Capitulo 4 :

PAGE Teora de Circuitos

CApTULO vi ANALISIS DE LA RESPUESTA A EXCITACIONES

DEPENDIENTES DEL TIEMPO

5.1 Composicin de una respuesta

5.2 Respuesta natural o componente transitoria

5.3 Constante de tiempo

5.4 Respuesta forzada o componente permanente

5.5 condiciones iniciales

5.6 Anlisis por el mtodo de la transformada de Laplace

5.1 Composicin de una respuesta. La ecuacin representativa de un circuito elctrico, resulta ser una ecuacin integrodiferencial, la cual puede transformarse en una ecuacin diferencial pero de orden mayor

En general se tiene:

La ecuacin anterior es la ecuacin diferencial de la red, llamada tambin ecuacin de equilibrio de una red.

Donde:

= Es la variable de salida de la red (tensin o corriente) asociada a un elemento.

= Es una seal o funcin de entrada a la red (seal de excitacin)

= Son parmetros que dependen de la estructura de la red y del valor de sus elementos.

Si la seal de entrada es conocida -como es usual- entonces sus derivadas tambin lo son, es decir:

Quedando consecuentemente la ecuacin de equilibrio en la forma.

La anterior expresin, es la forma general de la ecuacin de equilibrio de la red elctrica.

Las respuestas que pueden ser corrientes y voltajes en capacitancias, inductancias o resistencias, son las soluciones a la ecuacin de equilibrio de la red.

Teorema de la respuesta completa

Sea una funcin , que satisface la ecuacin de equilibrio, entonces:

Donde: = funcin de excitacin.Y sea una solucin de la ecuacin sin fuentes.

Entonces: , tambin satisface a la ecuacin de equilibrio.

es llamada respuesta forzada, (solucin particular, componente permanente, componente estacionaria)

es llamada respuesta natural, (solucin complementaria, componente transitoria).

es llamada respuesta completaEjemplo: Sea el circuito, en el que para t = 0 el interruptor esta abierto, el condensador esta descargado (Q = 0), es decir

Cerrando el interruptor (t > 0), la carga fluye desde la fuente hasta el condensador.

A medida que las placas del condensador reciben cargas, se va estableciendo entre las placas una diferencia de potencial (voltaje) , hasta llegar a tomar despus de un determinado tiempo el valor V de la fuente de alimentacin.

Cuando en t = 0 se cierra el interruptor k, el circuito equivalente es.

Aplicando la LVK se tiene:

pero

,

Derivando la ltima ecuacin se tiene:

Ordenando:

Inmediatamente despus de cerrar k se establece una corriente inicial, la cual tiene un valor:

Luego:

Es la ecuacin diferencial del circuito anterior.

Resolviendo la anterior ecuacin diferencial, se obtiene la corriente por el capacitor:

Luego, el voltaje en el capacitor estar dado por:

Por tanto: Corriente por el circuito:

Voltaje en el capacitor:

Graficando estas expresiones, se tiene:

La constante de tiempo, en este circuito es:

, entonces

La constante de tiempo se define como el tiempo requerido para que la respuesta llegue al 63.2% de su valor final.El voltaje en el capacitor, puede descomponerse en dos tipos de respuestas o componentes: la componente permanente o forzada y la componente transitoria o respuesta natural.

5.2 Respuesta natural. La respuesta natural o respuesta transitoria, resulta de la necesidad de un ajuste gradual de la energa almacenada en las inductancias y capacitancias; entre los valores que existen antes de aplicar la excitacin y los valores que resultan de ella.

La respuesta transitoria, se obtiene al resolver la ecuacin diferencial siguiente.

Es la ecuacin sin fuentes de la red (ecuacin sin estmulos).

Asumiendo que es la respuesta o la solucin a la ecuacin diferencial anterior, se tiene:

De donde: La ltima ecuacin, se conoce como la ecuacin caracterstica de la red. Las races de la ecuacin caracterstica son por lo general, de la forma:

Parte real de la raz

Parte imaginaria, conocida como la frecuencia angular (rad. /seg.)Si , la respuesta tiene slo componentes exponenciales (crecientes si > 0 ; decrecientes si < 0).

Si la ecuacin caracterstica tiene solo races reales, todas diferentes, la respuesta es sobreamortiguada; y si la ecuacin caracterstica tiene races reales repetidas, la respuesta ser crticamente amortiguada.

Si las races de la ecuacin caracterstica son:

Donde:

Entonces, la respuesta contiene senoscosenos amortiguados exponencialmente (crecientes o decrecientes). (Caso subamortiguado).

Si las races de la ecuacin caracterstica son: s1,s2,s3snEntonces, la respuesta natural o transitoria ser:

: respuesta natural de la red Donde: se determinan a partir de las condiciones iniciales de la red, estas condiciones generalmente son:

El valor de y de sus (n-1) derivadas en t = 0Ejemplo 1. Para el circuito de la figura determinar (a). La corriente de respuesta natural si el interruptor s est cerrado. (b) La respuesta natural si el interruptor s est abierto.

a) b)

Son las ecuaciones diferenciales representativas de ambas redes.

a) La ecuacin sin fuentes es:

La ecuacin caracterstica es:

Luego, la respuesta natural o transitoria es:

La constante de tiempo de este circuito es:

b)

Derivando m/m se tiene:

Es una ecuacin diferencial de segundo orden.La ecuacin caracterstica es:

De donde

Luego, la respuesta natural es:

es la respuesta natural.La constante de tiempo, en este caso tambin es:

5.3 Constante de tiempo. La constante de tiempo se define como aquel tiempo que se requiere para que la respuesta alcance el 63.2% de su valor final de estado permanente.

La constante de tiempo, puede considerarse tambin como la medida de tiempo que se requiere para que la respuesta exponencial se reduzca a un valor cero si disminuira a la velocidad inicial.

Sea una respuesta del tipo.

;

De donde: es la constante de tiempo.La constante de tiempo es til para comparar una respuesta con otra. Al realizar la comparacin de respuestas, no se puede comparar tiempos en los que la respuesta desaparece o llega a su estado permanente, ya que esto requiere un tiempo infinito. Sin embargo, los porcentajes de disminucin o aumento se pueden medir y utilizarse como norma de comparacin.Sean las respuestas siguientes.

,

0 k0

0.368k0.632k

0.136k0.865k

0.050k0.950k

0.018k0.982k

En la funcin la respuesta disminuye al 36.8% de su valor inicial en un tiempo igual a la constante de tiempo. En un tiempo igual a cuatro constantes de tiempo, la respuesta se reduce aproximadamente al 2% de su valor inicial.

En la funcin la respuesta llega al 63.2% de su valor final en un tiempo igual a la constante de tiempo.

Por lo general, se supone que el estado transitorio desaparece en cuatro constantes de tiempo. Es decir, el estado transitorio tiene una duracin de cuatro constantes de tiempo ().

Por ejemplo, se ha visto que en un circuito serie RC se tiene la solucin para la corriente en la forma:

La constante del tiempo es:

Si:

Si:

Para el primer caso, la corriente se reducir al 36.8 % del valor inicial en el pequeo lapso de 0.12seg. Para el segundo caso, se necesitar 5 minutos.

5.4 Respuesta forzada. De acuerdo al teorema de la respuesta completa, sta se ha dividido en dos partes, sin embargo esta divisin de la solucin es arbitraria y convencional. Dentro de una corriente, el electrn individual no tiene forma alguna de saber si se encuentra en el estado transitorio o en el permanente de la corriente.

La respuesta forzada o de estado permanente es una solucin particular ante una seal de excitacin.Si es una solucin forzada, entonces.

es la respuesta forzada, que es una funcin que contiene a la funcin excitatriz y todas sus derivadas.

Ejemplo 2. Sea el siguiente circuito.

Donde:

Aplicando la LVK se tiene:

Para eliminar la integral, derivamos m/m

La solucin permanente o forzada, ser

Luego:

Por tanto: es la respuesta forzada.La ecuacin () se puede representar en la forma.

La ecuacin caracterstica es:

De donde:

Luego, la solucin natural es:

La respuesta completa ser:

Las constante A ^ B, son constantes de integracin y se hallan de las condiciones iniciales del circuito.

Ejemplo 3. En el ejemplo (1), hallar las respuestas forzadas.

a) Como: El segundo miembro (seal de excitacin) es una constante, por lo que la respuesta forzada tendr la forma:

Entonces: luego:

Por tanto:

La constante k se determina a partir de las condiciones iniciales.

b)

Luego:

Por tanto, la respuesta forzada es cero

Al ser la respuesta forzada igual a cero, la corriente en el circuito solo tiene la parte transitoria y sta se anular despus de un cierto tiempo.

5.5 Condiciones iniciales. Para determinar las constantes de integracin de la respuesta completa, es importante conocer las condiciones iniciales (y finales) del circuito elctrico.

Generalmente los procesos de conmutacin ocurren en el tiempo de referencia t = 0.

Las condiciones que existen un poco antes de operar el conmutador se designan como . Las condiciones posteriores se designan como .

Antes de la conmutacin

Despus de la conmutacin

Las condiciones iniciales de una red dependen de lo que haya pasado antes (historia del circuito) de la conmutacin, es decir en t = 0- y de la estructura de la misma en t = 0+ despus de la conmutacin.

Lo que haya pasado antes se manifestar en la forma que tengan los voltajes de las capacitancias y las corrientes que circulan por las inductancias. Una vez que se realiza la conmutacin, en t = 0+ pueden aparecer nuevas corrientes y voltajes en la red, todo como resultado de los voltajes iniciales en capacitancias, corrientes iniciales en inductancias y debido a la naturaleza de las fuentes de excitacin (fuentes de voltaje y de corriente que se introducen en la red).Condiciones iniciales en una resistencia. La corriente que pasa por una resistencia cambia instantneamente, si el voltaje cambia instantneamente

El voltaje cambiar de un modo instantneo, si la corriente cambia instantneamente.Condiciones iniciales en una capacitancia. El voltaje entre los terminales de una capacitancia no puede cambiar instantneamente, debido a que por una capacitancia no puede existir corriente infinita.

Como: (cambio brusco) se dara solo cuando

Si se conecta un condensador descargado a una fuente de energa, fluir una corriente instantnea, y se puede considerar al condensador como equivalente a un cortocircuito.

Si se conecta un condensador con carga inicial, ste equivale a una fuente de voltaje con un valor , donde es la carga inicial.

Condicin inicial en una inductancia. La corriente en una inductancia no puede cambiar instantneamente, debido a que en bornes de una inductancia no puede existir un voltaje infinito.

Como: (Cambio brusco) se dara solo cuando:

Si se conecta una inductancia a una fuente de energa, no har que fluya una corriente en el instante inicial y la inductancia actuar como si fuera un circuito abierto.

Si en el instante en que se produce la conmutacin circula una corriente por la inductancia, esa corriente seguir circulando; por tanto, se puede considerar a la inductancia como una fuente de corriente . Mediante una representacin circuital se tiene:

El comportamiento en un tiempo inicial t = 0 y en un tiempo final se puede esquematizar de la siguiente forma: tiempo (t=0-) tiempo (t=0+) tiempo ()

Ejemplo: A un circuito serie RLC con se le aplica en el instante la tensin senoidal . Hallar la corriente resultante en el circuito.

Aplicando la LVK, se obtiene la ecuacin integro-diferencial del circuito.

Derivando m/m y ordenando se tiene.

La ecuacin caracterstica es:

Cuya solucin es:

Luego, la solucin o respuesta natural (solucin complementaria) es:

Donde: son constantes de integracin.

Posteriormente, se debe determinar la respuesta forzada (respuesta de corriente). Esta respuesta ser una funcin que contiene a la funcin excitatrz ms sus derivadas, por tanto ser una funcin del tipo.

Reemplazando estas expresiones en la ecuacin (I)

De donde se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas:

Resolviendo se tiene:

Luego:

La solucin completa ser:

Condiciones iniciales:

para

Para

Finalmente:

5.6 Anlisis por el mtodo de la transformada de Laplace. La transformada de Laplace es una poderosa herramienta para la resolucin de ecuaciones diferenciales lineales.

Este mtodo presenta varias ventajas sobre los mtodos clsicos, puesto que la solucin que se obtiene es total (respuesta transitoria ms la respuesta permanente) e inclusive las condiciones iniciales quedan automticamente especificadas en las ecuaciones transformadas.

El proceso de solucin mediante la transformada de Laplace puede ilustrarse mediante el siguiente diagrama de bloques.

L

Propiedades generalesTransformadas ms comunes

Ejemplo.- Considere nuevamente, el circuito RC.

Encuentre la corriente por el circuito y el voltaje instantneo en el capacitor.

Considere que el capacitor en t=0 se encuentra descargado (q0=0), en consecuencia el voltaje inicial en el capacitor es cero ().

Solucin.- Aplicando la L.V.K. al circuito se tiene:

Aplicando la transformada de Laplace m/m se tiene:

L L L sea L

Para hallar: L

EMBED Equation.2 Integrando por partes:

Por tanto:

Por tanto: L

Se sabe que:

Evaluando esta expresin en t=0, se tendr la carga inicial en el condensador.

Por tanto, de (2): L

Por otro lado, se conoce que el voltaje en un capacitor es:

; Aplicando la trasformada de Laplace se tiene:L L

Voltaje inicial en el capacitor.El voltaje inicial en el capacitor ser:

Luego:

Donde se supone que la carga inicial es positiva en la placa superior del condensador.

Reemplazando (3) en (1) y considerando que se tiene:

Aplicando la transformada inversa de Laplace, se tiene:

L -1 L -1

Corriente elctrica por el circuito:La constante de tiempo es:

El voltaje en el capacitor se halla de:

Pero

Luego:

Aplicando L -1 : L -1 L -1

Voltaje en el capacitor.Ejemplo. Considere el circuito RL que se muestra en la figura. Encuentre la corriente y el voltaje en el inductor. Suponga que en t = 0 la corriente inicial es cero.

Solucin: Aplicando la L.V.K. se tiene:

Aplicando la transformada de Laplace m/m.

L L L

Se conoce que: L L

El voltaje en la inductancia es:

Aplicando L . L L L

Reemplazando (2) en (1):

De donde: Aplicando. L -1 L -1 L -1

Es la corriente en el circuito. La constante de tiempo es:

De (3), podemos obtener el voltaje en la inductancia.

Luego: ;

Aplicando L -1L -1 L -1

Por tanto, la corriente es: Voltaje en la inductancia:

Ejemplo. En el circuito representado, se cierra el interruptor 1 en el instante t=0, y en el instante t=4 (mseg.) se abre el interruptor 2.

Hallar la intensidad de corriente (respuesta de la red).

Solucin. Cerrando 1 en t = 0, se tiene el circuito.

La ecuacin diferencial de este circuito es:

Aplicando L :; pero

Luego:

Aplicando L -1 ; L -1 L -1

La constante de tiempo para este caso es:

En el instante que se abre el interruptor 2 la corriente que lleva el circuito ser:

Luego, la ecuacin de equilibrio a partir del instante ser:

Aplicando nuevamente la transformada de Laplace:

L L L

Inicializando nuevamente el tiempo en t = 0.004seg, se tiene:

Aplicando L -1 L -1 L -1

La constante de tiempo en este caso, se ha modificado a:

Observe que la constante de tiempo ha disminuido cuando la resistencia aumenta (a mayor resistencia la corriente llega mas rpidamente a su valor final o al estado estacionario; para el caso RL).

5.6.1 Anlisis de circuitos en el dominio de la variable s de Laplace.Considere el circuito R.L.C de la figura.

La fuente de tensin puede ser de corriente continua o alterna.

Aplicando la LVK se tiene.

Supngase que la corriente inicial en la inductancia es y que el condensador tiene una carga inicial q0

Aplicando L a (1) se tiene:

L L L L

En los anteriores ejemplos se encontr que:

L ; L Reemplazando en (2)Se tiene:

Factorizando se tiene:

La ltima expresin se puede representar mediante un circuito equivalente en el dominio de Laplace, en la forma.

Los trminos que constituyen las condiciones iniciales, se pueden considerar como generadores, cuyo sentido es como se representa en la figura. Es claro que si la corriente inicial circulara en sentido contrario, o la carga tuviera polaridad opuesta, los signos de los trminos cambiaran de igual forma.Si las condiciones iniciales fueran nulas el circuito serie RLC en el dominio de Laplace tomara la forma.

Aplicando la LVK a este circuito se tiene.

Despejando y tomando la transformada inversa de Laplace, se puede hallar la corriente elctrica por el circuito en el dominio del tiempo.

Ejemplo. En el circuito serie RLC de la figura, no existe corriente inicial ni carga inicial Si se cierra el interruptor en t=0.

Hallar la intensidad de la corriente que circula.

Solucin: Transformando el circuito al dominio de Laplace se tiene:

Luego, aplicando la LVK se tiene:

Aplicando L -1 L 1- L -1 ; L -1

Por tanto:

Es una corriente elctrica oscilatoria amortiguada (caso subamortiguado)

La grfica de esta corriente es de la forma:

Tarea para el estudianteEncuentre tambin

El voltaje instantneo en el capacitor

El voltaje instantneo en la inductancia

EMBED Equation.3

PAGE 1 Ing. Elctrica y Electromecnica

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+

-

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+

-

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+

-

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L

R

+

-

k

+

-

_1395752713.vsd

_1395752563.vsd

R

+

-

k

C

+

-

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10V

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_1395680561.vsdCortocircuito (c.c)

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+

-

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(C.A)

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_1395680576.vsdCircuito abierto (C.A)

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_1395680491.vsdCircuito abierto (C.A)

_1395680502.vsdCortocircuito (c.c)

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DC

V

R

+

-

k

C

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DC

V

R

+

-

C

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