capítulo 2 funções - mtm.ufsc.brmtm.ufsc.br/~diogo/mtm_5126_matematica_i/cap2_funcoes.pdf ·...
TRANSCRIPT
Capítulo 2
Funções
Ao final deste capítulo você deverá: Recordar o conceito de função, domínio e imagem; Enunciar e praticar as operações com funções; Identificar as funções elementares, calcular função composta e
determinar a função inversa; Aplicar funções em situações práticas.
2.1 Funções
Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de função. Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda. A procura de carne pelo consumidor, por exemplo, pode depender do seu preço atual no mercado; a quantidade de ar poluído numa área metropolitana depende do número de veículos na rua; o valor de uma garrafa de vinho pode depender da safra. Essas relações são matematicamente representadas por funções.
Sejam A e B dois conjuntos. Uma função é uma relação que a cada elemento de A associa um único elemento de B , e é indicada por BAf →: . A relação entre os conjuntos A e B é dada através de uma regra de associação expressa na forma )(xfy = .
GlossárioFunção :Na Matemática, função significa uma relação (com algumas características determinadas) entre membros de dois ou mais conjuntos. Funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois objetos, x e y. O objeto x é chamado o argumento da função f e o objeto y que depende de x é chamado imagem de x pela f.
Função:Em Contabilidade, função é o que relaciona determinado componente ao objetivo de um sistema contábil. Exemplo: função custo direto e função custo total.
Definição (Função): Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que f é uma função ou aplicação, de conjunto A em conjunto B , se e somente se, todo elemento de A , está em correspondência com um único elemento de B . Escrevemos :f A B→ definida por
( )y f x= onde y é o valor de f em x .
Domínio: É o conjunto dos valores de x tais que a função está definida. Anotamos ( )D f A= ou ( )Dom f A= .
Contra-domínio: O conjunto B é o contra-domínio da função ( )CD f B= .
Imagem: É o conjunto dos valores y B∈ tais que ( )y f x= para algum x . Anotamos Im( )f B⊆ .
Assim:
{ }( ) ( ) para algum D f x A y f x y B= ∈ = ∈ ,
e
{ }Im( ) com ( )f y B x A y f x= ∈ ∃ ∈ = .
Por exemplo, seja :f A B→ definida por ( ) 2f x x= , onde { }1,2,3A = e { }1,2,4,6,7B = .
Neste caso, { }( ) 1,2,3D f = , { }( ) 1,2,4,6,7CD f = e { }Im( ) 2,4,6f = . Veja a figura abaixo:
Figura 2.1
Uma função :f A B→ é dita função real de uma variável real se A ⊂ ¡ e B ⊂ ¡ .
Figura 2.2
Normalmente, representamos por ( )y f x= , x A∈ e y B∈ .
Veja a seguir alguns exemplos de funções.
(i) ( )f x x= , x∀ ∈ ¡ , ( )D f = ¡ .
1
2
3
2
4
6
f7
1
Im( )f
( )B CD f=( )A D f=
(ii) 2( )f x x= , x∀ ∈ ¡ , ( )D f = ¡
(iii) ( )f x x= , x∀ ∈ ¡ , [ ]( ) 0,D f = ∞
(iv) ( )2
xf x
x=
−, 2x ≠ , { }( ) 2D f = −¡
(v) 2( ) 1f x x= − , 1 1x− ≤ ≤ , [ ]( ) 1,1D f = −
(vi) ( ) 1f x x= + , x∀ ∈ ¡ , ( )D f = ¡
(vii)3
( )f xx
= , 0x ≠ , x ∈ ¡ , { }( ) 0D f ∗= = −¡ ¡
(viii) ( )f x x= , x∀ ∈ ¡ , ( )D f = ¡ .
(ix)1
( )2
f xx
=+
, 2x ≠ −
{ } { }( ) 2 / 2D f x x= − − = ∈ ≠ −¡ ¡ e Im( )f = ¡ .
(x) ( ) 2 3 2 3 0 3/ 2f x x x x= + ⇒ + ≥ ⇒ ≥ − . Neste caso,
{ }( ) / 3 / 2D f x x= ∈ ≥ −¡ .
(xi)2 2
( ) 0 e 33 3
x xf x x
x x
− −= ⇒ ≥ ≠ −+ +
.
1º Caso: 2 0 e 3 0 2 e 3x x x x− ≥ + > ⇒ ≥ > −
2º Caso: 2 0 e 3 0 2 e 3x x x x− ≤ + < ⇒ ≤ < − . Assim,
( ) ( ){ }( ) / , 3 2,D f x x= ∈ ∈ −∞ − +∞¡ U
Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos exercícios propostos.
Atividades de Auto Avaliação 1
• Determine domínio nas seguintes funções:
(i)3
( )1
xf x
x
+=+
(ii)1
( )2
xf x
x
+=+
(iii)1
( )1
f xx
=+
(iv)1
( )2
f xx
=+
(v) ( ) 2 3f x x= + (vi) ( ) 1 3f x x= −
(vii)1 1
( )5
f xx x
= ++
(viii) 2
1 1( )
4 4f x
x x= +
− +
(ix) ( ) 2f x x= + (x) 2
1( )
1f x
x=
−(xi) 2( ) 4f x x= − (xii) ( ) 3f x x= −
(xiii) 3
1( )
3f x
x=
−(xiv) ( )
2
xf x
x=
2.1.1 Gráfico de uma Função
É o subconjunto do plano formado pelos pontos ( ), ( )x f x , x∀ ∈ ¡ , quando x percorre o
campo de definição de função :f →¡ ¡ . Im( ) ( )f G f= .
Exemplo 2.1. Seja ( )f x x= , x∀ ∈ ¡ . ( )D f = ¡ e Im( )f = ¡ .
Figura 2.3
Exemplo 2.2. Seja 2( )f x x= , x∀ ∈ ¡ . ( )D f = ¡ e Im( )f += ¡ .
Figura 2.4
Exemplo 2.3. Seja :f + +→¡ ¡ , ( )f x x= , ( )D f += ¡ e Im( )f += ¡ .
Figura 2.5
Exemplo 2.4. Seja ( )f x x= , x∀ ∈ ¡ , ( )D f = ¡ e Im( )f += ¡ .
Figura 2.6
Duas funções f e g são iguais se e somente se tem o mesmo domínio e ( ) ( )f x g x= , ( )x D f∀ ∈ .
Exemplo 2.5. :f A B→ , ( ) 1f x x= − e 2
( )x x
g xx
−= , onde { }1,2,3A = e { }0,1,2,3,4,5B =
. Neste caso, ( ) ( )f x g x= , x A∀ ∈ .
Exemplo 2.6. Sejam f , :g →¡ ¡ , definidas por 4( )f x x= e 2( )g x x= . Neste caso,
temos ( ) ( )f x g x= , x∀ ∈ ¡ , pois 4 2x x= .
Exemplo 2.7. Sejam f , :g →¡ ¡ , 2( )f x x= e ( )g x x= . Neste caso, ( ) ( )f x g x≠ ,
2x x≠ , 0x∀ < .
Exemplo 2.8. Sejam ( )f x x= e 2
( )x
g xx
= são iguais se, e somente se, o domínio de ambas é
{ }0∗ = −¡ ¡ .
2.1.2 Operações com Funções
Dadas às funções f e g definidas. Então valem as seguintes:
(i) Soma de f e g : ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + ;
(ii) Diferença de f e g : ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x− = − ;
(iii) Produto de f e g : ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x× = × ;
(iv) Quociente de f e g :( )
( )( )
f f xx
g g x
= ÷
, ( ) 0g x ≠ .
Em cada caso o domínio da função resultante consiste dos valores de x comuns ao das
funções f e g , sendo que para f
g, o domínio é interseção excluídos os pontos tais que
( ) 0g x ≠ . Por exemplo, dadas às funções 2( ) 2f x x= + e 3
( )1
g xx
=−
, então:
(i) 2 3( )( ) 2
1f g x x
x+ = + +
−, 1x ≠ . { }( ) 1D f g+ = −¡
(ii) 2 3( )( ) 2
1f g x x
x− = + −
−, 1x ≠ . { }( ) 1D f g− = −¡
(iii) ( )2 3( )( ) 2
1f g x x
x × = + ÷−
, 1x ≠ . { }( ) 1D f g× = −¡
(iv) ( ) ( ) ( )2 22 1 2
( )3 3
1
x x xfx
gx
+ − + = =÷ ÷− , { }1
fD
g
= − ÷
¡ , pois { }( ) 1D g = −¡ .
2.1.3 Funções Definidas por Várias Sentenças
São as funções onde função é dada por diferentes valores em diferentes intervalos.
Nos exemplos a seguir obter o gráfico, seu domínio e sua imagem das funções: :f →¡ ¡ .
Exemplo 2.9.
1, se 0
( ) 2, se 0 1
1, se 1
x
f x x
x
<= ≤ < ≥
Resolução: ( )D f = ¡ , { }Im( ) 1,2f = .
Figura 2.7
Exemplo 2.10. 2
, se 0( )
, se 0
x xf x
x x
− <=
≥
Resolução: ( )D f = ¡ , Im( )f += ¡ .
Figura 2.8
Exemplo 2.11.
, se 0 2
( ) 2, se 2 3
5 , se 3
x x
f x x
x x
≤ ≤= ≤ ≤ − ≥
Resolução: ( )D f += ¡ , ( ]Im( ) , 2f = −∞ .
Figura 2.9
Exemplo 2.12. 1, se 3
( )2 1, se 3
x xf x
x x
− <= + ≥
Resolução: ( )D f = ¡ , Im( )f = ¡ .
Figura 2.102.2 Tipos de Funções
(a) Funções monótonas
(i) Função Crescente: A função ( )y f x= é crescente num intervalo de seu domínio
se dados dois valores quaisquer deste intervalo, 1x e 2x com 1 2x x≤ , temos
1 2( ) ( )f x f x≤ . Por exemplo, 2y x= , ( )D f = ¡ , Im( )f = ¡ , 1 2,x x∀ ∈ ¡ e
1 2 1 2( ) ( )x x f x f x≤ ⇒ ≤ .
(ii) Função Decrescente: A função ( )y f x= é decrescente num intervalo de seu
domínio se dados dois valores quaisquer deste intervalo, 1x e 2x com 1 2x x≤ ,
temos 1 2( ) ( )f x f x≥ . Por exemplo, 2y x= − , ( )D f = ¡ , Im( )f = ¡ , 1 2,x x∀ ∈ ¡
e 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x≤ ⇒ ≥ .
Figura 2.11
(b) Função Injetora
Dizemos que :f A B→ é injetora se e somente se, dados 1x e 2x A∈ com 1 2x x≠ implica
que 1 2( ) ( )f x f x≠ ou se 1 2( ) ( )f x f x= então 1 2x x= .
Por exemplo,
(i) :f →¡ ¡ , ( )f x x= é injetora, pois 1 2,x x∀ com 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x≠ ⇒ ≠ .
(ii) :f →¡ ¡ , 2( )f x x= não é injetora, pois 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x≠ ⇒ ≠ , considerando 1 3x =
e 2 3x = − , temos 1 2 ( 3) (3) 9x x f f≠ ⇒ − ≠ = .
Figura 2.12
(c) Função Sobrejetora
Dizemos que :f A B→ é sobrejetora se e somente se Im( )f B= ou ( )f A B= .
Por exemplo,
(i) :f →¡ ¡ , 3( )f x x= é sobrejetora, pois ( )D f = ¡ e Im( )f = ¡ .
(ii) :f + +→¡ ¡ , 2( )f x x= é sobrejetora, pois ( )D f += ¡ e Im( )f += ¡ .
(iii) :f →¡ ¡ , 2( )f x x= não é sobrejetora, pois ( )D f = ¡ e Im( )f += ¡ .
(d) Função Bijetora
Dizemos que :f A B→ é bijetora se e somente se, f é injetora e sobrejetora, isto é,
1 2 1 2( ) ( )x x f x f x≠ ⇒ ≠ e Im( )f B= .
Por exemplo,
(i) :f →¡ ¡ , ( )f x x= ;
(ii) :f →¡ ¡ , 3( )f x x= ;
(iii) :f + +→¡ ¡ , 2( )f x x= ; são funções bijetoras.
(e) Função Inversa
Se :f A B→ é bijetora, a relação inversa de f é uma função de B em A que
denominamos função inversa e indicamos por 1f − .
Figura 2.13
Observação: (i) :f A B→ sendo bijetora, garante a existência da função inversa 1 :f B A− → e
( )1 Im( )D f f B− = = e ( )1Im ( )f D f A− = = .
(ii) 1f f−∃ ⇔ é bijetora.
(iii) Existe 1f − é equivalente dizer f é inversível.
Por exemplo,
(i)
Figura 2.14
A função dada acima na figura 2.14 é inversível.
(ii)
Figura 2.15
A função dada acima na figura 2.15 é não inversível.
• Regras práticas para o cálculo de função inversa
Na função ( )y f x= trocamos x por y e y por x , obtendo ( )x f y= .
Expressamos y em função de x .
Por exemplo,
(iii) Seja :f →¡ ¡ , 2 4y x= −( ) 2 4y f x x= = −2 4x y⇒ = −
2 4y x⇒ = +
12 ( )2
xy f x−⇒ = + =
1( ) 22
xf x−⇒ = + .
(iv) Seja :f + +→¡ ¡ , 2y x=2y x=
2x y⇒ =y x⇒ =
1 :f − + +⇒ →¡ ¡ , 1( )f x x− = .
Observação: Os gráficos de f e 1f − são simétricos em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrante do plano cartesiano.
Por exemplo,
(i) 3( )f x x= , :f →¡ ¡
1 :f −⇒ →¡ ¡ , 1 3( )f x x− = .
Figura 2.16
(ii) :f + +→¡ ¡ , 2( )f x x= 1( )f x x−⇒ =
Figura 2.17
2.3 Composição de Funções
Sejam A , B e C três conjuntos. Consideremos as funções f e g tal que
:f A B→ e :g B C→ .
Associado com f e g existe uma função :L A C→ denominada composição e definida por
( ) ( )( ) ( ( ))h x g f x g f x= =o , x A∀ ∈ .
Figura 2.18 Assim temos
: ( ) Im( )f x f x y f B→ = ∈ ⊂ e : ( ) Im( )g y g y z g C→ = ∈ ⊂ .
Observações:(i) g fo só está definida, quando ( ) ( )CD f D g= .(ii) Em geral, g f f g≠o o .(iii) O domínio de f go é o conjunto de todos os números x no domínio ( )D f .
Exemplo 2.13. Sejam { }1,2,3,4A = , { }0,2,4,6,8,9B = e { }0,4,16,36,64,81,100C = .
Consideremos :f A B→ : ( ) 2f x x y= = e :g B C→ : 2( )g y y z= = . Então
:h A C→ : 2( ) ( )( ) ( ( )) (2 ) 4h x g f x g f x g x x= = = =o .
Exemplo 2.14. Sejam f , :g →¡ ¡ definidas por ( ) 1f x x= + e 2( )g x x= . Então,
2 2( )( ) ( ( )) ( ) 1f g x f g x f x x= = = +o ,e
( ) 2 2( )( ) ( ( )) ( 1) 1 2 1g f x g f x g x x x x= = + = + = + +o .
Agora, 2 21 2 1x x x+ ≠ + + f g g f⇒ ≠o o .
Exemplo 2.15. Sendo :f →¡ ¡ , ( ) 2 1f x x= − e ( ) 2g x x= + . Calcular:
(i) 2 2( ( )) ( 2) ( 2) 1 4 3f g x f x x x x= + = + − = + + .
(ii) 2 2 2( ( )) ( 1) 1 2 1g f x g x x x= − = − + = + .
(iii) ( (1)) (3) 9 1 8f g f= = − =(iv) ( (0)) ( 1) 1 2 1g f g= − = − + = .
Exemplo 2.16. Sendo :f →¡ ¡ , ( ) 23 2f x x= − e ( ) 4 1g x x= + . Calcular
f go , g fo , f fo e g go .(i) ( )( ) ( ( ))f g x f g x=o
(4 1)f x= +23 2(4 1)x= − +
23 2(16 8 1)x x= − + +2
2
3 32 16 2
32 16 1
x x
x x
= − − −= − − +
(ii) ( )( ) ( ( ))g f x g f x=o2
2
2
2
(3 2 )
(4(3 2 ) 1)
12 8 1
8 13
g x
x
x
x
= −
= − += − += − +
(iii) ( )( ) ( ( ))f f x f f x=o2
2 2
2 4
2 4
4 2
(3 2 )
3 2(3 2 )
3 2(9 12 4 )
3 18 24 8
8 24 15
f x
x
x x
x x
x x
= −
= − −= − − += − + −
= − + −
(iv) ( )( ) ( ( ))g g x g g x=o
(4 1)
(4(4 1) 1)
16 4 1
16 5
g x
x
x
x
= += + += + += +
2.4 Funções Pares e Ímpares
(a) Função Par
Seja :f A B→ . f é uma função par se e somente se ( ) ( )f x f x= − , x A∀ ∈ .
Por exemplo, 2( )f x x= , x∀ ∈ ¡ é par, pois 2( ) ( )f x f x x= − = , x∀ ∈ ¡ .
Figura 2.19
(b) Função Ímpar
Seja :f A B→ . f é uma função par se e somente se ( ) ( )f x f x− = − , x A∀ ∈ .
Por exemplo, 3( )f x x= , x∀ ∈ ¡ é ímpar, pois 3( ) ( )f x f x x= − − = , x∀ ∈ ¡ .
Observações:
(i) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y .
(ii) O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação a origem do sistema cartesiano.
(iii) Existem funções que nem são pares e nem ímpares. Por exemplo, ( ) xf x e= e 2( )f x x x= + , x∀ ∈ ¡ , nem são pares e nem são ímpares.
Verifique se são pares ou ímpares as funções:
(i) y x=
(ii)1
yx
= , 0x ≠ .
2.5 Funções elementares
A seguir apresentaremos algumas funções elementares.
a) Função constante
A função que associa cada elemento do seu domínio a um mesmo elemento do contradomínio é chamada de função constante.
Exemplo 3.11. A função :[0, )f ∞ → ¡ , 2)( =xf , é uma função constante. Seu Figura no
intervalo [ ]0, 2 do seu domínio é o seguinte:
Figura 2.20
b) Funções afim ou linear
Chama-se função afim qualquer função dada por baxxf +=)( onde os coeficientes a e b são números reais dados. Quando 0=b , a função é chamada de linear. O Figura da função afim com domínio e contradomínio ¡ é uma reta com coeficiente angular igual a a e que
intercepta os eixos coordenados X e Y nos pontos , 0b
a −
e ( )0, b , respectivamente.
Exemplo 3.12. O gráfico da função afim tomando-se 1=a e 1−=b , ou seja, ( ) 1y f x x= = − , no intervalo [ 1, 2]− , é mostrado abaixo.
Figura 2.21
Uma reta pode ser representada por uma função afim da forma baxy += . Precisamos apenas determinar a e b .
c) Função módulo
É a função definida por , 0
( ) | | , 0
x xf x x
x x
≥= = − <
O gráfico da função módulo é o seguinte:
Figura 2.22
d) Função quadrática
Sejam , e a b c números reais quaisquer com 0a ≠ . A função f definida em ¡ e dada
por 2( )y f x ax bx c= = + + recebe nome de função quadrática.
Exemplo 3.13. (i) 2( ) 9 14y f x x x= = − + 1; 9; 14a b c= = − = .
(ii) 2( ) 5 25y f x x x= = + 5; 25; 0a b c= = = .
(iii) 22 3 1( )
3 4 5y f x x x= = − + −
2 3 1; ;
3 4 5a b c= − = = − .
e) Função polinomial
É toda função cuja regra de associação é um polinômio, ou seja,
011
1 ...)( axaxaxaxf nn
nn ++++= −
− ,
onde os coeficientes naaa ,...,, 10 são números reais e n é número natural chamado de grau de ( )f x .
Exemplo 3.14. As funções afim e linear são exemplos de funções polinomiais de grau 1=n . A função quadrática cbxaxxf ++= 2)( , 0≠a , é uma função polinomial de grau 2n = . A
função 4 3 2( ) 2 3 5 1f x x x x x= − + − + é uma função polinomial de grau 4n = .
f) Função racional
É toda função f cuja regra de associação é do tipo
)(
)()(
xq
xpxf = ,
onde )(xp e )(xq ( ( ) 0q x ≠ ) são funções polinomiais. Uma função racional está definida em qualquer domínio que não contenha raízes do polinômio )(xq .
Exemplo 3.15. Determine o maior domínio possível da função racional
1
1)(
2
+++=
x
xxxf .
Resolução: Uma função racional com esta regra de associação está definida em todo ponto x
tal que 01 ≠+x . Portanto, o maior domínio possível é o conjunto }{ | 1x x∈ ≠ −¡ .
Figura 2.23
2.6 Função exponencial e logarítmica
a) Função exponencial de base a
Seja a um número positivo e 1≠a . A função : (0, )f → ∞¡ , dada por xaxf =)( , é chamada de função exponencial de base a . Os gráficos dessas funções são os seguintes:
Gráfico da função exponencial quando 1a > .
Figura 2.24
Gráfico da função exponencial, quando 0 1a< < .
Figura 2.25
O conjunto imagem da função exponencial é o intervalo (0, )+ ∞ .
Apresentaremos, a seguir, as propriedades de exponenciação.
b) Propriedades da função exponencial
As seguintes propriedades valem para quaisquer , , ,a b x y R∈ com 0>a , 0>b :
P1 - yxyx aaa +=⋅ .P2 - xxx abba )()( = .
P3 - yxy
x
aa
a −= .
P4 -x
x
x
b
a
b
a
=
.
P5 - xyxyyx aaa == )()( .
A função exponencial mais comum em aplicações é a função exponencial de base ea = onde ...71828,2=e é a constante de Euler, que é um número irracional. A função, nesse caso, é chamada de função exponencial natural ou, simplesmente, função exponencial.
2.7 Função logaritmo
Seja a um número positivo e 1≠a . A função definida por ( ) logay f x x= = 0x > , recebe o nome de função logarítmico de base a .
Vejamos os gráficos da função logarítmica:
Figura 2.26
Figura 2.27
2.7.1 Propriedades da função logaritma
Para todo 0, >yx , valem as seguintes propriedades.
P1. Propriedade do produto: )(log xya = yx aa loglog + .
P2. Propriedade do quociente:
y
xalog = yx aa loglog − .
P3. Propriedade da potenciação:yxy a
xa log)(log = .
O logaritmo na base ea = é chamado de logaritmo natural e é comum indicá-lo como ln x .
3.9 Aplicações práticas das funções
A seguir apresentaremos algumas aplicações práticas de funções em forma de exemplos.
a) Função receita
Exemplo 3.25. Um bem é vendido por R$300,00 a unidade. Sendo x a quantidade vendida, a receita de vendas será 300 x× . Podemos dizer que ( ) 300R x x= × é uma função que fornece a quantidade vendida x à receita correspondente.
Exemplo 3.26. Uma sorveteria vende um picolé por R$6,00 a unidade. Seja x a quantidade vendida.a) obtenha a função receita ( )R x ;b) calcule (50)R ;
c) qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$1.200,00?
Resolução:a) ( ) 6R x x= × .b) (50) 6 50 300R = × = .c) Devemos ter 1.200 6 200x x= × ⇒ = .
Logo, a quantidade vendida deve ser de 20 picolés.
b) Função custo e lucro do primeiro grau
Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total de produção depende de x , e a relação entre eles chama de função custo total e a indicamos por ( )C x . Existem custos que não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguro e outros. A soma desses custos que não dependem da quantidade produzida chamamos de custo fixo e indicamos por CF . A parcela do custo que depende de x chamamos de custo variável e indicamos por
( )CV x . Logo, podemos escrever ( ) ( )C x CF CV x= + .
A função lucro ( )L x é definida como a diferença entre a função receita ( )R x e a função custo ( )C x e temos
( ) ( ) ( )L x R x C x= − .
Por exemplo, o custo fixo mensal de fabricação de um produto é R$6.000,00 e o custo variável por unidade é R$ 15,00. Então a função custo total é dada por
( ) 6.000 15C x x= + .
Se o produto for, digamos número de aparelhos de TV, os valores de x serão 0, 1, 2,...
Caso o produto for, digamos toneladas de soja produzidas, os valores de x serão números reais positivos.
Exemplo 3.27. Um produto é vendido por R$20,00 a unidade (preço constante). A função receita será ( ) 20R x x= . Se colocarmos o gráfico desta função receita e o da função custo
( ) 6.000 15C x x= + num mesmo sistema de coordenadas cartesianas teremos o gráfico abaixo
Figura 2.28
Gráfico de ( ) 20R x x= e ( ) 6.000 15C x x= + no mesmo sistema de coordenadas.
A abscissa, cx , do ponto A é chamada de ponto de nivelamento ou ponto crítico.
Note que:• Se cx x> , então ( ) ( )R x C x> e ( ) 0L x > .
• Se cx x< , então ( ) ( )R x C x< e ( ) 0L x < .
c) Função demanda
Exemplo 3.28. O número x de certo produto demandado por mês numa loja relaciona-se
com o preço unitário ( )p conforme a função demanda
20 0,004p x= − .
Se o preço por unidade for de R$8,00, a quantidade demandada por mês será
8 20 0,004x= − ⇒ 0,004 20 8 16x = − = ⇒ 4.000x = .
O gráfico da função demanda 20 0,004p x= − é dado abaixo
Figura 2.29
d) Funções quadráticas receita e lucro
Exemplo 3.29. A função de demanda de certo produto é 20p x= − , e a função custo é ( ) 30C x x= + onde x é a quantidade demandada. Determinar:
a) a função receita e o preço que a maximiza.b) a função lucro e o preço que a maximiza.
Resolução:
a) Por definição de receita, temos( ) 2( ) 20 20R x p x x x x x= × = − × = − .
Logo, a função receita é 2( ) 20R x x x= − + .Veja figura abaixo
Figura 2.30
De 2( ) 20R x x x= − + , temos 1; 20; 0a b c= − = = .
Logo, o valor de x que maximiza 2( ) 20R x x x= − + é a abscissa do vértice 20
102 2 ( 1)V
bx
a= − = − =
× − para uma receita máxima de
( ) 2(10) 10 20 10 100 200 100R = − + × = − + = .
Portanto, temos uma receita máxima de R$100,00 para uma demanda de 10x = itens do produto.
b) A função lucro é ( ) ( ) ( )L x R x C x= − .
Assim,
( )2 2( ) 20 30 20 30L x x x x x x x= − − + = − − − = 2 19 30x x− + − ,
onde 1; 19; 30a b c= − = = − .
Veja a figura de ( )L x abaixo
Figura 2.31
O valor de x que maximiza a função lucro 2( ) 19 30L x x x= − + − é a abscissa do vértice 19 19
9,52 2 ( 1) 2V
bx
a= − = − = =
× − para um lucro máximo de
( ) 2(9,5) 9,5 19 9,5 30
90,25 180,5 30 60,25
L = − + × −= − + − =
.
Portanto, temos um lucro máximo de R$240,75.
Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos exercícios propostos.
Exercícios propostos – 2
1) Seja a função ( ) 4 3f x x= − , calcular:a) ( 2)f − ; b) ( 1)f a + ;
c) ( )f x h+ ; d) ( ) ( )f x f h+ ;
e) ( ) ( )
, 0f x h f x
hh
+ − ≠ .
2) Seja a função 2( ) 5 4g x x x= − , calcular:
a) ( 1)g − ;
b)1
4g
÷ ;
c) ( ) ( )
, 0g x h g x
hh
+ − ≠ ;
d) 1
gx
÷
;
e) ( 2)
( )
g
g x
−.
3) Seja a função ( ) 2 3f x x x= − − , calcule:
a) ( 1)f − ; b) (2)f ; c) (3)f ;
d) 1
2f
÷ ;
e) (2 )f x .
4) Faça o Figura da função 2( ) 2f x x= − + , com o { }( ) 3, 2, 1,0,1,2,3Dom f = − − − .
5) Obtenha o domínio das seguintes funções:a) ( ) 3 2y f x x= = − ;
b) ( ) 3y f x x= = − ;
c) 5
( )2
xy f x
x
−= =−
.
6) Esboce o Figura da função f , de domínio ( )Dom f = ¡ , dada por2 1, se 0
( ), se 0
x xf x
x x
+ ≥= <
.
7) Sejam as funções 1
( )1
xf x
x
+=−
e 1
( )g xx
= , determinar:
a) f go e ( )Dom f go .b) g fo e ( )Dom g fo .c) f fo e ( )Dom f fo .
8) O custo de fabricação de x unidades de certo produto é dado pela função ( ) 300 2C x x= + .
a) Qual o custo de fabricação de 30 unidades?b) Qual o custo de fabricação da vigésima unidade, já tendo sido fabricadas
dezenove unidades?
9) Dada a função demanda 20 2p x= − e a função custo ( ) 5C x x= + , determinar:a) O valor de x que maximiza a receita.b) O valor de x que maximiza o lucro.
10) Usando o mesmo sistema de coordenadas cartesianas, esboce o Figura da função receita dada por ( ) 4R x x= e o Figura da função custo dada por ( ) 50 2C x x= + e determine o ponto de nivelamento.
11) Obtenha a função lucro do exercício acima, esboce seu Figura e faça o estudo do sinal.
12) Um fabricante de brinquedos pode produzir um determinado brinquedo a um custo de R$10,00 por unidade. Está estimado que se o preço de venda do brinquedo for de x cada, então o número de brinquedos vendidos por mês será 250 x− . a) Expressar o lucro mensal do fabricante como uma função de x .b) Utilize o resultado da letra a para determinar o lucro mensal se o preço de
venda for de R$35,00 cada.
13) Seja :[0, ) [ 2, )f ∞ → − ∞ , ( )y f x= = 2 2x − . Determine a inversa da função f .
14) Determinar a função inversa da função demanda 20
4
xp
−= .
15) Indicando o custo médio correspondente a x unidades produzidas por ( )CM x , temos ( )
( )C x
CM xx
= onde ( )C x é o custo de fabricação de x unidades de um produto. O
custo de fabricação de x unidades de um produto é ( ) 400 5C x x= + .a) Qual o custo médio de fabricação de 80 unidades?b) Qual o custo médio de fabricação de 100 unidades?c) Para que valor tende o custo médio à medida que x aumenta?`
Relembrando o Capítulo: Neste capítulo, você teve a oportunidade de estudar e compreender o que é uma função. Você aprendeu operações com funções e esboçar gráfico de uma função. Neste capítulo você também estudou funções elementares, tais como, a função afim, a função linear e a função quadrática. Vimos também a função módulo, a função polinomial, a função racional, função par e função impar, a função exponencial de base , 0 e 1a a a> ≠ , a função logaritmo de base , 0 e 1a a a> ≠ , a função composta, funções crescentes e funções decrescentes e função inversa. Você viu também aplicações práticas de funções.
Saiba Mais
Para aprofundar os temas estudados neste capítulo consulte:
MORETTIN, Pedro A., HAZZAN, Samuel e BUSSAB, Wilton de O. Cálculo funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2005.
SILVA, Sebastião Medeiros da, SILVA, Elio Medeiros da e SILVA, Ermes Medeiros da. Matemática: para os cursos de economia, administração e ciências contábeis. 3. ed. São Paulo: Atlas, 1988.
A partir de agora passaremos a estudar limites e continuidade de uma função..