capitulo 3.- representaciones de fourier para...
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CAPITULO 3.- Representaciones de Fourier para señales.
3.1 Introducción.3.2 Señales periódicas en tiempo discreto: la serie de Fourier
en tiempo discreto.3.3 Señales periódicas en tiempo continuo: la serie de Fourier.3.4 Señales no periódicas en tiempo discreto: la transformada
de Fourier en tiempo discreto3.5 Señales no periódicas en tiempo continuo: la transformada
de Fourier3.3.6 Propiedades de las representaciones de Fourier
3.1 Introducción.Análisis de Fourier :Representación de señales utilizando senoides complejas
Senoides complejas y respuesta en frecuencia de sistemas LTI
( ))(arg)()(
.)()(;)()(
)(
ωω
ωτω
ω
ω
ττωωjHtj
jtj
tj
ejHty
frecuenciaenrespdehjHejHty
complejasenoidaletx
+
−∞
∞−
=
⇒==
=
∫
( ) ( ))(arg)(][
][)(;)(][
][
Ω+ΩΩ
∞
−∞=
−ΩΩΩΩ
Ω
=
==
=
∑jeHnjj
k
kjjnjj
nj
eeHny
ekheHeeHny
enx
2
Ejemplo Circuito RC : Respuesta en frecuencia
0,)(1)(1
≥∀=−
ttueRC
tht
RC
11
1
1)(
+=
+=
RCjRCj
RCjHωω
ω ( )22 1
1)(
RC
RCjH+
=ω
ω
( )RCjH ωω arctan)(arg −=
Figure 3.4 (p. 198)(a) General eigenfunction Ψ(t) or Ψ[n] and eigenvalue λ. (b) Complex sinusoidal eigenfunction ejωt and eigenvalue
H(jω). (c) Complex sinusoidal eigenfunction ejΩn and eigenvalue
H(ejΩ).
ke
tjet ωψ =)( )()( ttH λψψ =
kk eAe kλ=
tjM
kk
keatx ω∑=
=1
)( tjM
kkk
keyHaty ωω∑=
=1
)()(
)(tλψ)(tψ
][nψ ][nλψ
λω =)( jH
Función característica de HFunción propia
Valor característicoValor propio
Problema de valorescaracterísticos
Vector característico de A Valor característico
kλ
3
Representaciones de Fourier para cuatro clases de señales
Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)
Serie de Fourier en tiempo discreto
(DTFS)Discreta
Transformada de Fourier (FT)
Serie de Fourier(FS)Continua
No periódicaPeriódicaPropiedad de tiempo
Señales periódicas: representaciones mediante las series de Fourier
DTFS : Periodo fundamental de x[n] : N FS : Periodo fundamental de x(t) : T
Nπ20 =Ω⇒
Tπω 20 =⇒
4
3.2 Señales periódicas en tiempo discreto:la serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS).
njk
NkekXnx 0][][ Ω
=∑= njk
Nnenx
NkX 0][1][ Ω−
=∑=
Nπ2
0 =Ω
][arg][][
kXkXkX Representación en el dominio de la frecuencia
Espectro de magnitud de x[n]Espectro de fase de x[n]
][][0:
kXnxDTFS Ω
↔
1,...,1,0 −= NN 12
,...,2
−−=NNN
][][1][1][1][ 0000)( kXenxN
eenxN
enxN
NkX njk
Nn
njknjN
Nn
nNkj
Nn
====+ Ω−
=
Ω−Ω−
=
Ω+−
=∑∑∑
X[k] y x[n] : evaluar en computadora (únicas)
X[k],x[n] : par DTFS
Problema 3.48
njk
kenx
NkX 0
8
8][1][ Ω−
−=∑=
Utilice la definición de los coeficientes de la DTFS para evaluar la representación DTFS para la señal :
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
3176cos][ ππ nnx
njjnjjnjnjeeeeeenx 17
2)3(317
2)3(3317
6317
6
21
21
21][
ππππππππ−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
172,17 0π
=Ω=N
njk
NkekXnx 0][][ Ω
=∑=
88,0
321
321
][ 3
3
≤≤−
−=
=
=−
kkotros
ke
ke
kXj
j
π
π
5
Problema 3.2Encontrar la representación en el dominio de la frecuencia dela señal descrita en la figura
x[-n]=-x[n] : simetría impar ; N=5 , Ω0=2π/5
531,0760,0
0
760,0531,0
5252
545205254522
2
232,05
)54(51]2[;276,0
5)52(
51]1[
2,051]0[
276,05
)52(51]1[;232,0
5)54(
51]2[
)52(151
211
21
51][
]2[]1[]0[]1[]2[51][
51][
jj
j
jj
jkjk
jkjkjjkjknjk
n
esenjXesenjX
eX
esenjXesenjX
ksenjeekX
exexexexexenxkX
=+==+=
==
=−=−=−=−
+=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −+=
+++−+−==
−−
−
−−−
−=∑
ππ
ππ
πππ
πππππ
Problema 3.2 (cont.)
531,0760,0
0760,0531,0
232,0]2[;276,0]1[2,0]0[;276,0]1[;232,0]2[
jj
jjj
eXeXeXeXeX
==
==−=− −−
6
Ejemplo 3.5 (Inversa de DTFS)Determine la señal en el dominio del tiempo x[n] a partirde los coeficientes DTFS descritos en la figura :
N=9 , Ω0=2π/9
( ) ( ) 1394cos43296cos2][
212][][ 963294394396324
4
92
−−+−=
++−+== −−−−
−=∑
ππππ
πππππππππ
nnnx
eeeeeeeeekXnx njjnjjnjjnjj
k
njk
3.3 Señales periódicas en tiempo continuo: la serie de Fouriera) FS exponencial
[ ] [ ] ;)(1;)( 00
0dtetx
TkXekXtx tjkTtjk
k
ωω −∞
−∞=∫∑ ==
Tπω 20 =⇒FS : Periodo fundamental de x(t) : T
[ ]kXtxFS 0;
)(ω
↔
][arg][][
kXkXkX Representación en el dominio de la frecuencia
Espectro de magnitud de x[n]Espectro de fase de x[n]
FS exponencial
X[k],x[n] : par FS
7
Ejemplo 3.9 (Cálculo directo de coeficientes FS)Determine los coeficientes FS para la señal x(t) descrita en la figura :
πππω === 2220 T
[ ]
[ ]
[ ])24
1
)1()24
1)2(2
121
21
4
24
20
)2(2
0
)2(2
0
2 |
π
π
π
π
πππ
jkekX
eejk
kX
ejk
dtedteekX
jk
tjktjktjkt
+−
=
−+
=
+−
===
−
−−
+−+−−− ∫∫
Ejemplo 3.12 (Inversa FS)Encuentre la señal en el dominio del tiempo x(t) correspondientea los coeficientes FS : ( ) 20
21][ πjkk
ekX =
Suponiendo que el periodo fundamental es T=2 ππω ==⇒ T20
( ) ( )
( ) ( )
)20/cos(453)(
1)2/1(11
)2/1(11)(
21
21)(
21
21)(
)20()20(
20
1
20
0
20
1
20
0
ππ
ππππ
ππππ
ππππ
+−=
−−
+−
=
+=
+=
+−+
−−∞
=
∞
=
−∞
−=
−∞
=
∑∑
∑∑
ttx
eetx
eeeetx
eeeetx
tjtj
tjljl
l
ltjkjk
k
k
tjkjk
k
ktjkjk
k
k
8
Ejemplo 3.13 (FS para una onda cuadrada)Determine la representación FS de la onda cuadrada x(t) descrita en la figura :
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==⇒=
=
===⇒=
≠=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
≠−
===
→−
−
−−
−
−−
−
∫
∫∫
TTksenc
TT
kTTksenkX
T
TkTksenkX
TT
TkTksen
TTdt
TkXk
kTk
Tksenjee
TkkX
keTjk
dteT
dtetxT
kX
k
T
T
TjkTjk
TT
tjkT
T
tjktjkT
T
0000
0
00
0
0
00
0
0
0
00
0
0
2/
2/
222
)/2(22
)(2
2)(2lim;210
0,)(22
2
0,11)(1
0
0
0000
0
0
00
0
00 |
πππω
ωω
ωω
ωω
ω
ωωω
ωωω
Ejemplo 3.13 (cont.)T0/T=1/4
T0/T=1/16
T0/T=1/64
5050],[ ≤≤− kkX
Al decrecer T0/T la energía en cada periodo de la señal onda cuadrada se concentra alrededorde un estrecho intervalo de tiempo.
La energía en la representaciónFS esta distribuida en un anchointervalo de frecuenciasEl primer cruce por cero :T0/T=1/4 k=2T0/T=1/16 k=8T0/T=1/64 k=32
9
3.3
Con bastante frecuencia en el análisis de Fourier aparece la formafuncional :
uusenusenc
ππ )()( =
El máximo de la función es la unidad en u=0El cruce por cero ocurre en los valores enteros de uLóbulo principal de la función senc : parte de la función entre los
cruces por cero en u=+1 y u=-1Lóbulos laterales : resto de lóbulos
1)0( =senc0,0)( ≠= kkusenc
3.3 Señales periódicas en tiempo continuo:la serie de Fourier
b) FS trigonométrica
[ ] ( )
∑
∑∑
∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
−
∞
=
−∞
−∞=
=
≠==
+=+
+=
=−++==
=−
00
10
1
1
)cos(][)(
,0],[2][]0[]0[
)cos(][2]0[2
][2]0[)(
][][]0[)(
][][
00
000
k
mm
tjmtjm
m
tjmtjmtjk
k
tkkBtx
entonceskkXkByXBsi
tmmXXeemXXtx
emXemXXekXtx
kXkX
ω
ωωω
ωωω
10
3.3 Señales periódicas en tiempo continuo:la serie de Fourier
b) FS trigonométrica
[ ] [ ] ;)(1;)( 00
0dtetx
TkXekXtx tjkTtjk
k
ωω −∞
−∞=∫∑ ==
[ ]
( )][][)()(2][
][][)cos()(2][,0
)(1]0[
)(][)cos(]0[)(
0 0
0 0
0
100
kXkXjdttksentxT
kA
kXkXdttktxT
kBk
dttxT
B
tksenkAtkkBBtx
T
T
T
k
−−==
−+==≠
=
++=
∫
∫
∫
∑∞
=
ω
ω
ωω
exponencial :
Ejemplo 3.13 (FS trigonométrica para una onda cuadrada)
[ ] [ ] )cos()(ˆ;)cos()(
0)()(2][
)/2(2)cos()(2][,0
2111)(1]0[
00
00
0 0
00 0
000 0
0
tkkBtxtkkBtx
dttksentxT
kA
kTTksendttktx
TkBk
TTdtdt
Tdttx
TB
j
kj
k
T
T
T
TT
TT
ωω
ω
ππω
∑∑
∫
∫
∫∫∫
=
∞
=
−
==
==
==≠
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +==
Tπω 20 =
4/1/;2;1 00 === TTTT πω
11
Figure 3.25b-3 (p. 226)(b) J = 3. (c) J = 7. (d) J = 29.
(e) J = 99.
3.4 Señales no periódicas en tiempo discreto: La transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)De manera intuitiva deduciremos DTFT a partir de DTFS, describiendo una señal no periódica como el límite de una señal periódica cuyo periodo N se acerca a infinito.
( )Ω↔ jDTFT
eXnx ][( ) Ω= Ω
−
Ω∫ deeXnx njjπ
ππ21][
( ) nj
n
j enxeX Ω−∞
−∞=
Ω ∑= ][ Representación en el dominio de la frecuencia
Si x[n] duración infinita, ha de ser absolutamente sumable para que exista la DTFT :
∞<∑∞
−∞=nnx ][
Si x[n] no es absolutamente sumable, pero tiene energiafinita, la DTFT converge en un sentido de error cuadráticomedio, pero no converge puntualmente
∞<∑∞
−∞=
2
][n
nx
La señal escalón unitario u[n] no cumple las condiciones anteriores
12
Ejemplo 3.17 Secuencia exponencialEncuentre la DTFT de la secuencia x[n]=αnu[n]
( ) ( )
( )
( )( )
( ) imparseneX
parsen
eX
senjeXrealessi
eeeenueX
j
j
j
jn
njnj
n
nnj
n
nj
;cos1
arctanarg
;cos21
1
cos1
1cos1
1:
1,1
1][
2222
00
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Ω−Ω
−=
Ω−+=
Ω+Ω−=
Ω+Ω−=
<−
====
Ω
Ω
Ω
Ω−
∞
=
Ω−Ω−∞
=
Ω−∞
−∞=
Ω ∑∑∑
αα
αααα
ααα
αα
ααα
( ) nj
n
j enxeX Ω−∞
−∞=
Ω ∑= ][
Figure 3.29 (p.232) Ejemplo 3.17 (cont.)The DTFT of an exponential signal x[n] = (α)nu[n]. (a)
Magnitude spectrum for α = 0.5. (b) Phase spectrum for α = 0.5. (c) Magnitude spectrum for α = 0.9. (d) Phase spectrum for α = 0.9.
13
Ejemplo 3.19 Función senc en tiempo discreto
( )π<Ω<
<Ω=Ω
WW
eX j
,0,1 ( )ΩjeX; está especificada sólo para : ππ <Ω<−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
==⇒=
≠==Ω=
→
−ΩΩ
−∫
πππ
ππ
πππ
WnsencWWnsenn
nx
WWnsenn
xn
nWnsenn
enj
denx
n
WW
njnjW
W
)(1][
)(1lim]0[0
0),(1|2
121][
0
π=p
π− π
( ) Ω= Ω
−
Ω∫ deeXnx njjπ
ππ21][
Ejemplo 3.20 DTFT del impulso unitario : δ(t)
( ) 1][ == Ω−∞
−∞=
Ω ∑ nj
n
j eneX δ 1][DTFT
n ↔δ
Ejemplo 3.21 Inversa DTFT del espectro impulso unitario : δ(Ω)( ) ππδ <Ω<−Ω=Ω ,)(jeX
πδ
ππ
π 21)(
21][ =ΩΩ= Ω
−∫ denx nj utilizando la propiedad de filtrado de la función impulso
ππδπ
<Ω<−Ω↔ ,][21 DTFT
( ) ∑∞
−∞=
Ω −Ω=k
j keX )2( πδ
14
3.5 Señales no periódicas en tiempo continuo : La transformada de Fourier (FT)
∫∞
∞−= ωω
πω dejXtx tj)(
21)(
∫∞
∞−
−= dtetxjX tjωω )()(
( )ωjXtxFT↔)(
representación en el dominio de la frecuencia
La convergencia puntual está garantizada en todos los valores de texcepto en aquellos correspondientes a discontinuidades si x(t) satisface las CONDICIONES DE DIRICHLET : (para señales no periódicas)1.- x(t) es absolutamente integrable.2.- x(t) tiene un número finito de máximos, mínimos y
discontinuidades locales en todo intervalo finito.3.- el tamaño de cada discontinuidad es finito.
La función escalón no es absolutamente integrable
∫∞
∞−∞<dttx )(
Ejemplo 3.25 Pulso rectangularConsidere el pulso rectangular descrito en la figura y definido como : Encuentre la FT de x(t)
0
00
,0,1
)( TtTtT
tx>≤≤−
=
El pulso rectangular x(t) es absolutamente integrable, siempre que
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
<
>==
==⇒=
≠=−
===
→
−−
−
−∞
∞−
− ∫∫
πωω
ωωπωω
ωωωω
ωω
ω
ωωωω
ωωω
ω
ωωω
0
0
0
0
000
0
2)(
0)(,
0)(,0)(arg;)(2)(
2)(2lim)0(0
0),(2|1)()(
0
0
0
0
TTsencjX
Tsen
Tsen
jXTsenjX
TTsenjX
Tsenej
dedetxjX TT
tjT
T
tjtj
15
Ejemplo 3.25 (cont.)
ωωω )(2)( TsenjX =
Si To aumentaseñal x(t) se dispersa en elorigen en el dominio t
Si π/To disminuyeseñal X(jω) se dispersa en elorigen en el dominio ω
Ejemplo 3.27 Impulso unitarioEncuentre la FT de x(t)=δ(t)
1)()( == ∫∞
∞−
− ωδω ω detjX tj
X(t) no satisface las condiciones de Dirichlet, a pesar de ello
∞<<∞−↔ ωδ ;1)(FT
t
Ejemplo 3.28 Inversa FT de un espectro impulso Encuentre la inversa FT de )(2)( ωπδω =jX
1)(221)( == ∫
∞
∞−ωωπδ
πω detx tj
)(21 ωπδFT↔
16
3.6 Propiedades de las representaciones de Fourier3.6.0 Perioricidad3.6.1 Linealidad3.6.2 Simetría – Señales reales e imaginarias3.6.2 Simetría – Pares e impares3.6.3 Corrimiento en el tiempo3.6.4 Corrimiento en frecuencia3.6.4 Escalamiento3.6.5 Diferenciación e integración, sumatoria y dif.3.6.6 Convolución y modulación3.6.7 Filtrado. Modulación en frecuencia3.6.8 Relación de Parseval3.6.9 Dualidad3.6.10 Producto tiempo-ancho de banda
Frecu-enciaContinua (ω,Ω)Discreta (k)
Periódica (k,Ω)
Discreta [n]
No periódica
(k,ω)
Continua (t)
No periódica (t,n)Periódica (t,n)Tiempo
[ ] tjk
k
ekXtx 0)( ω∑∞
−∞=
=
[ ] dtetxT
kX tjkT0
0)(1 ω−∫=
Tπω 20 =⇒x(t) periodo T
Serie de Fourier Tranformada de Fourier
Serie Fourier Tiempo Discr. Tranf. Fourier Tiempo Discr.
njk
Nnenx
NkX 0][1][ Ω−
=∑=
njk
NkekXnx 0][][ Ω
=∑=
Nπ2
0 =Ω⇒x[n] y X[k] periodo N
( ) Ω= Ω
−
Ω∫ deeXnx njjπ
ππ21][
( ) nj
n
j enxeX Ω−∞
−∞=
Ω ∑= ][
( )ΩjeX tiene periodo 2π
∫∞
∞−= ωω
πω dejXtx tj)(
21)(
∫∞
∞−
−= dtetxjX tjωω )()(
3.6.0 Perioricidad
Tabla
17
3.6.1 Linealidad
][][][][][][
)()()(][][][
][][][)()()(
)()()()()()(
0
0
;
;
kbYkaXkZnbynaxnz
ebYeaXeZnbynaxnz
kbYkaXkZtbytaxtz
jbYjaXjZtbytaxtz
DTFS
jjjDTFT
FS
FT
+=↔+=
+=↔+=
+=↔+=
+=↔+=
Ω
ΩΩΩ
ω
ωωω
3.6.2 Simetría – Señales reales e imaginarias puras
a) x(t) Real
Representación Forma compleja Forma rectangular
][][
)()(
][][
)()(
*
*
*
kXkXDTFS
eXeXDTFT
kXkXFS
jXjXFT
jj
−=
=
−=
−=
Ω−Ω
ωω
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] kXkX
kXkXeXeX
eXeXkXkX
kXkXjXjX
jXjX
jj
jj
−−=−=
−=
=
−−=−=
−−=−=
Ω−Ω
Ω−Ω
ImImReRe
)(Im)(Im)(Re)(Re
ImImReRe
)(Im)(Im)(Re)(Reωω
ωω
18
3.6.2(cont.) Simetría – Señales reales e imaginarias puras
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] kXkX
kXkXeXeX
eXeXkXkXkXkXjXjX
jXjX
jj
jj
−=−−=−=
−−=
−−=−−=−=−−=
ΩΩ
ΩΩ
ImImReRe
)(Im)(Im)(Re)(Re
ImImReRe
)(Im)(Im)(Re)(Re
ωωωω
b) x(t) Imaginaria pura
Representación Forma compleja Forma rectangular
][][
)()(
][][
)()(
*
*
*
kXkXDTFS
eXeXDTFT
kXkXFS
jXjXFT
jj
−−=
−=
−−=
−−=
Ω−Ω
ωω
3.6.2(cont) Simetría – Pares e impares
)()()(
)()()()(
)(
**
*
ωττ
ω
τω
ωωω
jXdexdtetx
dtetxdtetxdtetxjX
tjtj
tjtjtj
==−−=
===⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
∫∫
∫∫∫∞
∞−
−∞
∞−
−−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−
)()(;)()(* txtxtxtx −=−=⇒c) x(t) valores reales y simetría impar
La única manera de que la condición X*(jω)=X(jω) se cumpla es que X(jω) sea real.
d) x(t) valores reales y simetría par )()(;)()(* txtxtxtx =−=⇒
)()()(
)()()()(
)(
**
*
ωττ
ω
τω
ωωω
jXdexdtetx
dtetxdtetxdtetxjX
tjtj
tjtjtj
−=−=−=
===⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
∫∫
∫∫∫∞
∞−
−∞
∞−
−−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−
Luego para que X*(jω)=-X(jω) necesariamente X(jω) es imaginariopuro.
19
3.6.3 Corrimiento en el tiempo
][][
)(][
][)(
)()(
000
0
000
0
;
0
0
;
0
0
kXennx
eXennx
kXettx
jXettx
njkDTFS
jnjDTFT
tjkFS
tjFT
Ω−Ω
ΩΩ−
−
−
↔−
↔−
↔−
↔−
ωω
ω ω
3.6.4 Corrimiento en frecuencia
][][
)(][
][)(
))(()(
0
;
)(
0
;
000
000
kkXnxe
eXnxe
kkXtxe
jXtxe
DTFSnjk
jDTFT
nj
FStjk
FTtj
−↔
↔
−↔
−↔
ΩΩ
Γ−ΩΓ
ωω
γ γω
20
3.6.4 Escalamiento : TF
)()(;)()( atxtzjXtxFT
=↔ ω
)(1)()( ωω jZa
jXa
tzatxFT
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛↔=
Reproducir a velocidad más alta (a>1), comprimimos señal de tiempo.En el dominio de la frecuencia se expande, más agudos.
Ejemplo 3.48 Escalamiento a un pulso rectangular
Considere el pulso rectangular definido como :(ver ejemplo 3.25)
Su tranformada de Fourier es :
Si T0=1. Calcular la Transformada de Fourier de y(t)=x(t/2) .
0
00
,0,1
)( TtTtT
tx>≤≤−
=
)(2)( 0TsenjX ωω
ω =
)2(2)2(222)2(2
21
211)( ω
ωω
ωωωω sensenjXjXjY ===⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
1,01,1
)( ><
=tt
tx2,02,1
)( ><
=tt
ty
21
Figure 3.71 (p. 301)Application of the FT scaling property in Example 3.48. (a) Original time signal. (b) Original FT. (c) Scaled time
signal y(t) = x(t/2). (d) Scaled FT Y(jω) = 2X(j2ω).
3.6.4 Escalamiento : FSsi x(t) tiene periodo fundamental T (ω0),
z(t) tiene periodo fundamental T/a (aω0)
][][)()(0;
kXkZtzatxaFS
=↔=ω
La operación de escalamiento cambia simplemente elespaciamiento armónico de (ω0) a (a ω0)
][)(0;
kXtxFS ω
↔
22
3.6.4 Escalamiento : DTFT , DTFS
][)(0;
kXppnx z
pDTFS
z
Ω
↔
ninformaciódeperdida⇒>∈∀= 1;,][][ pZppnxnz
Zpnquemenosanxz ∈= ,0][
)()( / pjz
DTFT
z eXpnx Ω↔
Problema 3.803;,0][ =∈= pZ
pnquemenosanxzDada la señal de la figura :
a) Demostrar que la DTFT de z[n]=xz[pn] es :b) De la DTFT de w[n] y prop. escalamiento, calcule la DTFT de f[n]c) Si xz[n] es periódica (N), z[n]=xz[pn] es periódica (N/p) demostrar :
][][ kpXkZ z=
][][ pj
zj eXeZ
ΩΩ =
23
Problema 3.80 (cont.)
][][
][1
][1][
2;][1][
1
0
1
0
0'0
1
0
0
0
'0
kpXkZ
elxN
p
epnxN
pkZ
pp
Nenzp
NkZ
z
N
n
jklz
pnlpN
n
jknpz
pN
n
jkn
=
=
==
Ω==Ω=
∑
∑
∑
−
=
Ω−
=−
=
Ω−
−
=
Ω− π
a) ][][][][][ Ω∞
−∞=
∞
−∞=
Ω−Ω−=∞
−∞=
Ω−Ω
∑ ∑∑ ==== j
r n
njz
rjz
prn
n
np
j
zpj
z eZepnxeprxenxeXsuma r impar
( )
Ω−Ω
Ω−Ω
−=↔=
−=↔=
22
9.011)(
,0,]2[][
9.011)(][9.0][
jj
DTFT
jj
DTFTn
eeF
imparnparnnwnf
eeWnunwb)
c)
Frecu-enciaContinua (ω,Ω)Discreta (k)
Periódica (k,Ω)
Discreta [n]
No periódica
(k,ω)
Continua (t)
No periódica (t,n)Periódica (t,n)Tiempo
[ ] tjk
kekXtx 0)( ω∑
∞
−∞=
=
[ ] dtetxT
kX tjkT0
0)(1 ω−∫=
Tπω 20 =⇒x(t) periodo T
Serie de Fourier Tranformada de Fourier
Serie Fourier Tiempo Discr. Tranf. Fourier Tiempo Discr.
njk
Nnenx
NkX 0][1][ Ω−
=∑=
njk
NkekXnx 0][][ Ω
=∑=
Nπ2
0 =Ω⇒x[n] y X[k] periodo N
( ) Ω= Ω
−
Ω∫ deeXnx njjπ
ππ21][
( ) nj
n
j enxeX Ω−∞
−∞=
Ω ∑= ][
( )ΩjeX tiene periodo 2π
∫∞
∞−= ωω
πω dejXtx tj)(
21)(
∫∞
∞−
−= dtetxjX tjωω )()(
24
3.6.5 Diferenciación e integración, sumatoria y diferencia
Diferenciación en el tiempo
∫∞
∞−= ωω
πω dejXtx tj)(
21)( )()(
21)(; ωωωωπ
ω ω jXjdejXjtxdtd tj == ∫
∞
∞−
[ ] tjk
kekXtx 0)( ω∑
∞
−∞=
= [ ] ][)(; 000 kXjkekXjktx
dtd tjk
kωω ω == ∑
∞
−∞=
)()( ωω jXjtxdtd FT
↔
][)( 0
; 0
kXjktxdtd FS
ωω
↔
La diferenciación destruye cualquier componente dc de x(t): 0)0(0 =jXj
No periódica :
Periódica :
El valor promedio de la señal diferenciada sea cero : 0)0(0 0 =Xj ω
FT:
FS:
3.6.5 Diferenciación e integración, sumatoria y diferencia (cont.1)
Diferenciación en frecuencia
)()( ωω
jXddtxjt
FT↔−No periódica :
∫∞
∞−
−= dtetxjX tjωω )()( ( )∫∞
∞−
−−= dtetxjtjXdd tjωωω
)()(;
( ) nj
n
j enxeX Ω−∞
−∞=
Ω ∑= ][
La diferenciación no se aplica a cantidades de valor discreto: FS, DTFS
( ) ( ) nj
n
j enxjneXdd Ω−
∞
−∞=
Ω ∑ −=Ω
][
)(][ Ω
Ω↔− j
DTFTeX
ddnxjnNo periódica :
FT:
DTFT:
25
3.6.5 Diferenciación e integración, sumatoria y diferencia (cont.2)
Sumatorio y diferencia
∑∑∞
−∞=Ω−
Ω∞
−∞=
−Ω+−
↔=k
jj
jDTFT
kkeX
eeXnykx )2()(
1)(][][ 0 πδπ
Integración
∑∫−∞=
∞−=↔=
−−=↔=
n
k
tkxnydxty
nynynxtydtdtx
][][)()(
]1[][][)()(
ττ
( ) )(1)(][ ΩΩ−Ω −=↔ jjjDTFT
eYeeXnx
ππδπ <Ω<−Ω+−
=↔ Ω−
ΩΩ ),()(
1)()(][ 0j
j
jj
DTFTeX
eeXeYny
)()0()(1)( ωδπωω
ττ jXjXj
dxFTt
+↔∫ ∞−
3.6.5 Diferenciación e integración, sumatoria y diferencia (resumen)
∑∑∞
−∞=Ω−
Ω∞
−∞=
−Ω+−
↔k
jj
jDTFT
kkeX
eeXkx )2()(
1)(][ 0 πδπ
)()0()(1)( ωδπωω
ττ jXjXj
dxFTt
+↔∫ ∞−
)()( ωω jXjtxdtd FT
↔
][)( 0
; 0
kXjktxdtd FS
ωω
↔
)()( ωω
jXddtxjt
FT↔−
)(][ Ω
Ω↔− j
DTFTeX
ddnxjn
26
3.6.6 Convolución y modulaciónConvolución de señales no periódicas
[ ]
)()()()(*)()(
)(21)()(
21)(
)()(21)(
21)()(
)(21)(;)()()(*)()( )(
ωωω
ωωπ
ωωωπ
ωωττπ
τωωπ
τ
ωωπ
ττττ
ωω
ωτωτωω
τω
jXjHjYtxthty
dejYdejXjHty
dejXdehddeejXhty
dejXtxdtxhtxthty
FT
tjtj
tjjjtj
tj
=↔=
==
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡==
=−−==
∫∫
∫ ∫∫ ∫
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−∞
∞−
∞
∞−
−
∞
∞−
−∞
∞−
)()()(][*][][)(][
)(][ ΩΩΩ
Ω
Ω
=↔=⇒↔
↔ jjjDTFT
jDTFT
jDTFT
eHeXeYnhnxnyeHnh
eXnx
3.6.6 Convolución y modulación (cont. 1)
Modulación , señales no periódicas
)(*)(21)()()()(
)(21)(
)(21)(
ωωπ
ω
ηηπ
υυπ
η
υ
jZjXjYtztxty
dejZtz
dejXtx
FT
tj
tj
=⎯→←=
=
=
∫
∫∞
∞−
∞
∞−
∫ −ΩΩΩ
ΩΩΩ
Ω
Ω
=⊗⇒
⊗=⎯⎯ →←=⇒↔
↔
π
θθ θπ
π
2
( )()()()()2(
)()(21)(][][][
)(][
)(][
deZeXeZeXperiódicanconvolució
eZeXeYnznxnyeZnz
eXnx
jjjj
jjjDTFT
jDTFT
jDTFT
27
3.6.6 Convolución y modulación (cont. 2)
Convolución , señales periódicas
][][][)()()(
)()()()()(
/2; kZkXTkYtztxty
dtzxtztxty
TFS
T
=⎯⎯⎯ →←⊗=
−=⊗= ∫π
τττ
∑=
−=⊗
⊗=⎯⎯⎯⎯ →←=
Nm
NDTFS
mkZmXkZkXkZkXkYnznxny
][][)()()()()(][][][ /2; π
][][][][][][
][][][][][
/2; kZkXNkYnznxny
knzkxnznxny
NDTFS
NK
=⎯⎯⎯⎯ →←⊗=
−=⊗= ∑=
π
Modulación , señales periódicas
∑∞
−∞=
−=
=⎯⎯⎯ →←=
m
TFS
mkZmXkZkX
kZkXkYtztxty
][][][*][
][*][][)()()( /2; π
3.6.6 Convolución y modulación (resumen)
][][)()( ; kZkXTtztx FS⎯⎯ →←⊗ ω
)()(][][ 0; kZkXnznx DTFS ⊗⎯⎯⎯ →← Ω][][][][ 0; kZkXNnznx DTFS⎯⎯⎯ →←⊗ Ω
][*][)()( 0; kZkXtztx FS⎯⎯ →← ω
)()(][*][ ΩΩ↔ jjDTFT
eHeXnhnx
)()()(*)( ωω jXjHtxthFT↔
Convolución Modulación
)(*)(21)()( ωωπ
jZjXtztx FT⎯→←
)()(21][][ ΩΩ ⊗⎯⎯ →← jjDTFT eZeXnznxπ
28
3.6.7 Filtrado. Modulación en el dominio de la frecuencia
)()()()(
1)(
)()()()(*)()(
ωωωω
ω
ωωω
jYjHjYjH
jX
jXjHjYtxthty
inv
FT
==
=↔=
Filtros : pasa baja, pasa alta, pasa banda y atenua banda
222 )()()( ωωω jXjHjY =
dBeH j )(log20 Ω
dBjH )(log20 ω
Espectro de energía :
22
222 )()(2
1)()(21)( ccccc jXjHjXjHjY ωωωωω ==
dBjHdBdBjHdBdBjH )(log203)(log202
1log20)(2
1log20 ωωω +−=+=
)()()()(
1)(
)()(][*][
ΩΩΩΩ
Ω
ΩΩ
==
↔
jjinvjj
j
jjDTFT
eYeHeYeH
eX
eHeXnhnx
Figure 3.53 (p. 263)Frequency response of ideal continuous- (left panel) and discrete-time (right panel) filters. (a) Low-pass characteristic.(b) High-pass characteristic. (c) Band-pass characteristic.
29
Figure 3.54 (p. 264)RC circuit with input x(t) and outputs yc(t) and yR(t).
)(1)()(
)()()(
)(1)(
tueRC
tth
tytxty
tueRC
th
RCt
R
CR
RCt
c
−
−
−=
−=
=
δ
Dibujar la respuesta en frecuencia de ambos sistemas
1)(;
11)(
+=
+=
RCjRCjjH
RCjjH RC ω
ωωω
ω
Figure 3.55a&c (p. 265)RC circuit magnitude responses as a function of normalized frequency ωRC.
(a) Frequency response of the system corresponding to yC(t), linear scale.
c) Frequency response of the system corresponding to yC(t), dB scale.
b) Frequency response of the system corresponding to yR(t), linear scale. (d) Frequency response of the system corresponding to yR(t), dB scale, shown on the range from 0 dB to –25 dB.
30
Figure 3.55b&d (p. 265)
3.6.8 Relación de ParsevalLa energía o potencia se conserva en le representación de Fourier
Energía de una señal no periódica x(t) :
RayleighdeenergíadeTeoremadjXdttx
txtxtxdttxEx
:)(21)(
;)()()(;)(
22
*22
ωωπ ∫∫
∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
=
==
señalladeenergíadeespectrojH ⇒2)( ωnormalizado por 2π
Energía : señales no periódicas en el dominio del tiempoPotencia : señales periódicas en el dominio del tiempo ( sobre un
periodo normalizado)
31
3.6.8 Relación de Parseval (cont.)
∑∑
∫∑
∫ ∑
∫∫
==
Ω∞
−∞=
∞
−∞=
∞
∞−
∞
∞−
=
Ω=
=
=
NkNn
jn
T k
kXnxN
DTFS
deXnxDTFT
kXdttxT
FS
djXdttxFT
22
2
22
22
22
][][1
)(21][
][)(1
)(21)(
ππ
ωωπ
Frecu-enciaContinua (ω,Ω)Discreta (k)
Periódica (k,Ω)
Discreta [n]
No periódica
(k,ω)
Continua (t)
No periódica (t,n)Periódica (t,n)Tiempo
[ ] tjk
k
ekXtx 0)( ω∑∞
−∞=
=
[ ] dtetxT
kX tjkT0
0)(1 ω−∫=
Tπω 20 =⇒x(t) periodo T
Serie de Fourier Tranformada de Fourier
Serie Fourier Tiempo Discr. Tranf. Fourier Tiempo Discr.
njk
Nnenx
NkX 0][1][ Ω−
=∑=
njk
NkekXnx 0][][ Ω
=∑=
Nπ2
0 =Ω⇒x[n] y X[k] periodo N
( ) Ω= Ω
−
Ω∫ deeXnx njjπ
ππ21][
( ) nj
n
j enxeX Ω−∞
−∞=
Ω ∑= ][
( )ΩjeX tiene periodo 2π
∫∞
∞−= ωω
πω dejXtx tj)(
21)(
∫∞
∞−
−= dtetxjX tjωω )()(
32
3.6.9 Dualidad
∞<<∞−↔ ωδ ;1)(FT
t
Dualidad de FT
)(21 ωπδFT↔
Figure 3.73 (p. 307)Duality of rectangular pulses and sinc
functions.
33
3.6.9 Dualidad (resumen)
FT )()( ωjFtf FT⎯→← )(2)( ωπ −⎯→← fjtF FT
DTFS ][][ /2; kXnx NDTFS ⎯⎯⎯⎯ →← π ][1][ /2; kxN
nX NDTFS −⎯⎯⎯⎯ →← π
)(][ Ω⎯⎯ →← jDTFT eXnx ][)( 1; kxeX FSj −⎯⎯→←ΩDTFT y FS
3.6.10 Producto tiempo-ancho de banda
Ancho de banda :¿contenido de frecuencia significativa de la señal?“frecuencia a la cual el espectro de magnitud es veces su valor de pico”. Si x(t) está centrada en el origen y es paso bajas :Duración de una señal = Td Ancho de banda = Bw
2/1
21
2
22
)(
)(
dttx
dttxtTd
∫∫
∞
∞−
∞
∞−=2
1
2
22
)(
)(
ωω
ωωω
djX
djXBw
∫∫
∞
∞−
∞
∞−= 21
≥wd BT
principio deincertidumbre
34
Problema 3.48Calcule los coeficientes del DTFS de la señal :
Por inspección
Problema 3.49
Dado los coeficientes del desarrollo DTFS, generar la señal
Por inspección
35
Problema 3.50Calcule los coeficientes del FS de la señal :
Por inspección
Problema 3.51
Dado los coeficientes del desarrollo FS, generar la señal
38
Problema 3.55
a)
b)
Calcular la inversa FT de X(jω)
Frecu-enciaContinua (ω,Ω)Discreta (k)
Periódica (k,Ω)
Discreta [n]
No periódica
(k,ω)
Continua (t)
No periódica (t,n)Periódica (t,n)Tiempo
[ ] tjk
k
ekXtx 0)( ω∑∞
−∞=
=
[ ] dtetxT
kX tjkT0
0)(1 ω−∫=
Tπω 20 =⇒x(t) periodo T
Serie de Fourier Tranformada de Fourier
Serie Fourier Tiempo Discr. Tranf. Fourier Tiempo Discr.
njk
Nnenx
NkX 0][1][ Ω−
=∑=
njk
NkekXnx 0][][ Ω
=∑=
Nπ2
0 =Ω⇒x[n] y X[k] periodo N
( ) Ω= Ω
−
Ω∫ deeXnx njjπ
ππ21][
( ) nj
n
j enxeX Ω−∞
−∞=
Ω ∑= ][
( )ΩjeX tiene periodo 2π
∫∞
∞−= ωω
πω dejXtx tj)(
21)(
∫∞
∞−
−= dtetxjX tjωω )()(
39
Problema 3.57a) Calcular la señal en el dominio del tiempo a partir de su representación en el dominio de la frecuencia.
Periodo fundamental en el dominio del tiempo T=1
discreto y no periódico periódico y continuo⎯⎯ →← π2;FS
Problema 3.58b) Calcular la señal en el dominio del tiempo a partir de su representación en el dominio de la frecuencia.
discreto y periódico discreto y periódico⎯⎯⎯⎯ →← 5/2; πDTFS
40
Problema 3.58c) Calcular la señal en el dominio del tiempo a partir de su representación en el dominio de la frecuencia.
continuo y no periódico continuo y no periódico⎯⎯→←DT
Problema 3.58
Utilice la tabla de transformadas y las propiedades para calcular la FT
41
Problema 3.60
Utilice la tabla de transformadas y las propiedades para calcular la DTFT
Problema 3.68bDetermine la respuesta en frecuencia y la respuesta al impulsopara el sistema definido por la siguiente ecuación diferencial :
42
Problema 3.68cDetermine la respuesta en frecuencia y la respuesta al impulsopara el sistema definido por la siguiente ecuación diferencial :
Problema 3.73
Utilizar la descomposición en fracciones simples para calcularla transformada inversa de Fourier de :