Presentacin de PowerPoint

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h = 25 pies y en h = 49 pies.Engranajes cilndricos de dientes rectos

4.1 Introduccin a engranajes cilindricos de dientes de involuta. Al tener en cuenta dos superficies curvas en contacto directo, se ha demos trado que la relacin de las velocidades angulares es inversamente propor cional a los segmentos en que se corta la lnea de los centros por la lnea de accin o normal comn a las dos superficies en contacto. Si la llnea de ac cin siempre intersecta la lnea de los centros en un punto fijo, entonces la relacin de la veloci11ad angular permanece constante. Esta es la condicin deseable cuando dos dientes de engranaje se acoplan: la relacin de ve locidades angulares debe ser constante. Es posible suponer la forma del diente en un engranaje y aplicando el principio enunciado (la normal comn intersecta la lnea de los centros en un punto fijo) determinar el permetro del diente opuesto. Estos dientes se consideran dientes conju gados y sus posibilidades solamente estn limitadas por la habilidad per sonal para formar los dientes. De las muchas formas posibles, solamente se han estandarizado la cicloide y la involuta. La cicloide se emple ini cialmente, aunque ahora se ha remplazado con la involuta para todas las aplicaciones excepto en relojes de pulso y de pared. La involuta tiene varias ventajas, entre las que se destacan su facilidad de fabricacin y el hecho que la distancia de los centros entre dos engranajes de involula puede variar sin cambiar la relacin de las velocidades. En los siguientes prrafos se estudia el sistema de engranajes de involuta. La figura 3.1 muestra un par de engranajes cilndricos de dientes de involuta.Suponga dos poleas conectadas por un alambre cruzado como se muestra en la figura 5.2. Es evidente que las dos poleas giran en direc ciones opuestas y que la relacin de la velocidad angular es constante si es que el alambre no resbala y solamente depende de la relacin inversa de los dimetros. Tambin se puede ver que la relacin de la velocidad an gular no cambia cuando se cambia la distancia de los centros. Por con veniencia, suponga que se quita un lado del alambre. y que se fija un pedazo de cartoncillo a la rueda 1 (fig. 4.3a). Coloque un lpiz en el punto

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120

121

Figura 4.2

Figura 4.1 Engranajes cilndricos. (Cortesla de Phi/adelphia Gear Works.)

Q en el alambre y gire la rueda 2 en sentido contrario al de las manel:illas del reloj. El punto Q traza una lnea recta con respecto a tierra, en tanto que con respecto a la rueda 1, Q traza una involuta en el cartoncillo. Se puede generar la misma involuta cortando el alambre en Q y desenrollan do el alambre de la rueda 1, mientras se le mantiene tenso. Si ahora se fija el cartoncillo a la rueda 2 (fig. 4.3b) y se repite el proceso, se genera una involuta en el cartoncillo de la rueda 2. Si ahora se cortan los cartoncillos a lo largo de la involuta, se forma un lado de un diente en las ruedas 1.2. Ahora se puede emplear la involuta en la rueda 1 para mover la involuta en la rueda 2. La relacin de la velocidad angular se mantiene constante debido a que la lnea de accin, que es normal a las involutas en el punto de contacto Q debido al mtodo de construccin de la involuta, corta la lnea de los centros en un punto fijo. Como su cede en el caso de las poleas con el alambre cru zado, la relacin de la velocidad angular es inversamen te proporcional a los dimetros de las ruedas. Si se cambia la distancia de los centros, la involuta 1 sigue moviendo a la involuta 2, aunque ahora ser una porcin diferente de las dos involutas la que est en contacto, comparada con la original. En tanto no se cambien los dimetros de lasruedas, la relacin de las velocidades sigue siendo la misma.tlgura 4.3

Mrnoulsmets

1 '" darnlos c.:napkados como b11](4.3)

Es posible calcular el espesor del diente por medio de la ecuacin 4.3 en.:ualquier punto de la involuta, a partir del espesor en cualquier otro punto. Una aplicacin interesante de esta ecuacin es determinar el radio enque el diente toma la forma de pico.

Por tanto

Tambin

LDOG = tan 8

LDOB = LDOG - rPn= tan 8 - 8

Tambin se puede demostrar queLDOA =tan 4>A - rPALa expresin (tan :nJ.(nnllljts dllndrlcos dr dknhs nt'll>s 133

1 '.ll c'\llhCCIICilCa,eAP x arcoC' arco P =AB

0.3289 X 0.66620.6258

= 0.3501 pulg.

Ta!llhin,

1>e manera que

PB arcoPC' AB

arcoPe.' =

PB x arcoCC' AB

0.2969 X 0.66620.6258

_- Q3161 pu lg.

De acuerdo con lo anterior,arco CP 0.3501

ct =

=----;--

1.5000

= 0.2334 rad = 13.373

arco DP 0.3501=

= 0.0934 rad = 5.349

a.2 = R-;-

3.7500

arcoPC' 0.3161

{J1 =

--;-

= l.Sooo = 0.2107 rad = 12.074"

arcoPD' 0.3161

.{12 = ---:;--- = 3 7500 = 0.0843 rad = 4.829

A manera de comprobacin,

arco CC'cx1 + p1 = --- =

0.66621.5000-- = 0.4441 rad = 25.447o

R1

oarcoDD' 0.6662

7500ct2 + Pz = -- == 0.1777 rad = 10.179R23.

Por tanto,

CX + {J1 = 13.373 + 12.074 = 25.447")= (1/JA + tan J,. - 1/J,.)- (I/J0 + tan rPo- 1/JD)= tan if,. - tan 1/Jo

Se pueden obtener ecuaciones para a.1, {J1, y /32 en forma anloga empleando dibujos adecuados.4.5 Interferencia en engranajes de dientes de lnvoluta. Anterior mente se mecion que una involuta comienza en el circulo base y se ge nera hacia afuera. En consecuencia, es imposible tener una involuta dentrodel crculo base. La lnea de accin es tangente a los dos crculos base de un par de engranajes encastrados y estos dos puntos representan los lmites

Sustituyendo el valor de (} a2 = tan 1/JA - tan 1/Jo + if>D - 4>

extremos de la longitud de accin. Se dice que estos dos puntos son puntosde interferencia. Si los dientes tienen tal proporcin que el inicio de con-

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tacto ocurre antes que se cucucntrc el punto de interl'c1curia, tutonccs la porcin involuta del engranaje movido se acopla con tJna porcin no in voluta del engranaje motor y se dice que ocurre una interferencia de in voluta. La figura 4.14 muestra este caso. E1 y. E2 muestran los puntos deinterferencia que deben limitar la longitud de accin. A muestra el inicio de contacto y B el final. Se ve que el inicio del contacto ocurre antes que se encuentre el punto E1 de interferencia; en consecuencia, hay interferencia. La punta del diente movido penetra o recorta el flanco del diente motor tal como muestra la lnea punteada. Hay varias formas de eliminar la inter ferencia, una de las cuales es limitar el adendo del engranaje movido de manera que pase por el punto de interferencia E1, con lo que se da un nuevo inicio de contacto. Si esto se hace en este caso, se elimina la inter ferencia.La interferencia de involuta es indeseable por varias raz.oncs. La inter ferencia y el rebaje re sultan te no solamente debilitan el diente del pin sino que tambin pueden quitar una pequea porciJ de la involuta

Figura 4.15

Engranaje 1 (motor)

Linea de paso

Linea de dedendo

prxima al crculo base, lo que puede reducir seriamente la longitud de accin.Ahora se estudian las condiciones para que haya interferencia entre un cremal!era y un pin. En la figura 4. J 5 aparece un pin y una cremallera cnl:astrados. El punto de tangencia de la lnea de accin y del crculo base del pin est sealado como el punto E de interferencia, igual que como en el caso del pin y la corona. Consecuentemente, el puuto de interl'erericia fija el adeudo mnimo para la crcmallcrn para el ngulo mos-Engranaje 1 (motor)

Figura 4.14

1 rado de presin. Con el adendo de cremallera mostrado en la figura 4.15,el contacto comienza a A y hay rebaje en la forma mostrada por la lnea punteada. Si el adendo de la cremallera solamente se extiende a la lneaque pasa por el punto E de interferencia, entonces el punto de interferencia se convierte en el inicio de contacto y se elimina la interferencia.En la figura 4.15 se puede ver tambin que si se encastra la cremallera con el pin (el adcndo de la cremallera ahora pasa por el punto de inter fere-ncia), el inicio del contacto ocurre en la linea de accin en algn punto entre el punto P de paso y el punto E de interferencia. En consecuencia, no habra probabilidad de que ocurriera interferencia entre el pil1n y el engranaje. Por tanto, se puede llegar a la conclusin que si se tiene un nmero tal de dientes en el pin que encastre con la cremallera sin inter ferencia. entonces encastra sin interferencia con cualquier otro engranaje que tenga el mismo o mayor nmero de dientes.Auuque se deben evitar la interferencia de involuta y su rebaje resul tantes, se puede tolerar una pequea cantidad si no reduce la relacin de contacto para un par de engranajes acoplados por debajo de un valor adt'cuado. Sin ambargo, es dificil el problema de determinar la longitud de accin cuando ha ol siguiente diente. Lo anterior se puede esiribir matemticamente como sigue:

{dedcndo - aclendo)Profundidad de trabajo (h.)(doble del atiendo)Profundidad total (11,)

p2.000p2.250

p

2.000-2.20-0

4 0.002

(m in)

nD

P= - tambin pP = nN

(4.8)

(a = PER

1 .:onsccuencia,2k

Nsen2 rf> =

y

1/JN = sl!:_en2 _Usando esta ecuacin se p uede calcular el menor nmero de dientes para un pin que encastre con una cremallera sin interferencia, para cualquier sistema estndar de dientes. La tabla 4.3 los muestra para lossistemas comunes.

Tabla 4.3

14!020".20".25".

Profundidad totalProfundidad totalEscotac:oProfundidad total

N32lll14.12

Tambin,

ak/Psen rf> =- = - PE PE

Debido a que estos valores se calcularon para un pi n que encastra con una cremallera, tambin se pueden usar como mnimos para un pin que encastra con un engranaje sin peligro de te ne r interferencia. Debido a

en que k es una constante que da el adendo (a = k/P) cu ando se divideentre el paso di ametral. Para el sistema de profundidad total, k = 1.00 ypara el si stem a escotado k = 0.80. Multiplicand o las dos ecuaciones porsen 4> da

que la accin del diente de una fresa que corta un engranaje cilndrico es semejante a la de un pin que encast ra con una crem al lera, los nmeros de los dientes tabulados arriba tambin son los mnimos que se pueden..:ortar con una fresa sin rebajos.

sen2 + (N 1 +

sen2 cf>

2P2(N2 + 2k)2 = A1 cos2 cf> + (N1 + N2)

sen2 cf>

Desarrollando los parntisis y empleando la relacinsen2 cf> + cos2 cf> = 1, Nz = eh -

(4.13)

A partir de esta ccuadn se puede determinar el mayor engranaje (N2)que se puede engranar con un engranaje dado (N1) sin interferencia. La tabla 4.5 mu estra estos valores usando como N1 los valores encontrados anteriormente para los engranajes iguales.

2Si se escribe nuevamente la ecuacin 4. 13 como4k2 - N2 sen2 15. Para incrementos ele 3 pa ra este ngulo, calcular el ngulo correspondiente de presin 4> y el radio R para puntos en la involuta. Graficar esta serie de ountos rn coordenada polares y conectarlos con una curva continua para dar la involuta.4.2 Escribi r un programa de computador para el problema 4.1 hacie ndo R. =3, 4. y 5 pu\g. Determ inar los valores correspondientes del angulo de presin tp yradio R para cada valor de R.4.3 El espesor de un diente de involuta de engranaje llene 0.314 en un radio de3.5 pulg y un ngulo de presin de 14!0 Calcular el espesor del diente y el radioen un punto en la involuta que tiene un ngulo de presin de 25.4.4 Si se extienden las i nvo l utas que forman el permetro de un diente de eng.ranaje, se intcrsccta n y el diente se aguza. Octcrminar el radio en que ocurre esto para un diente que 1iene un espesor de 0.262 pul g en un radio de 4 pulg y un n-gulo de presin de 20.14.5 El epcsor de un diente de engranaje de involuta es 0. 196 pulg en un radio'1 de 2.0 pulg y un ngulo de presin de 20" . Calcular el espesor del di ente en el dr-1cuh.'l be.4.6 Los radios de paso de dos engranJjes cilndricos engranados son 2.00 y2.50 pulg y los radios exteriores son 2.25 y 2.75 pulg respectivamente. El ngulo deprc>in es de 20. Hacer un dibujo a escala natural de estos engra najes como semuestra en la figura 4.10 y sei'lalar el inicio y el final del contacto. El pii\n es elmotor y gira con las manecillas del reloj . Determ inar y sealar los ngulos deaiJIOXimacin y receso para ambos engranajes. Dibujar las involutas necesarias

: C;IJ Alhe'.' Y . S. Roges, Kinematics of Mnchinery, Jolm Wiley and Sons, 193i.

.' para enconlrar a y {3 por el mtodo aproximado dado en el apndice.

\\ O. DavJ(" < :""',.sfor Sma/1 Meclwnisms, N.A.G. Prcss, J9;3.

'Debido a que no se han desarrollado estndari!S AOM"- para rngranajes con unidades SI,no hay problemas en los capltutos 4, 5, 6 y 7 que empleen dichas unidades.

r.z

4.7 U11 pin de 2.00 pulg. gira hacia las manecillas del reloj y '""'ve una cremallera. El ngulo de presin es de 20 y el adendo del pin y de la cremallera es de 0.20 pulg. Hacer un dibujo a escala natural de estos engranajes y senalar el inicio y final del contacto. Determinar y sealar el ngulo de aproximacin y receso para el pin. Dibujar las involutas necesarias para encontrar

=0.064343 0.065012 0.065685...0.071266 0.071988 0.0727!6 Q,0.078741 0.079520 0.080305 -0.086804 0.087644 0.0884900.095490 0.096395 0.0973060.104841 0.105814 0.1067950.! 14899 0.11 5945 0.1169990.125709 0.126833 0.1279650.137320 0.138528 0.1397430.149787 0.151082 0.1523870.163165 0.164556 0.1659560.177518 0.179009 0.18051!0.192912 0.194511 0.1961220.209420 0.211135 0.2128630.227123 0.228962 0.2308140.246 105 0.248077 0.2500640.266463 0.268578 0.2707090.288300 0.290570 0.2928550.311731 0.314166 0.3166190.336879 0.339493 0.3421270.363885 0.366693 0.3695220.392899 0.395917 0.3989580.424094 0.427340 0.4306100.457655 0.461150 0.4646700.493797 0.4915J 05013550.532753 0.536814 0.5409050.574789 0.579173 0.5835910.620200 0.624940 0.6297!7 O'>0.669331 0.67446 0.6'9635 :;o.-26! o.-:s::5 o.-:-:-:t: