Captulo 11 Anlise de capacidade de processo

Captulo 11 Anlise de capacidade de processo

11.1 introduo

11.2 ndice de capacidade (Cp)

11.3 Cpk

11.4 Qual a diferena entre Cp e Pp (e Cpk e Ppk)?

11.5 No normalidade um problema.

11.6 Questes e exerccios

11.7 Referncias

Tabela 11.1 Relao entre Cp e taxa de rejeio

Figura 11.1 Histograma dos dados Mi-Au, processo no centrado

11.1 IntroduoNeste captulo, vamos apresentar ndices de capacidade para processos centrados no meio das especificaes (Cp), e para processos no centrados (Cpk). At agora no foi mencionado quase nada sobre os limites de especificao que medem a tolerncia permitida da variabilidade de uma caracterstica importante do produto ou processo. Esses limites so conceitualmente diferentes e na prtica independentes dos limites de controle. A tolerncia calculada pelo engenheiro desenhista do processo ou produto na hora da sua concepo antes de qualquer tentativa de fabricao. Em outras palavras, tolerncia um conceito terico. Os limites de controle, por outro lado, so valores calculados dos dados observados no cho da fbrica e so valores prticos e no tericos. Tolerncia mede o que deve ser, enquanto limites de controle medem o que realmente . O ndice de capacidade uma medida da relao numrica entre os dois conceitos.11.2 ndice de capacidade (Cp)

Para processos centrados, o ndice de capacidade (Cp) a distncia entre o limite de especificao superior (LES) e o limite de especificao inferior (LEI) dividido pela variabilidade natural do processo igual a 6 desvios padro (veja a discusso sobre a figura 7.3). Para processos no centrados o ndice de capacidade (Cpk) calculado pela distncia entre a mdia do processo e um dos limites de especificao. A variabilidade natural do processo definida respeitando um pr-requisito fundamental: o processo obrigatoriamente est sob controle estatstico. A implicao forte: o processo sofreu o monitoramento pelos grficos de controle e, portanto, no h nenhuma evidncia de que o processo padece dos efeitos de causas especiais. No est fora de controle. Nesse caso comum usar a equao

ndice de capacidade = (LES LEI)/6 desvios padro

Nesta expresso, o valor 6 desvios padro chamado muitas vezes 6 sigma na literatura especfica. O desvio padro calculado com uma das expresses

S =

A primeira expresso o desvio padro do processo estimado com valores individuais, no os valores em subgrupos. A segunda expresso o desvio padro calculado na base dos subgrupos oriundo das amplitudes (R) de cada subgrupo. O desvio padro dos valores individuais maior que o desvio padro baseado nos subgrupos, como foi apresentado no captulo 2, seo 2.6 sobre o desvio padro de Shewhart. O coeficiente d2 foi apresentado na tabela 2.3 dos coeficientes de Shewhart. Voltando para a figura 7.3, no difcil ver que os 6 desvios padro no ndice de capacidade (Cp) a distncia entre os limites de controle do grfico de valores individuais. Quando o processo capaz, ento os limites de controle ficam inteiramente dentro dos limites de especificao, e o valor do ndice maior que 1,0. ndice igual a 1,0 significa que a taxa de rejeio de produto no conforme fica em 27 itens em 10.000. Geralmente, indstrias hoje em dia querem processos com ndices maiores que 1,33 e se for chegar ao valor admirvel de 2,0, isso significa que os limites da tolerncia esto em 12 desvios padro de distncia entre si, ou 6 desvios padro da linha central. Com esse ndice, a taxa de rejeio de defeituosas fica em 2 itens em 1 bilho produzidos. Veja o captulo 3 e a discusso sobre a distribuio normal onde esse caso j apareceu e j foi comentado. A suposio de normalidade fundamental no clculo do ndice de capacidade e ser mais bem elaborada na seo 11.5 neste captulo. No caso do exemplo acima no captulo 8 (seo 8.4) sobre as temperaturas das bateladas, os limites de especificao so 92,53 e 106,09; a temperatura das bateladas deve ficar sempre entre essas duas temperaturas para garantir a qualidade do produto. O ndice de capacidade nesse processo qumico (106,09 92,028)/(105,89 92,328) = 14,062/13,562 = 1,04. Portanto, pelo ndice de capacidade as temperaturas esto fora das especificaes aproximadamente 18 vezes para cada 10.000 amostras ou a taxa de rejeio so 0,18%, um valor avaliado como adequado pelo gerente da linha de produo. No entanto, ele reconhece que haja espao para melhorias. Na tabela 11.6, mostramos a relao entre a taxa de rejeio e o valor de Cp.

Taxa de rejeio soma dos dois lados do processo (bicaudal)Distncia de limites de especificao da mdia em desvio padro - Z Cp

0,0000000026,001,999

0,00000065,001,667

0,0000024,751,584

0,000024,261,422

0,00033,621,205

0,00043,541,180

0,00053,481,160

0,00063,431,144

0,00073,391,130

0,00083,351,118

0,00093,321,107

0,00103,291,097

0,00113,261,088

0,00123,241,080

0,00183,121,040

0,00203,091,030

0,00223,061,021

0,00233,051,016

0,00243,041,012

0,00273,001,000

0,0072,700,899

0,0082,650,884

0,0092,610,871

0,012,580,859

0,022,330,775

0,11,640,548

Tabela 11.1 Relao entre Cp e taxa de rejeio

Um valor de Cp igual a 2,0 significa que a taxa de rejeio fica em 0,002 unidades por PPM, em outras palavras 2 em 1 bilho. Por outro lado, um Cp igual a 0,55 significa que o processo no capaz e que a taxa de rejeio 10%.

11.3 Cpk

Muitos processos no so centrados exigindo a utilizao do ndice de capacidade Cpk. Vamos relembrar o exemplo da Empresa Mi-Au a qual colocava mais que mil gramas de rao para gato no pacote para garantir o peso adequado frente s fortes fiscalizao e concorrncia no setor. Os limites de especificao so 950 gramas e 1050 gramas, tendo o limite inferior estabelecido por lei e o limite superior pela resistncia do pacote e a poltica da empresa. O alvo do peso 1000 gramas, mas na realidade a mdia dos pacotes fica em 1009 gramas (veja a tabela 8.3). A mdia do processo fica mais perto do limite superior de especificao (41 gramas), e mais longe do limite inferior (59 gramas). Em outras palavras, os dois lados do processo so diferentes e, portanto cada lado do processo deve ser avaliado separadamente para revelar a capacidade do processo. Cpk ser selecionado entre o menor valor de Cpl (l = lower = inferior) e Cpu (u = upper = superior). Assim, a formulao para Cpk segue:

Cpk = mnimo[Cpl = (mdia LEI)/3; Cpu = (LES mdia)/ 3]

Reescrevendo a expresso com dados do exemplo da Mi-Au,

Cpk = mnimo[(1009 950)/3*(47,24/2,326); (1050 1009)/3*(47,24/2,326) =

mnimo[59/60,92; 41/60,92] = mnimo[0,97; 0,67] = 0,67

Por que somos obrigados a selecionar o ndice do pior lado? Se for permitido selecionar qualquer lado, h um incentivo desonesto para escolher o lado que sempre da o maior ndice. E seria fcil arrumar artificialmente um ndice sempre maior que 1,0, simplesmente descentralizando o processo cada vez mais, assim, aumentando a distancia da mdia de um dos limites de especificao. O processo ficaria cada vez pior, menos centralizado, no entanto o ndice ficaria cada vez maior. Ento para evitar essa inconsistncia, escolhendo o pior lado do processo para calcular o ndice Cpk garante nossa honestidade e um retrato mais verdico da capacidade do processo. Veja figura x.7, o histograma dos dados da pesagem dos pacotes de rao para gatos com o processo estvel, depois da eliminao da amostra 15.

Figura 11.1 Histograma dos dados Mi-Au, processo no centrado

Na figura, possvel ver que a mdia do processo levemente mais prxima ao limite de especificao superior. O ndice de capacidade do lado direito do histograma ter um ndice pior e o lado esquerdo melhor. Enquanto a mdia se desloca para a direita e se distancia do limite de especificao inferior, o lado esquerdo mostraria um ndice cada vez maior e o lado direito cada vez menor. Mas a honestidade obriga a utilizao do lado pior para calcular o ndice de capacidade (Cpk), neste caso o lado direito do processo.

Existem processos que no tem especificaes bilaterais, mas sim apenas um lado do processo relevante. Isso ocorre, por exemplo, em pinturas onde a especificao da espessura da camada de tinta somente tem uma especificao mnima. A especificao mxima no tem prioridade para a fbrica. Nesse caso, impossvel aplicar a frmula para o Cp de dois lados; conseqentemente, o ndice de capacidade apropriado seria o Cpk.

11.4 Qual a diferena entre Cp e Pp (e Cpk e Ppk)?Em muitos softwares da rea de controle estatstico, aparece dois ndices de capacidade, o Cp (j comentado neste captulo) e o Pp. Diz-se que o Cp mede a capacidade do processo em termos potenciais e o Pp mede a performance do processo como realmente , no curto prazo. O Cp utiliza o desvio padro de Shewhart e se apia em uma suposio importante, o processo sob investigao est estvel e sob controle sem interferncias de causas especiais, e, portanto as diferenas de mdias e desvios padro entre subgrupos no so grandes. Por outro lado, o Pp calculado com o desvio padro dos valores individuais. comum usar Pp em processos onde a estabilidade questionada porque no sofreram monitoramento por grfico de controle, talvez seja num processo novo e o grfico de controle ainda no foi estabelecido.

Voltando para os dados da empresa Mi-Au e a discusso da seo 8.2, o desvio padro de Shewhart, do processo sem causas especiais e sob controle, = 47,24/2,326 = 20,3. A estimativa do desvio padro dos valores individuais = 22,5. Assim o ndice de capacidade Cp = (1050 950)/6*20,3 = 0,82, e o ndice de performance Pp = (1050 950)/6*22,5 = 0,74. J foi comentado que o Cp necessariamente maior que o Pp. o clculo de Cpk e Ppk nesse exemplo um exerccio no final do captulo.11.5 No normalidade um problema.

ndices de capacidade, que se transformam em taxas de rejeio como consta na tabela 11.x, dependem de clculos feitos com 6 desvios padro. As taxas de rejeio vm do clculo probabilstico da rea nas caudas da distribuio normal. Se a relao entre o valor do ndice e a taxa de rejeio no existisse, ento o ndice no teria nenhuma fora analtica. Alis, neste caso a suposio de normalidade absolutamente necessria considerando a sensibilidade do ndice quando a normalidade no respeitada. Na presena de no normalidade, a soluo para calcular corretamente o ndice de capacidade no difcil. A varivel no normal deve ser transformada em normal por alguma transformao matemtica apropriada, e ento os clculos do ndice seguem como foi explicado em cima, e depois disso a retransformao efetuada. 11.6 ConclusesEste captulo apenas uma leve introduo ao assunto de ndices de capacidade, mas se os conceitos sugeridos aqui forem utilizados corretamente, a fbrica est no caminho certo para melhorar a preciso das caractersticas dos processos e produtos. As duas lies mais importantes so a necessidade de trabalhar com Cpk quando os processos no so centrados, e de averiguar a normalidade dos dados antes do clculo do ndice. Para uma reviso da literatura sobre transformaes para a normalidade veja a dissertao de Miranda (2005). Uma rea muito frtil na literatura acadmica e no cho da fbrica da anlise multivariada. O clculo do Cpk para varias caractersticas no mesmo tempo no uma simples soma ou mdia dos Cpk individuais. O clculo obrigado levar em conta distribuies de probabilidade multivariadas. Para ver o desenvolvimento do conceito e aplicaes praticas, veja a dissertao de Soares (2006).11.6 Questes e exerccios

1. Na seo 11.4, elaborada a diferena entre os conceitos de Cpk e Ppk, o ndice de capacidade e o de performance, respectivamente. Calcular estes dois ndices para o exemplo dos sacos de rao da empresa Mi-Au.Resposta: s ter cuidado na hora de utilizar o desvio padro de Shewhart ou o desvio padro tradicional dos valores individuais.

2. Testar a normalidade dos dados do exemplo da rao da empresa Mi-Au.

Resposta: utilizando o histograma ou o teste de Bera-Jarque, no h evidncia contra a normalidade da varivel em questo. 11.7 Referncias

Miranda, R. (2005) Um modelo para a anlise da capacidade de processos com nfase na transformao de dados Mestrado em Engenharia de Produo, Universidade Federal de Santa Catarina, UFSC, Brasil. Soares, A. (2006) O ndice de Capacidade Multivariado como Instrumento para a Avaliao do Processo em Uma Operao de Usinagem Mestrado em Engenharia de Produo, Universidade Federal de Santa Catarina, UFSC, Brasil. _1174923285.unknown

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