capítulo 11 análise em regime permanente c.a

DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I

Capítulo 11

Análise em Regime Permanente C.A.


11.1 Análise Nodal

Relação tensão-corrente:

Diferença entre circuitos resistivos e fasoriais:

•  as excitações e as respostas são complexas nos circuitos fasoriais.

Assim, os métodos de análise nodal e de malhas, ou de laços, podem ser

utilizados em circuitos fasoriais.

V = ZI


Exemplo: Cálculo de v1 e v2 em regime permanente.

5cos(2t) [A]

v1

1/2 F + -

v2

1/4 H 1 Ω

1/2 Ω

1/2 H

1 F

5cos(2t) [V]


5∠0º [V]

V1

+ -

V2

5∠0º [A] j1 2ΩΩ1j

− j1 2Ω1 2Ω

Ω1Ω− 1j

Circuito fasorial:

ZC = − j1ωC

ZL = jωL


V2 −V1− j1

+V2

1+ j2( ) 5= 5∠0°

V1 −5∠0°1 2

+V1− j1

+V1 −V2− j1

= 0

Circuito simplificado:

Equações nodais:

5∠0º [V]

V1

+ -

V2

5∠0º [A] Ω+521 j

Ω− 1j1 2Ω

Ω− 1j

2+ j2( )V1 − jV2 =10

− jV1+ 1− j( )V2 = 5


Resolvendo por determinantes:

V1 =Δ1Δ=

10 − j5 1− j

2+ j2 − j− j 1− j

=10− j55

= 2− j

V2 =Δ2Δ=

2+ j2 10− j 5

2+ j2 − j− j 1− j

=10− j205

= 2+ j4

V1 = 5∠− 26,6° V#$ %&

V2 = 2 5∠63,4° V"# $%

v1 = 5 cos 2t − 26,6°( ) V"# $%

v2 = 2 5 cos 2t +63,4°( ) V!" #$


Exemplo: Cálculo da resposta forçada i. Fonte dependente.

v

+ -

1 2 kΩ

Ωk2- +

Ωk2µF51

4cos(5000t) [V]

3000i [V] v + 3000i i

µF51

V

+ -

1 2 kΩ- +

4∠0º [V]

3000I V + 3000I I

( ) Ω− k 2152 j ( ) Ω− k 12 j


V − 412⋅103

+V

251− j2( ) ⋅103

+V+3000I2− j1( ) ⋅103

= 0

V

+ -

1 2 kΩ- +

4∠0º [V] 3000I

V + 3000I I

( ) Ω− k 2152 j ( ) Ω− k 12 j

I = 4−V12⋅103

V = 4− 12⋅103I

Substituindo

I = 24 ⋅10−3∠53,1° A$% &' i = 24cos 5000t +53,1°( ) mA!" #$


Exemplo: Cálculo da resposta forçada v para vg = Vm cos(ωt).

v + -

1 2 kΩ

2 kΩ

1µF

v2

v1 vg

2 kΩ

1µF2 kΩ

v = 1+ 20002000

!

"#

$

%&v2 = 2v2 v2 =

v2

v + -

Ωk2

v2

Ωk2

v2

Fonte de tensão controlada a tensão:


V2−V1

2 ⋅103+

V2

− j106

ω

= 0Nó V/2:

V1 −Vm∠0°12⋅103

+V1 −

V2

2 ⋅103+V1 −V

− j106

ω

= 0Nó V1:

V + -

1 2 kΩ

2 kΩ

V/2

V1

Vm∠0º 2 kΩ

− j1000 ω kΩ 2 kΩ

− j1000 ω kΩ

Equações nodais:

V1 =2

− j2 ⋅103 ω+12

#

$%%

&

'((V

Substituindo


V =2Vm

1− ω2

106"

#$$

%

&''

(

)**

+

,--+ j 2ω

103"

#$$

%

&''

Forma polar:

onde

Domínio do tempo:

V =2Vm∠θ

1+ ω1000"

#$

%

&'

4

θ = − tan−1 2ω 1000

1− ω 1000( )2

"

#

$$$

%

&

'''

v =2Vm

1+ ω1000

!

"#

$

%&

4cos ωt +θ( )


11.2 Análise de Malha

Exemplo: Análise de malha para um circuito em regime permanente c.a.,

cálculo de v1.

5∠0º [V]

V1

+ -

V2

5∠0º [A] 1+ j25

Ω

− j1Ω1 2Ω

− j1Ω5 A I1 I2

V1 = 5−I12

I12− j1 I1 − I2( ) = 5

− j1 I2 − I1( )− j1I2 +1+ j25

!

"#

$

%& I2 +5( ) = 0

I1 = 6+ j2 A!" #$ V1 = 2− j1 V"# $%

Resolvendo:


Procedimento simplificado para escrever as equações de laço e de malha em

circuitos fasoriais (semelhante aos resistivos):

Definido I3 = -5 como a corrente da malha à direita no sentido horário, as

equações de malhas podem ser escritas como:

12− j1

"

#$

%

&'I1 − j1 −I2( ) = 5

− − j1( )I1+ − j1− j1+1+ j25

"

#$

%

&'I2 −

1+ j25

"

#$

%

&'I3 = 0

5∠0º [V]

V1

+ -

V2

5∠0º [A] 1+ j25

Ω

− j1Ω1 2Ω

− j1ΩI3 I1 I2


Exemplo: Cálculo de v1 em regime permanente.

v1

Ω 1

H1

-

+

1 2 µF

4cos(2t) [A] 1 2 H

sen(2t) [A]

2v1 [A]


V1 Ω+ 21 j

-

+ Ω− 1j

4∠0º 2V1

1∠-90º

Ω1j

1∠-90º = -j1

4 A 2V1

-j1

I

Aplicando Lei de Kirchhoff para tensões no laço I:

−V1 − j1(− j1+ I)+ 1+ 2 j( ) I+ 2V1( ) = 0

V1 = j1(4− I) I = −V1j1+ 4

V1 =−4+ j35

=1∠143,1°

v1 = cos 2t +143,1°( ) V!" #$


11.3 Teoremas de Rede

Todos os teoremas de rede para circuitos resistivos são aplicáveis em circuitos

fasoriais:

§  Superposição,

§  Teorema de Norton,

§  Teorema de Thévenin,

§  Princípio da Proporcionalidade.


Exemplo: Superposição, resposta forçada i.

Fonte de tensão c.a. com ω = 2 rad/s e fonte de corrente c.c.

4 [A] 1/2 F + - 1 Ω

3 Ω

1/2 H

1/4 F

5cos(2t) [V]

1 H i

i = i1+ i2

i1 = se deve à fonte de tensão.

i2 = se deve à fonte de corrente.


Corrente fasorial I1:

+ - 1 Ω

5∠0º

I1

-j1 Ω

3 + j2 Ω j2 Ω

I1 =5∠0°

3+ j2+1+ j2( ) − j1( )1+ j2− j1

#

$%%

&

'((

= 2∠−8,1° i1 = 2 cos 2t −8,1°( ) A"# $%


Corrente fasorial I2:

Fonte de tensão morta e ω = 0.

Por divisão de corrente:

Resposta forçada:

4∠0º 1 Ω

3 Ω I2

Ig = 4∠0°

I2 = −11+3"

#$

%

&'4 = −1∠0° i2 = −1 A"# $%

i = i1+ i2 = 2 cos 2t −8,1°( )−1 A"# $%

4∠0º 1 Ω 3 Ω

I2


No caso dos teoremas de Thévenin e de Norton, o procedimento é semelhante

ao adotado em circuitos resistivos, mudanças:

Voc ⇔ Voc (tensão fasorial de circuito aberto)

Isc ⇔ Isc (corrente fasorial de curto circuito)

Rth ⇔ Zth (impedância de Thévenin de circuito morto)

Deve haver uma única frequência (ω) presente, caso contrário devemos

empregar superposição para dividir em problemas de frequências únicas, onde

para cada circuito temos um equivalente de Thévenin ou Norton,

+ -

Zth

Voc Zth Isc


Exemplo: Teorema de Thévenin. Cálculo da resposta forçada v.

+

- -

+ Ω1 F

31

2cos(3t) [A] 2v1 [A]

v1 v

a

b

F31


+

- -

+

Ω12∠0º [A] 2V1 [A]

V1 Voc

a

b

Ω− 1j

Zth =VocIsc

Voc =V1 − − j1( )2V1 = 2 1+ j2( ) = 2+ j4

V1 = 2 ⋅1= 2

Lei de Kirchhoff de tensões:


+

-

Ω12∠0º [A] 2V1 [A]

V1 Isc

a

b

Ω− 1j

Equações nodais:

V11+V1− j1

− 2V1 = 2

Isc = −V11+ 2

V1 = −1− j1

Isc = 3+ j1

Zth =VocIsc

=2+ j43+ j1

=1+ j1 Ω"# $%


Circuito equivalente de Thévenin: Divisão de tensão: Domínio do tempo:

+ -

-

+ 1j− V

a

b

V = − j11+ j1( )+ − j1( )

"

#$$

%

&''

2+ j4( ) = 4− j2 = 2 5∠− 26,6° V"# %&

Ω+ 11 j

2+ j4 V!" #$

v = 2 5 cos 3t − 26,6°( ) V"# $%


Exemplo: Cálculo da resposta forçada V em regime permanente (Proporção).

Supor V = 1 V.

+ - V -j1 Ω 1 Ω

1 Ω

Vg = 6∠0º [V]

j1 Ω

-j1 Ω

+

-

V1

+

-

I2 I1

I1 =V1+V− j1

=1+ j1

V1 = j1I1+V = j1 1+ j1( )+1= j1

I2 =V1− j1

+ I1 = −1+ 1+ j1( ) = j1

Vg =1⋅ I2 +V1 = j1+ j1= j2 V"# $% V =1⋅ 6j2= − j3 V#$ %&

Vg =6j2⋅ j2 V"# $%

Mas Vg é igual a: Então,


11.4 Diagramas Fasoriais

Fasores = números complexos ⇒ representação: vetores em um plano.

Exemplo: Circuito fasorial

Referência: corrente I comum a todos os elementos:

Tensões fasoriais:

+ - VC -j1/ωC

R

Vg

jωL

+

-

VR + -

I

VL + -

I = I ∠0°

VR = RI = R I

VL = jωLI =ωL I ∠90°

VC = − j1ωC

I = 1ωC

I ∠−90°Vg =VR +VL +VC


Caso a: |VL| > |VC| ⇒ reatância total é indutiva, a corrente atrasa a tensão da

fonte de um ângulo θ.

VC

VL

VR

Vg

I

θ

Caso b: |VL| < |VC| ⇒ reatância total é capacitiva, a corrente adianta a tensão

da fonte de um ângulo θ.

VC

VL

VR

Vg

I θ

VL + VC

VL + VC


Caso c: |VL| = |VC| ⇒ reatância total é nula, a corrente e a tensão da fonte

estão em fase.

Assim,

VC

VL

Vg = VR I

I =VgZ=

Vg

R+ j ωL− 1ωC

"

#$

%

&'

ωL− 1ωC

= 0 ωL = 1ωC

VL + VC

ω =1LC


Se a corrente I é fixa, então a componente real da tensão Vg (VR= R | I |)

também é fixa.

Lugar geométrico o fasor Vg para I fixa:

A amplitude mínima da tensão ocorre quando . Para qualquer outra

frequência, uma amplitude maior de tensão é necessária para a mesma

corrente.

Vg

I

ω → ∞

ω → 0

ω =1LC

ω =1 LC


Exemplo: Diagramas fasoriais. Lugar geométrico de I com a variação de R.

Para obter o lugar geométrico de I temos que eliminar R nas equações acima.

+ -

R

Vm∠0º

jωL I

I =Vm

R+ jωL=Vm R− jωL( )R2 +ω2L2

=VmR

R2 +ω2L2− j

VmωLR2 +ω2L2

I = x+ jy

x = Re I{ }=VmR

R2 +ω2L2y = Im I{ }= −

ωLVmR2 +ω2L2


xy= −

RωL

R = −ωLxy

Substituindo na expressão , obtemos

que pode ser reescrita como:

que é a equação de uma circunferência de raio Vm/2ωL e centro em [0, -Vm/2ωL].

A semicircunferência para x > 0 é o lugar geométrico do fasor I = x + jy, com R

variando.

x2 + y2 = −VmyωL

y = −ωLVmR2 +ω2L2

x2 + y +Vm2ωL

!

"#

$

%&

2

=Vm2ωL

!

"#

$

%&

2


A tensão Vm∠0º é tomada como referência.

Lugar geométrico de I. Vm2ωL

−Vm2ωL

0

−VmωL

I

a

R → ∞

R = 0

Vm

θ

raio: Vm/2ωL

centro: [0, -Vm/2ωL]

x =VmR

R2 +ω2L2

y = −ωLVmR2 +ω2L2


x =VmR

R2 +ω2L2y = −

ωLVmR2 +ω2L2

Se R = 0, então:

Se R → ∞, então:

A corrente fasorial move-se ao redor do círculo no sentido anti-horário.

Corrente fasorial possui duas componentes: Imcosθ em fase com a tensão e

Imsenθ que está 90º fora de fase com a tensão.

O diagrama fasorial permite visualizar a componente da corrente de fase

máxima, que ocorre no ponto a, ou seja, com θ = 45º (x = -y ou R = ωL).

x = 0 y = −VmωL

x = 0 y = 0

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