capitulo 4 (problemas) peb
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Problemas PEB ISTTRANSCRIPT
PROCESSOS EM ENGENHARIA BIOLÓGICA
PROBLEMAS RESOLVIDOS E PROPOSTOS
CAPÍTULO 4 – BALANÇOS DE MASSA E DE ENERGIA
EM ESTADO NÃO ESTACIONÁRIO
Mestrado Integrado em Engenharia Biológica
Prof. José A. Leonardo Santos
Profª Maria de Fátima C. Rosa
Profª Maria Cristina Fernandes
2014/2015
P-5 / FR-101
Fermentador
P-1 / V-101
Tanque de mistura
P-2 / ST-101
Esterilizador
P-3 / G-101
CompressorP-4 / AF-101
Filtro de ar
P-6 / AF-102
Filtro de gases
S-101
S-102S-103 S-104
S-105
S-106 S-107
S-108S-109
S-110
147
CAPÍTULO 4 – BALANÇOS DE MASSA E DE ENERGIA EM
ESTADO NÃO ESTACIONÁRIO
EXEMPLOS RESOLVIDOS
EXEMPLO 4.1
Um reservatório com um volume de 500 L, contém inicialmente 100 L de uma solução. Este
reservatório é alimentado com a mesma solução salina, com um caudal de 50 L/min.
A) Sabendo que simultaneamente o tanque é descarregado com um caudal de 60 L/min, determinar o
tempo necessário para que o tanque fique vazio.
B) Qual deverá ser o caudal de descarga para o tanque transbordar ao fim de 20 min.
Resolução
A) Vamos efectuar um balanço em volume. Mas
antes é conveniente estabelecer quais são as
condições limite.
t = 0 VO = 100 L
t = t V = 0 L
• Balanço ao volume
Caudal de entrada = caudal de saída + acumulação
(FV)E = (FV)S + td
dV
Substituindo os caudais de entrada e de saída vamos obter:
td
dV = 50 – 60 = -10 L/min Neste equação temos uma variável independente (t) e
uma variável depedente (V).
Resolução da derivada e cálculo do tempo:
(FV)E = 50 L/min (FV)S = 60 L/min
VT = 500 L
VO = 100 L
(FV)E = 50 L/min (FV)S = 60 L/min
VT = 500 L
VO = 100 L
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
148
dV = -10 dt
(0 – 100) = -10 (t – 0) t = 100/10 = 10 min
O tanque fica vazio ao fim de 10 min
B) • Balanço ao volume Condições limite:
(FV)E = (FV)S + td
dV t = 0 V = 100 L
t = t V = 500 L
td
dV = 50 – (FV)S dV = (50 – (FV)S) dt
(500 – 100) = (50 - (FV)S) (20 – 0)
50 - (FV)S = 20 L/min (FV)S = 30 L/min
EXEMPLO 4.2
Um tanque perfeitamente agitado (com um volume total de 500 L) tem inicialmente 100 L de uma
solução salina, com uma concentração de 10 g/L. Com a finalidade de aumentar a concentração desta
solução, é alimentada ao tanque uma solução do mesmo sal com uma concentração XE e com um caudal
de 50 L/min. Simultaneamente a solução contida no tanque é descarregada com um caudal de 30
L/min. Calcular:
A) O tempo necessário para o tanque transbordar.
B) A concentração de sal na corrente de alimentação (XE), sabendo que ao fim de 5 min de
processamento a concentração na corrente descarregada é de 40 g/L.
Resolução
A) Condições limite:
t = 0 VO = 100 L
t = t V = 500 L
∫∫ =
20
t
0
500
100
d ))(F - (50 dVSV
(FV)E = 50 L/min (FV)S = 30 L/min
VT = 500 L
V0 = 100 LXO = 10 g/L
XE = ? XS = X
X
(FV)E = 50 L/min (FV)S = 30 L/min
VT = 500 L
V0 = 100 LXO = 10 g/L
XE = ? XS = X
X
∫∫ =
t
t
0
0100
d 10- dV
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
149
• Balanço ao volume Caudal de entrada = caudal de saída + acumulação
(FV)E = (FV)S + td
dV
Substituindo os caudais de entrada e de saída vamos obter:
td
dV = 50 – 30 = 20 L/min
dV = 20 dt
20 (t – 0) = 500 –100 t = 400/20 = 20 min O tanque transborda ao fim de 20 min
B) Vamos considerar que o tanque está perfeitamente agitado, o que implica que a concentração da
corrente de saída seja igual à concentração dentro do tanque ( xS = x).
Condições limite:
t = 0 VO = 100 L xO = 10 g/L
t = 5 min V = V x = 40 g/L
• Balanço ao soluto (sal):
(FV)E xE = (FV)S xS + (xV)d
d
t
Tendo em consideração que a concentração dentro do tanque e o volume vão variando com o tempo, e
que xS = x, vamos ter que:
50 xE = 30 x + d
dVx
d
dxV
tt+
Na equação anterior temos uma constante (xE) cujo valor queremos calcular, para além de uma
variável independente (t), e de duas variáveis dependentes (x e V). Para podermos resolver a equação
termos de arranjar uma outra equação que relacione uma das variáveis com a variável independente.
∫∫ =
500t
t
1000
dV d20
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
150
Relação entre V e t:
td
dV = = 20 L/min (relação obtida na alínea A))
dV = 20 dt
20 t = V –100 V = 100 + 20 t
Substituindo a relação entre V e t no balanço ao sal vamos obter:
50 xE = 30 x + x 20 d
dx)20100( ++
tt
50 xE = 50 x + d
dx)20100(
tt +
50 (xE - x) = d
dx)20100(
tt +
• Separação das variáveis e resolução da equação deferencial:
50 (xE - x) dt = (100 + 20 t) dx
[ ] [ ] ) - ( ln )( ln 40 10 E
5 0 xx 20 100
20
50 =+ t pois: bx a b1
bx a
dxln +
+=∫
−
−=
+
10 x
40 x -
100
20x5 100
20
50
E
E ln ln
0,177 Exp(-1,73) 10 x
40 x
E
E =−
+=
g/L 46,5
0,177 - 11,77 - 40
xE
==
∫∫ =
Vt
t
1000
dV d20
∫∫ =+
405
t
t
100 x - x
dx
20 100
d50
E
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
151
EXEMPLO 4.3
Um copo de vidro contendo 500 mL de água é colocado sobre uma placa de aquecimento. A água,
inicialmente a 15ºC, á aquecida entrando em ebulição ao fim de 8 min.
A) Considerando a evaporação desprezável, escrever a equação diferencial que descreve o processo.
B) Determinar a potência de aquecimento, sabendo que ela não varia com o tempo.
Nota: considerar que toda a potência de aquecimento é utilizada para aquecer a água.
Resolução A) • Balanço entálpico (vamos considerar que as paredes laterais do copo estão perfeitamente isolado)
Energia fornecida = Energia acumulada
Estado de referência:
Donde: Tref = 25ºC
Água -líquida
A variação de entalpia da água será dada pela equação seguinte:
)T - (T C M H refáguaágua P=∆
Então:
=∆ )T - (T C M
d
d H)(
d
drefáguaágua Ptt
em que T = f (t)
Como Mágua = 0,5 kg (a densidade da água pode ser considerada igual a 1 g/cm3); e
Cº kcal/kg 1 C águaP = (não depende da temperatura)
então;
[ ] )T - (T d
dCM H)(
d
drefáguaPágua
tt=∆ =
d
T dCM águaPágua
t Tref = 25ºC = constante
Como se pode observar, a equação obtida não depende da temperatura de referência escolhida (mas
depende do estado de agregação seleccionado).
0,5 L0,5 L
H)( d
d Q
f∆=
t
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
152
___________________________________________
NOTA: Se PC depender da temperatura ( (T)PC ), e se essa dependência for dada por um polinómio
do tipo: CP(T) = a + b T + c T2 , então iremos ter que:
[ ] [ ] ∫=∆=∆=∆ dTC d
d M T C
d
d M T C M
d
d H)(
d
d (T) (T) (T) PPP
tttt =
pois:
T
dT C
_C
(T)Pp
∆=∫
e dT CT C (T)(T) P p ∫=∆
donde: =∆ H)(d
d
t
d
T dT c T b aM
d
T dCM )( 2(T)P
tt++=
___________________________________________
Após substituição das constantes na equação anterior vamos obter:
d
T d0,5 H)(
d
d tt
=∆
Deste modo a equação diferencial que descreve o processo de aquecimento referido será:
d
T d0,5 Q
f t=
B) Utilizando a equação obtida na alínea anterior, e tendo em consideração as seguintes condições
limite:
t = 0 T = 15ºC
t = 8 min T = 100ºC
podemos calcular a energia fornecida , por unidade de tempo (isto é: a potência de aquecimento).
Qf dt = 0,5 dT
Qf (8 – 0) = 0,5 (100 – 15)
Qf = 0,5x85 / 8 = 5,31 kcal/min = 370,3 J/s = 370,3 Watt
∫∫ =
1008
t
150
dT 0,5 d Qf
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
153
EXEMPLO 4.4
Um solvente líquido a 18ºC, com uma capacidade calorífica de 1,8 kJ/kgºC, é alimentado a um tanque
com agitação, a um caudal de 10 kg/h.. Este solvente é aquecido nesse tanque, que contem
inicialmente 100 kg de solvente a 12ºC, utilizando uma resistência eléctrica imersa no líquido.
Calcular o tempo necessário para que a temperatura do solvente alcance os 50ºC, sabendo que a
potência de aquecimento é de 1,2 kW e que o solvente aquecido é descarregado com um caudal igual
ao da alimentação.
Resolução
•••• Condições limite:
t = 0 T = 12ºC
t = t T = 50ºC
•••• Balanço entálpico
•••• Estado de referência:
td
H d HHQ
SEf
∆+∆=∆+ Tref = 12ºC
Solvente -líquida
A derivada da variação de entalpia do solvente será dada pela equação seguinte:
[ ] )T - (T C M d
d H)(
d
drefsolvsolv Ptt
=∆
em que Msolv = 100kg
Cº kJ/kg 1,8 C solvP = (não depende da temperatura)
então;
[ ] )T - (T d
dCM H)(
d
drefsolvPsolv
tt=∆ =
d
T dCM solvPsolv
t =
d
T d180
t(kJ/h)
•••• Calor fornecido pela resistência (constante com o tempo): Qf = 1,2 kW = 4320 kJ/h
(FM)E = 10 kg/h (FM)S = 10 kg/h
MT = 100 kg
TE = 18ºC
Solvente
T
Solvente
TS = T
ResistênciaEléctrica
(FM)E = 10 kg/h (FM)S = 10 kg/h
MT = 100 kg
TE = 18ºC
Solvente
T
Solvente
TS = T
ResistênciaEléctrica
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
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•••• Variação de entalpia das correntes de entrada (E) e de saída (S):
∆HE = (FM)E CP (TE – Tref) = 10 x 1,8 (18 – 12) = 108 kJ/h
kg/h kJ/kgºC ºC
∆HS = (FM)S CP (TS – Tref) = 10 x 1,8 (T – 10) = 18 (T – 10) kJ/h
Substituindo no balanço entálpico:
4320 + 108 = 18 (T – 12) + d
T d180
t
4644 = 18 T + d
T d180
t 4644 - 18 T =
d
T d180
t
Dividindo ambos os membros da equação põe 180:
25,8 – 0,10 T = d
T d t
• Resolução da equação diferencial:
t = [ ] 5012
T) 0,10 - (25,8 0,10
1 ln−
t = h1,7 x12 0,10 - 25,8x50 0,10 - 25,8
0,10
1 ln =−
T ,100 5,82
dT d
50
120
∫∫ −=
t
t
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
155
EXEMPLO 4.5
Pretende-se aquecer uma casa de habitação, inicialmente à temperatura de 10ºC, até à temperatura
de 22ºC. Esta casa apresenta uma “capacidade de aquecimento” (massa a aquecer x capacidade
específico) de 2800 kJ/ºC e uma potência máxima de aquecimento de 20 kWatts.
A) Determine o tempo necessário para realizar o aquecimento pretendido, considerando a casa
perfeitamente isolada do exterior.
B) Na realidade existe calor que se perde para o exterior através das paredes e do telhado. Este
calor perdido é proporcional à diferença de temperaturas entre o interior e o exterior da casa:
Qp = k (Tinterior - Texterior)
Sabendo que k = 600 kJ/(ºC h) e que Texterior = 2ºC, determine o tempo necessário para realizar o
aquecimento pretendido.
Resolução
A) Dados: Potência de aquecimento = 20 kWatts = 20 kJ/s = 72000 kJ/h = Qf
Capacidade de aquecimento = 2800 kJ/ºC
• Condições limite: t = 0 Tinicial = 10ºC
t = t Tfinal = 22ºC
• Balanço entálpico
• Estado de referência:
tdH d
Qf
∆= Tref = 25ºC
Estado de agregação: igual ao estado físico dos vários
componentes da casa
Como já foi visto anteriormente;
[ ] )T - (T d
dCM H)(
d
drefP
tt=∆ =
d
T dCM P
t Tref = 25ºC = constante
em que PCM é a capacidade de aquecimento da casa ( kg x (kJ/kgºC) = kJ/ºC), que é constante.
Deste modo:
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
156
H)(d
d∆
t =
tt d
T d 2800
d
T dCM P =
Substituindo no balanço entálpico vamos obter:
72000 = td
T d 2800 ou:
td
T d
28720
=
• Resolução da equação diferencial obtida:
min 28 h0,467 10) - 22 ( 720
28 ===t
B) Dados: Potência de aquecimento = 20 kWatts = 20 kJ/s = 72000 kJ/h = Qf
Capacidade de aquecimento = 2800 kJ/ºC
Calor perdido = 600 (Tinterior – Testerior) = QP
Temperatura exterior = 2ºC (constante com o tempo)
• Condições limite: t = 0 Tinicial = 10ºC
t = t Tfinal = 22ºC
• Balanço entálpico
Estado de referência: igual ao da alínea anterior
tdH d
Q QPf
∆+=
Tendo em consideração a alínea anterior temos que:
72000 = Qp +td
T d 2800
O calor perdido para o exterior através das paredes e do telhado pode ser quantificado através da
seguinte equação:
∫∫ =
22t
t
100
dT d 28
720
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
157
QP = U A (Tinterior – Texterior)
em que: U é o coeficiente global de transferência de calor
A é a área de transferência de calor
Para a situação em causa temos que U A = k = 600 kJ/(ºC h), e Texterior = 2ºC = constante, enquanto
que a Tinterior varia entre 10 e 22ºC. Deste modo:
72000 = 600 (T – 2) +td
T d 2800
ou: 120 = (T – 2) +td
T d4,67
(122 – T) =td
T d4,67
• Resolução da equação diferencial obtida:
[ ]2210 T) - 122 ( ln 4,67 −= t
min 32 h 0,529 10 - 122
22 - 122 ln4,67 ==−=
t
EXEMPLO 4.6
1000 moles de uma mistura líquida (constituída por 70% do composto A e 30% do composto B (%
molares)) é sujeita a uma destilação à temperatura de 120ºC. Estabelecer a equação que descreve o
processo quando:
A) A destilação é semicontínua (somente com saída de destilado).
B) A destilação é contínua, com uma alimentação (contendo 70% de A e 30% de B (% molar)) de 50
moles/min de mistura líquida. Considerar que a massa da mistura líquida dentro do destilador não
varia com o tempo.
Dados: Relação entre a fracção molar do composto A no líquido (xA) e no vapor (yA): yA = 2,4 xA
∫∫ =
22t
t
100 T - 122
dT 4,67 d
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
158
Resolução
A)
Nomenclatura a utilizar: L – moles de mistura líquida no destilador
V – moles de vapor por unidade de tempo
xA; xB – fracção molar dos componentes A e
B , no líquido
yA; yB – fracção molar dos componentes A e
B , no vapor
Neste exemplo temos dois compostos em equilíbrio entre o líquido e o vapor, em que L, V, xA (e xB) e
yA (e yB) variam com o tempo de operação.
• Condições limite:
t = 0 L = 1000 moles xA = 0,7 (xB = 0,30) yA = 0 (yB = 0)
t = t L = L xA = xA yA = yA
Como temos dois componentes poderemos estabelecer dois balanços de massa
• Balanço de massa total: No balanço só iremos ter uma saída de vapor e a acumulação de mistura líquida, isto é:
td
dL V 0 +=
ou: V- d
dL =
t
Com o aumento de t, L vai diminuir, sendo assim (dL/dt) é negativo (acumulação negativa ou depleção).
• Balanço ao composto A:
Como xA e L dependem do tempo, vamos desenvolver a derivada:
Aquecimento (vapor)
Condensador
Destilador
Águalíquida
correntelíquida
correntegasosa
xB
yA ; yB
xAL
V
Aquecimento (vapor)
Condensador
Destilador
Águalíquida
correntelíquida
correntegasosa
xB
yA ; yB
xA
Aquecimento (vapor)
Condensador
Destilador
Águalíquida
correntelíquida
correntegasosa
xB
yA ; yB
xA
Aquecimento (vapor)
Condensador
Destilador
Águalíquida
correntelíquida
correntegasosa
Aquecimento (vapor)
Condensador
Destilador
Águalíquida
correntelíquida
correntegasosa
xB
yA ; yB
xAL
V
V y- d
L) (x d A
A =t
d
x d L
d
L d x
d
L) (x d A
AA
ttt+=
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
159
e substitui-la no balanço, juntamente com a substituição de V utilizando o balanço total:
Tendo em consideração a relação entre a composição do vapor e do líquido:
yA = 2,4 xA
podemos substituir a variável yA do balanço:
e reagrupar o termos em (dL/dt):
Para além da variável independente t, a equação anterior apresenta duas variáveis dependentes. Para
resolver este problema podemos tratar a variável independente como uma variável algébrica e
eliminá-la dos 2 membros da equação. Temos assim a seguinte equação diferencial, que relaciona a
variação da fracção molar do componente A no líquido com o número de moles total dentro do
destilador:
L dxA = 1,4 xA dL
• Resolução da equação diferencial:
Separando as varáveis:
e integrando, utilizando os limites de integração já referidos:
ttt d
L d y
d
x d L
d
L d x
AA
A=+
ttt d
L d x 2,4
d
x d L
d
L d x
AA
A=+
tt d
L d ) x - x (2,4
d
x d L
AAA = tt d
L d x 1,4
d
x d L
AA =
L
L d 1,4
x
x d
A
A =
∫∫ =
L
1000
X
0,7L
L d 1,4
x
x dA
A
A
tt d
L d ) x - x (2,4
d
x d L
AAA =
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
160
1000
L 1,4
0,7
x lnln A
=
donde:
)4,1/1(
0,7 x
1000 L A
= e finalmente: L = 1290 xA
0,714
A variação gráfica de L com xA é dada pela
figura ao lado.
Por exemplo, para uma fracção de A no líquido
de 0,20 (xA = 0,20), L será igual a 408 moles.
B)
Nomenclatura a utilizar:
Para além da nomenclatura já utilizada na
alínea anterior, vamos ainda considerar:
LF - moles de mistura líquida na alimentação
fresca, por unidade de tempo.
xFA; xFB – fracção molar dos componentes A e
B , na alimentação fresca.
• Condições limite:
t = 0 L = 1000 moles xA = 0,7 (xB = 0,30) yA = 0 (yB = 0)
t = t L = 1000 moles xA = xA yA = yA
• Balanço de massa total:
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 200 400 600 800 1000
L (moles)
XA
Aquecimento (vapor)
Condensador
Destilador
Águalíquida
correntelíquida
correntegasosa
xB
yA ; yB
xAL
VAlimentação fresca50 moles/min
A – 70%B – 30%
(% molar)
Aquecimento (vapor)
Condensador
Destilador
Águalíquida
correntelíquida
correntegasosa
xB
yA ; yB
xA
Aquecimento (vapor)
Condensador
Destilador
Águalíquida
correntelíquida
correntegasosa
Aquecimento (vapor)
Condensador
Destilador
Águalíquida
correntelíquida
correntegasosa
xB
yA ; yB
xAL
VAlimentação fresca50 moles/min
A – 70%B – 30%
(% molar)
L
VAlimentação fresca50 moles/min
A – 70%B – 30%
(% molar)
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
161
Para além de uma saída de vapor e uma acumulação de mistura líquida agora iremos ter uma entrada
(alimentação fresca), isto é:
td
dL V L F +=
Como a massa (ou o volume, se a densidade for constante) é considerada constante dentro do
destilador, vamos admitir que o nº de moles também não varia. Assim:
0 d
dL =
t e LF = V
• Balanço ao composto A:
Como L é constante, e tendo em consideração os dados do problema, vamos ter:
td dx
100050x2,4x0,70x50 AA +=
ou seja:
td dx
1000x20153 AA +=
Dividindo ambos os membros da equação por 1000, vamos ter:
td dx
x201,050,03 AA +=
ou:
td dx
x201,050,03 AA =− Equação diferencial que descreve a variação de xA com o tempo.
Separando as variáveis:
A
A
x201,050,03 dx
d−
= t
e integrando (utilizando os limites de integração já referidos):
d
L) (x d V y L x A
AA F F t+=
∫∫ =A
A
A
x
0,70x 0,120 - 0,035
x d d
t
t
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
162
Tendo em consideração a seguinte primitiva bx a b1
bx a
dxln +
+=∫ , o integral anterior vai
originar que:
0,120x0,70 - 0,035
x 0,120 - 0,035 ln
0,120
1 A - =t
049,0
x 0,120 - 0,035l
0,120
1 - An=t
e finalmente:
25,13 x 0,120 - 0,0350,120
1A ln - −=t
O perfil da variação de xA com o tempo de operação está indicado na figura seguinte. Como se pode
observar, com o aumento do tempo a fracção de A tende para um valor de equilíbrio, isto é atinge-se
o estado estacionário.
A fracção de A no estado estacionário ( (xA)EE ) pode ser determinada através do balanço de massas
ao composto A quando a acumulação é nula, isto é:
td dx
1000x20153 AA +=
[ ] AA
x
0,7
x 0,120 - 0,035 0,120
1- ln=t
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
XA
Tem
po (min)
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
163
0 d
dx A =t
EA E)x( 20153 =
(xA)EE = 35/120 = 0,292
A equação da variação de t com xA: 25,13 x 0,120 - 0,0350,120
1A ln - −=t
pode ser escrita do seguinte modo:
) 3,016 120,0 ( EXP 0,120
1 - 0,292 x
A−−= t
A fracção de A no estado estacionário pode ainda ser calculada através do limite da equação
anterior quando o tempo tende para infinito, ou seja:
0,292 )3,016 120,0( EXP 0,120
1 - 0,292 lim
)(x lim A
=−−
∞→=
∞→
t
tt
EXEMPLO 4.7
Um reactor, com um volume inicial VO, é alimentado continuamente por uma solução aquosa de um
reagente S. Esta corrente líquida apresenta um caudal volumétrico constante (FV)E (L/h) e uma
concentração do reagente [S]E (g/L). O reagente S é convertido com uma velocidade rS dada por:
rS = k [S]
em que [S] é a concentração do reagente no reactor e k é a constante de velocidade.
Assumindo que a densidade permanece constante, estabelecer:
A) A equação que relaciona a variação do volume do reactor com o tempo.
B) A equação diferencial que relaciona a variação da concentração de S dentro do reactor com o
tempo.
Resolução
A)
• Condições limite: t = 0 V = Vo
t = t V = V
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
164
• Balanço ao volume:
tddV
)(FEV
=
• Resolução da equação diferencial (relação entre V e t):
V = Vo + (FV)E t
B)
• Balanço de massa ao reagente S:
[ ] [ ]td
V)S( d V S )(F
SEEVr += em que (rSV) dá-nos a quantidade de reagente S
convertido, por unidade de tempo. tendo em consideração que S e V variam com o tempo, e que rS = k [S], então:
[ ] [ ] [ ] [ ]tt dV d
S d
S dV V S k S )(F EEV
++=
Como vimos na alínea A) que: )(F ddV
EV=
te V = Vo + (FV)E t
podemos utilizar estas equações no balanço ao reagente S:
[ ] [ ] [ ] [ ] S )(F d
S d ) )(FVo( ) )(FVo( S k S )(F
EVEVEVEEV ++= ++
ttt
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]) )(F (Vo
) )(F (Vo S k -
) )(F (Vo
S )(F - S )(F
) )(F (Vo
) )(F (Vo S k - S )(F - S )(F
d S d
EV
EV
EV
EVEEV
EV
EVEVEEV
tt
ttt
t +
+
+=
+
+=
ou: [ ] [ ] [ ] [ ] S k - ) S -S (
) )(F (Vo
)(F
d S d E
EV
EV
tt +=
∫∫ =
Vt
t
Vo0
dV d )(FEV
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
165
PROBLEMAS PROPOSTOS
PROBLEMA 4.1
Um tanque cilíndrico com uma altura de 4 m e com um diâmetro de 2 m está cheio de uma solução
salina. Determine o tempo necessário para esvaziar este tanque através de um orifício de 3 cm2 de
área, colocado na sua base.
Dado: A velocidade de escoamento (caudal volumétrico por unidade de área) através do orifício, v,
pode ser calculada utilizando a seguinte equação:
h g 2 0,62 v =
em que g é a aceleração da gravidade e h é a altura da solução no tanque, SI.
PROBLEMA 4.2
I. Um reservatório cónico, de acordo com a figura seguinte, está cheio de água. Sabendo que esta
água se escoa com um caudal de 0,008h2 m3/min, em que h é a altura da água no reservatório (em m),
determine o tempo necessário para se atingir um escoamento de 80% da água inicial.
II. Após o escoamento de 80% da água inicial inicia-se a alimentação do mesmo tanque com água
com um caudal constante de 20 L/min.
A) Verifique se o tanque atinge um estado estacionário (para esta situação indique a altura a que tal
aconteceria) ou se enche ou esgota completamente.
B) Determine o tempo necessário para se atingir a situação referida na alínea A) (nota: utilizando o
valor da altura de água no reservatório, h, obtido na alínea anterior, obter-se-ia que t=∞. Para evitar
esta situação utilize a altura de 0,95h).
2 m
2 m
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
166
Dados:
Reservatório cónico utilizado:
Volume : h r V 2
3=
π
Relação entre a altura (h) e o raio (r): h = 2 r
Derivada: ���
��� 3�
��
��
PROBLEMA 4.3
Uma cratera de forma cónica (possivelmente formada pela queda de um meteorito há alguns milhões
de anos atrás) é subitamente alimentada por um pequeno rio, com um caudal constante de 500 m3/h,
formando-se um lago. Esta lago apresenta um volume dado por (4/3 π H3), em que H é a sua
profundidade.
A) Considerando que a água do rio introduzida na cratera não é esgotada (a evaporação e as
infiltrações são consideradas nulas), deduza uma equação dê a variação da profundidade do lago com
o tempo (H = f(t)).
B) Considere agora que a água no lago se esgota por evaporação. Sabendo que a velocidade de
evaporação, que é proporcional à área da superfície do lago, é dada por 0,75H2 (em m3/h), determine
a profundidade do lago no estado estacionário.
C) Depois de se ter atingido o estado estacionário, o caudal de água do rio cessa repentinamente. O
nível da água no lago começa a diminuir devido à evaporação.
1. Deduza uma equação dê a variação da profundidade do lago com o tempo (H = f(t)), para esta
nova situação.
2. Ao fim de quantos dias o lago fica seco?
PROBLEMA 4.4
Um reservatório contendo 10 kg de uma mistura de ácidos gordos (composta inicialmente por 95%
(m/m) de ácido oleico e 5% (m/m) de ácido palmítico) é alimentado com ácido palmítico, com um
caudal de 4,0 kg/h. Sabendo que ocorre simultaneamente descarga da mistura, com um caudal igual
ao da alimentação, determine o tempo necessário para que a mistura líquida apresenta 30% (m/m) de
ácido palmítico. Admita que a densidade dos dois ácidos é igual e que o reservatório é perfeitamente
agitado.
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
167
PROBLEMA 4.5
Pretende-se diluir uma solução de sacarose, contida num reservatório com uma capacidade de 42 L,
através da adição de água com um caudal de 3 L/min. A solução inicial de sacarose apresenta uma
concentração de 20 g/L e um volume de 10 L. Admitindo que a densidade é constante, determine o
tempo ao fim do qual se atingirá uma concentração final de 5 g/L, se:
A) Não ocorrer descarga de solução.
B) Ocorrer descarga de solução com uma velocidade igual à velocidade de entrada de água no
reservatório
PROBLEMA 4.6
A) Pretende-se diluir uma solução de 30 g NaCl/L, contida num reservatório cilíndrico,
perfeitamente agitado, com um volume de 100 L, através da adição de uma solução do mesmo sal
contendo 2 g/L e com um caudal de 5 L/min. Sabendo que a velocidade de entrada da solução no
reservatório é igual a velocidade de saída, escreva a equação que descreve a variação da
concentração de sal no reservatório com o tempo de operação.
B) Se solução salina efluente do reservatório for recolhida noutro reservatório, qual será a
concentração de sal neste 2º reservatório ao fim de 30 min de operação.
PROBLEMA 4.7
Um copo com 1 L de água à temperatura de 20ºC é aquecido numa placa eléctrica, verificando-se que
ao fim de 10 min a água entra em ebulição (pressão atmosférica = 760 mm Hg). O calor perdido por
radiação (em kcal/min), para a situação em causa, é dado por 0,5(T - 20), em que T é a temperatura
da água (em ºC). Determine a potência de aquecimento da placa utilizada, desprezando a evaporação
que possa ocorrer.
PROBLEMA 4.8
Um fermentador cilíndrico com um volume útil de 20 L contém meio de fermentação à temperatura
ambiente (25ºC). Pretende-se esterilizar este meio à temperatura de 121ºC, utilizando vapor
saturado à temperatura média de 138ºC. Este vapor circula numa camisa de aquecimento de paredes
concêntricas ao fermentador.
Calcular o tempo necessário para se atingir a temperatura de esterilização.
Dados:
♦ O fermentador apresenta uma relação entre a altura (H) e o diâmetro (D) dada por H = 2D
♦ Coeficiente global de transferência de calor = 0,8 cal/(cm2 min ºC)
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
168
♦ Meio de fermentação:
densidade: ρ = 0,945 g/cm3
capacidade calorífica: Cp(cal/gºC) = 0,863 + 0,00086 T(ºC)
♦ Admita que o topo e a base do fermentador estão perfeitamente isolados.
PROBLEMA 4.9
A sonicação é um método mecânico de ruptura celular que utiliza ultrasons. Este método é
normalmente utilizado na desintegração de células microbianas. Da potência de sonicação aplicada
uma pequena parte é transmitida à suspensão celular a processar sob a forma de vibrações através
de uma sonda metálica nele mergulhada. No entanto a grande parte dessa potência é transmitida na
forma de calor, o que vai provocar o aumento da temperatura do caldo.
Pretende-se realizar a ruptura de uma suspensão celular durante 10 min, utilizando uma potência de
sonicação de 150 Watts, da qual 70% é transmitida na forma de calor à suspensão.
A) Sabendo que a suspensão a processar, inicialmente à temperatura ambiente (considere 20ºC), se
encontra num reservatório cilíndrico adiabático (figura A)), determine a temperatura no final do
processamento.
B) Para que a temperatura da suspensão não atinja valores muito elevados pode-se utilizar um
reservatório com camisa de arrefecimento (figura B)) onde circula um fluido de refrigeração à
temperatura de 6ºC (considerada constante). Se a temperatura inicial da suspensão for agora de
10ºC, qual será a temperatura no final do processamento?
Dados:
♦ Suspensão celular: Calor específico a pressão constante = 0,960 cal/gºC
Densidade = 0,980 g/cm3
♦ Coeficiente global de transferência de calor = 0,7 cal/(cm2 min ºC)
5,0 cm
12,7 cm
Suspensão Celular
Sonicador
Figura A)
5,0 cm
12,7 cm
Suspensão Celular
Sonicador
Fluido deRefrigeraçãoT = 6ºC
Fluido deRefrigeraçãoT = 6ºC
Figura B)
5,0 cm
12,7 cm
Suspensão Celular
Sonicador
Figura A)
5,0 cm
12,7 cm
Suspensão Celular
Sonicador
Fluido deRefrigeraçãoT = 6ºC
Fluido deRefrigeraçãoT = 6ºC
Figura B)
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
169
PROBLEMA 4.10
Uma mistura líquida, inicialmente com 5000 moles, composta por 40% de acetona e 60% de água (%
molares) é sujeita a uma destilação simples, à temperatura de 80ºC. Durante o processo, o
destilador é alimentado com uma mistura fresca (40% molar de acetona) com um caudal de 100
moles/min.
Sabendo que o volume do destilador permanece constante, e que a relação entre a fracção molar da
acetona do vapor (y) e o líquido (x) é dada pela seguinte equação:
x 3,5 1x 4,5
y+
=
determinar:
A) O tempo necessário para que a fracção molar da acetona no líquido passe dos 0,40 para os 0,20.
B) A fracção molar da acetona no líquido quando se atingir o estado estacionário.
PROBLEMA 4.11
Um destilador semicontínuo (somente com saída de vapor) é carregado com 100 kmoles de uma
mistura líquida composta por butano (50% molar) e propano. O vapor obtido pode ser considerado em
equilíbrio com o líquido. Este equilíbrio pode ser quantificado pela seguinte relação:
x 1x
y+
=
em que x e y são as fracções molares do butano no líquido e no vapor, respectivamente.
A) Estabelecer a equação que relaciona a quantidade de líquido no destilador (em kmoles) com a
fracção molar do butano no líquido.
B) Quantas kmoles de mistura líquida permanecem no destilador quando esta apresentar 70% de
butano.
PROBLEMA 4.12
Para baixas concentrações um determinado composto dissolve-se em água com uma velocidade (v)
proporcional à quantidade não dissolvida:
v = k (Mo – M)
em que Mo e M são as massas inicial e dissolvida, respectivamente.
Num ensaio isotérmico partiu-se de 10 kg de composto sólido e de 1000 kg de água pura, tendo-se
verificado que ao fim de 1 horas a concentração de composto dissolvido era de 0,002 g/g solução. Se
continuasse o ensaio qual seria a percentagem de composto inicial dissolvido ao fim de 6 horas?
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
170
PROBLEMA 4.13
Considere a reacção enzimática de 1ª ordem em que o reagente A forma o produto B. Sabendo que
ao fim de 1 e 2 horas de reacção a massa de A é de 340 e 120 g, respectivamente, determine a
massa inicial deste reagente.
PROBLEMA 4.14
Considere um tanque com uma capacidade de 100 L, perfeitamente agitado, onde está dissolvido, em
água, 1,5 kg de um sal. Com a finalidade de diluir este sal é introduzido água no tanque com um caudal
de 5 L/min. Considere que o caudal de saída de solução do tanque é igual ao caudal de entrada de
água, e que a densidade da solução pode ser considerada igual à densidade da água.
A) Determine a massa de sal dentro do tanque ao fim de 15 min de operação.
B) Assumindo que o sal é consumido dentro do tanque segundo uma reacção de 1º ordem (k = 0,02
min-1), determine o tempo de operação necessário para que a concentração do sal seja 1/20 da sua
concentração inicial.
PROBLEMA 4.15
A glucose isomerase é um enzima utilizado na obtenção de xaropes de frutose a partir da glucose,
de acordo com a seguinte reacção:
Glucose → Frutose Esta reacção ocorre num reactor descontínuo isotérmico. A velocidade de consumo de glucose por
unidade de volume, rA, é directamente proporcional à concentração mássica de glucose no reactor (a
constante de velocidade é igual a 0,15 min-1).
Sabendo que a concentração inicial de glucose era de 10 g/L, escreva a equação diferencial que
descreve este processo e calcule o tempo necessário para que a conversão seja de 90%.
PROBLEMA 4.16
Uma determinada levedura (biomassa) é utilizada para converter anaerobicamente glucose em
etanol, num fermentador descontínuo com uma capacidade útil de 50 L. Sabendo que a taxa
específica máxima de crescimento (µm) deste microrganismo é de 0,3 h-1, que a taxa específica de
formação de produto (qp) é de 3,4 h-1 e que o inicialmente existia 5 g de biomassa (biomassa
proveniente do inóculo), determine:
A) O tempo de duplicação do microrganismo.
B) O tempo necessário para que a concentração de biomassa no fermentador seja de 0,3 g/L.
C) O tempo necessário para se produzir 100 g de etanol (nota: o etanol produzido está relacionado com a
biomassa produzida).
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
171
PROBLEMA 4.17
A urease é uma enzima que catalisa a reacção de hidrólise da ureia:
Ureia + H2O → CO2 + 2 NH3
em que velocidade de hidrólise pode ser descrita pela equação de Michaelis-Menten.
Se a reacção ocorrer num reactor descontínuo isotérmico, para uma determinada concentração de
enzima activa e para uma concentração inicial de ureia de 6,4 g/L, verifica-se que a concentração de
ureia ao fim de 10 min de hidrólise é de 2,0 g/L. Determine o tempo de reacção necessário para que
a concentração de ureia residual seja de 1% da concentração inicial.
Dados
• Peso molecular da ureia (H2NCONH2) = 60,1 g/mol
• Equação de Michaelis-Menten: Am
AA C K
C r max
+=
V
em que Vmax é a velocidade de reacção máxima, Km é a constante de Michaelis (para a urease
Km = 0,0105 M) e CA é concentração de ureia.
PROBLEMA 4.18
Um lago é alimentado por um rio e esgotado por evaporação (não ocorrem perdas por infiltração),
podendo-se considerar os dois caudais mássicos iguais. Subitamente um poluente (composto X) é
continuamente descarregado no rio. Este poluente não é volátil, acumulando-se no lago.
A) Estabeleça a variação com o tempo da concentração do poluente no lago.
B) O poluente X decompõe-se em substâncias inertes com uma velocidade proporcional à sua
concentração em água: rX = k [X], em que [X] é a concentração do poluente no lago, em kg/m3 de
água. Estabeleça a variação com o tempo da concentração do poluente no lago, quando a
decomposição é incluída.
C) Calcule a concentração do poluente no lago quando se atingir o estado estacionário.
Dados:
- Volume da água no lago = 5,0x1012 m3
- Caudal do rio = 8,0x1010 m3/dia
- Concentração de X no rio = 0,35 kg/m3 de água
- Constante de velocidade de decomposição do poluente X = 0,05 h-1
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
172
SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS
PROBLEMA 4.1 PROBLEMA 4.2
t = 4,2 h I. t = 81,5 min
II. A) Atinge-se um estado estac. (hEE = 1,6 m)
B) t = 103 min
PROBLEMA 4.3 PROBLEMA4.4
A) H(m) = 4,92 t1/3 t = 45,8 min
B) H = 25,8 m
C) t = 18 dias
PROBLEMA 4.5 PROBLEMA 4.6
A) t = 10 min A) x = 2 + e(3,332 – 0,050 t) ou x = 2 + 28e( – 0,050 t)
B) t = 4,6 min B) Conc. = 14,5 g/L
PROBLEMA 4.7 PROBLEMA 4.8
Pot = 2,8 kWatts t = 12,3 min
PROBLEMA 4.9 PROBLEMA 4.10
A) T = 84ºC A) t = 0,83 h
B) T = 17ºC B) (xacetona)EE = 0,13
PROBLEMA 4.11 PROBLEMA 4.12
A)
+=
x0,5
0,51
- x1
100L
lnln Mdiss = 73,8% da massa inicial
B) L = 40,3 kmoles
PROBLEMA 4.13 PROBLEMA 4.14
MAo = 963 g A) Msal = 0,71 kg
B) t = 42,8 min
PROBLEMA 4.15 PROBLEMA 4.16
(dC/dt) = -kC ; t = 15,4 min A) td = 2,3 h
B) t = 3,7 h
C) t = 3,4 h
Processos em Engenharia Biológica – Capítulo 4
173
PROBLEMA 4.17 PROBLEMA 4.18
t = 18 min A) [X] (g/cm3) = 0,233 t (h)
B) [X] (g/cm3) = 0,0047(1- e –1,2 t(dia))
C) [X]EE = 4,7 g/cm3
Nota:
Alguns dos exemplos resolvidos e dos problemas propostos foram adaptados das seguintes referências: R. M. Felder e R. W. Rousseau (2000)“Elementary Principles of Chemical Processes”, 3ª edição, John Wiley, New York P. M. Doran (2013) “Bioprocess Engineering Principles”, 2ª edição , Academic Press, New York D. M. Himmelblau (1996) “Basic Principles and Calculations in Chemical Engineering”, 6ª edição, Prentice Hall PTR, New Jersey T. C. Ducan e J. A Reimer, (1998) “Chemical Engineering Design and Analysis – An Introduction”, Cambridge University Press
TABELAS DE PRIMITIVAS
1nx
dxx1n
n +
=+
∫ ; para n≠-1 2bx)(a2b1
dx bx) a( ++ =∫
bx a b1
bx a
dxln +
+=∫ ( )bx a ln a - bx a
b
1dx
bx a
x2
+++
=∫
x ax a
2a1
x - a
dxln
22 −+=∫
xax a
xa
x - dx x a
xln
22
2
−+
+=−∫
para x2 < a2
axax ea1
dxe =∫ x - ax ln x dx ax ln =∫