capitulo vi estructuras
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ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444) INGENIERÍA CIVIL
FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL
ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II(IC-444)
INFORME Nº 07RELACIÓN ENTRE CARGAS Y DESPLAZAMIENTOS GENERALIZADOS.
ESTUDIO DE LAS DEFORMACIONES
DOCENTE : Mg. Ing. YACHAPA CONDEÑA, Rubén Américo
ALUMNO : INFANTE APARICIO, Walter Armando.
AYACUCHO-PERÚ2013
INFORME Nº 07 RELACIÓN ENTRE CARGAS Y DESPLAZAMIENTOS GENERALIZADOS
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ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444) INGENIERÍA CIVIL
En las estructuras presentadas a continuación, se desea:
1. Seleccionar un sistema de coordenadas Q – q.2. Indicar la forma de la matriz de rigidez y de flexibilidad.3. El significado físico de los elementos de la matriz de rigidez y flexibilidad.
EJERCICIO 01
Solucióna) Sistema Q – q
b) Matriz de rigidez
Primera columna de la matriz de rigidez:
q¿1=1 y q
¿i=0 para i≠1
Segunda columna de la matriz de rigidez:
q¿1=2 y q
¿i=0 para i≠2
INFORME Nº 07 RELACIÓN ENTRE CARGAS Y DESPLAZAMIENTOS GENERALIZADOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
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ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444) INGENIERÍA CIVIL
Tercera columna de la matriz de rigidez:
q¿1=3 y q
¿i=0 para i≠3
Entonces la matriz de rigidez tendría la siguiente forma:
K=[K11 K12 K13
K21 K22 K 23
K31 K32 K33]
c) Matriz de flexibilidadPrimera columna de la matriz de flexibilidad:
Q¿1=1 y Q
¿i=0 para i≠1
Segunda columna de la matriz de flexibilidad:
Q¿2=1 y Q
¿i=0 para i≠2
INFORME Nº 07 RELACIÓN ENTRE CARGAS Y DESPLAZAMIENTOS GENERALIZADOS
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ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444) INGENIERÍA CIVIL
Tercera columna de la matriz de flexibilidad:
Q¿1=3 y Q
¿i=0 para i≠3
Entonces la matriz de flexibilidad tendría la siguiente forma:
F=[F11 F12 F13
F21 F22 F23
F31 F32 F33]
INFORME Nº 07 RELACIÓN ENTRE CARGAS Y DESPLAZAMIENTOS GENERALIZADOS
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ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444) INGENIERÍA CIVIL
EJERCICIO 02
Solucióna) Sistema Q – q
b) Matriz de rigidez
Primera columna de la matriz de rigidez:
q¿1=1 y q
¿i=0 para i≠1
Segunda columna de la matriz de rigidez:
q¿1=2 y q
¿i=0 para i≠2
INFORME Nº 07 RELACIÓN ENTRE CARGAS Y DESPLAZAMIENTOS GENERALIZADOS
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ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444) INGENIERÍA CIVIL
Tercera columna de la matriz de rigidez:
q¿1=3 y q
¿i=0 para i≠3
Entonces la matriz de rigidez tendría la siguiente forma:
K=[K11 K12 K13
K21 K22 K 23
K31 K32 K33]
c) Matriz de flexibilidadPrimera columna de la matriz de flexibilidad:
Q¿1=1 y Q
¿i=0 para i≠1
Segunda columna de la matriz de flexibilidad:
Q¿2=1 y Q
¿i=0 para i≠2
INFORME Nº 07 RELACIÓN ENTRE CARGAS Y DESPLAZAMIENTOS GENERALIZADOS
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ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444) INGENIERÍA CIVIL
Tercera columna de la matriz de flexibilidad:
Q¿1=3 y Q
¿i=0 para i≠3
Entonces la matriz de flexibilidad tendría la siguiente forma:
F=[F11 F12 F13
F21 F22 F23
F31 F32 F33]
INFORME Nº 07 RELACIÓN ENTRE CARGAS Y DESPLAZAMIENTOS GENERALIZADOS
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ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444) INGENIERÍA CIVIL
EJERCICIO 03Para la siguiente estructura, definir un sistema de coordenadas y expresar las coordenadas dependientes en función de las coordenadas independientes.
Solucióna) Sistema Q – q
Sean q3, q4, q5 y q6 las coordenadas dependientes, las mismas que deben expresarse en función de q1 y q2.
Para el elemento AB, al considerar el nudo inicial en A y el nudo final en B, se tiene que las coordenadas del elemento valen:
u1=v1=θ1=0
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u2=q1sen53 º+q3 cos53 ºv2=q1cos53 º−q3 sen53 ºθ2=q2
Por ser axialmente rígido, la deformación axial en el nudo final vale cero:u2−u1=0q1sen53 º+q3cos53 º=0
q3=−4q1
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Para el elemento BC, al considerar el nudo inicial en B y el nudo final en C, se tiene que las coordenadas del elemento valen:
u1=q3 v1=q1 θ1=q2
u2=q5 v2=q4 θ2=q6
Por ser transversal y axialmente rígido, la deformación transversal y axial en el nudo inicial y final vale cero:
θ1−v2−v1
L=0
θ2−
v2−v1
L=0
u2−u1=0
Solucionando las tres ecuaciones se tiene que:q2=q6 q3=q5 q4=q6 L+q1
Podemos ver que todas las coordenadas generalizadas están en función de las coordenadas dependientes. Por lo tanto el sistema Q – q es estable porque tiene solución.
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EJERCICIO 04Demostrar que no pueden ser coordenadas generalizadas de la estructura del ejercicio Nº 03 las componentes de desplazamiento horizontal del nudo B y del nudo C.
Solucióna) Sistema Q – q
Sean q3, q4, q5 y q6 las coordenadas dependientes, las mismas que deben expresarse en función de q1 y q2.
Para el elemento AB, al considerar el nudo inicial en A y el nudo final en B, se tiene que las coordenadas del elemento valen:
u1=v1=θ1=0u2=q3sen 53º+q1 cos53 ºv2=q3cos53 º−q1 sen53 ºθ2=q4
Por ser axialmente rígido, la deformación axial en el nudo final vale cero:u2−u1=0
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q3sen 53º+q1cos53 º=0
q3=−3q1
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Para el elemento BC, al considerar el nudo inicial en B y el nudo final en C, se tiene que las coordenadas del elemento valen:
u1=q1 v1=q3 θ1=q4
u2=q2 v2=q5 θ2=q6
Por ser transversal y axialmente rígido, la deformación transversal y axial en el nudo inicial y final vale cero:
θ1−v2−v1
L=0
θ2−
v2−v1
L=0
u2−u1=0
Solucionando las tres ecuaciones se tiene que:q2=q1 q4=q6 q5=q6 L+q3
Podemos ver que todas las coordenadas generalizadas están en función de las coordenadas dependientes, excepto en la última ecuación. Por lo tanto el sistema Q – q es inestable porque no tiene solución.
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EJERCICIO 05Resolver el ejemplo Nº 03 desarrollado en el numeral 6.2 de otra manera. Mediante diagramas de cada una de las coordenadas generalizadas seleccionadas.
Solucióna) Sistema Q – q
Sean q4, q5 y q6 las coordenadas dependientes, las mismas que deben expresarse en función de q1, q2 y q3
Dibujamos la deformada de la estructura:
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De la deformada de la estructura se puede definir que.q5=q3
q6=q2 tg β
q4=q1 tg β+q2( tg β−tg α )−q3 L
cosα
Podemos ver que también dibujando la deformada general de la estructura se puede obtener las coordenadas dependientes en función de las coordenadas generalizadas.
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EJERCICIO 06Demostrar las ecuaciones (6.8.1) y ((6.8.3) de este capítulo, mediante trabajos virtuales.
Solucióna) En el nudo final se aplica una fuerza virtual horizontal como lo señala la siguiente
figura y se obtienen las reacciones correspondientes.
Entonces:
p¿1=−1∗u1+1∗u2=u2−u1
b) En el nudo final se aplica un momento virtual como lo señala la siguiente figura y se obtienen las reacciones correspondientes.
Entonces:
p¿3=−1∗θ1+1∗θ2=θ2−θ1
De esta manera demostramos las ecuaciones (6.8.1) y ((6.8.3) mediante trabajos virtuales.
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ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444) INGENIERÍA CIVIL
EJERCICIO 07Con relación al sistema de coordenadas del elemento que utiliza el programa CAL,
demostrar la ecuación p4=
v1−v2
2Solución
a) Para calcular p4 se aplica una carga transversal unitaria y las demás nulas como se muestra en la siguiente figura:
Entonces el trabajo virtual será:TV=1∗p4+1∗p4=2 p4
Luego:2 p4=1∗v1−1∗v2
p4=v1−v2
2
De esta manera demostramos que: p4=
v1−v2
2 mediante trabajos virtuales.
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EJERCICIO 08Encontrar las tres últimas columnas de la matriz T del ejemplo Nº 07.
SoluciónSe define la matriz de transformación de coordenadas T de la siguiente manera:
p=Tp∗¿ ¿
a) Cuarta columna
p¿4=1 y q
¿i=0 para i≠4
u1=v1=θ1=0u2=cos α v2=−senα θ2=0
Luego:p1=θ1=0 p2=θ2=0
p3=u2−u1
2=cos α
2p4=
v1−v2
2= sen α
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ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444) INGENIERÍA CIVIL
b) Quinta columna
p¿5=1 y q
¿i=0 para i≠5
u1=v1=θ1=0u2=senα v2=cos α θ2=0
Luego:p1=θ1=0 p2=θ2=0
p3=u2−u1
2= sen α
2p4=
v1−v2
2=−cosα
2
c) Sexta columna
p¿6=1 y q
¿i=0 para i≠6
u1=v1=θ1=0u2=0 v2=0 θ2=1
Luego:p1=θ1=0 p2=θ2=1
p3=u2−u1
2=0 p4=
v1−v2
2=0
Entonces la matriz T quedará de la siguiente manera:
T=[ 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1
−cosα /2 −senα /2 0 cosα /2 senα /2 0−senα /2 cosα /2 0 sen α /2 −cosα /2 0
] INFORME Nº 07 RELACIÓN ENTRE CARGAS Y DESPLAZAMIENTOS GENERALIZADOS
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EJERCICIO 09Encontrar las tres últimas columnas de la matriz T del ejemplo Nº 08.
SoluciónSe define la matriz de transformación de coordenadas T de la siguiente manera:
p=Tp∗¿ ¿
a) Tercera columna
p¿3=1 y q
¿i=0 para i≠3
u1=v1=θ1=0u2=0 v2=1 θ2=0
Luego:
p1=θ1−v2−v1
L=− 1
Lp2=θ1−
v2−v1
L=− 1
L
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b) Cuarta columna
p¿4=1 y q
¿i=0 para i≠4
u1=v1=θ1=0u2=0 v2=0 θ2=1
Luego:
p1=θ1−v2−v1
L=0 p2=θ1−
v2−v1
L=1
Entonces la matriz T quedará de la siguiente manera:
T=[1/L 1 −1/L 01/L 0 −1/L 1 ]
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EJERCICIO 10
Sea λa L y
λb L las longitudes del nudo rígido inicial y final del elemento que se presenta a continuación.
En el elemento en estudio se tiene que L’ es la luz libre y L la luz entre ejes. Se definen dos sistemas de coordenadas uno para el elemento de longitud L’ que se denominará sistema P – p y otro para el de longitud L que se llamará sistema P* - p*.
Demostrar que la matriz de transformación de coordenadas para pasar del sistema P – p al sistema P* - p* es:
T=[1−λb λbλa 1−λa ] 1
1−λa−λb
SoluciónSe define la matriz de transformación de coordenadas T de la siguiente manera:
p=Tp∗¿ ¿
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a) Primera columna
p¿1=1 y q
¿i=0 para i≠1
u1=0 v1=λaL θ1=1u2=0 v2=0 θ2=0
Luego:
p1=θ1−v2−v1
L=1+
λaL
L'=
1− λb1−λa− λb
p2=θ1−v2−v1
L=λaL
L'=
λa1−λa− λb
b) Segunda columna
p¿2=1 y q
¿i=0 para i≠2
u1=0 v1=0 θ1=0
u2=0 v2=− λb L θ2=1
Luego:
p1=θ1−v2−v1
L=λbL
L'=
λb1−λa− λb
p2=θ1−v2−v1
L=1+
λbL
L'=
1−λa1−λa− λb
Factorizando se demuestra que la matriz T quedará de la siguiente manera:
T=[1−λb λbλa 1−λa ] 1
1−λa−λb
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