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23/06/2017
Capítulo 9Controle multivariável de
processos
• Até agora só foram considerados processos com um único objetivo de controle ou uma única variável a sercontrolada.
Controle de sistemas multivariáveis
Introdução
• É comum termos processos com múltiplos objetivos de controle ou com múltiplas variáveis a seremcontroladas.
• Podem ser definidos objetivos de controle individuais e o uso de técnicas específicas individuais para cadacontrole, caso os objetivos ou a variáveis não interajam umas com a outras.
• Abordaremos agora as técnicas de controle quando não há como fazer um tratamento individual de cadaobjetivo de controle, ou seja, consideram-se interações entre os objetivos.
• Trataremos dos sistemas MIMO (multiple input / multiple output systems) ou sistemas multivariáveis.
• Abordaremos a questão da interação (acoplamento) entre malhas de controle.
• Veremos como eliminar ou diminuir o acoplamento entre variáveis associadas a malhas distintas.
23/06/2017
Exemplos de sistemas MIMO:
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre laços
Tanque de mistura.
Variáveis controladas (saídas):
• Vazão da mistura (w)• Composição da mistura (x)
Variáveis manipuladas (entradas):
• Vazão de escoamento do líquido 1 (w1)• Vazão de escoamento do líquido 2 (w2)
Exemplos de sistemas MIMO:
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre laços
Reator químico.
Variáveis controladas (saídas):
• Temperatura• Composição
Variáveis manipuladas (entradas):
• Vazão de água refrigerante• Vazão de alimentação do processo
23/06/2017
Exemplos de sistemas MIMO:
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre laços
Evaporador.
Variáveis controladas (saídas):
• Nível• Vazão de processo• Composição de saída
Variáveis manipuladas (entradas):
• Vazão de vapor• Vazão de entrada• Vazão de saída
Aspectos a serem considerados no controle de sistemas MIMO:
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre laços
• Quais os efeitos do acoplamento (interação) entre malhas de controle na respostado sistema.
• Qual o nível de acoplamento entre as malhas e como associar (parear), da melhorforma, as variáveis controladas e as variáveis manipuladas.
• Possibilidade do acoplamento entre malhas ser eliminado ou reduzido através deum controle apropriado.
23/06/2017
Exemplo de acoplamento entre malhas de sistemas MIMO – efeitos na resposta:
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
Tanque de mistura. Características do projeto do processo:• solução 1: 10% de peso em sal;• solução 2: 35% de peso em sal;• solução de saída: fluxo de 100lb/h com 20% de
peso em sal
Em regime permanente - Balanço entre massatotal e massa de sal no tanque:
2211
21
xwxwwx
www
+=
+=
35,0
10,0
20,0
lb/h100
2
1
=
=
=
=
x
x
x
w
Solução:
lb/h0,40
lb/h0,60
2
1
=
=
w
w
Exemplo de acoplamento entre laços de sistemas MIMO:
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
Tanque de mistura. Seja o escoamento 2 e um aumento da vazão (w2) de2,0lb/h, ou seja, de 40,0lb/h para 42,0lb/h.
Pelo modelo, isso causa uma aumento da composição (x)para 20,3%.
Em regime permanente o ganho estático será
=
−
−=
lb/h
%sal 15.0
0,400,42
0,203,202xK
Ganho relacionando a composição de saída emrelação à vazão do escoamento do líquido 2.
A vazão de saída cresceu para 60,0 + 42,0 =102,0lb/h.
23/06/2017
Exemplo de acoplamento entre laços de sistemas MIMO:
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
Tanque de mistura. Efeito do acoplamento entre os laços no ganho
Controle da vazão do produto a partir damanipulação do escoamento 1.
Seja o escoamento 2 e um aumento da vazão (w2) de2,0lb/h, ou seja, de 40,0lb/h para 42,0lb/h.
Como consequência, o controlador ajusta (em regimepermanente) a vazão w1 para 58,0lb/h. Isso para manter xem 100,0lb/h.
Pela equação do balanço de massas, a composição desaída cresce para 20,5% de sal.
O ganho relacionando a composição de saída em relação àvazão do escoamento do líquido 2 passa a ser
=
−
−=′
lb/h
%sal 25.0
0,400,42
0,205,202xK Aumento
de 67%
Exemplo de acoplamento entre laços de sistemas MIMO:
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
Tanque de mistura. Efeito do acoplamento entre os laços no ganho
Controle da vazão do produto a partir damanipulação do escoamento 1.
Malha aberta
Malha fechada
23/06/2017
Exemplo de acoplamento entre laços de sistemas MIMO:
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
Tanque de mistura. Efeito do acoplamento entre os laços no ganho
Controle da vazão do produto a partir damanipulação do escoamento 1.
Algo semelhante ocorre no ganho em relação à vazão desaída, se um laço de composição for criado.
Ocorreu um acoplamento positivo
O fechamento de uma malha (laço) causou um aumento doganho (positivo) em uma outra possível malha.
Em um acoplamento negativo o fechamento de uma malhacausa uma diminuição do ganho em uma outra possívelmalha, podendo até torna-lo negativo.
Obs. Inversão de sinal em um ganho ao longo de umamalha pode causar instabilidade.
Associando variáveis controladas com variáveis manipuladas
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
Precisamos de medidas quantitativas que permitam fazer associações (pareamentos) entre variáveis controladase variáveis manipuladas.
Seja o sistema MIMO dado a seguir
Esquema geral de um processso 2 x 2 - duas entradas (m1 e m2) e duas saídas (c1 e c2)
Variáveis manipuladas
Variáveis controladas
23/06/2017
Associando variáveis controladas com variáveis manipuladas
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
Vamos calcular a sensibilidade (ganho) de cada variávelcontrolada para cada variável manipulada.
Os 4 ganhos de malha aberta:
cte 1
111
2 →∆
∆=
mm
cK
cte 2
112
1→∆
∆=
mm
cK
cte 1
221
2 →∆
∆=
mm
cK
cte 2
222
1→∆
∆=
mm
cK
Kij : ganho relacionando a j-ésima entrada à i-ésima saída.
IMPORTANTE: Observar que quando se varia uma variável manipulada a outra é mantida constante.
Associando variáveis controladas com variáveis manipuladas
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
Seja K12 > K11. Pode parecer que devemos escolher m2para ajustar c1. Isso nem sempre será correto.
O problema é que não podemos comparar diretamente ganhos que possuem unidades diferentes.
Mesmo trabalhando com quantidades relativas (%TO / %CO), ranges de sensores/transmissores e deelementos finais de controle influenciariam os ganhos, mas não tendo relação com os acoplamentosexistentes no processo.
Além dos ganhos de malha aberta, calcularemos também os ganhos em malha fechada.
23/06/2017
Associando variáveis controladas com variáveis manipuladas
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
Para cada (pareamento) associação (variável controlada/ variável manipulada), determina-se o ganho para umasaída, mantendo-se a outra constante.
Isso implica que dada uma variável manipulada e uma variável controlada no cálculo de um ganho, asoutras variáveis manipuladas devem ser ajustadas por malhas fechadas para levar as outras variáveiscontroladas a seus valores de referência.
Associando variáveis controladas com variáveis manipuladas
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
Vamos calcular a sensibilidade (ganho) de cada variávelcontrolada para cada variável manipulada (com asoutras variáveis controladas constantes).
Os 4 ganhos de malha fechada:
cte 1
111
2 →∆
∆=′
cm
cK
cte 2
112
2 →∆
∆=′
cm
cK
cte 1
221
1→∆
∆=′
cm
cK
cte 2
222
1→∆
∆=′
cm
cK
K’ij : ganho relacionando a j-ésima entrada à i-ésima saída.
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Associando variáveis controladas com variáveis manipuladas
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
Medidas de acoplamento ou ganhos relativos:
ij
ij
ijK
K
′=µ
µ ij : medida de acoplamento ou ganho relativo
11
1111
K
K
′=µ
12
1212
K
K
′=µ
21
2121
K
K
′=µ
22
2222
K
K
′=µ
Para um processo 2 x 2:
• Ganhos relativos são adimensionais.• Ganhos relativos são independentes de ranges de sensores/transmissores e de elementos finais de
controle.
Associando variáveis controladas com variáveis manipuladas
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
Medidas de acoplamento ou ganhos relativos:
ij
ij
ijK
K
′=µ
µ ij : medida de acoplamento ou ganho relativo
Interpretações:
• Se o ganho relativo para um determinado par saída i - entrada j não depender de outras malhas o µij
correspondente é unitário.• Quanto maior o acoplamento, mais µij se desvia da unidade.• Quando o acoplamento é positivo µij é positivo e menor que a unidade.• Quando o acoplamento é negativo µij é positivo maior que a unidade ou negativo.
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Associando variáveis controladas com variáveis manipuladas
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
Regra para pareamento (associação):
Para diminuir os acoplamentos em um sistema MIMO os pares (variável manipulada – variável controlada) devem ser tais que os ganhos relativos sejam os mais próximos da unidade.
Observações:
• Até aqui todas as discussões foram feitas considerando-se apenas a condição de regime permanente.• Em sistemas que exibem acoplamentos negativos a regra pode não ser válida.• Pareamento com ganho relativo negativo deve ser evitado ao máximo (possibilidade de instabilidade).• Evitar pareamento com ganho relativo nulo (ganho nulo de malha aberta) e ganho relativo muito alto (ganho
de malha fechada próximo de zero).
Associando variáveis controladas com variáveis manipuladas
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
Exemplo:
Seja a tabela com ganhos relativos:
• Pode-se mostrar que a soma dos elementos de uma coluna vale a unidade, bem como a soma dos elementos de uma linha também vale a unidade.
• µ11 = µ22 = 0,20 = 1/5, logo para esses pareamentos o ganho de uma malha cresce 5 vezes com o fechamento da outra malha.
• µ12 = µ21 = 0,80 = 4/5, logo para esses pareamentos o ganho de uma malha cresce apenas 1,25 vezes com o fechamento da outra malha.
• O acoplamento será menor criando os pares (c2,m1) e (c1,m2).
m1 m2
c1 0,20 0,80
c2 0,80 0,20
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Associando variáveis controladas com variáveis manipuladas
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
Exemplo:
Seja a tabela com ganhos relativos:
• µ11 = µ22 = 2,0= 1/0,5, logo para esses pareamentos o ganho de uma malha cai a metade com o fechamento da outra malha.
• µ12 = µ21 = -1,0 = 1/(-1), logo para esses pareamentos o ganho de uma malha muda de sinal com o fechamento da outra malha. É uma situação indesejada.
• O acoplamento será menor criando os pares (c1,m1) e (c2,m2).
m1 m2
c1 2,0 -1,0
c2 -1,0 2,0
Cálculo dos ganhos relativos para um sistema 2 x 2
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
• Seja o sistema em condição de regime permanente.• Caso o sistema seja não linear assuma uma
linearização em torno de um certo ponto de operação.• Podemos determinar os ganhos relativos a partir
apenas dos ganhos em malha aberta.• Em caso de alteração do ponto de operação no
sistema não linear, uma nova linearização deverá serrealizada.
A partir dos ganhos estáticos em malha aberta e em condição de regime permanente:
2221212
2121111
mKmKc
mKmKc
∆+∆=∆
∆+∆=∆
• Foi utilizado o princípio da superposição, já que se considera o sistema linear.• Cada variação de uma variável controlada foi expressa como combinação linear das variações das
variáveis manipuladas. As coordenadas das combinações são os ganhos em malha aberta.
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Cálculo dos ganhos relativos para um sistema 2 x 2
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
Seja o pareamento entre a entrada m1 e a saída c1. Fechemos a malha para o par (m2,c2).
Assumindo que o controlador tem ação integral, se variarmos m1, m2 será variado para manter constante c2 novalor de setpoint. Assim∆c2=0.
02221212 =∆+∆=∆ mKmKc 1
22
212 m
K
Km ∆−=∆⇒
1
22
21
121111m
K
KKmKc ∆−∆=∆⇒
Cálculo dos ganhos relativos para um sistema 2 x 2
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
Pareamento entre a entrada m1 e a saída c1. Malha fechada para o par (m2,c2).
Pela definição de ganho de malha fechada:
cte 1
1
11
2 →∆
∆=′
cm
cK
1
22
21
121111m
K
KKmKc ∆−∆=∆
22
21122211
22
21121111
K
KKKK
K
KKKK
−=−=′⇒ Ganho de malha fechada obtido a
partir dos ganhos de malha aberta.
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Cálculo dos ganhos relativos para um sistema 2 x 2
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
Por procedimento semelhante, os ganhos de malhafechada para os outros três pares possíveis((m1,c2),(m2,c1),(m2,c2)) podem ser obtidos:
22
2112221111
K
KKKKK
−=′
21
2112221112
K
KKKKK
−
−=′
12
2112221121
K
KKKKK
−
−=′
11
2112221122
K
KKKKK
−=′
Cálculo dos ganhos relativos para um sistema 2 x 2
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
Finalmente os ganhos relativos poder ser obtidos:
21122211
221111
KKKK
KK
−=µ
21122211
211212
KKKK
KK
−
−=µ
21122211
211221
KKKK
KK
−
−=µ
21122211
221122
KKKK
KK
−=µ
Observamos que:• µ11=µ22, pois representam a mesma
escolha de pares.• De forma semelhante µ12=µ21.• Vemos que µ11+µ12 = µ21+µ22 = µ11+µ21 =
µ12+µ22 = 1.• Essas propriedades se estendem para
sistemas n x n.
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Cálculo dos ganhos relativos para um sistema 2 x 2
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
2211
21
xwxwwx
www
+=
+=
j
i
ctemj
i
mij
m
c
m
cK
jkk
j ∂
∂=
∆
∆=
≠
=
→∆ 0lim
Os ganhos em malha aberta são dados por:
Exemplo: Tanque de mistura
Expressando as variáveis controladas em funçãodas variáveis manipuladas:
2
2211
2
1
1
ww
xwxwx
www
+
+=
+=Não linear
Cálculo dos ganhos relativos para um sistema 2 x 2
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
Exemplo: Tanque de misturaCalculando as derivadas parciais:
11 =wK 12 =wK
( )( )2
21
122
1ww
xxwK x
+
−−=
( )( )2
21
121
2ww
xxwK x
+
−=
Calculando os ganhos relativos:21
11
ww
ww
+=µ
21
2
2ww
ww
+=µ
21
2
1ww
wx
+=µ
21
1
2ww
wx
+=µ
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Cálculo dos ganhos relativos para um sistema 2 x 2
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
Exemplo: Tanque de mistura
21
1
1ww
ww
+=µ
21
22
ww
ww
+=µ
21
21
ww
wx
+=µ
21
12
ww
wx
+=µ
• Ganhos relativos positivos e menores que a unidade.
• Os pareamentos devem ser feitos tal que os ganhosrelativos associados sejam o mais próximo da unidade.
• Devido à não linearidade os ganhos relativos e osconsequentes pareamentos dependem das condições deoperação.
• O pareamento depende qual vazão de entrada é maior
� Se w1>w2: escolher os pares (w,w1) e (x,w2).� Se w2>w1: escolher os pares (w,w2) e (x,w1).
Estratégia geral de pareamento: Controlar a vazão de saídacom o escoamento de maior vazão de entrada e controlar acomposição de saída com o escoamento de menor vazão deentrada.
Cálculo dos ganhos relativos para sistemas n x n (n malhas de controle ou n pares entrada-saída)
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
Ganhos relativos a partir dos ganhos de malha aberta para sistemas n x n (método matricial de Bristol, 1966)
K’ij : ganho de malha fechada relacionando a j-ésima entrada à i-ésima saída (ck constante c/ k≠i).
Kij : ganho de malha aberta relacionando a j-ésima entrada à i-ésima saída (mk constante c/ k≠j).
ij
ij
cj
i
mj
i
ijK
K
m
c
m
c
ikk
jkk
′=
∆
∆
∆
∆
=
≠
≠µ
Como no caso de sistemas 2 x 2
Seja K a matriz dos ganhos estáticos de malha aberta.
Na forma vetorial-matricial o vetor variações das variáveis controladas (∆c) em função do vetor variações dasvariáveis manipuladas (∆m) é dado por
mKc ∆=∆
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Cálculo dos ganhos relativos para sistemas n x n (n malhas de controle ou n pares entrada-saída)
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Interação entre malhas
mKc ∆=∆ logo cKm ∆=∆ −1 Seja 1−= KB cBm ∆=∆⇒
Para o j-ésimo elemento de ∆m:njnijijj cBcBcBm ++∆++∆=∆ ......11
ondeijci
j
jiKc
mB
jkk
′=
∆
∆=
≠
1
ou seja, os elementos de B correspondem aos inversos dos ganhos de malha fechada transpostos.
Combinando a expressão de Bji com a expressão de µij vemos que
ijji
ij
ij
ij KBK
K=
′=µ
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Desacoplamento entre malhas
A partir da análise pelos ganhos relativos (menores desvios em relação à unidade) pode-se tentar desacoplar asmalhas que mantêm interação.
O projeto de desacopladores é semelhante ao projeto do controladores feedfoward, com a diferença que osdesacopladores fazem parte de malhas de controle realimentadas.
Seja o processo linear MIMO 2 x 2 dado na forma de diagrama de blocos (caracterização dinâmica no domínio s):
No processo MIMO G12(s) e G21(s) sãoresponsáveis pelo acoplamento.
Gv1(s) e Gv2(s) modelam os elementosfinais de controle.
23/06/2017
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Desacoplamento entre malhas
Digamos que pela análise dos ganhos relativos os pares formados são (m1, c1) e (m2, c2). O controle será feito daseguinte forma.
Projeto de desacoplador a partir do diagrama de blocos
Para o par (m1, c1) o controlador édado por Gc1(s).Para o par (m2, c2) o controlador édado por Gc2(s)
Como essas malhas poderiam serdesacopladas?
H1(s) e H2(s) modelam ossensores/transmissores.
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Desacoplamento entre malhas
Na proposta a seguir, o desacoplamento é obtido com as funções de transferência D21(s) e D12(s)
Projeto de desacoplador a partir do diagrama de blocos
D21(s) deve cancelar o efeito de M1(s)em C2(s) e D12(s) deve cancelar oefeito de M2(s) em C1(s).
Então
0)()()()()()(
)(12211112
2
1 =+= sGsGsGsGsDsM
sCvv
0)()()()()()(
)(21122221
1
2 =+= sGsGsGsGsDsM
sCvv
23/06/2017
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Desacoplamento entre malhas
M1(s) é visto como uma perturbação para C2(s) e M2(s) é visto como uma perturbação para C1(s)
Projeto de desacoplador a partir do diagrama de blocos
Resolvendo as equações para D12(s) eD21(s)
)()(
)()()(
111
122
12sGsG
sGsGsD
v
v−=
)()(
)()()(
222
211
21sGsG
sGsGsD
v
v−=
Essa técnica pode ser usada parasistemas MIMO 2 x 2, mas é necessárioconhecer os modelos dos elementos(seja por modelagem física/matemáticaou por identificação).
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Desacoplamento entre malhas
Projeto de desacoplador a partir do diagrama de blocosAs funções de transferênciarelacionando variável manipulada ecorrespondente variável controlada são
)()()()()()(
)(12221111
1
1 sGsGsDsGsGsM
sCvv +=
)()()()()()(
)(21112222
2
2 sGsGsDsGsGsM
sCvv +=
Substuindo D21(s) e D12(s)
−=
)(
)()()()(
)(
)(
22
1221
111
1
1
sG
sGsGsGsG
sM
sCv
−=
)(
)()()()(
)(
)(
11
2112
222
2
2
sG
sGsGsGsG
sM
sCv
Com essas funções, mais H1(s) e H2(s), os controladores agora podem ser projetados, independentemente.
23/06/2017
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Desacoplamento entre malhas
Projeto de desacoplador para sistemas MIMO n x n
Para generalizar o procedimento de desacoplamento devemos trabalhar com notação vetorial-matricial.
Quanto maior o número de variáveis controladas, maior a complexidade do projeto.Por exemplo, em um sistema 4 x 4 são necessários 12 desacopladores. De forma geral são necessários n(n-1)desacopladores.
Para desacoplamento devemos ter
=
)(
)(
)(
.
1)()(
)(1)(
)()(1
.
)()()(
)()()(
)()()(
)(
)(
)(
2
1
21
221
112
2
1
21
22221
11211
sM
sM
sM
sDsD
sDsD
sDsD
sGsGsG
sGsGsG
sGsGsG
sC
sC
sC
nnn
n
n
PPP
PPP
PPP
n nnnn
n
n
M
L
MOMM
L
L
L
MOMM
L
L
M
)(sC )(sM)(sPG )(sD
)()()()( ssss P MDGC =ou seja
Controle de sistemas multivariáveis
Sistemas MIMO – Desacoplamento entre malhas
Projeto de desacoplador para sistemas MIMO n x n
)()()( sss P MGC ′=seja )()()( sss PP DGG =′onde
)()()()( ssss P MDGC =
( ) )()()(1
ssS PP GGD ′=−
)(.
)(00
0)(0
00)(
)(22
11
s
sG
sG
sG
s
nnP
P
P
MC
′
′
′
=
K
MOMM
L
L
logo
diagonal
Para determinar D(s) são montadas n2 equações independentes. As n2 incógnitas são os n(n-1) elementos nãodiagonais de D(s) e os n elementos diagonais de G´P(s).
Na prática esse procedimento pode ser muito complexo em função da inversão de matriz de funções detransferências. Existem métodos (não discutidos aqui) que podem ser utilizados para resolver esse problema (verreferências).