capitulo 2.- mÉtodos para estimar la demanda sÍsmica de...
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2. MÉTODOS PARA ESTIMAR LA DEMANDA SÍSMICA DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD.
(Methods to estimate seismic demands of Multi Degree of Freedom Systems)
INTRODUCCIÓN.-
El procedimiento del análisis dinámico convencional y análisis modal pushover
(MPA), para determinar la demanda sísmica para edificio dentro del rango elástico o
inelásticos, son estudiados y analizados en este capítulo.
Primero, dos versiones del análisis modal, el análisis del historial de respuesta
(RHA), y análisis del espectro de respuesta (RSA), para sistemas linealmente elásticos.
Después, ecuaciones estándar de movimiento estructural para sistemas MDF
dentro del rango inelástico, siendo expresados en términos de coordenadas modales
elásticas.
También, estas ecuaciones modales serán no acopladas en contraste de un
sistema lineal, su acoplamiento te demuestra que es débil y por lo tanto negligente para
desarrollar el desacople del procedimiento del análisis de la historia de respuesta
modal (UMRHA).
La respuesta modal máxima, la cual puede ser determinada por un análisis
pushover para cada forma modal. Esta respuesta modal después se deberá de
combinar en base a la ley de participación modal.
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2.1 EDIFICIOS ELÁSTICOS DE VARIOS NIVELES.
(Elastic multistory building)
2.1.1 ANÁLISIS MODAL EN HISTORIAL DE RESPUESTA.
(Modal response history analysis (RHA))
Las ecuaciones diferenciales que gobiernan la respuesta de un edificio de varios
niveles para fuerzas sísmicas horizontales por aceleraciones de suelo , está
determinada por:
2.1.1.1
Donde u es el vector de N desplazamientos laterales de pisos, relativos al
desplazamiento de suelo, m, c y k son las matrices de la masa, el amortiguamiento
clásico y la matriz de rigidez lateral del sistema. Cada elemento del vector de influencia
es igual a la unidad.
El lado derecho de la ecuación 2.1.1, puede interpretarse como la fuerza sísmica
efectiva:
2.1.1.2
La distribución espacial de las fuerzas en toda la altura del edificio está definida
por el vector , y su variación en el tiempo por .
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Esta distribución de fuerzas puede ser expandida a una sumatoria de las fuerzas
inerciales modales, con distribución sn [Chopra, 2001: Sección 13.12].
∑ ∑ Γ 2.1.1.3
Donde , es el modo de vibración del nth modo de la estructura (Fig.2.1.1.1) y:
Γ 2.1.1.4
La fuerza sísmica efectiva puede expresarse como:
∑ , ∑ 2.1.1.5
La contribución del nth modo para s y para peff (t) es:
Γ , 2.1.1.6
Las respuesta de un sistema MDF para peff,n(t), es totalmente del nth modo. Sin
las contribución de alguna otra forma modal.
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La ecuación que gobierna la respuesta de un sistema es:
2.1.1.7
Por la utilización de la propiedad de ortogonalidad de los modos, es posible
demostrar que ninguno otro modo contribuye a la respuesta del sistema en el nth modo
analizado. Entonces el desplazamiento de piso es:
2.1.1.8
Donde las coordenadas modales qn(t) está gobernada por:
2 Γ 2.1.1.9
En cual es la frecuencia natural de vibración, y es la relación de
amortiguamiento crítico para el nth modo.
La solución de qn(t) realmente se puede obtener por la comparación de la
ecuación 2.1.1.9 con la ecuación de movimiento para el nth modo del sistema SDF
elástico, un sistema SDF con las propiedades de vibración (Frecuencia natural y
relación de amortiguamiento ) del nth modo del sistema MDF, sujeto a una
aceleración :
2 2.1.1.10
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Comparando las ecuaciones 2.1.1.9 y 2.1.1.10, tenemos:
Γ 2.1.1.11
Y sustituyendo en la ecuación 2.1.1.8, tenemos el desplazamiento de piso
definido por:
Γ 2.1.1.12
Fig. 2.1.1.1. Explicación conceptual del análisis del historial de respuesta modal para un
sistema SDF elástico. (Chopra y Goel, 2001)
10
Cualquier cantidad de respuesta r(t) (distorsión de piso, Fuerzas internas, etc.)
pueden expresarse por:
2.1.1.13
Donde describe la respuesta estática modal, el valor estático para r debido a
fuerzas externas sn, y
2.1.1.14
Donde An, es la respuesta de pseudo - aceleración del nth modo de un sistema
SDF [Chopra, 2001; Sección 12.1]. Los dos análisis que conducen a y An(t) están
representados esquemáticamente en la Fig. 2.1.1.1.
Las ecuaciones 2.1.1.12 y 2.1.1.13 representan la respuesta de un sistema MDF
para peff,n(t). Sin embargo, las respuesta del sistema para la excitación total peff(t) es:
∑ ∑ Γ 2.1.1.15
∑ ∑ 2.1.1.16
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Este es el procedimiento clásico del modal RHA, donde la ecuación 2.1.1.9 es la
ecuación modal estándar que gobierna qn(t), mientras que las ecuaciones 2.1.1.12 y
2.1.1.13 definen la contribución de respuesta del nth modo, y las ecuaciones 2.1.1.15 y
2.1.1.16 reflejan la combinación de la respuesta de todos los modos.
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2.1.2 ANÁLISIS MODAL DEL ESPECTRO DE RESPUESTA.
(Modal response spectrum analysis (RSA))
El valor máximo ro de la respuesta total r(t), puede estimarse directamente del
espectro de respuesta para un acelerograma, sin necesidad de hacer el análisis de
respuesta en historial de tiempo (RHA) implicado en la ecuación 2.1.1.9 hasta 2.1.1.16.
En este tipo de análisis de espectro de respuesta (RSA), el máximo valor rno de
la contribución del nth modo rn(t) para la respuesta r(t) está determinada por:
2.1.2.17
Donde An es la ordenada A(Tn, ζn) del espectro de respuesta de la pseudo –
aceleración para el nth modo del sistema SDF, y 2 es el periodo natural de
vibración de la estructura del nth modo del sistema MDF.
Las respuesta modal máxima esta combinada acorde al método raíz cuadrada
de la suma de los cuadrados SRSS (Square Root of Sum of Squares), o
combinación cuadrática completa CQC (Complete Quadratic Combination).
La norma de SRSS, es válida para estructuras con frecuencias naturales de
vibración con gran variación entre cada forma modal, en edificios de varios niveles con
plantas simétricas, proveer una estimación del valor máximo de la respuesta total:
∑ / 2.1.2.18
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El análisis modal espectral, se centra en la obtención de la máxima respuesta de
las estructuras con diferentes periodos fundamentales de vibración a sismos futuros.
Actualmente, los diversos reglamentos de construcción prescriben la intensidad
máximas para el diseño, mediante espectros de respuestas suavizados que
proporcionan la pseudo - aceleración máxima Aj, para cada periodo fundamental de
vibración Tn, en vista que no es posible la predicción de acelerogramas que describan
sismos venideros.
Por definición, Aj es igual al cuadrado de la frecuencia natural de vibración por el
desplazamiento máximo del sistema; en base a esta definición, el espectro de diseño
proporciona el valor máximo del Dj dado por ⁄ ; entonces,
2.1.3.18a
Por ende, el análisis modal espectral se hace basado en la teoría que en la
estructuras se cumple la relación entre Cortante-deformación linealmente, definimos el
cortante como, la rigidez del piso por el desplazamiento del entrepiso máximo del piso i
debido al modo j, en base a esta definición, el cortante del piso i debido al modo j,
resulta:
2.1.3.18b
Y sustituyendo la ecuación 2.1.3.18a en la ecuación 2.1.3.18b, tendremos el
cortante Vij en el entrepiso, definido de la siguiente forma:
Γ 2.1.3.18c
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2.1.3 ANÁLISIS MODAL PUSHOVER (MPA).
(Modal Pushover Analysis (MPA))
Para desarrollar un análisis modal pushover, el procedimiento es consistente con
RSA, notamos que el análisis estático de las estructuras sujetas a fuerzas laterales:
Γ 2.1.3.19
Esto produce el mismo valor de rno, la máxima respuesta del nth modo está en
la ecuación 2.1.2.17 [Chopra, 2001; Sección 13.8.1].
De igual forma, de una manera alternativa el valor de respuesta lo podemos
obtener por análisis estático de la estructura sujeto a una distribución de fuerzas
laterales en toda la altura del edificio de acuerdo a:
2.1.3.20
Donde la estructura es empujada para producir un desplazamiento de la azotea
uno, el valor máximo del desplazamiento de la azotea durante el nth modo, que forma la
ecuación 2.1.1.12 es:
Γ 2.1.3.21
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Donde ⁄ . Asimismo es elemental observar que y serán
obtenidos del espectro de respuesta.
Las respuesta modal máxima, rno; está determinada por cada uno del análisis
modal pushover, podemos combinarla acorde a la ecuación 2.1.2.18, para obtener el
valor de la respuesta máxima ro de la respuesta total.
Este análisis modal pushover (MPA) para sistemas linealmente elásticos, es
equivalente al amplio y viable procedimiento de RSA (sección 2.1.2), considerado en
los reglamentos de construcción
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0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
‐2 ‐1 0 1
Φ2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
‐4 ‐2 0 2 4
Φ3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 0.5 1
Φ1
Fig.2.1.1.1 Los tres primer Modos de vibración de la estructura de tres niveles utilizada
en este estudio.
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2.2 EDIFICIOS INELÁSTICO DE VARIOS NIVELES.
(Inelastic multistory building)
2.2.1 ANÁLISIS NO LINEAL EN HISTORIAL DE RESPUESTA.
(Nonlinear response history analysis (NL-RHA))
Para cada elemento estructural de un edificio, la curva inicial de carga es
idealizada en una curva bilineal, y la curva de descarga y recarga subsecuente difieren
de la curva de carga inicial.
Así, la relación entre las fuerzas laterales fs en el nivel de piso N, y el
desplazamiento lateral u, no es un valor fácil de obtener, pero depende en su parte del
historial de desplazamientos ocurridos:
, 2.2.1.22
Con esta generalidad para los sistemas inelásticos, la ecuación 2.1.1.1, resulta:
, 2.2.1.23
Asimismo, el enfoque estándar es resolver directamente esta ecuación
acoplada, que conduce al “exacto” análisis no linear en historial de respuesta (NL-
RHA).
Sin embargo, el análisis modal clásico (sección 2.1.1), es inválido para sistemas
dentro del rango inelásticos.
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De igual forma, es útil para referencias posteriores el transformar la ecuación
2.2.1.23, a coordenadas modales del sistema lineal correspondiente.
Cada elemento estructural de este sistema elástico, está definido para tener la
misma rigidez que la rigidez inicial de los elementos estructurales del sistema
inelásticos. Los dos sistemas tienen la misma masa y amortiguamiento.
Sin embargo, el periodo natural de vibración y los modos de vibrar de la
estructura para el sistema dentro del rango elástico es igual a las propiedades de
vibración del sistema inelástico sometido a pequeñas oscilaciones.
Extendiendo los desplazamientos de un sistema no lineal o inelástico, en
términos de los modos naturales de vibración del sistema lineal correspondiente,
tenemos:
∑ 2.2.1.24
Sustituyendo la ecuación 2.2.1.24 en la ecuación 2.2.1.23, después pre-
multiplicamos por , y usando la masa y el clásico amortiguamiento con la propiedad
ortogonalizada del modo, resulta:
2 Γ 1,2, … , 2.2.1.25
Donde el único termino que difiere de la ecuación 2.1.1.9, implica:
, , 2.2.1.26
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Esta fuerza resistente depende de todas las coordenadas modales qn(t),
contenidas en q, lo que implica el acoplamiento de las coordenadas modales causada
por la fluencia de la estructura.
La ecuación 2.2.1.25, representa N ecuaciones en las coordenadas modales qn.
A diferencia de la ecuación 2.1.1.9 para el sistema lineal, estas ecuaciones están
acopladas para los sistemas inelásticos.
Simultáneamente, resolvemos estas ecuaciones acopladas y usamos la
ecuación 2.2.1.24, en principio, tendremos los mismos resultados para u(t)
directamente de la ecuación 2.2.1.23.
Sin embargo, la ecuación 2.2.25 raramente es resulta, porque no ofrece ninguna
ventaja en especial o particular de la ecuación 2.2.1.23.
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2.2.2 ANÁLISIS MODAL DESACOPLADO EN HISTORIAL DE RESPUESTA
(UMRHA).
(Uncoupled modal response history analysis (UMRHA)).
Descuidar el acoplamiento de las N ecuaciones en coordenadas modales
(ecuación 2.2.1.25), conduce al procedimiento de la respuesta del análisis modal
desacoplado en historial de tiempo (UMRHA).
Esté procedimiento de aproximación con RHA, es el paso preliminar para
desarrollar el procedimiento del análisis modal pushover para sistemas inelásticos.
La distribución espacial s de las fuerzas símicas efectivas están comprendidas
dentro de la contribución modal sn de acuerdo a la ecuación 2.1.1.3, donde es ahora
el modo para el sistema lineal correspondiente.
La ecuación que gobierna la respuesta para un sistema inelástico sujeto a
fuerzas sísmicas peff,n(t) dado por la ecuación 2.1.1.6b resulta:
, 2.2.2.27
La solución para la ecuación 2.2.2.27 para un sistema inelástico ya no será
descrita por la ecuación 2.1.1.8, puesto que qr(t) generalmente será distinta de cero
para otros modos, donde el nth modo implicara que también los otros modos
contribuyan a la solución.
Sin embargo, para sistemas elásticos qr(t)=0, para todos los otros modos que no
sean el nth modo en estudio, por lo tanto, es razonable esperar que el nth “modo”
siempre dominará la respuesta para un sistema inelástico, pero con pequeñas
contribuciones de los demás modos en el rango inelástico.
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La respuesta aproximada de la estructura en excitación sísmica , , se da
por la ecuación 2.1.1.8.
Sustituyendo esta ecuación 2.1.1.8 en la ecuación 2.2.2.27 y después pre-
multiplicando por tenemos la ecuación 2.2.1.25, excepto por la importante
aproximación de Fsn, ahora depende solamente de una de las coordenadas modales,
qn:
, , 2.2.2.28
Con esta aproximación, la solución de la ecuación 2.2.1.25 puede expresarse
por la ecuación 2.1.1.11, donde Dn(t) está gobernada por:
2 2.2.2.29
Y
, , 2.2.2.30
Donde, está relacionado con , a causa de la ecuación 2.1.1.11.
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Ahora, la ecuación 2.2.2.29, puede ser interpretada como la ecuación que
gobierna la respuesta para el nth “modo” del sistema SDF inelástico.
Un sistema con SDF tiene:
1).- Propiedad de una pequeña amplitud de vibración (frecuencia natural y
relación de amortiguamiento ) del “nth modo” del sistema MDF lineal correspondiente.
2).- Masa unitaria.
3).- Relación ⁄ entre la fuerza resistente ⁄ y las coordenadas
modales Dn definidas por la ecuación 2.2.2.30.
También, la ecuación 2.2.1.25 puede ser resulta en la forma original, la ecuación
2.2.2.29 puede ser resulta convenientemente por algún programa de análisis
estructural, el cual en mi estudio, utilizaré el programa SAP2000, pudiendo ser de la
misma forma que para un sistema SDF expuesto a una aceleración de suelo ug(t).
Asimismo, la respuesta máxima de Dn(t) puede ser estimada de un espectro de
respuesta inelástica [Chopra, 2001: sección 7.6 y 7.12.1].
Introduciendo el nth modo del sistema SDF inelástico, también permite la
extensión del concepto bien establecido del sistema elástico al sistema inelástico.
Haciendo una comparativa de las ecuaciones 2.2.1.25 y 2.2.2.29, con respecto a
las ecuaciones 2.1.1.9 y 2.1.1.10, notamos que la ecuación 2.1.1.11 es aplicable para
los dos sistemas.
La solución de la ecuación no lineal 2.2.2.29, formulada de esta manera
proporciona Dn(t).
Si la sustituimos por la ecuación 2.1.1.12, tenemos el desplazamiento de piso de
la estructura asociado con el nth modo del sistema SDF inelástico.
Cualquier desplazamiento de piso, distorsión de piso, o cualquier otra cantidad
de respuesta de deformación r(t) está dada por la ecuación 2.1.1.13 y la ecuación
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2.1.1.14, donde An(t) es ahora la respuesta de pseudo – aceleración del nth modo del
sistema SDF inelástico.
Los dos análisis que conducen a y están esquematizados en la
Fig.2.2.2.1.
Las ecuaciones 2.1.1.13 y 2.1.1.14, representan la respuesta de un sistema
MDF inelástico para , , la contribución del nth modo para . Por lo tanto la
respuesta de un sistema a la excitación total esta dado por las ecuaciones
2.1.1.15 y la ecuación 2.1.1.16. Este es el procedimiento de UMRHA.
Fig.2.2.2.1. Explicación conceptual del análisis modal desacoplado en historial de
respuesta de un sistema SDF inelástico. (Chopra y Goel, 2001)
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2.2.2.1 RESUMEN.
(Summary)
La respuesta inelástica del N- piso del edificio de planta simétrica con los dos
ejes ortogonales para excitación sísmica del suelo (acelerograma), a lo largo de un eje
simétrico, puede estimarse en función del tiempo por el procedimiento UMRHA,
solamente desarrollando los siguientes paso, para más detalles consultar Chopra y
Goel [2001 ; apéndice A]:
1).- Calcular las frecuencias naturales de vibración y los modos de vibración ,
para la vibración del edificio linealmente elástico.
2).- Para el nth modo, desarrollar la curva pushover (Vbn – urn) el cortante basal –
desplazamiento de azotea. Para la distribución de fuerzas [Ecuación2.1.3.20].
3).- Idealizar la curva pushover en una curva bilineal, Fig.2.2.3.1a.
4).-Convertir la curva idealizada pushover en la relación ⁄ (Fig.2.2.3.1b),
por la utilización de la ecuación 2.2.3.32.
5).- Calcular la historia de deformación Dn(t) y la historia de pseudo – aceleración
, del nth modo del sistema SDF inelástico Fig.2.2.2.1b. con la relación de
fuerzas-deformación Fig.2.2.3.1b.
6).- Calcular la historia de varias respuestas por las ecuaciones 2.1.1.12 y 2.1.1.13.
7).- Repetir los pasos del 2 al 6 para cada uno de los modos requeridos para una
buena precisión. Normalmente, con los primeros dos o tres modos es suficiente.
8).- Combinar las respuestas modales usando las ecuaciones 2.1.1.15 y 2.1.1.16,
para determinar la respuesta total del sistema.
9).- Calcular la respuesta máxima del valor de de la respuesta total r(t) obtenida
en el paso 8.
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2.2.3 PROPIEDADES DEL “NTH MODO” DEL SISTEMA SDF INELÁSTICO.
(Properties of the nth mode inelastic SDF system)
Para determinar la relación ⁄ en la ecuación 2.2.2.29, la relación entre
las fuerzas laterales fs y Dn en la ecuación 2.2.2.30, deberá ser determinada por un
análisis estático no lineal de la estructura, como la estructura sufre desplazamientos
con incrementos en .
Sin embargo, la mayoría de los software comerciales disponibles no pueden
implementar el tipo de análisis con desplazamientos controlados, lo cual en caso de
este estudio, el software utilizado está integrado de forma que puede hacer este tipo de
análisis (SAP2000).
Asimismo, un enfoque alternativo que representa una buena aproximación, es la
implementación de un análisis estático no lineal con fuerzas controladas, en la
estructura sujeta a distribución de fuerzas laterales en toda la altura del edificio de
acuerdo a la ecuación 2.1.3.20.
Cuando implementamos el software comercial disponible, tales análisis estáticos
no lineales proporcionan la llamada curva pushover, la cual es una grafica de cortante
basal – desplazamiento de azotea (Vbn – un).
Una idealización bilineal de la curva pushover para el nth modo está en la figura
2.2.3.1a.
En el punto de fluencia, el cortante basal se describe por, Vbny y el
desplazamiento de azotea como, urny.
Para convertir esta curva pushover a la relación ⁄ , los dos
conjuntos de fuerzas y desplazamientos están relacionados como sigue:
2.2.3.31
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La ecuación 2.2.3.31, permite la conversión de la curva pushover a la relación
⁄ deseada, mirar figura 2.2.3.1b, donde el valor de fluencia de ⁄ y
son:
2.2.3.32
En cual Γ , esto es la masa modal efectiva [Chopra, 2001; Sección
13.2.5]. Las dos están relacionadas a través de:
2.2.3.33
Lo que implica que la pendiente inicial de la curva Fig.2.2.3.1b, es .
Conociendo ⁄ y de la ecuacion 2.2.3.32, el periodo de vibración elástico
del nth modo del sistema SDF es calculada por:
2 / 2.2.3.34
Este valor para Tn, que puede diferir del periodo del sistema lineal
correspondiente, se deberá de usar en la ecuación 2.2.2.29.
En contraste, la pendiente inicial de la curva pushover Fig.2.2.3.1a, la pendiente
es , que no es una cantidad significativa.
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Fig. 2.2.3.1. Propiedades del nth modo del sistema SDF inelástico de la curva pushover.
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2.2.4 ANÁLISIS MODAL PUSHOVER (MPA).
(Modal pushover analysis (MPA))
Un procedimiento para el análisis modal pushover estará presentado adelante,
para la estimación de la respuesta máxima del sistema MDF inelástico ante las
fuerzas efectivas sísmicas , .
Considerando un análisis estático no lineal de la estructura, sujeta a una
distribución de fuerzas laterales desarrolladas en la altura del edificio acorde a la forma
[ecuación 2.1.3.20], donde la estructura es empujada para producir el
desplazamiento de azotea . Este valor del desplazamiento de la azotea esta dado
por la ecuación 2.1.3.21, donde , es el valor máximo de , estando determinada
por la solución de la ecuación 2.2.2.29, que se describe en la sección 2.2.2.
De una forma alternativa, podemos determinarla del espectro de respuesta
inelástico [Chopra, 2001; sección 7.6 y 7.12].
Bajo este desplazamiento de azotea, el análisis pushover proporciona un
estimado del valor máximo de cualquier respuesta : Desplazamiento de piso,
distorsión de piso, rotación de nodos, articulaciones plásticas, etc.
El análisis modal pushover, aunque algo intuitivo para edificios inelásticos,
parece razonable. Nos proporciona resultados para edificios elásticos, que son
idénticos al conocido procedimiento RSA (sección 2.1.2), porque, como se mencionó
anteriormente, la distribución de fuerzas laterales usada posee dos propiedades:
1).- Parece ser la elección más racional entre todas las invariantes
distribuciones de fuerzas.
2).- Proporciona los resultados más exactos de la respuesta modal para
sistemas elásticos.
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El valor de la respuesta es una estimación del máximo valor de la respuesta
de un sistema inelástico a fuerzas sísmicas , , gobernada por la ecuación
2.2.2.27.
Podemos verlo en las secciones 2.1.2 y 2.1.3, para sistemas elásticos,
también representa el valor exacto máximo de la contribución del nth modo para la
respuesta .
Así, podemos referirnos a como la respuesta máxima del modo, incluso en
el caso de sistemas en el rango inelásticos.
La respuesta máxima del modo , determinada por cada uno de los análisis
pushover, se combina usando una apropiada regla de combinación modal, ecuación
2.1.2.18, para obtener un valor estimado máximo de la respuesta total del sistema.
Esta aplicación de la regla de combinación modal para sistemas inelásticos
obviamente carece de bases teóricas.
Sin embargo, parece razonable porque proporciona para los sistemas elásticos
resultados idénticos con él ya conocido procedimiento RSA descrito en la sección 2.1.2.
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2.2.4.1 RESUMEN.
(Summary)
La respuesta máxima de un sistema inelástico bajo excitaciones sísmicas puede
ser estimada con el desarrollo del procedimiento de MPA, el cual es resumido a
continuación en forma secuencial, mas detalles están disponibles en Chopra y Goel
[2001; Apéndice B].
Los pasos del 1 al 4 para MPA son los mismos que para UMRHA.
5).- Calcular la deformación máxima , del nth modo del sistema SDF
inelástico Fig.2.2.2.1b, con la relación de fuerzas – deformación de la figura
2.2.3.1b resulta por la ecuación 2.2.2.29, o también del espectro de
respuesta inelástico.
6).- Calcular el valor máximo del desplazamiento de azotea asociado con el
nth modo del sistema SDF inelástico, ecuación 2.1.3.21.
7).- En , extraer de la tabla de datos del análisis pushover los valores para
cualquier otra respuesta deseada, .
8).- Repetir del paso 3 al 8 para todos los modos que se requiera para una
exactitud requerida. Normalmente, con la consideración de los tres primeros
modos es suficiente.
9).- Determinar la respuesta total por la combinación de las respuestas máximas
de los modos usando la regla de combinación SRSS de la ecuación 2.1.1.18.
de la rotación total de la articulación, obtener el valor de fluencia de las
rotaciones para determinar la rotación de las articulaciones.