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CAPTULO CINCO

APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON

5.1 Introduccin

En el captulo anterior fueron desarrollados los conceptos fundamentales de la Mecnica e

inclusive se hizo ya algunos ejemplos de la dinmica del movimiento. En el presente

captulo aplicaremos tales principios a problemas ideales tpicos. Empezaremos con varios

ejemplos de cada libre y el tiro vertical, y continuaremos con el movimiento en un plano, y

analizaremos el caso en el que los cuerpos se mueven con friccin.

5.2 Cada libre y tiro vertical

El movimiento de una partcula bajo la accin de la gravedad es un caso muy importante

del movimiento uniformemente acelerado que ya estudiamos en el captulo sobre la

cinemtica. Aqu, adems de ser constante e igual a g, la aceleracin est dirigida hacia el

centro de la Tierra, es decir, en trminos ms coloquiales, hacia abajo. Puesto que

normalmente consideramos el eje Y vertical con su zona positiva hacia arriba, tendr un valor negativo, sin embargo, por comodidad haremos , y en su lugar consideraremos la aceleracin de la gravedad como .

Como ejemplo de lo anterior, evaluemos la distancia vertical que recorre un objeto que cae

libremente. En este caso la velocidad inicial es cero, y si h es la altura inicial,

reemplazando a x por y en la ecuacin (3.6) tendremos

(5.1)

EJEMPLOS.

1. Un proyectil es lanzado hacia arriba desde el suelo a una velocidad de 300 m/s a) Cunto tiempo le toma llegar al punto ms alto?

Solucin

En el punto ms alto . Despejamos de la ecuacin (3.5), con .

b) Cul es la altura mxima alcanzada por el proyectil? Solucin

Se usa ahora la ecuacin (3.9) con y x la posicin del

objeto en la vertical:

m

s

ms

m

x 587,4

)81.9(2

000,90

2

2

2

c) En qu momento el proyectil estar a 3,200 m sobre el suelo? Solucin

2

Se usa ahora la expresin (3.6)

, con x=3,200 m,

, y . Sustituyendo y rearreglando, se tiene entonces

Usando la frmula general para las races de una ecuacin de segundo grado

s

s

m

smsmsmt 8.166.30

81.9

/720,62/90000/300

2

2222

Hay 2 soluciones: una de subida con t=13.8 s y la otra de bajada con t=47.4 s.

5.3 Movimiento en dos dimensiones

Se lleva a cabo un movimiento en dos dimensiones cuando se requieren dos grados de

libertad para la partcula. El movimiento puede ser en un plano, como en el caso de los

cuerpos sujetos a la gravedad ejercida por la Tierra y una componente de velocidad

horizontal; pero tambin podra ser el movimiento de una partcula sobre la superficie de

una esfera, o de una superficie en general en el espacio de tres dimensiones (Fig. [5.1]).

Utilizando el principio de superposicin, el movimiento de una partcula en dos

dimensiones se puede descomponer en dos movimientos unidimensionales. Para hacer esto

se descompone los vectores de posicin, velocidad, fuerza y aceleracin en las dos

componentes cartesianas X e Y, aunque tambin podremos usar otros sistemas de

referencia, y se calcula la ecuacin de movimiento por separado para cada dimensin. Una

componente del movimiento ser x(t) y la otra y(t). En la geometra analtica a las

ecuaciones relacionadas por un parmetro se les denomina ecuaciones paramtricas. Si se

elimina el parmetro t se obtiene la trayectoria del movimiento.

Figura [5.1] Movimiento de una partcula en dos dimensiones.

El caso ms importante del movimiento en un plano es el de los cuerpos sujetos a la fuerza

de gravedad de la Tierra, y aqu el caso ms general se tiene cuando se lanza una partcula

con trayectoria inclinada (no vertical). La descomposicin de los movimientos es entonces:

3

1. El movimiento en X, el cual es constante porque no hay fuerza sobre la partcula en esta direccin.

2. El movimiento en Y, el cual es uniformemente acelerado porque sobre ella acta la fuerza de la gravedad. Esta fuerza es constante e igual al peso de la partcula,

produciendo una aceleracin constante hacia abajo.

Supongamos entonces que la partcula recibe un impulso a un ngulo 0 con la horizontal,

con velocidad inicial: . (Fig. [5.2])

Figura [5.2] Tiro parablico.

Si descomponemos la velocidad inicial en sus componentes horizontal y vertical

tendremos:

Luego por lo que ya se dijo en el punto 1 anterior

(5.2a)

y de la ecuacin (3.5) con y se tiene

(5.2b)

La magnitud de la velocidad total en cada instante es

Y el ngulo del vector velocidad est dado por

4

La integracin de (5.2) es inmediata en ambos casos y nos da

(5.3a)

(5.3b)

La trayectoria del movimiento se obtiene despejando t en (5.3a) y sustituyendo en (5.3b).

Esto ya fue hecho en el Captulo 2 y el resultado es:

(5.4) donde

200 cos2 vg

a

y(x) es la ecuacin de una parbola vertical con ramas hacia abajo. Por esta razn al

movimiento de este tipo se le denomina tiro parablico.

En el mismo captulo 2 se demostr que el vrtice de esta parbola es el punto

V =

(5.5a)

Es evidente que la componente y de este vrtice es la altura mxima alcanzada por el

proyectil, y la componente xh la abscisa en la que lo alcanza. Los valores de en los cuales son las races de la ecuacin (5.4) y son a la vez los puntos en los que el proyectil

toca tierra; de (5.4) se tiene entonces las soluciones y

. La primera raz es

simplemente el punto de partida de la partcula, y la segunda, el punto en el que cae, o sea

el alcance mximo. Usando las expresiones anteriores para b y a se obtiene

. (5.5b)

EJEMPLOS

2. Un proyectil es lanzado a un ngulo con la horizontal a una velocidad inicial . Suponiendo que se mueve en un plano vertical al despreciar la resistencia del aire, calcule: a) el tiempo en el que llega a su punto ms alto, b) la

altura mxima que alcanza, c) el punto en el que toca tierra. Calcule para el caso en

el que, y

5

Solucin

a) Se resuelve este problema tomando la componente vertical del movimiento,

como si fuera un tiro vertical, evaluando el tiempo en el que . De

(5.2b) se tiene entonces , y de ah

Sustituyendo valores se tiene

b) Con el valor calculado de t usamos la ecuacin (5.3b) para calcular la altura

mxima alcanzada, como esta ordenada es

, se obtiene directamente

. Alternativamente pudimos evaluar la ordenada del

vrtice (5.5).

c) Usamos la ecuacin (5.5b) y tomamos de (5.5a). Haciendo uso de la identidad trigonomtrica , sta es entonces

.

d) La componente horizontal de la velocidad es . Por simetra de la parbola, la componente vertical de la velocidad en el

punto de cada es el negativo del de salida, i. e. , y

entonces la magnitud de la velocidad total es = 95 m/s, como la de salida, pero el ngulo con la horizontal es .

3. Un bombardero que vuela a una velocidad constante de 360 km/h suelta una bomba, la cual toca el blanco en tierra 25 segundos despus. A qu altura volaba el avin?

A qu distancia del avin se encontraba el blanco en el momento de soltar la

bomba?

Solucin

Primeramente es necesario darse cuenta que al abandonar el avin, la bomba

mantiene la velocidad horizontal del avin con respecto a la tierra. Esto es porque

antes de la cada, la bomba lleva la misma velocidad horizontal del avin, y adems

adquiere una velocidad uniformemente acelerada en la direccin vertical.

Las condiciones iniciales son por lo tanto: = 360 km/h y = 0. Conociendo el tiempo t que tarda la bomba en caer evaluamos la altura h a travs de (5.1) con

para la componente vertical del movimiento. Tenemos entonces

El avance horizontal p tanto del avin como de la bomba es

6

La distancia D a la que se hallaba el blanco en el momento de soltar la bomba es

entonces

.

5.4 El plano inclinado

El movimiento en un plano inclinado es otro ejemplo de un sistema con dos grados de

libertad, aunque se reduce al de uno. No obstante, previamente mencionaremos el concepto

de diagrama del cuerpo libre, que es un esquema que muestra todas las fuerzas que actan

sobre un cuerpo, con el objeto de saber si dichas fuerzas se cancelan dando como resultado

el equilibrio, o si stas producen una resultante, la cual es responsable de la aceleracin del

cuerpo. Como ejemplo de un diagrama de cuerpo libre la figura [5.3a] muestra un cuerpo

sobre un plano inclinado, sujeto por una cuerda por la parte de arriba del plano inclinado.

Aqu W es el peso del cuerpo y Wx y Wy son sus componentes a lo largo del plano, y

perpendicular a l, respectivamente, N es la reaccin del plano, la cual es igual a Wy, pero

en sentido contrario, y T es la tensin de la cuerda. Como se muestra en el dibujo, T y Wx

no son necesariamente iguales, y esta diferencia es la que ocasiona una aceleracin del

cuerpo.

Figura [5.3a] Diagrama del cuerpo libre de un cuerpo sobre un plano inclinado.

Supongamos ahora un cuerpo de masa m que se encuentra en un plano inclinado grados con respecto a la horizontal, como lo ilustra la figura [5.3b]. Las fuerzas que actan en este

caso son las mismas del dibujo anterior, sin la cuerda.

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Figura [5.3b] Deslizamiento de un cuerpo sobre un plano inclinado.

Bajo condiciones de equilibrio en cualquier sistema, todas las fuerzas deben compensarse y

dar una resultante cero. Si esa condicin no se cumple, habr cuando menos una fuerza no

compensada que acelerar a los cuerpos presentes. Haciendo uso de un teorema de la

geometra enunciado en el captulo sobre antecedentes matemticos, vemos que el ngulo

entre la vertical y la perpendicular al plano es igual a ya que estas rectas son perpendiculares a las que definen tal ngulo. Por tal motivo las componentes del peso del

cuerpo son:

donde hemos definido el sistema XY con el eje X a lo largo del plano inclinado e Y

perpendicular a l. Adems

La componente del peso es compensada por la reaccin N, pero la componente Wx no es compensada y por lo tanto acelera el cuerpo sobre el plano. De la segunda ley de

Newton:

de donde vemos que

(5.6)

i. e. la aceleracin a lo largo del plano es la componente X de la aceleracin de la gravedad.

Para el caso particular en el que el plano es horizontal, es cero y , es decir, la partcula no sufre aceleracin; y si el plano fuera vertical, entonces es de 90 y , en cuyo caso el cuerpo cae libremente.

EJEMPLO

4. En un plano inclinado se halla un cuerpo de masa m1, unido por una cuerda a otro cuerpo de masa m2 que pende libremente, usando una polea en el vrtice superior.

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El ngulo de inclinacin de la hipotenusa es . Suponga que no hay fuerzas de friccin entre el cuerpo y el plano (Fig. [5.4]). Describir el movimiento del sistema.

Figura [5.4]

Solucin

Sea T la tensin de la cuerda que une ambos cuerpos, la cual se puede medir intercalando

un dinammetro en cualquier punto de la cuerda. Si los cuerpos estuvieran en equilibrio el

dinammetro medira el peso del cuerpo pendiente, lo cual puede verse si suponemos que ponemos el dinammetro en la parte vertical de la cuerda, ya que al estar en equilibrio,

sobre el punto donde se sujeta el segundo cuerpo, el equilibrio de fuerzas sera = T. Si no hay equilibrio, el dinammetro marcara un valor menor y los cuerpos se desplazaran.

Entonces la descomposicin de fuerzas y la aplicacin de la segunda ley de Newton al

primer cuerpo dan:

(5.7a) y

(5.7b)

Si aplicamos ahora la segunda ley de Newton al segundo cuerpo, tendremos

(5.7c)

Aqu hemos tomado y no porque en la primera ecuacin hemos considerado implcitamente que el movimiento positivo del sistema sera

descendiendo a lo largo del plano inclinado, en cuyo caso el segundo cuerpo deber

ascender.

Eliminando T de las ecuaciones (5.7a) y (5.7c), y despejando la aceleracin se tiene:

(5.8a)

Y para T

(5.8b)

De aqu vemos entonces que:

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a) El equilibrio se mantiene si , o bien , lo cual es claro puesto que el primer miembro de esta expresin es la fuerza con la que tira

el primer cuerpo, que es igual al peso del segundo. A su vez, T = m2g como se

espera.

b) Si > 0, el movimiento del primer cuerpo es descendiendo por el plano inclinado, y si < 0, entonces el segundo cuerpo gana y el movimiento del primero es ascendente sobre el plano.

c) Si las masas son iguales, se tiene el caso b).

d) Si podemos despreciar a m2 frente a m1 y obtenemos (5.6) como esperado. Si se cumple lo inverso, tenemos que , como se esperara, puesto que sera como si el segundo cuerpo cayera libremente.

e) Finalmente, si es cero, es decir, si el cuerpo 1 se desliza sobre una mesa sin

friccin por la accin del cuerpo 2 que cuelga,

que podemos

expresar como . En esta igualdad el primer miembro es la fuerza que ejerce el cuerpo colgante hacia abajo, y el segundo miembro es la suma

de las masas por la aceleracin; en otros trminos, es la segunda ley de Newton para

el caso de la fuerza aplicada por el peso del cuerpo 2 sobre una masa que es la suma

de las masas de ambos cuerpos. Esto es claro porque el peso del cuerpo 2 tiene la

tarea de acelerar tanto a la partcula 1, como a s misma. Si la masa del primer

cuerpo fuera despreciable ante la del segundo, tendramos simplemente .

5. Un bloque se encuentra inicialmente en reposo sobre un plano inclinado a una altura H del suelo (Fig. [5.3]). Si se le libera, determinar la velocidad a la que llega al

suelo.

Solucin.

Sea el ngulo del plano inclinado. Del ejemplo anterior, la aceleracin es . Sea x la distancia desde la posicin inicial del cuerpo al fin del plano inclinado en el

suelo; puesto que aquel parte del reposo aplicamos la ecuacin (3.9) con :

=

Vemos de aqu que dicha velocidad, aparte de , slo depende de la altura, y es independiente del ngulo de inclinacin del plano, y de la masa del cuerpo. Vemos

tambin que esta velocidad es igual a la que obtendra si cayera libremente; pero eso no

quiere decir que en ambos casos el cuerpo llegue al suelo en el mismo tiempo.

5.5 Condiciones de equilibrio en el movimiento circular uniforme

En el captulo anterior encontramos que en un movimiento circular uniforme existe una

aceleracin centrpeta. Debido a la segunda ley de Newton, esta aceleracin debe ser el

resultado de una fuerza dirigida hacia el centro, a la que llamaremos fuerza centrpeta. Es

claro que esta fuerza debe ser producida por algn mecanismo que sujete la partcula a una

distancia constante del centro del crculo. Este mecanismo puede ser un objeto, como una

cuerda o una varilla, o una fuerza central, como en el caso de un sistema planetario. En el

primer caso la fuerza que mantiene la partcula a una distancia constante del centro es una

tensin. Y puesto que la aceleracin centrpeta est dada por la ecuacin (3.19)

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donde la velocidad tangencial de la partcula, y R el radio del crculo del movimiento, la fuerza centrpeta es

(5.9)

con m la masa de la partcula. ste es el mismo valor para la tensin de la cuerda. En el

caso de un planeta que gira circularmente alrededor de una estrella (Fig. [5.5]), su masa es

muy pequea comparada con la de la estrella, por lo que podemos hacer la aproximacin de

que la estrella permanece inmvil. La fuerza entre ambos cuerpos est dada por la ecuacin

(4.2), y con (5.9) queda

O bien

Figura [5.5] Equilibrio de fuerzas en el movimiento de un planeta alrededor del sol.

Si usamos la ecuacin (3.14) para convertir la velocidad tangencial en velocidad angular,

tendremos 22G R

R

M y

2

3G

R

M, y de (3.18) obtenemos

GM

RT

322 4 (5.10a)

sta es la tercera ley de Kepler para el caso particular del movimiento circular de los

planetas, como ya se mencion en el captulo anterior.

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El crculo es un caso particular de la elipse en el cual el radio es dicho semieje. Ntese que

la masa M que interviene es la masa del Sol, y que T no depende de la masa del planeta; no

obstante es necesario darse cuenta que en este tratamiento suponemos al sol fijo, lo cual no

es estrictamente cierto debido a que ste, por la ley tercera ley de Newton sufre una

reaccin. No obstante lo anterior, el resultado es vlido dado que la masa de los planetas es

despreciable con respecto a la del sol.

Si tomamos dos planetas, 1 y 2, con perodos y , y distancias al sol y respectivamente, haciendo la divisin de las ecuaciones correspondientes (5.10a) se tiene:

(5.10b)

EJEMPLO

6. Haciendo la aproximacin de que la rbita de la Tierra alrededor del sol es circular, y usando las constantes conocidas G, la distancia de la Tierra al sol R y la duracin

del ao T de la Tierra, evaluar la masa del sol.

Solucin Despejando a M de (5.10) tenemos

kg

skg

mNt

m

GT

RM 30

27

2

211

3112

2

32 1001.2

1015.31067.6

105.144

Este valor es aproximadamente 300,000 veces la masa de la Tierra.

5.6 Fuerzas de friccin

Al deslizar un cuerpo sobre una superficie aplicando fuerzas externas, aparecen fuerzas de

friccin que se oponen al movimiento, y que son producidas principalmente por la

rugosidad de las superficies de contacto e interacciones elctricas de atraccin entre ambas

superficies.

Debido a la rugosidad de las superficies de los cuerpos en contacto, algunas concavidades

de una de ellas coinciden parcialmente con convexidades de la otra, de tal manera que las

paredes de contacto son inclinadas con respecto a las fuerzas aplicadas (Fig. [5.6]). Por

supuesto, a una escala menor de longitudes, estas superficies igualmente pueden presentar

el mismo esquema de concavidades y convexidades, y as se puede continuar hasta llegar a

un nivel molecular. Sin llegar a ese nivel, podemos imaginar una situacin como la de la

Figura [5.6] en la que podemos descubrir los principales agentes que producen las fuerzas

de friccin. A pesar de la oposicin que presenta la coincidencia total o parcial de

superficies, el movimiento puede tomar lugar por dos razones, a saber: En cada punto de

contacto, la fuerza externa aplicada F puede ser descompuesta en una componente

tangencial y una normal entre los elementos diferenciales de las superficies en contacto. Las componentes normales se cancelan con la reaccin de la contraparte, quedando slo las

componentes tangenciales. Aqu tenemos entonces un problema parecido al del movimiento

de un cuerpo sobre un plano inclinado por la aplicacin de una fuerza, como ya lo hemos

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tratado anteriormente. Como en esos casos, habr desplazamiento si la fuerza aplicada es

tal que

donde m es la masa del cuerpo, es su peso, y el ngulo de inclinacin del plano. Pero

y entonces

El ngulo vara de punto a punto, y debe tomarse un valor representativo promedio de las superficies locales de la superficie del cuerpo y de aquella sobre la que se desplaza. Este

promedio sera un proceso muy difcil, pero an sin llevarse a cabo nos indica que en una

superficie horizontal, la magnitud de la fuerza aplicada mnima f que provoca el

deslizamiento, o que lo mantiene despus de iniciado, debe ser proporcional al peso del cuerpo, con una constante de proporcionalidad , caracterstica de la naturaleza relativa de las superficies en contacto, como materiales y grado de rugosidad:

(5.11a)

Figura [5.6] Rugosidad microscpica de dos superficies en contacto, que afecta el deslizamiento de un cuerpo

sobre otro. F es la fuerza aplicada, FT es la componente tangencial de la fuerza, y es la responsable del

deslizamiento de una superficie sobre la otra. w es el peso del cuerpo superior.

La otra razn por la cual se da el movimiento a pesar de la friccin, es: Las protuberancias

que oponen resistencia son fracturadas por las fuerzas externas, lo cual se traduce en el

desgaste de las piezas interactuantes; en otras palabras, en deformacin de los cuerpos.

Supondremos que esta segunda contribucin, que depende de la resistencia de los

materiales en contacto, es mnima, ya que como es observado, para obtener un efecto

visible por este efecto, es decir, hasta observar el pulido de las piezas, en general es

necesaria la aplicacin repetida de frotamiento entre las partes.

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El peso del cuerpo que se desliza, acta como el agente que promueve el acomodo de las partes convexas y cncavas de las superficies en contacto, y por lo tanto, si se agrega

fuerzas verticales por cualquier otro mecanismo, stas debern ser sumadas al peso en la

evaluacin de f; pero por la misma razn, si el deslizamiento no ocurre en un plano

horizontal sino inclinado un ngulo , y slo consideramos la fuerza de friccin, slo la componente normal a las superficies ser la que promueva este acomodo. Por lo tanto, es

necesario generalizar (5.11a) como

(5.11b)

donde N es la magnitud de la fuerza normal del cuerpo sobre la superficie, como lo muestra

la Fig. [5.7]. En el caso extremo , las superficies se separan, y la fuerza de friccin cesa. Por su definicin es claro adems que es una cantidad positiva menor que uno, y no tiene unidades.

Figura [5.7] Definicin de fuerza y coeficiente de friccin.

Se podra pensar que la fuerza de friccin tambin depende del rea de contacto; no

obstante, debe reconocerse que si bien es cierto que las fuerzas locales de friccin deben ser

sumadas en toda la superficie comn, la fuerza que acta en cada zona es en realidad la

fuerza por unidad de rea, de tal manera que al sumarse, dan el peso o la normal. Pinsese

por ejemplo en un cuerpo en forma de ladrillo, de tal forma que el rea de una de sus

superficies es el doble del rea de otra de sus superficies. Al poner el ladrillo sobre la

primera superficie, el peso por unidad de rea es la mitad del correspondiente al de la otra

superficie, lo cual compensa la mayor rea.

Es evidente que la fuerza de friccin es un vector en direccin contraria a la del

deslizamiento. La cantidad se obtiene experimentalmente, y se encuentra en Tablas de constantes fsicas para casos tpicos. En casos prcticos especficos, por ejemplo en las

investigaciones forenses, sta debe ser determinada con las condiciones particulares del

caso.

Cuando hablamos de la naturaleza de las superficies en contacto, nos referimos por una

parte a los grados de rugosidad de las superficies en contacto; pero tambin a la

composicin qumica y microestructura de las superficies. Adicionalmente a las fuerzas

mecnicas, las molculas y los tomos de las sustancias en contacto ejercen fuerzas

atractivas entre s, conocidas como fuerzas de van der Waals; estas fuerzas en general son

muy dbiles, pero cuando hay grandes superficies de contacto como en zonas altamente

pulidas, o donde una de las superficies es suficientemente flexible y se logra ajustar a la

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topografa de la otra, son de tal magnitud, que pueden unir firmemente a los cuerpos,

incrementando fuertemente el coeficiente de friccin; uno de estos casos es la adherencia

de las patitas de una salamanquesa a las superficies de las paredes por las que caminan. La

salamanquesa es una especie de lagartija tropical cuyas patas extendidas estn dotadas de

filamentos adhesivos que le permiten adaptarse a los mnimos detalles de la estructura de la

superficie por la que caminan, dndole una muy alta adherencia a las superficies por las que

caminan.

Figua [5.8] Estructura de las patas de una salamanquesa. (N. S. Pesika, Hongbo Zeng, K. Kristiansen, B. Zhao,Yu Tian, K. Autumn and J. Israelachvili, J. Phys.: Condens. Matter 21 (2009)

464132 (6pp) Gecko adhesion pad: a smart surface?

Dispositivos similares, inspirados en el principio de la salamanquesa, han sido creados

usando nano tubos de carbono, los cuales, dispuestos en arreglos de manojos, y dada la casi nula atraccin entre ellos, pueden deslizarse unos sobre otros para ajustarse a las

superficies en sus extremos, logrndose una adherencia inclusive superior a la de la

salamanquesa. Estas fuerzas elctricas tambin son capaces de arrastrar las molculas,

deformar las superficies en contacto, y desprender cadenas moleculares, en procesos de

frotacin.

Experimentalmente se observa tambin que la fuerza de friccin depende de la velocidad

relativa de los cuerpos en contacto, siendo mayor a menores velocidades; no obstante,

cuando la velocidad es diferente de cero, las fuerzas de friccin varan muy poco. De

hecho, todos hemos experimentado que poner en movimiento un cuerpo por deslizamiento

sobre una superficie, por ejemplo un automvil, requiere mayor esfuerzo que mantenerlo en

movimiento. Esto se puede explicar de la siguiente forma: Una vez que el cuerpo se ha

puesto en movimiento, se ha creado una cantidad de energa cintica, la cual contribuye a

que el cuerpo remonte con mayor facilidad la rugosidad de las superficies. La diferencia es

tan pronunciada, que se considera conveniente diferenciar el coeficiente de friccin en dos

situaciones:

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a) Al iniciar un movimiento: (caso esttico) b) Cuando el cuerpo ya se encuentra en movimiento: (caso cinemtico)

donde . Por su parte depende muy ligeramente de la velocidad, como lo muestra el siguiente ejemplo, para el caso del deslizamiento de acero sobre acero sin lubricacin:

Debe notarse que la fuerza de friccin esttica, cuando la fuerza aplicada sobre el cuerpo es

pequea, se ajusta al valor de sta, la compensa, y el cuerpo no se mueve; pero si la

fuerza aplicada incrementa, la fuerza de friccin esttica alcanza el valor , y a partir de ese momento el cuerpo inicia su movimiento, por lo tanto, en general se tiene , y la igualdad se alcanza justo en el momento en el que se inicia el movimiento.

Para concluir este prrafo, es conveniente mencionar que en cursos posteriores, el

estudiante hallar otros tipos de friccin, uno de los cuales, conocido como viscosidad, se

observa cuando un cuerpo se mueve en un fluido, por ejemplo un medio lquido, en cuyo

caso la fuerza de resistencia depende de la morfologa del cuerpo en movimiento, y es

proporcional a la velocidad de ste. No tratamos este tipo de friccin aqu, por ser aquel

ms bien del dominio de la hidrodinmica.

EJEMPLOS

7. Un bloque de acero est en reposo sobre un plano horizontal igualmente de acero el cual se puede inclinar gradualmente y muy lentamente. A qu ngulo crtico c de inclinacin que forma con la horizontal empieza a deslizarse el bloque sobre la

superficie?

Solucin

Para una inclinacin cualquiera, la fuerza aceleradora tiene la magnitud . Si no hubiera friccin, sta producira una aceleracin finita como en los ejemplos

anteriores, sin embargo cuando hay friccin, sta se opone con una fuerza dada por f

= N = y slo cuando el ngulo es tal que habr deslizamiento. Supondremos entonces que el ngulo crtico, en el que el

movimiento se inicia, es en el que se alcanza la igualdad, y por lo tanto , y dado que en este momento la velocidad es mnima, debe ser s, o bien

(5.12)

De la tabla anterior es evidente que s debe ser aproximadamente 0.53 y

c = tan-1

0.53 = 27.9

Velocidad

in/s

0.0001 0.001 0.01 0.1 1.0 10.0 100.0

k 0.53 0.48 0.39 0.31 0.23 0.19 0.18

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8. Una barra de seccin transversal cuadrada, de masa m de un determinado material se mueve sin friccin sobre un plano horizontal, en direccin de su longitud. Para

detenerla, se aplica sobre ella un pequeo bloque con una fuerza normal constante F

(Fig. [5.9]) Cul ser la distancia a la cual pare totalmente la barra?

Solucin

De la dinmica del movimiento de la barra, la distancia de frenado x est dada por la

expresin (3.9): v2=v0

2 + 2ax, para el caso v = 0, o sea:

La fuerza de frenado es k F, donde k es el coeficiente de friccin cinemtica entre la barra y el bloque pequeo, y F es la fuerza aplicada.

Figura [5.9] Un bloque ejerce una fuerza sobre una barra en movimiento. Entre el bloque y la barra

hay friccin con coeficiente .

La fuerza desaceleradora es ahora la fuerza de friccin, y de la segunda ley de

Newton F = ma = fd

donde m es la masa de la barra. La aceleracin es entonces.

Sustituyendo esta expresin en aquella para x se obtiene

Vemos entonces que la distancia de frenado es proporcional al cuadrado de la

velocidad inicial, as como a la masa (o al peso) de la barra e inversamente

proporcional al coeficiente de friccin dinmica y la fuerza aplicada.

9. Resolver el ejemplo 4, suponiendo que entre el plano inclinado y el cuerpo 1 existe

friccin con un coeficiente .

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Figura [5.10] Movimiento de un cuerpo sobre un plano inclinado con friccin.

Solucin Como en el caso del ejemplo 4, suponemos que el movimiento es tal que el bloque 1

se mueve hacia abajo sobre el plano inclinado, por lo tanto la fuerza de friccin est

dirigida hacia arriba. La Fig. [5.10] muestra el bloque 1 del ejemplo. La primera de

las ecuaciones (5.7a) queda entonces

(5.13)

Las otras dos quedan igual. Aqu ff = N es la fuerza de friccin. Haciendo el mismo tratamiento del ejemplo 4 se obtiene:

(5.14)

Ahora las conclusiones seran:

a) El movimiento es del bloque 1 hacia abajo si , y permanece en equilibrio, o se mueve con velocidad constante si . Esto resulta obvio si multiplicamos la ecuacin por y reordenamos obteniendo , pues es el simple balance de fuerzas para el caso en el que la competicin entre las fuerzas dada por

es compensada justamente por la fuerza de friccin . No obstante, es conveniente recordar que para que haya reposo o movimiento

uniforme, slo debe cumplirse . Adicionalmente vemos que si m2 = 0, el equilibrio se obtiene cuando tiene un valor c tal que

Y por supuesto, slo habr movimiento cuando 0 tal como se haba demostrado en (5.9).

b) A diferencia del ejemplo 4, en el caso de que el movimiento sea dominado por la

masa el comportamiento del sistema no se obtiene simplemente con negativa,

18

puesto que la ecuacin (5.13) no se aplica porque entonces la fuerza de friccin est

dirigida hacia abajo. Las ecuaciones correctas son

Cuya solucin para la aceleracin es

(5.15)

Y se deber obtener > 0. En otros trminos: < 0.

c) Si las masas son iguales, de la ecuacin (5.14):

. Es

evidente que est en el intervalo de 0 a /2, y entonces para toda , y por lo tanto a < 0. Por lo que se dijo anteriormente, esto slo quiere decir que el movimiento del bloque 1 no es hacia abajo. Si es hacia arriba, se deben

cumplir las desigualdades inmediatamente despus de (5.15), que para el caso que

nos ocupa se reducen a . De aqu

Podemos obtener una expresin ms simple, si recordamos que

Luego

Y por lo tanto

Se tiene entonces

Se concluye entonces que cuando las masas son iguales, la direccin de movimiento

del sistema es dominada por el bloque 2 para ngulos tales que , y que a partir de un ngulo crtico

, los cuerpos quedan en reposo.

d) Si podemos despreciar a m2 frente a m1 y obtenemos

que se obtendra de (5.6) agregando la fuerza de friccin. Si se cumple lo inverso, se

cumple (5.15) y tenemos que , como se esperara, puesto que sera como si el segundo cuerpo cayera libremente.

e) Finalmente, si es cero, se tiene nuevamente el final del caso b), y de (5.15)

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Que es equivalente a la aplicacin de la segunda ley de Newton a un sistema

consistente de una fuerza que acelera a los dos cuerpos y a la cual se opone la fuerza de friccin .

PREGUNTAS EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1. Un proyectil es lanzado verticalmente con una velocidad inicial de 25 m/s. Cul es la altura mxima que alcanza? En qu momento lo logra?

2. A qu velocidad deber ser lanzada una piedra contra el fondo de un pozo que mide 19 m de profundidad para que llegue ah en 0.6 s?

3. Se lanza verticalmente una pelota con velocidad inicial de 2.1 m/s, y en el instante en el que alcanza su altura mxima, se lanza verticalmente y en el mismo sitio otra

pelota con velocidad inicial de 3.2 m/s. En qu punto chocan las pelotas? Cules

son sus velocidades en el momento de chocar?

4. Desde un helicptero desciende una canastilla de 50 kg sujeta por una cuerda. Calcule la tensin en la cuerda cuando:

a) La canastilla an no desciende pero pende de la cuerda b) La canastilla desciende a velocidad constante c) La canastilla desciende con un movimiento acelerado de 3.5 m/s2 d) La canastilla desciende a 9.81 m/s2

5. En el interior de una jaula se halla un mono juguetn. La jaula pende de una gra a travs de una cuerda. Diga cmo vara la tensin de la cuerda cuando el mono salta

en la jaula. Cul sera el comportamiento de la jaula si en vez de una cuerda

hubiera un resorte?

6. Haciendo consideraciones cinemticas, demuestre que la altura mxima y la

distancia horizontal en la que una partcula disparada con velocidad a un ngulo las alcanza estn dadas por la ecuacin (5.5).

7. Demuestre que el vrtice de la parbola del movimiento de un proyectil es

8. Un bateador lanza la pelota a un ngulo de 30 con una velocidad de 35 m/s, y en un plano a 30 de la lnea de primera base. A qu velocidad deber correr un ctcher

para atrapar la pelota, si se halla a 60 metros sobre la lnea de la primera base?

Suponga que la diferencia de la altura de salida y la de atrapada es despreciable.

9. Demuestre que la ecuacin (5.4) se puede escribir como

donde

m es la pendiente de la recta que describira el proyectil si no hubiera gravedad.

10. Tomando en cuenta que la cantidad

es la distancia vertical que recorre una

partcula que cae libremente, cmo se podra interpretar el resultado del ejercicio

anterior a la luz de la expresin (5.1)?

11. Un can apunta a un objeto en una posicin elevada P, el cual es dejado caer libremente en el instante en el que el can dispara. (Fig. [5.11]) Demuestre que la

bala da en el objeto mientras cae, sin importar la velocidad inicial de la bala.

Recomendacin: utilice los resultados de los dos ejercicios anteriores.

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Figura [5.11]

12. Un cuerpo desciende sobre un plano inclinado, desde una altura , hasta el final del plano en . A partir de ese punto, el cuerpo avanza sobre un plano horizontal hasta encontrar el inicio de un plano inclinado ascendente. A qu altura

sube el cuerpo en el segundo plano? En base al resultado que obtenga, hasta dnde

debera llegar una partcula que ya no encuentre el segundo plano inclinado? En

todos los movimientos desprecie la friccin.

13. Desde lo alto de una pirmide asimtrica, se libera simultneamente dos cuerpos;

uno desciende sobre un plano con pendiente y el otro sobre un plano con pendiente . Determine la diferencia de tiempo de llegada al suelo de los cuerpos, La altura de la pirmide es .

14. Una fuerza constante F es aplicada durante un intervalo de tiempo sobre un cuerpo de masa m que se halla sobre un plano inclinado un ngulo . La fuerza es a lo largo del plano, hacia arriba, y el cuerpo se hallaba inicialmente en reposo en el

punto ms bajo del plano. Entre el cuerpo y el plano hay friccin dada por un

coeficiente . Diga usted qu altura mxima alcanza el cuerpo. 15. En el modelo atmico del tomo de hidrgeno propuesto por Niels Bohr, un

electrn gira alrededor de un protn en una rbita circular de radio r. El equilibrio

de fuerzas se logra a travs de la fuerza elctrica de atraccin entre ambas

partculas, las cuales tienen cargas de signo contrario y de igual magnitud e.

Demuestre que el radio de la rbita est dado por

16. En el ejercicio anterior el radio de la rbita del electrn es r = 5.3x10-9cm, e =1.6 x 10

-19 C y la masa del electrn es de m=9.11x10

-28gr. Cunto vale el perodo de

rotacin del electrn?

17. La luna da una vuelta alrededor de la Tierra en 27.3 das. Suponiendo que la rbita es circular con un radio de 384,551 km, cul es la aceleracin de la luna hacia la

Tierra? Cul ser la fuerza por unidad de volumen que experimentara la Tierra por

esta atraccin? La masa de la luna es 7.34 x 1022

kg y el radio de la Tierra es 6.37 x

106 m.

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18. Cul sera el perodo de un satlite artificial que orbita la Tierra a una altura de 1,440 km?

19. A qu altura debe orbitar un satlite alrededor de la Tierra para que sea geosncrono, es decir, que permanezca fijo para un observador en la Tierra?

20. La rbita de Venus es casi un crculo de radio 108,000,000 km. Calcule la duracin del ao de este planeta.

21. Entre otras cosas, la tercera ley de Kepler nos dice que el perodo de rotacin de un planeta alrededor del sol es independiente de la masa del planeta, lo cual significa

que a la misma distancia del sol, dos planetas orbitaran sincrnicamente sin

importar si uno de ellos es mucho ms pesado que el otro. A qu se debe lo

anterior? En otros trminos, en qu momento desaparece la masa de las ecuaciones

que demuestran la tercera ley de Kepler?

22. Un yoyo de 60 g se halla en movimiento circular uniforme en un plano vertical y completa una vuelta en 1.2 s. Cul es la tensin de la cuerda

a) Cuando el yoyo est en la parte inferior del crculo b) Cuando la cuerda est horizontal c) En el punto ms alto del crculo.

23. Un hilo tiene una resistencia mxima a la fractura, de 65 N. Cul es la velocidad angular mxima que puede alcanzar un yoyo de 160 g?

24. Un cuerpo de masa 35 g se halla sujeto por una cuerda a un punto, y rota en movimiento circular limitado por la cuerda, la cual tiene longitud de 35 cm. La

partcula realiza una rotacin cada 0.6 segundos. Cul es la tensin de la cuerda si

el movimiento toma lugar en un plano horizontal, y cul si el plano es vertical?

25. Los golfistas saben que la pelota de golf se eleva ms en campos en la ciudad de Mxico que en los de otras ciudades menos elevadas con respecto al nivel del mar,

al recibir un golpe con la misma intensidad. Explique a qu se debe tal fenmeno.

26. Diga usted en qu ciudad sera ms fcil anotar un home run para un beisbolista, en la ciudad de Mxico, a 2,200 m sobre el nivel del mar, o en la ciudad de Veracruz,

que se encuentra al nivel del mar? Suponga que las capacidades del beisbolistas son

las mismas en ambas ciudades.

27. Un cuerpo de masa m1 se halla sobre una mesa horizontal sin friccin, y est atada a un cuerpo de masa m2 que cuelga, a travs de una cuerda que pasa por una polea.

Calcule la tensin de la cuerda cuando el sistema se deja en libertad y compare con

el resultado del ejemplo 4 cuando el ngulo es cero. 28. Resuelva el ejemplo 4 suponiendo que el cuerpo 2 arrastra al cuerpo 1. Encuentre la

equivalencia entre las dos formas de solucin.

29. Demuestre que la tensin de la cuerda del ejemplo 9, cuando hay friccin, y el movimiento del bloque 1 es descendente, es:

30. En un juego de beisbol, la pelota abandona el bate a una altura de 103 cm a un ngulo de 35 con la horizontal, y con una velocidad inicial de 65 m/s; el pitcher se

halla a 18 metros de ese punto, mide 1.85 metros y adems se halla parado sobre un

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montculo de 25 centmetros de altura. Diga usted si el ptcher corre peligro de ser

golpeado por la pelota.

31. Un francotirador desea acertar un pequeo objetivo que se halla en lnea horizontal L a 195 m. La velocidad inicial del proyectil es de 730 m/s A qu ngulo con la

horizontal deber disparar? Dnde golpeara la bala si el arma se encuentra a cero

grados? (Fig. [5.12]).

Figura [5.12]

32. Al determinar el alcance de un proyectil disparado por un can, la velocidad inicial

0 slo se puede medir con una precisin de 0 y el ngulo de partida, con una precisin . Cul ser el rango de incertidumbre por separado, del alcance mximo del can? Haga el clculo numrico para un proyectil que sale con una

velocidad de 800 m/s a un ngulo de 45, y a)

, y b)

. Qu

porcentaje del alcance total representa la incertidumbre calculada en cada caso?

33. Qu coeficiente de friccin, esttico o dinmico, se debe usar para calcular la fuerza de friccin que debe mantener en su carril a un automvil en una curva?

Cul sera la fuerza para un automvil de masa m y que se desplaza a una

velocidad tangencial v? Suponga que la curva es plana y horizontal, y de radio . 34. Cul sera la fuerza de friccin en el caso anterior si la curva tiene un peralte de

10?

35. Una cuerda de masa m y longitud L yace sobre una mesa; de un lado de la mesa

cuelga una longitud de la cuerda y del otro lado una longitud ms corta. El coeficiente de friccin esttica entre la cuerda y la mesa es , calcular cul debe ser la diferencia de longitudes entre y para que se inicie el resbalamiento de la cuerda.

36. Un empleado de un bar lanza los vasos con bebidas sobre la mesa ligeramente

rugosa. El coeficiente de friccin cinemtica entre el vaso y la mesa es . Calcule la distancia que recorre un vaso hasta detenerse, cuando es lanzado con una

velocidad inicial . Si un vaso tiene poca bebida y otro del mismo volumen est casi lleno, pero ambos son lanzados con la misma velocidad inicial, Cul de ellos

alcanza la mayor distancia? Compare estos resultados con el ejemplo de la barra que

frena por la accin de una fuerza externa.

37. Calcule las fuerzas centrpetas sobre un objeto sobre la Tierra: a) por su rotacin alrededor de su propio eje, y b) por su rotacin alrededor del sol. Por comodidad

suponga que el eje de rotacin en la Tierra es perpendicular al plano de la rbita

terrestre y que sta es circular, con radio Rs = 1.5 x 1011

m. El radio de la Tierra es

Rt = 6.37 x 106 m. Compare estas fuerzas con la de atraccin de la Tierra, es decir,

con el peso del cuerpo. Haga el clculo para un observador en el ecuador a medio

da y a media noche.