de um pilar em balanço conforme a
figura 12.1, com a seqüência utilizada no processamento dos milhares de pilares que
forneceu os resultados analisados para se chegar à conclusão deste trabalho.
Dados considerados neste exemplo
Seção transversal retangular:
hy = 19 cm
hx = 48 cm
?y = 65 ? Le= 356,94 cm ? L = 178,47 cm
Armadura: 18 F 10 mm
As = 14,13 cm2 (ρ=1,55%)
nx = 6 e ny =1
c = 2,5 cm (cobrimento)
Solicitações: NSd = 0,6.NRd
Nível de solicitação NS = 0,5
(MT/MB)x = 0,5
(MT/MB)y = 0,5
? = 30 graus
Materiais:
Concreto: C20
fck = 20 MPa; ?c = 1,4; f = 0 (fluência)
Aço: CA 50 A
X
YX
hx=48
hy=19
MSBxd=0,5.MR xd
MSTxd=0,5.MSBxd
MSByd=0,5.MR yd
MSTyd=0,5.MSByd
Diagramas de momentos de 1ª ordem
Análise de Pilares em Balanço
XII - 17
fyk = 500 MPa; ?s = 1,15
s s,2%o = 420 MPa = 42 kN/cm2
Solução:
Força normal centrada resistente no E.L.U.
NRd = 0,85.fcd.hx.hy + As.s s,2%o
NRd = 0,85*(2,0/1,4)*48*19 + 14,13*42
NRd = 1.701 kN
Força normal solicitante:
NSd = 0,6*1701 = 1 .021 kN
Do programa se obteve para momentos resistentes do E.L.U., considerando a flexão
oblíqua composta, com θ = 30° (ver figura 12.4);
MRxd = 22,58 kN.m
MRyd = 39,20 kN.m
Os momentos solicitantes na base do pilar são:
MBxd = NS.MRxd = 0,5*22,58 = 11,29 kN.m
MByd = NS.MRyd = 0,5*39,20 = 19,60 kN.m
No topo do pilar os momentos solicitantes são:
MTxd = (MT/MB)x.MBxd = 0,5*11,29 = 5,65 kN.m
MTyd = (MT/MB)y.MByd = 0,5*19,60 = 9,80 kN.m
As forças horizontais a serem consideradas no topo são:
47,178565129.1 −
=−
=L
MMH TxdBxd
Txd HTxd = 3,16 kN
47,178980960.1 −
=−
=L
MMH TydByd
Tyd HTxd = 5,49 kN
Os momentos de 1ª ordem em uma seção genérica i, de ordenada zi (ver figura
12.1), são dados por:
MSxd,i = MTxd + HTxd.(L – zi)
Análise de Pilares em Balanço
XII - 18
MSyd,i = MTyd + HTyd.(L – zi)
MSxd,I = 11,29 + 3,16.zi
MSyd,I = 19,59 + 5,49.zi
Diagrama "Nd - Mxd - Myd"
-10,0
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Mxd (kN.m)
Myd
(kN
.m)
Figura 12.4 – Diagrama Nd-Mxd-My d para Nd = 1.021 kN. Obtenção dos
momentos MRxd e MRy d para θ = 30° e σc = 0,85.fcd.
a) Processo com desacoplamento
Momento resistente do E.L.U. para flexão normal composta na direção x, com NSd =
1.021 kN, do diagrama da figura 12.4:
θ = 90° → MRxx = 101,35 kN.m
Momento último para flexão normal composta na direção y, com NSd = 1.021 kN, do
diagrama da figura 12.4:
θ = 0° → MRyy = 41,47 kN.m
Rigidez secante da seção, para flexão normal composta na direção x:
kNNf
Sd 18,9281,11021
3==γ
cmkNmkNMf
Rxx .6,213.9.136,921,135,101
3===γ
MR xd=22,58
MR yd=39,20
θ=30°
Análise de Pilares em Balanço
XII - 19
413
3sec, 10
1004017,0.6,9213
)/1(.)( −
−−=== x
cmxcmkN
r
M
tgEIx
f
Rxx
xx
γβ (ver figura 12.5)
(EI)sec,xx = 22.936,90 kN.m2
Mxd - 1/rx
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0,0000 0,0200 0,0400 0,0600 0,0800 0,1000 0,1200
1/rx (%o)
Mxd
(kN
.m)
GamaF3=1,0
GamaF3=1,1
Reta MRd/GamaF3
Rigidez secante
Figura 12.5 – Diagrama momento-curvatura para a direção x.
Obtenção da rigidez secante.
Rigidez secante da seção, para flexão normal composta na direção y:
kNNf
Sd 18,9281,11021
3==γ
cmkNmkNM
f
Ryy .770.3.700,371,147,41
3===γ
413
3sec, 10.
1010228,0.3770
)/1(.)( −
−−===cmx
cmkNr
M
tgEIy
f
Ryy
yy
γβ (ver figura 12.6)
(EI)sec,yy = 3.686,01 kN.m2
Essas rigidezes são utilizadas para determinação das curvaturas no processo com
desacoplamento das flexões. As curvaturas são obtidas dos momentos fletores
solicitantes em cada seção por:
xx
iSxd
ix EIM
r sec,
,
, )(1
=
Muxx/γf3=92,14
β 1/rx=0,04017%o
Análise de Pilares em Balanço
XII - 20
yy
iSyd
iy EI
M
r sec,
,
, )(1
=
Myd - 1/ry
0
10
20
30
40
50
60
70
0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000
1/ry (%o)
Myd
(kN
.m)
GamaF3=1.0
GamaF3=1.1
Reta MRd/GamaF3
Rigidez Secante
Figura 12.6 – Diagrama momento-curvatura para a direção y.
Obtenção da rigidez secante.
Na tabela 12.1 estão os momentos de 1ª ordem e as curvaturas, rotações e
deslocamentos da 1ª iteração.
É de se destacar que nas tabelas 12.2 e 12.3 as rigidezes secantes (EI)sec,xx e
(EI)sec,yy têm sempre o mesmo valor.
Tabela 12.2: Momentos de 1ª ordem divididos por γf 3 = 1,1 e curvaturas, rotações e deslocamentos da 1ª iteração.
Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)sec,xx (EI)sec,xx CurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)(kN.cm) (kN.cm) (kN.cm2) (kN.cm2) (1/cm) (1/cm) (rad) (rad) (cm) (cm)
Iteração: 17 513,27 890,86 2,29E+08 3,69E+07 2,24E-06 2,42E-05 0,00060 0,00646 0,059 0,6386 598,82 1039,34 2,29E+08 3,69E+07 2,61E-06 2,82E-05 0,00053 0,00568 0,042 0,4585 684,37 1187,81 2,29E+08 3,69E+07 2,99E-06 3,22E-05 0,00044 0,00479 0,028 0,3024 769,91 1336,29 2,29E+08 3,69E+07 3,36E-06 3,63E-05 0,00035 0,00377 0,016 0,1753 855,46 1484,77 2,29E+08 3,69E+07 3,74E-06 4,03E-05 0,00024 0,00263 0,007 0,0802 941,00 1633,24 2,29E+08 3,69E+07 4,11E-06 4,43E-05 0,00013 0,00138 0,002 0,0201 1026,55 1781,72 2,29E+08 3,69E+07 4,48E-06 4,83E-05 0,00000 0,00000 0,000 0,000
Tabela 12.3: Momentos divididos por γf 3 = 1,1, curvaturas, rotações e deslocamentos das iterações seguintes.
Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)sec,xx (EI)sec,xx CurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)(kN.cm) (kN.cm) (kN.cm2) (kN.cm2) (1/cm) (1/cm) (rad) (rad) (cm) (cm)
Iteração: 27 513,27 890,86 2,29E+08 3,69E+07 2,24E-06 2,42E-05 0,00063 0,00831 0,062 0,8456 614,35 1206,82 2,29E+08 3,69E+07 2,68E-06 3,27E-05 0,00055 0,00747 0,045 0,6115 713,28 1499,68 2,29E+08 3,69E+07 3,11E-06 4,07E-05 0,00047 0,00638 0,030 0,4054 809,77 1766,14 2,29E+08 3,69E+07 3,54E-06 4,79E-05 0,00037 0,00506 0,017 0,2353 903,50 2002,90 2,29E+08 3,69E+07 3,94E-06 5,43E-05 0,00026 0,00354 0,008 0,1072 994,17 2206,66 2,29E+08 3,69E+07 4,34E-06 5,99E-05 0,00013 0,00185 0,002 0,0271 1081,48 2374,11 2,29E+08 3,69E+07 4,72E-06 6,44E-05 0,00000 0,00000 0,000 0,000
Muyy/γf3=37,70
β
1/rx=0,10228%o
MRyy
Análise de Pilares em Balanço
XII - 21
Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)sec,xx (EI)sec,xx CurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)(kN.cm) (kN.cm) (kN.cm2) (kN.cm2) (1/cm) (1/cm) (rad) (rad) (cm) (cm)
Iteração: 37 513,27 890,86 2,29E+08 3,69E+07 2,24E-06 2,42E-05 0,00063 0,00890 0,062 0,9126 615,10 1256,95 2,29E+08 3,69E+07 2,69E-06 3,41E-05 0,00056 0,00804 0,045 0,6605 714,73 1596,34 2,29E+08 3,69E+07 3,12E-06 4,33E-05 0,00047 0,00689 0,030 0,4384 811,80 1902,54 2,29E+08 3,69E+07 3,54E-06 5,16E-05 0,00037 0,00548 0,017 0,2553 905,99 2169,65 2,29E+08 3,69E+07 3,96E-06 5,89E-05 0,00026 0,00384 0,008 0,1162 996,94 2392,43 2,29E+08 3,69E+07 4,35E-06 6,49E-05 0,00013 0,00200 0,002 0,0301 1084,34 2566,36 2,29E+08 3,69E+07 4,73E-06 6,96E-05 0,00000 0,00000 0,000 0,000
Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)sec,xx (EI)sec,xx CurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)(kN.cm) (kN.cm) (kN.cm2) (kN.cm2) (1/cm) (1/cm) (rad) (rad) (cm) (cm)
Iteração: 47 513,27 890,86 2,29E+08 3,69E+07 2,24E-06 2,42E-05 0,00063 0,00909 0,062 0,9336 615,14 1272,94 2,29E+08 3,69E+07 2,69E-06 3,45E-05 0,00056 0,00822 0,045 0,6765 714,80 1627,22 2,29E+08 3,69E+07 3,12E-06 4,41E-05 0,00047 0,00705 0,030 0,4494 811,91 1946,21 2,29E+08 3,69E+07 3,55E-06 5,28E-05 0,00037 0,00561 0,017 0,2613 906,12 2223,12 2,29E+08 3,69E+07 3,96E-06 6,03E-05 0,00026 0,00393 0,008 0,1192 997,09 2452,06 2,29E+08 3,69E+07 4,35E-06 6,65E-05 0,00014 0,00205 0,002 0,0301 1084,49 2628,09 2,29E+08 3,69E+07 4,74E-06 7,13E-05 0,00000 0,00000 0,000 0,000
Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)sec,xx (EI)sec,xx CurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)(kN.cm) (kN.cm) (kN.cm2) (kN.cm2) (1/cm) (1/cm) (rad) (rad) (cm) (cm)
Iteração: 57 513,27 890,86 2,29E+08 3,69E+07 2,24E-06 2,42E-05 0,00063 0,00915 0,062 0,9406 615,14 1278,06 2,29E+08 3,69E+07 2,69E-06 3,47E-05 0,00056 0,00828 0,045 0,6815 714,80 1637,12 2,29E+08 3,69E+07 3,12E-06 4,44E-05 0,00047 0,00710 0,030 0,4534 811,91 1960,20 2,29E+08 3,69E+07 3,55E-06 5,32E-05 0,00037 0,00565 0,017 0,2633 906,12 2240,27 2,29E+08 3,69E+07 3,96E-06 6,08E-05 0,00026 0,00396 0,008 0,1202 997,09 2471,18 2,29E+08 3,69E+07 4,35E-06 6,70E-05 0,00014 0,00206 0,002 0,0311 1084,50 2647,89 2,29E+08 3,69E+07 4,74E-06 7,18E-05 0,00000 0,00000 0,000 0,000
Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)sec,xx (EI)sec,xx CurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)(kN.cm) (kN.cm) (kN.cm2) (kN.cm2) (1/cm) (1/cm) (rad) (rad) (cm) (cm)
Iteração: 67 513,27 890,86 2,29E+08 3,69E+07 2,24E-06 2,42E-05 0,00063 0,00917 0,062 0,9426 615,14 1279,70 2,29E+08 3,69E+07 2,69E-06 3,47E-05 0,00056 0,00830 0,045 0,6835 714,80 1640,29 2,29E+08 3,69E+07 3,12E-06 4,45E-05 0,00047 0,00712 0,030 0,4544 811,91 1964,69 2,29E+08 3,69E+07 3,55E-06 5,33E-05 0,00037 0,00567 0,017 0,2643 906,12 2245,76 2,29E+08 3,69E+07 3,96E-06 6,09E-05 0,00026 0,00397 0,008 0,1202 997,09 2477,31 2,29E+08 3,69E+07 4,35E-06 6,72E-05 0,00014 0,00207 0,002 0,0311 1084,50 2654,23 2,29E+08 3,69E+07 4,74E-06 7,20E-05 0,00000 0,00000 0,000 0,000
Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)sec,xx (EI)sec,xx CurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)(kN.cm) (kN.cm) (kN.cm2) (kN.cm2) (1/cm) (1/cm) (rad) (rad) (cm) (cm)
Iteração: 77 513,27 890,86 2,29E+08 3,69E+07 2,24E-06 2,42E-05 0,00063 0,00918 0,062 0,9436 615,14 1280,23 2,29E+08 3,69E+07 2,69E-06 3,47E-05 0,00056 0,00830 0,045 0,6835 714,80 1641,31 2,29E+08 3,69E+07 3,12E-06 4,45E-05 0,00047 0,00713 0,030 0,4544 811,91 1966,13 2,29E+08 3,69E+07 3,55E-06 5,33E-05 0,00037 0,00567 0,017 0,2643 906,12 2247,52 2,29E+08 3,69E+07 3,96E-06 6,10E-05 0,00026 0,00397 0,008 0,1212 997,09 2479,28 2,29E+08 3,69E+07 4,35E-06 6,73E-05 0,00014 0,00207 0,002 0,0311 1084,50 2656,27 2,29E+08 3,69E+07 4,74E-06 7,21E-05 0,00000 0,00000 0,000 0,000
Análise de Pilares em Balanço
XII - 22
Linha Elástica
1
2
3
4
5
6
7
-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
ay (cm)
Seç
ões
Figura 12.7 – Linha elástica do pilar com a consideração do
desacoplamento. Deslocamentos na direção y.
A seção com maior deslocamento é a seção do topo.
A seção mais solicitada é a da base, onde os momentos finais (1ª ordem mais 2ª
ordem) são
MSxd = 1,1 x 1.084,50 = 1.193 kN.cm
MSyd = 1,1 x 2.656,27 = 2.922 kN.cm
cmkNM Sd .156.3922.2193.1 22 =+=
°== 21,22922.2193.1
.tgarcθ
Para esse valor de θ e NSd = 1021 kN, os momentos resistentes no E.L.U.são
MRxd = 1.653 kN.cm
MRyd = 4.018 kN.cm
cmkNM Rd .345.4018.4653.1 22 =+=
Portanto
Análise de Pilares em Balanço
XII - 23
727,0345.4158.3
==
dRd
Sd
MM
(com desacoplamento)
b) Processo sem desacoplamento
A determinação das curvaturas é feita considerando a ação simultânea das flexões
nas direções x e y. Essas curvaturas são obtidas do gráfico da figura 12.8 (ver item
8.2).
Cada par de momentos solicitantes (MSxd; MSyd) define uma direção do eixo de
solicitação )(.Syd
SxdM
Mtgarc=θ . Para esse θ encontra-se o ponto D do diagrama da
figura 12.8. As coordenadas desse ponto são os momentos resistente no estado
limite último, divididos por γf3 = 1,1, ou seja,
≡
33
;f
uyd
f
uxdMM
Dγγ
. A esses momentos
correspondem as curvaturas ( )θxELUr ,
1 e ( )θyELUr ,
1 .
0
10
20
30
40
50
60
0 25 50 75 100 125 150
Mxd (kN.m)
Myd
(kN
.m)
E.L.U.
Kcurv=0.9
Kcurv=0.8
Kcurv=0.7
Kcurv=0.6
Kcurv=0.5
Kcurv=0.4
Kcurv=0.3
Kcurv=0.2
Kcurv=0.1
Alfa=0
Alfa=10
Alfa=20
Alfa=30
Alfa=40
Alfa=50
Alfa=60
Alfa=70
Alfa=80
Alfa=90
Figura 12.8 – Diagrama “Nd – My d – Mxd – a – Kcurv”, para Nd = NSd/γf 3 = 928,18 kN e σc = 1,1.fcd
D
θ
C
Kcurv
MSyd
MSxd
Análise de Pilares em Balanço
XII - 24
As curvaturas para o par de momentos solicitantes são obtidas de
( )θ
θxELUi
iSxd
ix rKcurv
M
r,
,
, 1.)(
1=
( )θ
θyELUi
iSyd
iy rKcurv
M
r,
,
, 1.)(
1=
Na tabela 12.3 estão os resultados obtidos considerando a flexão oblíqua composta.
É de se destacar que as rigidezes são variáveis e determinadas para cada par de
valores (MSxd, MSyd). Na determinação das curvaturas é onde se tem o maior
trabalho ou o maior tempo de processamento. As rigidezes são obtidas de
( ) ( )ix
ixdix
r
MEI
,
,, 1
θ
θ =
( ) ( )iy
iydiy
r
MEI
,
,, 1
θ
θ =
Tabela 12.3: Processo b – Rigidez pontual. Momentos divididos por γf 3 = 1,1.
Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)xθ (EI)yθ CurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)(kN.cm) (kN.cm) (kN.cm2) (kN.cm2) (1/cm) (1/cm) (rad) (rad) (cm) (cm)
Iteração: 17 513,27 890,86 1,01E+07 2,15E+06 2,03E-06 2,17E-05 0,00054 0,00583 0,054 0,5766 598,82 1039,34 1,16E+07 2,48E+06 2,37E-06 2,54E-05 0,00048 0,00513 0,039 0,4145 684,37 1187,81 1,35E+07 2,88E+06 2,71E-06 2,90E-05 0,00040 0,00432 0,025 0,2734 769,91 1336,29 1,52E+07 3,25E+06 3,05E-06 3,27E-05 0,00032 0,00341 0,015 0,1583 855,46 1484,77 1,69E+07 3,62E+06 3,40E-06 3,64E-05 0,00022 0,00238 0,007 0,0722 941,00 1633,24 1,86E+07 3,99E+06 3,74E-06 4,01E-05 0,00012 0,00124 0,002 0,0181 1026,55 1781,72 2,04E+07 4,36E+06 4,09E-06 4,38E-05 0,00000 0,00000 0,000 0,000
Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)xθ (EI)yθ CurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)(kN.cm) (kN.cm) (kN.cm2) (kN.cm2) (1/cm) (1/cm) (rad) (rad) (cm) (cm)
Iteração: 27 513,27 890,86 1,01E+07 2,15E+06 2,03E-06 2,17E-05 0,00057 0,00737 0,057 0,7496 612,93 1190,47 1,29E+07 2,81E+06 2,42E-06 2,91E-05 0,00050 0,00662 0,041 0,5425 710,65 1469,28 1,56E+07 3,42E+06 2,82E-06 3,60E-05 0,00042 0,00565 0,027 0,3594 806,14 1724,31 1,82E+07 4,00E+06 3,20E-06 4,24E-05 0,00033 0,00449 0,016 0,2093 899,14 1952,57 2,05E+07 4,53E+06 3,58E-06 4,81E-05 0,00023 0,00314 0,007 0,0952 989,35 2151,02 2,27E+07 5,01E+06 3,95E-06 5,31E-05 0,00012 0,00164 0,002 0,0241 1076,50 2316,66 2,46E+07 5,43E+06 4,30E-06 5,73E-05 0,00000 0,00000 0,000 0,000
Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)xθ (EI)yθ CurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)(kN.cm) (kN.cm) (kN.cm2) (kN.cm2) (1/cm) (1/cm) (rad) (rad) (cm) (cm)
Iteração: 37 513,27 890,86 1,01E+07 2,15E+06 2,03E-06 2,17E-05 0,00057 0,00783 0,057 0,8026 613,58 1232,25 1,32E+07 2,88E+06 2,43E-06 3,01E-05 0,00050 0,00706 0,041 0,5805 711,90 1549,88 1,62E+07 3,57E+06 2,82E-06 3,80E-05 0,00043 0,00605 0,027 0,3854 807,92 1838,14 1,90E+07 4,22E+06 3,21E-06 4,52E-05 0,00034 0,00481 0,016 0,2243 901,31 2091,81 2,14E+07 4,78E+06 3,59E-06 5,16E-05 0,00024 0,00338 0,007 0,1022 991,78 2306,24 2,38E+07 5,31E+06 3,96E-06 5,71E-05 0,00012 0,00176 0,002 0,0261 1079,01 2477,33 2,58E+07 5,75E+06 4,32E-06 6,15E-05 0,00000 0,00000 0,000 0,000
Análise de Pilares em Balanço
XII - 25
Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)xθ (EI)yθ CurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)(kN.cm) (kN.cm) (kN.cm2) (kN.cm2) (1/cm) (1/cm) (rad) (rad) (cm) (cm)
Iteração: 47 513,27 890,86 1,01E+07 2,15E+06 2,03E-06 2,17E-05 0,00057 0,00797 0,057 0,8186 613,63 1244,72 1,33E+07 2,91E+06 2,43E-06 3,04E-05 0,00050 0,00720 0,041 0,5925 711,99 1574,00 1,63E+07 3,62E+06 2,82E-06 3,86E-05 0,00043 0,00617 0,027 0,3934 808,04 1872,27 1,92E+07 4,28E+06 3,21E-06 4,61E-05 0,00034 0,00491 0,016 0,2293 901,47 2133,65 2,17E+07 4,83E+06 3,60E-06 5,28E-05 0,00024 0,00345 0,007 0,1052 991,95 2352,94 2,43E+07 5,41E+06 3,96E-06 5,82E-05 0,00012 0,00180 0,002 0,0271 1079,19 2525,69 2,63E+07 5,86E+06 4,33E-06 6,27E-05 0,00000 0,00000 0,000 0,000
Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)xθ (EI)yθ CurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)(kN.cm) (kN.cm) (kN.cm2) (kN.cm2) (1/cm) (1/cm) (rad) (rad) (cm) (cm)
Iteração: 57 513,27 890,86 1,01E+07 2,15E+06 2,03E-06 2,17E-05 0,00057 0,00802 0,057 0,8226 613,64 1248,54 1,33E+07 2,91E+06 2,43E-06 3,05E-05 0,00050 0,00724 0,041 0,5965 712,01 1581,38 1,64E+07 3,63E+06 2,82E-06 3,88E-05 0,00043 0,00621 0,027 0,3964 808,07 1882,74 1,93E+07 4,30E+06 3,21E-06 4,63E-05 0,00034 0,00495 0,016 0,2303 901,51 2146,50 2,17E+07 4,84E+06 3,60E-06 5,31E-05 0,00024 0,00347 0,007 0,1052 992,00 2367,27 2,44E+07 5,44E+06 3,96E-06 5,86E-05 0,00012 0,00181 0,002 0,0271 1079,24 2540,53 2,64E+07 5,89E+06 4,33E-06 6,31E-05 0,00000 0,00000 0,000 0,000
Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)xθ (EI)yθ CurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)(kN.cm) (kN.cm) (kN.cm2) (kN.cm2) (1/cm) (1/cm) (rad) (rad) (cm) (cm)
Iteração: 67 513,27 890,86 1,01E+07 2,15E+06 2,03E-06 2,17E-05 0,00057 0,00803 0,057 0,8246 613,64 1249,71 1,33E+07 2,91E+06 2,43E-06 3,06E-05 0,00050 0,00725 0,041 0,5975 712,02 1583,66 1,64E+07 3,64E+06 2,82E-06 3,89E-05 0,00043 0,00622 0,027 0,3974 808,08 1885,96 1,93E+07 4,31E+06 3,21E-06 4,64E-05 0,00034 0,00496 0,016 0,2313 901,52 2150,45 2,17E+07 4,85E+06 3,60E-06 5,32E-05 0,00024 0,00348 0,007 0,1052 992,01 2371,68 2,44E+07 5,45E+06 3,96E-06 5,87E-05 0,00012 0,00181 0,002 0,0271 1079,25 2545,09 2,65E+07 5,90E+06 4,33E-06 6,32E-05 0,00000 0,00000 0,000 0,000
Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)xθ (EI)yθ CurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J)(kN.cm) (kN.cm) (kN.cm2) (kN.cm2) (1/cm) (1/cm) (rad) (rad) (cm) (cm)
Iteração: 77 513,27 890,86 1,01E+07 2,15E+06 2,03E-06 2,17E-05 0,00057 0,00803 0,057 0,8246 613,64 1250,07 1,33E+07 2,92E+06 2,43E-06 3,06E-05 0,00050 0,00726 0,041 0,5975 712,02 1584,36 1,64E+07 3,64E+06 2,82E-06 3,89E-05 0,00043 0,00623 0,027 0,3974 808,09 1886,95 1,93E+07 4,31E+06 3,21E-06 4,64E-05 0,00034 0,00496 0,016 0,2313 901,52 2151,67 2,17E+07 4,85E+06 3,60E-06 5,33E-05 0,00024 0,00348 0,007 0,1062 992,01 2373,04 2,44E+07 5,45E+06 3,96E-06 5,88E-05 0,00012 0,00181 0,002 0,0271 1079,26 2546,50 2,65E+07 5,90E+06 4,33E-06 6,33E-05 0,00000 0,00000 0,000 0,000
Linha Elástica
1
2
3
4
5
6
7
-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
ay (cm)
Seç
ões
Figura 12.9: Linha elástica do pilar sem a consideração do
desacoplamento.
Análise de Pilares em Balanço
XII - 26
A figura 12.9 mostra os deslocamentos na direção y.
Na figura 12.10 é mostrado o diagrama momento-curvatura para a direção y
considerando diversos valores do momento na direção x, além da reta que
representa a rigidez secante.
Daquela figura observa-se que todas as curvas são superiores à reta da rigidez
secante. De modo que se tem sempre as curvaturas obtidas das curvas, menores
que as obtidas com a reta da rigidez secante. O que justifica terem resultado
menores os deslocamentos e conseqüentemente os momentos fletores com o
processo sem desacoplamento que considera as curvaturas obtidas das curvas
momento-curvatura.
A seção mais solicitada é a da base do pilar. Os momentos finais (1ª ordem mais 2ª
ordem) são
MSxd = 1,1 x 1.079,26 = 1.187 kN.cm
MSyd = 1,1 x 2.546,50 = 2.801 kN.cm
cmkNM Sd .042.3801.2187.1 22 =+=
°== 966,22801.2187.1
.tgarcθ
Para esse valor de θ e NSd = 1021 kN, os momentos resistentes do E.L.U. são
MRxd = 1.706 kN.cm
MRyd = 4.012 kN.cm
cmkNM Rd .360.4012.4706.1 22 =+=
Portanto
698,0360.4042.3
==
aRd
Sd
MM
(sem desacoplamento)
Análise de Pilares em Balanço
XII - 27
Momento Curvatura - Nd=1021 kN
0
10
20
30
40
50
60
70
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
1/ry (1/1000cm)
My
(kN
.m)
GamaF3=1,0Mx=0Mx=5,50 kN.mMx=7,15 kN.mMx=8,80 kN.mMx=10,45 kN.mMx=12,1 kN.mMRyd/Gamaf3Rigidez secante
Figura 12.10 – Diagrama momento curvatura para Nd = 1.021kN.
Na figura 12.11 o ponto P tem as coordenadas:
[ ]727,0;698,0; =
≡
dRd
Sd
aRd
Sd
MM
MM
P
que corresponde à região A2.
Figura 12.11 – Gráfico (MSd/MRd)d – (MSd/MRd)a. Localização do ponto P para o exemplo 1.
Os resultados obtidos estão destacados abaixo. A seção mais solicitada é a seção
da base. O processo com desacoplamento fornece resultados pouco maiores, a
favor da segurança.
1,0 1,05
1,0
aRd
SdM
M
A1
A2
C D
B1 B2
0
Reta s 0,727
0,698
P
dRd
SdM
M
Análise de Pilares em Balanço
XII - 28
Processo com desacoplamento
Processo sem desacoplamento
ax (cm) 0,062 0,057 ay (cm) 0,943 0,824
Mxd,total (kN.m) 10,85*1,1=11,94 10,79*1,1 = 11,87 Myd,total (kN.m) 26,56*1,1=29,22 25,47*1,1 = 28,02
Para os dois processos os momentos fletores da direção x variam entre 5,13kN.m e
10,85 kN.m.
Na figura 12.10 as curvas correspondentes aos valores utilizados de Mxd
praticamente se sobrepõem. Na figura 12.12, esquemática, destaca-se o ponto de
intersecção de uma curva com a reta que define a rigidez secante – ponto A.
Figura 12.12 – Diagrama momento-curvatura esquemático.
No trecho OA a rigidez secante é menor que a obtida da curva OAB. No thecho AB a rigidez
secante é maior que a obtida da curva OAB.
Exemplo 2:
Seção próxima da quadrada, com armadura somente nos quatro cantos e índice de
esbeltez baixo .
Concreto: C20, γc = 1,4; ϕ = 0 (fluência)
Aço: CA-50; γc = 1,15
Seção retangular: hx = 25 cm e hy = 19 cm
Armadura: 4 φ 10 mm; c= 2,5 cm; As = 3,14 cm2; ρ = 0,66%.
Pilar: λ = 65 → Le = 356,94 cm
L = 0,5.Le = 178,47 cm
Força normal centrada resistente do E.L.U.:
NRd = 0,85x(2,0/1,4)x25x19 + 3,14x42 = 708,67 kN
Força normal solicitante:
A B
Mxd>0
Mxd=0
1/ry
My
Muyd/γf3
Muyd,A
(1/ry)A O
Reta da rigidez secante
Análise de Pilares em Balanço
XII - 29
NSd,mín = 0,4.NRd = 283,466 kN
NSd,méd = 0,6.NRd = 425,200 kN
NSd,máx = 0,8.NRd = 566,933 kN
A inclinação θ, do eixo de solicitação, foi feita variando de 15 a 75 graus com ∆θ =
15 graus.
Níveis de solicitação (flexão): NS = 0,2 – 0,5 – 0,8;
Ou seja para a seção da base: MSd,mín = 0,2.MRd
MSd,méd = 0,5.MRd
MSd,máx = 0,8.MRd
Sendo MRd o momento resistente do E.L.U. correspondente à força normal
solicitante e à inclinação θ considerados.
Para a determinação dos momentos solicitantes no topo, considerou-se:
A figura 12.13 mostra os pontos
≡
dRd
Sd
aRd
SdM
MM
MP ; obtidos para as
diversas solicitações.
As curvas da figura 12.14 foram obtidas com
Nd = NSd/γf3 = 283,466/1,1 = 257,70 kN
e σc = 1,1.fcd em lugar de σc = 0,85.fcd.
A rigidez secante, para a seção deste exemplo, é (da figura 12.9):
2413sec, .52,110210.
101746,0.1925
)( mkNcmx
cmkNEI yy == −
−−
A curvatura que corresponde à intersecção da curva para Mxd = 21 kN.m com a reta
da rigidez secante é
1/ry = 0,1052%o cm-1 = 0,01052 m-1
MT = 0
MB
MT=0,5.MB
MB
MT = 1,0.MB
MB
0=
mínB
TM
M 5,0=
médB
TM
M 0,1=
máxB
TM
M
Nd
MT
HT
Análise de Pilares em Balanço
XII - 30
Seção 25x19 - 4 fi 10 mm
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
(MSd/MRd)a
(MS
d/M
Rd)
d
Figura 12.13 – Exemplo 2. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a. Localização
do ponto P. Número de pontos = 405.
Momento-Curvatura - Nd=283,466 kN
0
5
10
15
20
25
30
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
1/ry (1000/cm)
MS
yd (
kN.m
)
Mx=0,0
Mx=3,5
Mx=7,0
Mx=10,5Mx=14,0
Mx=17,5
Mx=21,0
MRd/GamaF3
Rig Sec
Figura 12.14 – Exemplo 2. Diagrama momento-curvatura para Nd =
0,4.Nud e γf 3 = 1,1. Para θ = 0° se tem Muy d = 21,27 kN.m.
Nível de solicitação = 0,8 135 pontos
Nível de solicitação = 0,5 135 pontos
Nível de solicitação = 0,2 135 pontos
MRyd /Gamaf3=19,25
Mxd/γf3 = 21,00/1,1=19,09 kN.m Myd/γf3 = 11,60 kN.m
11,60
0,1052 0,1746
A2
A1 B
C
D
Análise de Pilares em Balanço
XII - 31
O momento correspondente vale
Myd = (EI)sec,yy.(1/ry)
Myd = 1102,52 x 0,01052 = 11,60 kN.m (ver figura 12.14)
Esse momento deve ser corrigido pelo fator γf3 = 1,1
MSyd = 11,60 x 1,1 = 12,76 kN.m
Para esse par de momentos (MSxd = 21 kN.m; MSyd = 12,76 kN.m) se tem
θ = arc.tg (21,00/12,76) = 58,72°.
Para NSd=283,466 kN
e θ = 58,72°
resultam MRxd = 18,68 kN.m
e MRyd = 11,33 kN.m.
Para essa situação se tem um nível de solicitação
124,133,1176,12
===Ryd
Syd
M
MNS
Tendo em vista o gráfico da figura 12.13, conclui-se que para esse nível de solicita-
ção o ponto
≡
dRd
Sd
aRd
SdM
MM
MP ; certamente estará na região D.
Raciocínio idêntico se pode fazer para os outros pontos de intersecção das curvas
da figura 12.14 com a reta que define a rigidez secante. A tabela 12.4 resume esse
cálculo. Desse modo, os trechos úteis das curvas da figura 12.14 são os que estão
acima da reta que define a rigidez secante. Curvas superiores implicam em maiores
rigidezes. Portanto, a rigidez secante é sempre inferior às rigidezes que se obtém
considerando as curvas do diagrama momento-curvatura. E onde isso não acontece
os dois processos indicarão falta de segurança do pilar. Assim, fica entendido por
que os deslocamentos, e conseqüentemente os momentos fletores, obtidos com o
processo da rigidez secante são maiores que os obtidos com as curvas momento-
curvatura.
A figura 12.13 mostra que utilizar a rigidez secante da flexão normal composta para
o cálculo dos efeitos de 2ª ordem fica a favor da segurança e a figura 12.14 e a
tabela 12.4 mostram o porque.
A análise deste exemplo e tendo em vista ainda, os exemplos mostrados a seguir e
os milhares de pilares processados, confirmam o objetivo deste trabalho.
Análise de Pilares em Balanço
XII - 32
Tabela 12.4: Exemplo 2. Nível de solicitação (NS) para os pontos de cruzamento das curvas com a reta da rigidez secante da figura 12.14.
Mx = 0,00 3,50 7,00 10,50 14,00 17,50 21,001/ry = 1,744E-01 1,726E-01 1,681E-01 1,605E-01 1,488E-01 1,321E-01 1,052E-01My = 21,14 20,92 20,38 19,46 18,04 16,02 12,75
Teta = 0,00 9,50 18,93 28,35 37,84 47,54 58,79MRxd = 0,00 3,37 6,43 9,34 12,19 15,13 18,70MRyd = 21,14 20,15 18,76 17,30 15,69 13,84 11,33
NS = 1,000 1,038 1,087 1,125 1,149 1,157 1,124
Exemplo 3:
Seção com relação hx/hy = 2,54, com uma quantidade média de armadura e índice
de esbeltez baixo.
Concreto: C20, γc = 1,4; ϕ = 0 (fluência)
Aço: CA-50; γc = 1,15
Seção retangular: hx = 48,33 cm e hy = 19 cm
Armadura: 16 φ 10 mm; nx = 6; ny = 0; As = 12,56 cm2
c= 2,5 cm; ρ = 1,368%.
Pilar: λ = 65 → Le = 356,94 cm
L = 0,5.Le = 178,47 cm
Força normal centrada resistente do E.L.U.:
NRd = 0,85x(2,0/1,4)x48,33x19 + 12,56x42 = 1.642,56 kN
Força normal solicitante:
NSd,mín = 0,4.NRd = 657,02 kN
NSd,méd = 0,6.NRd = 985,54 kN
NSd,máx = 0,8.NRd = 1.314,05 kN
A inclinação θ, foi feita variando de 15 a 75 graus com ∆θ = 15 graus.
Níveis de solicitação (flexão): NS = 0,2 – 0,5 – 0,8;
Ou seja para a seção da base foi feito: MSd,mín = 0,2.MRd
MSd,méd = 0,5.MRd
MSd,máx = 0,8.MRd
Sendo MRd o momento resistente do E.L.U. correspondente à força normal
solicitante e à inclinação θ considerados.
Análise de Pilares em Balanço
XII - 33
Para a determinação dos momentos solicitantes no topo, considerou-se:
As figuras 12.15 a 12.18 mostram os pontos
≡
dRd
Sd
aRd
SdM
MM
MP ; obtidos
para as diversas solicitações.
Seção 48,33x19 - 16 fi 10 mm
0
0,5
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
(MSd/MRd)a
(MS
d/M
Rd
)d
Figura 12.15 – Exemplo 3. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a. Localização
do ponto. Número de pontos = 405.
Nível de solicitação = 0,2 135 pontos
Nível de solicitação = 0,5 135 pontos
Nível de solicitação = 0,8. 135 pontos
MT = 0
MB
MT=0,5.MB
MB
MT = 1,0.MB
MB
0=
mínB
TM
M 5,0=
médB
TM
M 0,1=
máxB
TM
M
Nd
MT
HT
A2
A1
Análise de Pilares em Balanço
XII - 34
Teta = 15 graus
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
(MSd/MRd)a
(MS
d/M
Rd)
d
Figura 12.16 – Exemplo 3. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a. Localização do ponto P, com θ = 15 graus.
Teta = 45 graus
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
(MSd/MRd)a
(MS
d/M
Rd)
d
Figura 12.17 – Exemplo 3. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a. Localização
do ponto P com θ = 45 graus.
A2
A1
A2
A1
Análise de Pilares em Balanço
XII - 35
Teta = 75 graus
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
(MSd/MRd)a
(MS
d/M
Rd
)d
Figura 12.18 – Exemplo 3. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a. Localização
do ponto P com θ = 75 graus.
Momento-Curvatura - Nd=283,466 kN
0
10
20
30
40
50
60
70
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3
1/ry (1000/cm)
MS
yd (
kN.m
)
Mx=0,0Mx=12,5
Mx=25,0Mx=37,5Mx=50,0Mx=62,5
Mx=75,0MRd/GamaF3Rig Sec
Figura 12.19 – Exemplo 3. Diagrama momento-curvatura para Nd = 0,6.Nud
e γf 3 = 1,1.
Tabela 12.5 – Exemplo 3.Nível de solicitação (NS) para os pontos de cruzamento das curvas com a reta da rigidez secante da figura 12.19.
Mx = 0,00 3,50 7,00 10,50 14,00 17,50 21,001/ry = 1,744E-01 1,726E-01 1,681E-01 1,605E-01 1,488E-01 1,321E-01 1,052E-01My = 21,14 20,92 20,38 19,46 18,04 16,02 12,75
Teta = 0,00 9,50 18,93 28,35 37,84 47,54 58,79MRxd = 0,00 3,37 6,43 9,34 12,19 15,13 18,70MRyd = 21,14 20,15 18,76 17,30 15,69 13,84 11,33
NS = 1,000 1,038 1,087 1,125 1,149 1,157 1,124
A1
A2
Análise de Pilares em Balanço
XII - 36
Os pontos das curvas momento-curvatura abaixo da reta da rigidez secante
correspondem a níveis de solicitação acima de 1,0. Para esses níveis de solicitação
se obtém pontos
≡
dRd
Sd
aRd
SdM
MM
MP ; nas região C ou D como pode ser
observado na figura 12.15. Portanto, de novo se conclui que utilizar a rigidez secante
da flexão normal composta para obtenção dos efeitos de 2ª ordem sempre fica a
favor da segurança.
Na figura 12.15 se pode observar que quando se aumenta o nível de solicitação
(NS=MSd/MRd) os pontos P se deslocam em direção à região D dos gráficos
(MSd/MRd)d-(MSd/MRd)a.
Exemplo 4:
Seção com relação hx/hy = 5, quantidade alta de armadura e índice de esbeltez
baixo.
Concreto: C25, γc = 1,4; ϕ = 0 (fluência)
Aço: CA-50; γc = 1,15
Seção retangular: hx = 95 cm e hy = 19 cm
Armadura: 46 φ 16 mm; nx = 20; ny = 1
c= 3,5 cm; ρ = 5,35%.
Pilar: λ = 75 → Le = 411,85 cm
L = 205,92 cm
Força normal centrada resistente do E.L.U.:
NRd = 0,85x(2,5/1,4)x95x19 + 92x42 = 6.603,73 kN
Força normal solicitante:
NSd,mín = 0,4.NRd = 2.641,49 kN
NSd,méd = 0,6.NRd = 3.962,24 kN
NSd,máx = 0,8.NRd = 5.282,99 kN
A inclinação θ foi feita variando de 15 a 75 graus com ∆θ = 15 graus.
Níveis de solicitação (flexão): NS = 0,2 – 0,5 – 0,8;
Ou seja para a seção da base foi feito: MSd,mín = 0,2.MRd
MSd,méd = 0,5.MRd
Análise de Pilares em Balanço
XII - 37
MSd,máx = 0,8.MRd
Sendo MRd o momento resistente do E.L.U. correspondente à força normal
solicitante e à inclinação θ considerados.
Para a determinação dos momentos solicitantes no topo, considerou-se:
As figuras 12.20 a 12.23 mostram os pontos
≡
dRd
Sd
aRd
SdM
MM
MP ; obtidos
para as diversas solicitações.
Seção 95x19 - 46 fi 16 mm
0
0,5
1
1,5
2
0 0,5 1 1,5 2
(MSd/MRd)a
(MS
d/M
Rd
)d
Figura 12.20 – Exemplo 4. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a. Localização dos
pontos P.
Nas figuras 12.21, 12.22 e 12.23 são mostrados os pontos P para força normal
solicitante igual a 0,4NRd, 0,6NRd e 0,8NRd respectivamente.
C
A2
A B
D
MT = 0
MB
MT=0,5.MB
MB
MT = 1,0.MB
MB
0=
mínB
TM
M 5,0=
médB
TM
M 0,1=
máxB
TM
M
Nd
MT
HT
Análise de Pilares em Balanço
XII - 38
Nd = 0,4.Nud = 2431 kN
0
0,5
1
1,5
2
0 0,5 1 1,5 2
(MSd/MRd)a
(MS
d/M
Rd
)d
Figura 12.21 – Exemplo 4. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a para Nd = 0,4.Nud.
Nd = 0,6.Nud = 3646 kN
0
0,5
1
1,5
2
0 0,5 1 1,5 2
(MSd/MRd)a
(MS
d/M
Rd)
a
Figura 12.22 – Exemplo 4. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a para Nd = 0,6.NRd.
A1 B
A2
C
D
Nível de solicitação = 0,2
Nível de solicitação = 0,5
Nível de solicitação = 0,8
Nivel de solicitação = 0,2
Nivel de solicitação = 0,5
Nivel de solicitação = 0,8
A2
A1
C D
B
Análise de Pilares em Balanço
XII - 39
Nd = 0,8.Nud = 4.861 kN
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
(MSd/MRd)a
(MS
d/M
Rd
)a
Figura 12.23 – Exemplo 4. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a para Nd = 0,8.NRd.
Para a força normal solicitante NSd = 0,6.Nud = 3646 kN na flexão normal composta
na direção x se tem para momento fletor resistente do E.L.U. MRxd = 694 kN.m. A
figura12.24 apresenta o diagrama momento-curvatura para valores de MSxd
compatíveis com esse limite e a tabela 12.6 mostra os valores dos níveis de
solicitação (NS) correspondentes aos pontos de intersecção das curvas para os
diversos Mxd com a reta que define a rigidez secante.
Momento-Curvatura - Nd=3646 kN
02040
6080
100120140
160180200
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
1/ry (1000/cm)
MS
yd (
kN.m
)
Mx=0,0
Mx=75,0
Mx=150,0
Mx=225,0Mx=300,0
Mx=375,0
Mx=450,0
MRd/GamaF3
Rig Sec
Figura 12.24 – Exemplo 4. Diagrama momento-curvatura para Nd = 0,6.Nud
e γf 3 = 1,1. Para θ = 0° se tem Muyd = 135,46 kN.m.
Análise de Pilares em Balanço
XII - 40
Tabela 12.6: Exemplo 4.Nível de solicitação (NS) para os pontos de cruzamento
das curvas com a reta da rigidez secante da figura 12.24. Mx (kN.m)= 0,00 75,00 150,00 225,00 300,00 375,00 450,00
1/ry = 1,320E-01 1,317E-01 1,278E-01 1,212E-01 1,117E-01 9,912E-02 8,206E-02My = 134,42 134,16 130,17 123,46 113,76 100,94 83,57
Teta = 0,00 29,24 49,08 61,29 69,28 74,99 79,50Muxd = 0,00 74,97 146,42 214,91 283,66 355,46 432,80Muyd = 135,42 133,94 126,92 117,69 107,28 95,31 80,25
NS = 1,000 1,001 1,025 1,047 1,058 1,055 1,040
Todos os níveis de solicitação da tabela 12.6 resultaram acima de 1,0. As figuras
12.20 a 12.23 mostram que para níveis de solicitação acima desse valor os pontos P
caem na região D onde, como já foi mostrado, é indiferente o uso dos processo com
ou sem desacoplamento. Portanto, o fato das curvas correspondentes a Mxd = 75 a
450 kN.m possuírem um trecho abaixo da reta da rigidez secante não contradiz a
tese aqui defendida. Ou seja, este exemplo também confirma a tese de que o
desacoplamento das flexões, no cálculo dos efeitos de 2ª ordem com a rigidez
secante é possível e a favor da segurança.
Como a parte útil das curvas do diagrama momento-curvatura é superior à reta da
rigidez secante os pontos P sempre estarão acima da reta s da figura 12.2 ou na
região D.
Exemplo 5:
Seção próxima da quadrada, com armadura somente nos quatro cantos e índice de
esbeltez médio.
Concreto: C20, γc = 1,4; ϕ = 0 (fluência)
Aço: CA-50; γc = 1,15
Seção retangular: hx = 25 cm e hy = 19 cm
Armadura: 4 φ 10 mm; c= 2,5 cm; ρ = 0,66%.
Pilar: λ = 90 → Le = 494,22 cm
L = 247,11 cm
Força normal centrata resistente do E.L.U.:
NRd = 0,85x(2/1,4)x25x19 + 3,14x42 = 708,67 kN
Força normal solicitante:
NSd,mín = 0,4.NRd = 283,47 kN
NSd,méd = 0,6.NRd = 425,20 kN
Análise de Pilares em Balanço
XII - 41
NSd,máx = 0,8.NRd = 566,93 kN
A inclinação θ, do eixo de solicitação, foi feita variando de 15 a 75 graus com ∆θ =
15 graus.
Níveis de solicitação (flexão): NS = 0,2 – 0,5 – 0,8;
Ou seja para a seção da base foi feito: MSd,mín = 0,2.MRd
MSd,méd = 0,5.MRd
MSd,máx = 0,8.MRd
Sendo MRd o momento último correspondente à força normal solicitante e à
inclinação θ considerados.
Para a determinação dos momentos solicitantes no topo, considerou-se:
A figura 12.25 mostra os pontos
≡
dRd
Sd
aRd
SdM
MM
MP ; obtidos para as
diversas solicitações.
Seção 25x19 - 4 fi 10 mm
0
0,5
1
1,5
2
0 0,5 1 1,5 2
(MSd/MRd)a
(MS
d/M
Rd
)d
Figura 12.25 – Exemplo 5. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a. Localização dos pontos P.
MT = 0
MB
MT=0,5.MB
MB
MT = 1,0.MB
MB
0=
mínB
TM
M 5,0=
médB
TM
M 0,1=
máxB
TM
M
Nd
MT
HT
A2
A1
D C
B2
NS = 0,5 NS = 0,8
NS = 0,2
Análise de Pilares em Balanço
XII - 42
Momento-Curvatura - Nd=3646 kN
0
5
10
15
20
25
30
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
1/ry (1000/cm)
MS
yd (
kN.m
)Mx=0,0Mx=3,5
Mx=7,0Mx=10,5
Mx=14,0Mx=17,5
Mx=21,0MRd/GamaF3
Rig Sec
Figura 12.26 – Exemplo 5. Diagrama momento-curvatura para Nd = 0,4.Nud e γf 3 = 1,1. Para θ = 0° se tem Muyd = 21,17 kN.m.
Tabela 12.7 – Exemplo 5.Nível de solicitação (NS) para os pontos de cruzamento das curvas com a reta da rigidez secante da figura 12.26.
Mx (kN.m)= 0,00 3,50 7,00 10,50 14,00 17,50 21,001/ry = 1,744E-01 1,726E-01 1,681E-01 1,605E-01 1,488E-01 1,321E-01 1,052E-01My = 21,14 20,92 20,38 19,46 18,04 16,02 12,75
Teta = 0,00 9,50 18,93 28,35 37,84 47,54 58,79MRxd = 0,00 3,37 6,43 9,34 12,19 15,13 18,70MRyd = 21,14 20,15 18,76 17,30 15,69 13,84 11,33
NS = 1,000 1,038 1,087 1,125 1,149 1,157 1,124
Exemplo 6:
Seção com relação hx/hy = 2,54, com uma quantidade média de armadura e índice
de esbeltez alto .
Concreto: C25, γc = 1,4; ϕ = 1,5 (fluência)
Aço: CA-50; γc = 1,15
Seção retangular: hx = 48,33 cm e hy = 19 cm
Armadura: 16 φ 10 mm; nx = 6; ny = 0; As = 12,56 cm2
c= 2,5 cm; ρ = 1,368%.
Pilar: λ = 115 → Le = 631,50 cm
L = 315,75 cm
A consideração da fluência do concreto foi feita de acordo com o item 3.4.4. deste
trabalho e o coeficiente de fluência adotado neste exemplo foi ϕ = 1,5. Assim, a
tensão no concreto para deformação de 2%o é
Análise de Pilares em Balanço
XII - 43
])0,2)5,11(
0,21(1[)4,1/5,2(85,0 2
xxxc +
−−=σ
σc = 0,971 kN/cm2
Força normal centrada resistente do E.L.U.:
NRd = hx.hy.σc + As.σs2%o
NRd = 48,33x19x0,971+ 12,56x42
NRd = 1.419,16 kN
Força normal solicitante:
NSd,mín = 0,1.NRd = 141,92 kN
NSd,máx = 0,3.NRd = 425,75 kN
A inclinação θ, foi feita variando de 15 a 75 graus com ∆θ = 15 graus.
Níveis de solicitação (flexão): NS = 0,1 – 0,3.
Ou seja, para a seção da base foi feito:
MSd,mín = 0,1.MRd
MSd,máx = 0,3.MRd
Sendo MRd o momento resistente do E.L.U. correspondente à força normal
solicitante e à inclinação θ considerados.
Para a determinação dos momentos solicitantes no topo, considerou-se:
Para esbeltez λ = 115, as ações sobre o pilar têm que ser menores que as
consideradas nos exemplos anteriores, já que, com aquelas ações os pilares aqui se
mostram sempre instáveis, com os pontos P caindo na região D da figura 12.27.
Para se obter pontos nas regiões A1, A2, B ou C foram consideradas ações
relativamente menores que nos exemplos anteriores.
MB
MT=0,4.MB
MB
1,0=
mínB
TM
M 4,0=
médB
TM
M
Nd
MT
HT
MT=0,1.MB
Análise de Pilares em Balanço
XII - 44
A figura 12.27 mostra os pontos
≡
dud
Sd
aud
SdM
MM
MP ; obtidos para as
diversas solicitações.
Seção 48,33x19 - 16 fi 10 mm
0
0,5
1
1,5
0 0,5 1 1,5
(MSd/MRd)a
(MS
d/M
Rd)
d
Figura 12.27 – Exemplo 9. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a. Localização
dos pontos P.
A figura 12.28 mostra o diagrama momento-curvatura para a direção y, para a força
normal solicitante Nd = 425,75 kN e diversos valores para Mxd.
Momento-Curvatura - Nd=425,75 kN
0
10
20
30
40
50
60
70
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
1/ry (1000/cm)
MS
yd (k
N.m
)
Mx=0,0 Mx=15,0 Mx=30,0Mx=45,0 Mx=60,0 Mx=75,0Mx=90,0 MRd/GamaF3 Rig Sec
Figura 12.28 – Exemplo 6. Diagrama momento-curvatura para Nd = 0,4.NRd
e γf 3 = 1,1.
A1
A2
C1
B
D
Análise de Pilares em Balanço
XII - 45
Na tabela 12.8 estão mostrados os níveis de solicitação correspondentes aos pontos
de intersecção das curvas da figura 12.28 com a reta da rigidez secante. Mais uma
vez fica evidente que os pilares só poderão estar solicitados por momentos que
correspondam a pontos das curvas da figura 12.28 entre a origem (Mxd = 0; Myd=0)
e os pontos de cruzamento com a reta da rigidez secante. Além desse ponto com
certeza não, já que, para níveis de solicitação além daqueles da tabela 12.8 o pilar
se mostraria instável (pontos P na região D).
Tabela 12.8 – Exemplo 6. Nível de solicitação (NS) para os pontos de cruzamento
das curvas com a reta da rigidez secante da figura 12.28. Mx (kN.m)= 0,00 15,00 30,00 45,00 60,00 75,00 90,00
1/ry = 2,617E-01 2,599E-01 2,461E-01 2,277E-01 2,011E-01 1,674E-01 1,181E-01My = 57,80 57,40 54,36 50,30 44,41 36,97 26,08
Teta = 0,00 14,61 28,90 41,83 53,50 63,78 73,85MRxd = 0,00 13,71 26,06 37,57 49,49 62,38 78,45MRyd = 57,82 52,62 47,20 41,97 36,61 30,72 22,72
NS = 1,000 1,091 1,152 1,198 1,213 1,203 1,147
Da observação da figura 12.27 percebe-se que o coeficiente de segurança obtido
com o emprego do processo com desacoplamento é bem menor que o obtido com a
consideração das curvas do diagrama momento-curvatura. Dessa forma, para
pilares em balanço com índices de esbeltez superiores a 90, quando se passa a
considerar a fluência do concreto, é recomendada a utilização do processo mais
exato, com a consideração das curvas do diagrama momento -curvatura. Não por
questão de segurança mas por questão econômica, já que, para muitos pilares a
utilização da rigidez secante com desacoplamento levaria a conclusão do pilar não
ter segurança de norma (região C da figura 12.27), enquanto que, utilizando o
processo mais exato se concluiria que o pilar teria segurança satisfatória. Mas
utilizando o processo com desacoplamento das flexões se está a favor da
segurança.
Exemplo 7:
Seção com relação hx/hy = 5, com uma quantidade alta de armadura e índice de
esbeltez alto.
Concreto: C20, γc = 1,4; ϕ = 0 (fluência)
Aço: CA-50; γc = 1,15
Análise de Pilares em Balanço
XII - 46
Seção retangular: hx = 95 cm e hy = 19 cm
Armadura: 46 φ 16 mm; nx = 20; ny = 1; As = 92,0 cm2
c= 3,5 cm; ρ = 5,35%.
Pilar: λ = 115 → Le = 631,50 cm
L = 315,75 cm
A consideração da fluência do concreto foi feita de acordo com o item 3.4.4. deste
trabalho e o coeficiente de fluência adotado neste exemplo foi ϕ = 1,5. Assim, a
tensão no concreto para deformação de 2%o é
])0,2)5,11(
0,21(1[)4,1/5,2(85,0 2
xxxc +
−−=σ
σc = 0,971 kN/cm2
Força normal centrada resistente do E.L.U.:
NRd = 95x19x0,971+ 92,0x42
NRd = 5.617 kN
Força normal solicitante:
NSd,mín = 0,1.NRd = 562 kN
NSd,máx = 0,3.NRd = 1.685 kN
A inclinação θ, foi feita variando de 15 a 75 graus com ∆θ = 15 graus.
Níveis de solicitação (flexão): NS = 0,1 – 0,3.
Ou seja para a seção da base:
MSd,mín = 0,1.MRd
MSd,máx = 0,3.MRd
Sendo MRd o momento último correspondente à força normal solicitante e à
inclinação θ considerados.
Para a determinação dos momentos solicitantes no topo, considerou-se:
MB
MT=0,4.MB
MB
1,0=
mínB
TM
M 4,0=
médB
TM
M
Nd
MT
HT
MT=0,1.MB
Análise de Pilares em Balanço
XII - 47
A figura 12.26 mostra os pontos
≡
dRd
Sd
aRd
SdM
MM
MP ; obtidos para as
diversas solicitações.
Seção 95x19 - 46 fi 16 mm
0
0,5
1
1,5
2
0 0,5 1 1,5 2
(MSd/MRd)a
(MS
d/M
Rd
)d
Figura 12.29 – Exemplo 7. Gráfico (MSd/MR d)d – (MSd/MRd)a. Localização dos pontos P.
Momento-Curvatura - Nd=1685 kN
0
50
100
150
200
250
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40
1/ry (1000/cm)
MS
yd (
kN.m
)
Mx=0,0 Mx=100,0 Mx=200,0Mx=300,0 Mx=400,0 Mx=500,0Mx=600,0 MRd/GamaF3 Rig Sec
Figura 12.30 – Exemplo 10. Diagrama momento-curvatura para Nd =
0,6.Nud e γf 3 = 1,1.
Análise de Pilares em Balanço
XII - 48
Na tabela 12.9 estão mostrados os níveis de solicitação correspondentes aos pontos
de intersecção das curvas da figura 12.30 com a reta da rigidez secante. Mais uma
vez fica evidente que os pilares só poderão estar solicitados por momentos que
correspondam a pontos das curvas da figura 12.30 entre a origem (Mxd = 0; Myd=0)
e os pontos de cruzamento com a reta da rigidez secante. Além desses pontos com
certeza não, já que, para níveis de solicitação além daqueles da tabela 12.9 o pilar
se mostraria instável (pontos P nas regiões C ou D).
Tabela 12.9 – Exemplo 7. Nível de solicitação (NS) para os pontos de cruzamento
das curvas com a reta da rigidez secante da figura 12.30. Mx (kN.m)= 0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00
1/ry = 2,669E-01 2,656E-01 2,611E-01 2,468E-01 2,276E-01 2,037E-01 1,721E-01My = 205,52 204,48 201,01 190,01 175,24 156,85 132,51
Teta = 0,00 26,07 44,90 57,69 66,38 72,64 77,60Muxd = 0,00 92,75 173,43 251,46 329,43 410,76 502,83Muyd = 205,55 189,58 174,06 159,03 144,05 128,42 110,56
NS = 1,000 1,079 1,154 1,194 1,215 1,218 1,193
Nível de solicitação maior que 1,0 implica em se considerar para momento solicitante de 1ª
ordem na base do pilar valor maior que o momento resistente do E.L.U.
0,1>=Rd
Bd
MM
NS → MBd > MRd