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CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL CAP. 6: APLICACIÓN DE FÓRMULAS DE INCENTIVOS

Capítulo 6

APLICACIÓN DE FÓRMULAS DE INCENTIVOSBASADAS EN RESULTADOS Y PREVISIONES

Contenido:

6.1 El paradigma de la función incentivo de “dos fases/doble vía" (D/D)• Convergencia de soluciones para un mismo problema• Determinación de los parámetros• Simetría/asimetría de los parámetros

6.2 Previsiones de los agentes según su actitud frente al riesgo• Agentes ‘aversos’ al riesgo• Agentes ‘propensos’ al riesgo• Parámetros asimétricos como forma de neutralizar el sesgo en las propuestas de previsiones

6.3 Las fórmulas de incentivos en la segunda fase: estímulo a superar la previsión• El inconveniente relativo de la penalización en las funciones-incentivo D/D• Premiar más que proporcionalmente una superación de la previsión: función D/D modificada.

6.4 Adaptación de las fórmulas de incentivos a otros casos• Caso en que existe más de una variable de control• Caso en que la variable de control es una variable a minimizar

CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL Joaquim Vergés

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6.1. EL PARADIGMA DE LA FUNCIÓN-INCENTIVO DE “DOS FASES/DOBLE VÍA” (D/D).

(6.1.1)Convergencia de soluciones para un mismoproblema

Las últimas cuatro fórmulas de incentivos examinadas en el capítulo precedente tienenen común que actúan temporalmente en dos fases -fase de hacer previsiones y fase decomparación del valor real con el valor previsto- y que para esta segunda fase prevén unadoble vía de aplicación: una cuando el producto realmente conseguido por el A es superior alprevisto y otra para el caso contrario. Gracias a esta estructura se puede incentivar al A aconseguir un alto nivel de producto sin la consecuencia perversa que general el “efectoocultación”. Por otro lado, también tienen en común que en la primera fase inducirán el mismotipo de comportamiento en el A si éste se encuentra en situación de certeza en lo que respectaal valor futuro de producto a alcanzar, y también en el caso de incertidumbre si los parámetrosrespectivos cumplen determinadas condiciones.

No obstante, es evidente que se trata de cuatro funciones-incentivo que responden aplanteamientos distintos elaborados desde perspectivas diferentes. Por un lado, hemos visto lasde Ellman, Fan y Weitzman, inspiradas por las experiencias y propuestas relativas al sistema deincentivos para gerentes de empresas estatales, aunque sean fórmulas de incentivos pensadaspara situaciones de agencia en general en las que se pretende que los A no sólo consiganresultados elevados, sino también que hagan previamente previsiones fiables, que reveleninformación veraz sobre las posibilidades de rendimiento de la US cuya gestión se les confía.Por otro lado, existe la de Gonik-IBM, elaborada desde la lógica de una multinacional privadaque pretende conseguir exactamente lo mismo de sus A responsables comerciales de distintasáreas geográficas. El caso es que, a pesar de responder a planteamientos distintos, las cuatrofórmulas de incentivos examinadas pueden ser consideradas -como se demuestra acontinuación- como casos concretos de una misma forma funcional implícita -quedenominaremos función-incentivo de dos fases/doble vía (D/D)- que puede enunciarse así:

FUNCIÓN D/D, EXPRESIÓN GENERAL IE = ββ.X' + {a,c}.(X - X') [26]

0 < a < β < c , parámetros predeterminados por el P.a, parámetro activo cuando X>X'c, parámetro activo cuando X<X'

En efecto, la fórmula de FAN, IE= α.X - α.ε|X - X'|, permite -como hemos visto antes-ser reescrita como: IE =α.X' + α(1±ε).(X-X'), [20a]. En lo que respecta a la de GONIK-IBM, admite también ser reformulada en los términos siguientes:


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si X=X' --> IE= (IE^/X^ ). X' ; y, si hacemos, para simplificar, (IE^/X^) = b; entonces IE = b. X'

si X>X' --> IE= (IE^/X^).(X+X') ≡ b.X' +(b/2).(X-X')si X<X' --> IE= (IE^/2X^).(3X-X') ≡ b.X' + (3/2).b.(X-X')es decir, que la expresión común implícita es: IE = b.X' + b.(1±±0,5).(X-X')

y, en lo que respecta a la función de Weitzman, si tenemos en cuenta que los valoresanticipados por el P, X^ y IE^, pasan a ser unos parámetros para el A, podemos reescribirlacomo:

+α.(X - X') , si X > X' IE = (IE^-β.X^) + β.X' [23.a] - λ.(X' - X) , si X < X'

Donde (IE^-β.X^) es un valor constante que, como ya se ha mencionado anteriormente, en lalógica del planteamiento de Weitzman sería igual o cercano a cero.1

En consecuencia, podemos establecer las correspondencias siguientes entre las cuatrofórmulas examinadas (la notación, en lo que respecta los respectivos parámetros, es lacorrespondiente a cada autor, excepto en el caso de Gonik):

Parámetros de la forma funcional común: β a c -

función de ELLMAN a a.k(baja) a.k(alta)Función de FAN α α.(1-ε) α.(1+ε)función de WEITZMAN β α γ , (IE^-β.X^)función de GONIK b b(1-0,5) b(1+0,5)

Así, puede decirse que las cuatro fórmulas de incentivos responden, de hecho, a unamisma forma funcional de tres parámetros, la [25], con los matices siguientes: la función deFan es un caso concreto en que los dos parámetros extremos son simétricos respecto elparámetro central β; y, a la vez, la fórmula de Gonik-IBM es un caso específico de parámetrossimétricos, en el que la separación relativa de los mismos con relación al parámetro principal βes concretamente igual al 50% (ε = 0,5) . En lo que respecta a la función de Weitzman, tieneun cuarto parámetro, cuyo valor será normalmente igual o cercano a cero, por lo indicadoanteriormente.

El siguiente ejemplo ilustra el paralelismo anterior y puede considerarse como unaaplicación de la siguiente función D/D [25] :

IE = 8.X' + {6,10}.(X - X')

o, también, como una aplicación de la función de Ellman (con a=8, kbaja=0,75 y kalta= 1,25),o bien una aplicación de la de Fan (con α=8 i ε=0,25), o una aplicación de la de Weitzman

1 Ya que IE^ es la prima-base si el A acepta sin modificar la previsión sugerida por el P, y por eso parece lógicosuponer que IE^ la habrá determinado el P como IE^=β.X^


256

simplificada (con IE^=β.X^):

Tabla I :

IMPORTE DE LA PRIMA, SEGÚN DIFERENTES HIPÓTESIS DE VALOR PREVISTO Y DE VALOR REAL

Función-incentivo D/D, parámetros simétricos 8, 6, 10 (separación relativa: 25 %)

Probabilidades estimadas para el A para cada posible valor de X:0,05 0,10 0,20 0,30 0,20 0,10 0,05 Esperanza

matemáticaSi X= 280000 320000 360000 400000 440000 480000 520000 ⇓⇓

Si X' = ↓↓280000 2.24 2.48 2.72 2.96 3.2 3.44 3.68 2,960320000 2.16 2.56 2.8 3.04 3.28 3.52 3.76 3,032360000 2.08 2.48 2.88 3.12 3.36 3.6 3.84 3,088400000 ⇐ 2,00 2,4 2,80 3,20 3,44 3,68 3,92 3,112440000 1,92 2,32 2,72 3,12 3,52 3,76 4,00 3,088480000 1,84 2,24 2,64 3,04 3,44 3,84 4,06 3,031520000 1,76 2,16 2,56 2,96 3,36 3,76 4,16 2,960

En la tabla se incluye también un supuesto sobre las probabilidades que el A estima para cadaposible valor futuro de producto (más exactamente, para el intervalo cuyo valor central es elque figura en la columna correspondiente). Una información que nos indica que el A estimaque el intervalo de máxima probabilidad es 380.000 < X ≤ 420.000, es decir, calcula que existeun 30% de probabilidades que esté alrededor de 400.000 unidades (= X+p), o que, porejemplo, desde su perspectiva, la probabilidad de conseguir un valor alrededor de 480.000unidades es únicamente del 10 % .

0,10

0,20

280.000320.000

360.000400.000

440.000480.000

520.000

0,30

0,10 0,10

0,20 0,20

0,30

0,05 0,05

f(X)

P(..<X <..)

X

En la columna final de la tabla también se ha representado el cálculo de la esperanza


257

matemática de prima para el A, según sea la decisión que tome en la primera fase al hacer suprevisión2. Como puede verse, esta esperanza matemática tiene un máximo (3.112.000 pts.)cuando el A elija como previsión precisamente X'=400.000 unidades, la cifra de producto parala que estima la máxima probabilidad.

♠ ♠Lo que sigue del presente apartado y los dos siguientes (6.2 y 6.3) está dedicado a

exponer el funcionamiento y las propiedades de la que hemos denominado función-incentivogeneral tipo “dos fases/doble vía”, D/D, lo que permitirá ampliar y generalizar lasconclusiones para casos específicos expuestas en el capítulo anterior, así como extender lasposibilidades de aplicaciones prácticas de estas fórmulas de estímulo económico.

(6.1.2)

Determinación de los parámetros

El parámetro central: intensidad del incentivo

En una fórmula de incentivos de tipo D/D el parámetro principal es, sin duda, el β, yaque de él depende el orden de magnitud o intensidad del incentivo. Si se establece un incentivosegún esta fórmula, el A, como hemos visto, no estará interesado en proponer previsiones nibajas ni poco probables; a la vez que sí estará interesado, una vez fijada la previsión, enconseguir el máximo resultado posible. Por tanto, no sólo tenemos que considerar que en talescondiciones el hecho de cumplir la previsión es una muestra de gestión eficiente, sino que es deesperar que la desviación entre el valor real y el previsto sea proporcionalmente pequeña. Enconsecuencia, la parte cuantitativamente dominante de la prima definitiva que cobrará el Avendrá dada por la primera parte de la fórmula: β·X’, que llamaremos prima prevista o primabase, y que es lo que cobrará el A en el caso de que efectivamente cumpla la previsión que élmismo ha propuesto:

IE = β·X’ + {a, c}·(X-X’) PRIMA PRIMA BASE COMPLEMENTARIA

La decisión que debe tomar el P sobre el valor a fijar para este parámetro principal, β, parauna US o un A determinado, es, por tanto, una decisión sobre la intensidad óptima delincentivo. Tema que hemos visto antes en le apartado 5.2. Recordemos al respecto unasconclusiones importantes:

• El A decide su esfuerzo (e) en el momento en que tiene que presentar su previsión al P; yesta decisión dependerá -a la vista de la fórmula que determinará su retribución variable- decual sea la intensidad del incentivo esperable, o sea, dependerá -si nos referimos a unafórmula de incentivos D/D- del valor que se asigne al parámetro β.

2 Así, por ejemplo: E[IE]X'=480.000 = 1,84 x 0,05 + 2,24x0,1 + 2,64x0,2 + .......+ 4,06x0,05 = 3,031 millones.


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• Decidido un determinado nivel de esfuerzo, el A tendrá una determinada estimación delintervalo entre el que puede estar el volumen máximo de producto que podrá realmenteconseguir, X; y cada posible valor dentro del intervalo tendrá, para el A, una determinadaprobabilidad de darse (es lo que llamamos “distribución de probabilidades subjetivas”), enfunción de las diferentes posibilidades futuras respecto a las variables del entorno.

• En consecuencia, esta distribución de probabilidades subjetivas será diferente, según sea el

nivel de esfuerzo que haya decidido emplear el A en su gestión al frente de la Unidad. Dichode otro modo: la probabilidad que estimará con la finalidad de conseguir o superar undeterminado nivel de producto, X0, será más elevada cuanto más elevado sea el nivel deesfuerzo que piensa aplicar en su gestión.

(1)e (2)e

(1)β (2)β

X0

<

<

X0

f(X) f(X)(amb e=e(1) ) (amb e=e(2) )

Podemos concluir, por tanto, que, 1) si se establece un incentivo económico tipo funciónD/D, la previsión que presentará el A tenderá a ser igualmente probable (desde su perspectiva)pero cuantitativamente más alta cuanto más alto sea el parámetro principal β; y, 2) que todo loque hemos visto antes al hablar de la situación de incertidumbre y de la intensidad óptima delincentivo para el caso de la función sencilla [1] es aplicable al parámetro principal β de lasfunciones D/D.

Separación relativa de los parámetros: Penalización, y Grado de fiabilidad de lasprevisiones

La separación entre los parámetros extremos y el central constituye el elemento de lafórmula de incentivos D/D que, en la primera fase, cuando se solicita al A una previsión, señalaa éste la penalización que experimentará su retribución variable, tanto si el valor real deproducto conseguido es inferior como superior, característica que hace que este tipo defunciones-incentivo eliminen el efecto ocultación y hagan innecesaria la respuesta del efecto“ratchet” por parte del P.

Puede resultar, en principio, paradójico hablar de “penalización” en caso de que el Aobtenga un valor de producto real superior al previsto, pero recuérdese que nos referimossiempre a una penalización relativa: si supera la previsión, tendrá derecho a la prima base,calculada sobre la previsión, más una prima adicional sobre la diferencia; pero la prima que leasignaría la fórmula sería aún mayor si en la fase de hacer previsiones hubiese acertado el valordel producto realmente conseguido. Esta diferencia de prima es lo que constituye la


259

penalización relativa. Del mismo modo, la penalización relativa por haber obtenido un valor real de producto inferioral previsto no viene dado por la deducción -c·(X’-X) de la fórmula, sino solamente por -(c-β)·(X’-X), ya que restar de la prima base (β·X’) un importe igual a β(X’-X) no representa ningunapenalización, sino una simple corrección sobre la prima base que es preciso realizar debido aque la realidad ha quedado por debajo de la previsión. Resumiendo, si una vez transcurrido el periodo, el A hubiese conseguido superar su propiaprevisión: X > X’, entonces tendremos:

* Prima que cobrará: β·X’ + a ·(X-X’)* Prima máxima que podría haber cobrado (si hubiese dado como previsión el valor máselevado X): β·X.* Penalización: β.X - [β.X' + a.(X - X')] ≡ β.X - [β.X - β(X - X') + a(X - X') ≡ (ββ -a).(X -X')

Y, paralelamente, si suponemos que quedase por debajo de la cifra fijada como previsión: X <X', --->

* Penalización: (c - ββ).(X' - X)

Esta cuestión queda aún más en evidencia si reescribimos la fórmula de incentivos D/Den los siguientes términos:

IE = β.X' + {a,c}.(X - X') ≡ {si X>X'} ≡ β.X' + a.(X - X') +β.X - β.X ≡ ββ.X -(ββ-a).(X - X') {si X<X'} ≡ β.X' + c.(X - X') +β.X - β.X ≡ ββ.X -(c-ββ).(X' - X)

Por tanto, la penalización implícita en la fórmula será mayor cuanto más alta sea laseparación entre los parámetros. El que dicha separación se considere muy alta, media o bajadependerá, lógicamente, del valor del parámetro β, es decir, de la separación relativa: (c-β)/βy (β-a)/β, respectivamente. En consecuencia, el que la penalización por “equivocarse” al dar laprevisión sea más o menos fuerte depende, en realidad, no tanto de la separación absolutacomo de la separación relativa de los parámetros de la fórmula de incentivos. En caso de quelos parámetros sean simétricos, la separación relativa es la misma en los dos sentidos, ε = (β-a)/β = (c-β)/β, y puede explicitarse reescribiendo la función D/D al estilo de la de Fan:

IE = β.X' + β.(1 ± ε).(X - X') [26a]

0 < ε < 1 ; signo "-" cuando X>X' ; signo "+" cuando X<X'

donde el parámetro ε denota la separación relativa, en tanto por uno.

Expresión que permite precisar que cuanto más grande sea la separación relativa, ε, mayorserá la penalización (que tendrá el A “a posteriori”) por haber dado una previsión quedespués no se ha cumplido exactamente; (“error” de previsión que, en mayor o menormedida, será algo virtualmente inevitable).

Esto queda ilustrado en la tabla que sigue, que corresponde al mismo ejemplo numéricoanterior, también con parámetros simétricos pero con una separación relativa más alta (75% enlugar del 25% anterior).


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Tabla II


Función-incentivo D/D: IE = 8.X' + {2,14}.(X - X');(parámetros simétricos; separación relativa: 75 %)

Probabilidades estimadas por el A, para cada posible valor de X:0,05 0,10 0,20 0,30 0,20 0,10 0,05 Esperanza

matemáticaSi X= 280000 320000 360000 400000 440000 480000 520000 ⇓⇓

Si X' = ↓↓280000 2.24 2,32 2,40 2,48 2,56 2,64 2,72 2,480320000 2 2.56 2,64 2,72 2,80 2,88 2,96 2,696360000 1,76 2,32 2.88 2,96 3,04 3,12 3,20 2,864400000 ⇐ 1,52 2,08 2,64 3,20 3,28 3,36 3,44 2,936440000 1,28 1,84 2,40 2,96 3,52 3,6 3,68 2,864480000 1,04 1,60 2,16 2,72 3,28 3,84 3,92 2,696520000 0,80 1,36 1,92 2,48 3,04 3,60 4,16 2,480

Obsérvese que -comparando la misma columna de las tablas I y II- una vez conseguidauna determinada cifra real para la variable de control, la prima que deja de ganar el A por haberdado como previsión una cifra diferente es significativamente mayor en la tabla II.

Por ejemplo, en la tabla I, si suponemos que el A dio como previsión en la primera faseX’=400.000 unidades y que después las cosas han ido mejor de lo que estimó y ha conseguidollegar a 480.000 unidades, la prima que le asigna la fórmula será de 3.680.000 pts. en lugar delas 3.840.000 pts. a las que tendría derecho si hubiera previsto X’=480.000 pts. Lapenalización es, por tanto, de 260.000 pts. Por el contrario, si los parámetros de la funciónfuesen los de la tabla II, en la que la separación relativa es del 75% podemos ver que lapenalización para el mismo supuesto será de 3.840.000-3.360.000=480.000 pts.

Grado de fiabilidad de las previsiones

Este hecho de que cuanto mayor sea la separación relativa, ε, más alta será lapenalización futura por la realización de previsiones que posteriormente resultansubstancialmente diferentes del valor de producto realmente obtenido por el A y, tiene a su vezotra consecuencia: las previsiones que tenderá a hacer el A serán más fiables cuanto mayorsea la separación relativa de los parámetros. Esto es debido a que cuanto mayor sea laseparación relativa, mayor es el riesgo (de perder prima) que asume el A en el momento de darsu previsión, i por tanto mayor será su interés en esforzarse en dar previsiones que considerefiables. Por previsiones fiables entendemos las que se obtienen de haber evaluado lo mascuidadosamente posible cual es la probabilidad de conseguir como máximo tal o cual valor deproducto; evaluación que implica que el A ha estudiado adecuadamente tanto las posibilidadestécnicas y de personal de su US para la consecución de determinados resultados futuros, comolos posibles escenarios de las variables del entorno y del estado de la naturaleza, la influenciade los cambios probables de la coyuntura económica, etc. Tengamos en cuenta que unaestimación de probabilidades puede hacerse mejor o peor; lo que usualmente quiere decir


261

dedicar más o menos esfuerzo a estudiar las posibilidades futuras.

Paralelamente, una baja separación relativa implicará una penalización irrelevante y, portanto, una tendencia del A a desentenderse del la cuestión de dar previsiones fiables, dado queesto no afectará substancialmente al importe de la prima que cobrará al final del periodo.Suponiendo una situación límite, una separación relativa insignificante (ε=0,02, por ejemplo)convertiría la función D/D en la sencilla fórmula de incentivo proporcional según resultados[1], ya que entonces IE≈β·X. En este caso, el A continuará, obviamente, incentivado para laobtención del producto máximo, pero no a preocuparse de dar previsiones fiables.

En consecuencia, en la medida en que el P esté interesado en que el A presenteprevisiones fiables, adecuadas y bien estudiadas, la separación relativa de los parámetrosdeberá ser importante. Entenderemos que fiables o precisas significa que el A habrá evaluadode la manera mejor posible que sabe y puede la probabilidad de conseguir como máximo unacifra determinada de producto para proponer la cifra de previsión que más le interese (deacuerdo con la fórmula concreta de incentivo que previamente le ha comunicado el P). Lafiabilidad está, por tanto, referida no a la cifra de previsión que da, sino a la función dedensidad de probabilidades, f(X), en la cual se basa el A para decidir tal cifra.

(6.1.3)Simetría/asimetría de parámetros

El hecho de que en la fórmula de incentivos D/D [26] los parámetros a y c sean o nosimétricos respecto el parámetro principal β influirá, en un sentido diferente al anterior, sobreel tipo de previsiones que tenderá a presentar el A3. En este marco, decir que los parámetrosson asimétricos es equivalente a decir que las dos separaciones relativas no son idénticas. Encuanto a la notación, reservaremos ε para referirnos al parámetro de “premio” eintroduciremos λ para denotar el de “castigo”:

ββ

εβ

βλ ε λ

−=

−= ≠

a c; ;

de este modo podemos reescribir la función D/D en términos más generales explicitando lasseparaciones relativas:

IE= β.X' + { β(1-ε), β(1+λ) }.(X - X') [26b] s.a: β(1-ε), si X>X’; β(1+λ), si X<X’

3 Al igual que en el anterior capítulo, damos por sentado que el P acepta sistemáticamente la previsión que lepresenta o propone el A: (X’≡XA), en consecuencia, y para simplificar, nos referiremos a la previsión dada porel A como X’.


262

Proposición general:

Cuando se aplica una función-incentivo tipo D/D con parámetros que pueden sersimétricos o asimétricos, se puede demostrar que:

Un A que sea neutral al riesgo y que efectivamente trate de maximizar su retribución,tenderá a dar previsiones con una probabilidad de ser superadas que dependerá del valorque el P haya fijado para los parámetros, en el sentido siguiente :

El A escogerá X' tal que P(X ≥≥ X') = cc a

−−

≡+

β λλ ε

; ; [ 27]

La demostración es paralela a la de la nota 39 del capítulo anterior: La esperanza matemática deprima, con la función-incentivo [24], suponiendo una función de densidad de probabilidades continuapara la variable producto, f(X), es

[ ] [ ] [ ]E IE X a X X f X dX X c X X f X dXXX X

X X

''

'

. ' .( ' ) . ( ). . ' .( ' ) . ( ).= + − + − −=

∞ <

∫ ∫β β0

y este valor esperado será máximo, en relación a la decisión que debe tomar el A sobre X’, cuando laderivada de la función, con relación a X’, sea nula 4:

Parámetros simétricos

En el caso de que la separación entre β y a sea la misma que entre c y β (parámetrossimétricos), el anterior cociente será igual a 0,5 y, por tanto, la previsión de producto quetenderá a proponer el A sabemos, por lo que hemos visto en el capítulo anterior, que será lamediana de su función de distribución de probabilidades, es decir, aquel valor futuro deproducto que, desde su punto de vista, tiene las mismas probabilidades de ser superado comode no ser realmente alcanzado5, lo que equivaldrá al valor central del intervalo de X para elque estima la máxima probabilidad (X+P), en caso de que la distribución de probabilidades sea“normal”. (Es decir, la conclusión que antes -en el capítulo 5- se ha visto para una función tipoFan que, por definición, es siempre de parámetros simétricos). Formulado esquemáticamente:

Si los parámetros son simétricos, el A es neutral al riesgo (y la distribución de

4

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

dE IEdX

a f X dX c f X dX

a f X dX c f X dX f X dX a c c

cc a

f X dX P X X

X X

X X

X X X X X X

X X

'. ( ). . ( ). ;

. ( ). . ( ( ). ) ; ( ). ) .( ) ( ) ;

( ). ( ' )

'

'

' ' '

'

= − + − =

− + − − = ⇒ − − + = −

⇒−−

= ≡ ≥

=

∞ <

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

β β

β β β β β

β

0

0

1 0

y, por tanto:

5 En términos más precisos deberíamos decir P(X≥X') = P(x<X') ; o bien P(X>X')=P(X≤X'). La diferencia estáen la probabilidad específica de que se dé precisamente el hecho singular X=X’, probabilidad que, a efectosprácticos de nuestra argumentación, puede considerarse irrelevante. En efecto, dada, por ejemplo, una previsiónde ventas de 124.500.000 pts. para un trimestre, la probabilidad de que las ventas reales sean exactamente esteimporte, ni una peseta por encima o por debajo, será lógicamente bien pequeña.


263

probabilidades es normal), el A elegirá X’ tal que P(X≥X’)=0,5 y, por tanto, X’=X+P.

Parámetros asimétricos

Al contrario, si la separación ββ-a es menor que la c-ββ, el A tenderá a formular planesarriesgados, más bajos que el de máxima probabilidad, con una probabilidad mayor del 50% deser conseguidos/superados, y viceversa. Por ejemplo, si β=11, a=5 y c=20, la función incentivoD/D producirá que un A neutral al riesgo tienda a prever valores que tendrán una probabilidad

del 60% de ser superados (una previsión conservadora)6. Si el valor de los parámetros fueseβ=11, a=4 y c=14, el A -al tratar de maximizar el importe del incentivo esperado- tendería a

realizar previsiones arriesgadas, en el sentido de que, desde su propia perspectiva únicamenteexiste una probabilidad del 30% de ser conseguidas/superadas7.

(c-β)/(c-a) = 0,5 0,6 0,3

X+p

f(X)

XX+p

f(X)

X

X+p

f(X)

X

X'

0,5, (50 %) 60 % 30 %

X'X'

Una conclusión a la cual el A también puede llegar, en términos menos precisos, con unrazonamiento puramente lógico: Para el A es fácil ver que la separación β-a indica de hecho la“penalización” (en términos de menor prima) que tendrá si la previsión que da resulta despuéssuperada por el valor realmente conseguido, y que la separación c-β determina la penalizaciónen caso de que la previsión que dé no la alcance después. Por tanto, si se le fijan losparámetros de la función-incentivo de forma que (β-a)<(c-β) y el A se comporta tratando demaximizar el valor esperado del incentivo a cobrar, entonces tenderá a dar planesconservadores, “a la baja”, ya que está comparativamente menos penalizado dar previsionesque después sean superadas, que lo contrario. Es decir, el riesgo de pérdida de prima esinferior si el A opta por dar como previsión un valor algo inferior a aquél que estima demáxima probabilidad. Y viceversa, en caso que la separación (c-β) sea menor que la (β-a), el Atenderá a realizar planes por encima del valor de máxima probabilidad, dado que en este casoestá relativamente menos penalizado “equivocarse” en este sentido que en sentido contrario.

Por lo tanto, si lo que desea el P es que el A tienda a realizar planes arriesgados,superiores a la cifra que el propio A estima de máxima probabilidad, será preciso que losparámetros sean asimétricos en el sentido de que la separación relativa entre el parámetrocentral y el grande, λ, sea inferior a la existente entre el parámetro central y el pequeño, ε. Y ala inversa, si lo que se quiere es que el A presente previsiones más conservadoras en el sentidode por debajo del valor de máxima probabilidad..

6 c

c ao

−−

=−−

=+

=+

=β λ

λ ε20 1120 5

0 60 818

0 818 0 5450 6, ;

,, ,

,

7 cc a

o−−

=−−

=+

=+

=β λ

λ ε14 1114 4

0 30 273

0 273 0 6360 3, ;

,, ,

,


264

Siguiendo el mismo ejemplo numérico de les tablas I y II, la tabla III que siguecorresponde a una función D/D con los parámetros siguientes:

IE = 8.X' + {2, 10}.(X - X')

En este caso la asimetría es tal que penaliza relativamente poco no llegar al valor previsto(10-8=2) y mucho la realización de planes fácilmente superables (8-2=6), porque laseparación relativa en el primer caso es menor que en el segundo [λ= (10-8)/8=0,25 frente aε =(8-2)/8 = 0,75]. en consecuencia, el A tenderá a presentar planes arriesgados.Concretamente, previsiones para las que estime que sólo tienen un 25% de serconseguidas/superadas: (10-8)/(10-2)= 0,25 [≡ 0,25 / (0,25+0,75)].

Tabla III :


Función-incentivo D/D, parámetros asimétricos 8, 2, 10(separación relativa: 75%, 25 %)


matemáticaSi X= 280000 320000 360000 400000 440000 480000 520000 ⇓⇓

Si X' = ↓↓280000 2.24 2,32 2,4 2,48 2,56 2,64 2,72 2,480320000 2,16 2.56 2,64 2,72 2,80 2,88 2,96 2,704360000 2,08 2,48 2.88 2,96 3,04 3,12 3,2 2,896400000 2,00 2,40 2,80 3,20 3,28 3,36 3,44 3,024440000 ⇐ 1,92 2,32 2,72 3,12 3,52 3,60 3,68 3,056480000 1,84 2,24 2,64 3,04 3,44 3,84 3,92 3,024520000 1,76 2,16 2,56 2,96 3,36 3,76 4,16 2,960

Como ilustración de la conclusión teórica anterior, la última columna de la tabla nosindica que, efectivamente, la esperanza matemática de prima para el A es máxima cuando eligerealizar una previsión X’=440.000, es decir, un valor que, de acuerdo con la aproximaciónrepresentada por la distribución de probabilidades discreta, tiene una probabilidad de serconseguido/superado de 0,2/2+0,1+0,05=0,25, es decir, del 25% exactamente.

Como ilustración de la conclusión teórica anterior, la última columna del cuadro nosindica que, efectivamente, la esperanza matemática de prima para el A es máxima cuandoescoge dar como previsión X’= 440.000; un valor que, de acuerdo con la aproximaciónrepresentada por la distribución de probabilidades discreta, tiene una probabilidad de seralcanzado/superado de 0,20/2 + 0,10 + 0,05 = 0,25; es decir, del 25% exactamente.

Si, al contrario, el P elige para la función-incentivo D/D unos parámetros tales comoβ=8, a=6 y c=20, que penalizan relativamente poco el hecho de realizar planes que después nose lleguen a cumplir y penalizar poco lo contrario, el A tenderá a presentar planes probables-


265

bajos (concretamente, con una probabilidad del 85,7% de ser superados: (20-8)/(20-6)=0,857.Esta conclusión “teórica” queda ilustrada en el cuadro que sigue, en el que se puede apreciarque la esperanza matemática de prima es máxima cuando el A prevé X’=320.000, un valor que-según la aproximación que representan las probabilidades discretas o por intervalos- tiene unaprobabilidad de ser conseguido/superado igual a 0,1/2+0,2+0,3+0,2+0,1+0,05=0,9, es decir,del 90%8.

Tabla IV :


Función-incentivo D/D, parámetros asimétricos 8, 6, 20(separación relativa: 25 %, 75%)


matemáticaSi X= 280000 320000 360000 400000 440000 480000 520000 ⇓⇓

Si X' = ↓↓280000 2.24 2.48 2.72 2.96 3.2 3.44 3.68 2,960320000 ⇐ 1,76 2.56 2.8 3.04 3.28 3.52 3.76 3,012360000 1,28 2,08 2.88 3.12 3.36 3.6 3.84 3,008400000 0,80 1,60 2,40 3,20 3,44 3,68 3,92 2,892440000 0,32 1,12 1,92 2,72 3,52 3,76 4,00 2,608480000 -0,16 0,64 1,44 2,24 3,04 3,84 4,06 2,212520000 -0,64 0,16 0,96 1,76 2,56 3,36 4,16 1,760

Podemos resumir, pues, las repercusiones de que los parámetros sean simétricos oasimétricos, con la proposición siguiente:

Si el P establece un incentivo tipo función D/D, con parámetros simétricos, y si el A tiende amaximizar el importe del incentivo a cobrar (y es neutral al riesgo), entonces:

(Fase I)1) el A tenderá a presentar como previsión un valor para el cual estima que hay las mismasprobabilidades de obtenerlo o superarlo que de lo contrario:

X' tal que P(X≥X’) = P(X<X’) 9

2) y, después, en el transcurso de la su gestión [fase II], tenderá a alcanzar (o superar, si le es posible) este valor

X --> ≥ X'

Y, en términos más generales (parámetros simétricos o no):

8 Si los intervalos fuesen menores el valor se acercaría al teórico 85,7%.9 Si su distribución de probabilidades, f(X) se ajusta a la normal la anterior condición significa escoger el valorde máxima probabilidad: X’ = X+p


266

1) X' ---> tal que P(X≥X') = cc a

−−

≡+

β λλ ε

;

2) X ---> ≥ X'

Consideración conjunta: asimetría/separación relativa de los parámetros

El hecho de considerar conjuntamente las repercusiones de una determinada asimetríade los parámetros y la cuestión adicional de un mayor o menor grado de separación relativaentre los mismos nos permite ver que la fiabilidad sobre que las previsiones que tenderá apresentar el A neutral al riesgo tengan, efectivamente, una probabilidad de seralcanzadas/superadas tal como indica el cociente [27] depende del grado de penalización de lafórmula de incentivo aplicada y, por tanto, de que las separaciones relativas de losparámetros sean proporcionalmente mayores o menores. Veamos en qué sentido:

Las separaciones relativas altas, sean las dos iguales o no, penalizan más los “errores”de previsión, por lo que el A tendrá más interés en estudiar con precisión los distintoselementos -entre ellos la variable del entorno- que pueden permitirle la elaboración de uncuadro de valores máximos probables (en función del grado de esfuerzo que haya decididodesarrollar) que considere fiable. Cuando decimos, por ejemplo, que los parámetros de unafunción D/D concreta son tales que el A tenderá a realizar previsiones con cifras que -para elpropio A- tienen una probabilidad de ser conseguidas/superadas del 40%, deberemos añadir,de hecho, que dicha conclusión será válida, o tanto más válida o exacta (fiable), cuanto mayorsea la separación relativa de los parámetros. Consideremos, por ejemplo, las dos funcionesD/D siguientes:

IE = 8.X' + {5, 14}.(X-X') , ---> 14 814 5

0 6660 75

0 75 0 375−−

= ⇐ ≡+

,,

, ,

IE = 8.X' + {7, 10}.(X-X') , ---> 10 810 7

0 6660 25

0 25 0 125−−

= ⇐ ≡+

,,

, ,

En principio, las dos nos llevan a la conclusión de que el A tenderá a presentarprevisiones que teóricamente tendrán un 66,6% de probabilidades de que después las podráconseguir/superar, pero con la diferencia de que con la primera función esta conclusión serámás fiable porque las dos separaciones relativas -y, por tanto, el grado de penalización porrealizar previsiones que después no se cumplen en un sentido u otro- son más elevadas en éstaque en la segunda (λ=0,75; ε=0,375 frente a λ= 0,25; ε = 0,125). Concretamente, las dosseparaciones relativas son tres veces más grandes en la primera función.

Ejemplo de aplicación:determinación de los parámetros

Supongamos que el P quiere que la función-incentivo D/D sea tal que provoque que el A tienda a darplanes conservadores con un 70% de probabilidad de ser superados, y que la fórmula dé lugar alos valores siguientes de prima a cobrar por el A: si la previsión es, después, aproximadamentecumplida, que la prima sea de 1.200.000 pts.; y si el A obtuviera una desviación favorable del 20%, que la prima a que tuviera derecho fuese de 1.320.000 pts. . ¿Qué valor deberían tener los


267

parámetros de la función?

En lo que respecta al parámetro principal, β, sabemos que deberá de cumplirse la condición β.X' ≈1.200.000 ; para determinarlo, por tanto, el P deberá estimar el valor de la previsión quepresumiblemente presentará el A; o, en otras palabras, deberá conocer el orden de magnitud de lavariable de control. Éste es el sentido del signo de aproximación anterior: la prima base exacta,β.X' , no se conocerá, evidentemente, hasta que el A no haya presentado su previsión, peroprimeramente se le ha debido de informar del tipo de incentivo que tendrá (es decir, se le deberácomunicar qué fórmula se empleará, con sus parámetros); por otro lado, es evidente que para elP no se trata de que la prima base haya de ser exactamente 1.200.000, sino que, sencillamente,juzga que la prima debería tener un importe de este orden en caso que el valor real de productosea aproximadamente igual al previsto.

Supongamos que, en este caso, la estimación del P es ESTP[X']= 20.000, simplemente porque elvalor alcanzado en los últimos periodos fue de este orden. Entonces, el parámetro principal tendráque cumplir: β.20.000 = 1.200.000 ; y, por tanto: --> β ≈ 60 .

La segunda condición cuantitativa, IE = 1.320.000 si X = 1,2 X' , nos permite calcular el valor quedebería tener el parámetro a : 1.320.000 = 60x20.000 + a.(24.000-20.000) ; ---> a = 30 ;

(obsérvese que, si ya está determinado o decidido β, para determinar a no es imprescindible conocerla estimación del valor del producto: 1.320.000= 60.X'+ a.0,2X' ---> a = 30) .

120.000 = a. 0,2 X'

Finalmente, la condición referente a que los planes tiendan a ser conservadores nos permite calcularel tercer parámetro: c - 60 = 0,7 , ----> c = 130. c - 30

Por tanto, la función-incentivo que cumplirá (aproximadamente) las condiciones estipuladas es:

IE = 60.X' + {30, 130}.(X - X')

* * *

6.2. PREVISIONES DE LOS A SEGÚN SU ACTITUD FRENTE AL RIESGO

Hasta aquí hemos supuesto que el A era neutral al riesgo, es decir, que se comportabacon una pura racionalidad económica en lo que respecta a sus intereses personales: tendiendo aactuar maximizando sus ingresos futuros (su esperanza matemática de incentivo a cobrar). Ycon este tipo de A ya hemos visto que con una función incentivo D/D el tipo de previsionesdependerá de si los parámetros son simétricos o asimétricos; y que el grado de fiabilidad de lasestimaciones en que se base el A dependerá en gran parte del grado de ‘penalización’, o sea, dela separación relativa de los parámetros. Si, al contrario, el A no es neutral al riesgo aunque losparámetros sean simétricos, la previsión que tenderá a presentar será diferente del valor demáxima probabilidad. Así, el A puede ser una persona más bien inclinada a preferir valores deincentivo más bajos pero más seguros (A averso al riesgo). O, todo lo contrario, el A puede


268

ser una persona más bien inclinada a “jugar”, a optar a una cifra de incentivo más elevadaaunque menos segura, asumiendo el riesgo de que la “apuesta” le salga mal y se quede, por elcontrario, con una prima sensiblemente inferior (A propenso al riesgo) 10. Y esta desviación enel momento de autofijarse las previsiones será mayor cuanto más alta sea la separación relativade los parámetros, como veremos a continuación.

(6.2.1)Agentes aversos al riesgo

Un A con un comportamiento averso al riesgo frente a una función-incentivo deparámetros simétricos, tenderá a realizar una previsión algo más baja que el valor demáxima probabilidad (aunque este valor está asociado al máximo importe de la esperanzamatemática del incentivo o ’prima’ a cobrar), porque de este modo se asegura(relativamente) un cierto importe de incentivo, menor, pero con mayores posibilidades deobtenerlo. Es decir, que en la fase de decidir la previsión que comunica al P, opta por eliminargran parte del riesgo que corre (riesgo en lo que respecta al importe del incentivo a cobrar alfinal del periodo) por el hecho de tener que decidir la cifra de previsión que se auto-fija.

Así, en el ejemplo de la tabla II, un A con un cierto grado de aversión al riesgo podrá darcomo previsión X’=360.000 unidades (obsérvese que la probabilidad que el mismo A estima deconseguir/superar dicha cifra es del 75%) en lugar de dar una previsión de 400.000 unidades (quees el valor para el que estima la máxima probabilidad). Con esta decisión, el A buscaría“asegurarse” una prima total de 2.880.000 pts. (la que corresponde a la hipótesis de que habiendocomunicado X’=360.000 después, efectivamente, el máximo que pueda conseguir en la realidadsea X=360.000), renunciando con su decisión a la posibilidad más probable que es una prima de3.200.000 (si X’=400.000 y en la realidad se consiguiera, efectivamente, este nivel de productomás probable)11. También es cierto, sin embargo, que esta decisión “conservadora” estáconjurando el riesgo de que la prima se quede, por el contrario, en 2.640.000 pts., que es elimporte a que tendía derecho si, habiendo dado una previsión de máxima probabilidad (400.000),después la condiciones del entorno fuesen tales que el producto realmente conseguido sequedase en 360.000 unidades. Dicho brevemente, este A prefiere “asegurarse” (relativamente)una prima de 2.880.000 pts. renunciando a una probable prima más alta (3.200.000 pts.).

Por el mismo razonamiento, un A con un mayor grado de aversión al riesgo realizaría unaprevisión aún más baja, por ejemplo, X’=320.000 unidades (que tiene aproximadamente un 90%de probabilidades de ser conseguido/superado). En este caso (casi) se aseguraría una prima de2.560.000 pts., eliminando prácticamente el riesgo de que, si las condiciones del entorno sondespués peores de lo que eran en el momento de hacer la previsión, se quede con una prima desólo 2.080.000 pts. (que es la que le asignaría la fórmula si X’=400.000 pts. y despuésX=320.000).

Y como es fácil deducir, para un A con un grado determinado de aversión al riesgo,esta tendencia de dar previsiones más bajas que el valor de máxima probabilidad será másacusada como fuerte sea la penalización por realizar previsiones que se separen después

10 Sobre el comportamiento como ‘neutral al riesgo’ y ‘averso al riesgo’, ver las notas 11 y 12 del capítuloanterior.11 En caso de que X llegara realmente a 400.000 unidades, el A averso al riesgo, al haber dado como previsión360.000 unidades, tendría una prima de 2.960.000 pts. en lugar de las 3.200.000 pts.


269

significativamente de la realidad, es decir, como alta sea la separación relativa de losparámetros de la función-incentivo.

Veamos esta conclusión con una formulación más precisa:

Para un A averso al riesgo, su equivalente cierto de incentivo12 a cobrar (EC[IE]) será algoinferior al de la correspondiente esperanza matemática, siendo la prima de riesgo, p, la citadadiferencia:

EC[IE]=E[IE] - p

y esta prima de riesgo será mayor 1) cuanto más grande sea el índice de aversión al riesgo (r), 2)cuanto mayor sea la separación relativa de los parámetros (ε), dado que el riesgo para el A existesolamente en la medida en que existe un cierto grado de penalización por previsiones “erróneas”, y 3)cuanto más importantes sean las posibles desviaciones futuras respecto la previsión dada (aspectomedido por la dispersión de la función de distribución de probabilidades del A, es decir, por lavarianza estimada para el valor futuro de X: VAR[X]. Pero, dada la distribución de probabilidades paracada posible valor de producto, las posibles desviaciones que preocupan especialmente al un A aversoal riesgo (desviaciones favorables, X<X’) dependerán de cuál sea el valor previsto que proporcione13.En resumen, y manteniendo el supuesto de que la función-incentivo es de parámetros simétricos, comola [25a], aquello que determina la prima de riesgo es:

p=ρ(r, P[X≥X’])·ε ; δp/δr>0 , δp/δX’>0 donde r es un coeficiente de aversión al riesgo 14.

Y, del mismo modo que existe un determinado valor de esperanza matemática del incentivo a cobrarpara cada posible opción de previsión a comunicar al P, también existe un determinado equivalentecierto de beneficio asociado a cada posible valor que el A elija para X’. Lógicamente, el A tenderá atomar la decisión que maximice el valor de este equivalente cierto.

La condición de primer grado para maximizar el equivalente cierto, en función del valor deprevisión que proporcione, será:

[ ] [ ]dECIE

dX

dE IE

dX

p

X' ' '= − =

δ

δ0 ; condición que, teniendo en cuenta la conclusión analítica deducida

anteriormente para [ ]

dEIEdX'

(ver nota 4), significa que se debe cumplir que:

f X dx

pX

c aX X

( ). , ' ;'=

∞

∫ = + − ≥050

δδ es decir: X' tal que : P(X X') > P(X<X')

12 De acuerdo con la terminología habitual en la teoría de la agencia (véase, por ejemplo,MILGROM/ROBERTS, op.cit., pág. 348), el equivalente cierto de beneficios, EC, es la cifra segura que haríarenunciar al A a entrar en un “juego” cuyo resultado en términos de beneficio es una cifra aleatoria que tieneuna esperanza matemática de beneficios superior a EC.13 El A averso al riesgo está contemplando especialmente la posibilidad de que, habiendo dado como previsiónel valor de máxima probabilidad, la realidad sea tal después que las condiciones del entorno no le permitanconseguir dicho valor (podemos decir que no le preocupa la posibilidad contraria). En este sentido, cuanto máscerca del valor mínimo esperado para X esté la previsión que elija comunicar al P, menor será la diferenciaentre el equivalente cierto de beneficio para el A y la correspondiente esperanza matemática, es decir, que laprima de riesgo será mayor cuanto más alta sea la previsión que decida comunicar, porque el riesgo de noconseguir una determinada cifra de producto va aumentando a medida que se consideran cifras de previsióncada vez mayores, por tanto δp/δX’>0.14 Véase nota 17 del capítulo anterior


270

y, por tanto, si la distribución de probabilidad es normal el A tenderá a dar comoprevisión ==> X’<X+p.

es decir, que el A averso al riesgo tenderá a proponer previsiones que tendrán unaprobabilidad mayor de ser superadas que de no ser conseguidas. Estas previsiones, por tanto,serán probables-conservadoras: probables, pero tendiendo a la baja. La desviación a la bajarespecto la previsión que daría un A neutral al riesgo, X+p, será tanto mayor como elevadosea el grado de aversión al riesgo y cuanto mayor sea la separación relativa de losparámetros de la función-incentivo.

(6.2.2)Agentes ‘propensos’ al riesgo

El A puede tener, por el contrario, un comportamiento propenso al riesgo, en elsentido de que, dada una situación de incertidumbre, tiende a “apostar” para tener laposibilidad de obtener una ganancia más elevada, es decir, que “jugará” a ganar un importemás alto que el valor de esperanza matemática de incentivo15, y, en contrapartida, asume, pordescontado, el riesgo de que ocurra todo lo contrario.

Así, en el ejemplo de la tabla II, un A con un comportamiento propenso al riesgo en elmomento de decidir la previsión a proporcionar al P, elegirá un valor mayor que el demáxima probabilidad, por ejemplo X’=440.000 unidades, apostando así la posibilidad de queefectivamente el valor real llegue a esta cifra y el incentivo a cobrar sea entonces de3.520.000 pts. Con esta decisión se está arriesgando a que, por el contrario, el incentivo acobrar sea bastante inferior, 2.960.000 pts. en caso de que el valor real de producto queresulte de su gestión sea el más probable (400.000 unidades), una retribucióncomplementaria inferior a las 3.200.000 pts., que sería la cifra que iría a “buscar” un A neutralal riesgo (X’=400.000=X+p).

En términos más formales:

Si un A tiene un comportamiento propenso al riesgo significa que presenta un coeficiente deaversión al riesgo negativo (r<0) y, por tanto, que su prima de riesgo es negativa. Enconsecuencia, un razonamiento formal paralelo al del A averso al riesgo nos lleva a laconclusión de que con una función D/D de parámetros simétricos la condición de primergrado para la maximización del equivalente cierto de prima será

X’, tal que: f X dX P X XX X

( ) ( ' ) ,'

⋅ ≡ ≥ <=

∞

∫ 0 50

15 Comprar un billete de lotería es un caso típico de comportamiento propenso al riesgo: la esperanzamatemática de beneficio siempre es inferior al precio del billete. No obstante, la persona que juega estápensando en el hecho improbable, pero posible, de que gane su número. El grado de propensión al riesgo deuna persona (al igual que en el caso de aversión al riesgo) es diferente para decisiones distintas, normalmente:puede apostar a la lotería 1.000 pts., pero no estar dispuesta a apostar 10.000 pts., por ejemplo.


271

Es decir, que tenderá a proponer previsiones que tendrán una probabilidad mayor de noser conseguidas que de ser alcanzadas o superadas; previsiones, por tanto, probables-arriesgadas: probables pero tendiendo al alza:

--->X’ tal que P(X≥X’)<P(X<X’) y, por tanto, ==> X’>X+p, si la distribución de probabilidad es normal.

Y la desviación que dicho comportamiento representa respecto el valor de máximaprobabilidad será tanto mayor como baja sea la separación relativa de los parámetros, esdecir, como baja sea la penalización en caso de “equivocarse” al dar una previsión. En efecto,al igual que el juego de la lotería, el A propenso al riesgo puede estar dispuesto a arriesgarse sila posible pérdida en caso de que la apuesta no sea buena es de un importe determinado, peropuede no estar dispuesto a hacerlo si la posible pérdida es de un importe mayor16. Dicho enotros términos, un mismo A puede comportarse como propenso (o averso) al riesgo si lascondiciones del “juego” son unas, y puede comportarse como neutral al riesgo si lascondiciones son otras.

Rresumen sobre agentes no neutrales al riesgo

PREVISIONES, SI LA FUNCIÓ-INCENTIVO ES DE PARAMETROS SIMETRICOS

X

+p

f(X)

X

=0,5, (50 %)

X(nr)

X(ar) X(pr)

X(nr) = previsión de un A neutral al riesgo

X(ar) = previsión de un A averso al riesgo

X(pr) = previsión de un A propenso al risesgo

Si el A es averso al riesgo tenderá a hacer previsiones con un valor probable-conservador, algo inferior al de máxima probabilidad, aunque la función incentivo sea de

16 Volvamos al ejemplo anterior de la tabla II. Si un A con un determinado grado de propensión al riesgo haceuna previsión de 440.000 unidades, como hemos supuesto anteriormente, es probable que si la separaciónrelativa de los parámetros fuese del 25% (como en el caso de la tabla I) en lugar del 75%, haga una previsióndel número de unidades aún más separada del valor de máxima probabilidad, por ejemplo, 480.000 unidades.Obsérvese que si la apuesta sale mal y las condiciones del entorno impidan alcanzar dicha cantidad de productoen la realidad, suponiendo que se alcance el valor más probable (400.000 unidades), el incentivo que cobraráserá de 3.040.000 pts. El riesgo monetario que estaría corriendo si decide X’=480.000 es, por tanto, similar(aunque un poco inferior: 3.040.000 frente 2.960.000) al de elegir X’=440.000 pts. en el supuesto referido en latabla II, en el que la penalización por previsiones no acertadas es más fuerte.


272

parámetros simétricos. Esta desviación será más importante cuanto mayor sea el grado deaversión al riesgo y fuerte sea la “penalización”, es decir, será una desviación significativa si laseparación relativa de los parámetros es elevada (ε≈>0,5, por ejemplo). Y a la inversa, A quetengan un comportamiento propenso al riesgo (en el sentido de que tienden a “apostar” paratratar de obtener ganancias superiores a la esperanza matemática) tenderán a hacer previsionesprobables-arriesgadas (valores superiores al de máxima probabilidad), aunque los parámetrosde la función-estímulo sean simétricos. Esta desviación será tanto mayor como fuerte sea elgrado de propensión al riesgo y como más baja sea la separación relativa de los parámetros.

Podemos decir, entonces, que tanto en un caso como en otro, una separaciónrelativamente alta de los parámetros producirá que el A no neutral al riesgo haga previsionesalgo inferiores respecto al caso en que la separación fuese relativamente pequeña. Ladiferencia está en que en el caso del A averso al riesgo los valores serán siempre inferiores alde probabilidad máxima, y en caso de A propenso al riesgo siempre mayores que este valor.

Hay una consideración de tipo práctico a añadir a lo que llevamos visto hasta ahora. Nomodifica las conclusiones deducidas, sino que las complementa y refuerza, aportando unaperspectiva de realismo a los argumentos expuestos. Se trata de que la situación deincertidumbre se caracteriza porque normalmente la estimación de probabilidades subjetivaspor parte del A comporta una inevitable imprecisión. Esta estimación será más en términos deintervalos que en términos de valores precisos. Pero el A debe comunicar al P un valor precisode previsión X’; ha de decidir un valor concreto para X’. Y este hecho acentúa elcomportamiento de los A no neutrales al riesgo. Por ejemplo, un A averso al riesgo, además dedecidirse por el intervalo a la izquierda del de máxima probabilidad, tenderá a escoger comocifra de previsión un valor concreto también a la izquierda de dicho intervalo.

(6.2.3)Parámetros asimétricos como forma de neutralizarel sesgo en la propuesta de previsiones

En los casos en que resulta decisivo, para las tareas de dirección general, que lasprevisiones que se fijen para cada periodo sean lo máximo probables, porque esto es necesariode cara a la coordinación de las diversas unidades o departamentos de la empresa/organización(o bien por cualquier otro motivo), el P puede estar interesado en neutralizar la tendencia delos A aversos (o propensos) al riesgo a hacer previsiones sesgadas, tratando de inducirlosindirectamente a presentar no previsiones probables-conservadoras o (probables-arriesgadas)sino de máxima probabilidad. Esta neutralización puede conseguirse si el P fija en cada casounos parámetros β, a, c, convenientemente asimétricos. Así, para el caso de un A averso alriesgo, los parámetros deberían tener valores tales que (c-β)/(c-a)<0,5, y viceversa paraneutralizar la tendencia de un A propenso al riesgo. O sea que: la asimetría de parámetrospuede ser utilizada para neutralizar las tendencias observadas en A aversos o propensos alriesgo, induciendo en el primer caso a hacer planes más elevados, y en el segundo planesmás bajos.


273

Ejemplo La empresa “OCI, S.A.” tiene establecida una función-estímulo tipo D/D con parámetrossimétricos desde hace 5 años destinada a los responsables de cada Departamento. Uno de ellos,la directora de ventas de la línea “Esport”, ha superado la previsión que había realizadopreviamente en 8 de los 10 últimos semestres. Esto es una evidencia de que se trata de un Aaverso al riesgo, ya que tiende a hacer previsiones que tienen una probabilidad del 80% de sersuperadas17. Este comportamiento puede no representar una distorsión significativa para elconjunto de la planificación de la empresa, pero es más probable que sí, y que, por tanto, el Pesté interesado en evitar que el A continúe proporcionando sistemáticamente planes probables-bajos. En este sentido, el P puede neutralizar la tendencia observada sustituyendo los parámetrossimétricos por otros con un determinado grado de asimetría, de tal manera que penalicen poco lasprevisiones que posteriormente no se cumplen y mucho más la realización de previsiones quedespués son superadas. Así, en nuestro ejemplo, si con parámetros simétricos el A se desvíasistemáticamente en la proporción 80%-50%, para que contrariamente tendiese a dar comoprevisiones valores de máxima probabilidad serían precisos unos parámetros asimétricos talesque: c-β

------ = 0,2 c-a

es decir, con una asimetría que indujera a un A neutral al riesgo a hacer previsiones optimistas,con una probabilidad del 20% de ser conseguidos-superados (desviación de 30 puntos deporcentaje: 50%-20%=80%-50%).

Y, en general, si el P desea inducir a As no neutrales al riesgo un determinado tipo decomportamiento al hacer previsiones (bien sea que tiendan a proporcionar previsiones demáxima probabilidad o bien previsiones con una determinada probabilidad, w, distinta del 50%,de ser conseguidas/superadas), la asimetría de los parámetros debería fijarse de tal manera que:

[27]cc a

−−

=β

w - (desviación observada en las previsiones del A)

donde w denota el tipo de previsiones que pretende el P: X’ tal que P(X≥X’)=w; y la ‘desviaciónobservada’ es la diferencia entre la probabilidad observada de que las previsioneshistóricamente presentadas por el A las haya alcanzado o superado éste después, (y), y laprobabilidad ídem asociada a un A neutral al riesgo enfrentado a la misma función incentivo(n).

En este sentido, recordemos que un A neutral al riesgo tenderá a presentar al P planescon una probabilidad n=0,5 si no está incentivado al contrario; es decir, si no cobra ningúnincentivo relacionado con la previsión 18; o bien si el incentivo se basa en una fórmula D/D conparámetros simétricos. Y si en este segundo caso los parámetros son asimétricos recordemostambién que un A neutral al riesgo tenderá a dar previsiones con una probabilidad de seralcanzadas/superadas, igual al cociente de parámetros [27] tantas veces aludido.

Así, por ejemplo, si a lo largo de diferentes períodos en los que no se aplicaba ningún tipo de incentivo 17 Si, por el contrario, en 5 semestres se hubiera desviado positivamente y en 5 negativamente, deduciríamosque se trata de un A neutral al riesgo.18 Si no se le paga al A incentivo económico alguno relacionado con la previsión, pero se le pideperiódicamente que elabore previsiones, deberemos entender que esto significa que se le está pidiendo,implícitamente, unas previsiones de máxima probabilidad.


274

relacionado con la previsión (o bien se aplicaba un incentivo tipo D/D con parámetros simétricos) undeterminado A solo ha alcanzado o superado sus propias previsiones un 30 % de las veces (y=0,3 ) -en lugarde un 50 % (n=0,5 ) que sería lo esperable de un A neutral al riesgo-, diremos que se trata de un A propensoal riesgo, y, concretamente, que presenta una desviación de -0,2 .

Otro ejemplo: supongamos que a lo largo de una serie de periodos se ha aplicado una fórmula deincentivos tipo D/D con parámetros asimétricos tales que el mencionado cociente [26] es igual a 0,4 (n=0,4 );y que observamos que el A que estamos considerando ha venido presentando previsiones periódicas que enun 60% de los casos ha alcanzado o superado (y=0,6). Podremos decir en este caso que se trata de un Acon un comportamiento averso al riesgo, y, concretamente, caracterizado por una desviación de 0,2 conrelación a lo que sería el comportamiento de un A neutral.

O sea que la desviación (y-n) es lo que nos permite concretar el tipo decomportamiento observado en los Agentes: si es nulo, equivale a decir que tiene uncomportamiento neutral al riesgo; si positivo, averso al riesgo; y si negativo, propenso alriesgo. Por el contrario, lo que denotamos con "w" define la política de previsiones que quiereinducir el P: si de máxima probabilidad, si arriesgada en determinado grado, o si conservadorasen determinado grado. (w=0,5 i y=0,8 , i n=0,5 en el ejemplo anterior de la empresa OCISA)19.

En definitiva, los elementos que será necesario tener en cuenta para determinar el tipode asimetría/simetría de los parámetros son:

(I) El comportamiento de los A (que tiene que ver con sus características psicológicas), y que, portanto, el P no puede ni pretende cambiar con la fórmula de incentivos) puede ser:

• Averso al riesgo, en un determinado grado• Neutral al riesgo• Propenso al riesgo, en un determinado grado

(II) Al aplicar una fórmula de incentivos tipo D/D los parámetros pueden ser tales que el cociente(c-β)/(c-a) sea :

• > 0,5 : parámetros asimétricos, 'penalizando' relativamente más las previsiones quedespués no son alcanzadas

• = 0,5 : parámetros simétricos, 'penalizando' por igual.• < 0,5 : parámetros asimétricos, 'penalizando' relativamente más las previsiones que

después son superadas.

(III) Según sean (I) y (II), la resultante será que el A tenderá a presentar unas previsiones con unadeterminada probabilidad subjetiva (del A) de ser alcanzadas o superadas:

* P(X≥ X') > 0,5 , previsiones conservadoras (o probables-bajas)* P(X≥ X') = 0,5 , Previsiones de máxima probabilidad

19 Supongamos, como ejemplo alternativo, que en el caso OCI, S.A. el P estuviera interesado en que los Aproporcionaran previsiones más bien a la baja porque considera beneficioso el efecto psicológico de que se digaque en la empresa las previsiones se superan la mayoría de las veces, pero no desease previsiones tan bajascomo tiende a presentar el A responsable de la línea “esport”, sino previsiones con una probabilidad del 60% deser superadas (w=0,6). Entonces para el caso de este A, los parámetros de la función-incentivo deberían sertales que:

c-β------ = 0,6-(0,8-0,5)=0,3 c-a


275

* P(X≥ X') < 0,5 , previsiones arriesgadas (o probables-altas)

y (IV), finalmente, el Principal tendrá una determinada política u opción en lo que respecta al tipode previsiones que quiere que le presente el A; por ejemplo, previsiones tales que P(X≥ X') = 0,60.Lo cual significa que el P deberá escoger (II) , teniendo en cuenta las características concretas (I)del A de que es trate, de tal manera que la resultante (III) sea exactamente igual al tipo deprevisiones que el P pretende que le presente el A.

Expresado esquemáticamente:

Con funciones-incentivo tipo D/D:

comportamiento observado del agente

- averso al riesgo (grado:.....)

- neutral al riesgo

- propenso al riesgo (grado: ...)

relación entre los parámetros de la fórmula de incentivo D/D

c - c - a

β < 0,5 , (.......)

= 0,5

> 0,5 , (.......)

Tipo de previsiones

X', tal que: P(X X')

< 0,5 , (.......)

= 0,5

> 0,5 , (.......)

Tipo de previsiones que el P quiere que tienda a presentar el A

X', tal que: P(X X')

< 0,5 , (.......)

= 0,5

> 0,5 , (.......)

coincide ?

>

>

que es esperable dé el A

♠ ♠ ♠


276

6.3. LAS FÓRMULAS DE INCENTIVO EN LA SEGUNDA FASE:ESTÍMULO A SUPERAR LA PREVISIÓN.

(6.3.1)El inconveniente relativo de las funciones-incentivo tipo D/D en la fase de gestión

“Prima” complementaria menos que proporcional

La característica de las funciones-incentivo tipo D/D consistente en que “penalizan” los“errores” de previsión es, como hemos visto, lo que hace que estas fórmulas de incentivotengan una de sus principales virtudes: incentivar al A a que haga una previsión precisa, bienestudiada y que su valor se corresponda con un rendimiento satisfactoriamente alto de launidad cuya gestión tiene asignada, evitando, de este modo, el típico inconveniente del efectoocultación. Pero esta característica es también, inevitablemente, la causa de un inconveniente -probablemente el único aspecto no satisfactorio- de este tipo de funciones-incentivo: que en lafase de gestión propiamente dicha la prima adicional o complementaria por superar laprevisión es, en contrapartida, proporcionalmente baja, puesto que siempre representará unpremio por unidad de producto inferior al que representa la prima-base, calculada sobre lacifra de producto prevista; y ello precisamente porque a < β,

IE=β·X’ + a · (X-X’) PRIMA PRIMA BASE COMPLEMENTARIA

EJEMPLO (1) Supongamos un ejemplo concreto de función-incentivo D/D simétrica y con una separación relativa

elevada, del 70% concretamente: IE=6·X’+6·(1±0,7)·(X-X’). Con dicha separación relativa, el A, en la primerafase, tenderá a realizar previsiones bien estudiadas, fiables: el valor de máxima probabilidad, si la distribuciónde probabilidad es normal (y el A neutral al riesgo). Sin embargo, si después, en el transcurso del periodo, lascondiciones del entorno son distintas de las previstas como más probables, de forma que sería posible al A -desarrollando un cierto esfuerzo- adaptarse y aprovechar toda la información real disponible para conseguirsuperar su propia previsión, esta superación sólo será premiada con 1,8 u.m. por unidad de producto.Compárese esto con las 6 u.m. que “premian” cada unidad de producto prevista. Probablemente, laexpectativa de 1,8 u.m. por unidad de producto que indica la fórmula al A resulte ser una motivacióncomparativamente escasa en relación al esfuerzo que requeriría conseguir superar la previsión.

Dicho en otros términos, con una función tipo D/D el premio por superar la previsiónes relativamente modesto: siempre será proporcionalmente inferior al premio que representala prima base respecto la cifra prevista. Porque si el A consigue superar la previsión en un20%, por ejemplo, tendrá derecho a una prima adicional a sumar a la prima base, pero estasuma representará un incremento de prima que, en cualquier caso, será inferior al 20%, y serátanto menor cuanto mayor sea la separación relativa entre a <----> β.


277

EJEMPLO (2) Como ilustración, supongamos que la función-incentivo es, concretamente, la siguiente: IE=6·X’+(1±0,4)·(X-X’) y que el A realizó en su momento una previsión X’=400. En este momento, en el transcurso del periodoplanificado, está prevista una prima base de 2.400 u.m., más una posible prima adicional de 3,6 u.m. porcada unidad que supere la previsión. Si calculamos cuál sería la prima si al final del periodo el A consigue unvalor de producto que supere un 20% la previsión,

IE=6·400+3,6·(480-400)=2.400+288=2.688 u.m.

veremos que el premio por superar la previsión un 20% se traduce en un incremento de prima del 12%20.

En general, puede demostrarse que cuanto mayor sea la separación relativa ε, menorserá el incentivo para que el A se esfuerce, durante la fase de gestión, en adaptarse a lascondiciones reales del entorno y en intentar superar la cifra de previsión que sefijó.(superarla, en el supuesto de que las condiciones reales que enmarquen su gestión -especialmente la coyuntura económica y el resto de variables del entorno- se lo hiciesenposible)

Así, si en el ejemplo anterior 6 u.m. era una tasa de incentivo adecuada, cercana a laóptima (en el sentido expuesto antes en 5.2), a partir de la cual el A decidió en su momento elgrado de esfuerzo que pensaba desarrollar en su gestión, la expectativa de una tasa de premiode 1,8 u.m. para premiar una desviación favorable difícilmente resultará un estímulo relevante.En otras palabras, si el A, esforzándose para adaptarse a las condiciones reales del entorno,pudiera conseguir superar su propia previsión un 20%, el incentivo económico a cobrar sóloaumentaría un 6%.La relación general implícita entre los dos incrementos es la siguiente:

Tasa de prima complementaria, sa X X

X= =

−Prima complementariaPrima base

.( ' ). 'β ;

Tasa en que la previsión es superada, xX X

X= =

−Superación de la previsiónPrevisión de producte

''

s = x . (1 - ε)

20 Es fácil ver que la relación entre los dos porcentajes depende de la separación relativa de los parámetros:

80/400=0,2 ; 288/2.400=0,12≡80·6·(1-0,4)/(400·6)≡80·(1-0,4)/400≡0,2·(1-0,4)


278

FUNCIONES INCENTIVO TIPO D/D: INCREMENTO PROPORCIONAL DE LA PRIMA, CUANDO LAPREVISIÓN ES SUPERADA POR EL VALOR REAL EN UN DETERMINADO PORCENTAJE.

(s) = % en que se verá

incrementada la prima

(x) = % en que es superada la previsión

si separación relativa = 25 %

si 50 %

si 75 % 10 %

20 %

15 %

10 %

5 %

20 % 10 % 30 %

30 %

(ε =0,25)

(ε =0,5 )

(ε =0,75)

(ε =0)s = x.(1- ε)

Contradicción en 1ª y 2ª fases

Queda claro con la anterior relación que la característica del premio menos queproporcional por superar la previsión es como la otra cara de la moneda del efecto“penalización”, que en la primera fase asegura al P que el A tenderá a hacer previsionesprecisas y no necesariamente fáciles de cumplir. Lo que es una gran ventaja en la primera fasetemporal, en el momento de que el A revele información fiable sobre sus posibilidades deconseguir un determinado nivel de producto para el periodo que se está planificando, resultadespués ser un inconveniente en la fase de gestión: el A está poco incentivado a esforzarse ensu gestión día-a-día para obtener un valor de producto superior al previsto (en el supuesto deque las condiciones reales de su gestión -especialmente la coyuntura económica y otrasvariables del entorno- se lo permitieran).

Y cuanto más fuerte es la ventaja para el P en la fase de hacer decidir las previsiones alos A, más fuerte es el inconveniente señalado en la fase de gestión: cuanto mayor sea laseparación relativa de los parámetros, más fuerte será la motivación del A para hacerprevisiones con probabilidades estudiadas con precisión, pero menor será, proporcionalmente,el premio establecido para una posible superación de la previsión.

Por otra parte, es frecuente observar en la práctica la voluntad de los P de hacerjustamente lo contrario: premiar proporcionalmente más, no menos, una posible superaciónde la previsión, más aún cuando se está aplicando una función incentivo D/D, ya que en estecaso sabemos que la previsión que habrá hecho el A en la primera fase del proceso secorresponderá con un rendimiento/esfuerzo razonablemente alto (ya que con dicha funciónincentivo podemos considerar que el efecto ocultación será virtualmente nulo), y que, enconsecuencia, superar esta previsión requerirá probablemente un esfuerzo de gestión notablepor parte del A. Pero esto último (premiar más que proporcionalmente) es justamentecontradictorio, como hemos visto, con la esencia y la ventaja principal que se persigue con unafunción tipo D/D: la condición a < β es necesaria para que una función incentivo no genere laconsecuencia perversa del efecto ocultación (y su acompañante, el efecto “ratchet”) y laineficiencia que de él se deriva. Además, el hecho de que la separación relativa de los


279

parámetros sea importante es la condición para que en la primera fase el A no se desentiendade la labor de dar unas previsiones bien estudiadas y fiables. Sin embargo, simultáneamente, elhecho de que la separación relativa (ε=(β-a)/β sea importante significa que, inevitablemente, sereduce drásticamente en la segunda fase el grado de incentivo a superar la previsión si es quelas circunstancias reales a las que se enfrentará después el A en su gestión así se lo permitan.

La decisión sobre la separación relativa a fijar en los parámetros plantea, por tanto, unacontradicción. ¿Puede resolverse ésta y combinar las ventajas de la función incentivo D/D conla posibilidad de premiar no menos, sino más que proporcionalmente al A cuando consiguesuperar la previsión?. La respuesta, como veremos, es un si con reservas. Veamos de quémodo y en qué sentido.

(6.3.2)Premiar más que proporcionalmente una superación dela previsión: Función D/D modificada

Una posibilidad de conseguir esto consiste en introducir en la función D/D un cuartoparámetro, de modo que la tasa de premio sobre la previsión sea más pequeña que la tasa depremio sobre la superación de la previsión (determinada ésta por el parámetro a), siempremanteniendo la condición básica de las funciones D/D, β>a.

FUNCIÓN D/D MODIFICADA

IE = (ββ.X' - d.X^) + {a, c}.(X - X' ) [28]

s.a 1) a < β < c ; β, a, c, d, >0 2) (ββ.X' - d.X^)/X' < a

donde β, a, c, d >=; X^ es una previsión puramente orientativa anticipada por el P, y donde (β.X' -d.X^) es ahora la prima base o prima prevista, que quedará determinada una vez el A presente suprevisión (denotaremos esta prima prevista con IE'); y, por tanto, la tasa de premio que representasobre la previsión de producto es IE’/X', pts. por unidad.

Como puede verse, la condición 2) hará que efectivamente se pueda premiar más queproporcionalmente una superación de la previsión; y es una condición que puede sercompatible con la 1), que es la esencia de las funciones D/D. Veamos un ejemplo concreto:

Ejemplo (3)

IE=(7⋅X' - 4,5⋅X^) + {3,5 , 9,5}.(X - X') ; X^= 400.000 ; s.a : (7X'-1.800.000)/X' < 3,5 (condición que se cumplirá para valores de X' < 514.285 )

Con esta fórmula de incentivo, si el A hace, por ejemplo, una previsión idéntica a la anticipadapor el P y después su gestión diese lugar a un valor real de producto idéntico, el incentivo quecobrará será de 1.000.000 pts. Una prima prevista que representa una retribución de 2 pts. porunidad de producto prevista, mientras que cada unidad en que se supere la previsión estaráretribuida con 3,5 pts. Esto significa que en caso de que después el producto realmente


280

conseguido superase la previsión en un 5% (20.000 unidades más de producto), el incremento deprima sería de 70.000 pts., lo que representa un 7% sobre la prima prevista. Un incremento deprima, por tanto, más que proporcional.

x s= = = =20 000

400 0000 05

3 5 20 0001000 000

0 07..

, ;, .( . ). .

,

Y obsérvese que si hiciéramos d=5 (en lugar de 4,5), la función resultante haría que la primaprevista fuese más pequeña (800.000 pts.) y, por tanto, el incremento proporcional de prima encaso de superar la previsión sería superior (8,75%).

En términos más generales: dado un determinado valor para el parámetro de premio, a,una función tipo D/D modificada [28] permitirá que el incremento relativo de prima (s) seamayor que el incremento relativo de producto (x), y tanto mayor cuanto más grande sea elparámetro d y más baja sea la separación relativa β-a, porque ambas cosas harán que seamenor la prima prevista por unidad, es decir, la tasa de incentivo sobre la previsión: IE’/X’.

Normalmente, sin embargo, en la política de incentivos del P acostumbra a ser tanimportante que la prima prevista tenga un determinado orden de magnitud como premiarsubstancialmente una posible superación de la previsión. Por tanto, si la función incentivo debecumplir unos objetivos sobre ambas cuestiones, los parámetros, incluso el a, tendrán quedeterminarse conjuntamente, guardando unas determinadas relaciones. Conviene, entonces,precisar la forma de determinar unos valores mutuamente coherentes para los parámetros de lafunción: β, a, c, d.

Determinación práctica de los parámetros

Empezaremos por enunciar la condición 2) de una forma más directa, expresando elparámetro a en términos de su separación relativa respecto al β: a=β·(1-ε):

ββ β ε

. ' . ^'

, .^'

.( ) ,X d X

Xa d

XX

−< → − < − →1 d . . X'

X^> β ε

Esto nos da la posibilidad de determinar un valor para el nuevo parámetro d, si están yadeterminados β y ε (o bien el parámetro a) y disponemos de una determinada estimación de laprevisión que presentará el A (≈X’= estimación que hace el P de la previsión que se autofijaráel A).

EJEMPLO (4)Supongamos que la previsión estimada por el P es X^=400.000 y que éste considera que unpremio adecuado por superar la previsión sería a=3 u.m. Además, se desea que la separaciónrelativa respecto al parámetro principal sea del 40% (ε=0,4 y, en consecuencia, β=5). ¿Quévalor podríamos dar al nuevo parámetro d?

Si el P estima que la previsión que propondrá el A21 no diferirá demasiado de la que él anticipa

21 Recordemos que cuando se aplican funciones estímulo que eliminan el efecto ocultación venimosconsiderando que el P acepta sistemáticamente como previsión definitiva, X’, la cifra de previsión que propone


281

orientativamente, (≈X’)=X^, entonces el valor del parámetro d debería ser tal que:

D > β·ε ---> d > 5·0,4 ---> d > 2 ; por ejemplo: d=3

con este valor para d, la función incentivo quedará determinada como:

IE=(5·X’ – 3x·400.000)+{3,7}·(X-X’) 22

O sea, que la prima prevista si el A propone, efectivamente, como previsión también 400.000unidades de producto, será IE’=800.000 pts. y, como puede verse, se cumple que si el Allegase posteriormente a superar la previsión, por ejemplo, en un 10% (x=0,1), el incremento deprima sería proporcionalmente superior: 40.000·3=120.000 pts., una prima complementaria queequivale a un incremento del 15% sobre la prima prevista (s=0,15). Como es fácil deducir, laprima prevista sería más alta que si hubiésemos elegido un valor inferior para el parámetro d, obien si el parámetro β fuese más alto (lo que implicaría modificar la separación relativa que sehabía elegido).(La comparación de este ejemplo con el anterior (3) puede ilustrar sobre esto: la función D/Dmodificada del (3) implicaría haber decidido: a = 3,5; ε= 0,5 , y, por lo tanto, β=7; una condición2): d> β⋅ε, d> 3,5; y una opción aquí de 4= 4,5

Para facilitar este proceso de determinar los parámetros de la función D/D modificada enel caso general, explicitaremos las dos variables, ‘tasa de prima complementaria’ (s) y ‘tasa desuperación de la previsión’ (x)

sa X X

X d X= =

−−

Prima complementariaPrima base

.( '). ' . ^β ; x

X XX

= =−Superación de la previsión

Previsión de producto'

'

lo cual permite escribir:

1) sx

a X XIE

X XX

aXIE

m=⋅ − −

≡ ⋅ =( ' )

''

'''

2) β⋅(1 - ε)= a3) IE’ = β ⋅ X’ - d⋅X^

sistema del cual se deduce que una vez el P ha decidido: en qué medida quiere premiar más queproporcionalmente una posible desviación favorable (relación entre s y x; = m); el grado depenalización para previsiones ‘incorrectas’ (la separación relativa, ε); y el orden de magnitudde la prima base (≈IE’), los parámetros a, β, y d se pueden determinar conjuntamente, si a lavez el P efectúa una estimación de la previsión que presumiblemente presentará el A (≈X’) 23.Veamos esto con un ejemplo numérico, del que fácilmente podremos deducir el procedimientode cálculo general a seguir:

el A, XA, es decir, que X’≡XA.22 El valor del parámetro c dependerá de la asimetría/simetría que se quiera para la función incentivo. En casode que la opción fuese de parámetros simétricos, en este ejemplo c=7.23 Estas estimaciones (≈IE’) y (≈X’) es necesario efectuarlas en cualquier caso; se trata de resolver un problemageneral e inevitable: como ya se ha visto en el apartado 5.2, determinar los parámetros que darán lugar a laprima base siempre requerirá efectuar una estimación del valor de la previsión de producto que presentará elA. En las funciones sencillas tipo [1] o en las D/D “normales”, este aspecto de “cálculo por aproximación”afecta a la determinación del parámetro β. En el presente caso de función D/D “modificada”, afecta a losparámetros d y β (e indirectamente a a y c, ya que estos dependen de β y de la separación relativa que se elija).


282

EJEMPLO (5)

Se desea que si la previsión es después superada, por ejemplo, en un 10 %, sea despuéspremiada con un incremento de prima del 25% (y así proporcionalmente, en otros casos), y,además, que la separación relativa de los parámetros β, a, c sea del 50 %. En tal casotendremos:

"[si X = 1,1 X' ,---> IE = 1,25 IE' ]"; ==> 0,1 X'.a = 0,25 IE' , --> a = 0,25 IE' 0,1 X'

por otro lado, a= β.(1-0,5) , por tanto, ββ = 0,25 . IE' ; 0,1 .X'. 0,5

y, teniendo en cuenta que IE' =β.X' - d.X^, podemos escribir:

IE' = 0,25 IE' . X' - d.X^ ; ---> IE'( 0,25 - 1) = d.X^ ; 0,1 X'.0,5 0,1 . 0,5

⇒ =⋅

− ⋅

d S

X0 25

0 1 0 51,

, ,'^

24

Por tanto, si, por ejemplo, el orden de magnitud que el P quiere fijar para la prima previstafuese de (≈ IE') = 1.500.000 pts., y su previsión orientativa de X^= 400.000 unidades de producto,las condiciones especificadas sobre la proporcionalidad del posible incremento de prima nosllevarían a concluir que el parámetro d debería tener un valor d ≈ 15. En resumen, una función-incentivo que se aproximaría satisfactoriamente a lo que se pide sería la siguiente:

IE = (18,75.X' - 15x 400.000) + {9,375 , 28,125}.(X - X')

donde β y a están calculadas según las expresiones anteriores, con (≈IE')=1.500.000 y haciendola estimación (≈X')=400.000) 25; y el parámetro c se ha determinado suponiendo que se queríauna función de parámetros simétricos.

Este ejemplo nos permite deducir directamente la expresión general para determinar elnuevo parámetro d (para facilitar esto se han relacionado en el texto las operaciones numéricasindicadas). Esta expresión resultará útil no exactamente como “fórmula” para determinacionescuantitativas -puesto que el ejemplo anterior en sí mismo es perfectamente generalizable acualquier caso, y siempre es preferible aplicar una secuencia puramente lógica de cálculo comola que muestra el ejemplo de una “fórmula” única a memorizar- sino porque nos muestra lasvariables de las cuales dependerá el valor de d:

24 Esta expresión permite decir que, en general, una vez conocidos el orden de magnitud que se desea para laprima base (≈IE’) y la previsión orientativa del P, el valor del parámetro d dependerá de la separación relativaque se elija (0,5 en el ejemplo) y de la proporción en que se quiera incrementar la prima base cuando laprevisión se supere en un determinado porcentaje (25% versus 10% en el ejemplo anterior).25 Como ya se ha dicho, los signos de aproximación (≈) significan “estimación que hace el P del valor de...”.Téngase en cuenta que el valor definitivo IE’ dependerá de la previsión que haga el A, información quelógicamente no se tiene cuando se determinan los parámetros de la función incentivo. Si una vez comunicada alA la función incentivo (con los valores de los parámetros ya determinados) el A diese una previsión diferente ala estimada por el P, por ejemplo, X’= 420.000 unidades, entonces la prima prevista será diferente a laestimación que se había hecho, IE’ = 1.875.000; si después la previsión la llegase a superar el A en un 10%, elincremento de prima sería del 21% en lugar del 25% que había fijado como política de incentivos el P. Estoilustra el sentido y las implicaciones de los signos de aproximación.


283

⇒ = ⋅ − − ⋅

d s

xIEX( )

'^1 1ε

Es decir, que para aplicar una función tipo D/D modificada será preciso conocer: en quéproporción desea el P premiar más que proporcionalmente una desviación favorable (s/x), quéseparación relativa (a <--> β) se desea, ε; qué previsión orientativa se anticipa al A (X^), ycuál es el orden de magnitud de la prima prevista que se desea que tenga el A (≈IE’)26. Laexpresión anterior nos permite concluir también que el parámetro d deberá ser mayor cuantomás elevada sea la proporción en que el P desee premiar más que proporcionalmente y comoalta sea la separación relativa que decida para los parámetros (a <--> β).

Los posibles inconvenientes de la fórmula D/D modificada

El hecho de que la función D/D modificada permite primar fuertemente la superaciónde la previsión, aunque también incentiva al A a hacer una previsión probable lo más altaposible (ya que mantiene la condición β > a), la haría probablemente acreedora del nº 1 en el“ranking” de funciones-incentivo. No obstante, es necesario tener en cuenta que se trata de unafórmula fuertemente discriminadora que puede llevar -sobre todo cuando la incertidumbresobre los cambios en el entorno es alta- a resultados poco lógicos o contradictorios con la ideaa la que responde todo incentivo económico. En efecto: como discrimina fuertemente en favorde desviaciones favorables respecto las previsiones, para el caso de variacionesdesfavorables importantes entre las previsiones de P y A y entre la previsión de éste y elposterior valor real, el importe del incentivo definitivo total que señalará la fórmula puederesultar inadecuado porque puede resultar un incentivo notablemente inferior al orden demagnitud que pretendía el P; o bien el modelo puede dar lugar incluso a valores negativos si lasdesviaciones desfavorables son relativamente importantes. Por ejemplo, en el supuestonumérico anterior la prima sería prácticamente nula si el A, habiendo hecho una previsión iguala la que hemos supuesto, X’=400.000, después viese que en realidad se ha quedado en347.000 unidades (IE=18,75·400.000-6.000.000-53.000·28,125≈0), y la prima sería negativapara valores reales inferiores. Puede verse, en este sentido, el cuadro de posibilidades de lapágina siguiente.

26 O, lo que es equivalente en el proceso de cálculo, saber qué valor se quiere fijar como tasa de premio paradesviaciones favorables (a) y cuál es la estimación del P sobre la previsión que hará el A (≈X’) (ya que si seconoce a y ε se puede calcular β, y con β, X^ y ≈X’ se puede calcular ≈IE’).


284

Tabla V :


Función-incentivo D/D modificada: IE = (18,75.X' - 15x 400.000) + {9,375 , 28,125}.(X - X')

Probabilidades estimadas por el A, para cada posible valor de X:0,05 0,10 0,20 0,30 0,20 0,10 0,05 % de incre-

mento deprima si X’

Si X= 280000 320000 360000 400000 440000 480000 520000 es superadoen un 10%

Si X' = ↓↓ ⇓280000 -750.000 -375.000 0 375.000 750.000 1.125.000 1.500.000320000 ⇐ -

1125.0000 375.000 750.000 1.125.000 1.500.000 1.875.000

360000 -1500.000

-375.000 750.000 1.125.000 1.500.000 1875.000 2.250.000 50 %

400000 -1875.000

-750.000 375.000 1.500.000 1.875.000 2.250.000 2.625.000 25 %

440000 -2250.000

-1125.000

0 1.125.000 2.250.000 2.625.000 3.00.000 16,6 %

480000 -2625.000

-1500.000

-375.000 750.000 1.875.000 3.000.000 3.375.000 12,5 %

520000 -3000.000

-1875.000

-750.000 375.000 1.500.000 2.625.000 3.750.000

Como puede verse, en un caso como el del ejemplo este tipo de función-incentivopuede comportar primas proporcionalmente muy bajas, nulas o negativas para desviacionesdesfavorables relativamente modestas (lo que puede ser poco adecuado como fórmularetributiva). Así, en el cuadro anterior: la hipótesis X’=400.000, X=360.000, que representauna desviación desfavorable del 10% reduce la prima de 1.500.000 a 375.0000 pts., y si el Ahubiera previsto X’=440.000 la prima sería nula, y la hipótesis X’=360.000, X=320.000 dalugar a una prima negativa.

No obstante, en caso de que la situación sea tal que permita pensar que al aplicar lafunción estímulo no será fácil caer en la parte negativa de las primas (por ejemplo, porque laasimetría de los parámetros decidida produce que el A tienda a hacer planes “conservadores”con alta probabilidad de ser superados) no existe ninguna duda de que se puede aprovechar laventaja adicional de este modelo, de discriminar fuertemente en favor de primar la superaciónde la previsión.

♠ ♠ ♠


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6.4. ADAPTACIÓN DE LAS FÓRMULAS DE INCENTIVO A OTROS CASOS.

(6.4.1)Caso en que existe más de una variable decontrol

En caso de que existan dos o más VC, la formulación de la función-incentivo estambién una oportunidad para precisar al A cuál es la importancia relativa que asigna el P acada una de las VC. Si, de acuerdo con la fórmula de incentivos, la mayor parte de la primaanual viene determinada en función de una de las VC, es evidente que el A (si tiende amaximizar su retribución) tenderá a optimizar ésta con más énfasis o preferentemente a lasdemás.

La solución más directa en estos casos es, evidentemente, definir un esquema deincentivos que sea la suma de dos o más funciones-incentivo, una para cada variable decontrol. La cuestión clave a resolver es, evidentemente, el peso que tendrá en la suma totalcada uno de los incentivos parciales; porque al definir este peso es cuando el P está poniendomás o menos énfasis en una u otra de las VC. Y eso significa decidir el orden de magnitud delos dos o más incentivos parciales. Así, en el caso concreto de dos VC, un ejemplo puede ser:

IE = β1⋅(X1) + β2⋅(X2)’ ± {a, c}⋅(X2 - X2’)donde: X1 = valor de la VC primera ; X2 = valor de la VC segunda

es decir, un incentivo a cobrar definido como la suma de una función incentivo sencilla parauna de las VC, y una función D/D para la otra.

Aunque la dirección de la empresa puede creer conveniente que la forma de establecerel importe del incentivo total sea más elaborada, para hacerla más efectiva, definiendo una solafunción incentivo en la cual entren las dos a más VC. Un ejemplo en este sentido lo tenemos enla descripción que realiza J. MARCZEWSKI27 para un caso también de dos variables de control:la tasa de rentabilidad y el volumen de ventas de cada una de las divisiones o empresas filialesde un grupo económico:

IE = (X1.a + X2'.b).W + c.(X2 - X2').b.W

donde: X1 = tasa de rentabilidad conseguida por el AX2 = Tasa de incremento de las ventas sobre la cifra del periodo anteriorW = Retribuciones totales del personal de la división.a, b , parámetros fijados por el P , diferentes para cada A.c , ídem, idéntico para cada A; con los siguientes valores:c = 0,7 si X2 > X2' ; i c= 1,3 si X2 < X2'

27 ¿Crisis en la planificación socialista?, FCE, 1973, pág. 75-76.


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Como puede verse, se trata de un esquema de incentivos en el que los parámetros a y b son losque ponderan o marcan la importancia de las VC en lo que respecta a la determinación de laprima total28. Aunque de hecho puede interpretarse también como una simple suma de dosfunciones incentivo independientes: concretamente, la VC ‘tasa de rentabilidad’ tiene asociadauna función incentivo sencilla, de tipo [1] 29, con un coeficiente de incentivo igual a: a⋅W; y laVC ‘tasa de incremento en la cifra de ventas’ tiene asociada una función incentivo tipo D/D,con un parámetro central igual a b⋅W, y en la cual las condiciones del parámetro c nos indicanque la separación relativa es simétrica e igual al 30%.

(6.4.2)Caso en que la variable de control es unavariable a minimizar

Las funciones descritas en los apartados anteriores son aplicables igualmente a loscasos de variables a minimizar con las lógicas diferencias que esto implica, ya que el incentivopara el A debe funcionar en sentido inverso. Esta “inversión” de las fórmulas puede hacerse enprincipio de dos maneras. La primera invirtiendo el orden de la diferencia entre las variablesprevista y real. Por ejemplo, si quisiéramos aplicar una función tipo WEITZMAN (nosimplificada) en un caso en el que la variable de control elegida es el coste total de laproducción -por tanto, una variables que se espera que el A trate de minimizar- podríamosformular el incentivo en los términos siguientes:

Primera alternativa:

IE = IE^ + β.(X^ - X') ± {α , γ }.(X' - X) ; 30 0 < α < β < γ

fórmula de incentivo que, como puede verse, estimula al A en la primera fase a presentar laprevisión de costes más ajustada (baja) posible (ya que esto le mejorará la parte de prima querecibe del segundo sumando) y en la segunda fase le incentivará a tratar de que, si lascondiciones reales lo permiten, los costes reales sean aún inferiores a los previstos. Justamenteel tipo de comportamiento que se trata de motivar.

Y la segunda alternativa es, obviamente, aplicar la fórmula de incentivo referida tal comohemos hecho para las variables de control a maximizar, pero escribiendo como tal la inversa de 28 La notación de los parámetros es la del autor citado. Los parámetros a y c no tienen, por tanto, el mismosignificado con el que los hemos utilizado aquí anteriormente.29 Esto puede quedar más explícito si reescribimos el esquema de incentivos como:

IE = [ X1⋅a⋅W ] + [ X2'⋅b⋅W + c⋅ (X2 - X2')⋅ b⋅W ]30 En este caso la variable de control -los costes totales de producción- conviene recordar que es una variable aminimizar en términos relativos; es decir, con relación al coste total previsto para la producción realmenteobtenida. En consecuencia, al aplicar la fórmula de incentivo, la previsión, X’, deberá ser entendida (o habrá deser substituida por) la previsión ajustada: ∑(cantidades reales) . (costes unitarios previstos).


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la VC a minimizar (los costes de producción en el ejemplo anterior). Así:

{ }IE IEX X X X

= + −

+ −

^ .

' ^, .

'β α γ

1 1 1 1

En esta segunda opción hay que empezar por señalar que los valores resultantes para losparámetros serán muy diferentes -unos valores de un orden de magnitud mucho más alto- quelos de la alternativa anterior, ya que deberán multiplicar variables de un orden de magnitudinverso.

Ejemplo: Al A responsable de una US consistente en un departamento de mantenimiento de una empresase le ha fijado como VC: X = los costes de funcionamiento trimestrales del departamento. La direccióngeneral (el P) quiere establecer un incentivo de un orden de magnitud de (≈IE)=120.000 pts. trimestrales;y desea una función que penalice las previsiones ‘incorrectas’ en el mismo sentido (parámetrossimétricos), y que el grado de penalización (separación relativa) sea del 60%. Si suponemos que X^=

20.000.000 pts., entonces las funciones-incentivo resultantes podrían31:

1ª alternativa:IE = 120.000 + 0,006 (20.000.000 - X’) ± {2,4 , 9,6}⋅(X’ - X)

2ª alternativa:

{ }IEX X X

= + ⋅ −

± ⋅ ⋅ −

120 000 24 101 1

20 000 0009 6 10 38 4 10

1 111 11 11. .' . .

, , , .'

Las mismas dos opciones de adaptación tenemos en caso de aplicar una función D/Dmodificada:

Primera opción (invertir el sentido de las diferencias):

IE = [d.X^- β.X'] + {a, c}.(X' - X)

función que, como la anterior, incentivará un comportamiento que es el que se busca potenciarcuando la variable es a minimizar: el A estará interesado en presentar una previsión inferior a laque le anticipa el P (si efectivamente piensa que podrá ajustar los costes a este otro importemás bajo), y estará motivado también después, en su gestión día-a-día, a tratar de que loscostes reales sean aún más bajos.

Segunda opción (utilizando las inversas de la VC):

{ }IEX

dX

a cX X

= −

+ −

β.

'.

^, .

'1 1 1 1

El comportamiento incentivado será, obviamente, el mismo (si bien los valores de losparámetros serán de un orden de magnitud totalmente diferente que en la opción anterior, porel motivo indicado).

31 Para determinar β se ha supuesto que IE^ está definido en función de β y de X^, como hemos hecho en 5.3.6al hablar de la función de Weitzman.


288

No obstante, en caso de una función D/D “normal” no tendría sentido invertir el sentidode la desviación (por ejemplo: IE = β.X' + {a,c}.(X' - X)) porque se produciría el absurdo deuna fórmula que primaría previsiones de costes cuanto más altos mejor (!!). En cualquier caso,se deberían combinar las dos alternativas: invertir el sentido de la desviación, en lo querespecta a la prima complementaria (segundo sumando) y utilizar la inversa de la VC para laprima base (primer sumando):

{ } ( )IEX

a c X X= ± −β.'

, . '1

Pero el inconveniente de esta alternativa “mixta” es que el orden de magnitud de losparámetros será muy distinto entre sí: β tendrá que ser de un orden de magnitud mucho mayorque c, por ejemplo; lo que significa que no podemos hablar de que estamos aplicando unafunción D/D, puesto que los parámetros dejarán necesariamente de estar relacionados (encualquier caso, la condición básica a<β<c no se cumplirá). La otra alternativa es aplicar unafunción D/D normal y formularla utilizando sencillamente las inversas de las respectivasvariables:

{ }IEX

a cX X

= ± −

β.

', .

'1 1 1

Como puede deducirse de los puntos anteriores, solo en el caso de aplicar las fórmulasa las inversas de la VC podremos decir que estamos aplicando realmente una función D/D ouna D/D modificada. Tan solo en esta opción la función y los parámetros tendrán el significadoy propiedades que hemos visto para el caso de las variables a maximizar; es decir, todo lorelativo a la separación relativa de los parámetros, repercusiones de la simetría/asimetría, primamenos/más que proporcional, etc. Ésta es técnicamente, pues, la alternativa preferible si laopción previa se decanta por aplicar una función-incentivo D/D (sea “normal” o “modificada”).

En cualquier caso, cuando adaptamos una fórmula de incentivos al caso de una variablea minimizar, deberá tenerse en cuenta substituir la expresión “superar la previsión” (tantasveces utilizada en los apartados anteriores) por la de “mejorar la previsión”; por ejemplo, si laVC se refiere a costes, la ‘mejora’ significa que estos han sido inferiores a los previstos. O bienconsiderar a todos los efectos que la VC es (1/X).

capítulo 6 aplicaciÓn de fÓrmulas de...

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