capitulo 3 - teoria dos grafos
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8/17/2019 Capitulo 3 - Teoria Dos Grafos
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Faculdade de Engenharia - Campus de Guaratinguetá
Pesquisa Operacional
Livro: Introdução à Pesquisa Operacional
Capítulo 3 - Teoria dos Grafos
ernando !arins " [email protected]
Departamento de Produção 1
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Sumário
• Introdução Histórico Aplicações de grafos
•Conceitos e Notação Representações de um grafoTipos de grafos
• Problemas típicos e AlgoritmosCamino !timo " Algoritmo de #$is%tra
&r'ore !tima " Algoritmo de (rus%al )lu*o +,*imo " Algoritmo de )ord " )ul%erson
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Introdução
Histórico
Euler resolveu o problema das pontes de Königsberg do rio Pregel, em!"#, utili$ando um modelo de grafos% partir de uma das & regi'es,atravessar cada ponte uma (nica ve$ e retornar ) região de partida.
*igura . +io Pregel e suas sete pontes.3
*igura . -eonard Euler.
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Introdução
*igura ". Königsberg /Kalinigrado nos tempos atuais.
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Introdução
*igura &. 0odelo de 1rafo para o +io Pregel e suas sete pontes.
0odelo de grafos utili$ado por Euler para demonstrar 2ue o problema não tem solução.Para aver solução 3 necess4rio 2ue cada região tena umn(mero par de pontes associadas.
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Introdução
. Problemas de -ocali$ação
E:istindo n cidades consumidoras do produto fabricado
por uma determinada empresa, dese;a/se saber onde seria omelor local para a instalação de uma filial desta empresa 2ueatendesse as n cidades com menor custos de distribuição do
produto.
E:istem algoritmos próprios para este problema, al3m dev4rias eur
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Notação
Representações de um grafo G 1. 1=>, 5? onde%
> 9on;unto de v3rtices ou nós do grafo
5 9on;unto de arcos ou arestas do grafo
. Diagramas e tipos de grafos
8
"
a
b
c
1rafo
Aão/ orientado
1rafo Brientado
"
a
b c
d
e f
&
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Notação
!. 0atri$ de ad;acCncia =grafo não/orientado? 5 =ai;?
9
∃/
∃
; nóaoi nódoaresta se,D
; nóaoi nódoaresta se,
"
D
D D
"
"
a
b
c
5
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Notação
". 0atri$ de incidCncia =grafos orientados? 5 ai;F 3 a matri$ =não necessariamente 2uadrada? de
incidCncia de 1 se
= inóaoincidente3não ;arcooseD, inónoc.ega ;arcoose,/
inódosai ;arcoose,
i$a
"
a
b c
d
e f
&
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Grafo #alorado
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& +io de
Ganeiroão Paulo
8elo
Hori$onte
!
I
8ras
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%r&ore
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. rvore =arborescCncia?% grafo cone:o sem ciclos
a
b
d
;
g
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'adeia
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. 9adeia% se2LCncia de arcos com e:tremidade em comum
a
d
;l
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'amin(o
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". 9amino% se2LCncia de arcos com mesma orientação
a
c
f
;
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'iclo e 'ircuito
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&. 9iclo% cadeia fecada
a
dl
i b g
I. 9ircuito% camino fecadoa
b
c
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Pro)lemas e *lgoritmos
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Otimi+ação em grafos
. Determinação de rvores ótimas% 5lgoritmo de KrusMal
. Determinação de 9aminos Ntimos% 5lgoritmo de D;isMtra
". Determinação de *lu:o 04:imo% 5lgoritmo de *ord O*ulMerson
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*lgoritmo de ,rus-al
*igura I. Gosep KrusMal.
Histórico
Em I# o matem4tico americano
Gosep KrusMal =66Q/66? propRs um algoritmo para resolução do Problema darvore 0
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*lgoritmo de ,rus-al
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eterminação de uma ár&ore m/nima num grafo G 0# *?
Para cada aresta =i, ;? e:iste um custo associado 9i;.S>S cardinalidade do con;unto de nós > n(mero de nós.
Passo . 9onsiderar o grafo trivial formado apenas pelos nós de 1
Passo . 9onstrução da rvore
5crescentar ao grafo trivial a aresta =i, ;? associada ao menor valorde custo 9i;.
+epetir o procedimento respeitando a ordem crescente de valores de9i;, desde 2ue a aresta analisada não forme ciclo com as arestas ;4incorporadas ) 4rvore.
5pós incorporar S>S / arestas⇒
PararT 5 4rvore m
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$2emplo para o *lgoritmo de ,rus-al
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Determinar uma 4rvore m
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$2emplo para o *lgoritmo de ,rus-al
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Passo % 1rafo trivial
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$2emplo para o *lgoritmo de ,rus-al
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rvore parcial% colocar as arestas com custo
5
8 '
D
E
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$2emplo para o *lgoritmo de ,rus-al
5 seguir tem/se as arestas =b, e? e =b, f?correspondentes aos custo com valor .
5nalogamente ao caso anterior pode/se optar por2ual2uer uma elas para ser analisada primeiro.
5mbas serão incorporadas ao grafo resultante daoperação anterior, pois tamb3m não formam ciclo.
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$2emplo para o *lgoritmo de ,rus-al
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rvore parcial% colocar as arestas com custo .
5
8 '
D
E
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$2emplo para o *lgoritmo de ,rus-al
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rvore parcial% colocar a aresta com custo ".
5
8 '
D
E
"
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$2emplo para o *lgoritmo de ,rus-al
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rvore parcial% colocar as arestas com custo &.
5
8 '
D
E
"
&
&
27
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$2emplo para o *lgoritmo de ,rus-al
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rvore parcial% colocar uma das duas arestas com custo I, a outra
ser4 descartada.
5
8 '
D
E
"
&
&
I
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$2emplo para o *lgoritmo de ,rus-al
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9omo o n(mero de nós 3 prossegue/se neste processo at3 2ue se;am
incorporadas / arestas, sendo obtida uma 4rvore m
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*lgoritmo de i4s-tra
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*igura #. Edsger WXbe Di;Mstra.
Histórico
Em I# o cientista da computaçãoolandCs Edsger WXbe Di;Mstra concluiu odesenvolvimento do algoritmo para o
problema do camino m
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*lgoritmo de i4s-tra
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Pro)lema do 'amin(o 5timo • Determinação de caminos m
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*lgoritmo de 4is-tra
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. Uniciali$ação. 5tuali$ação dos rótulos tempor4rios". +otulação Definitiva de um nó&. Passo geral
. Uniciali$ação
+otular definitivamente o nó origem com valor .
+otular temporariamente os demais nós com valor ∞.
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*lgoritmo de 4is-tra
. 5tuali$ação dos rótulos tempor4rios
[odo nó ; ainda não rotulado definitivamente deve recebernovo valor de rótulo dado por
0in ]rótulo atual do nó ;, rótulo do nó i V ci;^,
onde,i (ltimo nó rotulado definitivamente
ci; valor associado ao arco 2ue liga os nós i e ;.
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". +otulação definitiva9omparar os rótulos tempor4rios e escoler para serrotulado definitivamente o nó ; associado ao menorvalor. &. Passo geral
+epetir sucessivamente os passos e " at3 rotular
definitivamente o nó destino [.
O &alor da dist7ncia m/nima entre os n6s S e 8 9 o&alor do r6tulo definiti&o do n6 destino 8.
*lgoritmo de 4is-tra
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O)tenção dos n6s do camin(o m/nimo
\ 5 partir do nó t acar 2ual foi o nó i do passo respons4vel pelo valor de seu rótulo definitivo. upona 2ue tena sido onó M.
• 5 partir do nó M acar 2ual foi o nó i do passo respons4vel pelo valor de seu rótulo definitivo. upona 2ue tena sido onó .
• +epetir este processo at3 2ue o nó i se;a o nó origem s
• Bs nós i encontrados em cada etapa deste processo de buscaserão os nós intermedi4rios do camino m
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$2emplo para 'amin(o 5timo
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5car a distJncia m
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*lgoritmo de 4is-tra
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:; &_ _ I_ &_ !_
+esolução completa do e:emplo de camino m
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*lgoritmo de 4is-tra
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DistJncia malor do rótulo definitivo do nó E I sendo o nó i respons4vel 8>alor do rótulo definitivo do nó 8 sendo o nó i respons4vel
[ E 8 &
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$2erc/cio
40
*
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5car a distJncia m
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*nálise de Redes3 Pro)lema do ?lu2oBá2imo
*igura !. -ester +andolp *ord, Gr..
*igura Q. Delbert +aX *ulMerson..
Histórico
Em I# os matem4ticosamericanos -ester +andolp *ord
=nascido em "66!? e Delbert+aX *ulMerson =&6Q6&/66!#? propuseram em umtrabalo con;unto o algoritmo para
resolução do Problema de *lu:o04:imo.
* áli d R d P )l d ?l
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*nálise de Redes3 Pro)lema do ?lu2oBá2imo
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+ede% *ormada por duas entidades / Aós, 5rcos
Unteresse% 9omportamento da >ari4vel *lu:o
E:emplos%
*plicação N6s *rcos ?lu2oistemas de
comunicaçãoat3lites,
computadores0icro ondas,
fibra ótica0ensagens,
dados
istemasidr4ulicos
Estação de bombeamento,
reservatório
[ubos gua, g4s, petróleo
istemas detransportes
Unterseç'es,aeroportos
Estradas,rotas a3reas
>e
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Problema de *lu:o 04:imo
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Notação3 Aó fonte% Aó destino% [ *lu:o no arco =i,;?% *i; 2uantidade de produto no arco =i,;? K i; capacidade do arco =i,;? maior flu:o poss
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Problema de *lu:o 04:imo
e;a a rede abai:o. Dese;a/se acar o valor do flu:o m4:imo 2ue pode ser enviado do nó ao nó [, respeitando as restriç'es decapacidade nos arcos e a conservação de flu:o nos nós.
e;am K i; =ou 9i;? as restriç'es de flu:o =capacidade? no arco =i, ;?
[
**
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0odelo de Programação -inear
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0a: ` *
* V * * =? * V * [ * V * =?s. a% * V *[ * V * ="?
*[ V *[ * =&? *i; K i; =I?
• +estrição =? representa a conservação de flu:o no nó fonte .• +estriç'es =? e ="? representam a conservação de flu:o nos nósintermedi4rios e .• +estrição =&? representa a conservação de flu:o no nó destino [.• +estrição =I? restringe os flu:os a serem não/negativos erespeitarem os limites de capacidade nos arcos.
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Problema de *lu:o 04:imo
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Dada uma rede orientada formada por arcos onde 4restriç'es de capacidade, dese;a/se enviar a maior 2uantidade=flu:o? poss
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Problema de *lu:o 04:imo
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9onceitos 84sicos
• 5rcos )or/ard para o nó i% todo arco 2ue sai do nó i.
• 5rcos 0ac%/ard para o nó i% todo arco 2ue entra no nó i.
• 9amino entre o nó fonte e o nó destino% se2uCncia de arcos 2uese inicia no nó fonte e termina no nó destino [.
• 9iclo 3 um camino cu;os nós inicial e final são os mesmos.
• e;a A con;unto de todos os nós da rede. 7m 9orte separando afonte do destino [ 3 uma partição dos nós da rede em dois
subcon;untos denotando por a2uele 2ue cont3m o nó e por a2uele 2ue cont3m o nó [.
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Problema de *lu:o 04:imo
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[
**
E:emplos%e;a a rede anteriormente considerada%
Aó % arcos )or/ard ]=,?,=,[?^, arcos 0ac%/ard ]=,?,=,?^
9amino% =,?,=,?,=,[?9orte% ],,^, ][^ capacidade K [ V K [
],^, ],[^ capacidade K V K V K [
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Problema de *lu:o 04:imo
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+esultados Umportantes%
• B corte m
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Problema de *lu:o 04:imo
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9onse2uCncias%
[odo flu:o vi4vel da fonte ao destino não pode e:ceder acapacidade de um corte 2ual2uer.
B flu:o m4:imo na rede 3 limitado pela capacidade docorte m
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Problema de *lu:o 04:imo
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Princ
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Problema de *lu:o 04:imo
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+otina de rotulação adotada pelo algoritmo%
7sada para acar 9*9 de para [.
.Uniciar com o nó fonte . Di$emos 2ue o nó ; pode ser rotulado se umflu:o positivo pode ser enviado a partir de para ;.
.Em geral a partir de 2ual2uer nó i pode/se rotular um nó ; se uma dascondiç'es abai:o se verifica%a?B arco 2ue conecta os nós i e ; 3 do tipo )or/ard e o flu:o *i; neste
arco =i,;? 3 menor 2ue o valor da sua capacidade K i;. b?B arco 2ue conecta os nós i e ; 3 do tipo 0ac%/ard e o flu:o *i; nestearco =;,i? 3 maior 2ue $ero.
". B processo continua at3 2ue o nó destino [ 3 rotulado. [em/se então
um 9*9.
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5lgoritmo do flu:o m4:imo
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. Uniciali$ação
Bbter um flu:o vi4vel em todos os arcos da rede. Este flu:o deve satisfa$er asrestriç'es de conservação de flu:o nos nós e as restriç'es de capacidade nosarcos. Unicialmente adotar flu:o nulo em todos os arcos.
. Procura de um camino de flu:o crescente 9*9 de para [7sar o procedimento de rotulação de nós, iniciando com o nó origem e
terminando com o nó destino [.Se não for poss/&el o)ter um '?' Parar< Cma solução 6tima foi o)tida
o flu2o atual 9 má2imo.9aso contr4rio ir a etapa ".
". 5umento no valor do flu:o entre e [9alcular o valor m4:imo de flu:o 2ue pode ser enviado pela 9*9 obtida naetapa anterior.
Aos arcos )or/ard do 9*9 aumentar o flu:o de . Aos arcos 0ac%/ard do 9*9 diminuir o flu:o de .>oltar ) etapa .
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E:emplo 9ompleto
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Determinar o flu:o m4:imo * da fonte ao destino [, na rede a seguir.
Bs n(meros ao lado dos arcos representam suas capacidades 9 i;.
Aotação% Aas pró:imas figuras os n(meros ao lado dos arcosrepresentam =*i;, 9i;?, onde *i; 3 o flu:o no arco =i, ;?. Aós rotulados serãomarcados por asteriscos-
$tapa 1 Uniciali$ação% *a$er *i; em todos as arcos.
[
**
!
Q
"
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E:emplo 9ompleto
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$tapa =*igura ? Para acar um 9*9 de para [% +otular
inicialmente . Deste nó pode/se rotular o nó pois o arco =,? 3 dotipo )or/ard e * 9 ! a seguir, do nó pode/se rotular o nó
pois o arco =,? 3 do tipo )or/ard e * 9 ". *inalmente rotula/se o nó destino [ pois o arco =,[? 3 do tipo )or/ard e *[ 9[ Q.
Usto resulta num valor de flu:o * .
*igura
_ [_
_
_
* *
=,!? =,?
=,? =,Q?
=,"?
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E:emplo 9ompleto
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Desta forma foi obtida uma 9*5 formada por arcos do tipo )or/ard ,
=,?, =,?, =,[?.
$tapa !B flu:o m4:imo neste 9*9 3 dado por min ]=! / ?, =" / ?, =Q / ?^ ".5ssim pode/se aumentar o flu:o entre e [ de ".Bs novos flu:os estão na *igura .
*igura
[
* "* "
=",!? =,?
=,?
=","?
=",Q?
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E:emplo 9ompleto
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$tapa +epetindo o processo de rotulação de nós para a configuração da
*igura obt3m/se um novo 9*9 dado por%
$tapa ! B flu:o m4:imo permitido neste 9*9 min ]=! /"?, = /?^ &.Usto aumenta o flu:o pela rede para * " V & !.5 nova configuração de flu:os fica sendo a da *igura ".
*igura "
v_ _ [_
[
* !* !
=!,!? =&,?
=,?
=","?
=",Q?
-
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E:emplo 9ompleto
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$tapa Aa busca de um novo 9*9, o nó não pode ser rotulado a partir do
nó pois o arco =,? 3 )or/ard e agora * 9 !. 0as um novo 9*9 pode ser obtido rotulando/se o nó e depois o nó [%
$tapa ! Aeste 9*9 o flu:o pode ser aumentado de min ]= /?, =Q /"?^ I,o 2ue resulta na configuração dada pela *igura &%
*igura &
v_ _ [_
[
* *
=!,!? =&,?
=I,?
=","?
=Q,Q?
-
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E:emplo 9ompleto
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$tapa % Partindo/se do nó pode/se rotular o nó , a seguir rotula/se o nó , pois
o arco =,? cont3m um flu:o positivo de " unidades e fica sendo 0ac%/ard nestenovo 9*9, finalmente a partir do nó , pelo arco =,[? rotula/se o nó destino [%
$tapa ! Aeste 9*9 pode/se aumentar o flu:o na rede de min]= /I?,",= /&?^ ", pois o arco =,? 3 0ac%/ard e pode ter o flu:o de " diminu
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E:emplo 9ompleto
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$tapa % B nó pode ser rotulado a partir do nó , mas nenum outronó pode ser rotulado a partir do nó , ou se;a, não 4 nenum 9*9adicional.
-ogo obteve/se o flu:o m4:imo de para [ dado por I unidades deflu:o.
Bbservação% Pode/se usar o teorema de *ord O *ulMerson para provar
2ue o flu:o m4:imo 3 de fato I. >e;a a *igura #.
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E:emplo 9ompleto
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9onsidere o corte 2ue separa os nós rotulados dos não rotulados na(ltima etapa , ele 3 formado pelos arcos =,?,=,? e =,[?, tendo
capacidade I e separa o nó do nó [.Pelo [eorema de * O * o flu:o não pode e:ceder a capacidade denenum corte 2ue separe o nó do nó [, logo o corte em 2uestão 3 ocorte m
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E:tens'es para o problema de *lu:o04:imo
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+ede não/orientada% considere a rede urbana abai:o%
0a:imi$ar o flu:o de tr4fego de at3 [.
[
"
&
&
"
I
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I
I
I
"
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E:tens'es para o problema de *lu:o04:imo
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5plicar o algoritmo apresentado e acar *lu:o 04:imo.e arco =i,;? não 3 direcionado e f i; f ;i flu:o =f i; f ;i? ser4enviado de i para ;.
=5de2uar mão de trJnsito no arco i ;?
[rabalar com modelo e2uivalente de redes%
[
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&
&
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I
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I
I
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I I
E:tens'es para o problema de *lu:o
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E:tens'es para o problema de *lu:o04:imo
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Aó 5 *onte com oferta produto =Bferta [otal &? Aó D *onte com oferta produto Aó E Destino com demanda produto I =Demanda [otal "I? Aó H Destino com demanda produto
0(ltiplas fontes e m(ltiplos destinos%
CC C
I
I
I
I
I I
I
5
8
9
D
E
*
1
H
9apacidadedo arco
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E:tens'es para o problema de *lu:o04:imo
C
C
C
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CC
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f fict